范文一：数学勾股定理

勾股定理

青海省互助县威远初级中学 徐长宝

一、概述

《勾股定理》是人教版义务教育教材初中《几何》第二册第三章第 3.16节第㈠部分。 本课需要学生掌握勾股定理,能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三 边。

二、学习目标分析

1、知识与技能

掌握勾股定理,能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边。

2、过程与方法

通过探究勾股定理的发现与证明,渗透数形结合的思想方法,增强逻辑思维能力。 3、情感态度价值观

通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就, 激发热爱祖国, 热爱祖国悠久文化的思 想感情。

[学习重点和难点 ]

勾股定理的内容及其简单应用是本节课的重点,勾股定理的拼图证明是本节课的难点. 三、学习者特征分析

1.学生是青海省威远初级中学的初二的学生;

2. 学生对多媒体大屏幕环境下的课堂环境非常熟悉, 对数学上常用的几何画板比较了解;

3.学生具备一定的自学能力,思维活跃,对自己动手的活动兴趣很高;

4.学生已经接触过三角形的很多性质,掌握情况比较理想;

5、学校强调中国古代文化熏陶,学生对中国古代文化很感兴趣,但读古文的能力还是相 对较弱。

四、教学策略的选择与设计

学习过程中,通过课件创设的情境充分调动学生各知觉器官,做到

采用 “ 问题导学,自主探索 ” 的教学模式,采用情境探究法、谈话法等,使学生在自主探究 的过程中完成学习的任务。

五、资源

(1)给每位同学准备两张纸,上面有边长为 1cm 的小方格;

(2)教师自制的多媒体课件;

(3)教师准备的关于勾股定理背景知识的小卡片,每组一套;

(4)上课环境为多媒体大屏幕环境。

六、教学流程图

七、教学过程实录:

这节课我们一起来研究几何上一个古老而重要的定理 —— 勾股定理!

为了让同学们亲身体验一下数学家发现新知识的乐趣, 下面课堂的自主权就放给你们自 己, 我们将在大屏幕呈现的课件引导下与周围的同学一起来研究屏幕上的三个问题。 大家在 交流的过程中要注意发扬互助合作精神, 清楚地表明自己的想法的同时也要注意聆听其他同 学的意见。结束后你可以站起来与大家探讨一下!

问题(一) “发现猜想”栏目中,对于直角三角形三边的关系,谈谈你的猜想,你是怎 样得到猜想的?

(学生回答)由“勾3,股 4,弦 5”这种情况,从左边的图片中我发现,中间是一个 边长为 3、 4、 5的直角三角形,向外做了三个正方形,每个正方形的面积正好分别为 32(蓝

色) 、 42(红色) 、 52(大正方形) ,而蓝色和红色的面积正好把大正方形填满,说明大正方

形的面积等于两个小正方形的面积和,把面积表示出来就是 “

” ,这样我就猜

想:“ 在直角三角形中,两条直角边的平方,相加等于斜边的平方。 ” 这就是我的猜想。 和某某所见略同的举举手?很好!大家都很努力!但是 ——

问题 (二) 我们的猜想是否具有一般性呢?让我们来制造 “勾股挂毯” 来确定自己的猜 想。你们可以在老师给你们发的方格纸上画出自己喜欢的“勾股挂毯” ,可以是任意颜色、 任意大小, 但是要注意画完以后数一数各边的边长, 每个小方格是 1cm , 在小组里面讨论一 下,看看你们能如何证实自己的猜想。

(学生作图、小组讨论)

(学生回答) 我画的勾股挂毯是一个黄色的直角三角形, 量出来边长分别是 5、 12、 13, 5的平方是25,12的平方是144, 加起来是169,正好是13的平方,这组数和我 猜想的一样。我们小组还画了一个红色的直角三角形,边长为 6、 8、 10,蓝色三角形的边 长为 9、 12、 15,这两组数都符合。通过这三个直角三角形的验证,我们小组认为我们的猜 想基本确定了。 (老师用投影展示同学们的“勾股挂毯”)

说的很精彩! 通过验证, 我们大家的信心就更足了, 是不是所有的直角三角形三边都具 有这样的关系?下面就是来证 —— 明 —— 了!

问题(三) 在“尝试探究”栏目中,拼图游戏可以带给你证明的思路,请将你证明的过 程整理给大家。

(老师用几何画板演示拼图过程) 拼好后的两个大正方形的边长都是a+b, 上面的大 正方形的面积可以看成五部分面积的和(输入 c*c+4* 1/2 *ab),下面的大正方形的面积看 成六部分面积的和(输入 a*a+b*b+4*1/2ab),因为面积相等,两个式子画上等号 :

(复制粘贴 c*c+4* 1/2 *ab=a*a+b*b+4*1/2*ab a*a+b*b=c*c)

这样我们就证明了最初的猜想!哪位同学试着再把它包装包装,说的严谨简炼些? (学生回答)在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用ab表示两条直角边,斜边用c来表示,字母表达式应该怎么说?

(学生回答)a方加b方等于c方。

通过大家的齐心协力,我们已经发现了著名的勾股定理,我提议大家鼓励一下自己! 勾股定理是直角三角形的一条重要性质, 在生产生活中用途很大, 它反映的是直角三角 形三边的关系, 这样在直角三角形中已知任意两边就可以求得第三边。 大家来看巩固练习第 1题:

(学生回答)简单分析给出答案。

下面我们来看 “ 新知应用 ”.

(学生回答)由学生简单分析后,自己整理出解答的过程.

