据说开天辟地的是你爹
范文一：泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题2012
1．在实数轴R 上，令d (x , y ) =|x -y |p ，当p 为何值时，R 是度量
空间，p 为何值时，R 是赋范空间。
解：若R 是度量空间，所以?x , y , z ∈R ，必须有：
d (x , z ) ≤d (x , y ) +d (y , z ) 成立
即|x -z |p ≤|x -y |p +|y -z |p ，取x =1, y =0, z =-1， 有2p ≤1p +1p =2，所以，p ≤1
若R 是赋范空间，d (x , 0) =||x ||=|x |p ，所以?x , k ∈R ， 必须有：||kx ||=|k |?||x ||成立，即|kx |p =|k ||x |p ，p =1， 当p ≤1时，若R 是度量空间，p =1时，若R 是赋范空间。
2．若(X , d ) 是度量空间，则d 1=min(d , 1) ，d 2=为度量空间。
解：由于(X , d ) 是度量空间，所以?x , y , z ∈X 有： 1）d (x , y ) ≥0，因此d 1(x , y ) =min(d (x , y ), 1) ≥0
和d 2(x , y ) =
且当x =y 时d (x , y ) =0，
d (x , y ) 1+d (x , y )
d (x , y ) 1+d (x , y )
≥0
d 1+d
也是使X 成
于是d 1(x , y ) =min(d (x , y ), 1) =0和d 2(x , y ) =以及若
=0
d 1(x , y ) =min(d (x , y ), 1) =0或d 2(x , y ) =
d (x , y ) 1+d (x , y )
=0
均有d (x , y ) =0成立，于是x =y 成立 2）d (y , x ) =d (x , y ) ，
因此d 1(y , x ) =min(d (y , x ), 1) =min(d (x , y ), 1) =d 1(x , y ) 和d 2(y , x ) =
d (y , x ) 1+d (y , x )
=
d (x , y ) 1+d (x , y )
=d 2(x , y )
3）d (x , z ) ≤d (x , y ) +d (y , z ) ，因此
d 1(x , z ) =min(d (x , z ), 1) ≤min{d (x , y ) +d (y , z ), 1} ≤min(d (x , y ), 1) +min(d (y , z ), 1) =d 1(x , y ) +d 1(y , z )
以及设f (x ) =
x 1+x
，f '(x ) =
1(1+x )
2
>0，所以f (x ) 单增，
所以d 2(x , z ) =
d (x , z ) 1+d (x , z )
≤
d (x , y ) +d (y , z ) 1+d (x , y ) +d (y , z ) d (y , z )
=
d (x , y )
1+d (x , y ) +d (y , z ) d (x , y ) 1+d (x , y )
+
1+d (x , y ) +d (y , z )
≤+
d (y , z ) 1+d (y , z )
=d 2(x , y ) +d 2(y , z )
d 1+d
综上所述d 1=min(d , 1) 和d 2=
均满足度量空间的三条件，
故d 1(x , y ) 和d 2(x , y ) 均使X 成为度量空间。
3．设H 是内积空间，x n , x , y n , y ∈H ，则当x n →x ，y n →y 时，
(x n , y n ) →(x , y ) ，即内积关于两变元连续。
解：H 是内积空间，设||?||是由其内积导出的范数，由于x n →x ，
y n →y ，
所以?ε>0，?n 0使得当n >n 0时均有||x n -x ||<>
||y n -y ||<>
同时由于y n →y ，故知y n 有界，x ∈H 所以||x ||有限。因此可取
M =sup (||x ||,||y n ||)
1≤n ≤∞
因此|(x n , y n ) -(x , y ) |=|(x n , y n ) -(x , y n ) +(x , y n ) -(x , y ) |
≤|(x n , y n ) -(x , y n ) |+|(x , y n ) -(x , y ) |=|(x n -x , y n ) |+|(x , y n -y ) |
≤||x n -x ||?||y n ||+||x ||?||y n -y ||≤|M |x n -x ||+M ||y n -y ||≤2M ε
故lim{(x n , y n ) -(x , y )}=0，即(x n , y n ) →(x , y )
n →∞
4．设X , Y 是线性赋范空间，T :X →Y 是线性算子，则T 不是连续的，当且仅当?x n ∈X ，使得x n →0，但||Tx n ||→∞
解：设T 不是连续的，则T 在X 上的每一点x 0都不是连续的，因此在点x 0=0也不是连续的。则T 在包含X 上0点的任何有界邻域内
均无界，
取S 1=O (0, ) ?X ，则T 在S 1上无界，因此?x 1∈S 1，
21
使得||Tx 1||>1成立。 取S 2=O (0,
12
2
) ?X ，则T 在S 2上无界，因此?x 2∈S 2，
使得||Tx 2||>2成立。 类似地过程一直进行，直到 取S n =O (0,
12
n
) ?X ，则T 在S n 上无界，因此?x n ∈S n ，
使得||Tx n ||>n 成立。
因此，?x n ∈X ，使得x n →0，但||Tx n ||→∞
另外，如果有x n ∈X ，当x n →0，有||Tx n ||→∞
由于在Y 上不能找到一点y ∈Y ，使得||Ty ||=∞，因此对所有的点y ∈Y ，均无法使得||Ty ||=∞成立，因此，在条件x n →0下，对于所有的点y ∈Y ，||Tx n ||→Ty 均不成立。所以T 在X 上的0点不是连续的，故T 不是连续的。
p p
5．对于每个有界序列(αn ) ，定义线性算子T :l →l ，
(x 1, x 2, ) |→(α1x 1, α2x 2, )
求||T ||=?
