相关系数计算公式

范文一：相关系数计算公式

范文二：相关系数计算公式

统计相关系?数简介

由于使用?的统计相关?系数比较频?繁，所以这?里就利用几?篇文章简单?介绍一下这?些系数。

相?关系数:考?察两个事物?(在数据里?我们称之为?变量)之间?的相关程度?。

如果有两?个变量:X?、Y，最终?计算出的相?关系数的含?义可以有如?下理解: ?

(1)、?当相关系数?为0时，X?和Y两变量?无关系。

Y值增大?(减小)，?两个变量为?正相关，相?关系数(2)、?当X的值增?大(减小)?，

在0?.00与1?.00之间?。

(3?)、当X的?值增大(减?小)，Y值?减小(增大?)，两个变?量为负相关?，相关系数?在-1.0?0与0.0?0之间。

相?关系数的绝?对值越大，?相关性越强?，相关系数?越接近于1?或-1，相?关度越强，?相关系数越?接近于0，?相关度越弱?。

通常?情况下通过?以下取值范?围判断变量?的相关强度?:

相关系?数 ? 0.8-?1.0 ? 极强?相关

? ? ? ?0.6-0?.8 ? 强相关?

? ? ? 0.?4-0.6? ?中等程度相?关

? ? ? 0?.2-0.?4 ? 弱相关

? ? ? ? 0.0?-0.2 ? 极?弱相关或无?相关

?Pears?on(皮尔?逊)相关系?数

1?、简介

皮尔?逊相关也称?为积差相关?(或积矩相?关)是英国?统计学家皮?尔逊于20?世纪提出的?一种计算直?线相关的方?法。

假?设有两个变?量X、Y，?那么两变量?间的皮尔逊?相关系数可?通过以下公?式计算: ?

公式一:?

公?式二:

公式三?:

?公式四:

以上?列出的四个?公式等价，?其中E是数?学期望，c?ov表示协?方差，N表?示变量取值?的个数。

2、适?用范围

当两?个变量的标?准差都不为?零时，相关?系数才有定?义，皮尔逊?相关系数适?用于:

?(1)、两?个变量之间?是线性关系?，都是连续?数据。

?(2)、两?个变量的总?体是正态分?布，或接近?正态的单峰?分布。

?(3)、两?个变量的观?测值是成对?的，每对观?测值之间相?互独立。 ?

3、M?atlab?实现

皮尔逊?相关系数的?Matla?b实现(依?据公式四实?现):

?[cpp]? view? plai?ncopy?

func?tion ?coeff? = my?Pears?on(X ?, Y) ? % 本?函数实现了?皮尔逊相关?系数的计算?操作 ?%

%? 输入: ?

% ? X:输入?的数值序列?

% ? Y:输?入的数值序?列

? % ?输出:

% ?coeff?:两个输入?数值序列X?，Y的相关?系数 ?%

?if le?ngth(?X) ~=? leng?th(Y)?

? err?or('两?个数值数列?的维数不相?等'); ?

? retu?rn; ?

end ?

?fenzi? = su?m(X .?* Y) ?- (su?m(X) ?* sum?(Y)) ?/ len?gth(X?);

?fenmu? = sq?rt((s?um(X ?.^2) ?- sum?(X)^2? / le?ngth(?X)) *? (sum?(Y .^?2) - ?sum(Y?)^2 /?

leng?th(X)?)); ?

coef?f = f?enzi ?/ fen?mu; ?

e?nd %函?数myPe?arson?结束

也?可以使用M?atlab?中已有的函?数计算皮尔?逊相关系数?:

[c?pp] v?iew p?lainc?opy

c?oeff ?= cor?r(X ,? Y); ?

4?、参考内容?

