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范文一：高中数学椭圆大题
篇一:高中数学椭圆经典例题详解
椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆mx2?3y2?6m?0的一个焦点为(0，2)求m的值(
分析:把椭圆的方程化为标准方程，由c?2，根据关系a?b?c可求出m的值(
2
2
2
x2y2
??1(因为焦点在y轴上，所以2m?6，解得m?3( 解:方程变形为
62m
又c?2，所以2m?6?2，m?5适合(故m?5(
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P?3，0?，a?3b，求椭圆的标准方程(
分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况(根据题设条件，运用待定系数法，
1
求出参数a和b(或a和b)的值，即可求得椭圆的标准方程(
2
2
2
x2y2
解:当焦点在x轴上时，设其方程为2?2?1?a?b?0?(
ab
90x222
由椭圆过点P?3，0?，知2?2?1(又a?3b，代入得b?1，a?9，故椭圆的方程为?y2?1(
ab9
y2x2
当焦点在y轴上时，设其方程为2?2?1?a?b?0?(
ab
90y2x222
?1(由椭圆过点P?3， 0?，知2?2?1(又a?3b，联立解得a?81，b?9，故椭圆的方程为?
ab819
例3 ?ABC的底边BC?16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹(
分析:(1)由已知可得GC?GB?20，再利用椭圆定义求
2
解(
(2)由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程(
BC中点为原点建立直角坐标系(解: (1)以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为?x，y?，由GC?GB?20，
知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点(因a?10，c?8，有b?6，
x2y2
??1?y?0?( 故其方程为
10036
x?2y?2
??1?y??0?(? (2)设A?x，y?，G?x?，y??，则
10036
x??x?，?x2y2?3
??1?y?0?，其轨迹是椭圆(除去x轴上两点)由题意有?代入?，得A的轨迹方程为(
y900324?y???3?
例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程( 解:设两焦点为F1、F2，且PF1?
452和，过P点作焦点所在轴33
452，PF2?(从椭圆定义知2a?PF 1?PF2?25(即a?5(33
3
从PF2F1中，sin?PF1F2?1?PF2知PF2垂直焦点所在的
对称轴，所以在Rt?PF
PF2
1
?， PF12
可求出?PF1F2?
?
6
，2c?PF1?cos
?
6
?
1025222
，从而b?a?c?(
3x23y23x2y2
??1或??1( ?所求椭圆方程为
510105
x2y2
例5 已知椭圆方程2?2?1?a?b?0?，长轴端点为A1，A2，
焦点为F1，F2，P是
ab
椭圆上一点，?A1PA2??，?F1PF2??(求:?F1PF2的面
4
积(用a、b、?表示)( 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角?的两邻边，从而利用S??解:如图，设P?x，y?，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限( 由余弦定理知: F1F2
2
1
absinC求面积( 2
?PF1?PF2?2PFPF2cos??4c2(? 12
22
2b2
由椭圆定义知: PF( 1?PF2?1?PF2?2a?，则?,?得 PF
1?cos?
故S?F1PF2
例6 已知动圆P过定点A??3，且在定圆B:求动圆圆心P的轨迹方程( 0?，?x?3??y2?64的内部与其相内切，
2
1?12b2
?PF1?PF2sin? ?sin? ?b2tan( 2221?cos?
分析:关键是根据题意，列出点P满足的关系式(
解:如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M(动点P到两定点，
0?和定圆圆心B?3，0?距离之和恰好等于定圆半径， 即
5
定点A??3，
即??PM??BM?8(?点P的轨迹是以A，B为两焦点，
x2y2
??1( 半长轴为4，半短轴长为b?4?3?的椭圆的方程:
167
2
2
说明:
本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程(这是求轨迹方程
的一种重要思想方法(
x2
?y2?1， 例7 已知椭圆2
(1)求过点P??且被P平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过A?2，1?引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ??
求线段PQ中点M的轨迹方程(
分析:此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法(
6
解:设弦两端点分别为M?x1，y1?，N?x2，y2?，线段
MN的中点R?x，y?，则
?11?
?22?
1， 2
?x12?2y12?2，?22
?x2?2y2?2，?
?x1?x2?2x，?y?y?2y，?12
(1)将x?
????
由题意知x1
?,?得
?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0(
y1?y2
?0，
x1?x2
y1?y2
?0(?
x1?x2
?x2，则上式两端同除以x1?x2，有?x1?x2?2?y1?y2?
将??代入得x?2y
11y?y21，y?代入?，得1??，故所求直线方程为:
7
2x?4y?3?0( ? 22x1?x22
2
22
将?代入椭圆方程x?2
y?2得6y?6y?
11
?0，??36?4?6??0符合题意，2x?4y?3?0为所求( 44
(2)将
y1?y2
(椭圆内部分) ?2代入?得所求轨迹方程为: x?4y?0(
x1?x2
y1?y2y?122
代入?得所求轨迹方程为: x?2y?2x?2y?0((椭圆内部
分) ?
x1?x2x?2
(3)将
2
x12?x22
?y12?y2?2， ?，将??平方并整理得 (4)由?，?
