利用Matlab求线性方程组

范文一：利用Matlab求线性方程组的通解

篡；Ⅵ渊－酝

利用Ｍａｔｌａｂ求线性方程组的通解

简绍勇杜玲陈勇

（新余高等专科学校教学与信息科学系江西新余３３８０３１）

［摘要］讨论线性方程组解的个数及求线性方程组的通解问题是线性代数中的常见问题，介绍利用Ｉｌａｔｌａｂ软件解决这两种问题的方法．［关键词］Ｍａｔｌａｂ线性方程组基础解系通解中围分类号：０１－０

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７１－－７５９７（２００８）１２２０１卯一０１

一、引一

线性代数是数学中的一个重要分支．很多理论问题和实际问题都需要借助于线性代数的理论工具来分析解决。学习线性代数有两大难点：一是概念、理论抽象，二是计算量大。由于这两个难点，初学者往往很难掌握好线性代数的知识理论。若能掌握好用于解数学问题的ｌＩａｔｌａｂ软件，则能轻松快捷的解决很多线性代数问题。

（一）线性方程组有关定理

１

毛＋毛＋而＋毛＋毛＝７

例３求线性方程组３而＋２毛＋气＋‘一３而＝—２的通解

毛＋勰＋２‘＋６毛＝２３

５而＋４ｂ＋３而＋３丘一毛＝１２

解：

１：３

（１）先判断线性方程组解的情况．输入并运行以下代码：ａ－［１

２

ｌ

ｌ－３；０

１２２６：５４３

３－１］：ｂ＝［７—２

２３

１２］’；

对线性方程组Ａｘ＝６，其中Ａ＝（嘞）。。，ｘ＝（耳，而。…，矗ｙ，６＝（６Ｉ。６２。…。ｋ）’

定理ｌ：

（１）若，（一）≠ｒ（Ａ１６）．则线性方程组无解：

（２）若，（一）＝ｒ（Ａ１６）＝一，则线性方程组存在唯一解；（３）若，（一）＝ｒ（Ａ１６）＜疗，则线性方程组有无穷多个解．

定理２：对线性方程组的导出组ＡＸ＝ｂ，若，（爿）＝，＜疗．则导出组的

ｒｌ＝ｒａｎｋ（ａ），ｒ２＝ｒａｎｋ（【ａｂ１）运行结果为ｒｌ＝ｒ２＝２＜５，说明该线性方程组有无穷多个解。（２）输入以下代码求出线性方程组的一个特解ｘ０＝ａ＼ｂ运行结果为：ｘ０＝（３．１６６７，０，０，０．３．８３３３）’（３）输入代码求出导出组“＝ｏ的一个基础解系ｘｘ＝ｎｕｌｌ（Ｂ）运行结果是：