Sp?earma?n Ran?k(斯皮尔?曼等级)相?关系数

1、简?介

在统计?学中，斯皮?尔曼等级相?关系数以C?harle?s Spe?arman?命名，并经?常用希腊字?母ρ(rh?o)表示其?值。斯皮尔?曼等级相关?系数用来估?计两个变量?X、Y之间?的相关性，?其中变量间?的相关性可?以使用单调?函数来描述?。如果两个?变量取值的?两个集合中?均不存在相?同的两个元?素，那么，?当其中一个?变量可以表?示为另一个?变量的很好?的单调函数?时(即两个?变量的变化?趋势相同)?，两个变量?之间的ρ可?以达到+1?或-1。

假设两?个随机变量?分别为X、?Y(也可以?看做两个集?合)，它们?的元素个数?均为N，两?个随即变量?取的第i(?1<><><><=n。?随机变量x?、y之间的?斯皮尔曼等?级相关系数?可以由x、?y或者d计?算得到，其?计算方式如?下所示:>

由?排行差分集?合d计算而?得(公式一?):

由排行集?合x、y计?算而得(斯?皮尔曼等级?相关系数同?时也被认为?是经过排行?的两个随即?变量的皮尔?逊相关系数?，以下实际?是计算x、?y的皮尔逊?相关系数)?(公式二)?:

以下是一个计算??集合中元素?排行的例子?(仅适用于?斯皮尔曼等?级相关系数?的计算) ?

这?里需要注意?:当变量的?两个值相同?时，它们的?排行是通过?对它们位置?进行平均而?得到的。

2?、适用范围?

斯皮尔曼?等级相关系?数对数据条?件的要求没?有皮尔逊相?关系数严格?，只要两个?变量的观测?值是成对的?等级评定资?料，或者是?由连续变量?观测资料转?化得到的等?级资料，不?论两个变量?的总体分布?形态、样本?容量的大小?如何，都可?以用斯皮尔?曼等级相关?系数来进行?研究。

3、Ma?tlab实?现

源程序?一:

斯?皮尔曼等级?相关系数的?Matla?b实现(依?据排行差分?集合d计算?，使用上面?的公式一)?

[cp?p] vi?ew pl?ainco?py

fu?nctio?n coe?ff = ?mySpe?arman?(X , ?Y)

?% 本函数?用于实现斯?皮尔曼等级?相关系数的?计算操作 ?

% ?

% 输入?:

%? X:?输入的数值?序列

?% Y?:输入的数?值序列 ?

?% 输出:?

% ? coe?ff:两个?输入数值序?列X，Y的?相关系数 ?

if? leng?th(X)? ~= l?ength?(Y) ?

?error?('两个数?值数列的维?数不相等'?);

? r?eturn?;

e?nd

N ?= len?gth(X?); %得?到序列的长?度

X?rank ?= zer?os(1 ?, N);? %存储X?中各元素的?排行

?Yrank? = ze?ros(1? , N)?; %存储?Y中各元素?的排行 ?

%?计算Xra?nk中的各?个值

?for i? = 1 ?: N ?

?cont1? = 1;? %记录大?于特定元素?的元素个数?

? con?t2 = ?-1; %?记录与特定?元素相同的?元素个数 ?

? for ?j = 1? : N ?

? ?if X(?i) < ?x(j)="" ?="">

? ? c?ont1 ?= con?t1 + ?1;

? ? el?seif ?X(i) ?== X(?j)

? ? ? con?t2 = ?cont2? + 1;?

? ? end ?

? end ?

? Xran?k(i) ?= con?t1 + ?mean(?[0 : ?cont2?]); ? end ?

?%计算Yr?ank中的?各个值 ?

for ?i = 1? : N ?

? cont?1 = 1?; %记录?大于特定元?素的元素个?数

-1; ?%记录与特?定元素相同?的元素个数? ? co?nt2 =?

? for? j = ?1 : N?

? ? if Y?(i)

? ? ?cont1? = co?nt1 +? 1; ?

? e?lseif? Y(i)? == Y?(j) ?

? ? co?nt2 =? cont?2 + 1?;

? ? end?

? end?

? Yra?nk(i)? = co?nt1 +? mean?([0 :? cont?2]); ? end?

