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范文一：测量不确定度

测量不确定度

——《误差理论与数据处理》论文

班级：测控0901 姓名：李翔

学号：20092329

测量不确定度

摘要：介绍了测量不确定度原理, 就不确定度的定义、分类、评定步骤等问题进行了讨论。由于测量误差的存在，被测量的真值难以确定，测量结果带有不确定性。长期以来，人们不断准求以最佳方式估计被测量的值，以最科学的方法评价测量结果的质量高低的程度。测量不确定度就是评定测量结果质量高低的一个重要指标。关键词：测量不确定度；不确定度评定

1、引言

早在400多年前，法国天文学家开普勒(kepler)用已校准的仪器进行天文测量，发现了行星的运动规律，从轨道测量结果的比较中，首次提出了测量不确定度的概念。在此之后，世界范围内的许多科学家和国际组织如海森 (Heisenberg)、比尔斯(Beers)、埃森哈特(Eisenhartrt)、霍恩比(Hornby)、安布勒(Ambler)、美国标准局(NBS)、英国国家物理实验室(NPL)、国际计量局(131PM)、国际计最委员会(CIPM)等对测量不确定度的理论发展及其应用都作出了不断的努力并取得了显著的成绩。

为了应用，1986年由国际标准化组织(1SO)、国际电工委员会(IEC)、国际计量委员会(CIPM)、国际法制计量组织(OIML)组成了国际不确定度工作组，负责制定用于计量、标准、质量、认证、科研、生产中的不确定度应用指南。直到1993年，经国际不确定度工作组多年研究、讨论，并征求各国及专业组织意见，制定了《测量不确定度表示指南》(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)(简称指南GUM)，这个指南由国际计量局(BIPM)、国际临床化学联合会(IFCC)、国际理论及应用化学联合会(IUPAC)、国际理论及应用物理联合会(IUPAP)以及上述IEC，ISO和OIML等七个国际组织批准和发布，由ISO出版。1995年修订，国际上公认的《测量不确定度表示指南》公布于世，并得到了广泛的应用，受到世界范围内各个国家的采用，如美国、英国、加拿大、韩国等许多国家、国际组织、实验室认可合作组织都在1995年后相继采用了GUM制定了本国和本组织的不确定度表示指南。我国1999年批准发布了JJF059—1999《测量不确定评定与表示》的计量技术规范。目前，GUM在全世界的推广和执行已推动不确定度达到了最新水平，它的应用和推广已成为当今科学界、质量技术监督部门、各类认可机构和认证机构关注的热点，同时也成为理化检验学术界讨论的热点。需指出的是，自我国JJFl059—1999规范发布以后，对于计量部门的校准实验室，许多计量设备和仪器已经有了较为成熟的不确定度评定与表示的论文发表。然而，对于检测实验室，理化检验结果不确定度评定与表示的文章发表很少，原因是其还处于刚刚起步的探索阶段。因此，我国许多检测实验室都根据GB／T1 5481--2000idt IS0／IEC 17025：1999《检测和校准实验室能力的通用要求》进行实验室管理和认可的工作，根据这个国际通用的标准，不管是已认可或准备认可的校准或检测实验室都必须具有并应用评定测量不确定度的程序。

标准明确指出：“当不确定度与检测结果的有效性或应用有关，或客户的指定中有要求，或当不确定度影响到对规范限度的符合性时，检测报告中还需要包括有关不确定度的信息”。为此，测量不确定度的评定与表示不仅得到了设备仪器校准工作者的高度重视，也得到了从事材料检测的广大理化检验工作者的高度重视。

本文就测量不确定度的定义、分类、报告及表示、评定步骤、有效位数等若干关键问题进行简述，并以金属材料拉伸试验检测结果和等离子光谱法测量结果不确定度的评定为例，叙述了测量不确定度在理化检验中的实际应用。

2、测量不确定度的定义及分类

众所周知，对材料的任何特性参量(物理的或化学的等等)进行检测或测量时，不管方法和仪器设备如何完善，其测量结果，始终存在着不确定性。这种不确定性，长期以来是使用误差来描述的。它被定义为测量值与被测量值的真值之差，然而，对于材料的许多特性参量，真值是无法知晓的。此时误差不能准确得到，在应用中往往是用近似真值(或称最佳值、约定真值)来代替，而近似真值(如常用的算术平均值或回归值等)本身就具有不确定度，它与具有不确定性的检测结果的差，即误差必然存在着相当的不确定度。它表明了测量结果偏离真值的大小，但具有不确定的因素存在，这不确定因素的大小是不知道的。另外，误差合成的方法也不统一。同时，也没有给出置信区间和置信概率的概念。

2.1 测量不确定度的定义

对于不确定度，过去许多误差分析专著中给出了以下两类定义，其实质是一样的。 (1)由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量。如当被测量服从正态分布，若置信概率为95％时，被测量估计值可能的极限误差是?1.96??1.96? (?为标准差)。(2)表征被测量的真值所处范围的评定。如被测量为止态分布时范围 ??X?2??,?X?2?值(?)的概率为95．4％(X为均值，?为标准差，?为数学期望)。

JJFl059 1999(原则上等同采用GUM)给出的测量不确定度的定义是：“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数”，即描述了测量结果正确性的可疑程度或不肯定程度。测量的水平和质量用“测量不确定度”来评价。不确定度越小，则测量结果的可疑程度越小，可信程度越大，测量结果的质量越高，水平越高，其使用价值越高，反之亦然。

