大漠孤狼赵某某
范文一：三角函数公式推导
1、 sin(-a)=-sina
sin(-a)=sin(0-a)=sin0cosa-sinacos0=0-sina=-sina
2、 cos(-a)=cosa
cos(-a)=cos(0-a)=cos0cosa+sin0sina=cosa+0=cosa
3、 sin(π/2-a)=cosa
sin(π/2-a)=sinπ/2cosa-sinacosπ/2=cosa-0=cosa
4、cos(π/2-a)=sina
5、sin(π/2+a)=cosa
6、cos(π/2+a)=-sina
7、sin(π-a)=sina
8、cos(π-a)=-cosa
9、sin(π+a)=-sina
10、cos(π+a)=-cosa 4~10的推导过程和3一样
范文二：三角函数公式推导
三角恒等变化 一、6个需要熟记的基本公式
sin()sincoscossin,,,,,,,,,
cos()coscoscoscos,,,,,,,,,
tantan,,, tan(),,,,1tantan,,,
二、拓展
因为上述公式中的和是任意的角，所以特殊化取可得以下6个公,,,,,
式，其中就不在介绍，我们主要研究以下3个公式及其sin00,cos01,tan00,,,
变形:
1.正弦函数倍角公式
sin22sincos,,,,因为，
222(sincos)sin2sincoscos,,,,,,,,,，
,,12sincos,,
,,1sin2,
所以可得，
22sin22sincos(sincos)11(sincos),,,,,,,,,，,,,,
2.余弦函数倍角公式
221cos2,,2cos2cossin,,,,,sin,,21cos22sin,,,,22,,12sin 移项 移项 ,21cos2，,21cos22cos，,,,2cos,,,,2cos1,2
令
降幂公式 ,, ,2
,,1cos,,22sin,1cos2sin,,,222 移项 1cos，,,,221cos2cos，,cos,,222
半角公式
升幂公式
由上面的分析可以看出，余弦函数的所有变式全部都是有倍角公式有么移项
,有么令 而得到的，因此没必要实际这些变形，只需要记住倍角公式就可,,2
以了。
3.正切函数倍角公式
2tan, ,tan2,2,1tan,
sin2,
sinsincossin2,,,,2,,,,tan,2，1cos2,，coscos1cos2,,,
2 ,1cos2,2,sin1cos22,,,,,sin2cossinsin2,,,,
2
令
, , ,2
,,,sin1cos,tan,,21cossin，,,
由正切函数的倍角公式出发，经过简单的移项和混合运算，也可以推导出一
些新的公式，同学们可以自己试着完成。
范文三：三角函数公式推导
(1) cos()coscossinsinxyxyxy，,,
,,sin()cos[()]cos[()]xyxyxy，,,，,,,22
,, (2) cos()cos()sin()sin(),,,,,,xyxy22
sincoscossin,，xyxy
2222 (3) (1)里令x=y德cos2cossin2cos112sinxxxxx,,,,,,(2)里令x=y德 (4) sin22sincosxxx,
2sincos2tanxxx(4)/(3)德 (5) tan2x,,222cossin1tanxxx,,
由(1)德
cos()cos[()]xyxy,,，,
(6) coscos()sinsin(),,,,xyxy
coscossinsin,，xyxy
(1)+(6)德 (7) cos()cos()2coscosxyxyxy，，,,
，,,,,,令则 ,,,，,,xyxy,xy,,,22
，,,,,,带入(7)德 (8) coscos2coscos，,,,22
，,,,,,同理(1)-(6)可以德 (9) coscos2sinsin,,,,,22
由(2)德
sin()sin[()]xyxy,,，,
(10) sincos()cossin(),,，,xyxy
sincoscossin,,xyxy
(2)+(10)德 (11) sin()sin()2sincosxyxyxy，，,,
，,,,,,令,,,，,,xyxy,则 xy,,,22
，,,,,,带入(11)德 (12) sinsin2sincos，,,,22
，,,,,,同理(2)-(10)可以德 (13) sinsin2cossin,,,,22
22cossin1xx，,
22,，,cos(1tan)1xx
12,,cosx (14) 21tan，x
221tan,,x(3)2式,,,,,,2cos1x21tan，x
21tan,x,,cos2x21tan，x
22tanx(5)×(14)德 (15) sin2x,21tan，x
t式(5)，(14)，(15)中令德万能公式 x,2
ttt2222tan1tan,2tan222，， (16) tant,sint,cost,ttt2221tan,1tan，1tan，222
万能公式可以这样记，直角三角形:
t21tan，t222tan2
t
2
t21tan,2
范文四：三角函数公式推导
三角恒等变化
一、6个需要熟记的基本公式
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β
cos(α±β) =cos αcos β cos αcos β
tan(α±β) =tan α±tan β
-αβ
二、拓展
因为上述公式中的α和β是任意的角，所以特殊化取α=β可得以下6个公式，其中sin 0=0,cos 0=1, tan 0=0就不在介绍，我们主要研究以下3个公式及其变形：
1.正弦函数倍角公式
sin 2α=2sin αcos α因为，
(sinα±cos α) 2=sin 2α±2sin αcos α+cos 2α
=1±2sin αcos α
=1±sin 2α
所以可得，
sin 2α=2sin αcos α=(sinα+cos α) 2-1=1-(sinα-cos α) 2
2.余弦函数倍角公式
cos 2α=cos 2α-sin 2α
=1-2sin α
=2cos α-1221-cos 2α1+cos 2αcos 2α=sin 2α=1-cos 2α=2sin 2α1+cos 2α=2cos 2α
令
降幂公式α=α
α
2
α1+cos α=2cos 2
21-cos α=2sin 2sin 2α1-cos α=22α1+cos αcos 2=22
半角公式
升幂公式
由上面的分析可以看出，余弦函数的所有变式全部都是有倍角公式有么移项α有么令α=而得到的，因此没必要实际这些变形，只需要记住倍角公式就可2
以了。3.正切函数倍角公式
2tan αtan 2α=-α
sin 2αsin αsin αcos αsin 2αtan α====+ααα
1-cos 2α2sin α1-cos 2α===cos αsin αsin 2α
令
αα=2
αsin α1-cos αtan ==+αα
由正切函数的倍角公式出发，经过简单的移项和混合运算，也可以推导出一些新的公式，同学们可以自己试着完成。
范文五：三角函数公式及推导公式
平方关系：
诱导公式
公式一：设
为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设
为任意角，
与的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角
与的三角函数值之间的关系：
公式四：
与的三角函数值之间的关系：
公式五：
与的三角函数值之间的关系：
公式六
：
及
与
的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α
，则函数名称
变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如
2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
k×π/2±a(k∈z) 的三角函数值．(1)当k 为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
(2)当k 为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．
以诱导公式二为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．
以诱导公式四为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
诱导公式的应用：
倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
证明：
sin 3a =sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos 3a =cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa sin 3a
=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina] =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos 3a
=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°
+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°
+a)
上述两式相比可得：
tan
3a
=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a) 四倍角公式
sin 4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)] cos 4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
tan 4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4) 五倍角公式
n 倍角公式 应用欧拉公式： .
上式用于求n 倍角的三角函数时，可变形为：
所以，
其中，Re 表示取实数部分，Im 表示取虚数部分．而
所以，
n 倍角的三角函数
半角公式
（正负由所在的象限决定）
万能公式
辅助角公式
证明： 由于
，显然
，且
故有：
或