得 :
2
??
8
22
x12?x2?4x2?2x1x2， ?， y12?y2?4y2?2y1y2，?
4x2?2x1x2
?4y2?2y1y2?2，? 将??代入?得:
4
??
y21?1?222
?1( 再将y1y2??x1x2代入?式得:2x?x1x2?4y?2??x1x2??2， 即 x?122??
2
此即为所求轨迹方程(当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决(
例8 已知椭圆4x2?y2?1及直线y?x?m( (1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点, (2)若直线被椭圆截得的弦长为
2，求直线的方程( 5
2
解:(1)把直线方程y?x?m代入椭圆方程4x2?y2?1得4x2??x?m??1， 即5x?2mx?m?1?0(???2m??4?5?m2?1??16m2?20?0，解得?
2
2
9
2
??
5
( ?m?
22
2mm2?1
(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由(1)得x1?x2??，x1x2?(
55
m2?12?2m?2
?根据弦长公式得 :?1???(解得m?0(方程为y?x( ??4?
555??
说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别(
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?;解决弦长问题，一般应用弦长公式( 用弦长公式，若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)，可大大简化运算过程(
2
x2y2
??1的焦点为焦点，过直线l:x?y?9?0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，例9 以椭圆
123
10
点M应在何处,并求出此时的椭圆方程(
分析:椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小，只须利用对称就可解决(
x2y2
??1的焦点为F1??3，解:如图所示，椭圆0?，F2?3，0?( 123
点F1关于直线l:x?y?9?0的对称点F的坐标为(,9，6)，直线FF2的方程为x?2y?3?0( 解方程组?
?x?2y?3?0
得交点M的坐标为(,5，4)(此时MF1?MF2最小(
x?y?9?0?
所求椭圆的长轴:2a?MF1?MF2?FF2?6，?a?3，又c?3，
x2y2
??1( ?b?a?c?3?3?36(因此，所求椭圆的方程为
4536
2
2
2
??
2
2
x2y2
11
例10 已知方程???1表示椭圆，求k的取值范围(
k?53?k?k?5?0,?
解:由?3?k?0,得3?k?5，且k?4(
?k?5?3?k,?
?满足条件的k的取值范围是3?k?5，且k?4( 说明:本题易出现如下错解:由?
?k?5?0,
得3?k?5，故k的取值范围是3?k?5(
?3?k?0,
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a?b?0这个条件，当a?b时，并不表示椭圆(
例11 已知x2sin??y2cos??1(0????)表示焦点在y轴上的椭圆，求?的取值范围( 分析:依据已知条件确定?的三角函数的大小关系(再根据三角函数的单调性，求出?的取值范围(
x2y211
??0( ??1(因为焦点在y轴上，所以?解:方程可化为
cos?sin?sin?cos?
因此sin??0且tan???1从而??(
?3
,?)( 24
11
12
?0，??0，这是容易忽视的地方( sin?cos?1122
(2)由焦点在y轴上，知a??，b?( (3)求?的取值范围时，应注意题目中的条件0????(
cos?sin?
说明:(1)由椭圆的标准方程知
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(,?2)和B(?23,1)两点的椭圆方程( 分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
22
可设其方程为mx?ny?1(m?0，n?0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程(
解:设所求椭圆方程为mx2?ny2?1(m?0，n?0)(由A(,?2)和B(?23,1)两点在椭圆上可得
22
?11x2y2?m?(3)?n?(?2)?1,?3m?4n?1,
??1( 即?所以m?，n?(故所求的椭圆方程为?22155155??12m?n?1,?m?(?23)?n?1?1,
例13知圆x2?y2?1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹(
分析:本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题(这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹( 解:设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则x?
13
x0
，y?y0( 2
篇二:高一数学椭圆及其标准方程练习题(有答案)
椭圆单元练习卷
一、选择题:
x2y2
??1上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为,，则P到另一焦点距离为,.已知椭圆
2516
( )
A(, B(, C(,D(,
,(中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为,，则椭圆方程是( )
x2y2x2y2x2y222
?1 ??1B. ??1C. ?y?1D. x?A.
444334
,.与椭圆9x+4y=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是()
2
2
x2y2
A ??1
14
2520x2y2B??12025x2y2C??12045x2y2D??1 8085
,(椭圆5x2?ky2?5的一个焦点是(0,2)，那么k等于()
A. ?1 B. 1
,(若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )
A.
C.
5
D. 1
2
B.
C.
D. 2
,(椭圆两焦点为 F1(?4,0)，F2(4,0) ，P在椭圆上，若 ?PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆方程为( )
x2y2x2y2x2y2x2y2
?1C . ??1 D . ??1 ??1B . ?A.