测量在国民经济、国防建设、科学研究和社会生活中，特别是在司法执法、商业贸易、维护权益、保护资源环境、医疗卫生等诸方面起着越来越大的作用。它对科研、生产、商贸和国际技术交流等诸多相关测量领域影响甚大。可见，测量不确定度的研究、宣贯和实施具有现实和重要的意义。

??包含真

2.2 测量不确定度的分类

2.2.1标准不确定度

用标准偏差表示的测量结果的不确定度(?)。

2.2.2 A类标准不确定度

用对观测列的统计得出的不确定度。

(1)常用的贝塞尔公式通过贝塞尔公式计算出的实验标准差S来计算A类标准不确定度，即

??x

（1-1）

i?1

n?1

a．如果测量结果取观测列任一次xi值，对应的标准不确定度为

u?xi??S

（1-2）

b．当测量结果取n次观测列值的平均值时，A类标准不确定度是

u(m)?

（1-3）

c．当测量结果取其中的m个观测列值的平均值m时，所对应的A类标准不确定度是

u(m)?

（1-4）

其中1?m?n，次数n越大越可靠，一般n?5。b．c．是常遇到的两种情况，这三种情况的自由度为

??n?1 （1-5）

(2)合并样本标准差必须指出，为提高可靠性，应采用合并样本标准差Sp，即对输入量X在重复性条件下进行了n次独立测量，得到x1，x2 ……，xn，其平均值为，实验标准差为

S(式(1-1)给出)，自由度为? (式(1-5)给出)。如果进行m组这样的测量，则合并样本标准差Sp。可按下式计算

Sp?

S?m

j?1

?x??m(n?1)

j?1i?1

?j?

(1-6)

自由度

?p?

j?1

(1-7)

式中?j为 m 组测量列中第 j 组测量列的自由度?j=n-1，所以式(1-7)也可以写为

?p?m(n?1) (1-7)’

对于通过实验室认可或准备通过认可的检测实验室。在重复条件下或复现性条件下进行规范化测量，其测量结果的 A 类标准不确定度不一定每次检测时重新评定，可直接采用预先评定的高可靠性合并样本标准差Sp，这可核查标准是否处于控制状态。但注意，只有在同类型被测量较稳定，m 组测量列的各个标准差Sj相差不大，即Sj的不确定度可忽略时，才能使用同一个Sp。因为测量列的标准差Sj也是一个变量，标准差Sj，的标准差；(s)可估计为

?估?（S）?

式中n为测量列的测量次数。

Sp2n-1 (1-8)

对于同类型被测量较稳定时，在预先的评定中，得到了高可靠性的合并样本标准差Sp后，在实际测量中，如对输入量X只进行了k次测量，(1≤k≤n)，以k次测量的平均值 k 作为测量结果，则该结果的标准不确定度为

u?k??

Spk

(1-9)

u?k? 的自由度均等于Sp的自由度，即

????p?m(n?1) (1-10)

计算合并标准差Sp，采用的方法实质上属于贝塞尔公式法。还需指出．计算标准差除了常用的贝塞尔法外，还有极差法、最大残差法和最小二乘法等。

3、结论

不确定度与误差有区别，也有联系。误差是不确定度的基础，研究不确定度首先需研究误差，是有对误差的性质、分布规律、相互联系及对测量结果的误差传递关系有了充分的认识和了解，才能更好地估计不确定度分量，正确的到测量结果的不确定度。客观的说，不确定度是对经典误差理论的一个补充，是现代误差理论的内容之一，但它还有待于进一步研究、完善与发展。

参考文献：

[1] Alessandro Ferrero and Simona Salicone .Measurement Uncertainty Instrumentation & Measurement Magazine, IEEE44-51June 2006

[2] 王承忠. 测量不确定度原理及在理化检验中的应用[M].理化检验-物理分册,2003. [3] 费业泰。误差理论与数据处理[M].北京：机械工业出版社，2010

THE PRINCIPLE OF MEASUREMENT UNCERTAINTY

Abstract：Introduced to measure indetermination degree principle, the definition of indetermination degree, classification, assessed problems like step, etc to carry on a discussion. In order to measuring the existence of error margin, being measured of really be worth a hard assurance, measure to take

indetermination as a result. For long time, people are presumably continuously quasi- to beg with the value that the best way is measured, with most science of method the evaluation measure the degree of the quality height of result. Measuring the indetermination degree is to assess diagraph result an important index sign of the quality height.

Keywords：Measurement uncertainty；Evaluation of uncertainty

范文二：测量不确定度

测量不确定度

摘要：介绍了测量不确定度原理, 就不确定度的定义、分类、评定步骤等问题进行了讨论。由于测量误差的存在，被测量的真值难以确定，测量结果带有不确定性。长期以来，人们不断要求以最佳方式估计被测量的值，以最科学的方法评价测量结果的质量高低的程度。测量不确定度就是评定测量结果质量高低的一个重要指标。

关键词：测量不确定度；不确定度评定

1、引言

早在400多年前，法国天文学家开普勒(kepler)用已校准的仪器进行天文测量，发现了行星的运动规律，从轨道测量结果的比较中，首次提出了测量不确定度的概念。在此之后，世界范围内的许多科学家和国际组织如海森

