范文一：考研数学：巧用柯西中值定理进行证明

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考研数学:巧用柯西中值定理进行证明

来源:文都网校

在考研数学中，高等数学的中值定理是一个重要考点，也是一个难点，对它的理解和掌握程度会直接影响到考研数学成绩的高低，因此考生应该给予足够的重视。中值定理包括微分中值定理和积分中值定理，微分中值定理包括4个，分别是:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理。为了帮助各位考生更好地理解和运用中值定理，文都网校的老师将分别对它们进行分析和探讨，下面我们来分析一下柯西中值定理及其运用，供大家参考。

柯西(Cauchy)中值定理及其意义:

,柯西定理:设函数和在上连续，在内可导，且，则至少存在一点fx()Fx()[,]ab(,)abFx()0,

,fbfaf()()(),,,，使 . ,,(,)ab,FbFaF()()(),,

意义:柯西定理表示，两个函数的变化量之比，与它们在某一点的变化率之比具有相同的值; 比较:与罗尔定理和拉格朗日中值定理相比，柯西定理没有明确的几何意义，而罗尔定理和拉格朗日定理都具有明确的几何的意义。

fbfa()(),,如果在柯西中值定理中取，则得到拉格朗日中值定理:，因此，可,,f()Fxx(),ba,

以说拉格朗日定理是柯西定理的一个特例，而柯西定理则是拉格朗日定理的一种推广。

柯西中值定理的运用:

1、在等式或不等式的证明中，对涉及到两个函数的变化量与变化率的问题，可以考虑运用柯西中值定理;

2、如果关系式中只含一个函数的变化量，但关于端点的表达式可以可以表示成另一个函fx()ab,

数的变化量的形式，可以先对原式进行恒等变形，然后运用柯西中值定理进行证明; 3、对比较复杂的证明问题，可能需要结合其它知识进行综合证明，比如结合其它中值定理和函数的单调性等;

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典型例题:

例1. 设内可导，又，试证存在，使得0,,abfxCabab()[,],,,在(),,(,)ab

b, fbfaf()()(ln)(),,,,a

bfbfa()(),,,分析:首先对原式进行恒等变形化成，由此知fbfaf()()(ln)(),,,,,,,f()alnlnba,可以运用中值定理。

证明:令，对函数运用柯西定理得:，使得Fxx()ln,fxFx(),()，,,(,)ab

,fbfaf()()(),,b,,,,f()，即 fbfaf()()(ln)(),,,,,,,lnln()baF,a,

xx,21例2. 设xx,0，试证存在介于xx与之间，使 xexeexx,,,,(1)(),,12121212

xx21ee,xe1xx,21和分析:将上式进行恒等变形可化为，然后对函数运用柯西中值定理。 (1),,,e11xx,xx21

xe1证明:令，由柯西定理得:存在介于xx与之间，使得fxFx(),(),,,12xx

xx21ee,,fxfx()(),f(),xxxx,,212121,，即，变形即得 xexeexx,,,,(1)(),(1),,,e121211,FxFxF()()(),,21,xx21

ab，,,ff()(),,a,0,例3. 设内可微，，试证，使 fxCabab()[,],,,且在()，,,,,(,)ab2,

,[()]fx,,,ff()(),,f(),x,,,分析:原式变形为，即，由左式想到用Cauchy中值定理 ,22ab，,[]xab，,x,,

,fbfaf()()(),,2,证明:对函数运用柯西中值定理可得:，使得，又fxx()和，,,(,)ab22ba,2,

http://www.wenduedu.com fbfafbfa()()()()1,,，再由拉格朗日中值定理得:，使,,，,,(,)ab22babaab,,，

,,ffbfaf()()()(),,,ab，fbfa()(),,,,ff()(),,，于是,, ,,,,f()222abba2，,,ba,,

采用上面的方法，同样可以证明以下两题:

1.设，内可导，试证存在，使0,,abfxCabab()[,],,,在(),,(,)ab

b2, bfbafaff()()[()()]ln,,，,,,,a

(提示:对上式变形后易知需对函数运用 Cauchy中值定理) xfxx()和ln

ba,fee(),,,,,2.设内可导，且?0，试证存在，使 fxCabab()[,],,,在()fx(),,,(,),abe,,fba(),,(提示:上式中有2个不同未知点，可能需用2次中值定理。先由Cauchy定理可得

,fbfaf()()(),,fbfa()(),,，再由拉格朗日定理可得，两式相除可得证) ,,,f()ba,eee,ba,

上面就是考研数学中利用柯西中值定理进行证明的方法介绍，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，文都网校的老师还会陆续向考生们介绍如何利用中值定理进行证明的其它方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩。

