指着太阳说月亮我日
范文一：运筹学第六章答案
6.1试用动态规划方法，求解图6-2 从Q到T的最短路。
3 A1 4 C12 7 5 3 33 B1 1
8 6 1 5 1 3 2 1 A C T Q 22 3 3
4 4 21B 3 3 2 5 22 8 2 5 5 2 A 3 3 3 C 3
3 2
3 2
3 2解:由上图可知，从Q到T的最短路是8 3 3
用逆序解法，由题意，递推方程为 3 3
3 ,,，，，，，，f(x),minwx,u，fxk,4,3,2,1 kkkkkk，1k，1 3
3
3 终端条件为 ，，fT,05
当k=4时， ，，fC,3，0,341
，，fC,1，0,142
，，fC,5，0,543
2，fC，，,,41,,当 k=3时， ，，，，，，，， fB,min5，fC,5uB,C,,3142311
,,，，3，fC43,,
1，fC，，,,41,, ，，，，，，，， fB,min4，fC,4uB,C,,3242321
,,，，2，fC43,,
4，fB，，,,31当k=2时， ，，，，，，fA,min,7uA,B,,21212，，3，fB32,,
1，fB，，,,31 ，，，，，，fA,min,7uA,B,,22221，，3，fB32,,
3，fB，，,,31 ，，，，，，fA,min,8uA,B,,23231，，5，fB32,,
3，fA，，,,21,, 当k=1 时，，，，，，，，，fQ,min2，fA,8uQ,A,,12212
,,，，1，fA23,,
****，，最优解策略为 uB,C ，，，，，，uQ,AuA,BuC,T3111222141
最短路长为8
6.2用动态规划方法求解
2maxF,x,x,x(1) 123
，，,4xxx,123 .. st,x,0,i,1,2,3i,
解: S,x，x，x1123
S,x，x223
S,x33
S,S，x121
S,S，x232
S,x33
2，，，，,,fs,maxx,f3 2222,x,s022
2,,，，maxx,s,x = 222,x,s022
34s2s22，，fx时，有最大值 S,由导数法求得，当222273
3,,4s 2,,，，，，,,fs,maxx,fxmax，，,,fsx=11122111,x,0,x,4127104,,
3,,,44，，x 1,,max，，,,fsx = 111,x,12704,,
，，fx,4 解得:时， x,111max1
1，x，x,4,23,2x,,2? ? ? x,1,x,2,x,1,,2123x,1，，x,x，x3,223,3,
22222(2) minF,x，2x，x,2x，x,2x,4x,2x12323123
，，,3xxx,123 .. st,x,0,i,1,2,3i,
解: S,31
S,S,x211
S,Sx32,2
22,,，，，，fs,minx,1,4,,，，s,1,4= 333s,x33
22,,，，，，，，fs,min2x,1，s,1,4 223xx2,2
22,,，，，，2x,1，s,x,1,4 = 222
2222x,4x，2，s,2sx，x,2s，2x,4，1 = 22222222
22,,,,224,,,,,,ss2,,，，min1222,,,,，，，，,, fsx1x11,33,,,,,,4,,
22,,,,,,,,,,,,32624xx2,，1，1,,,,,，，min121,, = x1x1,,,,,,,334,,
24222 = ，，，，x,2x，1，1,2x，x，1,2x，x,1,111111299
153062= x,x，11999
= 30x,301
=0
x,11
6.3 有四台设备分给甲，乙，丙，丁四厂，各厂盈利如表6-6所示。如何分配使总盈利最大,
表6-6
工厂 盈利 甲 乙 丙 丁 设备
0 0 0 0 0
1 3 4 5 6
2 10 7 8 9
3 13 14 11 12
4 16 17 18 15 解:将问题按工厂分为四个阶段:甲，乙，丙，丁。四个工厂分别编号为k=1,2,3,4.
设上S =分配给第k个工厂至第四个工厂的设备数。k=1,2,3,4. k
X =分配给第 k个工厂的设备数;可行决策集为 ,,x|0,x,skkkk
由题意得，状态转移方程为 S,S,Xk，1kk
*,,，，f(s),fs,x kkkkkmaxXS0,,kK
*,，，fs0,4k,
, 函数基本方程为: **，，，，，，,,fsmaxvs,xfs,,，kkkkk，1k，1k,0,X,SKK,
k =4,3,2,1
第四阶段:此时1,2,3 工厂已分完
，，vs,x，，fs,x 444444** fv44 X4 S 0 1 2 3 4 4
0 0 0 0 1 6 6 1
3 9 9 2 3 12 12 3 4 15 15 4
第三阶段:此时1、2工厂已分完，还剩S要分给3、4工厂 3
*，，fs,x ，，，，vs,x，fs33333344** fv33 X3 S 0 1 2 3 4 3
0 0+0=0 0 0 1 0+6=6 5+0=5 6 0 3 0+9=9 5+6=11 8+0=8 11 1 3 0+12=12 5+9=14 8+6=14 11+0=11 14 1,2 4 0+15=15 5+12=17 8+9=17 11+6=17 18+0=18 18 4
第二阶段:此时，1工厂已分完，还剩S要分给 2,3,4工厂 2
*，，，， vs,x，fs，，fs,x 22233222** fx12 X2 S 0 1 2 3 4 2
0 0+0=0 0 0 1 0+6=6 4+0=4 6 0 3 0+11=11 4+6=10 7+0=7 11 0 3 0+14=14 4+11=15 7+6=13 14+0=14 15 1 4 0+18=18 4+14=18 7+11=18 14+6=20 17+0=17 20 3
第一阶段，此时尚未分配
*，，fs,x ，，，，vs,x，fs11122111** fx11X 1 S 0 1 2 3 4 1
4 0+20=20 3+15=18 10+11=21 13+6=19 16+0=16 21 2
*按k=1,2,3,4的顺序依次查看各表的S列和x 列，并按的转移规S,S,XKkk，1kk律，最优决策侧衔接为最优策略。