(Heisenberg)、比尔斯(Beers)、埃森哈特(Eisenhartrt)、霍恩比(Hornby)、安布勒(Ambler)、美国标准局(NBS)、英国国家物理实验室(NPL)、国际计量局(131PM)、国际计量委员会(CIPM)等对测量不确定度的理论发展及其应用都作出了不断的努力并取得了显著的成绩。

为了应用，1986年由国际标准化组织(1SO)、国际电工委员会(IEC)、国际计量委员会(CIPM)、国际法制计量组织(OIML)组成了国际不确定度工作组，负责制定用于计量、标准、质量、认证、科研、生产中的不确定度应用指南。直到

1993年，经国际不确定度工作组多年研究、讨论，并征求各国及专业组织意见，制定了《测量不确定度表示指南》(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)(简称指南GUM) ，这个指南由国际计量局(BIPM)、国际临床化学联合会(IFCC)、国际理论及应用化学联合会(IUPAC)、国际理论及应用物理联合会(IUPAP)以及上述IEC ，ISO 和OIML 等七个国际组织批准和发布，由ISO 出版。1995年修订，国际上公认的《测量不确定度表示指南》公布于世，并得到了广泛的应用，受到世界范围内各个国家的采用，如美国、英国、加拿大、韩国等许多国家、国际组织、实验室认可合作组织都在1995年后相继采用了GUM 制定了本国和本组织的不确定度表示指南。我国1999年批准发布了JJF059—1999《测量不确定评定与表示》的计量技术规范。目前，GUM 在全世界的推广和执行已推动不确定度达到了最新水平，它的应用和推广已成为当今科学界、质量技术监督部门、各类认可机构和认证机构关注的热点，同时也成为理化检验学术界讨论的热点。

需指出的是，自我国JJFl059—1999规范发布以后，对于计量部门的校准实验室，许多计量设备和仪器已经有了较为成熟的不确定度评定与表示的论文发表。然而，对于检测实验室，理化检验结果不确定度评定与表示的文章发表很少，原因是其还处于刚刚起步的探索阶段。因此，我国许多

检测实验室都根据GB ／T15481--2000idtIS0／IEC 17025：1999《检测和校准实验室能力的通用要求》进行实验室管理和认可的工作，根据这个国际通用的标准，不管是已认可或准备认可的校准或检测实验室都必须具有并应用评定测量不确定度的程序。标准明确指出：“当不确定度与检测结果的有效性或应用有关，或客户的指定中有要求，或当不确定度影响到对规范限度的符合性时，检测报告中还需要包括有关不确定度的信息”。为此，测量不确定度的评定与表示不仅得到了设备仪器校准工作者的高度重视，也得到了从事材料检测的广大理化检验工作者的高度重视。

2、测量不确定度的定义及分类

值或回归值等) 本身就具有不确定度，它与具有不确定性的检测结果的差，即误差必然存在着相当的不确定度。它表明了测量结果偏离真值的大小，但具有不确定的因素存在，这不确定因素的大小是不知道的。另外，误差合成的方法也不统一。同时，也没有给出置信区间和置信概率的概念。

2.1 测量不确定度的定义

对于不确定度，过去许多误差分析专著中给出了以下两类定义，其实质是一样的。

(1)由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量。如当被测量服从正态分布，若置信概率为95％时，被测量估计值可能的极限误差是±1. 96σ=1. 96σ (σ为标准差) 。(2)表征被测量的真值所处范围的评定。如被测量为止态分布时范围 [(X -2σ), (X +2σ)]包含真值(μ) 的概率为95.4％(X为均值，σ为标准差，μ为数学期望) 。

JJFl059 1999(原则上等同采用GUM) 给出的测量不确定度的定义是：“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数”，即描述了测量结果正确性的可疑程度或不肯定程度。测量的水平和质量用“测量不确定度”来评价。不确定度越小，则测量结果的可疑程度越小，可信程度越大，测量结果的质量越高，水平越高，其使用价值越高，反之亦然。

测量在国民经济、国防建设、科学研究和社会生活中，

特别是在司法执法、商业贸易、维护权益、保护资源环境、医疗卫生等诸方面起着越来越大的作用。它对科研、生产、商贸和国际技术交流等诸多相关测量领域影响甚大。可见，测量不确定度的研究、宣贯和实施具有现实和重要的意义。

2.2 测量不确定度的分类

2.2.1标准不确定度

用标准偏差表示的测量结果的不确定度(μ) 。

2.2.2 A类标准不确定度

用对观测列的统计得出的不确定度。

(1)常用的贝塞尔公式通过贝塞尔公式计算出的实验标准差S 来计算A 类标准不确定度，即

S =∑(x -)i

i =1n 2

n -1 （1-1）

a ．如果测量结果取观测列任一次x i 值，对应的标准不确定度

为

u (x i )=S （1-2）

b ．当测量结果取n 次观测列值的平均值时，A 类标准不确定度是 S

u (m ) =n （1-3）

c ．当测量结果取其中的m 个观测列值的平均值m 时，所对应

的A 类标准不确定度是

S u (m ) =m （1-4）

其中1≤m ≤n ，次数n 越大越可靠，一般n ≥5。b ．c ．是常遇到的两种情况，这三种情况的自由度为

υ=n -1 （1-5）

(2)合并样本标准差必须指出，为提高可靠性，应采用合并样本标准差S p ，即对输入量X 在重复性条件下进行了n 次独立

测量，得到x 1，x 2 ……，x n ，其平均值为，实验标准差为S(式(1-1)给出) ，自由度为υ (式(1-5)给出) 。如果进行m 组这样的测量，则合并样本标准差S p 。可按下式计算 112(x ij -j )S p =S j =∑∑∑m j =1m (n -1) j =1i =1

