范文一:平均不等式
平均不等式
AG不等式:
1.中学里面我们称之为基本不等式:(1)ab?(2)
a?b
(a,b?0)2
ab
??0(a,b同号)ba
(3)a2+b2?2ab(a,b为实数)
1n
2.推广:设a=(a1,…,an),ak?0,1?k?n,则An(a)=?ak称为a1,…,an的算术
nk?1
平均值,Gn(a)=a1a2??an称为a1,…,an的几何平均值Gn(a)?An(a),即a1a2??an?
a1?a2????an
n
称为AG不等式,当且仅当a1=a1=…=an时等号成立.AG不等式是最重要的基本不等式,利用这个不等式,可将和的形式缩小为积的形式,或者将积的形式放大为和的形式,因而这可以叙述成两个等价的共轭命题:
(1)其和为S的n个正数之积,在这些数都相等的时候最大,最大值为(S/n)n.(2)其积为?的n个正数之和,在这些数都相等的时候最小,最小值为n?2.
因此AG不等式有许多独特的应用价值,例如在几何学中求最大最小问题时,给定表面积的所有长方体中,正方体具有最大的体积;而给定体积的所有长方体中,正方体具有最小的表面积等.
3.加权形式的AG不等式:
(ak)^qk,Gn(a,q)?An(a,q),式中Gn(a,q)=?An(a,q)=?qkak,qk?0,?qk?1,
k?1
k?1
k?1
nnn
通过对数变换可以将这两种平均联系起来,记lna=(lna1,…,lnan),则lnGn(a,q)?lnAn(a,q),即正数a1,…,an的加权几何平均Gn(a,q)的对数等于a1,…,an的对数lna1,…,lnan的加权算术平均.
n
同时,对于加权形式的AG不等式的进一步推广是:设ajk>0,qk>0,且
m
n
n
m
?q
k?1
k
?1,则
?(?(aij)^qk)??(?ajk)^qk,当且仅当
j?1
k?1
k?1
j?1
aj1
m
j1j?1
=
aj2
m
j2j?1
=…=
ajn
?a?a?a
j?1
m
,(j=1,…,m)
jn
时等号成立.
4.关于AG不等式的证明:
这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法,为了叙述方便,下面将
a1?a2????an
记为Gn(a)?An(a),并设a1,…,an是不全相等的正
n
a1?a2????an
数(因为a1=a1=…=an时,等号成立),与a1a2??an?等价的是:
n
1a2??an?
若
?a
k?1n
n
k
?1,则?ak?n;
k?1n
n
若
1n
ak?1ak?,则().??nk?1k?1
第一步:假设n=k时,1a2??an?
1821年Cauchy用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明:
a1?a2????an
成立,容易推出n=2k的
n
+
时候该式也成立:
a1??a2k
2k?
=
12
(
a1?a2????ak
kak?1?ak?2????a2k
k
)
1
[(a1?ak)1/k+(ak?1?a2k)1/k]?(a1?akak?1?a2k)1/2k2
由此推出n=2m时,a1a2??an?
第二步:设n?2m,则比存在r?N,使得n+r=2m.
a1?a2????an
成立.
n
An?
(n?r)An(a1??an)?(An???An)
??[a1?an?An?An]1/(n+r)(有r个An
n?rn?r
连乘)=[?Gn?^n??An?^r]1/(n+r).
即?An?n+r??Gn?n??An?r.从而An?Gn.
另外一种思路是从An?1?Gn?1推出An?Gn成立,事实上
An?
nAn?Ana1???an?An
???a1a2?anAn?1/(n+1),即?An?n+1?a1?anAn,从而
n?1n?1
.
?An?n?a1?an=?Gn?n,即An?Gn
同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立
?a
k?1
n
k
?1,则?ak?n
k?1
n
证明如下:n=1时,命题显然为真.