2592516254169
,(椭圆的两个焦点是F1(,1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是( )。
y2y2y2y2x2x2x2x2
15
A ，,1B ，,1C ，,1 D ，,1
16916124334
,.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为()
(A)45(B)60 (C)90(D)120
0000
x2y2
??1上的点M到焦点F1的距离是2，,(椭圆N是MF1的中点，则|ON|为…… () 259
A. 4B . 2 C. 8 D .
3 2
10(已知?ABC的顶点B、C在椭圆，y,1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外
3一个焦点在BC边上，则?ABC的周长是 ()
(A)23(B)6 (C)43(D)12 二、填空题:
x2
2
x2y2
11(方程??1表示焦点在y轴的椭圆时，实数m的取值范围是____________
|m|?12
12(过点(2,?3)且与椭圆9x2?4y2?36有共同的焦点的椭圆
16
的标准方程为_____________
?0),13(设M(5NP,N(5,0),?MNP的周长是36，则?M的顶点P的轨迹方程为_______
A14(如图:从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点
及短轴的端点B的连线AB?OM， 则该椭圆的离心率等于_____________
三、解答题:)
15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e?
2
，短轴长为8，求椭圆的方程。 3
16.已知点A0,3和圆O1:x?y?
??
2
?
3
?
2
?16，点M在圆O1上运动，点P在半径
O1M上，且PM?，求动点P的轨迹方程。
8x225y2
17(已知A、B为椭圆2+=1上两点，F为椭圆的右焦点，
17
若|AF|+|BF|=a，AB222
2
5a9a
中点到椭圆左准线的距离为
3
，求该椭圆方程( 2
18((10分)根据条件，分别求出椭圆的方程: (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为
1
，长轴长为8; 2
(2)中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2组
2?成的三角形的周长为4??F1BF2?
3
x2y2
??1(0?b?10)的左、右焦点，P是椭圆上一点。19((12分)已知F 1,F2为椭圆
100b2
(1)求|PF1|?|PF2|的最大值; (2)若?F1PF2PF?60且?
F，求b的值; 12
参考答案: 一、DCBAB B0CCAC
二、11(m?(1,3)(?3,?1)12. y215?x210?1三、
18
15.
x2y2x2144801 或 80?y2
??144?1 16. 利用定义法? x2
?y2
4
?1 x2y2169?144?1(y?
0) 14. 2
13.
篇三:2014年高中数学椭圆方程练习题
2014年高中数学椭圆方程练习题
1、椭圆的一个顶点为A?2,0?，其长轴长是短轴长的2倍。 分析:题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置( 解:?当A?2,0?为长轴端点时，
，
x2y2
??11，椭圆的标准方程为:4; x2y2
??1
，椭圆的标准方程为:416;
?当A?2,0?为短轴端点时，，
说明:椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况(
19
选题角度:根据椭圆上的点和长短轴之间的关系求标准方程，考查椭圆的标准方程和思考问题的全面性;
(2)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2。
x22
?y?12
解:由题意，设椭圆方程为a
由
，得
，
x1?x2a2?xM?，?2
21?a
，?
?
为所求(
，
，
说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题，经常要
借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题(
选题角度:根据椭圆的几何特征求椭圆的方程
x2y2
20
?2?12
b2. 已知点P(3，4)是椭圆a(a，b，0)上的一点， 两个
焦点为F1，F2，若
PF1?PF2，试求:
(1)椭圆的方程
(2)?PF1F2的面积
222
解析:(1)解法一:令F1??c,0?，F2?c,0?，则b?a?c。
?PF1?PF2，?kPF1?kPF2??1，
44???13?c3?c即 ，解得c?5，
x2y2
?2?12
?椭圆方程为aa?25，
916??122??P3,4aa?25?点在椭圆上，?，
22
解得a?45或a?5
2
又a?c，?a?5舍去，
x2y2
??14520故所求椭圆方程为。
1?PF2，??PF1F2为直角三角形， 解法二:?PF
1
21
F1F2?c2? 22
OP?3?4?5，?c?5， 又
OP?
x2y2
?2?12
?椭圆方程为aa?25(以下同解法一)
(2)解法一: 由焦半径公式:
PF1?a?ex?3?PF2?a?ex?35?
53553?3?4，
?3?25
，
?
S?PF1F2?
11
PF1?PF2??4?25?2022。 11
F1F2?4??10?4?2022。
?
?
2
2
2
解法二:P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，
22
?
S?PF1F2?
解法三:由椭圆定义知: PF1?PF2?6
PF1?PF2又?F1F2
2
1?PF2?80， ??? 得2PF
?
S?PF1F2?
1
PF1?PF2?202
222
反思:要确定椭圆的标准方程，即确定a、b的值，由于a?b?c，故只需求出a、
b、c中的任意两个量即可。本例中利用PF1?PF2的条件或使用斜率或借助平面几何知识
均可求出c?5。对于求?PF1F2的面积，解法一使用了焦半径公式，解法二利用了第一定义和勾股定理，以上解法都说明在处理解析几何问题时，既可以用代数的方法求值运算，又可以利用某些几何性质。
x2y2
?2?12ab3. 椭圆C:(a，b，0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1?414
23
PF2，,PF1,=3，,PF2,=3
(1)求椭圆C的方程。
(2)若直线l过圆x2+y2+4x,2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程.
