迷茫居士71979789
范文一：三角形重心证明
三角形的重心要怎么证明?
1)重心分中线成两段,它们的长度比为2:1.
2)三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分.[证明: 用等底等高的三角形面积相等.高2倍底一倍的三角形面积等于高一倍底2倍的三角形面积]
2)材质均匀的三角形物体,他的重心就在几何重心上.也就是说,你可以从重心穿过一条线,手提这条线,而三角形物体保持水平.
三角形的五心
一 定理
重心定理:三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 垂心定理:三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 内心定理:三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 旁心定理:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽。这些性质都是可以直接用的啊
例题:我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质:重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1(请你用此性质解决下面的问题( 已知:如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，?CAB=90?，直线m过点O，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F(
(1)当直线m与BC平行时(如图1)，请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明;
1
(2)当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立,若成立，请给予证明;若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系,请写出你的结论，不需证明(
考点:相似三角形的判定与性质;三角形的重心;三角形中位线定理;矩形的性质(
专题:探究型(
分析:(1)延长AO交BC于M点，由O为等腰直角三角形ABC的重心可得AO=2MO;再通过证明BCFE为矩形，可得BE=MO=CF，即可得AD=EB+CF;
(2)连接AO并延长交BC于点G，过G做GH?EF于H，由重心可得AO=2MO;再通过证明?AOD??GOH得AD=2HG;然后证得H为EF的中点，据中位线定理HG= (EB+CF)，即可得AD=EB+CF;
(3)图3不成立，CF-BE=AD(
解答:(1)猜想:BE+CF=AD(1分)
证明:如图，延长AO交BC于M点，
2
?点O为等腰直角三角形ABC的重心 ?AO=2OM且AM?BC
又?EF?BC?AM?EF
?BE?EF，CF?EF
?EB?OM?CF
?EB=OM=CF
?EB+CF=2OM=AD((3分)
(2)图2结论:BE+CF=AD 证明:连接AO并延长交BC于点G，
过G做GH?EF于H，
由重心性质可得AO=2OG，
??ADO=?OHG=90?，?AOD=?HOG， ??AOD??GOH，
?AD=2HG，(5分)
?O为重心，
?G为BC中点，
?GH?EF，BE?EF，CF?EF， ?EB?HG?CF，
3
?H为EF中点，
?HG= (EB+CF)，
?EB+CF=AD(7分)
(3)CF-BE=AD((8分)
4
范文二：向量与三角形的重心
向量与三角形的重心
ABC，， 例1 已知是不共线的三点，是内一点，若(求G?ABCGAGBGC，，,0
证:是的重心( G?ABC
证明:如图1所示，因为，所以( GAGBGC,,，()GAGBGC，，,0
以，为邻边作平行四边形，则有， BGCDGBGCGDGBGC,，所以( GDGA,,
E 又因为在平行四边形中，交于点，所以，BGCDBCGDBEEC,
AE(所以是的边的中线，且( ?ABCBCGAGE,2GEED,
故是的重心( G?ABC
点评:?解此题要联系重心的性质和向量加法的意义;?把平面几何知识和向量知识结
合起来解决问题是解此类问题的常用方法(
DEF，，BCACAB，，变式引申:已知分别为的边的中点(求证: ?ABC
( ADBECF，，,0
证明:如图2的所示，
,ADACCD,，,,,，，，2ADACABCDBD，即( 2ADACAB,，,ADABBD,，,,
同理，( 2BEBABC,，2CFCACB,，
？，，,，，，，，,2()ADBECFACABBABCCACB0(
0( ？，，,ADBECF
点评:该例考查了三角形法则和向量的加法(
GO，?ABC 例2 如图3所示，的重心为为坐标原点，
abc，，，b，，试用表示( acOA,OB,OC,OG
MM 解:设AG交BC于点，则是BC的中点，
ba,cb, 则，，( AB,ca,AC,BC,
111 ( ？,，,AMABBCbacbcba,，,,，,()(2)222
21 ( ？,,AGAM(2)cba，,33
11 故( OGOAAG,，,acbaabc，，,,，，(2)()33
点评:重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几
何意义是解决此类题的关键(
变式引申:如图4，平行四边形的中心为， ABCDO
1P为该平面上任意一点，则( POPAPBPCPD,，，，()4
证法1:，，， POPAAO,，POPBBO,，POPCCO,，
， POPDDO,，
， ？,，，，4POPAPBPCPD
1( 即POPAPBPCPD,，，，()4
11 证法2:，， POPAPC,，()POPBPD,，()22
1 ( ？,，，，POPAPBPCPD()4
点评:(1)证法1运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形
法则(
P (2)若与O重合，则上式变为0( OAOBOCOD，，，,
范文三：三角形的重心定理（证明）
1(什么叫重心定理,如何证明三角形的重心定理,
重心定理:三角形的重心到角的顶点的距离是它到该角对边距离的2倍。
已知:如图8-1(甲)所示:O是ABC的重心。
求证:OA=2OD;OB=2OE;OC=2OF。
思路1:倍延过中点的线段OD到G，使DG=DO，连CG。再证?BOD与?CGD全等。
证明1:延长OD到G，使DG=DO，再连CG。
? D是?ABC的边BC的中点，
? BD=DC;
在?BOD和?CGD中;
BD=DC;
?BDO=?CDG;
OD=DG
? ?BOD??CGD;(SAS)
