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范文一：华杯赛历年真题详解 毛中特 历年考研真题附答案详解
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**思想概论
1998—2008真题及考试空挡统计
(已剔除历年真题与新大纲解析不符部分)
说明:?:选择题可能出处;???:分析题可能出处，在理解的基础上记忆。
第一章 **思想是马克思主义中国化的理论成果
一、**思想的形成与发展
1(马克思主义是指导中国革命和建设的行动指南
2(**思想产生的社会历史条件?
1
3(**思想发展的历史进程?
历年真题
10(**完整地提出新民主主义革命总路线和总政策的著作是(2000年)
A(《中国社会各阶级的分析》 B(《新民主主义论》
C(《在晋绥干部会议上的讲话》 D(《论人民民主专政》
【答案】C
【分析】1948年4月，**《在晋绥干部会议上的讲话》中指出，无产阶级领导的，人民大众的，方队帝国主义、封建主义和官僚资本主义的革命，这就是中国共产党在当前历史阶段的总路线和总政策。这是对中国共产党的新民主主义革命总路线的完整表述。因此选项C正确。A项中提出的是关于新民主主义革命的基本思想，B项形成了完整的新民主主义革命的理论，标志着**思想的成熟，D项总结了中国民主革命的历史经验，提出了“人民民主专政”是我们的主要经验、主要纲领。
7(**首次明确提出“新民主主义革命”这一科学概念的著作是(2004年)
A(《〈共产党人〉发刊词》 B(《中国革命和中国共产党》
C(《新民主主义论》 D(《论联合政府》
2
【答案】B
【分析】**在《中国革命和中国共产党》一文中，首次明确提出了“新民主主义革命”这个概念，并从理论和实践的结合上对新民主主义革命的对象、任务、动力、性质和前途等问题作了全面深刻的论述。因此选项B正确。
选项A提出的是党的建设是一项伟大工程以及党的建设的目标;C项第一次系统论述了新民主主义的政治纳领、经济纳领和文化纲领，论述了新民主主主革命的性质以及所从属的世界革命的范畴;D项主要论述了党的最低纲领和最高纲领及其相互关系，论述了中国共产党的三大工作作风。
25(在土地革命战争后期和抗日战争时期，**思想得到系统总结和多方面展开而达到成熟。下列**的科学著作中，写于这个时期的有(2006年)
A、《星星之火，可以燎原》 B、《反对本本主义》
C、《新民主主义论》 D、《论联合政府》
【答案】CD
【分析】**思想是在土地革命战争后期和抗日战争时期(1935年—1945年)得到多方面展开和系统总结而得到成熟。《新民主主义论》发表于1940年，《论联合政府》是**在1945年抗日战争胜利前夕召开的中共七大上所作的报告，故可选C、D两项。至于A、B两项是**思想形成时期(土地革命战争前中期)撰写的文献，故可排除。
3
本课程考试中经常会涉及**的重要著作的内容，考生要加以重视。
二、**思想的科学涵义和科学体系
1(**思想是中国化的马克思主义?
历年真题
8(在中国共产党的历史上,第一次鲜明地提出 “马克思主义中国化”的命题和任务的会议是 (2007年)
A(党的二大 B(遵义会议 C(党的六届六中全会 D(党的七大
【答案】C
【分析】在六届六中全会上，**明确提出马克思主义中国化的口号，号召全党学习马、恩、列、斯的理论，并应用到中国的实际斗争中去。因此，备选项C符合题干要求，为本题答案。备选项A党的二大提出了民主革命纲领;B遵义会议确定了**在党内的实际地位并独立自主解决了军事问题和组织问题;D党的七大把**思想确定为党的指导思想。因此备选项A、B、D不符合题干要求，不是本题正确答案。
2(**思想的科学定义与科学内涵?
历年真题
22(**思想、**理论是中国化了的马克思主义，
4
它们都(2003年)
A(体现了马克思列宁主义的基本原理 B(反映了近代中国的时代要求
C(揭示了中国革命的特殊规律 D(包含了中华民族的优秀思想
E(包含了中国共产党人的实践经验
【答案】ADE
【分析】**在建党八十周年大会上讲话指出:“以**同志为核心的第一代中央领导集体和以**同志为核心的第二代中央领导集体，带领我们党，坚持把马克思列宁主义基本原理同中国具体实际紧密结合，形成了**思想、**理论。这两大理论成果，是中国化了的马克思主义，既体现了马克思主义的基本原理，又包含了中华民族的优秀思想和中国共产党人的实践经验。”因此选项A、D、E正确。
选项B、C仅是**思想所面对和解决的问题，与**理论无关，因而是错误的。
25.在中国共产党的历史上，对**思想作出系统概括和阐述的党的文献有(2008年)
A.《关于若干历史问题的决议》
B.**在七大上所作的《关于修改党的章程的报告》
C.**在八大上所作的《关于修改党的章程的报告》
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D.《关于建国以来党的若干历史问题的决议》
【答案】BD
【解析】选项A是在1945年党的六届七中全会上通过的，这时还没有正式使用**思想
这个概念。同年召开的七大上，正式使用了**思想这个科学概念，**在做修改党章的报告中对**思想作了详细的阐述。1981年党的十一届六中全会通过的《关于建国以来党的若干历史问题的决议》对**思想的内涵作了科学表述。选项C是干扰项。
3(**思想是对马克思列宁主义的独创性发展
4(**是**思想的主要创立者
第二章 新民主主义革命的总路线和基本纲领
一、近代中国社会与资产阶级民主革命
1(近代中国半殖民地半封建社会的主要矛盾和基本特点???
历年真题
11(在近代中国社会的诸矛盾中，最主要的是(2000年)
A(帝国主义和中华民族的矛盾 B(封建主义和人民大众的矛盾
C(资本主义和无产阶级的矛盾 D(反动统治阶级内部的矛盾
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【答案】A
【分析】**在《中国革命和中国共产党》中，在分析了近代中国社会存在的众多矛盾的基础上，科学地指出了帝国主义和中华民族的矛盾、封建主义和人民大众的矛盾是近代中国社会的两个主要矛盾。在这两个主要矛盾中，还有一个最主要的矛盾，这就是帝国主义和中华民族的矛盾。因此选项A正确。选项B是近代中国社会的主要矛盾之一，C项是土地革命完成后，社会主义改造时期的主要矛盾，D项是近代中国社会的矛盾，但不是主要矛盾。
7.**指出，解决中国一切革命问题的最基本的根据是(2002年)
A.正确分析中国社会的阶级状况 B.正确分析中国社会的经济结构
C.认清中国社会的特殊国情 D.认清中国社会的主要矛盾
【答案】C
【分析】1939年12月，**在《中国革命和中国共产党》中一再强调，“认清中国社会的性质，就是说认清中国的国情，乃是认清一切革命问题的基本的根据。”“我们已经明白了中国社会的性质，亦即中国的特殊的国情，这是解决中国一切革命问题的最基本的根据。”“中国的特殊国情”即“中国社会的性质”，是一个总概念，它涵盖了中国社会的经
7
济结构、阶级状况、主要矛盾等方面。因此选项C正确。选项A、B、D都只是近代中国基本国情某一方面的具体表现，而不是近代中国基本国情的全部，都是片面的。
9.1939年**在《中国革命和中国共产党》中指出，中国是在许多帝国主义国家的统治或半统治之下，实际上处于长期的不统一状态，再加上土地广大，其结果是(2006年)
A.帝国主义侵略势力日益成为统治中国的决定性力量
B.封建经济在社会经济生活中占着显然的优势
C.经济、政治和文化的发展表现出极端的不平衡
D.人民的贫困和不自由的程度是世界所少见的
【答案】C
【分析】**在《中国革命和中国共产党》一文中指出:由于中国是在许多帝国主义国家的统治或半统治之下，由于中国实际上处于长期的不统一状态，又由于中国的土地广大，中
国的经济、政治和文化的发展，表现出极端的不平衡。试题中A、B、C、D均为近代中国社会的特点，其中示范教材中把C项称之为半殖民地半封建社会的最基本国情与特点。
2(近代以来中华民族面对的两大历史任务?