Ｘｘ＝

０．７５３０

－０．４１６７＿ｏ．３０４３－ｔ）．３０４３

０．０１７６

－０．７４６４

－ｔ｝．００００

基础解系含有刀一，个解向量，（１）若舌，参，…，靠，为导出组的基础解系。

－０．００００

－０．７０７１０．７０７ｌ－－０．００００

则毛毒十如最＋…＋ｋｏ就是导出组朋＝０的全部解，也称为通解：

０．４５３３０．４５３３

－０．１７７８

（２）若磊是从＝６的一个特解，则磊＋与毒＋屯磊＋…＋屯一，ｏ，就是ＡＸ

＝ｂ的通解。

二、曩性方程组有关向■的Ｍ玳ｌｌａｂ解佳（一）有关№ｔＩａｂ命令

讨论线性方程组解的问题的有关Ｍａｔｌａｂ命令见下表

命令

ｄｅｔ

０．２７２３

（４）线性方程组的通解为

３．１６６７Ｏ

Ｘ＝

ＯＯ３．８３３３

＋ｃ１

０．７５３０－０．４１６７－０３０４３－Ｏ．３０４３０．２７２３

＋ｃ２

Ｏ．０１７６－４１．７４６４０．４５３３０．４５３３－０．１７７８

Ｏ０

＋岛－４）．７０７１

０．７０７ｌ

０

含义

方阵的行列式方阵的逆矩阵的秩

矩辟的行最简化形求基础解系左除

ｒａｎｋ

ｒｒｅｆ

其中ｃＩ，ｃ２，ｃ，为任意常数．

ｎｕｌｌｔ

（＝）利甩左除命令给出线性方程组的特懈

对线性方程组允ｒ＝６．在Ｍａｔｌａｂ软件里常用矩阵的左除命令。Ａ＼ｂ”求出该线性方程组的一个解。若＾为方阵，则Ａ＼ｂ和ｉｎｖ（＾）柚基本一致；若＾不为方阵。Ａ＼ｂ命令｛鲫ｌａｔｌａｂ软件自动选择适当的方法来求解．

若，ＩＸ＝６无解，则命令“Ａ＼ｂ”将给出一个最小二乘意义上的近似解，即使ＡＺ—ｂ的长度达到最小。若允ｒ＝ｂ有无穷解，则命令。Ａ＼ｂ”将给出一个具有最多零元素的特解。若ＡＸ＝ｂ有唯一解。则命令“＾＼ｂ”给出这个唯一解。

（三）讨论线性方程组是否有解的ＭａｔＩａｂ方法

对线性方程组—ｔⅣ＝ｂ，在Ｍａｔｌａｂ软件里先给系数矩阵＾和常数列矩阵ｂ赋值，然后利用命令“ｒａｎｋ（Ａ），ｒａｎｋ（Ａ。ｂ）”求出系数矩阵和增广矩阵的秩．再根据定理（１）所介绍的数学理论进行判断．

（四）求线性方程组的通解的ｍｔａｂ方法

为求线性方程组ＡＸ＝ｂ的通解，需先判断方程组是否有解。若有解则用。Ａ＼ｂ”求出一个特解。再用命令“ｎｕｌｌ（Ａ）。求出导出组ＡＸ＝０的一个基础解系得出其通解，然后利用定理（２）的结论给出丘ｒ＝６的通解．

作者简介：

２００６．

参考文献：

［１】胡良剑、孙晓君。（１ｌａｔｌａｂ数学实验，［１Ｉ】，北京：高等教育出版社．

［２］赵静、但琦．出版社，２００３．

［３］同济大学应用数学系，出版社．２００４．

‘教学建模与数学实验’（第２版）［岫。北京：高等教育

‘高等教学＇（第５版）［Ｍ］．北京ｔ高等教育

简绍勇，男，江西新余人．新余高等专科学校教学与信息科学系助教．

固

万方数据　

利用Matlab求线性方程组的通解

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

简绍勇，杜玲，陈勇

新余高等专科学校数学与信息科学系,江西,新余,338031硅谷

SILICON VALLEY2008(24)1次

参考文献(3条)

1.胡良剑;孙晓君 Matlab教学实验 20062.赵静;但琦数学建模与数学实验 20033.同济大学应用数学系高等数学 2004

本文读者也读过(10条)

1. 姬五胜.Ji Wusheng 线性方程组解法及其MATLAB实践[期刊论文]-天水师范学院学报2009,29(2)2. 温旭东 MATLAB与Mathmatica在线性代数运算中的对比分析[期刊论文]-黑龙江科技信息2008(3)3. 晏林.YAN Lin 多项式环上一次不定方程组的矩阵解法与程序设计[期刊论文]-科技通报2005,21(4)4. 吴静杰.Wu Jingjie 引入Matlab辅助线性代数研究[期刊论文]-太原师范学院学报（自然科学版）2009,8(4)5. 任沂军.REN Yijun 矩阵运算的几种算法实现探讨[期刊论文]-测绘信息与工程2006,31(6)