同学们经过了精彩的自主探究, 收获了自己的知识, 祝贺你们! 老师这儿给大家准备 了“自我检测”的题目,分为了三个难度,每种难度题目的呈现时间是 3分钟。让我们开始 挑战吧!

(ppt 呈现题目,学生在练习本上进行计算,每种难度呈现 3分钟后出示答案,学生进 行自我评价)

我们今天学习的 “ 勾股定理 ” 是几何中几个重要的定理之一, 它有着丰富的文化背景, 古 今中外的学者对它的研究也有许多重要的成就。 下面老师给大家准备了一些关于勾股定理知 识的小文章, 每个小组有自己的一个资料库, 小组同学可以一起读一读, 也可以在一起说说 你们平时所了解的、老师还没提到的关于勾股定理的知识。

学生分组讨论交流

时间差不多了, 每位同学都满载而归, 每个小组派个代表, 将你们组获得的知识与大家 一起分享吧!

1. “勾股史话”里,我发现“勾股定理”又叫“商高定理”,赵爽的证明比毕达哥拉斯 的证明要早二百年。

大家不知道有没有感受到?我们的祖先真的很了不起, 取得了这么伟大的成就, 我们应 该感到骄傲!

2. 在 “ 奇异之树 ” 中,我发现这里的两棵 “ 勾股树 ” 很漂亮,特别是第二棵,我想能不能画 到黑板报上?

是个不错的建议!但是你能不能设计出自己的勾股树呢?你可以试一试。

3.在 “ 宇宙探索 ” 这一页中,没想到我们数学上的定理竟能发向宇宙,和外星人对话! 大家都感到很惊讶,可见我今天学习的勾股定理在各个领域都起到重要作用!

4. “勾股名题”中的“风动红莲”题就写的很美,值得大家做做!

很好,有兴趣的同学可以采纳某某同学的意见,作为自己的课下作业。

某某你默不作声,谈谈你的收获?

通过大家的交流, 我们实现了对勾股定理的多层面了解。 一定还有些关于勾股定理的知 识是我们所没有了解的, 正如这两例用优美语言文字表述的勾股名题。 希望同学们能通过课 外自己查阅相关资料,解决我们的勾股名题,并建造出属于我们自己的勾股定理网上天地! 下课。

范文二：数学小报勾股定理

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以 勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前 1000 多年，据记载，商高答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘， 得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“蒋铭祖定理”。在公元前 7 至 6 世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三 角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。

勾股定理小故事

金字塔的底部，四正四方，正对准东西南北，可见方向测 得很准，四角又是严格的直角。而要量得直角，当然可以 采用作垂直线的方法， 但是如果将勾股定理反过来， 也就 是说：只要三角形的三边是 3、4、5，或者符合的公式， 那么弦边对面的角一定是直角。到了公元前 540 年，希 腊数学家毕达哥拉斯注意到了直角三角形三边是 3、 4、 5， 或者是 5、12、13 的时候，有这么个关系。他想：是不 是所有直角三角形的三边都符合这个规律？反过来， 三边 符合这个规律的，是不是直角三角形？他搜集了许多例 子，结果都对这两个问题作了肯定的回答。他高兴非常，

于 杀了一百头牛来祝贺。 以后， 西方人就将这个定理称为毕 斜 达哥拉斯定理。 边 的 平 方 。

形 两 直 角 边 的 平 方 和 等

， 斜 边 ， 为 即 直 角 ， 三 那 角 么

c

三 角 形 两 直 角 边 为

a

数 。 也 就 是 说 ， 设 直 和 角

。

就 是 勾 股

的 正 整 数 组

式 。 勾 股 数 组 方 程

是 勾 股 定 理 最 基 本 的 公

理 之 一 。 勾 三 股 四 弦 五

理 中 证 明 方 法 最 多 的 定

种 证 明 方 法 ， 是 数 学 定

例 。 勾 股 定 理 约 有

400

理 是 余 弦 定 理 的 一 个 特

合 的 纽 带 之 一 。 勾 股 定

工 具 之 一 ， 也 是 数 形 结

决 几 何 问 题 的 最 重 要 的

理 之 一 ， 用 代 数 思 想 解

现 并 证 明 的 重 要 数 学 定

何 定 理 ， 是 人 类 早 期 发

勾 股 定 理 是 一 个 初 等 几

b 2 2 2 a +b =c

a +b =c (a,b,c) (3,4,5)

2 2 2

“ ”

范文三：数学勾股定理概念

《勾股定理》知识点考查

学好数学最重要是概念～

望大家一定要明白先“死”方能后“ 活”的道理～ 一、勾股定理 A 1(定义文字描述___________________________________________。

C 2(符号语言描述: B

如图，?_____________________， A

?___________________________。

C 二、勾股定理的逆定理 B 1(定义文字描述

2(符号语言描述:

如图，

?_____________________，

?_____________________。

三、勾股定理的证明

1(请利用如图1证明勾股定理

图

1

2(请利用如图2证明勾股定理

图2

图3

3(请利用如图3证明勾股定理

三、常见的题型归类

1(直角三角形中知道两边求第三边(注意求直角边还是斜边) 技巧:特别是知道斜边和一条直角边求另一直角边常用_______公式来求。 例如:(1)一直角边为 7，斜边为41，求另一直角边。(写出过程) 2(已知两边，求斜边上的高，

如图，已知Rt?ABC中，CD?AB于D，求证:ab=ch

应用:如上图及条件，若(1)a=12，b=16，h=_______;(2)a=8，b=12，h=_______;