1?PF2?6，a?3。 解析:解法一(1)因为点P在椭圆C上，所以2a?PF1F2中，在Rt?PF
F1F2?PF2?PF1
22
?2，故椭圆的半焦距c?5，从而
b2?a2?c2?4。
x2y2
??194所以椭圆C的方程为。
(2)设A，B的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?。
22
????x?2?y?1?5，已知圆的方程为所以圆心M的坐标为??2,1?，从而可设直线l
的方程为y?k?x?2??1，代入椭圆C的方程得
?4?9k?x??36k
2
2
2
?18kx?36k2?36k?27?0。
24
?
x1?x218k2?9k8
k?????2
9，所以直线24?9k2因为A，B关于点M对称，所以，
解得
8
y??x?2??1
l的方程为9，即8x?9y?25?0。
解法二:(1)同解法一。
22
????x?2?y?1?5，所以圆心M的坐标为??2,1?，设A，B
(2)已知圆的方程为
的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?。由题意x1?x2且
x1y
?1?194， x2y
?2?194。
由?,?得
2
2
22
? ?
?x1?x2??x1?x2??y1?y2??y1?y2?
25
9
?
4
因为A，B关于点M对称，
?0
。?
y1?y28
?
x?x9， x?x??4y?y?2222所以1，1。代入 ? 得 1
8
即直线l的斜率为9，所以直线l的方程为
8
y??x?2??1
9， 即8x?9y?25?0。
反思:
(1)利用椭圆的定义求a以及已知的条件求c从而求出椭圆方程。
(2)解法一:利用解析几何的基本思想——用代数方法解决几何问题，先求出圆心坐标从而求出k的值。
y2?y1
解法二:利用点差法求出x2?x1的值，从而求出直线l的方程。
26
x2y2
??1
4. 若方程25?m16?m表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为( )
999
A. (?16，25) B. (2，25) C. (?16，2) D. (2，??)
x2y2
??1
5. 已知椭圆259上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为椭圆中心，那么线段ON的长是( )
A. 2
B. 4
C. 8
3D. 2
?x2y2
?FMF???112S?6，6. 设M是椭圆2516上一点，F1、F2为焦点，则?MF1F2( )
163
A. 3
B. 16(2
C. 16(2?3)
27
D. 16
7. 已知F1、F2为椭圆的两个焦点，P
为椭圆上一点，并且
?PF1F2:?PF2F1:?F1PF2?12::3，则该椭圆的离心率应为
( )
A.
2?1
B.
?1
2
C. 2
D. 2?
8. 以椭圆右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心，
并交椭圆于点M、N，若直线
MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.
3?1
B.
3?12
C.
?12
3D. 2
28
x2y2
?2?12F、F?a?b?0?的两个焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰ab129 已知是椭圆?
?BAF2?
?ABF2，其中2，则该椭圆的离心率e的值为( )
A. 2 B. 6?C. D. 6
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
10. 已知?ABC中，A(3，0)，B(?3，0)，且三边|AC|，|AB|，|BC|成等差数列，则
顶点C的轨迹方程是___________。
x2y2
??12516 11. 已知P是椭圆上一点，F1、F2为焦点，且?F1PF2?90?，则?PF1F2的面
积是___________。
y2x2
??1912. 若椭圆k?8的焦距为4，则k?___________。
13. 椭圆x?2y?2?0的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为B，则?F1BF2的外接圆
的方程为___________。
三、解答题(本大题共4题，共50分)
22
x2y2
29
??1314. 过椭圆4的左焦点F作直线l交椭圆于P、Q，
F2为右焦点。
PFQF
求:
2
2
的最值
15. 已知椭圆的一个焦点为F1(0，?2)，对应的准线方程为
y??
94，且离心率e
24
e、
3成等比数列。 满足3，
(1)求椭圆的方程。
(2)试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、
N，且线段MN恰被直线
x??
1
2平分,若存在，求出l的倾角的取值范围，若不存在，
请说明理由。
x2y?
?2?12
30
b16. 求证:a(a?b?0)上任一点与短轴两端点的连线所在直线在x轴上
的截距之积为定值
31
范文二：椭圆大题练习
x2y2
1．设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，ab
且焦距为6，?PF1F2的周长为16．
（1）求椭圆C的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为
点坐标．
2．在直角坐标系xOy中,点P
到两点(0,的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直
线y=kx+1与C交于A,B两点.
(1)写出C的方程; (2) OA⊥OB，求k的值.