3(近代中国资产阶级民主革命发生的历史必然性?
历年真题
6(列宁说:“如果社会主义在经济上尚未成熟，任何起义
8
也创造不出社会主义来”。这就是说(1998年)
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范文二：华杯赛历年真题详解 历年真题分类详解-第三篇 第一章综合分析题
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事提出意见一定要充分思考，并且注意自己说话的语气以及方式，让同事能够接受。
26.子曰: 德薄而位尊，智小而谋大，力小而任重,鲜不及矣。”谈谈你的看法,(2012 “
年 6 月 16 日下午陕西省省直机关公务员面试真题)
【参考要点】
(1)解释孔子这句话的本源涵义。
1
(2)结合公务员工作，论述选人用人和自身能力建设上的启示意义。
(3)结合自身来谈提高胜任力的关键。
【参考答案】
孔子说:“德薄而位尊，智小而谋大，力小而任重，鲜不及矣。”这句话的含义是:“道
德修养浅薄却占据高位，智慧有限却要自作聪明地谋划大事，能力有限却要不自量力地承担
重任，这样的人没有几个是不遭受祸害的。”孔子这句话，给我以下启示:
第一，我党选拔任用党员干部必须知人善任，德才兼备，把品德高尚、有能力的人放在
重要的工作岗位。“德不称，其祸必酷;能不称，其殃必大”。“胜其任”是选拔用人的基本。 坚持把政治上靠得住、工作
2
上有本事、作风上过得硬的干部选拔到各级领导岗位上来。
第二，个人在工作中，一定要对自己有清醒的认知，不能自视过高，盲目承担自己力量
所不能及或自己不擅长的工作重任，这样，不仅会影响工作本身的效率质量，还会危及百姓 的利益，造成不可估量的损失和后果。选择能胜任的工作，才能做得更好。
第三，提高胜任力，关键在于学习。在实践中学习，向书本学习，向群众领导同事请教， 不断提高各项工作技能，掌握各项工作方法技巧，这样，才能胜任工作，高效圆满完成工作。
在以后工作中，我也会以“德薄而位尊，智小而谋大，力小而任重,鲜不及矣”自勉， 严格要求自己，做好工作。
四、哲理故事类 1.盲人小伙儿打车遇上一位好心的出租车司机，怎么都不收钱。司机说， 这不算什么， “ 我挣钱比你容易”，下一位乘客得知此事后，硬是多付了车费，鼓励司机继续行善，“这不 算什么，我挣钱比您也容易点”。谈
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谈你的看法。 2012 年 5 月 27 日下午河北直公务员面试 (
真题)
【参考要点】
(1)赞扬司机和乘客的助人行为，肯定当今社会良好的助人为乐的氛围，提出构建社 会主义核心价值体系的必要性。
(2)分析造成社会冷漠的原因。
(3)站在政府角度，提出构建社会主义核心价值体系的对策并发出呼吁。
【参考答案】
司机与乘客的做法值得肯定，体现了城市生活中发生的温馨一幕，显现了团结友爱、相 互关心的高尚道德，也是我国和谐社会创建中的一个缩影。从撑腰体的呼吁到现在人们的身
4
体力行，让我们看到了传统道德的逐步回归。通过这位乘客以及司机的行动，我们感受到了 当代社会中人们的行善、惜善、向善、乐善的思想仍是社会主流，我们社会还是一个有温度 的温情社会。但是当今社会冷漠，人们彼此不信任的问题有着深层次的社会原因:
第一，不正确的价值观引导。21 世纪经济快速发展，人们的生活逐渐富裕，而我国的 精神建设滞后于物质建设，人们精神空虚，物质成为衡量幸福生活的标准，人们在金钱的追 逐中迷失自我，忽略了传统道德的价值。
第二，法治的不健全。南京“彭宇案”、天津“许云鹤案”对人们的价值观念产生了巨 大的冲击。好人做好事反被告上法庭，甚至从此负债累累，让人们做好事的积极性降低。这 都源于我国法律制度的不健全，判决书中“如果没有撞人就不会施以援手的假设”让人嗔目。
对此，政府应快速出击，建立健全社会各项制度，改变好人难当的社会现象。
首先，政府要积极宣传好人好事，借助媒体呼吁人们从善。
5
新闻联播开设了专门的平民 英雄专栏就是为了传扬正能量的价值观，鼓励人们学习优秀事迹，改变社会冷漠的氛围。
其次，建立健全法制，建立赏罚分明的司法体系。制定《助人行为保护条例》，加大对 见义勇为和助人为乐者的保护力度，使助人者不会因为紧急情况下施救而成为被告甚至承担 法律责任，必要时由政府承担助人者见义勇为、助人为乐而带来的无法预知的后果。加大对
被助者诬陷助人者行为的惩处力度。确认发生诬陷行为的，一律记入个人诚信记录。
最后，建立社会保障机制。我国政府应该拿出一部分财政收入建立专门的助人为乐保障
基金。对于在助人为乐过程中产生的一系列损失由政府承担，借此提高人们的积极性。
2.皇帝给皇后一座城堡，皇后闷闷不乐，给她一个发夹，皇后很高兴，请你就 “幸福 在哪里”谈谈看法。(2012 年 5 月 18 日下午山东省公务员面试真题)
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【参考要点】
(1)结合题目，指出幸福不是得到多少物质财富，而是得到周边人的认可、关爱与尊 重。
(2)通过理论和事例，从正反两方面分析论证观点。
(3)公职人员，对于幸福要有正确的认识，幸福不在于追求金钱、权力、地位，而是 在于自我价值的实现和能否尽己所能，做些实事，从而得到群众的认可与尊重。
【参考答案】
皇帝给皇后一座城堡，皇后闷闷不乐，送给她一个发卡，皇后却很高兴，这个小故事虽 然很短小，但是却揭示了一个深刻的道理，那就是:从内心深处体会他人的感受并付出行动， 才会给人幸福的感觉。因为对于皇后来说，城堡没有什么深刻意义，而一个精心挑选的发卡 却体现了国王对她的关爱之情，礼物虽小情意却重，这就是皇后为什么高兴的原因。
其实幸福很简单，幸福并不是一个个冷冰冰的数字或者金钱
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或者高楼大厦，而是用心去 感受我们的服务对象所需要的东西。与其说幸福是一种状态，还不如说幸福是一种感受，一 种发自内心的满足感，这并不是单纯的物质就可以满足的。作为社会工作者，我们都应该用 心体会我们服务对象真正需要的，并有针对性的在工作中进行改进和完善。
当前各省份都在大力建设“幸福民生”，这里的“幸福民生”如果单单从政府的角度去 考虑的话，也许就是当地经济发展水平的高低，现代化设备的完善与否，但是从老百姓角度 出发的话，那就是吃得起饭、上得起学、看得起病、住得起房、养得起老。
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范文三：华杯赛历年真题详解 历年上海综合管理专业考试真题答案详解2013必备_图文
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2005年上海公务员综合管理专业考试真题答案详解(附题目) 一、单项选择题
1(1986年全国秘书长会议上提出了深远意义的"四个转变"，其中由单纯地办文办事 转变为既办文办事又。 A(综合处理B(传达信息 C(出谋献策D(主动服
1
务
2(秘书既有日常的、程序性较强的例行性工作，又有临时的、突发的非例行性工作， 门类众多，内容复杂，称之谓--。 A(事务性B(综合性 C(服务性D(管理性
3(中央提出了秘书工作要做好"三个服务"，其中首要的是一
A(为领导服务B(为职能部门服务 C(本单位职工服务D(为人民服务 4(秘书工作机构是行政组织内的综合办事机构和--。
A(公共关系性机构B(人力资源性机构 C(参赞性机构D(信息文书性机构 5(综理制是指所有秘书工作由办公厅或办公室统一或分派人员办理，下面不再分设部