解：由于(αn ) 有界，所以有M >0，使得M =sup |αn |
n
∞
对于?x =(x 1, x 2, ) ∈l ，||x ||=
∞
p
p p
∑|x
i =1
i
|
p
<>
从而
∑|x
i =n +1p p
i
|
p
<>
p
∞∞
i
||Tx ||=
∑|α
i =1
x i |≤M
p p
∑|x
i =1
i
|
p
=M
p
p
||x ||p <>
||Tx ||≤M ||x ||，从而||T ||≤M
另外，有(αn ) 有界序列，设M =sup |αn |，
n
则对?ε>0，有n 0，使得|αn |>M -ε>0
可取x (n ) =(0, 0, , snga n , ) ∈l p ，所以||x (n ) ||=1
n
∞
||Tx
(n )
||=
p
p
∑|α
i =1
i
x i |
p
因此||Tx =|αn 0|，
p (n )
||p =|αn 0|=M -ε
||T ||>M -ε，由于ε的任意性，于是有||T ||≥M 成立
综上所述有||T ||=M =sup |αn |
n
6．我们知道有命题：对于算子序列T n ，若||T n -T ||→0，则?x ∈X ，
||T n x -Tx ||→0。此命题的逆命题不成立。
22
试考虑算子序列T n :l →l ，
T n (x 1, x 2, , x n , x n +1, ) =(x 1, x 2, , x n , 0, ) 。
∞
2
12
解：?x =(x n ) ∈l ，||x ||=(∑|x n |) 2<>
n =1
∞
2
1
所以(∑|x n |) 2→0（n 0→∞）
n =n 0
取Tx =x ，Tx -T n x =(0, 0, , 0, x n +1, x n +2, ) ，
∞
1
k
我们有||T n x -Tx ||=(
∑|x
k =n +1
|) 2→0（n →∞）
2
另外，对每个固定的n ，我们都可以找到一个元素
e n +1
n +1
2
=(0, 0, , 0, 1, 0, ) ∈l ，
有||e n +1||=1，但Te n +1-T n e n +1=e n +1，
||Te n +1-T n e n +1||=||e n +1||=1
因此||T n -T ||≥1，?n ，故||T n -T ||→0不成立。
7．设X , Y 是线性赋范空间，T :X →Y 是线性算子，则G (T ) 闭，当且仅当?x n ∈X ，使得x n →0，y n =Tx n →y 时，有y =0。
解：G (T ) 闭，即有?x n ∈X ，x n →0，则?y =T 0=0∈Y ，使得y n =Tx n →y =0
另外，当?x n ∈X ，x n →0，使得y n =Tx n →0 因此对于?x n ∈X ，x n →x ∈X ，取?z n =x n -x ∈X ， 有z n =x n -x →0，
于是有Tz n =T (x n -x ) =Tx n -Tx →0，即Tx n →Tx ， 所以G (T ) 闭
*1*1
8．证明c 0=l ，其中f ∈c 0时有序列(ηn ) ∈l 使得
∞
f (x ) =
∑η
n =1
n
x n ，?x =(x n ) ∈c 0
解：c 0是所有极限为0的序列全体的集合，范数||x ||=sup |x i |，
i
在c 0中取基元集
F ={e n |e n =(0, 0, , 0, 1, 0, ), n =1, 2, }
n
n
则对?x =(x 1, x 2, , x n , ) ∈c 0，有x =lim
n →∞
∑x e
i
i =1
i
*
设f ∈c 0，记ηi =f (e i ), i =1, 2, ，所以有
n n
f (x ) =f (lim
n
n →∞
∑
i =1
x i e i ) =lim f (∑x i e i )
n →∞
i =1
∞
n
x i ηi
=lim
n →∞
∑
i =1
x i f (e i ) =lim
n →∞
∑
i =1
x i ηi =
∑
i =1
取x 则x
(n )
=(e
-i θ1
, e
-i θ2
, , e
-i θn
, 0, ) ，其中θi =arg ηi ，
(n )
∈c 0
n
n
-i θi
且||x
(n )
||=1，f (x
(n )
) =
∑e
i =1
ηi =
∑|η
i =1
i
|，所以
n
∑|η
i =1
i
|≤|f (x
(n )
) |≤||f ||?||x
(n )
||≤||f ||
令n →∞，即得η=(η1, η2, , ηn , ) ∈l 1，
∞
且||η||=
∑|η
i =1
i
|≤||f ||
再证反向不等式。对?x =(x 1, x 2, , x n , ) ∈c 0， 对每个η=(η1, η2, , ηn , ) ∈l 1
∞
定义f (x ) =
∑x η
i
i =1
i
，则f 是c 0上的线性泛函，且有
∞∞
|f (x ) |=|∑x i ηi |≤sup |x i |?|∑ηi |=||x ||?||η||
i =1
i
i =1
*
所以f ∈c 0，且||f ||≤||η||。综合两个不等式得||f ||=||η||
映射
T :c 0→l ,
f →(f (e 1), f (e 2), , f (e n ), ) =(η1, η2, , ηn , )
∞
*1
使得?x =(x 1, x 2, , x n , ) ∈c 0，有f (x ) =
*1
则T 线性保距同构映射，因此c 0=l
∑x η
i
i =1
i
成立
9．设H 是Hilbert 空间，{x n }是H 中正交集，则以下三条等价；
∞
∞
∞
1）∑x n 收敛，2）?y ∈H ，∑(x n , y ) 收敛，3）∑||x n ||2收敛
n =1
n =1
n =1
∞
m
解：已知∑x n 收敛，取s m =1) ?2) ，
n =1
∑x
n =1
n
||s m ||，则s m 收敛，
收敛于有限数。
m m
则，?y ∈H ，|∑(x n , y ) |=|(∑x n , y ) |=|(s m , y ) |≤||s m ||?||y ||
n =1
n =1
∞
所以∑(x n , y ) 收敛。
n =1
∞
2) ?3) ，已知?y ∈H ，∑(x n , y ) 收敛，即?y ∈H ，
n =1
m
标量列αm =
m
∑(x
n =1
n
, y ) 收敛，
取y =
∑x
n =1
n
，
m m n
i
m m
n
此时αm =
∑(x , ∑x
n =1
i =1
) =
∑(x
n =1
, x n ) =
∑||x
n =1
n
2||
∞
由标量列αm 收敛，从而∑||x n ||2收敛。
n =1
∞
m
2
3) ?1) 若∑||x n ||收敛，则标量列αm =
n =1
∑||x
n =1
n
||收敛
2
m
||s m ||=||
2
m
∑
n =1m
x n ||=(∑x n , ∑x n )
n =1m
n =1
2
m m
设s m =
∑
n =1
x n ，则
=
m
∑(x n , ∑
n =1
n =1
x n ) =
∑||x n
n =1∞
||=αm
2
由标量列αm 收敛，得s m 收敛，即∑x n 收敛。
n =1
10．设|λ|<1，考虑c [0,="" 1]上的积分方程x="" (s="" )="λ?sin" x="" (t="" )="" dt="" +y="" (s="">
01
其中y ∈C [0, 1]，证明此方程存在唯一连续解。
解：由于C [0, 1]是完备的，映射T :C [0, 1]→C [0, 1]，Tx (s ) =λ?sin x (t ) dt +y (s ) ，所以
01
Tx 1(s ) -Tx 2(s ) =λ?sin x 1(t ) dt -λ?sin x 2(t ) dt =λ?[sinx 1(t ) -sin x 2(t )]dt
111
|Tx 1-Tx 2|=|λ|?|?[sinx 1(t ) -sin x 2(t )]dt |≤|λ|?|sin x 1(t ) -sin x 2(t ) |dt
11
≤|λ|
?|x
1
1
(t ) -x 2(t ) |dt ≤|λ|?||x 1-x 2||
因为|λ|<1，所以映射t :c="" [0,="" 1]→c="" [0,="" 1]是压缩映射="" 由不动点原理，y="" ∈c="" [0,="" 1]，存在唯一的一个x="" *∈c="" [0,="" 1]，="" 使得x="" (s="" )="λ?sin" x="" (t="" )="" dt="" +y="" (s="">
*
1
*
11．考虑C [a , b ]上的非线性积分方程
x (s ) =λ?K (t , s , x (t )) dt +?(s )
a b
其中?∈C [a , b ]，K (t , s , ω(s )) 是[a , b ]?[a , b ]?R 的连续函数，满足
|K (t , s , ω1(s )) -K (t , s , ω2(s )) |≤k ||ω1-ω2||
证明当|λ|足够小时，此方程存在唯一解x 0∈C [a , b ]。 解：由于C [a , b ]是完备的，
映射T :C [a , b ]→C [a , b ]，Tx (s ) =λ?K (t , s , x (t )) dt +?(s )
a b
所以Tx 1(s ) -Tx 2(s ) =λ?K (t , s , x 1(t )) dt -λ?K (t , s , x 2(t )) dt
a
a
b b
|Tx 1-Tx 2|=|λ|?|
?