m m m n 2 (1-6) υ=υ∑p j (1-7) 自由度 j =1

式中υj 为 m 组测量列中第 j 组测量列的自由度υj =n-1，所以式(1-7)也可以写为

υp =m (n -1) (1-7)’ 对于通过实验室认可或准备通过认可的检测实验室。在重复条件下或复现性条件下进行规范化测量，其测量结果的 A

类标准不确定度不一定每次检测时重新评定，可直接采用预先评定的高可靠性合并样本标准差S p ，这可核查标准是否处

于控制状态。但注意，只有在同类型被测量较稳定，m 组测量列的各个标准差S j 相差不大，即S j 的不确定度可忽略时，

才能使用同一个S p 。因为测量列的标准差S j 也是一个变量，

标准差S j ，的标准差；(s)可估计为 ?估σ（S ）=S p 2n -1 (1-8)

式中n 为测量列的测量次数。

对于同类型被测量较稳定时，在预先的评定中，得到了高可靠性的合并样本标准差S p 后，在实际测量中，如对输

入量X 只进行了k 次测量，(1≤k ≤n) ，以k 次测量的平均值 k 作为测量结果，则该结果的标准不确定度为 u (k )=S p

k (1-9)

u (k ) 的自由度均等于S p 的自由度，即

υ'=υp ≈m (n -1) (1-10)

计算合并标准差S p ，采用的方法实质上属于贝塞尔公式法。

还需指出．计算标准差除了常用的贝塞尔法外，还有极差法、最大残差法和最小二乘法等。

3、结论

发布人：黄光勇

发布科室：节能检测室

范文三：测量不确定度

摘要文章澄清了测量不确定度教学中易混淆的一些概念，给出了实用的展伸不确定度公式；在数据处理中，倡导利用回归法；提出在作图法中画出误差杆，以更明确地表明实验的精度。

关键词误差，测量不确定度，标准差，展伸不确定度，数据处理，误差杆，回归法。

测量不确定度

? 采用不确定度的必然性

国际计量局等七个国际组织于1993年指定了具有国际指导性的“测量不确定度表示指南 ISO 1993（E）” （以下简称《指南》）。几年来国际与国内的科技文献开始采用不确定度概念，我国各个高校也不断开展这方面的讨论，改革教学内容与方法，以求与国际接轨。虽然一些学者对《指南》的有些内容持批评态度

[注1]，但总的趋势是在贯彻《指南》的同时，不断改善它。

测量不确定度定义为测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量量的分散性，它是被测量客观值在某一量值范围内的一个评定。不确定度理论将不确定度按照测量数据的性质分类：符合统计规律的，称为A类不确定度，而不符合统计规律的统称为B类不确定度。测量不确定度的理论保留系统误差的概念，也不排除误差的概念。这里的误差指测量值与平均值之差或测量值与标准值（用更高级的仪器的测量值）的偏差。

? 测量不确定度的 B类分量

? 仪器的最大允差Δ仪

测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度，记为ΔB 。它包含了由测量者估算产生的部分Δ估和仪器精度有限所产生的最大允差Δ仪。Δ仪包含了仪器的系统误差，也包含了环境以及测量者自身可能出现的变化（具随机性）对测量结果的影响。Δ仪可从仪器说明书中得到，它表征同一规格型号的合格产品，在正常使用条件下，一次测量可能产生的最大误差。一般而言，Δ仪为仪器最小刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很大，一些常用仪

器的最大允差见第26页）。

? 测量者的估算误差Δ估

测量者对被测物或对仪器示数判断的不确定性会产生估算误差Δ估。对于有刻度的仪器仪表，通常Δ估为最小刻度的十分之几，小于Δ仪（因为最大允差已包含了测量者正确使用仪器的估算误差）。比如，估读螺旋测微器最小刻度的十分之一为0.001毫米，小于其最大允差0.004毫米；估读钢板尺最小刻度的十分之一为0.1毫米，小于其最大允差0.15毫米。但有时Δ估会大于Δ仪。比如，用电子秒表测量几分钟的时间，测量者在计时判断上会有0.1-0.2秒的误差。而电子秒表的稳定性为10-5秒/天，显然仪器的最大允差小得实在可以忽略。又如第30届国际物理奥林匹克竞赛实验题中要测量一个摆杆的质心到一端的距离。将摆杆放到一个“⊥”型物上并使之平衡，测量支撑点到摆一端的距离。由于“⊥”型物棱宽为2mm ，摆杆在棱上移动±1mm均能保持平衡，使得一次测量的估算误差应为±1mm ，大于钢直尺的最大允差Δ仪=0.15mm 。在拉伸法测金属丝杨氏模量实验中，由于难以对准金属丝被轧头夹住的位置，钢丝长度的估算误差可达±（1-2）mm 。在暗室中做几何光学实验，进行长度测量时，长度的估算误差也可达±（1-2）mm 。如果Δ估和Δ仪是彼此无关的，B类不确定度ΔB为它们的合成：