假设n?1时,命题为真,当?n?1?时,若所有的xk?1,则其和等于?n?1?,不然
不妨设x1?1,xn?1?1(对若干个xi进行一个排列,把最小的重新定为x1,最大的定为xn?1),
我们记y?x1xn?1,这时便有x2x3?xny?1,由于归纳假设
x2?x3???xn?y?n①
另外,x1?xn?1?y?x1?xn?1?x1xn?1?(1?x1)?1?xn?1??1
②
①+②得,x1??xn?1?n?1,因而对?n?1?的情况也成立,证毕!
教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明,这里我们直接证明加权平均不等式,AG不等式只是其中的一种特殊情形。
下证明:Gn(a,q)?An(a,q),式中Gn(a,q)=
n
(a)^q,An(a,q)=?qa,qk?0,?
k
k
kk
k?1
k?1
nn
?q
k?1
k
?1,
证明:注意到如果ak中有等于0时,不等式自然成立,现在只需要考虑ak都是正数的情况.
因为指数函数e^x?exp(x)为严格的上凸函数,所以我们有:
n
?n?n
(ak)^qk=exp???klnak????kexp[ln?ak?]???kak,当且仅当ak都相等?k?1k?1?k?1?k?1n
的时候成立。
这时候我们再令?k?
1
,k?1,2??,n时,该式子就是非负的几何平均数不大于n
算术平均数(AG不等式)
有关更加深入的内容,我将继续为读者展现,作者:华东师范大学数学系黄越(原创)
范文二:平均不等式
平均不等式 第 1 页 共 4 页
无论做什么事,首先要有一个明确的目标,因为“随缘而来”,结局往往是“无缘而去”。奥
林匹克数学教育是要造就高层次的千军万马,从千军万马中涌现金牌选手。从这一点来说,目标
要明确——金牌选手。但数学竞赛教育不仅选拔了少数尖子,也锻炼了参与这一活动的广大选手,
帮助他们首先在教学上成熟起来,并不是为了几个金牌选手而牺牲千军万马。本讲介绍平均不等
式的有关内容。
1、定理:设是n个正实数, a,a,,,,,a12n
a,a,,,,,an12n则,当且仅当时取等号 a,a,,,,,a,aa,,,a12nn12n
2、二维平均值不等式的变形
a,b22(1)对实数a,b有,aba,b,2ab (2)对正实数a,b有 2
22a21aa1(3)对b>0,有, (4)对ab?0有, ,,,2a,b,a,b2babb4b
1(5)对实数a,b有a(a-b)?b(a-b) (6)对a>0,有 a,,2a
122(7) 对a>0,有 a,2ab,b (8)对实数a,b有 a,1,1,a
2b122(9) 对实数a,b,有ab,(a,), 22,
,例1 已知x,y,z,R4x,1,4y,1,4z,1,21x,y,z,1,且,求证:
17分析:由于当x,y,z,时,上述不等式的“=”成立,于是。 4x,1,4y,1,4z,1,33
7733证明:因为,所以,同理,2,,4x,1,,4x,14x,1,(2x,5)4y,1,(2y,5)3377
平均不等式 第 2 页 共 4 页
3,上述三式相加,并将代入化简即得证。 x,y,z,14z,1,(2z,5)7
例2 设是正数,且, x,x,,,,,xx,x,,,,,x,112n12n
2222xxxx1n,1n12求证:(1990年第24届全苏数学奥林匹克十年级题2) ,,,,,,,,x,xx,xx,xx,x21223n,1nn1
222xxxn1n12分析:由于当,,,,,,xxx,,,,,,,时等号成立,于是。 12n2x,xx,xx,xn1223n1
2x1i证明:设,(x,x),xx,x,因为, ii,1in,11x,x4ii,1
2nnnnn2xxn1ii所以,(x,x),x,,即。 ,,,,,,1iii2x,x4x,xiii,1,1,1ii,1,1,1,1iiii
nnn222例3 证明柯西不等式(ab),(a)(b) ,,,iiiiiii,1,1,1