门，这较适合于大多数企事业单位和市县的()
A(党委B(人大 C(政府D(政协
6(将多件同类的个别事物归在一起，从中概括出共同属性
2
或特征以加深认识的研究方
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法，称为() A(归纳法B(演绎法 C(综合法D(比拟法
7(办公室自动化(OA)涉及到应具有现代思想和现代技术的办公室工作人员，对人 员办公信息的收集、处理、传递、储存、转出过程，以及先进的办公设备和科学 的()
A(思维过程B(工作规范 C(工作程序D(应用理念
8(秘书的职业道德可以概括为()四个字 A(忠诚、保密B(兢兢业业 C(服从领导D.谦虚谨慎
9(秘书不能越位、错位、缺位，这是指秘书应有的()
A(工作态度B(人际关系 C(思维模式D(角色意识
10(凡是接到上级交办信访件的单位、部门，应在限期之内将信访调查结果和处理意
3
见告诉给上级，这种信访工作制度就是() A(回复B(回告 C(汇报D(请示
11(一切行政工作的基础是() A领导B组织 C信息D技术
12。费孝通教授在他的《社会调查自传》中说过:"历史调查经验告诉我们，没有一定的关系之前，缺乏信任感，连搭上话都困难，更不要说探出真实情况了。"这是指()
A观察法B访问法 C文献法D问卷法
13(根据议题之间的内在联系、主次、先后排列次序，称为 A议程B程序 C日程D安排
14(签约仪式由签约方职位相当的负责人主签，有更高一级的领导人及相关部门的负责人参加，以示() A重视B监督 C负责D监证
15(秘书工作机构，应根据精简原则，尽量减少层次。办公
4
厅的层次一般是() A1-2B2-3 C3-4D4-5
16(秘书群体的科学组合心遵循的原则--. A(同质结合B(异质结合 C(异质结合D(老中青结合
17(体现秘书人员理论修养、政策水平、专业知识、业务能力、社会交际乃至处理人际关系等综合素质的水平和能力是指() A收集工作B调查工作 C督察工作D文字表达
18秘书的协调工作有两种情况，第一种是由领导指派或授意的协调;第二种是由秘书自己决定应予以协调的，后一种也称作()
A计划性协调B非计划性协调 C随机性协调D(非随机性协调 22(李总经理应将公文送 A(刘区长 C(赵局长
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二、仔细阅读下面的材科，回答第19,24题。
"十一"长假前夕，某商场以公函形式向区政府行文(请示有关延长营业时间做好商品供应，增加收入同时也
5
满足国(境省)外游客的需要:函件还提到商场拟在附近开展广告业务(增加非商场收入的构想。公文的标题为《某商场关于延长营业时间的函》。
办公室张主任按照领导的意图撰写好以后(交给商场李总经理会签(李总经理认为(为能够引起区领导重视(报送单位增加区委卞副书记、刘区长以及上级工商单位财政局赵局长。公文打印好以后，李总经理亲自将公函送给卞副书记和刘区长(张主任也将此件发送到子部门经理手中，要求他们迅速做好商品供货准备。 19(根据行文规则(某商场的公文存在的问题是--(
A(无权行公文B(不应向区政府行文 C(应向区政府行文D(行报，(?文 20(公文标题中存在的问题是 A(介词结构错误B(改为请示 C(发文机关省略D(文种错误 21(李总经理的签字(用公文术语来说应为()(
A(签发B(会签 C(会商D(核稿 B(王副书记 D(主管部门
23(张主任将公文发送给子部门经理手中
6
这'做法()(
A(错误的B(应受到表扬
C(虑征得事总经理的同意D(应征得赵局长的同意
24(从文件的内容上来看(此件存在着()( 28根据任务手段，可以将我国政府机构分为以下5种类型()。
A.监督机构、职能机构、决策机构、办公机构、派出机构
B.决策机构，执行机构、监督机构、反馈A(行文意图错误B(语句罗索 C(一文多事D(缺少上愿词 25(公共行政的客体是 A(公共组织 C(公共事务 B(公共利益 D(公共产品
26(公共行政的范围包括()。 A(一切政党、社会团体、企事业单位的管理活动，不属于公共行政
B(它是指依法享有行政权力的国家行政机关(对国家事务、社会公共事务进行有效的管理活动
7
C(图家权力机关、国家行政机关、国家司法机关的公务活动(均属公共行政 D(国家行政机关、社会中介组织以及共青妇的活动，均属公共行政 第3页
27(我田国的基本职能是()
A.政治职能、外交职能、经济职能、文化职能
B.政治职能、经济职能、文化职能、社会职能
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范文四：华杯赛集训试题精选及详解
1、某校科技小组有一块长方形试验田,已知这块试验田的面积 是 7.79平 方米,并且长比宽多 2.2米,这个长方形的周长是( )米。 解法一、利用平方差公式分解质因数。
先将长、 宽各扩大 10倍, 则面积扩大 100倍, 面积为 779, 长、 宽差为 22, 这样分数转化成整数。
779=900-121=302-112=(30+11)×(30-11) =41×29
原来长应为 4.1,宽应为 2.9,周长为(4.1+2.9)×2=12(米) 。
解法二、利用“弦图”知识解答。
如右图,将四个同样的试验田拼成一个大 正方形,中间小正方形边长是 2.2米,面积为 2.2×2.2=4.84(平方米) 。大正方形面积为: 7.79×4+4.84=36(平方米) 。大正方形边长为 6米。
大正方形边长等于试验田的长+宽,所以 试验田的周长为 6×2=12(米) 。
解法三、利用“割补”巧解。
根据“长比宽多 2.2米”的条件,把多出的部分平均分成两个长方形, 把其中的一格长方形移补, 再加上一个边长为 1.1
米的小正方形, 这就构成一 个大正方形(如右上图) 。
大正方形的面积为 7.79+1.12=9(平方米 ), , 所以原长方形的宽+
1.1=3米,宽 =1.9米,长为 1.9+2.2=4.1米,原长方形周长为(1.9+4.1) ×2=12米。
2、某蓄水池有两个进水管,单开甲管注满水池需要 18小时,单开乙
管需要 24小时。如果要求 12小时注满水池,并且在这个注水过程中甲、乙 两管合开 8.4小时。问甲管与乙管各开了多少小时?
【分析与解】
解法(一) 60
11
4. 8) 241181(1=?+-
12— 8.4 = 3.6(小时)
原题简化为:甲、乙 3.6小时注水
6011,甲每小时注水 18
1
,乙每小时注 水 241。本题实际是“鸡兔同笼问题”鸡有脚 181只,乙有脚 24
1只,鸡兔 3.6只共有脚 60
11
只,问鸡、兔各有几只?我们利用“假设法”来解答。
2. 1) 24
1
181() 60116. 3181(=-÷-?(只)
3.6-1.2=2.4(只)
所以,乙管注水 8.4+1.2=9.6小时,甲管注水 8.4+2.4=10.8小时。
解法(二) “转化条件” 甲、乙两管合开 8.4小时,可以转化为甲管单
开 8.4小时,乙管也单开 8.4小时,原题可以叙述为:甲每小时注水 18
1
,乙
每小时注水 24
1
,甲、乙两管单开, 12+8.4=20.4小时注满水池。利用“假设
法”解答。
6. 9721184. 2) 241181() 14. 20181(=÷=-÷-?(小时) 20.4-9.6=10.8(小时 )
解法(三) “画长方形图”解题。由解法(二)知,甲的工作效率为 18
1
,
甲的工作效率为 241, 甲、 乙的平均工作效率为 4
. 201
。 求甲、 乙各注水几小时?