b
a
[K (t , s , x 1(t )) -K (t , s , x 2(t ))]dt ≤|λk |(b -a ) |x 1-x 2|
所以，当|λk |(b -a ) <1时，映射t :c="" [a="" ,="" b="" ]→c="" [a="" ,="" b="">
由不动点原理，??∈C [a , b ]，存在唯一的一个x *∈C [a , b ]， 使得x *(s ) =λ?K (t , s , x *(t )) dt +?(s )
a b
12．验证：（1）开球O (x 0, r ) ={x ∈X ; d (x , x 0)
（2）闭球S (x 0, r ) ={x ∈X ; d (x , x 0) ≤r }是闭集。 解：（1）?y ∈O (x 0, r ) ，则d (y , x 0) =a
r -a 2
) ?O (x 0, r ) ，
即O (x 0, r ) 是开集，故，开球O (x 0, r ) 是开集。
（2）?y S (x 0, r ) ，则d (y , x 0) =a >r ， 所以，O (y ,
a -r 2
) ?(S (x 0, r ))
C
，
即(S (x 0, r )) C 是开集，故，闭球S (x 0, r ) 是闭集。
13．证明：有界数列集合组成的空间l ∞是完备的。
(n ) (n )
, x 3, ) ，空解：取{x n }是空间l ∞中的基本点列，x n =(x 1(n ) , x 2
间l ∞的度量取
ρ(x , y ) =sup |x i -y i |，?x =(x i ) ∈l ∞，y =(y i ) ∈l ∞
i
由于取{x n }是空间l ∞中的基本点列，所以?ε>0, ?N >0，当
m , n >N 时，有
ρ(x m , x n ) =sup |x i
i
(m )
-x i
(n )
|<>
对每个固定的i ，当m , n >N 时，有|x i (m ) -x i (n ) |<ε （1）="" 所以，数列(x="" i="" (1)="" ,="" x="" i="" (2)="" ,="" x="" i="" (3)="" ,="" x="" i="" (4)="" ,="" )="" 是c="" 中的收敛列，即当m="" →∞时，x="" i="" (m="" )="" →x="" i="">
由此得，x =(x 1, x 2, x 3, x 4, )
由（1）中，令n →∞，则当m >N 时，有|x i (m ) -x i |≤ε。 又因为x m ={x i (m ) }∈l ∞，故存在实数k m ，对所有的i ， 满足|x i (m ) |≤k m 从而对每个i 有
|x i |≤|x i -x i
(m )
|+|x i
(m )
|≤ε+k m
即{x i }是有界数列，x ={x i }∈l ∞，又|x i (m ) -x i |≤ε 有ρ(x m , x ) =sup |x i (m ) -x i |≤ε
i
故当当m →∞时，x i →x ，所以l ∞是完备的度量空间。
14．证明：l p (1≤p <∞)>
解：考虑集合B ={(r 1, r 2, , r n , 0, ); r i ∈Q , n >1}，即B 是由至多有限个坐标不为0，且坐标都是有理数的元素构成。因此，B 是可数集。
p
对于?x =(x i ) ∈l ，有∑|x i |) <∞，所以?ε>0, ?N >0，当
p
∞
i =1
∞
n >N 时，
∑|x i |) <(2) ，有有理数的稠密性，可取得r="" 1,="" r="" 2,="" ,="" r="" n="">
i =n +1
ε
p
ε
p
使得∑|x i -r i |p ) <()>
i =1
n
2
令y =(r 1, r 2, , r n , 0, ) ∈B ?l p 。且
∞
n
p
1/p
∞
p
||x -y ||=(∑|x i -y i |)
i =1
n
∞
p
1/p
=(∑|x i -r i |+
i =1
∑|x
i =n +11/p
i
|)
p 1/p
=(∑|x i -r i |)
i =1
+(
∑|x
i =n +1
i
|)
p 1/p
<(2()>
2
ε
p
<>
即B 在l p (1≤p <∞) 中稠密。依定义知l="" p="" (1≤p=""><∞)>
15．举例说明：在完备度量空间上的压缩映射具有唯一的不动点的结论中，若将压缩映射改为满足d (Tx , Ty )
解：例如，T :R →R ，Tx =x +
π
2
-arctan x ，
于是由微分中值定理得：在x 和y 之间存在ξ使得
Ty -Tx =y +
π
2
-arctan y -x -
π
2
+arctan x
=y -x -arctan y +arctan x
=(y -x ) -(y -x )
11+ξ
2
=(y -x )
ξ
22
1+ξ
因此d (Tx , Ty ) =|Ty -Tx |<|y -x="" |="d" (x="" ,="" y="" )="" 成立，但其不存在不动点，否则若有不动点，那么必有tx="x">
故若将压缩映射改为满足d (Tx , Ty )
π
2
=arctan x 成立，
16．证明c *=l 1，其中f ∈c *时有序列(αn ) ∈l 1和k ∈Φ使得
∞
f (x ) =k lim x n +
n →∞
∑α
n =1
n
x n ，?x =(x n ) ∈c
解：c 是所有收敛序列全体的集合，范数||x ||=sup |x i |，在c 中
i
取基元集
F ={e n |e n =(0, 0, , 0, 1, 0, ), n =1, 2, }，
n
e 0=(1, 1, , 1, ) ∈c
n
对?x =(x 1, x 2, , x n , ) ∈c ，有x =lim
x 0，即x 0=lim x n ，
n →∞
n →∞
∑x e
i
i =1
i