* 当k=1时， x,21
* 当 k=2时， x,02
* 当 k=3时，x,1 3
* 当 k=4时， x,14
*终得最优策略 即应分给甲厂2台设备，丙厂1台设备，丁厂1台,,P,2,0,1,11
设备。
6.4(略)
6.5某厂有1000台完好机器，每台机器全年在高负荷下运行可创利润8000元，
在低负荷下运行可创利润5000元。机器在高、低负荷下运行一年完好率分别为
0.7,0.9。试拟定一个五年计划，使利润最大。 解:阶段数k=5.每年是一阶段;
状态变量S = 第k年初剩余完好机器数 k
第k年低负荷生产0,决策变量x, ,k第k年高负荷生产1,
,0.9sx0,k,k状态转移方程 , x(s,x),，k1kk0.7s,x,1,kk
8000,1sx,k,k阶段指标函数(,), fsx,kkk5000s,x,0,kk
当k = 5时 ，
，，，，，，,,fs,maxfS,1,fS,0555555
,,max8000S,5000S = 55
*X,1S =8000 55
当k =4时 ，
，，，，，，fSfSS,1，1,,44554,，，fs,max,,44，，，，，，fSfSS,1，,0 44554,,
，，8000S，f0.7S,,454max = ,,，，5000Sf0.9S，454,,
8000S，8000，0.7S,,44,,max = ,,
,,5000S，8000，0.9S44,,
* =136 X,1S44
当k = 3时，
，，，，，，fS,1，fSS1,,33443，，fs,max,,33，，，，，，fSfSS,1，,0 33443,,
，，8000S，f0.7S,,343max= ,,，，5000Sf0.9S，343,,
8000S，13600，0.73S,,33max = ,,5000S136000.9S，，33,,
*X,1 =17520 3
当k = 2 时 ，
，，，，，，fS,1，fSS1,,33443，，fs,max,,22，，，，，，fSfSS,1，,0 33443,,
，，8000S，f0.7S,,232max = ,,，，5000Sf0.9S，232,,
8000S175200.7S，，,,22max = ,,5000S175200.9S，，32,,
*X,0 =20768 2
当k = 1 时 ，
，，，，，，fS,1，fSS1,,11221，，fs,max,,11，，，，，，fSfSS,0，,0 11221,,
，，8000S，f0.7S,,121max = ,,，，5000Sf0.9S，121,,
8000S，20768，0.7S,,11max = ,,5000S207680.9S，，11,,
* =236862 X,01
范文二：管理运筹学第四版第六章习题答案
6.4解：设xij，设置i类商品j状态 ，不设置i类商品j状态
i=食品、珠宝、服装、鞋帽、文具；j=商店数量为1,2,3 obj：maxz=20x11+36x12+45x13+10x21+18x22+21x23+15x31+ 26x32+30x33+17x41+28x42+33x43+16x51+18x52+18x53
s.t. x11?2x12?3x13?1 , x11?2x12?3x13?3 , x21?2x22?3x23?1 , x21?2x22?3x23?3 , x31?2x32?3x33?1 , x31?2x32?3x33?3 , x41?2x42?3x43?1 , x41?2x42?3x43?3 , x51?2x52?3x53?1 , x51?2x52?3x53?3 ,
1000?(x11?2x12?3x13) +500?(x21?2x22?3x23) +900?(x31?2x32?3x33) + 700?(x41?2x42?3x43) +600?(x51?2x52?3x53)?10000, x11?x12?x13?1 , x21?x22?x23?1 , x31?x32?x33?1 , x41?x42?x43?1 , x51?x52?x53?1 ,
xij=0或1
利用QM软件求解，可得下图：
6.7解：设xij表示第i个电站j年建设 ，表示第i个电站j年不建设 i=1,2,3,4;j=1,2,3,4,5
minz=200(x11+x12+x13+x14+x15)+160(x21+x22+x23+x24+x25)+180(x31+x32+x33+x
34
+x35)
+140(x41+x42+x43+x44+x45)+15(5x11+4x12+3x13+2x14+x15)+8(5x21+4x22+3x23+2x24+
x25)+13(5x31+4x32+3x33+2x34+x35)+6(5x41+4x42+3x43+2x44+x45) s.t 50+70x11+50x21+60x31+40x41≥100
50+70（x11+x12）+50（x21+x22）+60（x31+x32）+40（x41+x42）≥120 50+70（x11+x12+x13）+50（x21+x22+x23）+60(x31+x32+x33)+40(x41+x42+x43)≥140
50+70(x11+x12+x13+x14)+50(x21+x22+x23+x24)+60(x31+x32+x33+x34)+40(x41+x42 +x43+x44)≥160
50+70(x11+x12+x13+x14+x15)+50(x21+x22+x23+x24+x25)+60(x31+x32+x33+x34+x35) +40(x41+x42+x43+x44+x45)≥180 Xij为0或1
利用QM软件求解，可得下图：
由上图可得， 只有x11、x33的数值为1，其余都为0，即第一个电站1年建设，第三个电站3年建设，第二个电站1,2,3,4,5年都不建设，第四个电站1,2,3,4,5年都不建设，且投资和运行费用最小为494（百万元）。
范文三：电力出版社运筹学答案 第六章
第6章训练题
一(基本技能训练
AB1(已知网络图各段路线所需费用如下图所示，试选择从到线的最小费用路线，并
AB计算其总的费用。图中线和线上的数字分别代表相应点的有关费用。
2 3
1 4 2 5 7 1
? ? ?
2 5 6 1 3 2
? 3 3 ?