阴影 I 与阴影 II 的面积相等, I 与 II
的比为 ) 4. 201181(-
:) 2414. 201(-=9: 18
1
它们长的比应为 8:9, 4
. 201
20.4小时是 17份, 每份为 20.4÷17=1.2小时, 9份为 20.4小时 1.2×9=10.8小时, 8份为 1.2×8=9.6小时。
3、 0, 1, 4, 6四个数码挺有意思,每取两个求出其差(大数减小数) ,这六个差可以排 列成 1, 2, 3, 4, 5, 6
上图表示一个矩形,它的长、宽数值都是两位数(用□□表示) ,它与一个边长为整数的 正方形等积。又知组成这个两位数的四个数码,如果每取两个求出其差,也可以排列成 1, 2, 3, 4, 5, 6六个连续数,你能说出正方形的边长吗?(10分) 分析与解:
设组成长方形的边长的数码依次为 A 、 B 、 C 、 D ,且 A ﹤ B ﹤ C ﹤ D 。则 A 与 D 相差 6, 且 A 与 B , B 与 C,C 与 D 之间的差有以下六种情况:
① 1, 2, 3 ② 1, 3, 2 ③ 2, 1, 3 ④ 2, 3, 1 ⑤ 3, 1, 2 ⑥ 3, 2, 1 第一类情况里,任何两个数的差都不为 4; 第三类情况里,任何两个数的差都不为 5; 第五类情况里,任何两个数的差都不为 5; 第六类情况里,任何两个数的差都不为 4。
由 A 的取值范围可以是 0, 1, 2, 3,把所有情况可以分为四类考虑。 第一类:
第二类:
第三类:
第四类:
对这 8种情况分别进行枚举筛选,可以得到以下符合条件的三种情况,即:
□□
□□=
75×12=30×30
63×28=42×42
27×48=36×36
综上所述,正方形的边长是 30、 42或 36。
4、赵、钱、孙、李、周五人中,每两人之间都打过电话,且通话次数恰好是这两 个人的年龄之差。现知,周和赵相差 9岁,孙和钱相差 10岁,周和钱相差 6岁,李和孙 相差 8岁,李和周相差 12岁,赵和孙相差 5岁,这五个人之间共通电话多少次?
策略:
若想求出通电话的次数, 必须知道五个人的年龄大小情况及两个人的年龄差分别是多少, 我们可以根据年龄问题的特点利用图解法求解。
详解:
1.我们先看一组简单的练习:
(1)若甲比乙大 5岁,乙又比丙大 4岁,
那么丙应该比甲小 9岁。三个人的
年龄关系可以用右图表示出来:
(箭头指向年龄小的)
图中三个年龄差相加减结果为 0。
(想一想,为什么?)
5+4-9=0 (数字前面是加号的线段箭头逆时针指,是减号的箭头顺时针指。 )
(2)如果是四个人,四个人的年龄差相加减结果也应该是 0。
(如右图所示)甲比乙大 5岁,丙比乙大 3岁,丁比丙
大 6岁,丁比甲大 4岁。
算式:
5-3-6+4=0
2:(1)先将五人已知两两相关的岁数标在图 1中 , 假设周比赵大 (这并不影响结果 ) 图中 箭头指向两人中年龄较小的。
(2)根据练习得到的知识按照周、赵、孙、李、周围成一圈,图中所对应的两人年龄差
相加减应当等于 0,由 9-5+8-12=0,数字前面是加号的箭头逆时针指,是减号的线段的 箭头顺时针指,可得到图 2。
(3)同理,按周,钱,孙,李、周转一圈 , 由 10+8-12-6=0,可得到图 3。
现在我们把题目中的条件用图 3表示出来,其余两人之间的关系怎么办呢?通过图 3可 以看出钱比周大 6岁,周比赵大 9岁,那么钱应该比赵大 15岁。箭头指向赵。同理可以 求出钱与李、孙与周、赵与李的年龄差(见图 4)
将图 4中所有数相加,得到五人之间共通话 (9+12+8+10+15+5+6+3+18+4=)90次。
探究:
(1)在分析过程中用到了有关年龄问题的那些知识?
(2)如果假设赵比周大 9岁,或者李比周大 12岁结果会是多少呢?请你用例题中介绍 的方法试一试,看一看结果是否相同?
5、如图(1) ,红、绿两个正方形叠放在一起,已知红色正方形的边长是绿色正方形边长
的 0.75倍,红色正方形的面积数值是一个三位数,绿色正方形露出部分的面积 数值也为一个三位数,并且和红色正方形面积数值的三个数字相同,只是这两
【分析与解】 :
我们根据红、绿正方形边长的关系,把绿色 正方形平均分成 16
份,红色正方形正好为
9份, 绿色正方形露出部分为 7份。 (如图 2)
红色正方形面积数值与绿色正方形露出部分面 积数值的三个数字相同,它们除以 9的余数应相同,
它们的差必是 9的倍数。 2个小正方形的面积是 9的 图(1) 倍数, 2与 9互质,所以每个小正方形的面积都应是 9的倍数。
绿色正方形露出部分面积是一个三位数, 7个小 正方形的面积和是三位数, 9×7=63, 63是一个两位数, 所以每个小正方形的面积最少为 18。
红色正方形面积是一个三位数, 9个小正方形的 面积和是三位数, 117×9=1053, 1053是一个四位数,
所以每个小正方形的面积最多为 108。 图(2)
在 18、 27、 36、 45、??、 108之间,经试验只有 18×9=162和 18×7=126符合 题义。
所以,绿色正方形的面积为 162+126=288。
6、如图所示,把边长为 6cm 的等边三角形剪成 4部分,从三角形顶点往下 1cm 处, 呈 30°角下剪刀,使中间部分形成一个小的等边三角形。
问:所有斜线部分的面积是中间小等边三角形的面积的几倍?
分析与解答:
将大三角形分成边长 1cm 的小等边三角形即可求解。 大三角形中包含 36个小等边三
角形,空白三角形包含 3个小等边三角形。所以
7、 把一些棱长为 1的正方体粘成一个棱长为 n (n 为正整数) 的实心正方 体,将大正方体的一个或几个面染成红色,然后再将大正方体拆散,发现有 281个小正方体被染色了,那么 n=( ) 。
解:我们把大正方体分为上、下,前、后,左、右六个面。
1. 如果只染一个面,只染大正方体的上面,那么,被染色的小正方体的块数应为 n 2
个,因为 281是质数,不是一个完全平方数,所以不可能是染一个面。 2. 如果将大正方体的两个面染成红色有两种情况。
①染上下两个面(两个面相对) ,如图 1,这时被染色的小正方体的块数应为 2n
2
个,这也是不可能的。
②染上面和前面两个面(两个面相邻) ,如图 2,这时这时被染色的小正方体的块
数应为:2 n 2
-n=n×(2n -1) ,因为 281是质数,所以 n×(2n -1)不可能等 于 281。
3. 如果将大正方体的三个面染成红色,有如下两种情况
①染上面、前面和右面,如图 3,这时被染色的小正方体的块数应为 n 3
-(n -1) 3, n 3-(n -1) 3
应是被 3除余 1的数,这是因为:
图 2 图 1
因为 281 被 3除余 2,所以 n -(n -1) 不可能等于 281。 (或被染色的 小正方体的块数,还可以表示为 3n 2-3n +1=281,那么 3n 2-3n=280,因为 280不是 3的倍数,所以也不合题意) 。
图 3 图 4
②染上面、前面和下面,如图 4,这时被染色的小正方体的块数应为:
3n 2-2n=n×(3n -2) ,因为 281是质数,所以 n×(3n -2)不可能等于 281。
4. 如果将大正方体的四个面染成红色,有如下两种情况
①上、 下两个面不染色, 如图 5, 把被染上红色的小正方体切分成弦图那样, 这时, 被染上红色的小正方体块数应为 4的倍数,而 281不是 4的倍数,不合题意。
图 5 图 6
②上面和前面不染色,如图 6,这时被染色的小正方体的块数为:
2n 2+n×(n -2)+(n -2)×(n -1) =4n2-5n +2
4n 2-5n +2=281
4n 2-5n=279
n×(4n -5) =279