%利用差?分等级(或?排行)序列?计算斯皮尔?曼等级相关?系数 ?fenzi? = 6 ?* sum?((Xra?nk - ?Yrank?).^2)?; f?enmu ?= N *? (N^2? - 1)?;

c?oeff ?= 1 -? fenz?i / f?enmu;?

end ?%函数my?Spear?man结束?

源?程序二:

使用Ma?tlab中?已有的函数?计算斯皮尔?曼等级相关?系数(使用?上面的公式?二)

[?cpp] ?view ?plain?copy

?coeff? = co?rr(X ?, Y ,? 'typ?e' , ?'Spea?rman'?); ?

注意:使?用Matl?ab自带函?数计算斯皮?尔曼等级相?关系数时，?需要保证X?、Y均为列?向量;Ma?tlab自?带的函数是?通过公式二?计算序列的?斯皮尔曼等?级相关系数?的。一般情?况下，使用?上面给出的?源程序一是?可以得到所?要的结果的?，但是当序?列X或Y中?出现具有相?同值的元素?时，源程序?一给出的结?果就会与M?atlab?中corr?函数计算的?结果不同，?这是因为当?序列X或Y?中有相同的?元素时，公?式一和公式?二计算的结?果会有偏差?。这里可以?通过将源程?序一中的以?下三行

?[cpp]? view? plai?ncopy?

fenz?i = 6? * su?m((Xr?ank -? Yran?k).^2?);

?fenmu? = N ?* (N^?2 - 1?);

?coeff? = 1 ?- fen?zi / ?fenmu?;

?改为

[?cpp] ?view ?plain?copy

?coeff? = co?rr(Xr?ank' ?, Yra?nk');? %皮尔逊?相关系数 ?

这样?便可以使源?程序一在计?算包含相同?元素值的变?量(至少有?一个变量的?取值集合中?存在相同的?元素)间的?斯皮尔曼等?级相关系数?时，得到与?Matla?b自带函数?一样的结果?。程序一经?过修改过后?同样可以用?来计算一般?变量(两个?变量的取值?集合中

系数。均不?存在相同的?元素)等级?相关间的斯?皮尔曼等级?

?关于皮尔逊?相关系数的?计算可参考?以下文章:?

http?://zh?.wiki?pedia?.org/?zh-cn?/%E7%?9B%B8?%E5%8?5%B3 ? ?

范文三：相关系数计算公式[指南]

范文四：关于偏相关系数的计算公式的一点注记

第卷第期滁州学院学报 ,,,,,,,,,, ,,,

,:,,,,,:,,,,,,:, ,,,,,,,,,,,,,,,,,年月, ,,,,,

关于偏相关系数的计算公式的一点注记

,陈敏琼彭东海

:,,摘要首先对偏相关系数的常用的定义与计算方法作了归纳然后从多元正态分布理论中的条件分布的结论出发推导

,得出通过相关系数阵或协方差阵求逆的方法来计算偏相关系数的公式从而对利用相关系数阵求逆方法计算偏相关系数的

。公式给出了合理的解释

:;;;;关键词偏相关系数多元正态分布条件分布相关系数矩阵求逆

:::::中图分类号 :,,,,, 文献标识码 , 文章编号 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

作者简介 :陈敏琼 ,中山大学新华学院讲师 ,硕士 ,研究方向 :多元统计分析:;彭东海 :广 ,中州山职业技术学院 :广,,,,,, 东中山 :。,,,,,,

基金项目 :中山市软科学研究项目:: 收稿日,,,,,,,,,

:期 ,,,,,,,,,,

:，，在线性关系在对两个变量进行相关分析时可用简 ,,

(，) ,,,,,? ()，,, ,, ，,,, ，，,ε , ,, (，)βββ单相关系数来度量,,, ρ? (), , , , ,,，,，，,，α ,, , βββ它 ()()? ,,,,槡, , ,