若Δ估和Δ仪中，某个量小于另一量的三分之一，平方后将小一个数量级，则可以忽略不计。由于一般而言，Δ估比Δ仪小（正常使用下已包含其中），在以下的讨论中仅以Δ仪表示ΔB。

? B类分量的标准差

多次用同一规格型号的不同仪器测量同一物理量，测量值可能不同。这些测量值与平均值之差也是按一定概率分布的。正态分布是连续型随机变量中最常用、最重要的分布。一般而言，在相同条件下大批生产的产品，其质量指标一般

服从正态分布。如某个数量指标X是很多随机因素之和，而每种因素所起的作用均匀微小，则X为服从随机分布的变量。例如，工厂大量生产某一产品，当设备、技术、原材料、工艺等可控制的生产条件都相对稳定，不存在系统误差的明显因素，则产品的质量指标近似服从正态分布。如果仪器的测量误差在最大允差范围内出现的概率都相等（如长度块规在一定温度范围内由于热胀冷缩导致的长度值变化），就为均匀分布。界于两种分布之间则可用三角分布来描述。

一次测量值的B类标准差为

其中C称为置信系数。在最大允差范围内，对于正态分布，C=√9 =3；对于三角分布，C= √6，对于均匀分布，C=√3。第32页给出几种常用仪器的误差分布以及C的取值，见下表[注2]：

符合正态分布的测量列中某次测量值与平均值之差落在[-σ，σ]之间的概率为68.3%,落在[-2σ，2σ]之间为95.55%,落在[-3σ，3σ]之间的概率为99.73%（见图1），所以仪器的最大允差规定为Δ仪=3σ。不同的分布，在相同范围内的置信概率有所不同。不明确这一点，在合成不确定度的A类分量和B类分量时，就无法给出正确的置信概率和置信区间。为了说明这一点，先要做一些数学铺垫。

? 三种仪器误差分布

按照概率统计理论[注3]，若x是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则其数学期望值为

其方差为

标准差为

对于等精度测量，随机量x1,x2,?,xn,其数学期望值（即平均值）为

方差为

标准差为

设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布（见图2），即

其平均值为

其方差为

其标准差为

特例：当a = -Δ仪 ,b =Δ仪时，σ(X)=Δ仪/√3 ≈0.577Δ仪。也即如果仪器误差符合均匀分布，其一次测量值与标准值之差落在[-σ，σ]内的概率为57.7%，低于正态分布相应的68.3%；而落在[-√3σ，√3σ]内的概率就已经达到100%，与正态分布有很大不同（比较图1和图2）。

设随机变量X在[-Δ仪 ,Δ仪]上的分布为三角分布（见图3）

由其对称性易得测量列的平均值为

方差为

标准差

X落在[-σ, σ]之间的概率P（σ），如图3中阴影的面积，P（σ）=0.758；而 P（2σ）=0.966。三种分布的标准差以及各置信区间相应的概率如下表：

因此，不能笼统地说测量误差落在标准差范围内的概率为68.3%，落在两倍标准差范围内的概率为95.5%。在合成标准不确定度时，要注意区分不同的分布。 ? 合成标准不确定度和展伸不确定度

将A类和B类标准差合成得到置信概率P=0.68的合成标准不确定度：

若考虑到测量次数，还应t因子修正。将合成标准不确定度乘以一个与一定置信概率相联系的包含因子（或称覆盖因子）K，得到增大置信概率的不确定度叫做展伸不确定度（或扩展不确定度）。通常取置信概率为0.95，K=2。对正态分布，k0.95=1.96 ≈ K=2。这时的展伸不确定度为

考虑到通常测量6次左右,查阅t因子表，t0.95=2.57, t2/6≈1,C=3, K≈k0.95=1.96,(K/C)≈0.5。所以，置信概率P=0.95的展伸不确定度的便于操作的公式为

用均匀分布或三角分布得到的B类标准不确定度与服从正态分布的A类标准不确定度来计算合成不确定度时，要用到卷积运算，其结果和σ与Δ仪之比有关，可参阅[文献4]。注意到不确定度的统计学意义和在上述操作中的近似，在实际工作中，常常忽略不同分布的差别（有时也不知道是什么分布），而把Δ仪当成均匀分布，取置信因子C=√3。这样得到一种较为保守的公式

其置信概率应记为P≥0.95。

实验数据处理

? 几种常用方法

列表法、作图法、逐差法和回归法。

? 误差杆的概念和应用

在研究两个物理量之间的关系时，常用到作图法。在作图法中，一对测量值确定一个点，叫做“数据点”（教材第一册43页）。如果在作图时用线段标示出测量值的不确定度±Δ仪，则将会更全面地反映出实验的精度。线段的长度为2Δ仪，这种小线段称为误差杆。考虑到通常选比较容易测量的物理量作为自变量，常用横坐标表示之，且其Δ仪较小，所以在作图中往往只需沿纵坐标方向画出误差杆。如果绝大多数数据点可以拟合成一条直线（或曲线），只有一个点偏离甚远，就要考虑这一对测量值的可靠性了。严格地讲，应该重新测量。但有时无法或没必要重做实验，可不可以舍弃这个点呢？一般来说，在有限范围内，两个物理量之间的关系多为连续的；反映其关系的曲线不大可能有大的突然起伏。我们可以参照测量不确定度理论中剔除坏值的3σ原则来处理。如果该点到按其他点拟合的曲线的距离大于1.5倍误差杆的长度，就可以舍弃该点。不画出误差杆就难以判断。要注意，曲线拟合是对多个数据点的统计学意义下的操作，若一共只有3、4个点，就不能草率地舍弃任何一个点了。