因为 279=1×179=3×91=9×31,经试验只有当 n=9时,才符合要求。
5. 如果将大正方体的五个面染上红色,如上面不染色,这时被染色的小正方体的块 数为:2n 2+2n (n -2)+(n -2)×(n -2) =5n2-8n +4
如果 5 n2-8n +4=281,那么 5 n2-8n=277 ,n×(5n -8) =277,由于 277是质 数,所以 n 没有符合题意的解。
6. 如果将大正方体的六个面都染上红色,这时被染色的小正方体的块数为:
n 3-(n -2) 3
由于 n 与 n -2是同奇偶的,所以 n 3与(n -2) 3也应是同奇偶的,同奇偶的 两个
数的差应为偶数,而 281是奇数,所以 n 3-(n -2) 3不可以等于 281,不符合题 意。
综上所述,只有当 n=9;有两个相邻的面不染色时,才符合题目要求。所以
n=9。
8:把一个大长方体表面涂满红色后,分割成若干个同样大小的长方体, 其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是 12块,那么可以把这个大长方体 分割成( )个小长方体。
A 、 20个 B、 27个 C、 32个 D、 42个
【分析与解】大长方体表面涂色,分割后能出现两个面涂色的小长方体, 应该是沿大长方体长、 宽、 高中的两个方向切割或沿大长方体三个方向都切割 的分割方法。
图 1 图 2
沿大长方体长、宽、高中的两个方向切割时(如图 1) ,两个面涂色的小 长方体的个数为(a -2)×(b-2) 个,大长方体被分成的块数为 a ×b ×1块。
沿大长方体三个方向切割时(如图 2) ,两个面涂色的小长方体的个数为 [(a -2)+(b-2) +(C-2) ]×4个,大长方体被分成的块数是 a ×b ×c 块。
所以,本题应选 A 、 B 、 C 、 D 。
二、解答题。
9、现有十箱小球,根据标准,每个小球质量应为 10克,但这十箱中,混进了两箱 次品,次品的外观与正品没有区别,只是一箱球每只质量比正品少 1克,另一箱球每只 质量比正品少 2克。请设计一种方案,只称一次将这两箱次品球找出来。
分析与解答:
先给箱子编上号, 但取球方法改为:从第一箱中取 1只 (30=1) , 第二箱中取 3只 (31=1) , 第三箱中取 9只(32=1) ,??,第十箱中取 39=19683只小球放在一起称一次,如果全是 正品,质量应为 295240克,但因为混有质量较轻的次品小球,实际总质量应比标准总质 量 295240克轻些。
若总质量比 295240克轻 15克,因为 15=9+3×2=1×32+2×31+0×30,即把十进制 数 15写成三进制数为(120) 3,可知第二箱每只小球比标准轻 2克,第三箱每只小球比 标准轻 1克。
若总质量比标准 295240克轻 495克,因为 495=243×2+9=2×35+1×32,即把十进 制数 495写成三进制数为(200100) 3,可知第三箱每只小球比标准球轻 1克,第六号箱 子每只小球比标准球轻 2克。
因为只混进了两只次品球,且一箱每只比标准质量轻 1克,另一箱每只比标准质量轻 2克,所以实际总质量与标准总质量的差一定能写成 3m ×1+3n ×2(m 、 n 不相等,且为不 大于 9的自然数)的形式,且由于这个差(十进制数)能唯一地表示为一个三进制数, 所以只称一次,根据这个三进制的表达式可以把两箱次品球找出来。
10、 有很多白色或黑色的棱长是 1厘米的小正方体。取其中的 27个,拼 成一个棱长是 3厘米的大正方体, 每个面都各用 2个黑色的小正方体拼成相同 的图案, 见例图。 例图中正方体的每一个面的图案相同, 用 8个或 9个黑色的 小正方体就可以拼成例图中的大正方体。除例图之外,还可以用 27块小正方 体拼成每面是其它图案的大正方体,且大正方体六个面的图案相同。请回答:
(1)拼成的大正方体的每一个面的图案,有可能是下面①—⑦图的那些 图形?
(2)在上一问中可以按要求拼成的大正方体各用了几个黑色的小正方体?
【分析与解】
一、小组成员一起审题、理解题目条件。
1、根据每个小正方体在大正方体的表面露出面的个数多少,可以把组成 大正方体的 27个小正方体分成四类。
第一类是在大正方体顶点处的小正方体,有 8个,每个露出 3个面。 第二类是在大正方体棱上的小正方体,有 12个,每个露出 2
个面。 第三类是在大正方体面上的小正方体,有 6个,每个露出 1个面。 第四类是在大正方体中心的小正方体,有 1个,露出 0个面。
2、根据小正方体在大正方体一个表面中露出的图案位置,可以把大正方 体一个面中露出的 9个小正方体表面分成三类。 (如下图)
第一类为○所在位置的小正方体的表面,○所在位置 的正方体是在大正方体的顶点,如果在这个位置出现阴 影,在其它的两个面中必定同时出现阴影。
第二类为□所在位置的小正方体的表面,□所在位置 的小正方体是在大正方体的棱上, 如果在这个位置出现阴影, 就要在另一个表 面中相应的位置出现一个阴影。
第三类为△所在位置的小正方体的表面,△所在位置的小正方体是在大 正方体的面上。
(注:1、用下图表示正方体的六个面。 2、下面正方形中有★,表示这个 正方形是黑色小正方体的表面。 )
二、小组内分工,在集体审题的基础上分工研究 7种情况。
情况 1、如下图, “左面”和“下面”的图案都已经符合图 1的要求,但 “后面”的另一个黑色阴影只有☆所在的两个位置可以放,由“左面”和“下 面” 来看这两个位置又都不能是黑色的小正方体, 矛盾, 所以大正方体的六个 面不可能都是图 1中的图案。
情况 2、如下图, “下面”和“左面”都已经符合要求, “前面”的另一个 黑色阴影只有☆所在的两个位置可以放,由“左面”和“下面”来看这两个位 置又都不能是黑色的长方体,矛盾,所以大正方体的六个面不可能都是图 2中的图案。
情况 3、如下图,大正方形的表面积可以是图 3。这种情况用了 5个或 6个黑色小正方体拼成。
情况 4、如下图,大正方形的表面积可以是图 4。这种情况用了 4个或 5个黑色小正方体拼成。
情况 5、如下图,大正方形的表面积可以是图 5。这种情况用了 9个或 10个黑色小正方体拼成。
情况 6、如下图,大正方形的表面积可以是图 6。这种情况用了 6个或 7个黑色小正方体拼成。
情况 7、如下图, “上面” 、 “下面” 、 “前面” 、 “后面”的图案都已经符合 图 7的要求,但“左面” 、 “右面”的黑色阴影无论放在那个位置,都影响“上 面” 、 “下面” 、 “前面” 、 “后面”中团的情况,所以“左面” 、 “右面”的黑色阴 影无处可放,故大正方体的六个面不可能都是图 7中的图案。
三、 分工研究中先完成任务的同学, 可以帮助其他没有研究出结论的同学。
四、本组内相互检查、交流。
五、确定正确答案后解题。
补充题:
11、如下图,在等边三角形 ABC 上有两个动点 D 、 E ,动点 D 从 A 出发到 B ,每秒移 动 1厘米,动点 E 以每秒 4厘米的速度在 AC 间往返运动。 D 、 E 两点同时从 A 点出发,随 时连结 DE 两点,在 D 由 A 到 B 的这段时间内,线段 DE 与三角形的一部分构成的最小梯 形面积是 18平方厘米(图中阴影部分) 。三角形 ABC 的面积是多少平方厘米?
分析与解答:
要使线段 DE 与三角形 ABC 的一部分构成梯形,就要满足 DB=EC这个条件。假设 D 、 E 都在同一条边上走只有他们相遇时,才满足 DB=EC(想一想:为什么?) 。
此时问题转化为:D 、 E 两点在 AB 上运动, D 的速度为 1厘米 /秒, E 的速度为 4厘 米 /秒,在 D 由 A 到 B 的这段时间内, D 、 E 相遇几次,分别在什么位置?