(3)a=5，c=13，h=_______;(4)a= 7，c=25，h=_______. (4)在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到?ABC′，则CC′的长等于多少,请用两种方法来解。 方法一:

方法二:

A

CBD

3(构造方程解决有关计算问题(学会设元，有的可以构造奇迹方程) (1)如图，?ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD. (2)已知如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BCAD边的点F，若AB=4cm，BC=5cm，求EC的长。

BCF

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边,6cm，(4)ACBC

A,8cm，先将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与

EAE重合，则CD等于多少,

CBD

(5)已知为什么直角三角形的三边是连续正整数的只有一组3、 4、 5,

4(有关分类的问题

x)已知直角三角形的三边长为3、4、，求。写出你的过程。 (1x

x(2)已知直角三角形的三边长为6、8、，则以为边的正方形的面积为多少,x

写出你的过程。

A

(3)一只蚂蚁从如图大小的长方体纸箱的A点沿纸箱

4 爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少,画图

3 B 8

相应的图形并进行求解。

(4)如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成33个小正方形.其，

边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧

面的点，最少要用 秒钟( B

B

13.适合下列条件的?ABC中, 直角三角形的个数为

【 】 A

1110a,6,a,,b,,c,;? ??A=45; ??A=32?, ?B=58?; 345

a,2,b,2,c,4.a,7,b,24,c,25;? ?

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

范文四：初二数学勾股定理

教案

《勾股定理》

学习新课之前进行回顾知识点：

1、三角形的三个内角以及三角形的三边关系

2、对直角三角形的认识：直角边、斜边、Rt△、直角

直角三角形的三线及面积

直角三角形两个锐角的关系：互余

直角三角形30°角的性质

学习新课

知识点一：勾股定理的认识理解以及简单应用（掌握理解定义，并会做题）

1、对定义的理解认识：勾、股、弦

（笔记的整理） 必须在直角三角形中三边才能满足a2+b2=c2

注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错

注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c＝a＋b，a＝c－b，b＝c－a． 222222222

2、简单应用：做题以课本随堂练习题为主

知识点二：勾股定理的推导过程：（必须掌握课本上的两种推导）

推导过程的关键是面积相等，拼图法

课外延伸第三种推导方法：构建直角梯形，利用面积相等推导a2+b2=c2 （三种推导方法要整理在笔记本上并会自己推导）

知识点三：一定是直角三角形吗？

（勾股定理在验证直角三角形中的应用，即勾股定理的逆定理）

1、回顾学生所知道的证明三角形是直角三角形的方法（从角的角度：定义） 有一个角是直角（90°）的三角形

有两个角互余（和为90°）的三角形

2、从边的角度验证直角三角形：勾股定理逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：①确定最大边；②算出最大边的平方以及另两边的平方和；③比较最大边的平方以及另两边的平方和．

3、勾股数组

能构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．

（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），

显然，若（a，b，c）为勾股数组，则（ka，kb，kc）也为勾股数组，其中k为正整数． 笔记及重点例题的整理

例1、试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形．

例2、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．

例3、已知：如图CD是△ABC的高，D在AB上，且CD=AD·DB，求证：△ABC是直角三角形． 2

知识点四：勾股定理及其逆定理的综合运用

1、勾股定理的应用

（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；

（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；

（3）用于推导线段平方关系的问题等；

（4）用勾股定理，在数轴上作出表示、、的点，即作出长为的线段．

2、勾股定理逆定理的应用：证明直角三角形

3、利用勾股定理求解时应注意数学思想的运用

利用勾股定理构造方程，运用方程思想求解；

当遇到已知边并没有确定是直角边还是斜边时，应注意运用分类讨论，即分类思想； 当求解三角形的边长时，通过勾股定理列式计算时，又要用到代数知识，即数形结合思想． 典型例题：

类型一：利用勾股定理求线段长

例1：如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是AC的中点，PD⊥BC，D为垂足，BC＝9，DC＝3， 求AB

．

类型二：勾股定理在折叠问题中的应用

例2：如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是_______．

类型三：利用勾股定理求图形面积

例3：如图，BE⊥AD，且AE=DE=9，AB=15，CD=36，BC=39，求四边形ABCD的面积．

题型四：利用勾股定理证明恒等式 例4

：如图，

AM

是△ABC的BC边上的中线，求证：AB＋AC＝2（AM＋BM）． 2222

题型五：梯子滑动问题

例题5:如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（ ）

A．等于1米 B．大于1米

C．小于1米 D．不能确定

题型六、荡秋千问题（钟摆问题）

例题6：如图，小丽和小明一起去公园荡秋千，小丽坐上秋千，小明在离秋千3m处保护，当小丽荡至小明处时，小明发现小丽升高了1m，于是他就算出了秋千绳索的长度，你知道他是怎么算的吗？请你试一试．

范文五：初中数学：勾股定理

第十八章 勾股定理

18. 1 勾股定理(一)

一、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为 此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图 形等。 我国数学家华罗庚曾建议, 发射一种反映勾股定理的图形, 如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。这 个事实可以说明勾股定理的重大意义。 尤其是在两千年前, 是非 常了不起的成就。

让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ ABC ,用刻度尺 量出 AB 的长。

以上这个事实是我国古代 3000多年前有一个叫商高的人发 现的, 他说:“把一根直尺折成直角, 两段连结得一直角三角形, 勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较 短直角边(勾)的长是 3,长的直角边(股)的长是 4,那么斜 边(弦)的长是 5。

再画一个两直角边为 5和 12的直角△ ABC ,用刻度尺量 AB 的长。

你是否发现 32+42与 52的关系, 52+122

和 132的关系,即 32+42=52, 52+122=132,那

么就有勾 2+股 2=弦 2。

对于任意的直角三角形也有这个性质

A B

吗?