还要注意，各个数据点的误差杆长度不一定相等。或者，对数据做某种处理（如取对数）后，再进行作图，误差杆的长度也会变化。譬如，某1.0级的电压表的量程为100伏，对于测量值为20.0伏、30.0伏、40.0伏和 50.0伏，它们的最大允差均为±1.0伏。若纵坐标为电压，则误差杆的长度都是2×0.1伏；而若以电压值的对数为纵坐标，则误差杆的长度为2×ΔV/V=0.2/V，电压值不同，误差杆长度就不同。

? 作图法和回归法的比较

作图法的最大优点是直观。在诸多数据点的拟合中，如果发现有一个点明显

偏离所拟合的曲线，就需要在这个点所处物理条件附近，再进行仔细的实验，查明是否是实验误差，还是有新的现象或规律。但作图法需较长时间，曲线拟合过程中会引入误差；求解实验方程参数及其不确定度比较麻烦。用回归法只需按动计算器的几个键，就可以确定实验方程的参数及其不确定度。但如果实验数据有误，或所拟合的方程形式不合适，则相关系数小，必须重新检查数据或方程形式，由于不直观，一时难以断定问题之所在。

若数据点可以拟合为一条直线，线性方程的一般形式为

数据为Xi和Yi,每次测量的最大允差为ΔXi和ΔYi，i = 1,2,…,n。拟合直线的斜率m的相对不确定度为

式中

分别为相应测量值最大允差的平方平均值。

截距的不确定度为

概率论给出回归法线性拟合的斜率的标准差为

式中n 为X（或Y）的测量数据个数，r为相关系数。

截距的标准差为

如果两组物理量之间的关系确实为线性，按 * 和 ** 式由各个测量值最大允差计算得到的?m和?b一般大于由回归法计算得到的结果。前者只考虑每次测量值的仪器最大允差，而不考虑各个数据点对于所拟合的直线的偏离情况（线性拟合的程度由眼睛直观判断）。而回归法则相反，不考虑每次测量值的仪器最大允差，只考虑各个数据点对于所拟合的线性关系的偏离情况。线性拟合程度的“好坏”由相关系数给出。如果测量值中有一个“坏值”，由于作图法能直观察觉，方便作出相应处理（剔除坏值或重做实验改正错误）。而回归法则是根据所有数据计算，一个错误数据也可能使相关系数严重减小。这时难以判断是整体线性不好，还是个别数据出了差错。两全的办法是先画出图来，直观判断线性好坏。如果确定线性关系，再用计算器按键操作，很方便地求出线性方程的斜率和截距以及它们的标准差，不必按公式详细计算。

对于不是线性关系的物理规律，拟合曲线比较麻烦；由曲线求解实验方程的参数也比较困难。有时可以对物理量进行适当变换，按变换后的的物理量作图，把曲线改成直线，就方便处理了。现在，很多商品计算器对于线性、对数、指数和幂函数关系都具有回归计算功能，只需按相应的键就可以拟合这些函数关系。实验数据处理方法也应“与时俱进”，充分享用新技术带给人类的方便。有必要让我们的学生掌握这些方法。

参考文献

注1 钱钟泰编著，执行“测量不确定度表示指南ISO1993（E）”的问题及解决方法，1999

年，中国计量出版社

注2 欧阳九令主编，常用物理测量手册，1998年，中国工人出版社

注3 许小平等编，概率统计，1996年，中国地质大学出版社

注4 刘智敏，不确定度与分布合成，物理实验，vol.19,No.5 (1999/5)

标题英译： Teaching of Uncertainty of Measurement and Treatment of Experimental Data

Abstract: This article clears up some confusable concepts and gives practical formulae in teaching uncertainty of measurement. Regression is emphasized and the concept of the error bar and its applications is introduced.

Keywords: error, uncertainty of measurement, standard error, extended uncertainty, error bar， regression .

范文四：测量不确定度

1. 范围

本方法规定了检测结果测量不确定度的一般评定步骤和常用评定方法，适用于本公司检测结果测量不确定度评定。 2. 技术依据

2.1 JJF l059一1999《测量不确定度评定与表示》。 3. 评定步骤

评定测量结果的不确定度或提供测量不确定度评定报告的一般步骤如下： 1. 概述；

2. 建立数学模型； 3. 不确定度来源分析； 4. 标准不确定度分量评定； 5. 合成标准不确定度评定； 6. 扩展不确定度评定； 7. 测量不确定度报告。 3.1概述

简要说明下列内容：

1. 测量依据，如计量检定规程、校准规范、标准等； 2. 检定、校准或测量工作原理； 3.2 建立数学模型

3.2.1数学模型根据测量工作原理和程序建立，即确定被测量Y(输出量) 与影响量(输入量) X 1, X 2，?X N 间的函数关系：

Y =f(X1, X 2?，X N ) (1) 建立数学模型时应说明数学模型中各个量的含义和计量单位。必须注意，数学模型中不能进入带有正负号(±) 的项。另外，数学模型不是唯一的，若采用不同测量方法和不同测量程序，就可能有不同的数学模型。