。们之间的线性相关程度的强弱当考虑的变量较，，?，，其中给定的条为随机扰动项则在 εα ,,,, : 件下与的偏相关系数的大小可定义为,, ,, ，多时由于任意两个变量之间都有可能存在着相 (，，?)(，) ,,,,,,,,,εα, ρρ，关关系此时两变量呈现出高度相关有可能是由 (，) ，于都与第三个变量存在相关性所表现出来的因 ,,, εα () ,, 此简单相关系数往往并不能真实地反映这两个变 ()()? ,ε,α槡。() 量间的真正关系如我们要研究某商品的需求 ,()若有样本数据则可通过样本数估计得出模型 , ()()，，与价格及收入之间的关系按照经济学理,, (),,，,,，，，?，，，和的残差序列则 ,ε,，α,,,,,,,,，，()，论在一定收入水平下商品的价格越高商?，与, 给定的条件下,, , 的样本偏相关系数 , ,,

()，()()品的需求量就越小即需求与价格之 ,,,:为。，间应该是负相关但在现实经济生活中由于收入 , ，，εα,, ()()，，与价格常都有不断提高的趋势同时收,, ? ,,, (，，?)() ,,,,,,,,,,,, )()，(入的增加也会引起需求的增加此时如果, , ,, ， , , ()，()?不扣除收入的影响仅仅利用需求和价格，,, , , εα?? ,,, ,,,槡 ()，的时间序列数据去计算简单相关系数就有, ,, ,定义设回归模型,

，。可能得出价格越高需求越大的错误结论这时需 ? ,, ,, ，,,,, ，,,,,，,, ，,ε,, ββββ要在固定其他其他变量的影响下来计算两个变量，，?，) (,,,, ,,

(，，?，)，，记的残差平方和为而之间的相关系数大小这种相关系数称为偏相关 , ,, ,,,,,, (，?，)表示去掉变量后建立的新的回 ,, ,,,,, , 。系数因此偏相关系数可以真实地反映出个变 , 归模型，，?，量之中任意两个变量在固定其余,,,,, ? ，，，?，, ,, ,, ，, ,,,，,, ，α,,,,,,, , βββ。个变量的影响下的线性相关程度偏相关系 , ,,, , , “”“”。数也称净相关或纯相关 () ,

，的残差平方和则称偏相关系数常见的几种定义与计算方法, (，，? ，)(，? ，),,,,,,,, , , ,, , ,, , , , ,,定义设变量组 ,,:,，,，? ，,之间存,,, , ,, * , , ,

，，?， , ( ，，?， ) ,,, ,,, ,

,:陈敏琼等关于偏相关系数的计算公式的一点注记 ,,

。为变量的偏决定系数而称此偏关于变量, ,, ::———偏相关系数的计算公式的理论依据基 , ,于多决定系数的平方根元正态分布理论 , , : ，，? ， , ,: ，，? ，槡, ,, , ,, ,, ,, 设，，?，)(，)，若对 (, ,,,′ ,, ,,Σ, , , (，，? ，)(，? ，)μ,, ,, ,, ,,,, ,, ,, , (), , (，，?，) ,,,,, ,,槡 , (), , 进行剖分 , , , ，其中 ,，，?， (,,,,, (,) ( ) () , , (), ，，?，)，，记(,,,,,,′？ , )，，，？？,, ,,′？。为的偏相关系数与变量 , ,, ,, ,() ()() (),公式设有变量组 ,,,, ,, , , ()，()，,,,,, , μ μ ，，?， ,，其 ,,()()(), ,,, )，( ， )，(相关系数阵为 ,,,,, , ,Σ,, , Σ,, , ()()(),,, ( ， )，( ),,, , ,, ,,, , Σ,, , Σ? ,,,,, ,, ,烄,烌 (), ，，由多元正态分布理 Σ, (),()( )? ,,, ,,, ,,Σ,, Σ,, , μ则, μ, , μ ? ? ? ? Σ,, Σ,, ,,, :论知 ? ,, ,, ,烆,,,,烎 () ,(), (，) Σ μ ??,, ,, , ,,, , ？，，，其中表示变量的简单相关系数则 ,,,,,, , , (),, ,, ()(), , )，(，?Σ,, ,Σ,, 其中, ?，，?，，,, , ，Σ,,Σ,, , 变量与在其他变量给定的条μμμ,,,,,,, , , ,, ，:即有,,Σ,, Σ,, :,Σ件下的偏相关系数为 ()(), ,,, ( ) , , ,,Σ,, ,Σ,,Σ,,Σ ,, , (，，，?，，，?，，?),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,，, ρ(), ，由此条件协方差阵可计算在给定的条件下 ,, ,() ,,Δ () ,。中两两指标之间的偏相关系数大小 , , ,, ,ΔΔ槡槡(，，)( ，机向量如设随 , , ,,,,,,′ ,, , ,,,,, ,, ，，，，，μ其中分别为中元素的 , ΔΔΔ,,,,,,其中( , ,,Σσ,,, σ,,,,,,,,, ,, , ×, , ,, ) ， ( 。)，代数余子式 Σ，，)，，， ,,,,, ，，:若要求给定的条件下与的偏相关注由于 , ，,,,, ,, ,, ,, , ,,() ，,, Δ,,,,(),, ,, ,×, , , ，,, ,,，，系数的大小可对进行剖分其中，，?，，() ，, , ,若记 , ,,,,, ,,，，?， (),( ) , ,×, ,, ,,, ():则等价于() ()，, ,, 可剖分则相应的, ，(，),, , ,′, , , , , Σ (，，，?，，，?，，?) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,，, ρΣ,, Σ,, ，其中为) ,Σ , ,, , (Σ,, Σ , , () ,, ，,, ,, σ,, Σ,, , σ,, σ,, ),,槡槡((),, Σ,, , 定义所给出的偏相关系数的定义侧重说明, σ,, σ σ,,