二、例习题分析

例 1(补充)已知:在△ ABC 中,∠ C=90°,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边为 a 、 b 、 c 。

求证:a 2+b 2=c2。

分析:⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸, 让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S △ +S小正 =S大正

4×

2

1ab +(b -a ) 2=c2,化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法, 达 300余种。 这个古老的精彩的证法, 出自我国古代无名数学家之手。 激发学生的民族自豪感, 和爱国 情怀。

例 2已知:在△ ABC 中,∠ C=90°,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边 为 a 、 b 、 c 。

求证:a 2+b 2=c2。

分析:左右两边的正方 形边长相等,则两个正 方形的面积相等。 左边 S=4×

2

1ab +c 2右边 S=(a+b) 2

左边和右边面积相等,即

b

b

b

b

a a

4×2

1ab +c 2=(a+b) 2

化简可证。 三、课堂练习 1. 勾 股 定 理 的 具 体 内 容

是 :

。

2.如图,直角△ ABC 的主要性质是:∠ C=90°, (用几何语言表示)

⑴

两

锐

角

之

间

的

关

系: ;

⑵若 D 为斜边中点,则斜边中线 ; ⑶若∠ B=30°,则∠ B 的对边和斜边: ; ⑷三边之间的关系: 。 3.△ ABC 的三边 a 、 b 、 c ,若满足 b 2= a 2+c 2

,则

=90°; 若满足 b 2>c 2+a 2

,则∠ B 是 角;

若满足 b 2

,则∠ B 是 角。 4.根据如图所示,利用面积法证明勾股定理。 七、课后练习

1.已知在 Rt △ ABC 中,∠ B=90°, a 、 b 、 c 是△ ABC 的三边, 则

⑴ c= 。(已知 a 、 b ,求 c ) ⑵ a= 。(已知 b 、 c ,求 a )

A

B

b

E

B

⑶ b= 。(已知 a 、 c ,求 b )

2.如下表,表中所给的每行的三个数 a 、 b 、 c ,有 a

3.在△ ABC 中,∠ BAC=120°, AB=AC=3cm ,一动点 P 从 B 向 C 以每秒 2cm 的速度移动,问当 P 点移动多少秒时, PA 与腰 垂直。

4.已知:如图,在△ ABC 中, AB=AC, D 在 CB 的延长线上。 求证:⑴ AD 2

-AB 2

=BD〃 CD

⑵若 D 在 CB 上, 结论如何, 试

证明你的结论。 四、参考答案

课堂练习 1.略;

2. ⑴∠ A+∠ B=90°; ⑵ CD=2

1

AB ; ⑶ AC=2

1AB ; ⑷ AC 2

+BC2

=AB2

。

D

C

B

3.∠ B ,钝角,锐角;

4.提示:因为 S 梯形 ABCD = S △ ABE + S △ BCE + S △ EDA ,又因为 S 梯形 ACDG =2

1(a+b) 2

,

S △ BCE = S△ EDA =2

1

ab, S △ ABE =2

1c 2

, 2

1(a+b) 2

=2×21 ab+2

1c 2

。 课后练习

1.⑴ c=22a b -;⑵ a=22c b -;⑶ b=22a c +

2. ???+==+1

222b c c b a ;则

b=212-a , c=2

12+a ;当

a=19时, b=180,

c=181。

3. 5秒或 10秒。

4.提示:过 A 作 AE ⊥ BC 于 E 。

18. 1 勾股定理(二)

一、重点、难点

1.重点:勾股定理的简单计算。 2.难点:勾股定理的灵活运用。 二、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述; 勾股定理的符号语言及变形。 学 习勾股定理重在应用。 三、例习题分析

例 1(补充)在 Rt △ ABC ,∠ C=90°

⑴已知 a=b=5,求 c 。 ⑵已知 a=1,c=2, 求 b 。 ⑶已知 c=17,b=8, 求 a 。

⑷已知 a :b=1:2,c=5, 求 a 。 ⑸已知 b=15,∠ A=30°,求 a , c 。

分析:刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理 清边之间的关系。⑴已知两直角边,求斜边直接用勾股定理。⑵ ⑶已知斜边和一直角边,求另一直角边,用勾股定理的便形式。 ⑷⑸已知一边和两边比, 求未知边。 通过前三题让学生明确在直 角三角形中, 已知任意两边都可以求出第三边。 后两题让学生明 确已知一边和两边关系, 也可以求出未知边, 学会见比设参的数 学方法,体会由角转化为边的关系的转化思想。

例 2(补充) 已知直角三角形的两边长分别 为 5和 12,求第三边。

分析:已知两边中较大边 12可能是直角边,也

可能是斜边,因此应分两种情况分别进形计算。 让学生知道考虑问题要全面,体会分类讨论思想。

例 3(补充)已知:如图,等边△ ABC 的边长是 6cm 。

⑴求等边△ ABC 的高。 ⑵求 S △ ABC 。

分析:勾股定理的使用范围是在直角三角形中, 因此注意要 创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高 CD ,可将其置身于 Rt △ ADC 或 Rt △ BDC 中, 但 只 有 一 边 已 知 , 根 据 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 性 质 , 可 求 AD=CD=2