4的直线l被椭圆C所截的线段的中5
x2y2
3．已知椭圆2+2=1（a
>b>0
1，短轴长为 ab
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB
方程．
，求直线AB的
x2y264．已知椭圆方程为2+2=1(a>b>0)，它的一个顶点为M(0,1)，离心率e=． 3ab
（1）求椭圆的方程； （2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距
面积的最大值． x2y25、已知点A(0,2),椭圆E:2+2=1(a>b>
0)F是椭圆E的右焦点，直线abAF
，O为坐标原点 （1）求E的方程 （2）设过点A的动直线l与E 相交于P,Q两点。当?OPQ的面积最大时，求l的直线方程.
x2
2226．椭圆G：＋y＝1.过x轴上的动点P(m,0)作圆x＋y＝1的切线l交椭圆G于A，B两点． 4
（1）求椭圆G上的点到直线x-2y+1=0的最大距离;
（2）①当实数m=1时,求A，B两点坐标;
②将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
x2y27．已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的一个顶点A(2,0),
离心率为,直线y=k(x-1)与椭ab2
圆C交于不同的两点M,N
(1)求椭圆C的方程.
(2)当△AMN
的面积为
时,求k的值. 3
x2y28．已知椭圆C:2+2=1(a>b>
0)，左右焦点分别为F1,F2，且F1F2=2. ab（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1的直线与椭圆C相交于A,B
两点，且AB=
?AF2B的面积.
9．已知?ABC中，点A、B
的坐标分别为A(00)，点C在x轴上方。
（1）若点C
坐标为，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）过点P(m,0)作倾角为3π的直线l交（1）中曲线于M,N两点，若点Q(1,0)恰在以4
线段MN为直径的圆上，求实数m的值。
x2y2 10．设F1，F2分别是椭圆：2+2(a>b>0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45的直线l 与ab
该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|=
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点M(0，-1) 满足|MP|=|MQ|，求该椭圆的方程.
4a. 3
范文三：椭圆大题汇编
椭圆大题
11．11. 已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A （3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。来源学科网ZXXK
y 2x 212. 椭圆2+2=1(a>b>0)的两焦点为F 1（0，-c ），F 2（0，c ）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-3，2a b
求椭圆的方程.
13.
（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的离心率来源学科网Z,X, X,K] 13. 1，14.
15.
14．14. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点F 1作倾斜解为
来源:Z*xx*k.Com] π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 3的长．
15．
x 2y 2
15．. 设F 1、F 2为椭圆P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的3个顶点，且|PF1|>|PF2|，+=1的两个焦点，94
求|PF 1|的值. |PF 2|
来源学科网
【答案与解析】
1．答案：C
解析： ∵c=2，e
222=2，∴a=3 3∴b =a―c=9―4=5
，∴b =
∴短轴长为2b =2．答案： C
y 2x 2
解析 ：∵点（3，2）在椭圆2＋2=1上， a b
(±3) 2(±2) 23222
+∴2＋2=1,∴=1. a b a 2b 2
y 2x 2
即点(±3,±2) 在椭圆2＋2=1上. a b
3．答案：D
x 2y 2
+=1总有公共点，解析： 直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆5m
0212
+≤1，得m≥1，∴m 的取值范围是1≤m4，则b =4，a =m
，∴c =，
∴e =116=，得m =。 32
=16。 3综上，m=3或m
8．答案：[2，3] 解析：根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a 的取值范围为[2，3]
9. 答案：1 2
解析：由题意得c 1=cos600= a 2
x 2y 2
+=1 10，答案43
x 2y 2
解析：由题设椭圆C 的标准方程为2+2=1(a >b >0) ，由已知得a +c =3, a -c =1, ∴a =2, c =1a b
x 2y 2
b =a -c =3，∴椭圆的方程为+=1 43222 来源学科网
11. 解析：若椭圆的焦点在x 轴上， x 2y 2
设椭圆的标准方程为2+2=1(a >b >0) ，a b
?2a =3?2b ?a =3?由题意得?9，解得。 ?0+=1?b =1??a 2b 2来源学科网 x 2
+y 2=1。 ∴椭圆的标准方程为9
若椭圆的焦点在y 轴上， y 2x 2y 2x 2
+=1设椭圆的标准方程为2+2=1(a >b >0) . 同理可求椭圆的方程为a b 819
12．解析∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2- 3.
又e=c a =，∴a=2.故b=1. 2
∴椭圆的方程为y 24+x2=1.
x 2y 2
13. 解析：设椭圆的方程为2+2=1, a b y 2x 2或2+2=1(a >b >0) ，由椭圆的对称性和正方形的对称性可知：正方形被a b
椭圆的对称轴分割成了4个全等直角三角形，因此b =c （2c 为焦距）
?a -c =1, ?a =??由题意得?b =c 解得?b =1 ?2?c =122a =b +c ?