“”，两变量在扣除其他变量的影响之后的纯相关 ()，Σ,, , σ,, σ,,Σ,, ,σ,,

定义所给出的偏相关系数的定义则常在回归分 :,从而有

，析中用来衡量某个自变量对因变量的重要性以

,,(，)(判定该自变量是否需要加入模型中事实上可以 ,,,,,,,,,Σ,, ,Σ,,ΣΣ,, ,, 证明定义的计算公式就是定义所定义的偏相,, σ,, σ,, σ,, , ( ) σ,, σ,, ( ) ,, ,, σ,, σ,,, ，归分析提出的笔者以为回归分析的前提条件是 , 烄烌 σ σ,,σ,, σ,, ，已明确变量之间是具有因果关系的这样定义出 ,, σ ,, σ,, , , ，来的偏相关系数不具有对称性也不符合相关分 ,,, σ,,σ,, σ,, , σ σ,, σ,, 烎烆。析的本质而公式给出的计算公式则没有区分,

故在给定的条件下与的偏相关系数的 ,, ,, ,, ，，变量之间的因果关系因而更合理而且计算上也 :大小为。简便下面笔者将通过分析得出公式所指出的 ,

, ，两变量之间的偏相关系数计算公式事实上是基 σ,, , ,,σ,, σ,, σ ( ， ) ,,,于多元正态分布理论中的条件分布的结论导 , ,,, , ρ , , σ,, 槡槡 , , σ,, σ,, , σ,, σ,, , σ,, 。出的

滁州学院学报年第期 ,, ,,,,,

(), , σ,, σ,, σ,, ，分其中 , , , () ,( ) ?? ,,,,,,σσσσ槡槡?,,,,, σσ槡 (), (), , , ,, , ，)，(, ,,′,σ,, σ,, , ,, (，?，) ,,′, ,, ,,, , ??σ,,σ,,槡 σ,,σ,, 槡记(),?,, ,,,,, ()()ρρρ() ( )， ,, ,,,Σ , ( ， )，, ,,,, , ,,, Σ,, , , , ()()(),,,,,槡,,, 槡,,, ρρ )( ， )，(,,,Σ ,, ,, , Σ,, , ,, ，，其中与表示变量的简单相关系数大小 ,,,, , , ρΣ,, Σ,,烄烌，，，。,则 ,,,, , ，且有 (，，?，) Σ , ,,,,,,, ,,, Σ,Σ,,烆烎，，，?，)(一般地设随机向量 , , ,,,,, ′, , ,,()(),, ),Σ Σ ,,,Σ，(，)，，?，另一方面由若要求在给定的条件下,, ,, ,, Σ,,,Σ,,, , , , μ(,,,