1AB=3cm,则此题可解。

D

B

A

四、课堂练习 1.填空题

⑴在 Rt △ ABC ,∠ C=90°, a=8, b=15,则 c= 。 ⑵在 Rt △ ABC ,∠ B=90°, a=3, b=4,则 c= 。 ⑶在 Rt △ ABC , ∠ C=90°, c=10, a :b=3:4, 则 a= , b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数, 则它的三边长分 别为 。

⑸已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm ,,则第三边 长为 。

⑹已知等边三角形的边长为 2cm ,则

它的高为 ,面积为 。 2. 已知:如图, 在△ ABC 中, ∠ C=60°, AB=34, AC=4, AD 是 BC 边上的高,求 BC 的长。

3.已知等腰三角形腰长是 10,底边长是 16,求这个等腰三角 形的面积。 五、课后练习 1.填空题

在 Rt △ ABC ,∠ C=90°,

⑴如果 a=7, c=25,则 b= 。 ⑵如果∠ A=30°, a=4,则 b= 。

A

B

⑶如果∠ A=45°, a=3,则 c= 。 ⑷如果 c=10, a-b=2,则 b= 。 ⑸ 如 果 a 、 b 、 c 是 连 续 整 数 , 则 a+b+c= 。

⑹如果 b=8, a :c=3:5,则 c= 。

2.已知:如图,四边形 ABCD 中, AD ∥ BC , AD ⊥ DC , AB ⊥ AC ,∠ B=60°, CD=1cm,求 BC 的长。 六、参考答案 课堂练习

1. 17; 7; 6, 8; 6, 8, 10; 4或 34; , 3; 2. 8; 3. 48。 课后练习

1. 24; 43; 32; 6; 12; 10; 2. 3

2

18. 1 勾股定理(三)

一、教学目的

1.会用勾股定理解决简单的实际问题。 2.树立数形结合的思想。 二、重点、难点

1.重点:勾股定理的应用。

2.难点:实际问题向数学问题的转化。 三、课堂引入

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。 勾股定理

B

的发现和使用解决了许多生活中的问题, 今天我们就来运用勾股 定理解决一些问题,你可以吗?试一试。 四、课堂练习

1.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着 45度的坡路走了

500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是 米。

2.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是 4米,则这两 株树之间的垂直距离是 米,水平距离 是 米。

2题 图 3题 图

4题图

3.如图,一根 12米高的电线杆两侧各用 15米的铁丝固定, 两个固定点之间的距离是 。

4.如图,原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路,后 因技术攻关,可以打隧道由 A 地到 B 地

A

C

B

直接修建,已知高速公路一公里造价为 300万元,隧道总长为 2公里,隧道造价为 500万元, AC=80公里, BC=60公里,则改建 后可省工程费用是多少? 五、课后练习

1.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取 B 、 C 两点,在江对 岸取一点 A ,使 AC 垂直江岸,测得 BC=50米, ∠ B=60°,则江面的宽度为 。 2.有一个边长为 1米正方形的洞口,想 用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖 半径至少为 米。

3.一根 32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P 、 Q 两 点, PQ=16厘米,且 RP ⊥ PQ ,则

厘米。

4.如图,钢索斜拉大桥为等腰三

角形,支柱高 24米,∠ B=∠ C=30°, E 、 F 分别为 BD 、 CD 中点, 试求 B 、 C 两点之间的距离,钢索 AB 和 AE 的长度。 (精确到 1米) 六、参考答案: 课堂练习:

1. 2; 2. 6, 32; 3. 18米; 4. 11600; 课后练习

P

Q

A

C

B

D

E

F

1. 3米; 2.

2

2;

3. 20; 4. 83米,

48米, 32米;

18. 1 勾股定理(四)

一、教学目的

1.会用勾股定理解决较综合的问题。

2.树立数形结合的思想。

二、重点、难点

1.重点:勾股定理的综合应用。

2.难点:勾股定理的综合应用。

三、例题的意图分析

例 1(补充)“ 双垂图”是中考重要的考点,熟练掌握“双 垂图” 的图形结构和图形性质, 通过讨论、 计算等使学生能够灵 活应用。 目前 “双垂图” 需要掌握的知识点有:3个直角三角形, 三个勾股定理及推导式 BC 2-BD 2=AC2-AD 2,两对相等锐角,四对互 余角,及 30°或 45°特殊角的特殊性质等。

例 2(补充) 让学生注意所求结论的开放性, 根据已知条件, 作适当辅助线求出三角形中的边和角。 让学生掌握解一般三角形 的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。 使学生清楚作辅 助线不能破坏已知角。

例 3(补充)让学生掌握不规则图形的面积,可转化为特殊 图形求解, 本题通过将图形转化为直角三角形的方法, 把四边形

面积转化为三角形面积之差。 在转化的过程中注意条件的合理运 用。 让学生把前面学过的知识和新知识综合运用, 提高解题的综 合能力。

例 4(教材 P76页探究 3)让学生利用尺规作图和勾股定理 画出数轴上的无理数点, 进一步体会数轴上的点与实数一一对应 的理论。

四、课堂引入

复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。

五、例习题分析

例 1(补充) 1.已知:在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°, CD ⊥ BC 于 D ,∠ A=60°, CD=,

求线段 AB 的长。

分析:本题是“双垂图”的计算题,“双垂图”是中考重要的考 点,所以要求学生对图形及性质掌握非常熟

练,能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握

的知识点有:3个直角三角形,三个勾股定理

及推导式 BC 2-BD 2=AC2-AD 2,两对相等锐角,四对互余角,及 30°

或 45°特殊角的特殊性质等。

要求学生能够自己画图,并正确标图。引导学生分析:欲求 AB ,可由 AB=BD+CD,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊 角,求出 BD=3和 AD=1。或欲求 AB ,可由 22BC AC AB +=,分别 在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出 AC=2和 BC=6。

B A

D

例 2(补充) 已知:如图, △ ABC 中, AC=4,

∠ B=45°,∠ A=60°,根据题设可知什么?