6. 王春利.黄坚.丁少玲.余文质.袁媛.WANG Chun-li.HUANG Jian.DING Shao-ling.YU Wen-zhi.YUAN Yuan 线性代数计算软件辅助教学的探索与研究[期刊论文]-长春师范学院学报（自然科学版）2010,29(5)7. 朱熙湖矩阵基本运算的数学实验及思考[期刊论文]-中山大学学报论丛2006,26(6)

8. 赵秉新.郑来运 MATLAB在求解线性方程组中的多种应用[期刊论文]-通化师范学院学报2007,28(12)9. 王力梅浅谈线性代数教学[期刊论文]-甘肃科技2010,26(13)

10. 陈永胜.刘洋萍.Chen Yongshen.Liu Yangping 基于MATLAB求解非齐次线性方程组[期刊论文]-赤峰学院学报（自然科学版）2009,25(10)

引证文献(1条)

1.谭超.张开仕.贺革.任清华复杂化学反应体系独立反应数的确定[期刊论文]-宜宾学院学报 2010(6)

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_guig200824128.aspx

范文二：利用Matlab求线性方程组的通解

教育科学

从摆箭

利用

求线性方程组的通解

简绍勇杜

玲陈勇

江西

新余高等专科学校数学与信息科学系

新余

〔摘

要〕论线性方程组解的个数及求线性方程组的通解问题是线性代数中的常见问题讨线性方程组基础解系

人

介绍利用

软件解决这两种问题的方法

。

关健词」

通解

中图分类号

一

文献标识码

文

编号

一

了

一

、

引,

三很多理论问题和实际问题都需要借学习线性代数有两大难点

。

、

应用实侧

不十毛

毛

十毛

线性代数是数学中的一个重要分支

助于线性代数的理论工具来分析解决

念

、

凡

一

凡凡

一是概

例

求线性方程组

戈

欢仁

一的通解

理论抽象

二是计算量大

。。

。

由于这两个难点

初学者往往很难掌握好线软件

毛

石

毛凡

凡

一

性代数的知识理论

一

若能掌握好用于解数学问题的

则能轻松快解

一

凡

捷的解决很多线性代数问题

先判断线性方程组解的情况

输入并运行以下代码

一

【

线性方程组有关定理对线性方程组其中

…

一

二

〕

二

’

解

马

认

凡 … 凡

, ,

, ’

, 气

行结果为

运行结果为

。

二

说明该线性方程运

气’

定理

组有无穷多个解若若叹若

笋

输入以下代码求出线性方程组的一个特解

则线性方程组无解

。

’

输入代码求出导出组

则线性方程组存在唯一解则线性方程组有无穷多个解

习的一个基础解系

二

运行结果是

定理

对线性方程组的导出组注万

一

二

若叹

则导出组的

基础解系含有则气点气最若

二

、

个解向量

十

帐氛

若点橇 … 就是导出组月尤

, ,

的基弘为导出组也础解系的全部解称为通解

二

一

司

一

氛是

。

的一个特解

则磊十气十气或么

嵘豪

就是盯

的通解

妞性方租组有关间有关物

的

州

解法

命令见下表

一

刃线性方程组的通解为

、、 ‘ 汽了门

一

命令

一内 ,

、

产 ‘ 、

讨论线性方程组解的问题的有关物

命令含义

方阵的行列式方阵的逆逆矩阵的秩矩阵的行最简化形求基础解系系左除

刁刁刁

…

。

其中

几马为任愈常数

二利用左除命令给出线性方程组的特解对线性方程组月尤二在软件里常用矩阵的左除命令

“

、

”

求出该线性方程组的一个解

不为方阵即使注万唯一解

。

若为方阵

“

则

和

基本一致

。

若

人

命令使无解

软件自动选择适当的方法来求解

人

”

。

若月尤

一

则命令

。

将给出一个最小二乘意义上的近似解有无穷解

有唯一解

, ,

的长度达到最小

若注万

则命令

“

、

”