:分块矩阵求逆知识可知，与的偏相关系数的大小可以对进行剖 ,, ,, , ,, ,, ,, ,,,, 烄,, 烌()() Σ,, Σ,,烄烌 ,Σ,, Σ,, Σ,, ,Σ,,Σ,, Σ,, Σ,, ,Σ,,ΣΣ,, ,, ,, , ,,,,,,,,,, )Σ,()()Σ,, Σ,,烆,, ,, ,,,,, ,, ,,,,, ,ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ烎 ,, ,, ,, 烆烎给定的条件下 , ,,,,, 记 ) ，则可知(，，，?，，，?，(?，,, Σ,ΣΣΣ,,,,,,, , ,,×, ,, ,,,,,, ,,,,，,,,，, , ,, ,,,, ，不妨设的偏相关系数 ,, ，?，),,,,,, ,,,,, ,, , , ΣΣΣΣΣ, ,, , , , ( ，，，?，，，? ，，? ) ,×, , ρ, ,,,,,,,, ,，, ,, ,,,, ,,,,,, , () , ,,,，, ，，，，?，，则有 , ,,σ; ,，:,, 从而有 , ,, ,, ,, ,, ,, σσσ,σ, , ,, ,, ,, ,, ,, ,, () () ,,,;;,σσσσ槡槡,,,,,, , ，，，其中分别为的逆矩的协方差阵;;;, Σ,, ,σ ( 、阵 ,, 中的第行第列的元素第行第 ), (，，?),, , , , ,, Σ ,,,,,,,,, , ρ。列的元素及第行第列的元素,, ,, ,, σσ,,, ,, ,,, ,,,槡槡 ()(,而 ,,Σ,, , Σ, ,,,, ,, ,, ,, ,, ) , ,,,,,,,,Σ ,,,,,,,, ,,,,,,Σ , ,,,,, ,σ ,, , ,, ，故有 ,,, ,, σσ槡槡,, ,,,, ,,, , ,, ，，;,σ;,σ;,σ，?，此结论说明在给定的条件下与 ,,,,, ,, , 即

的偏相关系数的大小 (，，，?，，，?，，，?，),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,，, ,, ρ(，，?) ,σ ,,,,,,,,,, ,, ,σ ρ。, ,, ,, σσ,, ,, 槡槡,,,,,, ,, σσ槡槡，，，其中分别为协方差阵的逆矩阵综合上述可知若随机向量 ( ，，?， σσσΣ Σ中 , ,,, , , 、的第行第列的元素第行第列的元素及第,,,, , ,Σ Σ ,′ , , Σ , σ σ)，其中 () (， )，，,, ,,记 ,×, ,, , , μ(。, ,, , ,, 行第列的元素,,,,, , , , Σ, ，，?，，且记， )，， , ,，()，类似若要求变量与不妨设在则在其他变量 ,, ,,, ,, , , , , ,,()σ,×, ，，?，，，?，其他变量，，?，，，?，，，,,,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,，,，,,,， ,, , , ,

，?，的偏相关与给定的条件下 , ,,, , ,,，, ?，给定的条件下的偏相关系数可令, :, 系数大小为

(，，，?，，，?，，?)* , ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,，,,,，, ρ,σ ,, ，，，，?，(),,,,,, , ,, (其中表示单位阵的第行与第行交换所,,, ，,, ,

，得的初等阵表示单位的第行与第行交,,, ,,，,, , , σσ槡槡 ,)。换所得的初等阵则由多元正态分布性质可知，另外由随机向量的相关系数阵与协方, , :, , 差阵的关系， )(Σ* , ,,,,,, ,Σ ,, , μ ,,,,，(，，?，其中 , ,,, ,,,, Σ, σ,, σ,, σ,，槡槡槡 ),, μ μ ,, ,, ,,,,,, ,, )(可知 ,,,,,,, Σ, , , ,,,,,, ，若记 , ,,, ，:则易知 , () , (),×, Σ, ,,,,,Σ,,,,,′ , ,,,,,Σ,,,,,,,,, ,, (:由前面推导结论可知与注此时与 ,, ,,, , ,,, ,, ，，，，?，,,,σ, , , ,