3 2 1 4 3 5
? ? ? 2 4 3 1 2 6
2 1
AB 线 线
AB1(最小费用路线有两条:一条是从线最上方费用为2的点到线最上方费用为3的点止。
其总费用为17。
用动态规划方法求解2题至13题。
2223maxz,5x,x，9x,2x2( 3( maxz,xxx1122123
x，x，x,6x，x,512312 x,0,i,1,2,3x,0,i,1,2ii222maxz,5x，10x，3x，6x4( 5( minz,3x，4x，x1234123
xxx,9x，4x，5x，10x,111231234 x,0,i,1,2,3x,0且为整数,i,1,2,3,4ii2222maxz,3x(2-x)，2x(2,x)6( 7( maxz,x，x，x，x11221234
x，x,3x，x，x，x,10121234 x,0且为整数,i,1,2x,0且为整数,i,1,2,3,4ii22maxz,4x，5x，8x8( 9( maxz,7x，6x，5x123112
x，x，x,10123x，2x,1012x，3x，6x,13123 x,3x,912x，4x,1113x,0,i,1,2ix,0且为整数,i,1,2,3i222310( 11( maxz,8x，4x，xmaxz,ax，xx，xx12324123
xxxb2，，10,xxxx,，，，101231234
xi,0,,1,2,3xi,0,,1,2,3,4ii
b为整数a为实数
x,2,x,1,x,3;z,1082(最优解为:。 123max
591313(最优解为:。 ,;x,x,z,12max248
x,1.82,x,1.574,x,3.147;z,29.7514(最优解为:。 123max
x,9.6,x,0.2,;z,702.925(最优解为:。 12max
3bb0,0,;6(最优解为:当时，。 x,x,x,z,b,4000123max101000
2 当时，。 x,0,x,b,x,0;z,4b0,b,4000123max
1x,10,x,0,x,0,x,0;z,100a7(最优解为:当时，。 a,1234max4
11 当时，有两个最优决策: ,,a,44
x,0,x,5,x,5,x,0;z,25 1234max
x,0,x,5,x,0,x,5;z,25或 1234max
1 当时，也有两个最优决策: a,,4
1020a20a100,,,,, x,x,x,x0;za1234max，，，，4a14a14a14a1
1020a20a100或,,,,, x,x,x0,x;za1234max，，，，4a14a14a14a1
x,11,x,0,x,0,x,0;z,558(最优解为: 1234max
x,1,x,1;z,39(最优解为: 12max
x,2,x,3,x,3,x,2;z,2610(有六个最优决策: 1234min
x,3,x,2,x,3,x,2;z,26 1234min
x,3,x,3,x,2,x,2;z,26 1234min
x,2,x,2,x,3,x,3;z,26 1234min
x,2,x,3,x,2,x,3;z,26 1234min
x,3,x,2,x,2,x,3;z,26 1234min
x,9,x,1,x,0;z,4111(最优解为: 123max
maxz,8x，7x12( 12
2x，x,812
5x，2x,15 12
x,x为非负整数12
,,,x,0x,712(最优解为，，。 z,4912
maxz,3x，5x13( 12
x,41
2x,122 3x，2x,1812
x,x,012
***x,2x,613(，;。 z,3612
AEAE14(如图所示，在处有一油库，为一港口。今需从铺设输油管道到处，拟在B,B,BC,C,CD,D之一，之一以及之一各建一个中间站，各站之间的管道走向如12312312
AE图所示，连线旁的数字表示两站间的管道长。现要求选择3个合适的中间站，使到的总输油管道长度最短。
10 BC 9 118 7 13 D 15 1
9 7 14 5 6 AEBC 2212 9 12 11
D 16 15 211 7 BC 6 33
始点站 第一站 第二站 第三站 终点站
AE 1 2 3 4
A,B,C,D,E14(管道最短长度为32，路线为。 221
15(石油输送管道铺设最优方案的选择问题:考虑如下网络图，设A地为出发地，E为目的地，B、C、D分别为三个必须建立油泵加压站的地区，其中的B，B，B;C，C，12312C;D，D，分别为可供选择的各站站位。下图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁312
的数字表示了铺设这些管线所需的费用。问如何铺设管道才能使总费用最小,
7 B 11 C14 4 6 2 D13 3 6 E 4 2 B A C22 4 4 3
3 D 2 4 3
1 BC 3 33 5
15(最优方案为(A，B，C，D，E)或(A，B，C，D，E)或(A，B，C，D，E);211311322总费用是11。
16(最短路线问题:从起点A到终点G分六个阶段，每个阶段各有若干条可选择的道路，每条道路的长度如图所示。试确定从A点到G点的最短路线。
6 C1 8 2 3 1 DE11 F 13 B13 5 2 4 C25 5 6 5 1 G D A E 223 8 2 2 3 C 37 3 6 B 5 23 F 28
16(A-B-C-D-E-F-G总长度为18。 12122
二(实践能力训练
1(某商店在未来四个月里,利用仓库经销某种商品。该仓库月份 购价 售价 的最大容量为1000件，每月中旬订购商品，并于下月初取到订货。1 10 12 据估计:今后四个月这种商品的购价和售价如下表所示。假定商店2 9 9 在1月初开始经销时仓库已存有该种商品500件，每月市场需求3 11 13
4 15 17 不限，问应如何计划每个月订购与销售数量，使这四个月的总利
润最大(不考虑仓库的存储费用),
1(各月份生产货物数量的最优决策为:
(s)(x)(y)期前存货 售出量 购进量 月 kkk
1 500 500 0
2 0 0 1000
3 1000 1000 1000
4 1000 1000 0 利润最大值为 12，500，10，1000,16000
2(某工厂在未来3个月连续生产某种产品。每月初开始生产，月产量为，生产成本x
2b,100,b,110,b,120为，库存费为每月每单位1元。假如3个月的需求量预测为:。x123
s,0s,0且初始存货，第三个月的期末存货。问应如何安排生产使总成本最小, 03
112(最佳生产量为:110,110,109;最低费用为36321元。 x,x,x,12322
3((生产存储问题)某工厂与购货单位签订的供货合同如右表所示。表中的数字为月份交货量。该厂每月最大产量为4百件，仓库
月份 1 2 3 4 5 6 的存货能力为3百件。已知每一百件货物的生
产费用为一万元。在生产月份，每批产品的生交货量 1 2 5 3 2 1 产准备费为4千元，仓库保管费每一百件货物(百件)
每月一千元。假定1月初开始时及6月底交货
后仓库中都无存货。问该厂应该如何安排每月的生产与库存，才能既满足交货合同的要求，又使总费用最小,
3(各月份生产货物数量的最优决策为:
月份 1 2 3 4 5 6 生产货物量(百件) 4 0 4 3 3 0
4((背包问题)某工厂生产三种产品,各种产品重量与利润重量(吨利润(元种类 \件) \件) 关系如右表所示。现将此三种产品运往市场销售，运输能力总