分析:由于本题中的△ ABC 不是直角三角形,

所以根据题设只能直接求得∠ ACB=75°。在

学生充分思考和讨论后,发现添置 AB 边上的高这条辅助线,就 可以求得 AD , CD , BD , AB , BC 及 S △ ABC 。让学生充分讨论还可以 作其它辅助线吗?为什么?

小结:可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三 角形的问题。并指出如何作辅助线?

解略。

例 3(补充)已知:如图,∠ B=∠

D=90°,∠ A=60°, AB=4, CD=2。求:四

边形 ABCD 的面积。

分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结 AC ,或 延长 AB 、 DC 交于 F ,或延长 AD 、 BC 交于 E ,根据本题给定的角 应选后两种, 进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 教学 中要逐层展示给学生,让学生深入体会。

解:延长 AD 、 BC 交于 E 。

∵∠ A=∠ 60°,∠ B=90°,∴∠ E=30°。

∴ AE=2AB=8, CE=2CD=4,

∴ BE 2=AE2-AB 2=82-42=48, BE==4。

∵ DE 2= CE2-CD 2=42-22=12,∴ DE==2。 C A

B

D

B C

∴ S 四边形 ABCD =S△ ABE -S △ CDE =21AB 〃 BE-21CD 〃 DE=36

小结:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通 过将图形转化为直角三角形的方法, 把四边形面积转化为三角形 面积之差。

例 4(教材 P76页探究 3)

分析:利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点, 进一步 体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 变式训练:在数轴上画出表示 22, 1--的点。

六、课堂练习

1.△ ABC 中, AB=AC=25cm,高 AD=20cm,则 BC= , S △ ABC = 。

2. △ ABC 中 , 若 ∠ A=2∠ B=3∠ C , AC=2cm , 则 ∠ A= 度,∠ B= 度 , ∠ C= 度, BC= , S △ ABC = 。

3.△ ABC 中,∠ C=90°, AB=4, BC=32, CD ⊥ AB 于 D ,则 AC= , CD= , BD= , AD= ,S△ ABC = 。

4.已知:如图,△ ABC 中, AB=26, BC=25, AC=17,

求 S △ ABC 。

七、课后练习

1. 在 Rt △ ABC 中, ∠ C=90°, CD ⊥ BC 于 D , ∠ A=60°, CD=, AB= 。

C

2.在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°, S △ ABC =30, c=13,且 a

3. 已知:如图, 在△ ABC 中, ∠ B=30°,

∠ C=45°, AC=22,

求(1) AB 的长;(2) S △ ABC 。

4.在数轴上画出表示-2, 5 的点。

八、参考答案:

课堂练习:

1. 30cm , 300cm 2;

2. 90, 60, 30, 4, 32;

3. 2, , 3, 1, 2;

4.作 BD ⊥ AC 于 D ,设 AD=x,则 CD=17-x, 252-x 2=262-(17-x ) 2, x=7, BD=24,

S △ ABC =21

AC 〃 BD=254;

课后练习:

1. 4;

2. 5, 12;

3. 提示:作 AD ⊥ BC 于 D , AD=CD=2, AB=4, BD=32, BC=2+32, S △ ABC = =2+32;

18. 2 勾股定理的逆定理(一)

一、教学目的

1. 体会勾股定理的逆定理得出过程, 掌握勾股定理的逆定理。

C

2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点

1.重点:掌握勾股定理的逆定理及证明。

2.难点:勾股定理的逆定理的证明。

三、例题的意图分析

例 1(补充)使学生了解命题,逆命题,逆定理的概念,及 它们之间的关系。

例 3(补充)使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三 角形是否是直角三角形的一般步骤:①先判断那条边最大。 ②分 别用代数方法计算出 a 2+b2和 c 2的值。 ③判断 a 2+b2和 c 2是否相等, 若相等,则是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形。 四、课堂引入

创设情境:⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形?

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形?和等腰三角形 的判定进行对比,从勾股定理的逆命题进行猜想。

五、例习题分析

例 1(补充)说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成 立吗?

⑴同旁内角互补,两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等,那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析:⑴每个命题都有逆命题, 说逆命题时注意将题设和结 论调换即可,但要分清题设和结论,并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系, 原命题有真有假, 逆命题也有真有 假,可能都真,也可能一真一假,还可能都假。

解略。

例 2(P82探究)证明:如果三角

形的三边长 a , b , c 满足 a 2+b2=c2,那

么这个三角形是直角三角形。

分析:⑴注意命题证明的格式,首先要

根据题意画出图形,然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形, 现在只知道若有一个 角是直角的三角形是直角三角形, 从而将问题转化为如何判断一 个角是直角。

⑶利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全 等,使问题得以解决。

⑷先做直角, 再截取两直角边相等, 利用勾股定理计算斜边 A 1B 1=c,则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作, 画好图形后剪下放到一起观察能否重 合,激发学生的兴趣和求知欲,再探究理论证明方法。充分利用 这道题锻炼学生的动手操作能力,由实践到理论学生更容易接 受。

b

B C A1

C1

证明略。

例 3(补充)已知:在△ ABC 中,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分 别是 a 、 b 、 c , a=n2-1, b=2n, c=n2+1(n >1)