将给出

参考文献

胡良剑赵静

出版社出版社

、、

一个具有最多零元素的特解

若刁尤

则命令

、

给出这个

孙晓君

《地

数学实验》〔〕北京

高等教育出版社

三讨论线性方程组是否有解的山方法对线性方程组几丫在软件里先给系数矩阵和常数列矩阵

但琦

《数学建模与数学实验》

第版

〔〕北京

高等教育高等教育

赋值

然后利用命令

“

”

求出系数矩阵和增广矩

阵的秩

再根据定理

所介绍的数学理论进行判断

方法

同济大学应用数学系

《高等数学》

第版

〔

北京

四求线性方程组的通解的为求线性方程组注矛的通解

需先判断方程组是否有解

“ ”

。

若有解则的一

。

用

“

”

求出一个特解

再用命令

求出导出组月尤

书

作者简介简绍勇

个基础解系得出其通解

然后利用定理

的结论给出刀万

的通解

男

江西新余人

新余高等专科学校数学与信息科学系助教

。

口巧。口

范文三：【doc】利用Matlab求线性方程组的通解

利用Matlab求线性方程组的通解

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-0?]4167-0?]7464-0?]0000

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-t)?]30430?]45330?]707l

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3?]1667

3?]8333

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0?]7530

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0?]2723

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+c2

O?]0176

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0?]4533

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0?]707l

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[1c6??????c-?????<cM(1latlab?????????)[1Ic6?)?=???r???????????????] 2006?]

[2]????c-???v?]ey???????n?]????????ek(?B2??)[??cM?=???r???????? ???????)2003?]

[3]?)???{?????,???????)ey????????'(?B5??)[M]?]?=??t???????? ???????]2004?]

???l?????r

???????)???)???????????]?????????5?????n?????]???????????????]

范文四：求线性方程组的解

求线性方程组的解

高斯消去法是求解线性方程组最学用的方法之一，下面用一个数值例题来说明高斯消去法的计算原理(

求解下列线性方程组的解:

运行教材光盘中VB程序得:

即x=1, x=2, x=-1 123

要求:会应用光盘中VB程序求解即可。

参见光盘中VB程序如下:

高斯消元法解线性方程组

'方程组系数输入窗体

'本窗体负责完成方程组AX=b的系数输入任务，计算任务全部由模块mduCalc完成 '文件 :frmInput.frm

'1999/11/05

'Using Microsoft Visual Basic 6.0

'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

'控件说明

'grdA:输入系数矩阵,，由用户输入

'grdB:输入,矩阵，由用户输入

'grdX:显示计算结果，来自mduCalc.Calc过程

''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Private iCol As Integer '当前所选择的列

Private iRow As Integer '当前所选择的行

Private cGrd As String '当前所选择的矩阵(A或b)

Private Sub cmdCalc_Click()

'使用高斯列主元素消去法解方程组

Dim N As Integer '方程数目

N = CInt(txtN.Text)

ReDim a(N, N + 1) As Double '系数矩阵

Dim i, j As Integer

'设置系数矩阵A(N, N+1)的前N列

For i = 1 To grdA.Rows - 1

For j = 1 To grdA.Cols - 1

If grdA.TextMatrix(i, j) = "" Then

a(i, j) = 0#

Else

a(i, j) = CDbl(grdA.TextMatrix(i, j))

End If

Next j

Next i

'设置第N+1列

For i = 1 To grdB.Rows - 1

If (grdB.TextMatrix(i, 0)) = "" Then

a(i, N + 1) = 0#

Else

a(i, N + 1) = CDbl(grdB.TextMatrix(i, 0))

End If

Next i

'用列主元素消去法计算X

ReDim x(N) As Double '保存计算结果向量

mduCalc.Calc a, x, N

'显示计算结果

grdX.ColAlignment(0) = flexAlignLeftTop

For i = 1 To grdX.Rows - 1

grdX.TextMatrix(i, 1) = Format(CStr(x(i)), "0.0000E-00")