范文二：考研高数定理：柯西中值定理

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考研高数定理：柯西中值定理 考研数学考察的中值定理有：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理(即微分中值定理)、柯西中值定理和泰勒中值定理。这四个定理之间的联系和区别要弄清楚，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。除泰勒定理外的三个定理都要求已知函数在某个闭区间上连续，对应开区间内可导。柯西中值定理涉及到两个函数，在分母上的那个函数的一阶导在定义域上要求不为零，

柯西中值定理还有一个重要应用——洛必达法则，在求极限时会经常用到。泰勒公式中的x0=0时为泰勒公式的特殊情况，为麦克劳林公式，常见函数的麦克劳林展开式要熟记，在求极限和级数一章中有很重要的应用。

证明题中辅助函数的构造方法：

一、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间的差距为一阶。

二、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间相差超过一阶。

三、结论中除含ξ，还含有端点a,b。

四、结论中含两个或两个以上的中值。

有虫吃，一分耕耘一分收获。加油！

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范文三：柯西中值定理的新证明

*柯西中值定理的新证明

，，蒋叶聪张晓青江蓉华

( ，401331) 重庆师范大学 数学学院重庆

摘 要: 利用有限覆盖定理给出了柯西中值定理的新的证明方法，并进一步加深了对柯西中值定理的 ( 理解

关键词: 柯西中值定理; 有限覆盖定理; 达布定理

: O291( 2: A中图分类号 文献标志码

1 预备知识

，，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广是数学分析中十分重要的内容也是微分学的基本定理之 ,1,( ，，，一关于柯西中值定理的证明一般是构造辅助函数再利用罗尔定理得出结果也有学者利用其它方法

,2,( 、( 来证明定理宋铁莎运用连续函数的介值定理单调有界定理给出了柯西中值定理的一个证明张玉忠应

,3,( 5 用连续函数的性质和闭区间套定理给出了柯西中值定理的又一证法黄德丽用 种不同的方法证明了柯 ,4,( ，，西中值定理这些证明方法拓宽了柯西中值定理的证明思路同时探索如何利用新的方法证明柯西中值

(定理也十分有意义

近年来，许多学者探索出了新的利用完备性定理的方法来证明柯西中值定理( 2005 年，张彩霞对区间

，4 、套定理给出一个推论然后建立了 个引理并在此基础上通过构造区间套依次证明了罗尔中值定理拉格朗 ,5,( 2012 ，日中值定理和柯西中值定理年张琳和郭三刚通过反证法给出了罗尔定理和拉格朗日中值定理的 ,6,证明并利用拉格朗日中值定理证明了柯西中值定理( 通过完备性定理证明柯西中值定理的方法有很多，

( 1991 ，但至今没有通过有限覆盖定理证明柯西中值定理的方法年曲立学利用有限覆盖定理证明了拉格朗 ,7,,8,，,7,，，，日中值定理基于文献的思想利用有限覆盖定理和达布定理通过构造新的辅助函数并利用反证 ，，(法结合连续函数的性质给出了柯西中值定理一种新的证明方法

,8,1( ) y =f ( x) ( A，B) ，,a，b,( A，B) ，引理 达布定理导函数的介值定理设 在区间中可导又设包含于 f '( a) , f '( b) ，: f '( a) , , f '( b) ，c( a，b) f '( c) = (且 则对于任意给定的 η 满足η 都存在一点 ?使得 η

,1,2( )a，b,，E E ,引理 有限覆盖定理 若开区间所成的区间集 覆盖一个闭区间则总可以从 中选出有

，,a，b,(限个开区间使这有限个开区间覆盖

2 定理的证明

: f( x) g( x) ,a，b,，( a，b) ，g'( x) 0，( a，柯西中值定理若 与 在闭区间上连续在开区间内可导并且 ?则在 b)内至少存在一 点 ξ，使得

: 2013, 02 , 18; : 2014, 03 , 16(收稿日期修回日期

* : ( CSTC，2011KLO,SE02 )(基金项目重庆市重点实验专项基金项目

: ( 1994, ) ，，，(作者简介蒋叶聪男四川达州人从事数学与应用数学研究

，: 19 蒋叶聪等柯西中值定理的新证明 10 第 期

f( b) , f( a) f ' ( ξ) = ( g( b) , g ( a) g'( ξ)

x,a，b,，g( x') 0，g( a) g( b) (证明 因为对任意 ??故 ? f( b) , f( a) F( x)= f( x) , g( x) ，f( x) g( x) ,a，b,，( a，b) ，F( x) ,a，令 又因为 与 在内连续内可导故 在 g( b) , g ( a)