因为 E 的速度是 D 的速度的 4倍,所以在 D 由 A 到 B 的这段时间内, E 应该走 4个 AB 的长度,即 D 、 E 相遇 4次。第一次在 A 点处(E 走第一遍 AB ) ;第二次在距 A 点 2份
的地方,即 AB 的
52处(E 走第二遍 AB ) ;第三次在距 A 点 313处,即全程的 3
2
处(E 走第 三遍 AB ) ;第四次在距 A 点 4份处,即全程的 5
4
处(E 走第四遍 AB ) 。
构成梯形面积最小,应该是第四次相遇时, 即 D 、 E 点 距 A 的路程为 AB 的
5
4
时, 这时梯形的面积为 18平方厘米。 我们利用 “等分图形” 的思路来解答 (如图 3) 。 从图 3中, 很容易看出梯形面积为三角形 ABC 面积的 25
9, 三角形 ABC 的面积为 18÷
25
9
=50(平方厘米)
图 1 图 2 图 3
12、某俱乐部有 11个成员,他们的名字分别是 A ~K 。这些人分为两派, 一派人总说实话,另一派人总说谎话。某日,老师问:“11个人里面,总说 谎话的有几个人?”那天, J 和 K 休息,余下的 9个人这样回答:
A 说:“有 10个人。”
B 说:“有 7个人。”
C 说:“有 11个人。”
D 说:“有 3个人。”
E 说:“有 6个人。”
F 说:“有 10个人。”
G 说:“有 5个人。”
H 说:“有 6个人。”
I 说:“有 4个人。”
那么,这个俱乐部的 11个成员中,总说谎话的有几个人?
分析与解答:
因为 9个人回答出了 7种不同的人数,而且回答相同的最多是两个人。所 以说谎话的不少于 7人。若说谎话的有 7人,则除 B 外,其它回答问题的 8人均说了谎话, 与假设出现矛盾; 若说谎话的有 8人, 则回答问题的 9人均说 了谎话,出现矛盾;若说谎话的有 10人,则只能 1人说实话,而 A 和 F 都说 了实话,出现了矛盾;若说谎话的有 11人,则没有说实话的,而 C 说了实话, 出现矛盾; 显然说谎话的有 9人, 回答问题的 9人均说谎话, 休息的两人说实 话。
13、有甲、乙、丙、丁四个人,各对某个两位整数的性质用两句话表述:
甲:“用 2除余 1” , “用 3除余 2” 。
乙:“用 4除余 3” , “用 5除余 4” 。
丙:“用 6除余 5” , “用 7除余 6” 。
丁:“用 8除余 7” , “用 9除余 8” 。
已知四人中每个人都只说对了一句话,而另一句话是错的。请问这个两位整数是几? 策略:
通过观察可以发现四个人的第一句话中除数都是偶数,余数都是奇数;而第二句话中除 数都是奇数余数都是偶数。解答此题时要分析除数与余数的特点,利用我们所学的整除 知识,先假设再排除,通过否定与肯定的层层深入推出正确的结论。
详解:
为了便于说明,将甲的第一句话用甲—①,第二句话用甲—②表示。
(1. )先假设甲—①是错的。
如果甲—①是错的,乙—①所说的整数用 4除余 3,如果用 2除会怎样呢?用 4除余 3的整数,也可以说成是 4的倍数加上余数 3 的整数。 4是 2的倍数,那么能被 4整除的 数也一定能被 2整除, ,余数是 3, 3被 2除余 1。因此甲—①,乙—①所说的内容相同,
既他们说的都是错的。用同样的思考方法可以说明丙—①和丁—①也都是错的。这时可 以肯定甲—②、
乙—②、丙—②、丁—②、是正确的。
从各句话的除数与余数的关系来看, 所有话中的余数都是除数减 1, 因此满足甲—②、 乙 —②、丙—②、丁—②条件的整数应该是 3、 5、 7、 9的公倍数减 1的整数,而这样的整 数最小的是 314,不符合题目要求。
2. 假设甲—②是错的。
和(1)的思考方法一样,如果甲—②是错的,丙—②、丁—②也是错的。 (想一想,为 什么?)
那么,考虑一下乙说的话,因为丁—②是错的,所以丁—①是正确的。因此,乙—①也 是正确的。
通过以上的分析,可以知道甲—①、乙—①、丙—②、丁—①是正确的。那么符合条件 的数应该是 2、 4、 7、 8的公被数减 1的整数。满足这个条件的 2位整数只有 55。 探究与总结:
探究:
(1)想一想,为什么从甲的话开始分析?从另外三个人的话开始分析结果会怎样?
(2)如果所求的数在 1—— 200之间那么这个数可能会是多少呢?
总结:
(1)逻辑推理要求正确的前提,从正确的前提出发才能推出正确的结论。然而有时我们 事先并不知道哪一个判断是正确的,这时我们可以采用假设法解答。根据事物之间的相 对性,先作一个假设,然后根据条件进行推理。如果得到符合条件的结果,那么这个假 设是正确的;若从这个假设出发,推出矛盾,说明这个假设是错误的,可将这种情形排 除,这时就需要我们在相反的前提下重新进行推理。
(2)两件相互矛盾对立的事情,如果一件是不正确的,另一件就是正确的。
4、有一些除法算式,被除数、除数、商都是自然数,它们的和是 178,且商和余数 相同。写出所有满足条件的除法算式。
分析与解:
1.先由简单情况考虑
(1)当商和余数是1时,被除数 -1=除数、 178-2=(被除数 -1) +除数
178-2应为(1+1)倍的除数。
(2)当商和余数是 2时,被除数 -2=2×除数、 178-4=(被除数 -2) +除数
178-4应为(2+1)倍的除数。
(3)当商和余数是 3时,可以推知, 178-6应为(3+1)倍的除数。
??
2.由上面分析可以推知, 178+2应为(商 +1)倍的(除数 +2)
(1) 180=1×180 商 =0 不符合题意
(2) 180=2×90 商 =1 除数 =88 89÷88=1?? 1
(3) 180=3×60 商 =2 除数 =58 118÷58=2?? 2
(4) 180=4×45 商 =3 除数 =43 132÷43=3?? 3
(5) 180=5×36 商 =4 除数 =34 140÷34=4?? 4
(6) 180=6×30 商 =5 除数 =28 145÷28=5?? 5
(7) 180=9×20 商 =8 除数 =18 152÷18=8?? 8
(8) 180=10×18 商 =9 除数 =16 153÷16=9?? 9
(9) 180=12×15 商 =11 除数 =13 154÷13=11?? 11
(10) 180=15×12 商 =14 除数 =10 因为商 =余数 >除数,不成立。
在往下考虑,余数都要大于除数,均不成立。
所以符合要求的算式只有上面所列出的八个。
14、 有一些除法算式,被除数、除数、商都是自然数,它们的和是A,且算式中的商 和余数相同,已知满足条件的算式至少有五个,A可以是() ,请写出一组符合要求的 算式。
分析与解:
1. 先由简单情况考虑,设商和余数分别为 1、 2、 3、 4、 5。
(1)当商和余数是 1时, (□ +1)÷□ =1?? 1 (□ +1) +□ +1=A
A -2应为 2倍的除数。
(2)当商和余数是 2时, (2□ +2)÷□ =2?? 2 (2□ +2) +□ +2=A
A-4应为 3倍的除数。
(3)当商和余数是 3时,可以推知, A -6应为 4倍的除数。
(4)当商和余数是 4时,可以推知, A -8应为 5倍的除数。
(5)当商和余数是 5时,可以推知, A -10应为 6倍的除数。
2.因为 A -2是 2的倍数; A -4是 3的倍数; A -6是 4的倍数; A -8是 5的倍数; A -10是 6的倍数,所以(A +2)应为 2、 3、 4、 5、 6的公倍数。 2、 3、 4、 5、 6的公倍数有 60、 120、 180??, A 可以是 58、 118、 178??。
当 A 是 58时,可以写出五个符合要求的算式:
① 29÷28=1?? 1
② 38÷18=2?? 2
③ 42÷13=3?? 3
④ 44÷10=4?? 4
⑤ 45÷8=5?? 5
说明:这两个问题都是一题多解的开放性式题,它们考察了学生的运算能力以及和倍问 题、孙子定理等基本知识的掌握情况,在解答本题时要求学生有很敏捷的观察、归纳、 递推的能力,有很强的迁移、转化的数学意识。
15、某人从住地外出有两种方案:一种是骑自行车去;另一种是乘公共汽车去。显 然公共汽车的速度比自行车的速度快,但乘公共汽车有一个等待时间(候车时间可看作 固定不变的) 。在任何情况下,他总是采用花时间最少的方案。下表表示他到达 A 、 B 、 C 三地采用最佳方案需要的时间。
分析与解:
从 A 、 B 两地相差 1千米,多用 3.5分钟;而 B 、 C 两地相差 1千米,只多用 2.5分 钟。可以推出他到较远的 C 地是乘公共汽车,而到较近的 A 地是骑自行车。
显然去 B 地不是骑自行车, 因为如果去 B 地采用骑自行车方案, 那么需要时间是 (12÷2)×3=18(分钟) ,而实际最佳方案只需 15. 5分钟,故到 B 地是乘公共汽车。 由 B 、 C 两地都是乘公共汽车,可知汽车 1千米需 18-15. 5=2. 5(分钟) ,由此可 求得候车时间是 18-2. 5×4=8(分钟) 。