?
x 2
+y 2=1, ∴椭圆的方程为2
（2
）椭圆的离心率为e =
来源学科网ZXXK]y 2或+x 2=1. 2c =a
14. 解析：利用直线与椭圆相交的弦长公式
因为a AB =+k 2x 1-x 2=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]．求解． =6，b =3，所以c =33．
又因为焦点在x 轴上， x 2y 2
+=1，左焦点F (-3, 0) ，从而直线方程为 所以椭圆方程为369
y =x +9．
由直线方程与椭圆方程联立得 来源学科网13x 2+x +36?8=0．
设x 1，x 2为方程两根， 来源学科网
所以x 1+x 2=-36?872，x 1x 2=，k =3， 1313
从而AB =+k 2x 1-x 2=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]=
7
2或2. 48． 1315. 答案：
解析：|PF1|+|PF2|=6，|F1F 2|=
22. 22若∠PF 2F 1为直角，则|PF1|=|PF2|+|F1F 2|，由此可得|
222PF 1|=144, |PF 2|=； 33若∠F 1PF 2为直角，则|PF1|+|PF2|=|F1F 2|，由此可得|PF1|=4，|PF2|=2.
∴|PF 1|7|PF 1|=, 或=2, |PF 2|2|PF 2|
类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
例3. （1
（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
【解析】 （1
）由题意得(a +c ) ∶(a -c ) =
即1+e
=1-e 解得e =5-
?a +c =10（2）由题意得?， a -c =4?
解得??a =7c 3，故离心率e ==。 a 7?c =3
【总结升华】 椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式。
举一反三：
【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）
A . 1
5B 4C 31D . 2
【答案】D
x 2y 2
【变式2】椭圆2+2=1上一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c ，若d 1、2c 、d 2成等差数列，则a b
椭圆的离心率为＿＿＿＿＿ 【答案】1 2
x 2y 2
例4. 设M 为椭圆2+2=1(a >b >0) 上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭a b
圆的离心率。
【解析】 在△MF 1F 2中，由正弦定理得
|MF 1||MF 2|2c ==， sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 2F 1sin ∠MF 1F 2
即|MF 1||MF 2|2c == sin 90?sin15?sin 75?
∴2c |MF 1|+|MF 2|2a ==，
sin 90?sin15?+sin 75?sin15?+sin 75?
∴e =c 1。 ==a sin15?+sin 75?【总结升华】 本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e 。
【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。
1
2πx 2y 2
例5．已知椭圆2+2=1(a >b >0) ，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2=，求其离3a b
心率e 的取值范围。
【解析】△F 1PF 2中，已知∠F 1PF 2=2π，|F1F 2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a， 3
由余弦定理：4c 2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①
又|PF1|+|PF2|=2a ②
22联立① ②得4c 2=4a2-|PF1||PF 2|，∴|PF ||PF |=4a -4c 12
|PF 1||PF 2|≤(2a 2) =a 2?4a 2-4c 2≤a 2?3a 2-4c 2≤
0 2
?c ≥?≤e <1 a="">
【总结升华】求离心率或离心率的范围，通常构造关于a ，b ，c 的齐次式，从而构造出关于e 的方程或不等式.
举一反三： x 2y 2
2【变式】已知椭圆2+2=1(a >b >0) ，以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程ax +bx +c =0无实根，求其a b
离心率e 的取值范围。
22【答案】由已知，?=b -4ac <0，所以(a -c="" )="" -4ac=""><0，>
即c +4ac -a >0，
不等式两边同除a 可得e +4e -1>0，
解不等式得e
2或e >2.
由椭圆的离心率e ∈(0,1)，
所以所求椭圆离心率e ∈2,1) .
2222
范文四：椭圆大题
高中新课标选修（1-1）椭圆部分测试题
x 2y 2
+=1的点P 到直线x -2y +7=0的距离最大时，第10题. 椭圆点P 的坐标是( )
43?Ａ．
??
Ｃ． -1?
Ｂ． ?
Ｄ． 1，-
?
?3?2?
??3?? 2?12
2
2
0) ，B 是圆F ∶(x -) +y =4（F 为圆心）上一动点，线段AB 的第12题. 已知A (-，
垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 ． 答案：x +
2
12
42
y =1 3
x 2y 2
+=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴第13题. 椭圆
123
上，那么PF 1是PF 2的（ ） Ａ．7倍
Ｂ．5倍
Ｃ．4倍
Ｄ．3倍
第14题. 若椭圆两个焦点为F ，，0) F 2(4，0) ，椭圆的弦的AB 过点F 1，且△ABF 2的周1(-4长为20，那么该椭圆的方程为 ．
?第15题.
求中心在原点，过点 1
-4=0的椭圆方程．
??
答案：解法1：设椭圆方程为b x +a y =a b ，
22
2
2
22
32
a ?32?2222
点 12??在椭圆上，∴b +4a =a b ，即b =a 2-1
??
2a 2a 又
-4=0，
c =∴=
4c ①
②
?32?
?a ?322222
将①，②代入a =b +c ，得a =?2?+a ，
a -1??16??
72242
即3a -19a +28=0，∴a 1=4，a 2=．
3
代入①得b 1=1，b 2=
22
21． 16
x 2x 2y 22
+y =1+=1． 所求椭圆方程为
7214
316
??
?
到椭圆右准线的距离，则??2?
0) d 为 解法2：如图所示，设椭圆右焦点为F (c ，，
1PF c
=． d a
c =
a ①
c 2a 2曲准线方程为x =2= =
a c ②代入①，化简得12c -+21=0
2
②
?27
a 2=??a =4??3222
，解得c 1=c 2=，代入②及a =b +c ，得?2． ?