且x n 收敛于
取=(x 0, x 0, , x 0, ) ∈c ， 则x -∈c 0
设f ∈c ，记ηi =f (e i ), i =1, 2, ， 对k ∈Φ所以有
n
∞
i
*
f (x ) =kx 0+lim
n →∞
∑x
i =1-i θ2
f (e i ) =kx 0+
-i θn
∑x η
i
i =1
i
取x (n ) =(e
x
(n )
-i θ1
, e , , e
, 0, ) ，其中θi =arg ηi ，则
n
-i θi
∈c 0?c
n
且||x
n
(n )
||=1，f (x
(n )
(n )
) =
∑e
i =1
ηi =
∑|η
i =1
i
|，所以
∑|η
i =1
i
|=|f (x ) |≤||f ||?||x
(n )
||=||f ||
1
令
∞
n →∞，即得
η=(η1, η2, , ηn , ) ∈l
，且
||η||=
∑|η
i =1
i
|≤||f ||
再证反向不等式。对?x =(x 1, x 2, , x n , ) ∈c ，对每个η=(η1, η2, , ηn , ) ∈l
∞1
定义f (x ) =k lim x n +
n →∞
∑x η
i
i =1
i
，则f 是c 上的线性泛函，且有
x -∈c 0
∞
f () =kx 0+
∑x η
i =1
i ∞
∞
i
i
|f (x ) |=|k lim x n +
n →∞
∑x η
i =1∞i =1
|≤|k lim x n |+|∑x i ηi |
n →∞
i =1
≤sup |x i |?(|k |+|∑ηi |)=||x ||?(|k |+||η||)
i
*
所以f ∈c 0，且||f ||≤||η||。综合两个不等式得||f ||=||η|| *1
映射T :c 0→l , f →(f (e 1), f (e 2), , f (e n ), ) =(η1, η2, , ηn , )
∞
使得?x =(x 1, x 2, , x n , ) ∈c 0，有f (x ) =
*1
=l 则T 线性保距同构映射，因此c 0
∑x η
i
i =1
i
成立
17．求空间C [-1, 1]上的线性泛函f (x ) =
?-1
x (t ) dt -
?0x (t ) dt
1
的范数。
解：空间C [-1, 1]上的范数为||x ||=m ax (|x (t ) |)，所以
-1≤t ≤1
?x (t ) ∈C [-1, 1]有
|f (x ) |=|?x (t ) dt -
-10
?0
1
x (t ) dt |≤
?-1
|x (t ) |dt +
?0|x (t ) |dt
1
≤(?dt +
-1
max |x (t ) |≤2||x |||?0dt ) -
1≤t ≤1
1
可知f 是有界线性泛函，且||f ||≤2， 另一方面，取
?1?
x n (t ) =?-nt
?-1?
t ∈[-1, -1/n )
t ∈[-1/n , 1/n ]，知x n (t ) ∈C [-1, 1]，且||x n (t ) ||=1 t ∈(1/n , 1]
1
于是
f (x n ) ==
?-1
x n (t ) dt -
?0x n (t ) dt ?0
1/n
?-1
-1/n
dt -
?-1ntdt /n
+
ntdt +?dt =2-1/n →2
1/n
1
从而||f ||=2
18．设H 是可分的Hilbert 空间，证明是H 中任一规范正交基至多是
可列的。
证明：有题设知H 是可分的，故必有H 的开列子集{x n }，且{x n }在H 中稠密，
设F ={e λ|λ∈Λ}是H 中的一组规范正交基，考察以一切e λ为球心，1/
2为半径的球簇，则若F 不是可列的，球簇也不是可列的。于是
至少某两个球簇含有同一个x k ，即有x k ∈{x n }λ, λ'∈F 使得 ||x k -e λ||<1>
2，||x k -e λ'||<1>
2
2
于是||e λ-e λ'||≤||x k -e λ||+||x k -e λ'||<>
||e λ-e λ'||=||e λ||+||e λ'||=1+1=2
2
2
2
这样导出矛盾，故F 是可列的。
19．设F ={e λ|λ∈Λ}是内积空间H 中的一组规范正交基，证明：
?x ∈H ，x 关于F 的Fourier 系数{(x , e λ) |λ∈Λ}中至多只有可列多
个不为零。
?x ∈H ，证明：依照Bessel 不定式，在F 中任取n 个元素e 1, e 2, , e n ，
n
2
2
则有∑|(x , e i ) |≤||x ||
i =1
于是在F 中使得|(x , e i ) |≥||x ||/n 的e i 只有有限个。
∞
记F n ={e λ|λ∈Λ，且|(x , e i ) |≥||x ||/
n }，显然有E =
F
n =1
n
，则
(x , e λ) =0，E 显然是可列集，且当e λ∈(F -E ) 时，即在x 关于F 的
Fourier 系数中非零项至多可列个。
范文二：2010级研究生泛函分析考试题
2010级研究生《现代分析》综合作业
1. Let H be a Hilbert space, 1
{}
n n h ∞=?H
such that
1
n n h ∞
=<>
∑
. Prove that: the
series
1
n
n h ∞
=∑ is convergent.
2. Let H be a Hilbert space, 1
{}() n n T B ∞=?H , ) )((0H ∈?∞→→x n x T n . Show that: ) (0H B K ∈?, 0n T K →.
3. Let H be a Hilbert space. If () A B ∈H commutes with every ) (0H B K ∈,
prove that: , A I λ= where λ∈C .