1 2 80 重量不超过6吨。问如何安排运输使总利润最大, 2 4 180 4(运输1，2两种产品各一吨或运输第3类产品两吨，总利润3 3 130 最大值为260元。
5((设备更新问题)设某企业在今后4年内需使用一辆卡车。现有一辆已使用2年的旧车，根据统计资料分析，预计卡车的年收入、年维修费(包括油料等费)、一次更新重置费及4年后残值如右表所示，k =1,2,3,4。试确定4年中的最优更新计划，以使总利润最大。
i 0 1 2 3 4 5 6
,r(i)5148211k16
,v(i)423421k ,c(i)2918253421,k
0t(i)3158012,5
6(某科学实验可以用3套不同的仪器(A，
下次使用仪器 B，C)中任一套去完成。每做完一次试验后，1 2 3 本次使用仪器 如果下次实验仍使用原仪器就必须对仪器进行
A1() 10 9 14 整修，中间要耽搁一段时间;如果下次使用另一
B2() 9 12 10 套仪器，则卸旧装新也要耽搁一段时间。耽搁时
3() C6 5 8 tt间如右表所示。假定一次试验的时间大于，ijij
因而某套仪器换下后隔一次再用时，不再另有耽搁。现在要做4次实验，首次实验指定用仪器A，其余各实验可用任一套仪器。问应如何安排使用仪器的顺序，才能使总的耽搁时间最短,
ABB6(第一次试验使用，第二次使用，第三次使用，第四次使用。最C购货销售短时间24。 月份 成本 价格 7(某公司准备经销某种货物，货物入库后才能销售，仓库容量为9001 40 45
2 38 42 件。公司每月月初订购货物，月底才到货。每月的销售量由公司自己确定(销
3 40 40 售月初库存货物)。现在一至四月各单位货物的购货成本及销售价格如右表4 42 44 所示。又知一月初存货200件，问如何安排每月的货物购进量与销售量，使 四个月的利润最大。
A8.计算如右图所示的从
E到的最短路线及其长度。 BD1 4 4 (1)用逆推解法; 2 3 3 1 3 C5 (2)用标号法。 1 2 3 1 1 A BE 8(最短路线 2 D3 1 2 1 4 5 A,B,C,D,E，3 C2112 5 B3 D2 其路长为8。 3 3 9(某人在每年年底要决策
,(,,1)明年的投资与积累的资金分配。设开始时，他可利用的资金数为，年利率为，C
g(y),by(b为常数)iy在年里若投资所得到的效益用来表示。试用逆推解法和顺推解iiii
法来建立该问题在年里获得的最大效益的动态规划模型。 n
si9(逆推法:设状态变量表示第年初拥有的资金数，则有逆推关系式 i
f(s),max{g(y)},nnin,y,snn,f(s),max{g(y)，f[a(s,y)]} iiiii，1ii,0,y,sii,
i,n,1,？,2,1
s顺推法::设状态变量表示第年初拥有的资金数，则有顺推关系式 i，1i
f(s),max{g(y)},1111yacs0,,,11,,y，sii f(s),max{g(y)，f[]},iiiii,10,y,ac,siia,
i,2,？,n
工作 1 2 3 4 10(已知某指派问题的有关数据(每人完成各项工作的人 时间)如右表所示，试对此问题用动态归划方法求解。要求:1 15 18 21 24
(1)列出动态规划的基本方程; 2 19 23 22 18
3 26 18 16 19 (2)用逆推法求解。
4 19 21 23 17 s10((1)任务的指派分4个阶段完成，用状态变量表示第kk
u阶段初未指派的工作的集合，决策变量为 kj
1,k阶段被指派完成第j项工作,,u, ,kj0,否则.,
。逆推关系式为 状态转移方程为s,{D(s)/j,当u,1}k，1kkkj
f(s),min{a},444j,u,D(s)444j,f(s),max{a，f(s)} kkkjk，1k，1,u,D(s)kjk,
k,3,2,1
(2)时 k,4
s 1 2 3 4 4
a19 21 23 17 4j
u j,1j,2j,3j,44j
f(s) 19 21 23 17 44
时 k,3
u a，f(s)3j3j44
*s f(s) u3333ju,1u,1u,1u,1 32323334
u,1 (1，2) 26，21 18，19 37 32
u,1 (1，3) 26，23 16，19 35 33
u,1 (1，4) 26，17 19，19 38 34
u,1 (2，3) 18，23 16，21 37 33
u,1 (2，4) 18，17 19，21 35 32
u,1 (3，4) 16，17 19，23 33 33时 k,2
ua，f(s) 2j2j33 *s uf(s) 222u,12j u,1u,1u,1 23212224
(1，2，3) u,119，37 23，35 22，37 56 21
(1，2，4) u,1 19，35 23，38 18，37 54 21
(1，3，4) 19，33 22，38 18，35 52 u,121(2，3，4) 23，33 22，35 18，37 55 u,124
时 k,1
u a，f(s) 1j1j22 *s uf(s) 11j11u,1 u,1 u,1 u,1 13111214
或u,111(1，2，3，4) 15，55 18，52 21，54 24，56 70 u,112
u,u,u,u,1u,u,u,u,1最优解为:或。 1124334212213344
11(某公司打算在三个不同的地区设置4个销售店 0 1 2 3 4 地区 销售点，根据市场预测部门估计，在不同的地区
1 0 16 25 30 32 设置不同数量的销售店，每月可得到的利润如右2 0 12 17 21 22 表所示。试问在各个地区应如何设置销售点，才3 0 10 14 16 17 能使每月获得的总利润最大,其值为多少,
11(最优决策为:在第一个地区设置2个销售点，在第二个地区设置
1个销售点，在第三个地区设置1个销售点。每月可获总利润为47。
p,pp12(某工厂购进100台机器，准备生产两种产品。若生产产品，每台机器每121
p年可收入45万元，损坏率为65%;若生产产品，每台机器每年收入为35万元，但损坏2
率只有35%;估计三年后将有新的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产使在三年内收入最多,
p12(最优决策为:第一年将100台机器全部生产产品，第二年把余下的机器继续生产产2
pp品，第三年把余下的所有机器全部生产产品。三年总收入为7676.25万元。 21
y r(x,y) r(x,y)r(x,y) 13(设有两种资源，第 3 12x
单位，第二种 一种资源有x 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
y资源有单位，计划分配给 0 0 1 3 6 0 2 4 6 0 3 5 8
1 4 5 6 7 1 4 6 7 2 5 7 9
x个部门。把第一种资源 n2 4 6 7 8 4 6 8 9 4 7 9 11 i3 6 7 8 9 6 8 10 11 6 9 11 13
yir(x,y)单位，第二种资源单位分配给部门所得的利润记为。如设，x,3,y,3,n,3iiii
r(x,y)i其利润列于下表中。试用动态规划方法如何分配这两种资源到个部门中去，使i
总的利润最大,
x,0,y,0;x,2,y,0;x,0,y,313(最优决策为:。最大利润为: 112233
r(1,0)，r(2,0)，r(0,3),4，4，8,16,f(3,3) 1231