21??b 1=1?b 2=2?16?
2
1
x 2x 2y 22
+y =1
+=所求椭圆的方程为
7214
316
第16题. 已知椭圆的长轴是短轴的3的标准方程．
答案：解：若椭圆的焦点在x 轴上，
x 2y 2
设方程为2+2=1(a >b >0) ．
a b
?2a =3?2b ，
?a =3，?
由题意?9解得 0?
+2=1，?b =1．?2a b ?
x 2
∴椭圆的方程为+y 2=1；
9
y 2x 2
若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为2+2=1(a >b >0) ，
a b
?2a =3?2b ，
?a =9，?
由题意?0解得 9?
b =3．+=1，???a 2b 2
y 2x 2
∴椭圆方程为+=1．
819
x 2y 2x 22
+y =1，或+=1． 故椭圆方程为9819
第17题. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两
点P
，1P 2(．求椭圆方程．
x 2y 2
P ，第18题. 已知椭圆2+2=1(a >b >0) 内有一点A ，F 1为左焦点，在椭圆上求一点
a b
使PF 1+PA 取得最值．
答案：解：如图所示，设F 2为椭圆的右焦点，且AF 2与椭圆相交于P ，P 2两点，点M 是不1同于点P ，P 2的椭圆上的任一点． 1
根据椭圆的定义知，PF 11+PF 12=2a ，
∴PF =PF 11+PA 111+PF 12+F 2A =2a +F 2A ．
在△AMF 2中，MA
∴MF 1+MA
M 是椭圆上任一点，
∴MF 1+MA <2a +f="" 2a="">
． ∴MF 1+MA
∴点P 1是使PF 1+PA 取得最大值的点．
同理：P 2F 1+P 2A =P 2F 1+P 2F 2-AF 2=2a -AF 2． 在△AMF 2中，MA >MF 2-AF 2，
∴MF 1+MA >MF 1+MF 2-AF 2=2a -AF 2． ∴MF 1+MA >P 2F 1+P 2A ．
∴点P 2是使PF 1+PA 取得最小值的点．
x 2y 2
第19题. 已知椭圆2+2=1(a >b >0) ，P 为椭圆上任一点，∠F 1PF 2=θ，求S △F 1PF 2
a b
（F 1，F 2为焦点）． 答案：解： S △F 1PF 2=
2
1
PF 1PF 2sin θ， 2
2
2
又(2c ) =PF 1+PF 2-2PF 1PF 2cos θ．
①
由定义PF 1+PF 2=2a ，
∴PF 1+PF 2+2PF 1PF 2=4a 2． ②
22
2(a 2-c 2) 2b 2
=由①②得PF 1PF 2=．
1+cos θ1+cos θ∴S △F 1PF 2
1b 2sin θθ
=PF 1PF 2sin θ==b 2tan ．
21+cos θ2
x 2y 2
+=1内一点M (2，第20题. 过椭圆1) 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直164
线的方程．
答案：解：设所求直线的方程为y -1=k (x -2) ，
代入椭圆方程并整理，得(4k 2+1) x 2-8(2k 2-k ) x +4(2k -1) 2-16=0． 设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则x 1，x 2是直线方程的两根，
8(2k 2-k )
于是x 1+x 2=．又M 为AB 的中点， 2
4k +11x 1+x 24(2k 2-k )
k =-∴==2，解得．
224k 2+1
故所求直线的方程为x +2y -4=0．
x 2y 2
第21题. 已知椭圆2+2=1(a >b >0) ，右焦点F ，如图所求，求连结F 和椭圆上任意
a b
一点P 的线段FP 的中点Q 的轨迹方程．
x 0+c ?
x =，??x 0=2x -c ，?2
答案：解：设P (x 0，y 0) ，Q (x ，y ) ，则? ∴?
?y 0=2y ．?y =y 0．
??2
x 2y 2(2x -c ) 24y 2
+2=1．
代入2+2=1，得2
a b a b
c ??
x -?y 22??即+=1为所求的轨迹方程． 22?a ??b ? ? ??2??2?
2
πx 2
+y 2=1于A ，B 两点，第22题. 倾斜角为的直线交椭圆求线段AB 中点M 的轨迹方
44
程．
答案：解：设倾斜角为
π
的直线交椭圆于A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ， 4
x 12
+y 12=1，① 由4
2x 22
+y 2=1， 4
②
①－②得
(x 1-x 2)(x 1+x 2)
=-(y 1-y 2)(y 1+y 2) ．
4
又设中点M (x ，y ) ，则
y 1-y 2x +x 2x x
． =-12=-=-
x 1-x 24(y 1+y 2) 8y 4y
又
πy 1-y 2
为AB 连线斜率，即k =tan =1，
4x 1-x 2
∴-
x
=1，即x +4y =0（其中包含在椭圆内部和椭圆上）． 4y
范文五：20椭圆压轴大题
解析几何压轴大题（20题）
题型1曲线方程与性质
y2
=1在y轴正半轴上的例1已知O为坐标原点，F为椭圆C：x+2
2
焦点，过F且斜率为
l与C交于A、B两点，点P
满足
.