Next i

End Sub

Private Sub cmdExit_Click()

Unload Me

End Sub

Private Sub Form_Load()

grdA.ColWidth(0) = TextWidth("10") * 2

grdX.ColWidth(0) = TextWidth("X1") * 2

grdX.ColWidth(1) = grdX.Width - grdX.ColWidth(0) - 100

Call txtN_Change

End Sub

Private Sub grdA_EnterCell()

cGrd = "A"

txtValue.Visible = True

iCol = grdA.Col

iRow = grdA.Row

txtValue.Width = grdA.ColWidth(iCol) - 15

txtValue.Height = grdA.RowHeight(iRow) - 15

txtValue.Text = CStr(grdA.TextMatrix(grdA.Row, grdA.Col))

txtValue.Left = grdA.Left + grdA.ColPos(iCol) + 45

txtValue.Top = grdA.Top + grdA.RowPos(iRow) + 45

txtValue.SetFocus

End Sub

Private Sub grdA_GotFocus()

Call grdA_EnterCell

End Sub

Private Sub grdA_LeaveCell()

cGrd = "NULL"

txtValue.Visible = False

End Sub

Private Sub grdB_EnterCell()

cGrd = "B"

txtValue.Visible = True

iCol = grdB.Col

iRow = grdB.Row

txtValue.Width = grdB.ColWidth(iCol) - 15

txtValue.Height = grdB.RowHeight(iRow) - 15

txtValue.Text = CStr(grdB.TextMatrix(grdB.Row, grdB.Col))

txtValue.Left = grdB.Left + grdB.ColPos(iCol) + 45

txtValue.Top = grdB.Top + grdB.RowPos(iRow) + 45

txtValue.SetFocus

End Sub

Private Sub grdB_GotFocus()

Call grdB_EnterCell

End Sub

Private Sub grdB_LeaveCell()

cGrd = "NULL"

txtValue.Visible = False

End Sub

Private Sub grdX_EnterCell()

cGrd = "NULL"

txtValue.Visible = True

iCol = grdX.Col

iRow = grdX.Row

txtValue.Width = grdX.ColWidth(iCol) - 15

txtValue.Height = grdX.RowHeight(iRow) - 15

txtValue.Text = CStr(grdX.TextMatrix(grdX.Row, grdX.Col))

txtValue.Left = grdX.Left + grdX.ColPos(iCol) + 45

txtValue.Top = grdX.Top + grdX.RowPos(iRow) + 45

txtValue.SetFocus

End Sub

Private Sub grdX_LeaveCell()

txtValue.Visible = False

End Sub

Private Sub txtN_Change()

'重新设置Grid控件格式

Dim i, j As Integer

'设置系数矩阵尺寸

grdA.Cols = CLng(txtN.Text) + 1

grdA.Rows = CLng(txtN.Text) + 1

grdB.Rows = CLng(txtN.Text) + 1

grdX.Rows = CLng(txtN.Text) + 1

'设置标题行，列

For i = 1 To grdA.Cols - 1

grdA.TextMatrix(0, i) = "X" & CStr(i)

grdA.ColWidth(i) = TextWidth("X1") * 2

Next i

For i = 1 To grdA.Rows - 1

grdA.TextMatrix(i, 0) = CStr(i)

Next i

For i = 1 To grdX.Rows - 1

grdX.TextMatrix(i, 0) = CStr(i)

Next i

End Sub

Private Sub txtValue_Change()

Select Case cGrd

Case "A"

grdA.TextMatrix(iRow, iCol) = txtValue.Text

Case "B"

grdB.TextMatrix(iRow, iCol) = txtValue.Text

End Select

End Sub

范文五：线性方程组的通解是否唯一吗？

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我遇到这样的情况不只一次了，这次又看到，我的答案和书上的答案不一样，看了书上的答案，觉得也对，而我的思路也和书上的差不多，我觉得我的也是正确的(是不是线性方程组的通解不唯一啊,