nnnn2222证明:法一、若a,0或b,0命题显然成立,对a,0且b,0,取 ,,,,iiiii,1i,1i,1i,1
n2,bi代入(9)得有 ,2i,1,n2a,ii,1
nnnnnnn1222222|ab|,(ab,ab),ab iiiiiiii,,,,,,,2iiiiiii,1,1,1,1,1,1,1
nnnn2222两边平方得(ab),(a)(b),b,0 ,,,,iiiiii,1i,1i,1i,1
nnn222法二、(ax,b),0a,2(ab)x,,即二次式不等式恒成立, ii,,,,,iiiiiii,1,,11i,1
由??0可得证。
例4 已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明:
平均不等式 第 3 页 共 4 页 a,b,ca,b,ca,b,c9(1) ,,,2222a(b,c)b(a,c)c(a,b)
1113(2) ,,,2222a(b,c)b(c,a)c(a,b)
证明:(1)
111222左,a,b,c,,()[] ab,cba,cca,b()()()
1111,a,b,b,c,c,a,,[()()()][]222 2ab,cba,cca,b()()()
11933,,a,bb,cc,a,,3()()()3 a,bb,cc,a2()()()2
12()2 (2)由11111a1bca知 (),a,b,,,,,32114abcb4a(b,c)a(b,c),bc
1111111111同理: , ()(),,,,,,33b4acc4abb(a,c)c(a,b)
1111313相加得:3左,,,,,(). 2abc2abc2
2(a,a,,,,,a)22212n例5 求证不等式 a,a,,,,,a,n12n
nna2aa2a2222证明:设a,a,,,,,a,aa,n,(),a,则,所以, a,(),,a,,ii12niinnnni,1i,1
2(a,a,,,,,a)22212n即。 a,a,,,,,a,n12n
222例6 设角A、B、C满足cosA,cosB,cosC,1
1119求证:,,, 2222ABCsinsinsin
2222222分析:原条件等价于sinA,sinB,sinC,2A,B,C,sinsinsin,当时等号成立,3
22219sinA19sinB19sinC于是,,3,,3,,3,, 222444sinAsinBsinC
上述三式相加并化简得证。
平均不等式 第 4 页 共 4 页
2222xxxxn,1n121、设都是正数,求证:(1982年全国联赛第二x,x,,,,,x,,,,,,,,x,x,,,,,x12n12nxxxx23n1
试第5题)
3333abc,2、设a,b,c,R,,,,且,求证:(《上海中abc,1()()()()()()4b,cc,ab,ca,ba,bc,a学数学》2002第二期数学问题3)
1113,3、 设,且,求证:(1995年第36届IMO题2) a,b,c,Rabc,1,,,3332a(b,c)b(c,a)c(a,b)
32222224、 若A、B、C均为锐角,且滿足cosA+cosB+cosC=1,求证:ctgA+ctgB+ctgC。(台湾,2
《数学通報》2001年数学問題839題)
5、 (第31屆IMO预选题) 設a、b、c为正数,且ab+bc+cd+da=1,
3333abcd1求证: ,,,, b,c,da,b,ca,b,da,b,c3
nkk,1aSi6、 設正实数a,,a,....,a其和為S,自然数,求证: (第28屆IMOk,212n,k,1k,2S,ain,ni,1
試題的推广)
2t2tab7、 ,,,8a,1,b,1,t,R已知,求证:(华师大《数学教学》2002年第一期,问题552) ttb,1a,1
11nn,18、 对于正整数n,求证: (1)(1),,,1nn,
范文三:不等式的性质及平均不等式
1.理解不等式的性质,并明确其内在逻辑结构。
2.熟练运用不等式的性质进行有关不等式的判断和证明。
3.掌握两项及三项平均不等式及其有关变形。