F( b) , F( a) f( b) , f( a) , ( f( b) , f( a) ) b,，( a，b) ，A = ，A = 内连续内可导令 显然 = 0( b ,a b ,a

=A ( 下面证明存在 x?( a，b) ，使得 F'( x)

x( ab) ，F'( x) A，3 : ( 1)，若对任意的 ??则有 种情况之一成立 F'( x) ,A ; ( 2) F'( x) ,A ; ( 3) x'存在 ,x ″( ab) ，F'( x') ,A ,F '( x″) F'( x″)，?有 或 ,A ,F '( x') (

1 : ( 3) ，xa，b) ，F'( x) =A ，( ( 3) (( x'，x″) ( 由引理 可得若 成立则存在 ? 使得 矛盾可知 不成立 0 0

，F'( x) ,A ，( a，b) c，d，a ,c ,d ,b ，d ,b , ，不妨设 在内任取两点 使得 令 ε 是任意小的正数并设 ε有对

F( x + Δx) , F( x) x,d，b , , 0，x + x，) , N( x，) ,,，xN( 任意 ?ε存在 δ当 Δ?δ时,A ( 显然开区间族 δ覆盖 x x x xΔ

,,d，b , x,d，b , ( 2 ，N( x，) ，N( x，) ，…，N( x，,，了闭区间ε其中 ?ε再由引理 得存在有限个开区间 δδ 1 x 2 x n 1 2 δ) 覆盖区间,d，b ,ε ,，其中 x,x ,… ,x ，在区间 N( x，δ) ?N( x，δ) 中任取 y( i = 1，2，…，n , 1) ，x1 2 n i xi + 1 xi n i i + 1

x，dN( x，) ; x，yN( x，) ; x，yN( x，) ; x，yN( x，) ; …; x，b , N( x，) ( 有 ?δ?δ?δ?δε?δ故 1 1 x 1 1 1 x 2 1 2 x 2 2 2 x n n x 1 1 2 2 n F( b , ) , F( x) F( x) , F( d) F( x) , F( y) F( x) , F( y) ε n 1 1 1 2 1 ,A ; ,A ; ,A ; …; ,A x,d x,y x,y b , ,x ε 1 1 11 1n

,F F( x),F ( d) ,A ( x,d ) ; F( y) ,F ( x) ,A ( y,x ) ; F( x) ,F ( y),A ( x,y ) ; …; F( b , )从而 ε 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 ( x),A ( b , ,x ) ( F( b , ),A ( b , ,d ) ( F ( x) b ，ε 等式左右两端相加可得 ε,F ( d) ε 因为 在 点连续所以 n n

F( b) ,F ( d) A( b ,d ) ，F( d),F ( c) ,A ( d ,c ) ; F( c) ,F ( a) A( c ,a ) ; : F( b),F ( a) ,A ?同理可得 ?故 ( b ,a ) = F( b) ,F ( a) (，矛盾

，F'( x) ,A ，，( a，b) ，F'( )同理可证若 则也可以导出矛盾从而存在 ξ?使得 ξ = A 0=(

f( b) , f( a)f( b) , f( a) f '( ) ξF'( ) =f '( ) g'( ) = 0， 代入即得 ξξ , ξ化简即得 = (g'( ξ) g( b) , g ( a) g( b) , g ( a)

:参考文献

,1, ，，，( ,M,( : ，1987欧阳光中朱学炎金福临等数学分析北京高等教育出版社

,2, (,J,( : ，1994，12( 2) : 30-32宋铁莎 柯西中值定理的一个证明广西师范大学学报自然科学版 ,3, (Cauchy ,J,( : ，1994，11( 3) : 11-13 张玉忠 中值定理的又一证法重庆工商大学学报自然科学版用五种方法证,4, (,J,( ，2003，25: 27-31 黄德丽 明柯西中值定理湖州师范学院学报区间套定理在证明中值定理中的应用,5, (,J,( : ，2005，21( 6) : 794-796张彩霞 哈尔滨商业大学学报自然科学版

,6, ，( Darboux ,J,( : ，2012，28( 2) : 67-71张琳郭三刚微分中值定理及微分 定理新证明方法陕西理工学院学报自然科学版 ,7, ( ,J,( : ，1991，11( 3) : 1-4曲立学覆盖定理的若干简单应用齐齐哈尔师范学报自然科学版 ,8, ，，( ,M,( : ，2007刘三阳于力李广明数学分析选讲北京科学出版社