14.某公司有三个工厂，它们都工厂1 工厂2 工厂3 方可以考虑改造扩建。每个工厂可有案 投资 收益 投资 收益 投资 收益 若干种方案可供选择，各种方案的
1 0 0 0 0 0 0
2 1 5 2 8 1 3 3 2 6 3 9 - -
4 - - 4 12 - -
投资及所能取得的收益如右表所示(单位:千万元)。现公司有资金5千万元，问应如何分配投资使公司的总收益最大,
14(有三个最优方案:(3，2，2) 或(2，3，2)或(2，4，1)总收益是17千万元。
AB15(某公司在今后三年的每一年的年初将资金投入和两投资 回收 概率 项工程，年末的回收及其概率如右表所示。每年至多做一项投资，0 0.4 A 每次只能投入1000万元。求三年后所拥有的期望金额最大的投资2000 0.6 方案。 1000 0.9 B A，三年后的最大利润为440万元。 15(最优方案是每年均投资于2000 0.1
16.某商店在未来的4个月里，准备利用商店里一个仓库来专 月份 买价 卖价 门经销某种商品，该仓库最多能装这种商品1000单位。假定商店
1 10 12 每月只能卖出仓库现有的存货。当商店决定在某个月购货时，只
2 9 9 有在该月的下个月初才能得到该货。据估计未来4个月这种商品
3 11 13 买卖价格如右表所示。假定商店在1月开始经销时，仓库存储商
4 15 17 品有500单位。试问:如何制订这4个月的订购与销售计划，使
获得利润最大,(不考虑仓库的存储费用)
16(各月份生产货物数量的最优决策为:
月份 1 2 3 4 5 6 生产货物量(百件) 4 0 4 3 3 0
17.某鞋店出售橡胶雪靴，热销季节是从1010 11 12 1 2 3 月份
月1日至次年3月31日，销售部门对这段时间的需求 40 20 30 40 30 20 需求量预测如右表所示。 (双)
每月订货数目只有10，20，30，40，50几种
可能性，所需费用相应的为48，86，118，138，160(元)。每月末的存货不应超过40双，存储费用按月末存靴数计算，每月每双为0.2元。因为雪靴季节性强，且样式要变化，希望热销前后存货均为零。假定每月的需求率为常数，贮存费用按每月存货量计算，订购一次的费用为10元。求使热销季节的总费用为最小的定货方案。
17(热销季节每月最佳订货方案为:
月份 10 11 12 1 2 3 订购数(双) 40 50 0 40 50 0
18(设某种机器可以在高、低两种不同负荷下生产。若机器在高负荷下生产，则产品年产量和投入生产的机器数量的关系为，机器的年折损率;若机器在低ax,,0.3a,8x
负荷下生产，则产品年产量和投入生产的机器数量x的关系为，机器的年折损率bb,5x
。设开始有完好的机器1000台，要求制定一个四年计划，每年年初分配完好机器,,0.1
在不同负荷下工作，使四年产品总产量达到最高。
18(分配方案为
第一年 第二年 第三年 第四年
0 900 630 441 高负荷
低负荷 1000 0 0 0 总产量为20768。
A,B,C19(某工厂在一年进行了三种新产品试制，由于资金不足，估计在年内这三种
0.40,0.60,0.80新产品研制不成功的概率分别为，因而都研制不成功的概率为
。 0.40，0.60，0.80,0.192
为了促进新产品的研制，决定增拨2万元的研制费，并要资金集中使用，以万元为单位进
行分配，其增拨研制费与新产品不成功的概率如下表所示
新产品 不成功概率
研制费S A B C
0 0.40 0.60 0.80
1 0.20 0.40 0.50
2 0.15 0.20 0.30 试问如何分配费用，使这三种新产品都研制不成功的概率为最小。
sx19.分为三个阶段，状态变量表示第种产品至第种产品的研制费用，表示第种nkkkk
p(x)x产品研制费用。表示第种产品补加研制费后的不成功概率。模型为 kkkk
3
minz,p(x) ,iii,1
x，x，x,2,x,0且为整数 123i
f(s),1,44,,f(s),min{p(x)，f(s,x)} kkkkk，1kk,0,x,skk,
k,3,2,1
(s,0,1,2)s第三阶段，设万元，全部分配给新产品，则不成功概率为 C33
f(s),min[p(x)，0.4，0.6] 3333x,s33
其计算如下:
p(x)x 333*f(s) x 333s 0 1 2 3
0 0.8 0.8 0
1 0.5 0.5 1
2 0.3 0.3 2
s(s,0,1,2)第二阶段，设万元，全部分配给新产品B,C，则不成功概率为 22
f(s),min[p(x)，f(s,x)] 2222222,x,s022
其计算如下:
xp(x)，f(s,x) 222222*f(s) x 222s 0 1 2 2
0 0.48 0 0.6，0.8
1 0.30 0 0.6，0.50.4，0.8
2 0.16 2 0.6，0.30.4，0.50.2，0.8
第一阶段，设万元，全部分配给新产品，则不成功概率为 s,2A,B,C1
f(2),min[p(x)，f(2,x)] 11111,x,021
其计算如下:
x 1*f(2) 0 1 2 x 11
s 1
2 0.06 1 0.4，0.0160.2，0.30.15，0.48
***故 x,1,x,0,x,1,f(2),0.061231
AB 即产品分配1万元，产品不分配，产品分配1万元，这三种产品都研究不成功C
的概率最小为。 0.2，0.6，0.5,0.06
20(资本安排问题:某公司有三个工厂，它们都可以考虑扩建。每个工厂都有若干种方案可供选择，各种方案的投资及所取得的收益如下表所列(单位:千万元):总投资为5千万元，问如何分配投资使公司收益最大,
m i=1 i=2 i=3 i
(方案) C(投资) R(收益) C R C R
1 0 0 0 0 0 0
2 1 5 2 8 1 3
3 2 6 3 9 — —
4 — — 4 12 — — 20(.最优方案为:(2，4，1)或(3，2，2)或(2，3，2)，总收益都是17万元。
21(某科研项目由三个小组用不同手段分别研究，他们失败的概率各为0.40，0.60，0.80。为了减少三个小组都失败的可能性，现决定给三个小组中增派两名高级科学家，到各小组后，各小组科研项目失败概率如下表:
小 组 高级科学家 1 2 3
0 0.40 0.60 0.80
1 0.20 0.40 0.50
2 0.15 0.20 0.30 问如何分派科学家才能使三个小组都失败概率(即科研项目最终失败的概率)最小, 21( 1，3小组各派一名科学家，科研项目最终失败的概率为0.060。
22(考虑一种由四个部件组成的系统，各部件都运行时系统才能运行。系统的可靠性可以通过在一个或几个部件中并联若干单元而得到提高。并联m个单元后部件的可靠性(概i
率)R和费用C(单位为千元)如下表: i,mii,mi
i=1 i=2 i=3 i=4 m iR C R C R C R C
1 0.7 4 0.6 2 0.9 3 0.8 3
2 0.75 5 0.8 4 — — 0.82 5
3 0.85 7 — — — — — — 现有资金15千元。在四个部件中各并联多少个单元才能使系统运行的概率最大,
22(四个部件的并联数各为2，2，1，1单位;系统可靠性(系统正常运行的概率)为0.432。
23(某企业以初始资金C买进两种设备的方式进行投资。若x是投资于甲种设备的金额，那么在第一年年底得到的利润是g(x)，投资于乙种设备得到的利润是g(C-x)。企业确12定一年后报废设备。时期t甲、乙两种设备的残值各为px和q(C-x)，其中p和q分别为时tttt期t的甲、乙两设备的残值系数。在每一年年底企业把报废所得的收入再进行投资。在今后N年，每年收益函数皆为g，g。 12