4.能够利用平均不等式解决有关不等式证明和函数最值(值域)问题。
1.不等式的性质及运用;2.平均不等式及应用
1.不等式性质的运用;2.平均不等式的运用
1.不等式性质的前提;2.平均不等式的灵活运用
1.定理1(反对称性) 若a>b, 则 b
定理2(传递性) 若a>b,b>c,则a>c。
定理3 若a>b,则a+c>b+c。
推论1 若a>b,c>d,则a+c>b+d。
定理4 若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b, c<>
推论1 若a>b>0, c>d>0,则ac>bd。
推论2 若a>b>0, n?N
+nn,则a>b。
+ 定理5 若a>b>0, n?N,则。
不等式的基本性质共有以上5个定理,3条推论。除了最基本的反对称性和
传递性之外,其它性质具有“加(加同,加异)?乘(乘同,乘异)?乘方?开
方”的逻辑顺序。
在以上基本性质中,一定要特别注意各定理的前提条件,如定理4推论1,要求两不等式同向,且各数全为正。
2.不等式性质的运用
不等式性质的运用主要有两方面:判断有关不等式是否成立;判断实数值的
大小关系。对不等式是否成立的判断,要注意验证负数和零的情形;判断大小关
系的基本方法是作差法,注意对差往往要作变形,变形的方向是因式分解或配方,
目的是为了判断差的符号。
22+b?2ab (当且仅当a=b时,等号成立)
1.定理1:若a,b?R,则a 推论,若a,b为正数,则 (当且仅当a=b时,等号成立)
定理2,若a,b,c为正数,则 (当且仅当a=b=c时,等号成立)
推论 若a,b,c为正数,则 (当且仅当a=b=c时,等号成立)
定理1和推论的若干变形:
若a,b为正数,则 (当且仅当a=b时,等号成立)
若a,b为正数,则 (当且仅当a=b时,等号成立)
若a>0,则 (当且仅当a=1时,等号成立)
若a<0,则 (当且仅当a="">0,则>
若ab>0,则 (当且仅当a=b时,等号成立)
定理2和推论的若干变形:
若a,b,c为正数,则 (当且仅当a=b=c时,等号成立)
若a,b,c为正数,则 (当且仅当a=b=c时,等号成立)
若a,b,c为正数,则 (当且仅当a=b=c时,等号成立)
2.平均不等式的运用
平均不等式的运用主要有两方面:证明不等式和求函数的最值,利用不等式
的常用方法有迭加和迭乘;求函数的最值时,要注意“一正、二定、三相等”,
注意取得最值时的条件。
下列不等式中,正确的是( )。
A、若a>b,则ac2222>bc B、若ac>bc,则a>b
C、若a>b, ab?0,则 D、若a>b>0,c>d>0, 则
22 A中当c=0时,ac=bc,故A不对;
2222222 B中,若ac>bc, 则c?0,所以c>0,对不等式ac>bc两边同除以c>0, 则a>b,故B正确;
C中,设a=1, b=-2, 则,这时,故C不对;
D中,设a=2,b=1, c=100, d=1,则,,这时,故D也不对。
所以正确选项为B。
命题甲:,命题乙:,则甲是乙的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
由x>2>0, y>2>0, 得 x+y>4, xy>4
但反之不成立,设x=6, y=1,此时x+y>4, xy>4, 但x>2, y<2,>2,>
所以甲是乙的充分不必要条件,故选项A正确。
22, B=1+a, , 试比较A、B、
已知,A=1-aC、D的大小。
欲比较四个数的大小,需两两比较,需比6次,运算量较大,可先试数,排序,再证明,只需比3次。
若取,则
,
这时有C>B>A>D,估计,均有C>B>A>D.
而,
? , ? 上式>0, ? C>B
B-A=(1+a
222)-(1-a)=2a>0, ? B>A
,
? ,? , ?,
? , ?上式>0, ?A>D.
222+b+c?ab+bc+ca 综上,由传递性得 C>B>A>D。
(2)若a,b,c>0,求证:(a+b)(b+c)(c+a)?8abc.