? ?DBO=?DCG;
? CG?EB;
? AE=EC; (平行线分线段成比例定理之推论)
? AO=OG=2OD;
同理:OB=2OE;OC=2OF。
结论:遇到中点，倍延中线，倍延过中点的所有线段都是最有效的辅助线。
该证法采用全等形法，还可以利用相似形法，请看如下证法。
已知:如图8-1(乙)所示:O是ABC的重心。
求证:OA=2OD;OB=2OE;OC=2OF。
思路2:连接EF，构造中位线，利用平行线分线段成比例定理及其推论即可。
证明2:连接EF。
? E、F是?ABC的边AC、AB的中点，
? EF?BC;
? BC=2EF;
? BO=2OE;CO=2OF;
同理:AO=2OD。
结论:该证法更简单。遇到中点，构造中位线是最有效的辅助线。能用平行线分线段成比例定理及其
推论证明的问题，决不用三角形的相似来证明。
范文四：三角形重心性质证明
三角形重心性质证明
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
证明一 例:已知:?ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
求证:EG=1/2CG
证明:过E作EH?BF交AC于H。
?AE=BE，EH//BF
?AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理) 又? AF=CF
?HF=1/2CF
?HF:CF=1/2
?EH?BF
?EG:CG=HF:CF=1/2
?EG=1/2CG
证明二 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 证明方法:
在?ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为
a、b、c边上的中线。根据重心性质知:
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
过O，A分别作a边上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
则，S=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S ?BOC?ABC
同理可证S=1/3S ?AOC?ABC
S=1/3S ?AOB?ABC
所以，S=S=S ?BOC?AOC?AOB
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形)
证法一:
设三角形三个顶点为(x,y),(x,y),(x,y) 平面上任意一点为(x，y)则该点到三顶点11223300
距离平方和为:
222222(x-x)+(y-y)+(x-x)+(y-y)+(x-x)+(y-y) 101020203030
22222222=3x-2x(x+x+x)+3y-2y(y+y+y)+x+x+x+y+y+y 0012300123123123
222222222=3[x-1/3*(x+x+x)]+3[y-1/3*(y+y+y)]+x+x+x+y+y+y-1/3(x+x+x)-1/3(y+012301231231231231
2y+y) 23
显然当x=(x+x+x)/3,y=(y+y+y)/3(重心坐标)时 123123
22222222上式取得最小值x+x+x+y+y+y-1/3(x+x+x)-1/3(y+y+y) 123123123123
最终得出结论。
证法二:由性质8(卡诺重心定理)可得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为[(X+X+X)/3,(Y+Y+Y)/3]; 123123
空间直角坐标系——横坐标:(X+X+X)/3，纵坐标:(Y+Y+Y)/3 123123
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
证明:如图所示，点P是?ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记?ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。
?aa'/2+bb'/2+cc'/2=S?BCP+S?ACP+S?ABP=S
?aa'+bb'+cc'=2S
由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3?aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
?a'b'c'?[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
?a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。
此时，S?ABP=cc'/2=bb'/2=S?ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S?ABP/S?ACP=1。
?此时BM=CM，M是BC的中点，AM是?ABC的中线，P在?ABC中BC边的中线上。
同理可证此时P在?ABC中AB、AC边的中线上。
?当a'b'c'最大时，P是?ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在?ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量)，则M点为?ABC的重心，反之也成立。
7、设?ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)
8、卡诺重心定理:若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2
证明:GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GA*PGcos(AGP)
GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GB*PGcos(BGP)
GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GC*PGcos(CGP)
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) +
GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
延长射线AG,交BC于D,继续延长,使得GD = DE = AG/2.