设C=10,000元，N=5，g(z)=0.5z，g(z)=0.7z，p和q如下表: 12tt
t 1 2 3 4 5
p 0.5 0.9 0.4 0.5 0.9 t
q 0.6 0.1 0.5 0.7 0.5 t
问如何投资才使五年的总利润最大,
年 份 1 2 3 4 5
甲 0.5 0.9 0.4 0.5 0.9 设
备 乙 0.6 0.1 0.5 0.7 0.5
23(最优投资方案为
年 份 1 2 3 4 5
甲 0 6,000 0 0 1890 设
备 乙 10,000 0 5,400 2,700 0 总利润为16,615元。
24(某鞋店出售橡胶雪靴，热销季节是从10月1日至明年3月31日，销售部门对明年的需求量预测如下:
月份 10 11 12 1 2 3 需求 40 20 30 40 30 20 每月订货数目只有10，20，30，40，50几种可能性，花去费用相应地为48，86，118，138，160元。每月末的存货不应超过40双，存储费用按月末存靴数计算，每月每双为0.20元。因为雪靴季节性强，且式样要变化，希望热销前后存货均为零。假定每月中的需求率为常数。存储费用按月存货量计算，订购一次的费用为10元。求使总季节费用最小的订货方案。 24(最优进货方案为:10月、11月、12月、1月、2月和3月各进货40、50、0、40、50和0双;总费用为606元。
范文四：运筹学第六章作业的参考答案
第六章作业的参考答案
P 233 6. 证明：若树T 的最大次≥k ，则T 至少有k 个次为1的点。
证：任给树T =(N , E ) ，因为 T 连通，所以 T 中每个点的次至少为1，即任给i ∈N ，都有d (i ) ≥1。
（反证）设T 中次为1的点有m 个，m
∑d (i ) ≥m +2(|N |-m -1) +k =2(|N |-1) +k -m >2(|N |-1)
i ∈N
另一方面，
∑d (i ) =2|E |=2(|N |-1),
i ∈N
矛盾。所以，m ≥k 。即，T 至少有k 个次为1的点。
P 233 7、用Kruskal 算法求下图所示网络中的最小树。
解：
上图中粗线部分为所求的最小树，其权为1+2+3+5=11.
P 233 9、用Dijkstra 算法求下图所示有向网络中自点①到其它各点的最短有向路.
解：
上图中粗线部分为点①到其它各点的最短有向路.
P 233 10、用Ford-Fulkerson 算法求下图所示有向网络中从①到⑥的最大流。
解：
2 4 3①2
①
(+1,3)
(+5,3) (-, ∞)
①
(+1,3) (+3,3) (+1,3) (+2,1) (-, ∞)
(+4,1) ①
所以，最大流的值为4.
(+1,2)
(-, ∞) ①
范文五：《运筹学》 第六章排队论习题及 答案
《运筹学》第六章排队论习题
1. 思考题
(1)排队论主要研究的问题是什么;
(2)试述排队模型的种类及各部分的特征;
(3) Kendall 符号 C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义;
(4)理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念; (5)分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数,说明这些分
布的主要性质;
(6)试述队长和排队长;等待时间和逗留时间;忙期和闲期等概念及他们之间的联系
与区别。
2.判断下列说法是否正确
(1)若到达排队系统的顾客为普阿松流,则依次到达的两名顾客之间的间隔时间
服从负指数分布;
(2)假如到达排队系统的顾客来自两个方面,分别服从普阿松分布,则这两部分
顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布;
(3)若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布,又将顾客按到达先后排序,
则第 1、 3、 5、 7,┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布; (4)对 1//M M 或 C M M //的排队系统, 服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流; (5)在排队系统中,一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布,这是因为通过对大
量实际系统的统计研究,这样的假定比较合理;
(6) 一个排队系统中, 不管顾客到达和服务时间的情况如何, 只要运行足够长的时间后,
系统将进入稳定状态;
(7)排队系统中,顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响;
(8)在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下,对容量有限的排队系统,顾客的
平均等待时间少于允许队长无限的系统;
(9)在顾客到达分布相同的情况下,顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有
关,当服务时间分布的方差越大时,顾客的平均等待时间就越长; (10) 在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下, 由 1名工人
看管 5台机器,或由 3名工人联合看管 15台机器时,机器因故障等待工人维修的平 均时间不变。
3.某店有一个修理工人,顾客到达过程为 Poisson 流,平均每小时 3人,修理时间服从负
指数分布,平均需 19分钟,求: (1)店内空闲的时间; (2)有 4个顾客的概率; (3)至少有一个顾客的概率; (4)店内顾客的平均数; (5)等待服务的顾客数; (6)平均等待修理的时间;
(7)一个顾客在店内逗留时间超过 15分钟的概率。
4.设有一个医院门诊,只有一个值班医生。病人的到达过程为 Poisson 流,平均到达时间 间隔为 20分钟,诊断时间服从负指数分布,平均需 12分钟,求: (1)病人到来不用等待的概率; (2)门诊部内顾客的平均数;
(3)病人在门诊部的平均逗留时间;
(4) 若病人在门诊部内的平均逗留时间超过 1小时, 则医院方将考虑增加值班医生。 问
病人平均到达率为多少时,医院才会增加医生?
5.某排队系统只有 1名服务员, 平均每小时有 4名顾客到达, 到达过程为 Poisson 流, , 服 务时间服从负指数分布, 平均需 6分钟, 由于场地限制, 系统内最多不超过 3名顾客, 求: (1)系统内没有顾客的概率; (2)系统内顾客的平均数;
(3)排队等待服务的顾客数;
(4)顾客在系统中的平均花费时间; (5)顾客平均排队时间。
6.某街区医院门诊部只有一个医生值班,此门诊部备有 6张椅子供患者等候应诊。当椅子 坐满时, 后来的患者就自动离去, 不在进来。 已知每小时有 4名患者按 Poisson 分布到达, 每名患者的诊断时间服从负指数分布,平均 12分钟,求: (1)患者无须等待的概率; (2)门诊部内患者平均数; (3)需要等待的患者平均数; (4)有效到达率;
(5)患者在门诊部逗留时间的平均值; (6)患者等待就诊的平均时间; (7)有多少患者因坐满而自动离去?