σ,,，，槡 )为向量的第一和第二个指标在变量 , ,,,,

σ,,槡

,:陈敏琼等关于偏相关系数的计算公式的一点注记 ,,

,, ,, :,, 知时可通过样本进行估计通过求或 Σ,:从而可得

:::::再按式或式计算即可若变量只有 , ,,,,:,,,…,,,…,,…:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,，, ρ,,:::。个则更简单按式计算即因可此计算方 ,,,, 但注意前提条件是变量组的联合 , ,,,,,。 ,σ , 便且定义合理 ,σ,σ,, 槡槡 , , ,,, ,, ,, ,, σσ, 槡槡,,槡槡,,, ,, 分布必须服从多元正态分布至于如何验证联合 ,, σ,,σ,槡槡分布是否服从多元正态分布则不是本文讨论的重:: ,, 。点 ,,::。至此公式得证,

,,结论参考文献 ,

,, 李钢关于偏相关系数计算思想的思考 ,,商场现代代,,,,, 本文从多元正态分布理论中的条件分布的

,:中旬刊::,,,,,,,,,,,, ,结论出发论证了公式所提出的两变量之间的 , ,, 王黎明 ,陈颖 ,杨楠应用回归分析,,上海 :复旦大学出版,,,,::。偏相关系数的计算公式的合理性该结论说 ,社 ,:,,,,,,,,,, 明对于联合分布服从多元正态分布的向量组 ,, 郝黎仁 ,樊元 ,郝欧实用统计分析 ,,北京 :中国水,,,,,, ,,,,,… ,,,来说若要求变量组中两两变量 ,, ,, ,, 利水电出版社 ,:,,,,,,,, :“”:,之间的偏相关系数即净相关大小只需知道 ,, 何晓群多元统计分析:第二版:,,北京 :中国人民大学出,,,, :该向量组的协方差阵或简单相关系数阵未 Σ ,版社 ,:,,,,,,,,,,

, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

:,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,, ,

;;;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

:责任编辑刘海涛

范文五：Spearman等级相关系数计算公式相互关系的数学推导

?124?

中国现代药物应用2007年12月第1卷第11期　Chin J Mod D rug App l, Dec 2007, Vol . 1, No . 11

S pear man 等级相关系数计算公式相互关系的

数学推导

李雪云　孙爱峰　何艳频

　【摘要】目的　探讨S pear man 等级相关系数计算公式(一般公式、校正公式和用双变量的秩次直

接作Pears on 积差相关的公式分别用r s 1、r s 2和r s 3表示) 之间的相互关系。方法数学理论证明的方法。结果　①在X 与Y 中无相同秩次的情况下, r s 1=r s 2=r s 3; ②在X 与Y 中有较多相同秩次的情况下, r s 1>r s 2=r s 3。结论　应采用对双变量(X, Y ) 的秩次直接作Pears on 积差相关的公式计算等级相关系数, 推导公式r s 4、r s 5计算等级相关系数。

【关键词】　等级相关系数; 计算公式; 相互关系; 数学推导　　Spear man 等级相关系数(r s ) 有3[1]:

r s 1=1r s 2=

22n (n 21)

d 2[() (3

[(n 2n ) /22X

[(n n /T Y

, 笔者由具体实例得到了“在X

Y 中无相同秩次的情况下, r s 1=r s 3; 在X 与Y 中有较多相同秩次的情况下, r s 2=r s 3”的结论[1], 作者拟从理论上加以证明。1　当X 与Y 中无相同秩次时, r s 1=r s 3的证明

在X 与Y 中无相同秩次时, ΣRx =ΣRy =n (n +1) /2, ΣR x 2=ΣRy 2=n (n +1) (2n +1) /6, ΣR x 22(ΣRx ) 2=ΣRy 22