4. Let H be a Hilbert space, H ∈y x , . Prove that
x y x y x y λ+=+?=, or, y x μ=for some , 0λμ≥.
5. Let X Y , be Banach spaces and () A B ∈X, Y . Prove that: there exists a
constant 0c > with () Ax c x x ≥?∈X if and only if ker {0}A = and
ran ran A A =.
6. Let f be a linear functional on a normed linear space X . Show that f is
continuous if and only if ker() f is closed.
7. Suppose that () V B ∈H is an isometry which is not a unitary operator. Show that :() {:1}V z z σ=∈≤C .
8. Let , X Y be normed spaces, () T B ∈X, Y and one of , X Y is finite
dimensional. Show that: T is compact.
9. Let () A B ∈H be a normal operator such that inf{:, 1}:0Ax x x a ∈==>H .
Show that A is invertible and 11A a --=.
10. Let H be a Hilbert space, H M ≤. Prove that ⊥
=-M M P P I .
11. Let V be an inner product space over F and ) (, ||||V x x x x ∈???=. Show
that
(1) V y x ∈?, , we have
(
)2
22
2
||
||||||2||||||||y x y x y x +=-++.
(2) If ) (, , , N ∈∈n V y x y x n n with ) (, ∞→→→n y y x x n n , then
??=??∞
→y x y x n n n , , lim .
12. Let ||)||, (?V be a normed linear space over F . Show that
(1) the norm is continuous, that is,
) (||||||||) (∞→→?∞→→n x x n x x n n ;
(2) the addition is continuous, that is,
)
() (, ∞→+→+?∞→→→n y x y x n y y x x n n n n .
13. Prove that a normed space X over F is complete if and only if
?
∞<>
=1
, }{n n n x X x ∑∞
=1
n n
x converges.
14. Define R →], [:b a C f as ?
=
b a
t
t x x f d ) () (. Prove that f is a bounded linear
functional on ) ],, [(∞?b a C
with a b f -=.
15. Let Y X , be Banach spaces over F with 0≠X . Prove that ) , (Y X B is complete if and only Y is complete.
16. Let ) , (00K H B T ∈. Show that ) , (00*H K B T ∈ and
) (ran dim ) (ran dim *
T T =.
17. Let H be a Hilbert space, ) (, , H H C B A ∈ such that
*
*
, , C
C B B iC B A ==+=. Show that i
A A C A A B 2, 2
*
*
-=
+=
.
18. Let 22:l l S → be given by ) , , , 0() , , (2121 x x x x S =. Prove that ) (2l B S ∈ and find *S , **, SS S S .
19. Suppose that H is a Hilbert space over C with a basis }, , , , {21 n e e e ,
C
?∞
=1}{n n a such that ∞<=≥||sup>
n n a M . Define
n
n n n n n n e c a e c A ∞=∞=∑=∑1
1
, H e c n n n ∈∑?∞
=1
.
Prove that
(1) H H A →: is well-defined and linear. (2) H H A →: is bounded with M A =.
(3) H H A →: is compact if and only if ) (0∞→→n a n .
20. Let H be a Hilbert space, ) (, H H B A ∈ and let H H H H B A ⊕→⊕⊕: be given by
H y x By Ax y x B A ∈?=⊕, ), , () , )((. Prove that ) (H H B B A ⊕∈⊕ with , max{B A B A =⊕.
范文三：高考试题分析
高考英语试题分析
徐晶
2014年高考完美落幕。就英语而言，同学们反应都颇为乐观。下面我将就今年的英语试卷谈下自己的一点浅见。
试卷结构：2014年英语高考试卷在题型方面的一个重要变化是取消了延续多年的15个单项选择题，代之以语篇形式出现的10个语法填空题。试卷由四大部分组成：听力(30分) 、阅读(40分) 、语言知识运用(55分) ，其中完形填空30分，语法填空15分；写作(35分) ，包括短文改错10分和作文25分两小节。
阅读理解
阅读理解包括两小节，第一节有4个阅读篇目，第一篇为记叙文，第二篇为环保类说明文，第三篇为社会文化类说明文，第四篇为广告。第二节七选五为建议类说明文。
第一节考查范围既包括对内容细节、词义、句义的理解，也包括一定的逻辑推理、判断和概括能力。其中考查事实性信息的题约占三分之一。另有主旨大意1题，根据上下文猜词1题，根据上下文推断2题。可以看出，第一节对阅读理解考查的重点除了获取细节或事实性信息外，还关注到了逻辑推理、概括总结和辨别文体特征等能力。第二节的阅读任务更注重对语篇整体意义、逻辑关系和内在连贯等综合阅读能力的把握。如果学生平时仅关注句子层面的语法和词汇学习，则很难在这里获得高分。
这种阅读测试方式有利于改变传统的以语法和词汇为重心的教学模式，要求学生平时要多阅读不同题材和体裁的英文文章，特别注意根据所读内容，思考个体与他人、人与自然、人与社会的关系，从不同角度理解人类经验。教师在教学中应特别注重英语教育的人文属性，提升学生的人文素养和逻辑思辨能力。 英语知识运用
本部分试题两小节中的第一节为完形填空，重点考查词汇运用。其所设的词汇选项并不拘泥于考查考生对词汇本身的理解，还侧重考查考生的语篇层面理解和词汇运用能力。同时，完形填空第30题，weight 一词，连续三年出现在高考完型填空中，且均为正确选项。这一现象充分体现了深度研究高考真题的意义和价值所在。也提醒了广大师生英语的学习绝不是简单对单词的记忆，而是在语境中的应用。
第二节的语法填空题为今年的新题型。采用语篇填空形式，文章的内容和语言都不难，侧重考查学生对语篇深层信息的理解，以及在语境中综合运用语言的能力。填空形式不同于过去的单选，而是要求学生或根据所给选项写出正确的词性或词形，或根据上下文自己补充完整，这样的语法考查方式，考生仅靠记忆或孤立的语法知识学习是无法完成的。事实上，每个语法知识都有其特定的表意功能，只有将语法知识运用到所表达的语言意义中，才能真正做到有效运用语法知识，这恰恰体现了学习语法知识的目的，体现了课标提出的对学生语言知识运用
