范文一:常见函数的泰勒展开式
常见函数的展开式:
x 2x n e θx
e =1+x ++ ++x n +1. 2! n ! (n +1)! x
2n +1x 3x 5n x sin x =x -+- +(-1) +o (x 2n +2) . 3! 5! (2n +1)!
2n x 2x 4x 6
n x cos x =1-+-+ +(-1) +o (x 2n ) . 2! 4! 6! (2n )!
n +1x 2x 3
n x ln(1+x ) =x -+- +(-1) +o (x n +1) . 23n +1
1=1+x +x 2+ +x n +o (x n ) 1-x
(1+x ) m =1+mx +m (m -1) 2x + . 2!
tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+O[x]^11
范文二:泰勒展开式的计算
实验六:泰勒展开式的计算
1、实验目的:
介绍使用Mathmatica进行泰勒展开的方法,从不同角度对泰勒展式进行观察和讨论,着重对泰勒余项的误差分析,使学生理解展开位置x0和展开阶数n对计算误差的影响,研究泰勒展式的应用 2、实验指导:
一、 级数 1. 求和与求积
求有限或无穷和、积的函数是:
imax
Sum[f,{i,imin,imax}] 求
?
i?imin
f(i),其中imin
可以是-∞,imax可以是∞(即+∞),但是必须满足imin≤imax。基本输入模板中也有求和专用的符号,使用模板输入更方便。
Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},…] 求多重和,也可以使用基本输入模板连续多次输入求和符号得到。
imax
Product[f,{i,imin,imax}] 求
?
i?imin
f(i),基本输入
模板中也有求积符号。
Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},…] 求多重积 ,也可以使用基本输入模板连续多次输入求积符号得到。
例1 求下列级数的和与积:
n
?
2
(1)?k,(2)
k?1
?
k?1
1k
2
?
,(3)
?
k?1
1k
?
1
,(4)
?
k?1
ek
2
。
解:In[1]:=Sum[k^2,{k,1,n}] Out[1]=
16
n(1?n)(1?2n)
?
In[2]:=?1/k^2
k?1
Out[2]=
?
2
6
?
In[3]:=?1/k
k?1
Sum::div:Sum does not converge.
?
Out[3]=?
k?1
1k
?
In[4]:=?Exp[1/k^2]
k?1
?
2
Out[4]=e
6
说明:上例中第三个级数发散,Mathematica给出提示,并在不能给出结果时将输入的式子作为输出。
NSum和NProduct得到数值解。
2. 将函数展开为幂级数
将函数展开为幂级数的函数调用格式如下:
Series[f,{x,x0,n}] 将函数f(x)在x0 处展成幂级数直到n次项为止。
Series[f,{x,x0,n},{y,y0,m}] 将函数f(x,y)先对y后对x展开。
例2 展开下列函数为幂级数:
(1) y=tgx,(2) y?
sinxx
, (3)y = f(x),(4)y = exy。
解:In[1]:=Series[Tan[x],{x,0,9}] Out[1]=x?
x
3
3
?
2x15
5
?
17x315
7
?
62x
9
2835
?o[x]
10
In[2]:=Series[Sin[x] /x,{x,0,9}] Out[2]= 1?
x
2
6
?
x
4
120
?
x
6
5040
?
x
8
362880
?o[x]
10
In[3]:=Series[f[x],{x,1,7}] Out[3]=f[1]?f?[1](x?1)?
124
f
(4)
12
1
2
f??[1](x?1)?
16
5
f
(3)
[1](x?1)?
3
[1](x?1)?
4
120
f
(7)
(5)
[1](x?1)?
7
8
1720
f
(6)
[1](x?1)?
6
f[1](x?1)5040
?o[x?1]
In[4]:=Series[Exp[x y],{x,0,3},{y,0,2}]
?y23?2334??o[y]?x?o[y]x?o[x] Out[4]=1?(y?o[y])x?? ?2??
3
说明:上例中In[3]表明也可以展开抽象的函数。
对已经展开的幂级数进行操作的两个函数是:
Normal[expr] 将幂级数expr去掉余项转换成多项式。 SeriesCoefficient[expr,n] 找出幂级数expr的n次项系数。
例3 将y = arcsinx展开为幂级数,只取前9项并去掉余项。 解:In[1]:=Series[ArcSin[x],{x,0,9}]
Out[1]= x?
x
3
6
?
3x
5
40
?
5x
7
112
?
35x
9
10
?o[x]
1152
In[2]:=Normal[%] Out[2]= x?
x
3
6
?
3x
5
40
?
5x
7
112
?
35x
9
1152
In[3]:=SeriesCoefficient[%1,5] Out[3]=
340
3. 傅里叶级数
求傅里叶级数就是求出傅里叶系数,傅里叶系数是一个积分表达式,所以利用积分函数Integrate就可以实现。
例如,设周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为τ,脉冲幅度为E,周期为T,这种信号在一个周期[?
T2
,
T2
]内的表达式为
|t|?|t|?
??E
f(t)??
?0?