故到达离驻地 8千米的地方应该用乘公共汽车的方案,需要 8+2. 5×8=28(分钟)
7、中、日双方进行围棋擂台赛,双方各出 5名超一流棋手,按事先排好的顺 序出场比赛。 双方先由 1号棋手比赛, 负者被淘汰, 胜者继续与对方 2号棋手 比赛,??,直到有一方队员全部被淘汰为止,另一方获胜,这样形成一个比 赛过程。所有可能出现的比赛过程共有(252)种。
分析:中方和日方获胜所能形成的比赛过程情况是相同的,只需考虑一 方。
假设中方获胜,获胜的情况又五大类:
(1)一号棋手结束比赛:连胜五盘,比赛过程只有 1种;
(2)二号棋手结束比赛:他胜的场数可能是 1、 2、 3、 4、 5,比赛过程有 5种;
(3)三号棋手结束比赛:他胜的场数可能是 1、 2、 3、 4、 5。
若胜 1场:另外 4场是 1号或 2号胜的, 40、 31、 22、 13、 04,有 5种比赛过程。
若胜 2场:另外 3场是 1号或 2号胜的, 30、 21、 12、 03,有 4种比 赛过程。
若胜 3场:另外 2场是 1号或 2号胜的, 20、 11、 02,有 3种比赛过 程。
若胜 4场:另外 1场是 1号或 2号胜的, 10、 01,有 2种比赛过程。 若胜 5场:有 1种比赛过程。
此类共有 15种比赛过程。
(4)四号棋手结束比赛。他胜的场数可能是 1、 2、 3、 4、 5。
若胜 1场:另外 4场是 1号或 2号或 3号胜的, 400、 310、 301、 220、 211、 202、 130、 121、 112、 103、 040、 031、 022、 013、 004,有 15种比赛过程。
若胜 2场:另外 3场是 1号或 2号或 3号胜的, 300、 210、 201、 120、 111、 102、 030、 021、 012、 003,有 10种比赛过程。 若胜 3场:另外 2场是 1号或 2号或 3号胜的, 200、 110、 101、 020、 011、 002,有 6种比赛过程。
若胜 4场:另外 1场是 1号或 2号或 3号胜的, 100、 010、 001,有 3种比赛过程。
若胜 5场:有 1种比赛过程。
此类共有 35种比赛过程。
(5)五号棋手结束比赛。他胜的场数可能是 1、 2、 3、 4、 5。
若胜 1场:另外 4场是 1号或 2号或 3号或 4号胜的, 4000、 3100、 3010、 3001、 2200、 2110、 2101、 2020、 2011、 2002、 1300、 1210、 1201、 1120、 1111、 1102、 1030、 1021、 1012、 1003、 0400、 0310、 0301、 0220、 0211、 0202、 0130、 0121、 0112、 0103、 0040、 0031、 0022、 0013、 0004,共有 35种 比赛过程。
若胜 2场:另外 3场是 1号或 2号或 3号或 4号胜的, 3000、 2100、 2010、 2001、 1200、 1110、 1101、 1020、 1011、 1002、 0300、 0210、 0201、 0120、 0111、 0102、 0030、 0021、 0012、 0003, 共有 20种比赛过程。
若胜 3场:另外 2场是 1号或 2号或 3号或 4号胜的, 2000、 1100、 1010、 1001、 0200、 0110、 0101、 0020、 0011、 0002, 共有 10种比赛过程。
若胜 4场:另外 1场是 1号或 2号或 3号或 4号胜的, 1000、 0100、 0010、 0001,有 4种比赛过程。
若胜 5场:有 1种比赛过程。
此类共有 70种比赛过程。
中方获胜共有:1+5+15+35+70=126种比赛过程,日方获胜的比赛过程和中方 相同,所以,共有 126×2=252种不同的比赛过程。
范文五：华杯赛小高近5年真题(附详解)20C
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C (小学高年级组)
一、选择题(每小题 10分,满分 60分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正 确答案的英文字母写在每题的圆括号内. )
1. 计算:
91113151711
120
203042567234
??
-+-+?-÷=
?
??
() .
A . 42B . 43C .
1
15
3
D . 2 16 3
2. 如图,有一排间距相等但高度不等的小树,树根成一条直线,树顶也成一条直线,这两条直线成 45度角, 最高的小树高 2.8米,最低的小树高 1.4米,那么从左向右数第 4棵树的高度是()米.
A . 2.6B . 2.4C . 2.2D . 2.0
3. 春季开学后,有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生;事后,甲、乙、丙、丁 4位同学有如下的对 话:
甲:“ 丙、丁之中至少有 1人捐了款 ”
乙:“ 丁、甲之中至多有 1人捐了款 ”
丙:“ 你们 3人中至少有 2人捐了款 ”
丁:“ 你们 3人中至多有 2人捐了款 ”
已知这 4位同学说的都是真话且其中恰有 2位同学捐了款,那么这 2位同学是() .
A .甲、乙 B .丙、丁 C .甲、丙 D .乙、丁
4. 六位同学数学考试的平均成绩是 92.5分, 他们的成绩是互不相同的整数, 最高的 99分, 最低的 76分, 那么 按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是() .
A . 94B . 95C . 96D . 97
5. 如图, BH 是直角梯形 ABCD 的高, E 是梯形对角线 AC 上一点;如果 DEH
△ 、 BEH
△ 、 BCH
△ 的面积依 次是 56、 50、 40,那么 CEH
△ 的面积是() .
A . 32B . 34C . 35D . 36
1 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C (小学高年级组)
2 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C (小学高年级组)
6. 一个由边长为 1的小正方形组成的 n n ?的方格网,用白色或黑色对每个小正方形涂色,要求满足在任意矩
形的 4个角上的小正方形不全同色,那么正整数 n 的最大值是( ) . A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
二、填空题(每小题 10分,满分 40分)
7. 在每个格子中填入 1~6中的一个, 使得每行、 每列及每个 23?长方形内 (粗线框围成) , 数字不重复; 如果
小圆圈两边格子中所填数的和是合数, 其他相邻两格所填数的和是质数, 那么四位数 相约华杯 是 __________.
8. 整数 n 一共有 10个约数,这些约数从小到大排列,第 8个是 3
n
,那么整数 n 的最大值是 ________.
9. 在边长为 300厘米的正方形中,如图放置了两个直角扇形和一个半圆,那么两块阴影部分的面积差是
________平方厘米,两块阴影部分的周长差是 ________厘米. (π取 3.14)
10. A 地、 B 地、 C 地、 D 地依次分布在同一条公路上,甲、乙、丙三人分别从 A 地、 B 地、 C 地同时出发,匀
速向 D 地行进,当甲在 C 地追上乙时,甲的速度减少 40%;当甲追上丙时,甲的速度再次减少 40%;甲追 上丙 9分钟,乙也追上了丙,这时乙的速度减少 25%;乙追上丙后再行 50米,三人同时到 D 地.已知乙出 发时的速度是每分钟 60米, 那么甲出发时的速度是每分钟 ________米, A 、 D 两地间的路程是 ________米.
C
H D
3
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C (小学高年级组)
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C (小学高年级组)
答案解析
1. 【答案】 A
【解析】 原 式 11111111114+++++12045566778893??=----?- ???
114+120493??=?- ???40430+33=-42=.
2. 【答案】 C
【解析】 小 树间距相等, 高度差也相等. 图中 8棵树, 7个间距, 所以相邻两树的高度差为 (2.81.4) 70.2-÷=米,
从左向右数的第 4棵树比最高的小树低差 3个公差,所以高度是 2.80.232.2-?=米.