能力的考查，有利于使教师和学生认识到，脱离语境学习语言知识是无法有效表达意义的。
英语写作
本部分也包括两节，第一节为短文改错，重点考查学生修改作文的能力；第二节作文，重点考查学生能否有效地运用所学英语知识进行布局谋篇、遣词造句的能力，以及能否清楚、连贯地传递信息、表达真实思想的能力。
书面表达没有沿用多年的书信应用文，而是要求学生以“十年后的我”为话题，从家庭，工作，业余生活三方面来陈述。话题接近生活，积极地调动了学生的思维，让学生有话可说。真正达到了测试学生写作水平的效果。
当前，国家正在探讨英语高考的改革，提出了将英语纳入社会化考试，但改革不仅应关注“如何考”，更重要的是“考什么”的问题，这是考试改革的重中之重。只有解决了“考什么”的问题，英语教学才可能真正把教师从抓语法和词汇的低效教学中解放出来，指导学生学会用英语做事情，用恰当得体的语言表达观点，从而促进教师教学方式和学生学习方式的转变，提高教学效率，使语言学习和知识增长、思辨和表达能力发展融为一体。
范文四：数值分析考试题
数值分析模拟试卷(五)
班级 学号 姓名
一、填空题(每空2分，共30分)
1(已知数 e=2.718281828...，取近似值 x=2.7182，那麽x具有的有效数字是 ____位;
2x,,12(若,改变计算式=__________________，使计算结果更精确; ln(x，1,x)
10,,3(已知, 则谱半径 Cond(A),__________ ; ,,,(A),____,A,1,,,31,,
3，，x,x(i,0,1,2)4(过节点的插值多项式为 ____________________ ; ii
5(过四个互异节点的插值多项式p(x)，只要满足__________ ，则p(x)是不超过 二次的多项式;
2f(x),4x，5,x,kh,k,0,1,2,？,6.,; f[x,x,x],___f[x,x,x,x],___knn，1n，2nn，1n，2n，3
32xdx(利用抛物(Simpson)公式求= __________ ; 7,1
nnbf(x)dx,Af(x)A,8(插值型求积公式的求积系数之和__________ ; kkk,,,ak,0,0k
,f(x),(已知等距节点的函数值(x9, y)(i=0,1,2)，由数值微分三点公式，__________ ; ii1
2f(x)dx,,f(x)，,f(x)10(为使两点的数值求积公式:具有最高的代数精度， 0011,,2
其求积节点应为 ___________________ ;
32,1x,Idx11(用高斯—切比雪夫求积公式计算，当n=______时，能得到精确值; ,0(2,)xx
,y,f(x,y),12(解初值问题近似解的欧拉公式局部截断误差为 __________ , ,y(x),y00,
是____ 阶方法(
1
221,,,,二、(12分)已知方阵A,111，试通过交换A的行，使其能实现(Doolittle)分解，,,
,,321,,
Tb,(3.5,2,4)并给出其分解;并用该分解求解方程组AX=b，其中(
,,,(x),3,1三、(10分)设,满足，试问如何利用构造一个收敛的简单x,,(x),(x),(x)迭代函数，使收敛, x,,(x),(x)n，1n
,,,xxb,121四、(14分)线性方程组， ,,x，4x,b,122
(1) 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性;
1(2) ，给定松弛因子，写出解此方程组的SOR方法迭代格式，讨论收敛性( ,,4,,2
五、(10分)设函数f(x)在[0,1]上具有3阶连续导数，用基函数方法求一个次数不超过2
,,的多项式H(x)，满足，写出插值余项( H(0),f(0),1,H(1),f(1),0,H(1),f(1),1
,y，y,x,0,六、(10分)用改进的欧拉公式求解初值问题，取步长k = 0.1，计算y(0.1)，,y(0),0,
y(0.2)的近似值，小数点后保留5位.
2x(x，3a)nnx,0ax,七、(8分)证明对任意的初值，迭代格式是计算的三阶方法( ，1n023x，an
2nf(x),a，ax，ax，？，axx,x,？,x,八、(6分) 若有n个不同实根 证明 012n12n
knx,,,00kn2,j, ,,1,,ak,n,1f(x),nj,1j
2
范文五：中考试题分析
中考试题分析
------- 英语选择题点拨
在历年的云南昆明市英语中考试题中，英语选择填空题是必考题型， 这是由于它的性能所决定的。英语选择填空题, 是一项综合性较强，知识覆盖面较广，灵活多样的综合测试题。它能较准确的考查学生在运用英语的知识结构；了解学生分析问题和解决问题的综合能力。
以下分别用十个小题来讲讲做英语选择填空题的思路和方法。
1. I must go now. I don’t want to be __________.
A. hurried B. quick C. fast D. late
2. --What a pity!
-- ____________.
A. Good luck B. With pleasure
C. Isn’t it beautiful! D. Are you all right?
3. --_______ the game?
-- It’s so interesting that I can’t take my eyes off it.
A. What do you like B. How do you think
C. How do you like D. What do you think
4. –Can you speak Chinese or Japanese?
--I can speak _________ but I can speak English.
A. both B. either C. all D. neither
5. He didn’t know what ________ for.
A. is it used B. is used C. it used D. it is used
6. He never _________ much money on her clothes.
A. takes B. pays C. costs D. spends
7. __________ lovely she smiles!
A. What B. What a C. How D. How a
8. Shall we take ____rest?
A. a few minute B. a few minute’s
C. a few minutes D. a few minutes’
9. Mum, my shoes are worn out. Please buy me a new____________.
A. one B. ones C. pair D. pairs
10. By the way, do you feel ___________when you are ______?
A. alone…lonely B. lonely…alone
C. alone…alone D. lonely…lonely
试题分析和讲解：
1. 根据选项，是让我们了解在此填空I don’t want to be 后应该用哪个词
更为合适，. 句义是“我必须现在就走，我不想迟到。Be late是
“迟到”的意思，根据句义应选D
2. 这是一题交际用语, ―What a pity!‖是“多么遗憾啊！”带有感情色
彩，选择时，要用排除法来确定选项，A B C 都不合句义，所以应选D, 意思是“你好吗？不要紧吧‖。
3. 这也是一道交际用语，答句意思是“比赛如此有趣，使我目不转睛地观看。”问句就应该问“你觉得比赛怎么样？”此题稍不留意就会选成D ，D 的选项差about, 完整的表达应该是What do you think about? 所以应选C 。How do you like?