求证:∠ C=90°。

分析:⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角 三角形的一般步骤:①先判断那条边最大。 ②分别用代数方法计 算出 a 2+b2和 c 2的值。③判断 a 2+b2和 c 2是否相等,若相等,则是 直角三角形;若不相等,则不是直角三角形。

⑵要证∠ C=90°,只要证△ ABC 是直角三角形,并且 c 边最 大。根据勾股定理的逆定理只要证明 a 2+b2=c2即可。

⑶由于 a 2+b2= (n 2-1) 2+(2n ) 2=n4+2n 2+1, c 2=(n 2+1) 2= n4+2n 2+1,从而 a 2+b2=c2,故命题获证。

六、课堂练习

1.判断题。

⑴在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半, 那么这条边所对的角是直角。

⑵命题:“在一个三角形中,有一个角是 30°,那么它所 对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是:如果两条直角边的平方和等于斜边 的平方,那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ ABC 的三边之比是 1:1:2,则△ ABC 是直角三角形。 2.△ ABC 中∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,下列命题

中的假命题是()

A .如果∠ C -∠ B=∠ A ,则△ ABC 是直角三角形。

B .如果 c 2= b 2— a 2,则△ ABC 是直角三角形,且∠ C=90°。

C .如果(c +a )(c -a ) =b2,则△ ABC 是直角三角形。

D .如果∠ A :∠ B :∠ C=5:2:3,则△ ABC 是直角三角形。 3.下列四条线段不能组成直角三角形的是()

A . a=8, b=15, c=17

B . a=9, b=12, c=15

C . a=5, b=3, c=2

D . a :b :c=2:3:4

4.已知:在△ ABC 中,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别是 a 、 b 、 c , 分别为下列长度, 判断该三角形是否是直角三角形?并指出那一 个角是直角?

⑴ a=, b=2

2, c=; ⑵ a=5, b=7, c=9; ⑶ a=2, b=, c=7; ⑷ a=5, b=6

2, c=1。 七、课后练习,

1.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确。

⑴如果 a 3>0,那么 a 2>0;

⑵如果三角形有一个角小于 90°,那么这个三角形是锐角 三角形;

⑶如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等;

⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2.填空题。

⑴任何一个命题都有 ,但任何一个定理未必都 有 。

⑵“两直线平行,内错角相等。”的逆定理是 。

⑶在△ ABC 中,若 a 2=b2-c 2,则△ ABC 是 三角形, 是直角;

若 a 2

⑷若在△ ABC 中, a=m2-n 2, b=2mn, c= m2+n 2,则△ ABC 是 三角形。

3.若三角形的三边是 ⑴ 1、 3、 2; ⑵

51, 41, 31; ⑶ 32, 42, 52 ⑷ 9, 40, 41;

⑸(m +n ) 2-1, 2(m +n ),(m +n ) 2+1;则构成的是

直角三角形的有( )

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D.5个

4.已知:在△ ABC 中,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,分别为下列长度,判断该三角形是否是直角三角形?并指出 那一个角是直角?

⑴ a=9, b=41, c=40; ⑵ a=15, b=16, c=6; ⑶ a=2, b=2, c=4; ⑷ a=5k, b=12k, c=13k

(k >0)。

八、参考答案:

课堂练习:

1.对,错,错,对; 2. D ;

3. D ; 4. ⑴是, ∠ B ; ⑵不是; ⑶是,∠ C ;⑷是,∠ A 。

课后练习:

1.⑴如果 a 2>0,那么 a 3>0;假命题。

⑵如果三角形是锐角三角形, 那么有一个角是锐角; 真命题。 ⑶如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等; 假命题。

⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称;假命题。

2.⑴逆命题,逆定理;⑵内错角相等,两直线平行;⑶直角, ∠ B ,钝角;⑷直角。

3. B 4.⑴是,∠ B ;⑵不是,;⑶是,∠ C ;⑷ 是,∠ C 。

18. 2 勾股定理的逆定理(二)

一、教学目的

1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、课堂引入

创设情境:在军事和航海上经常要确定方向 和位置,从而使用一些数学知识和数学方法。 三、例习题分析

E

了解方位角,及方位名词;

例 2(补充)一根 30米长的细绳折成 3段,围成一个三角 形,其中一条边的长度比较短边长 7米,比较长边短 1米,请你 试判断这个三角形的形状。

分析:⑴若判断三角形的形状,先求三角形的三边长;

⑵设未知数列方程,求出三角形的三边长 5、 12、 13; ⑶根据勾股定理的逆定理,由 52+122=132,知三角形为直 角三角形。

六、课堂练习

1. 小强在操场上向东走 80m 后, 又走了 60m ,

再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走了

80m 后,又走 60m 的方向是 。

2.如图,在操场上竖直立着一根长为 2米的测影竿,早晨测 得它的影长为 4米,中午测得它的影长为

1米,则 A 、 B 、 C 三点能否构成直角三角

形?为什么?

3. 如图, 在我国沿海有一艘不明国籍的 轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13海 里的 A 、 B 两个基地前去拦截, 六分钟后同时到达 C 地将其拦截。 已知甲巡逻艇每小时航行 120海里,乙巡逻艇每小时航行 50海 里,航向为北偏西 40°,问:甲巡逻艇的航向?