3. 【答案】 D
【解析】 根 据丙的话可知丙没捐;再根据甲的话知丁捐了;再根据乙的话知甲没捐,故乙捐了,选 D . 4. 【答案】 B
【解析】 六 名同学总成绩是:92.56555?=. 第三名同学得分最少, 第二名同学得分尽量多, 98分 (比第一名少
1分) , 第四名、 第五名尽量和第三名差 1分、 2分, 所以三、 四、 五名的总分和是:555999876282---=, 2823195÷+=分.所以第三名至少 95分.
5. 【答案】 B
【解析】 连 接 AH , AEH △ 的面积等于 DEH △ 与 BEH △ 面积差(一半模型)
AEH AEB BEH ABH EDH ++=+△ △ △ △ △ , AEH △ 面积是 56506-=,
而 BHC △ 的面积等于 AHC △ 的面积(等积变形) ,所以 CEH △ 是 40634-=.
6. 【答案】 B
【解析】
33?、 44?能够成功,例子如图:
C
H D
4
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C (小学高年级组)
下证 55?、 66?不能成功构造, 方法是看在题目规则下能构造出的黑格个数的最大值 x (暂时不看白格 是否符合要求) :
55?中若有一行全是黑格,则按要求,其余各行最多只能有 1个黑格,则 511119x =++++=;若有一
行有 4个黑格, 则按要求, 其余各行最多只能有 2个黑格, 则 4222212x =++++=; 若最多的一行只 有 3个黑格,则另一行最多有 3个黑格(例子如下左图) ;再另一行最多只能有 2个黑格,原因是若已 有两个 3,则这两个 3必有 1格重复,则再来一行时三个区域内各自最多只能有 1格(如下中图) ,且 若 a 区域涂黑,则 b 、 c 区域皆不可涂,综合以上几点考虑,剩余 3行最多每行涂 2格, 3322212x =++++=(例子如下右图)
.
若最多的一行只有 2个黑格,则 10x ≤,太小,不再讨论.
综上,为了不出现 “ 黑色四格 ” ,黑色格最多只能有 12个;那么同理为了不出现 “ 白色四格 ” ,白色格最 多也只能有 12个.可是共有 25格,根据抽屉原理,这是不可能做到的.
66?的证法与 55?类似:若最多行 6个,则剩余行最多 1个, 6111111118x =+++++=<>
5个,则剩余行最多 2个, 5222221518x =+++++=<;若最多行 4个,则第二多行最多="" 3个,再一="" 行最多="" 2个(还是以="" a="" 、="" b="" 、="" c="" 区域的方法讨论)="" ,="" 4322221518x=""><;若最多行>
一行都 3个的答案看似可以,但实际行不通,原因是:一行 6个格中选 2个的方法有 26C 15=种,而一 行 3个会占用其中的 23C 3=种, 6行 18种,根据抽屉原理,必然有某两行有相同的涂色对,会组成 “ 黑
色四格 ” .可见任何一种涂色方式都有 18x <>
当 n 取更大的数时, 证明方法将更为繁琐 (例如 7n =时可推出最大有 2125x =<, 找组合数之和的最大="" 值是思路)="" ,这里不再赘述.本题答案为="" b="">
7.
【答案】 4123
【解析】 要 做出本题不必将所有位置全填出来,只需分析中间两宫即可,如图:
看横行:a 可取 2或 5或 6,但其中只有 2与 3相加是质数,故知 2a =;进一步地, “ 月 ” 与 1的和是质 数,故只有 “ 月 ” 6=,进而 5c =;
再看左宫:b , “ 相 ” , “ 约 ” 分别是 1、 4、 5,但其中只有 14+是质数,故此时可断定 5b =;进一步地, “ 相 ” 与 3的和是质数,只能 “ 相 ” 4=,进而 “ 约 ” 1=;
再看右宫:“ 华 ” , “ 杯 ” , d 分别是 2、 3、 6,但其中只有 23+是质数,故此时可断定 6d =;进一步地, “ 华 ” 与 1的和是质数,只能 “ 华 ” 2=,进而 “ 杯 ” 3=.
5
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C (小学高年级组)
综上,所求答案为 4123. 下面给出所有位置的答案 (利用本题规则下 “ 奇合数只有 9” 的特点可快速找到 突破口) :
8. 【答案】 162
【解析】 注 意因数都是成对出现的,这 10个约数必然是 1、 __、 3、 __、 __、 __、 __、 3
n
、 __、 n ,立即可以填出
1、 2、 3、 __、 __、 __、 __、
3n 、 2
n
、 n ,也就是说 n 必然含有质因数 2和 3. 又由于 n 恰含有 10个因数,根据因数个数定理, n 的质因数分解式只有两种形式:9a 或者 14a b ?. 综合以上两点,可知 n 应为 1423?或 1432?,其中 1423162?=更大.
9.
【答案】 15975; 485
【解析】 (1)先看本题的弱化版:求阴影面积之差:
这道题比较明显能看出应利用差不变原理,所求差即为: 221
22π30030045000π900004
S S -=???-=-正方形 扇形 平方厘米.
再继续思考本题,可知本题答案即比上述面积再少一个半圆的面积,即为: 2
130045000π90000π33750π900001597522??
--??=-= ???
平方厘米.
(2)连接圆弧交点与正方形底边顶点,如图:
可见 300BA BC ==, 300CA CB ==,即三角形 ABC 为等边三角形,内角皆为 60度,故知下半部分阴
300
300
影除去半圆弧之外,另两段弧的圆心角是 60度,上半部分阴影圆弧的圆心角则为 906030
-=度,故所
求差为:
16030π3002π30023002π3002 2360360 C C
????
-=??+????-+???? ? ?
????下 上
350π(300100π) 250π300485()
=-+=-=厘米
10.
【答案】 125; 1880
【解析】 (1) “ 三人同时到达 D 地 ” 的意义即为甲在两次减速后,以及乙在一次减速后的速度,与丙的速度是相 同的,故可设甲的速度是 100份,则一次、两次减速后的速度分别应是 100(140%)60?-=份和
60(140%)36
?-=份; 说明丙的速度就是 36份; 进一步逆推出乙在减速之前的速度为 36(125%)48÷-=份, 这样就得到了三人初始的速度比为 100:48:3625:12:9
=, 由乙的具体初始速度 “ 每分钟 60米 ” 可解
得甲的初始速度为
25
60125
12
?=米每分 (同时可得到丙的初始速度为
9
6045
12
?=米每分, 甲一次减速后
速度是 125(140%)75
?-=米每分) .
(2) 由于我们所知的唯一时间单位是 “ 甲追上丙后 9分钟, 乙也追上了丙 ” , 故首先考察甲乙到达 C (注 意:这一段讨论设置此时间点为起始时间点) ,继续追及丙的这一段过程:乙从甲丙碰面到追上丙用了 9分钟,故这一段追及的路程差为 (6045) 9135
-?=米.可是初始时甲乙是同处于 C 地的,甲乙之间拉 开这 135米的距离, 需要 135(7560) 9
÷-=分钟. 综上, 从初始状态到乙追上丙, 共用了 9918
+=分钟, 即乙共走了 60181080
?=米,再加上最后三人共行的 50米, CD 段总长 1080501130
+=米.
(CD 段的算法二:如果敏锐地注意到甲比乙多的速度,刚好等于乙比丙多的速度的话,那么以乙为参 考位置,甲应该花多长时间 “ 出去 ” ,就花多长时间 “ 回来 ” ,时间都是 9分钟,但这个思路不易想到) 接下来研究 AC 段, 即以最初出发为初始时间点, 到甲乙同时到 C 为止. 这段时间内三人都是做匀速运 动, 故三人走过的路程比就是他们的初始速度比 25:12:9, 其中丙走过的那一段是可以算出具体数值的:
这一段乙花了 18分钟追上丙, 故长度为 (6045) 18270
-?=米. 故甲走过的 AC 段长度为
25 270750 9?=
米.
综上, AD 段长度为 11307501880
+=米.
6 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C (小学高年级组)
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