4. 此题考查的是both, either, all, neither的用法，both 表两者都; either两者的任何一个；all 表 三者以上的都，neither 表两者都不，根据句义是“你会讲汉语还是日语？这两种语言我都不会讲，但我会讲英语”，因此，强调的是两种都不会，应选D 。
5. 宾语从句应该用陈述语序，当主句是一般过去时，从句用过去的某种时态，所以应选C 。
6. 通过选项，考查我们对“花费”这个词的正确理解，take 是用it 为形式主语，pay 与for 搭配，cost 是以物为主语，spend …on是固定搭配，所以应选D 。
7. 通过选项，考查我们对感叹词的正确使用，我们可用去掉主谓，来看剩下的是lovely, lovely是形容词，所以用how ，即选C 。
8. a few 后的名词用复数，句义是“几分钟的休息”，要用复数所有格，以s 结尾的词，只加撇号。所以选D 。
9. 在这一选项中，如不细心分析推敲，就容易上出题人的圈套，误认为鞋子应用pairs 来表示, 却忽视了new 前的a, 所以在做选择填空题时，要字字细看，认真思索，准确判断，此题应选C.
10.alone 是形容词也可作副词，词义是“独自一人的”指一个人处境孤独，但并不寂寞、悲伤的意思。lonely 是形容词，词义是“独自一人的”“孤独的”强调内心处境孤独，有寂寞、悲伤的情感。
如：He is alone, but he doesn’t feel lonely ，. 所以应选B 。
再看下列十小题：
1. ___________ useful language we are learning!
A. What B. What a
C. What an D. How
2. –Will it be fine tomorrow?
--I’m not sure, _________ not.
A. maybe B. may be
C. of course D. certainly
3. –Must I go there right now?
--No, you _____. You ________ go there before supper.
A. mustn’t…need B. needn’t…may
C. can’t … need D. won’t… can
4. -- _____________.
--Thanks for the message.
A. Will you please pass the message to Jack?
B. Jack asked me to tell you to ring him up.
C. Can you tell me all about it?
D. I have nothing to tell you.
5. ______________ of the earth is covered by water.
A. Two three B. Two threes
C. two third D. two thirds
6. Music makes life more beautiful. I often spend _______ hour or two enjoying
it.
A. a B. the C. an D. 不填
7. --How about these two books?
-- ___________ of them are interesting.
A. Either B. neither
C. both D. all
8. Teachers __________ their students the right way to the knowledge
A. send B. let
C. put D. show
9. –You haven’t been to Dali, have you?
--__________. How I wish to go there!
A. Yes, I have B. Yes, I haven’t .
C. No, I have D. No, I haven’t.
10. The girl is very thirsty after singing. Please give her _________ to drink.
A. some water B. little water
C. much water D. many water.
试题分析和讲解：
1. 通过选项，考查我们对感叹词的正确使用，我们可用去掉主谓we
are learning，来看剩下的是useful language, 感叹句的结构是How + 形容词或副词 + 主谓；What + 形容词+ 名词+ 主谓；如名词是不可数或名词复数，what 后无a/ an; 如名词是可数名词单数，what 后有a/ an; 根据上述结构，只能排除D 的可能性，又由于language 是可数名词，所以应选B
2. 此题的问句是“明天天气会好吗？”答句是“说不准，也许不会”,
根据句义C D 是不可能，A B 意思有些接近may be 作谓语用，“也许是”“可能会”maybe 是作副词用，词义是“也许”此题 无主语，所以应该选用A 。
3. Must 的否定回答是needn’t，意思是“不必要”“不需要”而mustn’t
的意思是“不应该”它用在must 的否定句中, may的意思是“可
以” can 的意思是“能、会”更多的是表示能力。所以应选B 。 4 根据答句，意思是“谢谢你捎的口信”，前句讲的话就应该与答句相呼应，只有B 句与答句相吻合，意思是“杰克叫我告诉你给他打电话”。所以应选 B 。
5. 此题 是考查我们对分数的表达，分数的表达是， 分子用基数词，分母用序数词，当分子大于一时， 分母的序数词要变复数，即加s, 所以应选D.
6. 此题是了解我们对冠词的正确用法，如果我们把冠词的正确使用，说成是根据后一词首的字母是辅音还是元音，来决定的话，就会误断为A 。可是，冠词的正确使用是，根据后一词首的发音是辅音还是元音，来决定的，hour 的读音是[au ], h 不发音，所以应选C 。
7. 根据问句，说得是“这两本书怎么样？”根据答句的动词are, 就排除了用either 或neither, 因为用了either 或neither 动词应用is 。all 指三者以上，不符合题意。所以应选C 。
8. 题义是“老师传授知识应给予学生指点正确的方法”在这四个选项中只有show 有“给…指点”的意思, 其它无此意。send …to是“送给”let…to ―让给‖put…to ―使…靠近‖，选项是D 。
9. 此题是否定反意问句， 根据句义是说“你没去过大理吗？”回答是“是的，没去过，我多么希望去那啊！”。根据汉语的理解，就很可能选成B 。这样选是错的。因为在英语的语言结构中，用No 后面的句子就应用否定，用yes 后面的句子就应用肯定，这样一来，就能排除B, C的可能性。又根据答句“我多么希望去那啊！”就说明没去过。又排除了A ，因此选项就是D 。
10. water 是不可数名词，所以不能用many, 排除了D 的选项。
little water表否定是“没有水”的意思，不合句义。Some 和 much 都能用在water 前。some water 是 ―一些水‖, much water是“大量水”，根据句义，应该说 ―喝些水‖“而不是喝大量水”因此应选A 。
通过对1998—2001 年的省英语中考，选择填空试题的分析与讲解，我们从中应悟出一个道理，在做选择填空试题时，应字字细看，不放过所给的文字信息，认真思考；对所学知识应准确记牢，语法定义要记清；经常运用，永记心间。
（2000年云南省中考）
1. –Must I go there right now?
–No, you ______. You may go there before supper.
A. mustn’t…need B. needn’t may
C. can’t … need D. won’t …can
2. –Will it be fine tomorrow?
--I’m not sure, _________ not.
a) maybe B. may be
C. of course D. certainly
3. --________ sir?
--I’d like some bread and a glass of milk for breakfast.
A. Good morning B. Good afternoon C. good evening D. Good night
4. -- _____________.
--Thanks for the message.
A. Will you please pass the message to Jack?
A. Jack asked me to tell you to ring him up.
B. Can you tell me all about it?
C. I have nothing to tell you.
3. ______________ of the earth is covered by water.