New Proof for Cauchy VMalueea nT heorem

JIANG Ye-cong，ZHANG Xiao-qing，JIANG ,ong-hua

( School of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

Abstract: New proof method for Cauchy meanlue t heoremvais given based fionnit e covering theorem andth is

proof metcanhod f urther deepen the undetanrdsing of Cauchy meanl uvea theorem(

Key words: Cauchy mean lvuae theorem; finite covering theorem; DarbouxT heorem

: 责任编辑田 静

范文四：柯西中值定理证明方法探讨

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柯西中值定理证明方法探讨

作者：黄静

来源：《读写算·基础教育研究》2016年第10期

【摘 要】微分中值定理是研究函数的重要工具，微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。本文主要给出了柯西中值定理的几种证明方法。

【关键词】柯西中值定理 反证法 达布定理

由于解决实际问题的需要，人们引进了微分学的概念，并对它进行研究，使之成为一门系统化、全面化的理论。而且微分学也随之成为解决实际问题中一种重要的工具之一，其应用也越来越广泛。而微分学中的一个重要定理-微分中值定理，是微分应用的理论基础，是微分学的核心理论。本文主要给出了柯西中值定理的几种证明方法。

预备知识

该函数在上显然是连续的，而且在开区间上可导，此外，现在证明存在，有假设，则由达布定理知道，或，则由命题知道在内严格单调，不妨设在上严格单增（因为在上连续），从而，与定理条件矛盾，故，

即定理证明完毕。

参考文献

[1]吉特尔曼，数学史，上海，科学普及出版社，1987

[2]梁宗巨，世界数学通史，沈阳，辽宁教育出版社，2001

[3]樊映川，高等数学讲义，北京，高等教育出版社，1958

[4]同济大学数学系，高等数学，北京，高等教育出版，2002

范文五：2016数学考研中值定理证明之拉格朗日、柯西及积分中值定理

2016数学考研复习指导之导数的应用：

极值

考研数学如何取得高分？以下老师为各位同学整理了提高考研数学成绩的技巧，供大家参考，希望能对大家复习备考有帮助！

考研数学复习是建立在对基本的东西很深刻的理解的基础上的，单纯多做题可能会多见识一些题型，但对于一些很灵活有新意的题目就可能无法应对，这和点石成金的故事是一样的道理。而这种能力的培养却来自于老老实实地将基础打牢，这一点上要摒弃那种急功近利的想法，不论是考研还是成就一番事业，要想成功，首先要沉得住气，有一个长远的打算，而不是做一天算一天，同时要善于控制事情发展的节奏，不论太快抑或太慢都不好，你都得去考虑为什么会这样，怎样去解决。一个人不论处于顺风还是逆风，都要学会不断的去跟自己出难题，不断地去反省自己，自己主动把握自己的命运，他才能最后成功。在忙碌的考研复习中，或许你正在忙于大量的复习知识，或许你已投入无尽的题海，或许你还在为一道道题而苦恼，或许你还在因为复习不见成效而沮丧。但是，不知忙于埋头复习的你有没有发现，不是你的能力不够强，而是你对如何复习还不熟练。我们的最终目的是提高复习效果，提高复习效果的途径大致可以分为两种：一是调整数学整体的素质和能力，更好的驾驭考研;二是理解复习的每一个环节，掌握复习方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。

试大纲中要求考生理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。下面我们来看一下这部分知识。

三是极值点不能取端点，四是极值是局部概念，即极大值不一定很大，极小值不一定很小，完全有可能极小值比极大值还要大。在这里我们要着重分析一下极值与最值的关系，首先极限不一定是最值，最值是整个区间内部的最大或最小值，而极值是小范围内的最值，反过来最值是极限吗?最值都是整个范围内的最大或最小值，在小范围内也是最值，我们要注意的是极值是在区间内部取到，但只要最大值是在区间内部取到，则最值一定是极值。

总之，天道酬勤，坚持就是胜利!加油!任何知识的积累都是长期努力的结果，都是需要我们踏踏实实来努力的，切勿投机。考研数学学科考试内容多、知识面广、综合性强，提醒大家在复习期间掌握好适合自己的方法，并持之以恒、坚持到底，真正实现从量变到质变的飞跃。

高数复习在于不断总结，在练习中寻找规律。 最后，预祝广大考生考试顺利通过复习阶段取得胜利的果实!

最后祝愿大家考研取得好成绩！

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