被测量Y 的估计值为y ，输入量X 1,X 2?，X N 的估计值为x 1,x 2, ?，x n ，则有： y=f(x1,x 2, ?，x n ) (2)

有时为简化起见，可直接以式(2)为数学模型。

3.2.2 计算灵敏系数

偏导数?f/?x i =ci 称为灵敏系数。

有时灵敏系数c i 可由实验测定，即通过变化第i 个输入量x i ，而保持其余输入量不变，从而测定Y 的变化量。 3.3不确定度来源分析

3.3.1以数学模型为依据，按数学模型中输入量的先后顺序依次进行分析。 3.3.2不要遗漏数学模型中反映不出来的不确定度来源，如检测人员对模拟仪器的读数的不确定度等。

3.3.3评定y 的不确定度之前，为确定Y 的最佳值，应将所有修正量加人测量值，并将所有测量异常值剔除。 3.4标准不确定度分量评定

3.4.1输出量y 的不确定度取决于输入量x i 的不确定度，所以评定输出量y 的不确定度之前，首先应评定输人量x i 的标准不确定度u(xi ) 。

u(xi ) 评定一般按X 1,X 2, ?，X n 依次逐个评定。每个输入量x i 的u(xi ) 的评定中，可能会有几个独立无关的不确定度来源，则可相应作为u(xi ) 分项。这种情况应首先评定标准不确定度u(xi ) 的分项u(xij ) ，u(xi ) 则为各个u(xij ) 的合成。

输入量x i 的标准不确定度u(xi ) 及其分项u(xij ) 的评定方法可归纳为A 、B 两类： A类评定——用对观测列进行统计分析方法来评定标准不确定度。 B类评定——用非统计方法来评定标准不确定度。 3.4.2标准不确定度的A 类评定

3.4.2.1标准不确定度A 类评定的基本方法是采用贝塞尔公式计算标准差s 的方法。

对被测量X ，在重复性条件或复现性条件下进行n 次独立重复观测，得观测列： x 1,x, ?，x n 。算术平均值X 为

X =∑x i

n i =1

单次测量的实验标准差s 由贝塞尔公式计算：

s =

n -1

∑(x

i =1

-x ) 2(这里的n 指为得单次测量得标准差的测量次数)

观测列的平均值的实验标准差s(x ) 按下式计算：

s (x ) =

s n

（这里的n 指实际检测中实际的检测次数与上个分式

中的n 可以不同，但必须比上式中的值要小）

输入量X 的A 类标准不确定度u(x)即为：

u(x)=s(x ) =

其自由度v 为：

s n

v =n一1，n 为观测列的测量次数。（n 为贝塞尔公式中的n 值）

观测次数n 越多，才能使A 类不确定度的评定越可靠，一般认为n 应大于5。

3.4.2.2在重复性条件下或复现性条件下进行规范化测量，测量结果的不确定度及其A 类标准不确定度不一定每一次测量时重新评定，可直接采用预先评定的结果。为提高其可靠性，一般应采用合并样本标准差。

对输入量X 在重复性条件下或复现性条件下进行了n 次独立观测，观测值分别为x 1,x 2, ?，x n ，其平均值为x 。实验标准差为s ，自由度为ν。如果有m 组这样的观测，则合并样本标准差s p 按下式计算： sp =

∑s

j =1

合并样本标准差的自由度v 按下式计算： v =∑v j

j =1m

v j 为m 组观测列中第j 组观测列的自由度。

注意只有在同类型被测量较稳定,m 组观测列的各个标准差s 相差不大时，才能使用同一个合并样本标准差s p 。 3.4.3标准不确定度的B 类评定

3.4.3.1B 类不确定度评定的信息来源一般有： a)以前的观测数据；

b)对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验； c)生产部门的技术说明书；

d)校准证书，检定证书或其他文件提供的数据、准确度等级，包括目前暂在使用的极限误差等；

e) 手册或有关资料给出的数据及其不确定度。 3.4.3.2评定的基本方法

根据所提供的信息，先确定输入量x 的不确定度区间[-a，a]，或误差的范围，其中a 为区间的半宽。然后根据该输入量x 在不确定度区间[一a ，a] 内的概率分布情况确定包含因子k p ，则B 类标准不确定度u(x)为：

u(x)=

a k p

包含因子k p ，可查阅JJFl059-1999中表2，表3确定。

3.4.3.3如估计值x 由完善的校准证书、检定证书或其他技术资料给出，同时还明确给出其扩展不确定度U(x)是标准差s(x)的k 倍，指明包含因子k 的大小，则标准

不确定度u(x)可取U(x)／k 。

如果给出了x 的不确定度U p (x)及置信概率P ，一般可按JJFl059—1999中表2得到k p ，则标准不确定度u(x)可为U p (x)／k p 。 3.4.3.4B 类评定的自由度

B类评定的标准不确定度u(x)的自由度可按下式近似计算得：

1??u (x ) ? v ≈?

2?u (x ) ??