七、课后练习

B A

D

N

1.一根 24米绳子,折成三边为三个连续

偶 数 的 三 角 形 , 则 三 边 长 分 别

为 , 此 三 角 形 的 形 状

为 。 2.一根 12米的电线杆 AB ,用铁丝 AC 、 AD 固定,现已知用去 铁丝 AC=15米, AD=13米,又测得地面上 B 、 C 两点之间距离是 9米, B 、 D 两点之间距离是 5米,则电线杆和地面是否垂直,为 什么?

3. 如图, 小明的爸爸在鱼池边开了一块

四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计

算一下土地的面积,以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺,测得 AB=4米, BC=3

米, CD=13米, DA=12米,又已知∠ B=90°。

八、参考答案:

课堂练习:

1.向正南或正北。 2. 能, 因为 BC 2=BD2+CD2=20, AC 2=AD2+CD2=5, AB 2=25, 所以 BC 2+AC2

= AB 2;

3.由△ ABC 是直角三角形,可知∠ CAB+∠ CBA=90°,所以有∠ CAB=40°,航向为北偏东 50°。

课后练习:

1. 6米, 8米, 10米,直角三角形;

A

B

2.△ ABC 、△ ABD 是直角三角形, AB 和地面垂直。

3. 提示:连结 AC 。 AC 2=AB2+BC2=25, AC 2+AD2=CD2

, 因此∠ CAB=90°, S 四边形 =S△ ADC +S△ ABC =36平方米。

18. 2 勾股定理的逆定理(三)

一、教学目的

1. 应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2.灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、例题的意图分析

例 1(补充)利 用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形 的形状。

例 2(补充)使学生掌握研究四边形的问题,通常添置辅助 线把它转化为研究三角形的问题。 本题辅助线作平行线间距离无 法求解。创造 3、 4、 5勾股数,利用勾股定理的逆定理证明 DE 就是平行线间距离。

三、课堂引入

勾股定理和它的逆定理是黄金搭档, 经常综合应用来解决一 些难度较大的题目。

四、例习题分析

例 1(补充)已知:在△ ABC 中,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分 别是 a 、 b 、 c ,满足 a 2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ ABC 的形状。 A B C

E

分析:⑴移项, 配成三个完全平方; ⑵三个非负数的和为 0, 则都为 0;⑶已知 a 、 b 、 c ,利用勾股定理的逆定理判断三角形 的形状为直角三角形。

例 2(补充) 已知:如图, 四边形 ABCD , AD ∥ BC , AB=4, BC=6, CD=5, AD=3。

求:四边形 ABCD 的面积。

分析:⑴作 DE ∥ AB ,连结 BD ,则可以证明△ ABD ≌△ EDB (ASA );

⑵ DE=AB=4, BE=AD=3, EC=EB=3;⑶在△ DEC

中, 3、 4、 5勾股数,△ DEC 为直角三角形, DE

⊥ BC ;⑷利用梯形面积公式可解,或利用三角形

的面积。

例 3(补充)已知:如图,在△ ABC 中, CD 是 AB 边上的高, 且 CD 2=AD〃 BD 。

求证:△ ABC 是直角三角形。

分析:∵ AC 2=AD2+CD2, BC 2=CD2+BD

2 ∴ AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD

2 =AD2+2AD〃 BD+BD

2 =(AD+BD) 2=AB2

六、课堂练习

1.若△ ABC 的三边 a 、 b 、 c ,满足(a -b )(a 2+b 2-c 2

) =0, 则△ ABC 是( ) B A

D

A .等腰三角形;

B .直角三角形;

C .等腰三角形或直角三角形;

D .等腰直角三角形。

2.若△ ABC 的三边 a 、 b 、 c ,满足 a :b :c=1:1:

2,试判断△ ABC 的形状。

3. 已知:如图, 四边形 ABCD , AB=1, BC=43

, CD=

413, AD=3,且 AB ⊥ BC 。

求:四边形 ABCD 的面积。 4. 已知:在△ ABC 中, ∠ ACB=90°, CD ⊥ AB 于 D , 且 CD 2

=AD〃 BD 。

求证:△ ABC 中是直角三角形。

七、课后练习,

1. 若 △ ABC 的 三 边 a 、 b 、 c 满 足

a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ ABC 的面积。 2.在△ ABC 中, AB=13cm, AC=24cm,中线 BD=5cm。

求证:△ ABC 是等腰三角形。

3.已知:如图,∠ 1=∠ 2, AD=AE, D 为 BC 上一点,且 BD=DC, AC 2=AE2+CE2

。

求证:AB 2=AE2+CE2。 4. 已知△ ABC 的三边为 a 、 b 、 c , 且 a+b=4, ab=1, c=,试判定△ ABC 的形状。

八、参考答案:

课堂练习:

E

D D

1. C ;

2.△ ABC 是等腰直角三角形;

3.

4

9

4.提示:∵ AC 2=AD2+CD2, BC 2=CD2+BD2,∴ AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2= AD 2+2AD〃 BD+BD2=(AD+BD) 2=AB2,∴∠ ACB=90°。

课后练习:

1. 6;

2.提示:因为 AD 2+BD2=AB2,所以 AD ⊥ BD ,根据线段垂直平分线 的判定可知 AB=BC。

3. 提示:有 AC 2=AE2+CE2得∠ E=90°; 由△ ADC ≌△ AEC , 得 AD=AE, CD=CE,∠ ADC=∠ BE=90°,根据线段垂直平分线的判定可知 AB=AC,则 AB 2=AE2+CE2。

4.提示:直角三角形,用代数方法证明,因为(a+b) 2=16, a 2+2ab+b2=16, ab=1, 所以 a 2+b2=14。 又因为 c 2=14, 所以 a 2+b2=c2 。

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