7. 某加油站有四台加油机,来加油的汽车按 Poisson 分布到达,平均每小时到达 20辆。四 台加油机的加油时间服从负指数分布,每台加油机平均每小时可给 10辆汽车加油。求: (1)前来加油的汽车平均等待的时间;
(2)汽车来加油时 ,4台油泵都在工作 , 这时汽车平均等待的时间 . 8.某售票处有 3个售票口,顾客的到达服从 Poisson 分布,平均每分钟到达 9. 0=λ
(人) , 3个窗口售票的时间都服从负指数分布,平均每分钟卖给 4. 0=μ(人) ,设可以归 纳为M /M /3 模型,试求:
(1)整个售票处空闲的概率; (2)平均对长; (3)平均逗留时间; (4)平均等待时间;
(5)顾客到达后的等待概率。
9.一个美容院有 3张服务台,顾客平均到达率为每小时 5人,美容时间平均 30分钟,求: (1)美容院中没有顾客的概率; (2)只有一个服务台被占用的概率。 10. 某系统有 3名服务员 , 每小时平均到达 240名顾客 , 且到达服从 Poisson 分布, 服务时间 服从负指数分布,平均需 0.5分钟,求 : (1)整个系统内空闲的概率; (2) 顾客等待服务的概率;
(3)系统内等待服务的平均顾客数; (4)平均等待服务时间; (5)系统平均利用率;
(6)若每小时顾客到达的顾客增至 480名,服务员增至 6名,分别计算上面的
(1)——(5)的值。
11.某服务系统有两个服务员, 顾客到达服从 Poisson 分布,平均每小时到达两个。 服务时 间服从负指数分布, 平均服务时间为 30分钟, 又知系统内最多只能有 3名顾客等待服务, 当顾客到达时,若系统已满,则自动离开,不再进入系统。求: (1)系统空闲时间; (2)顾客损失率;
(3)服务系统内等待服务的平均顾客数; (4)在服务系统内的平均顾客数; (5)顾客在系统内的平均逗留时间; (6)顾客在系统内的平均等待时间; (7)被占用的服务员的平均数。
12.某车站售票口, 已知顾客到达率为每小时 200人,售票员的服务率为每小时 40人,求: (1)工时利用率平均不能低于 60%;
(2)若要顾客等待平均时间不超过 2分钟,设几个窗口合适?
13.某律师事物所咨询中心,前来咨询的顾客服从 Poisson 分布,平均天到达 50个。 各位被咨询律师回答顾客问题的时间是随机变量, 服从负指数分布, 每天平均接待 10人。 每位律师工作 1天需支付 100元,而每回答一名顾客的问题的咨询费为 20元,试为该咨 询中心确定每天工作的律师人数,以保证纯收入最多。
14.某厂的原料仓库,平均每天有 20车原料入库,原料车到达服从 Poisson 分布,卸货率
服从负指数分布,平均每人每天卸货 5车,每个装卸工每天总费用 50元,由于人手不 够而影响当天装卸货物, 导致每车的平均损失为每天 200元, 试问, 工厂应安排几名装 卸工,最节省开支?
15. 某公司医务室为职工检查身体, 职工的到达服从 Poisson 分布, 每小时平均到达 50人,
若职工不能按时体检,造成的损失为每小时每人平均 60元。体检所花时间服从负指数 分布,平均每小时服务率为 μ,每人的体检费用为 30元,试确定使公司总支出最少的 参数 μ。
《运筹学》第六章排队论习题解答
2. (1) √ (2) √ (3) X (4) √ (5) X (6) X (7) X (8) √ (9) √ (10) X 3.解:单位时间为小时, 5. 06, 6, 3=====μλρμλ
(1)店内空闲的时间: 5. 02110
=-=-=ρp ;
(2)有 4个顾客的概率:03125
. 021
21121) 1(54
4
4==??? ??-??? ??=-=ρρρ;
(3)至少有一个顾客的概率:
{}5. 0110=-=≥p N P ;
(4)店内顾客的平均数:
1
1=-=
ρρ
L ;
(5)等待服务的顾客的平均数:5
. 0=-=ρL L
q
(6)平均等待修理的时间:
1667. 035
. 0==
=
λq
L W ;
(7)一个顾客在店内逗留时间超过 15分钟的概率。
{}607. 0152
1) 20
1101(
15) (====>-----e e e T P t
λμ 4.解 : 单位时间为小时,
6. 0, 5, 3=====μλρμλ
(1)病人到来不用等待的概率:4. 06. 0110
=-=-=ρp
(2)门诊部内顾客的平均数:
5. 16. 016
. 01=-=
-=
ρ
ρ
L (人)
(3)病人在门诊部的平均逗留时间;
5. 01
=-=
λμW (小时)
(4)若病人在门诊部内的平均逗留时间超过 1小时,则有:
4
, 51
11=∴-=
-=λλ
λμ
即当病人平均到达时间间隔小于等于 15分钟时,医院将增加值班医生。 5.解:单位时间为小时,
3, 4. 0, 10, 4=====K μλρμλ;
(1)系统内没有顾客的概率:616. 04. 014
. 01114
40=--=--=
ρρp ;
(2)系统内顾客的平均数:
562. 04. 014. 044. 014. 01) 1(14
4
11=-?--=-+--=++K K K L ρρρρ
(人) ;
(3)排队等待服务的顾客数:178
. 0384. 0562. 0) 1(0=-=--=p L L q
(人) ;
(4)顾客在系统中的平均花费时间:
8. 8146. 0842. 3562
. 0)
1(03===
-=
p L
W ρλ(分钟)
(5)顾客平均排队时间:8
. 2046. 01. 0146. 0==-=-=μW W q
(分钟) 。
6.解:此问题可归结为M/M/1/7的模型,单位时间为小时,
7, 8. 0, 5, 4=====K μλρμλ
(1)患者无须等待的概率:
2403
. 08
. 018. 018
0=--=
p ;
(2)门诊部内患者平均数:387. 28. 018. 088. 018. 08
8
=-?--=L (人) (3)需要等待的患者平均数:
627
. 1) 1(387. 20=--=p L q (人)
(4)有效到达率:
8. 3) 8. 08. 018
. 011(4) 1(78
7=?---
?=-=P λλε;
(5)患者在门诊部逗留时间的平均值:
628. 08. 3387
. 2==
=
ε
λL
W (小时) =37.7(分钟 )
(6)患者等待就诊的平均时间:
7
. 25127. 37=-=q W (分钟 )
(7)有
%03. 50503. 0117
8
7==--=
ρρρP 的患者因坐满而自动离去 .
7. 解:此为一个M /M /4系统,
,
2, 10, 20====μλρμλ系统服务强度
5. 042==*
ρ,所以
13
. 0211! 42! 21
3
00=?
??? ??-+=-=∑k k
k
k p
(1)前来加油的汽车平均等待的时间即为
q
W :
因为
101201
1
-=
-
=
-
=L L
W W q μ
λ
μ
而 17. 22) 5. 01(! 413. 05. 02) 1(! 2
420=+-???=+-=**ρρρρc p L c
故:
q
W =0.0085(小时) =0.51(分钟)
(2)汽车来加油时 ,4台油泵都在工作 , 设汽车平均等待的时间为 *
W .