(1)证明:a
22 (1)由左边a+b的形式,联想到两项的平均不等式,但多出的一项2222c如何处理?考虑到a,b,c的对称性,使a,b,c 两两相加。
(2)左,右两边都是乘积的形式,可考虑两项平均不等式的迭乘。
22 (1)? a+b?2ab (当且仅当a=b时,等号成立).......? 22 b+c?2bc (当且仅当b=c时,等号成立).......? 22 c+a?2ca (当且仅当c=a时,等号成立) .......?
222 ??+?+?:2(a+b+c)?2(ab+bc+ca) (当且仅当a=b=c时,等号成立)
222 ? a+b+c?ab+bc+ca (当且仅当a=b=c时,等号成立)
(2)?a,b,c>0,
? (当且仅当a=b时,等号成立)
(当且仅当b=c时,等号成立)
(当且仅当c=a时,等号成立)
? 由不等式性质,有(a+b)(b+c)(c+a)?8abc. (当且仅当a=b=c时,等号成立)。
已知,a,b,c?R
+,且a+b+c=1,求证:
(1);(2);(3)
。
(1)不等式右端的9=3×3,似乎可由两个三项平均不等式迭乘而来,
不妨构造一下。
? a+b+c=1,?
+, ? (当且仅当a=b=c时,等号成立)
? a,b,c?R
(当且仅当a=b=c时,等号成立)
? ,
即 (当且仅当a=b=c=时,等号成立)。
将a+b+c=1 代入到中的“1”,
则
? ,
? , ? (当且仅当a=b=c=时,等号成立)。
? (当且仅当a=b=c=时,等号成立)。
灵活地对常数1变形,是这类不等式的常用证法。
(2)要想利用均值不等式,需将运算向加,乘方向转化。
(2)? (当且仅当b=c时等号成立)
(当且仅当a=c时等号成立)
(当且仅当a=b时等号成立)
? (当且仅当a=b=c时等号成立)。
:(3)可看做是 ,
由此可凑出常数a+b+c,不妨尝试一下:
当且仅当4a+1=1, 4b+1=1, 4c+1=1即a=b=c=0时,等号成立,这与a+b+c=1矛盾,看来必须作调整,当a=b=c时,又有a+b+c=1,此时,这时4a+1=4b+1=4c+1=,故有以下证法。
(3)
(当且仅当即 时,等号成立)。
已知(1) f(x)=x(8-3x) (0<><2);(2) f(x)="">2);(2)>
2
(3) (x>0);(4) (x>0)
(5) (x?0)
求函数(1)(2)(3)的最大值,(4)(5)的最小值。
(1) (?3x>0,
8-3x>0)
当且仅当,即时,f(x)有最大值。
(2)
当且仅当4x=5-2x,即时,f(x)有最大值。
(3)
? (当且仅当,即x+1=2,即x=1时,等号成立)
? ,
? 当且仅当x=1时,f(x)有最大值。
(4),
当且仅当,即x=2时,f(x)有最小值3。
(5)
。
当且仅当,即x=1时,f(x)有最小值9。 22+y=1, 求f(x)=(1+xy)(1-xy)的值域。 已知x, y满足x
22 ? x+y=1?2|xy|, ?|xy|,
22 ? , 而 (1+xy)(1-xy)=1-xy
? f(x)的值域是。
设x=sinθ, y=cosθ,则,
而 sin22θ?[0,1], ?,
? f(x)的值域是。
设x>0, y>0,且xy-(x+y)=1,求x+y, xy的最小值。
(1)? xy-(x+y)=1, ? xy=(x+y)+1?,
令,则上式可化为:A2-2A-1?0,? 或,
? x>0, y>0,? A>0, ? ,即,
? , ? xy的最小值是(当时取得)
(2)? xy-(x+y)=1
? , 2-4B-4?0,
令B=x+y, 则, ? B
? ,
? x,y?R+, ? B>0, ? ,
? x+y的最小值是 (当时取得)。
1.若a<><|a|,下列各式成立的是( )。="">|a|,下列各式成立的是(>
A、 B、ab<1 c、="" d、a22-b="">0
2.若a,b?R,则成立的一个充分不必要条件是( )。
A、ab>0 B、b>a C、a<><0>0><0>0>
3.x,y?R,且x+3y=2,则3xy+27+1的最小值是( )。
A、 B、 C、6 D、7
4.若c>a>b>0, 则(填>,<,=)>,=)>
5.若a>b>0,则的最小值是________。
6.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______。
7.a,b,c为正数,求证:(1)(ab+cd)(ac+bd)?4abcd
(2)
8.若a,b,c为三角形的三边,求证:
。
9.a,b为正数,且2a+b=1,求的最小值。
10.若lgx+lgy=1,求最小值。
1.D 2.C 3.D 4.> 5. 3 6. [9, +?)