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一
x2y2
例2（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：2-2=1(a＞0，b＞0)相
ab
交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)． （Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DFBF=17，证明：过A、B、D三点的圆与
x轴相切．
例3（本小题满分12分）
x2y2
设椭圆C：2+2=1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B
ab
两点，直线l的倾斜角为60o,AF=2FB.
(I) (II)
求椭圆C的离心率； 如果|AB|=
15
，求椭圆C的方程. 4
题型2解析几何中的探索性问题
例4.（本小题满分13分）
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2.0）为其右焦点。 （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由
例5已知椭圆C
x2y2
+2=1 2
ab
(a>b>0)的离心率
e=
左，右焦点分别
为2
F1，F2,抛物线y2F恰好是该椭圆的一个顶点
(1)求椭圆C的方程
2
x2 y2=的切线L与椭圆交与A,B两点，那么以AB为直径的
3
（2）已知圆M:圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请
说明理由
例6（本小题满分12分）
x2y2
如图，已知椭圆2+2=1(a>b>0)的离心率
ab
为
2
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2 2
为顶点的三角形的周长为4(2+1)，一等轴双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点 的任一点，直线PF2与椭圆的交点分别为A、 1和PFB和C、D.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1?k2=1； 1、PF
（Ⅲ）是否存在常数λ，使得+CD=λ?CD恒成立？若存在，求λ的值；
若不存在，请说明理由.
.训练1（本小题满分13分）
x2y2
如图，椭圆C:2+2=1的顶点为A1,A2,B1,B2，焦点为
ab
F1,F
2, |A1B1|S
A1B1A2B2
=2S
B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，|OP|=1，是否存在上述直线l使APPB=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
题型3解析几何中的最值问题
例7已知椭圆C的左、
右焦点坐标分别是(
，，
离心率是椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。 （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。
例8已知双曲线C:
直线y=t3
x2y2222
-=1(a>b>0)和圆O:x+y=b(其中原点o为圆心）22
ab
过双曲线c上点p(x0,y0)引圆o的两条切线，切点分别为A,B（1)若双曲线C上存在点P,使得∠APB=900，求双曲 线离心率e的取值范围（2）求直线AB的方程（3）求oAB的面积的最大值
例9已知椭圆中心E在坐标原点，焦点在坐标轴上，切经过A(-2,0),(2,0),(1，
3)2
三点
（1）求椭圆E的方程 （2）若椭圆E的左右焦点分别为F,H,过点H的直线Ｌ：ｘ＝ｍｙ＋１与椭圆Ｅ交与Ａ,Ｂ两点，则AMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线Ｌ的方程；若不存在，请说明理由
题型4解析几何中的定值，定点问题
例１０
x2y2
已知抛物线C:y=2px(p0)的焦点F和椭圆+=1的右焦点重合
43
直线L过点F交抛物线与A,B两点
2
（1）求抛物线C的过程
（2）若直线L交y轴于M,且MA=mAF,MB=nBF,对任意的直线l,m+n是否为定值？若是，求出m+n的值，否则，说明理由
x2y2
例11已知椭圆2+2=1(a>b>0)和圆O：x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆的两条切线，切点分别为A,B
ab
B(1)1若圆o过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e2若椭圆上存在点P使得∠APB=900,求离心率e的取值范围（2）设直线AB与x轴，y轴分别交与M,N,求证
a2oN
2
+
b2oM
2
为定值
x2y2
+=1的左、右顶点为A、B，右焦例1２在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95
点为F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<>
（1）设动点P满足PF2
-PB2
=4,求点P的轨迹； （2）设x1
1=2,x2=
3
，求点T的坐标； （3）设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
题型5解析几何中的交汇问题
例13已知点H(-3,0),点p在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上3
且满足HP.PM=0,PM=-MQ
2
(1)点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C
(2)给定圆M:x2+y2=2x,过圆心M做直线l,此直线与圆M和（1）中的轨迹C共有四个交点，自上而下的顺序记为A,B,C,D如果AB,BC,CD构成等差数列，求直线l的方程
例14已知两定点（A-t,0)和B(t,0），t>0.s为一动点，SA与SB两直线的斜率的乘积为(1）求动点s的轨迹，并说明轨迹类型
（2）当t取何值时，曲线C上存在两点p,Q关于直线x-y-1=0对称？
1t2
例15．（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B
的距离不超过
km5
的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B
两点的距离之和不超过的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段PP，当冰12，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）
川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以
后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
x22
训练2．2011上海（16分）已知椭圆C:2+y=1（常数m>1），点P是C上的动点，
m
M是右顶点，定点A的坐标为(2,0)。
（1）若M与A重合，求C的焦点坐标； （2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值； （3）若|PA|的最小值为|MA|，求m的取值范围。
3 在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值。
2