222

(ΣRy ) 2=(n 21) n (n +1) /12, Σd =Σ(Rx 2Ry ) =ΣRx 2ΣRxR y +ΣRy 2=n (n +1) (2n +1) /32ΣRxRy 。于是22

r s 3=

Σ(R ) ()

[Σ(R X 2R Y ) ][Σ(R X 2R Y ) ]

式中:Rx (Ry ) 为对变量值X (或Y ) 所编秩次; d 为每对

变量值(X, Y ) 的秩次之差; n 为对子数; T X (或T Y ) =Σ(t 32t ) /12, t 为X (或Y ) 中相同秩次的个数。

2r s 1=

(n 2(n 21) n (n +1) 1) n (n +1)

ΣRxRy 2n (n +1) () r s 3=(n 2(n 21) n (n +1) /121) n (n +1)

　　所以, 当X 与Y 中无相同秩次时, r s 1=r s 3。别记为Tx 、Ty, 则ΣRx 2(ΣRx ) =(n 21) n (n +1) /122Tx,

222

ΣR y 2(ΣR y ) =(n 22　当X 与Y 中有较多相同秩次时, r s 2=r s 3的证明1) n (n +1) /122Ty, Σd =n (n +1) (2n +

ΣRxR y 。于是在X 与Y 中有较多相同秩次时, 对秩和没有影响, 但使1) /32(Tx +Ty ) 22

ΣRx 2、ΣRy 2的减少值分秩次的平方和减少了Σ(t 32t ) /12[2]。

(n 3) (+Y ) 2[n (n +1) (2n +1) /32(Tx +Ty ) 2ΣRxRy 22　r s 2(n 2) () () () (n 21n n +1/622T X n 21n n +1/122Ty 1) n (n +1) /622Tx (n 21) n (n +1) /622Ty 　r s 3=

ΣR xR y 2n (n +1) 2(n 21) n (n +1) /122Tx

(n 21) n (n +1) /6222Ty

() 2(n 21) n (n +1) /622Tx

(n 21) n (n +1) /622Ty

　　所以, 当X 与Y 中有较多相同秩次时, r s 2=r s 3。

由以上推导可以看出, 不论X 与Y 中有无相同秩次, 均可用r s 3计算等级相关系数; 当X 与Y 中无相同秩次时, 亦可用r s 4计算等级相关系数:

r s 4=

2n (n 21)

当X 与Y 中有较多相同秩次时, 亦可用r s 5计算等级相关系数:

r s 52(n 21) n (n +1) /622Tx

(n 21) n (n +1) /622Ty

双变量(X, Y ) 编写的秩次RX 、RY 直接作Pears on 积差相关系

数公式计算等级相关系数。这样, 教师在讲授或统计学爱好者自学等级相关系数计算公式时, 只需简单回顾或复习一下Pears on 积差相关系数的计算公式即可, 计算时只需将两变量的对应秩次输入计算器或Office 系列组件Excel 即能求得等级相关系数, 或者求得ΣRxRy (及Tx 、Ty ) 代入公式r s 4或r s 5可分别计算无和有相同秩次时的等级相关系数。这样, 学习者更容易理解, 更容易掌握, 起到触类旁通、

融会贯通的作用[1]。

参考文献

1　何艳频, 孙爱峰. Spear man 等级相关系数计算公式及其相互关系

因此, 求得ΣRxR y (及Tx 、Ty ) 后, 代入公式r s 4或r s 5可分

别计算无和有相同秩次时的等级相关系数。

建议在编写“等级相关”计算公式内容时, 采用r s 3即对

　　作者单位:133300吉林省珲春市卫生局卫生监督所(李雪云) ; 白城卫生职工中等专业学校(孙爱峰　何艳频)

的探讨. 中国现代实用药物应用, 2007, 1(7) :72273.

2　赵欣涛, 王广仪. 关于相同秩次的校正问题. 中国卫生统计, 1993,

10(2) :47.

转载请注明出处范文大全网 » 相关系数计算公式