??2
2
求其傅里叶级数时,可以先求出傅利叶系数。为了和Mathematica中的常数E相区分,以下用Ee表示脉冲幅度,用tao表示脉冲宽度τ,根据傅利叶系数的积分表达式,输入以下语句:
a0= 2/T Integrate[Ee,
{t,-tao/2,tao/2}]
a[n_ ]=2/T Integrate[Ee Cos[2n Pi t/T], {t,-tao/2,tao/2}]
b[n_ ]=2/T Integrate[Ee Sin[2n Pi t/T], {t,-tao/2,tao/2}]
可得到下面三个输出,即分别是a0,an与bn,即 a0=
2E?T
,an =
2En?
sin
n??T
与bn=0
从而可写出给定的傅利叶级数为: f(t)?
E?T
?2E
?
?
?
i?1
1
n??2n??siconTT
3、实验任务:
1、展开下列函数为x幂级数,并求其收敛区间。
y?
12(e?e
x
?x
);(2)y = cos2x;(3)y =(1 - x)ln(1 - x)
2、将函数
f(x)??
?x,?2?x
0?x?11?x?2
分别展开成正弦级数和余弦级数。
范文三:常见函数的泰勒展开式
常见函数的泰勒展开式
[1]ez=1+z+z2/2!+ …+zn/n!+…,|z|
[2]1/(1-z)=1+z+z2+…+zn+…,|z|
[3]1/(1+z)=1-z+z2-…+(-1)nzn+…,|z|
[4]sinz=z-z3/3!+z5/5!-…+(-1)n*z2n+1/(2n+1)!+ …,|z|
[5]cosz=1-z2/2!+z4/4!-…+(-1)n*z2n/(2n)!+…,|z|
[6]ln(1+z)=z-z2+z3/3-…+(-1)nzn+1/(n+1)+…,|z|
[7](1+z)α=1+αz+α(α-1)z2/2!+α(α-1)(α-2)z3/3!+…+ [α(α-1)…(α-n+1)]zn/n!+…,|z|
范文四:常见函数的泰勒展开式
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式”资讯,希望对您有所帮助,感谢您对92to.com的支持!
常见函数的展开式:
12)! 1(! ! 21+++++++=n x
n x
x n e n x x x e θ . ) ()!
12() 1(! 5! 3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 246
22cos 1(1) () 2! 4! 6! (2)!
n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . ) (1
) 1(32) 1ln(113
2++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . ) (1112n n x o x x x x
+++++=- +-++=+2!
2) 1(1) 1(x m m mx x m . tanx=x+x /3+(2 x )/15+(17 x )/315+(62 x )/2835+O[x]
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范文五:泰勒展开式
[编辑本段]
泰勒展开式
e的发现始于微分,当 h 逐渐接近零时,计算 之值,其结果无限接近一定值 2.71828...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数.
计算对数函数 的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数为 ,因而有理由使用以 e 为底的对数,这叫作自然对数.
若将指数函数 ex 作泰勒展开,则得
以 x=1 代入上式得
此级数收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是
将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时,由
透过这个级数的计算,可得
由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,
另方面,
所以,
我们不仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是 Hermite 在1873年得到的.
泰勒公式的余项
f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n)是f的n阶导数]
泰勒余项可以写成以下几种不同的形式:
1.佩亚诺(Peano)余项:
Rn(x) = o((x-a)^n)
2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项:
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)
[f(n+1)是f的n+1阶导数,θ?(0,1)]
3.拉格朗日(Lagrange)余项:
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)!
[f(n+1)是f的n+1阶导数,θ?(0,1)]
4.柯西(Cauchy)余项:
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数,θ?(0,1)]
5.积分余项:
Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数]
泰勒简介
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒(Brook Taylor), 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦,获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员,并于两年后获法学博士学位。同年(即1714年)出任 英国皇家学会秘书,四年 后因健康理由辞退职务。1717年,他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要著作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》,书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦(数学家 、天文学家)信中首先提出的著名定理——泰勒定理:式内v为独立变量的增量, 及 为流数。他假定z随时间均匀变化,则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为:这公式是从格雷戈里,牛顿插值公式发展而成 的,当x,0时便称作马克劳林定理。1772年 ,拉格朗日强调了此公式之重要性,而且 称之为微分学基本定理,但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性,因而使证明不严谨, 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创 了有限差分理论,使任何单变量 函数都可展成幂级数;同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用,其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式,开创了研究弦振问题之先 河。此外,此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作,如论述常微分方程的奇异解,曲率 问题之研究等。
1715年,他出版了另一名著《线性透 视论》,更发表了再版的《线性透视原理》(1719) 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系,其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念, 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外,还撰有哲学遗作,发表于1793年。
泰勒公式
泰勒中值定理:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和:
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项。
(注:f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘。)
证明:我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α(根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx?0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx),其中误差α是在limΔx?0 即limx?x.的
前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确;于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式:
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.);P'(x.)=A1,A1=f'(x.);P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此,多项的各项系数都已求出,得:P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有
Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得
Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注:(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间;继续使用柯西中值定理得
Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间;连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得,余项
Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn。
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