7. (1)?
? (ab+cd)(ac+bd)?4abcd.
(2)? ,
333 a+b+c?3abc>0
? .
8. ?
?
?
。
9.
(当且仅当,即时取等号)
10.?lgx+lgy=1, ?lg(xy)=1, ? xy=10.
?.
范文四:平均值不等式
宁师中学“自主参与学习法” 数学 学科导学稿(教师版)
主编人:宋秋华 审稿人:沈新生 定稿日:2013-2-27
协编人:曾小玲 使用人:高二文科组
§1.3平均值不等式
一.学习目标:理解均值不等式及其证明,并能应用它解决相关问题
二.学习重点: 重要不等式及其均值不等式的证明及应用,均值不等式的使用条件
为教学重点
三.学习难点:重要不等式及其均值不等式的证明及应用 四.知识链接:不等式的性质 五.自主探究:
一、 均值定理:
1.如果a、b∈R+,那么 (当且仅当a=b时等号成立). 对任意的两个正实数a,b,数a?b2
叫做a,b的 ,数ab叫做a,b
的 .
2.均值定理也可表述为:
两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值这个不等式,在证明不等 式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用,因此我们称它为基本不等式.
二.常见不等式:
1.(1)若22
a,b?R,则a2
?b2
?2ab (2)若a,b?R,则ab?
a?ba?b时
2
取“=”) 2. (1)若a,b?R*,则a?b2
?
ab
(2)若a,b?R*,则a?b?2ab(当且仅当a?b
时取“=”)
(3)若a,b?R*
,则ab???a?b?
2
(当且仅当a?b时取“=”)
?2?
?
3.若x?0,则x?
1x
?2 (当且仅当x?1时取“=”);若x?0,则x?
1x??2
(当且仅当
x??1时取“=”)
3.若ab?0,则a
(当且仅当a?b
时取“=”)
b
?
ba
?24.若2a,b?R,则(
a?b2
?b2
(当且仅当a?b时取“=”)
2
)?
a2
三、最值定理:
(1)已知x、y都是正数,则:
? 如果积xy是定值p,那么当x=y时,x+y有最小值 ? 如果和x+y是定值s,那么当x=y时,积xy有最大值。
即两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.
(2)利用此公式求最值,必须同时满足以下三个条件:
? 各项均为正数; ? 其和或积为常数; ? 等号必须成立.
(3)应用此公式求最值时,还应该注意配凑和一定或积一定,进而用公式求解.
六.典例分析: 模块一:配系数 例1.已知0?x?32
,求y?x(3?2x)的最大值.
1
模块二:添加项 例2.已知x?3,求y?x?22
2x?3
的最小值.
模块三:分拆项 2
例3.已知x?2,求y?x?3x?6x?2
的最小值.
模块四:巧用”1”代换
例4.已知正数x,y满足2x?y?1,求
1x?2y
的最小值.
说明:一般地有,(ax?by)(cx
?
dy
)?(ac?
bd)2
,其中x,y,a,b,c,d都是正数.这里巧妙
地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 例5.已知正数x,y,z满足x?y?z?1,求19x
?
4y
?
z
的最小值.
模块五:换元 例7.已知x??1,求y?
x?1x2
?5x?8
的最大值.
模块六:.在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f(x)?x?ax
的单调性.
例8.
求函数y?2
的值域.
2
七.高考链接:
1、已知0?x?