A. Two three B. Two threes
C. two third D. two thirds
（2000年云南省中考）试题分析和讲解：
1. 此题的句子意思是“我必须马上去那吗”回答说“不，你可以在晚饭前去那”考题考查的是我们对情态动词的正确使用，情态动词中must 的否定回答要用，”而needn’t, 意思是“不必要，不需要”，may 的否定回答要用 mustn’t, 意思是“不应该”它用在must 的否定句中, may的词义是“可以”有客气婉转之意，所以此题 的正确答案应选B
2. 此题的问句是“明天天气会好吗？”答句是“说不准，也许不会”, 根据句义C D 是不可能，A B 意思有些接近may be 作谓语用，“也许是”“可能会”maybe 是作副词用，词义是“也许”此题 无主语，说明不是缺谓语，所以正确选项应该是A 。
3. 考题考查的是我们对日常交际用语的正确使用，根据答句中“for breakfast‖ 我们不难得出, 此事发生在早晨， 因此早晨的问候语应该用A 的选项
4 根据答句，意思是“谢谢你捎的口信”，前句的问话就应该与后答句相呼应，只有B 句与答句相吻合，意思是“杰克叫我告诉你给他打电话”。所以应选 B 。
5. 此题考查的是我们对分数的正确表达。分数的表达是，分子用基数词，分母用序数词，当分子大于一时，分母的序数词，要变复数，即加s, 所以应选D.
(2001年昆明市中考)
1. We say TV __________short in our daily life.
A. on B. in C. at D. for
2. –Which box is ________, the red one, the yellow one or blue one?
--What do you mean by asking this?
A. heavy B. heavier C. heaviest D. the heaviest
3. –Meimei and her classmates help ed the farmers with the apple harvest last October
A. So Poly does B. So Poly did C. So does Poly D. So did Poly
4. –Have you read today’s newspaper?
--Yes, there’s ____________ in it.
A. different nothing B. nothing different C. different something D.
different anything
5. –Let’s go to school, shall we?
--_______________.
A. Good idea B. OK, let’s go C. I know D. Both A and D
（2001年昆明市中考）试题分析和讲解：
1. 考题考查的是我们对介词的正确使用，介词的掌握往往是通过和其他词的搭配， 此题中的short, 就是与for 组合，for short, 形成一个固定意思“简称”，此题的句子意思是“在我们的日常生活中我们简称说TV‖ 所以正确的答案是D 。
2. 考题考查的是我们对形容词等级的正确使用，在此题中我们可以看出， 有三种事物相比较，“the red one, the yellow one or the blue one‖ 就应该用形容词最高级。 在做题时，如不认真再看看，就会误选为C, 在形容词表示最高级时，还须在形容词前加“the ”, 才把形容词最高级表达完整。所以应选D 。
3. 考题考查的是我们对肯定倒转句的正确使用，肯定倒转句的构成是So
+ 助动词+主语，而助动词的使用，又是根据前句的动词来决定的，前句动词是“helped ”，倒转部分的助动词要用“did ” 所以正确选项是D 。
4. 考题考查的是我们对不定代词修饰语的位置的正确使用，英语语言规定不定代词修饰语的位置在其后，根据这一规则，我们就能排除A 、C 的选项。Anything 用于否定句中，此句是肯定句，因此正确的选项就是B 。
5. 考题考查的是我们对日常交际用语中提建议的正确应答， 此句的意思是“咱们去上学，好吗”A 的意思是“是个好主意”表示赞同，B 的选项是“好吧，咱们走” 也表示赞同，C 的选项是“我知道了”所问非所答，因此正确的选项就是D 。
（2002年云南省中考）
1. When I was young, I often walked around the Green Lake with my grandma.
__________ nice time it was!
A. What B. What a C. How D. How a
2. –Morning, sir. __________?
--I have heard that Chinese tea is world-famous. Can I get some?
A. Can you help me B. What’s the matter with you
C. Can you give me a hand D. anything I can do for you
3. –Jack, would you mind turning off the TV?
-- ______________.
A. Not at all B. Yes, I’d love to C. No, I can’t D. Yes, all right
4. –What was the weather like yesterday?
--It was terrible. It rained so __________that people couldn’t _______go out.
A. hardly…hard B. hardly…hardly C. hard…hardly D. hard…hard
5. The sweetest _________ in the world is birds’ singing, I think.
A. cry B. noise C. voice D. sound （2002年云南省中考）试题分析和讲解：
1. 考题考查的是我们对感叹句知识的掌握情况，感叹句知识的掌握，关键是感叹词的正确使用，感叹句的结构是How + 形容词或副词 + 主谓；What + 形容词+ 名词+ 主谓；如果我们按照去掉主谓的方法，把time 看成是不可数名词，来判题，就会误选为A 。‖Nice a time‖ 是一个固定表达，意思是“很开心” 明白了这一点，就不会选错了，正确的选项是B
2. 考题考查的是我们对日常交际用语中的正确应答，根据答句的意思我们可以看出，这是发生在商店，顾客与店员之间的交谈。第一句是店员问的，第二句是顾客答句。选项中的A 、C 是需要得到帮助时的问话， B 的选项是医生对病人的问话，它们都不符合。C 的句子意思是“我能为你效劳吗？” 所以正确的选项是D 。
3. 考题考查的是我们对日常交际用语中的正确应答，问句的句意思是“ 杰克，你介意我关电视吗？”在would you…?句型中通常不用Yes, No回答，因此可排除B 、C 、D ， A 的意思是“一点也不” 所以正确的选项是A 。
4. 考题考查的是我们对“hard, hardly”这两个词的正确使用，hard 和hardly 都是副词，hardly 的词义是“几乎不”，而hard 在此修饰rain 表示“雨下得很大”。所以正确的选项是C 。
我们在平时的学习生词时，要准确的记住词性、词义。尤其是词形相近时。
5. 考题考查的是我们对“声音”这几个词的辨别。noise 是“澡音”
voice 是“嗓音”sound 是“声音”此句的意思是“我认为在世界上最甜美的声音是鸟的歌声” 而cry 是动词，不合句义, 所以正确的选项是D 。
通过对1998—2002 年的选择填空试题的分析与讲解，希望能给
同学们有所提示，有所帮助，并在今后做选择填空试题时，注意以下几点：
A. 字字细读所给的每个文字信息；
B. 认真思考，正确理解句子意思；
C. 平时做好掌握知识概念的准确性。
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