则
∑
∞
=*
=
c k k q
P W W ,因为
26. 001==p p ρ,
26
. 02
02
2==
p p ρ
18
. 0!
303
3==
p p ρ, 4=c ,
17
. 013
04
=-=∑∑
=∞
=k k k k p p
所以 :3
17. 051
. 017. 0==
=
*q
W W (分钟) 。
8.解:此为一个M /M /3系统,
, 25. 2, 4. 0, 9. 0====μλρμλ系统服务强度:
75
. 03==*ρ
ρ
(1) 0743. 075. 011! 3) 25. 2(! ) 25. 2(1
3030=???? ??-?
+=-=∑k k k p (2)因为:95. 325. 20743. 0) 75. 01(! 375. 0) 25. 2(2
3=+?-??=L (人)
所以:
70
. 125. 295. 3=-=-=ρL L q (人)
(3)平均逗留时间:39
. 49. 095
. 3==
=
λL
W (分钟)
(4)平均等待时间:89
. 14. 039. 4=-=-=μW W q (分钟)
(5)设顾客到达后的等待概率为 *
P ,则
57. 00743. 075. 011
! 3) 25. 2(11! 30
=?-?=-==*∞
=*
∑P c P P c
c k k ρρ
9.解:此为系统为 M / M / n (n=3)损失制无限源服务模型,
5
. 2, 20, , 5=====μλρμλ,
(1) ()108. 0604. 2125. 35. 21! ) 5. 2(11
300=+++=?
???
??=--=∑k k k p (2) 27. 0108. 05. 201
=?==p p ρ
10.此为系统为 M / M / n (n=3)服务模型,
3, 2, ) /(25. 01
, /(460240=======
n μλρμλ分钟 人 分钟) 人 ,
(1)整个系统内空闲的概率:
111
. 0) 4221(! 3! 11
20
30=+++=???
??????? ??-+=--=∑k k n n k p ρρρ;
(2)顾客等待服务的概率:
{}444. 094! 3003==???? ??-=>p n n W p ρρ;
(3)系统内等待服务的平均顾客数:
888. 09
8
) (! ) 1(02
1
==
--=
+p n n L n q ρρ(人) ;
(4)平均等待服务时间:
222. 092
4198==?==
λq
q L W ;
(5)系统平均利用率;
667. 0===*
n ρρ; (6)若每小时顾客到达的顾客增至 480名,服务员增至 6名,分别计算上面的
(1)——(5)的值。
6, 4, ) /(25. 01
, /(860480=======
n μλρμλ分钟 人 分钟) 人
则:整个系统内空闲的概率:
017
. 0) 067. 17866. 42(! ! 11
20
0=+=???
??????? ??-+=--=∑k n k n n n k p ρρρ
顾客等待服务的概率:{}285. 0017. 0067. 17! 00=?=????
??-=>p n n n W p n ρρ
系统内等待服务的平均顾客数:
58
. 0)
(! ) 1(02
1
=--=
+p n n L n q ρρ(人)
平均等待服务时间:
07
. 0==
λ
q
q L W
系统平均利用率;
667. 06===*
n ρρ。 11.解:将此系统看成一个 M / M / 2 / 5排队系统,其中
5, 2, 4, 5. 0, 2======K n μλρμλ
(1)系统空闲时间:
008
. 0) 21(2) )
2(1(4411
1
252
0=???
?
??--++=-+-p ;
(2)顾客损失率:512. 02! 2008. 042
555=??=-p ;
(3)服务系统内等待服务的平均顾客数:
18
. 2) 24)(125)(241(241) 21((! 2) 2(4008. 0251
252
2=???
?
????+---??
? ??--??=-+-q L (人)
(4)在服务系统内的平均顾客数:
13
. 4) 512. 01(418. 2) 1(5=-?+=-+=p L L q ρ(人) ;
(5)顾客在系统内的平均逗留时间:
23
. 4) 512. 01(213
. 4) 1(5=-?=-=
p L W λ (分钟) ;
(6)顾客在系统内的平均等待时间: 23. 2223. 4=-=-=μW W q
(分钟) (7)被占用的服务员的平均数。
95
. 118. 213. 4=-=-=q L L (个)
12.解:将此系统看成一个 M / M / n 排队系统,其中
5
. 3, 45, 140====μλρμλ,则
工时利用率平均不能低于 60%,即系统服务强度:
6
. 05
. 3≥==*
n n ρ
ρ ,所以 17. 4≤n ,设
4, 3, 2, 1=n 均满足工时利用率 的要求,现在计算是否满足等待时间的要求:
(1)当 4=n 时,
0737
. 05. 04! 45. 2! 35. 225. 25. 21! ! 1
4321
30
0=?
??
???++++=???
??????? ??-+=--=∑k n k n n n k p ρρρ
平均等待时间:
2
!
)
(! ) 1(p n n L W n q
q ρλρλ
--=
=
+
0067. 02700197
. 70148. 05. 162005. 22
5==???=(小时) =0. 16(分)
(2)当 3=n 时, 045. 0! ! 1
200=???
????
??? ??-+=-=∑k n k n n n k p ρρρ 平均等待时间:0176. 0) (! ) 1(0
2!
=--==+p n n L W n q q ρλρλ(小时) =1.05(分 )
若 2≤n ,则 1>n ρ,所以,应该设 3个窗口符合要求。
13.解:这是一个 M / M / n 系统确定 n 的问题,因为:
n n , 5, 10, 50======*
ρρμλρμλ,则
1
10011! ! --=*??????-+=∑n k n k n k p ρρρ,设 ) (n f 表示当律师有 n 个时的纯收入, 则:
?
?????--++-=∑-=200) 5(! ) 1(5! 55200100) (n k n k n n n k p n n f 对 n 的约束只有一个,即
1<*ρ,由此可得 5="">n ,为求 n ,我们由下表计算 ) (n f ,再取 最大值。
由此可以看出,当 时,律师咨询中心的纯收入最大。
14.解:此问题为一个 M / M / n 系统确定 n 的问题,因为:
n
n , 4, 5, 20======*ρρμλρμλ
设
) (n f 表示当装卸工有 n 个时工厂在装卸方面的总支出,则所求为
][50) (min w C E n n f +=
其中 w C 为由于货车等待装卸而导致的单位时间的经济损失。
?
???--+==+21
) (! ) 1(100100ρρρn n L C n w 15.解:我们用 M / M / 1 来描述此题,因为
50
=λ人 /小时,
30=s C 元 /人, 60=w C 元 /人,则公司每小时总支出为
λ
μλμμ-+=+=w
s w s C C L C C z ,
对 μ求导,并令导数为零,得:
s
w C λμ+=,所以有
601050306050=+=?+=*μ(人 /小时) 。