1,求函数y?.;
2.0?x?
23
,求函数y?.
八.学习反思:
3
范文五:平均值不等式
摘 要:介绍了一些常见的平均值不等式的运用技巧,并分别举出与其对应的例题.
关键词:平均值不等式;运用技巧;例题
平均值不等式是高中数学不等式一章中的最基础、应用最广泛的灵活因子,它是考查学生素质能力的一个窗口,是高考和竞赛的热点,它在数学领域有非常重要的作用.
因此,本文总结了一些常见平均值不等式的运用技巧,并对相关技巧分别举例.
平均值不等式是不等式的重要内容之一,在不等式证明有广泛的应用,但是在处理有关平均值不等式的证明问题时,并非每一个问题都可以看出它是否可以使用均值不等式,这就存在一个如何创造使用均值不等式的环境问题.此时会用到平均值不等式的一些运用技巧.
一、拆项法
注意到使用n次平均值不等式的前提必须是有n个和项或积项(注:在高中阶段只要求n=2或n=3两种情况),有时题设不具备n个项,这时我们可以考虑把一项或几项进行分拆,产生n个项,以创造均值不等式的使用环境.
例1.已知a>b>0,求证a+■≥3.
证明:由a>b>0知,a-b>0,■>0,
于是a+■=(a-b)+b+■≥3■=3
当且仅当b=a-b=■,即a=2,b=1时等号成立.
二、添项法
对不具备使用平均值不等式条件的关系式,添加一些关系式,创造均值不等式使用环境,也是一种常用手段.
例2.设x1,x2…,xn都是正数,求证:■+■+…+■+■≥x1+x2+…+xn
(1984年全国数学竞赛试题)
分析:由于左右两边均为和和式,直接使用均值不等式受阻,所以必须对原关系式填项,其目的一是去分母,二是降次.
证明:由x1,x2∈R+,知■+x2≥2■=2x1
同理可得■+x3≥2x2…,■+xn≥2xn-1,■+x1≥2xn
将这n个不等式两边分别相加,得到
所以■+■+…+■+■+(x2+x3+…+xn+x1)≥2(x1+x2+…+xn)
所以■+■+…+■+■≥x1+x2+…+xn
三、减项法
多元轮换对称不等式,常可利用减元或减项的方法化为二元不等式,创造使用均值不等式的环境,然后轮换相加,以达到证明目的.
例3.已知a、b、c∈R+,求证:■+■+■≥■+■+■.
分析:考虑到待证不等式为三元轮换对称不等式,减元c,即为■+■≥■,由此不等式轮换相加即可.
证明:因为a、b、c∈R+,所以:■+■≥2■=■≥■
同理可证■+■≥■,■+■≥■
三个不等式相加即得:■+■+■≥■+■+■
四、代换法
此方法多用于含三角函数的题,可想办法将其用变量代换.
例4.0 (1999年河南省高二竞赛题)
解:令tan■=t,由00,所以y=■=■+■=■+t=■+■t≥2■=■.当且仅当■=■t即t=■,此时x=■,上式取“=”号,故ymin=■.
五、改变结构法
有些不等式仅从式子结构上看并不具备使用均值不等式的环境,但如果对结构式做适当的变化,解决的方式就一目了然了.
例5.已知ai、bi,∈R+,i=1,2,3.求证:
■≥■+■
分析:作恒等变形,改变待证不等式的结构,即要证
■+■≤1
事实上, ■≤■(■·■·■)■≤■(■·■·■)两式相加即可得证.
平均值不等式始终贯穿于高中数学和大学数学中,它是不等式的基础,是应用最广泛的灵活因子.本文主要介绍的一些常见平均值不等式的运用技巧,体现了平均值不等式在数学问题中的灵活性、广泛性与重要性.
参考文献:
戴永.知识专题与方法技巧(高中数学).天津:天津科学技术出版社,2004.
(作者单位 内蒙古自治区呼伦贝尔市海拉尔区谢尔塔拉中心学校)
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