连接EB,EC,
四边形GBEC为平行四边形.
EB = GC
延长射线PG,
过点B作PG的延长线的垂线,垂足为F.
过点E作PG的延长线的垂线,垂足为H.
BE与PG的延长线的交点为点Q.
则,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF
GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)
HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)
而
GH + HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),
因此,
GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP) = 0,
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2
= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
= PA^2 + PB^2 + PC^2
利用上面的结论,
令P与A重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2
= AB^2 + AC^2 ...(1)
令P与B重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GB^2
= AB^2 + BC^2 ...(2)
令P与C重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GC^2
= BC^2 + AC^2 ...(3)
(1),(2),(3)相加,有
3[GA^2 + GB^2 + GC^2] + 3[GA^2 + GB^2 + GC^2] = 2[AB^2 + BC^2 + AC^2],
GA^2 + GB^2 + GC^2 = [AB^2 + BC^2 + AC^2]/3 = (a^2 + b^2 + c^2)/3.
证毕.
范文五：向量证明三角形的外心、内心、垂心、重心分别交于一点
一、 求证三角形三条边的垂直平分线交于一点。 已知:在中，D、E、G分别为AB、AC、BC的中点 ,ABCC
AB、AC的中垂线交于点F
EG求证: GFBC,F
A证明: 如图、设 GFhbc,,, 、 AB、 ACDB
所以、、 CBABACbc,,,,BCcb,,
111 同理、有 EFECCGGFcbchbh,，，,，,，,，()222
111 、 DFDBBGGFbcbhch,，，,，,，,，()222
1 因为、同理、有 DFABDFbchb,,,,，,0()0(1)2
1 、有、即 (2)(1),hcb()0,,EFACbhc,,，,0()0(2)2
GFBCGFBC,,,0、证毕。
yy
CCC
EEEGGG法二:向量坐标法
FFF
x证明:以A为坐标原点，AB为的正方向 DDDBBBAAAxx
Bay(2,0) C(2x,2) 建立平面直角坐标系;设 11
Exy(,) Fxy(,)，所以、Da(,0) ， ACxya,,(2,2) ,AB(2,0)1111
EFACEFAC,,,,0 因为 DFxayxxyy,,,,,(,) , EF(,)11
2()2()0(1)xxxyyy,，,,DFAB,,0 有 同理有 既 1111
xxa(),11xa,， ,y=y 2()0(2)axa,, 由(1)，(2)解得 1y1
xxa(),11Gxay(,)，由中点坐标公式解得，所以GFx,,(,) 111y1
因为 ， BCxay,,(22,2)GFBCxaxxxa,,,，,,2()2()0111111
所以 即 GFBC,GFBC,
注:若用初中平面几何知识证明这个结论也很简单;这
里就不再螯述。