表达式的前面有一个任意常数“k“，当然就不唯一了呀 [s:2]

通解本来就表示一系列解，基础解系的选择不同，所得出的通解表示形式就不同，但不同基础解系之间可以互相转化。

但我看的不是成倍数等关系，能够看出是可以转化的呢([ 本帖最后由 sweetliwei 于2007-6-14 10:10 PM 编辑 ]

帮我看看对不对啊,

回复 #4 sweetliwei 的帖子由于他的秩是2，是4阶的，所以有两个通解，或许你可以得出其他的解，但那些解一定可以由答案中求的那两个通解线性表出

楼上的，你把概念弄错了吧(不是有两个通解，是通解中两个线性无关的向量

回复 #7 sweetliwei 的帖子是的，好象正规说法是什么两个线性无关的基础解系，好久没看线代了，那些叫法记不清了

楼主的答案是对的，书上的答案错了。这种题如果给了具体的方程，那你可以把解出来的通解代入原方程进行检验。如果没有具体的方程，那就只有对过程进行检验了。检验两组同解是否可以相互表示的办法之一就是检验一下一组通解中的每个线性无关的向量都可以由另一组通解线性表示。这道题的两个答案只有一个线性无关的向量不一样，其他的都一样，很明显是有一组错了。经仔细查验，是书上的答案错了。

怎么检查的啊,

怎么没人回呢各位帮帮忙哈

书上的第二个解向量是这样得来的2(2a2-a3)-(a1+a2)=2(a2-a3)+(a2-a1)=(2,-1,-40,48)T

我上面的说法错了，你可以检验一下Ax=0的三个解，即(1,1,-5,6)\’,(3,0,-45,54)\’和(2,-1,-40,48)\’这三个解应该是线性相关的，也就是说是可以相互表示的。或者说(2,-1,-40,48)\’是可以由另外两个向量线性表示的，或者说(3,0,-45,54)\’是可以由另外两个向量线性表示的。这样就可以说明两种答案实质上是一样的。另外:这道题中Ax=b的三个解是可以算出来的，α1,(1,1,1,-1)\’，α2,(1,0,-9,11)\’，α3,(0,0,6,-7)\’。你也可以通过这个验证一下。再另外:你的计算明显比书上的答案要简单，所以数上的解法不如你的解法。专业提供提供各大机构考研、公务员、四六级辅导视频课

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其实如果按照先算出α1，α2，α3，再计算Ax=0的通解可能更快速一些。虽然计算量稍大一些，但是凑的方法不是很容易看出来的。

如果先把a1,a2,a3求出来，那书上的答案就有点问题了，

a1-a2=(1,0,10,-12)\’a2-a3=(1,0,-15,18)\’a1-a3=(1,1,-5,6)\’后两项是我的答案(与之等价的应该是第一项，但书上的答案(,，,,，,,,，,,),与(1,0,10,-12)\’有出入啊(欢迎来到免费考研网www.freekaoyan.com

大概有点明白了(但考试时，答案就不一定了，这怎是好,

2007-6-16 10:21 AM 发表如果先把a1,a2,a3求出来，那书上的答案原帖由 sweetliwei 于

就有点问题了，a1-a2=(1,0,10,-12)\’a2-a3=(1,0,-15,18)\’a1-a3=(1,1,-5,6)\’后两项是我的答案(与之等价的应该是第一项，但书上的答案(,，,,，,,,，,,), ...

你前面都写了2(2a2-a3)-(a1+a2)=2(a2-a3)+(a2-a1)=(2,-1,-40,48)T怎么可能等于a1-a2呢,

原帖由 sweetliwei 于 2007-6-16 10:29 AM 发表大概有点明白了(但考试时，答案就不一定了，这怎是好,

一般来说考试不会出这种题的。

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