-2

方括号中给出的是u(x)的相对不确定度，对B 类评定而言，其值是按可利用的信息判断的。

实际工作中，一般只估计出u(x)不可靠的百分数，查JJFl059—1999中表4即可得到其自由度v 。 3.4.4标准不确定度分量评定标准不确定度分量按下式计算： ui (y)=c i ?u (x i ) 其自由度与u(xi ) 相同。 3.5合成标准不确定度评定

3.5.1列出不确定度分量一览表：

3.5.2计算合成标准不确定度

3.5.2.1当全部输入量是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度由下式得出：

(y ) =∑u i 2(y )

i =1

3.5.2.2当输入量x i 之间明显相关时，就必须考虑其相关性。相关常由相同原因所致，这时合成标准不确定度计算式中，应增加相应协方差项(具体参见JJFl059—1999) 。

3.6扩展不确定度的评定

3.6.1计算合成标准不确定度u c (y)的自由度

合成标准不确定度u c (y)的自由度称为有效自由度K 可按韦尔奇一萨特思韦

特

公式计算： v eff

u c 4(y )

=N 4

u i (y ) ∑v i i =1

3.6.2计算扩展不确定度．

扩展不确定度分为两种：U 和U p ， 3.6.2.1扩展不确定度U 按下式计算：

U=k?u c (y)

式中k 为一个包含因子，k 值一般取2～3。 3.6.2.2扩展不确定度U p 按下式计算：

Up =kp ?u c (y) 式中k p 为给定概率P 的包含因子。

kp 与y 的分布有关，当y 接近正态分布时,k p 可采用t 值。k p =tp (v eff ) (可按置信概率P 及有效自由度v eff 查JJFl059—1999 附录A 得到) 。置信概率P 一般取99%和95％，多数情况采用95％。 3.7 测量不确定度报告

3.7.1当用U 报告测量不确定度时，要给出扩展不确定度U 及其单位，并给出包含因子k 值。例如：

××××的扩展不确定度为 U=??．K=??

3.7.2当用U p 报告测量不确定度时，要给出扩展不确定度U p 及其单位，明确P 值，并给出包含因子k p 或有效自由度v eff 。例如：

××××的扩展不确定度为 U 95(或U 99) , kp (或v eff )=

3.7.3报告合成标准不确定度或扩展不确定度的有效数字最多为两位，在中间连续计算中为避免修约误差可保留多一些有效数字。最终报告不确定度时，

其末位后面的数有时可能采取进位而不是舍去。

报告测量结果，需将其修约至与其不确定度有效文字一致(即报告测量结果的有效数字末位与其不确定度的末位“数位”上应一致) 。

范文五：测量不确定度

测量不确定度

二、测量不确定度

(一) 基本概念

测量的目的是为了确定被测量的量值。测量结果的质量(品质) 是量度测量结果可信程度的最重要的依据。测量不确定度就是对测量结果质量的定量表征，测量结果的可用性很大程度上取决于其不确定度的大小。所以，测量结果表述必须同时包含赋予被测量的值及与该值相关的测量不确定度，才是完整并有意义的。

表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数，称为测量不确定度。从词义上理解，" 不确定度" 即怀疑或不肯定，因此，广义上说，测量不确定度意味着对测量结果可信性、有效性的怀疑程度或不肯定程度。实际上，由于测量不完善和人们认识的不足，所得的被测量值具有分散性，即每次测得的结果不是同一值，而是以一定的概率分散在某个区域内的多个值。虽然客观存在的系统误差是一个相对确定的值，但由于我们无法完全认知或掌握它，而只能认为它是以某种概率分布于某区域内的，且这种概率分布本身也具有分散性。测量不确定度正是一个说明被测量之值分散性的参数，测量结果的不确定度反映了人们在对被测量值准确认识方面的不足。即使经过对已确定的系统误差的修正后，测量结果仍只是被测量值的一个估计值，这是因为，不仅测量中存在的随机因素将产生不确定度，而且，不完全的系统因素修正也同样存在不确定度。

不要把误差与不确定度混为一谈。测量不确定度表明赋予被测量之值的分散性，是通过对测量过程的分析和评定得出的一个区间。测量误差则是表明测量结果偏离真值的差值。经过修正的测量结果可能非常接近于真值(即误差很小) ，但由于认识不足，人们赋予它的值却落在一个较大区间内(即测量不确定度较大) 。

为了表征赋予被测量之值的分散性，测量不确定度往往用标准差表示。在实际使用中，由于人们往往希望知道测量结果的置信区间，因此测量不确定度也可用标准差的倍数或说明了置信水平的区间的半宽表示。为了区分这两种不同的表示方法，分别称它们为标准不确定度和扩展不确定度。

本小节涉及的某些内容与概念需用概率统计的概念与术语，可参见《质量专业理论与实务(中级) 》第一章。

1. 标准不确定度

以标准差表示的测量不确定度，称为标准不确定度，用符号u 表示，它不是由测量标准引起的不确定度，而是指不确定度以标准差来表征被测量之值的分散性。

由于测量结果的不确定度往往由许多原因引起，对每个不确定度来源评定的标准差，称为标准不确定度分量。标准不确定度分量有两类评定方法，即A 类评定和B 类评定。用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度的A 类评定，有时也称为A 类不确定度评定。所得到的相应的标准不确定度称为A 类不确定度分量，用符号uA 表示。

用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度的B 类评定，有时也称为B 类不确定度评定。所得到的相应的标准不确定度称为B 类不确定度分量，用符号uB 表示。

当测量结果是由若干个其他量的值求得时，测量结果的标准不确定度，等于这些其他量的方差和协方差适当和的正平方根，称之为合成标准不确定度，用符号uc 表示。合成标准不确定度是测量结果标准差的估计值，它表征了测量结果的分散性。

2. 扩展不确定度

用标准差的倍数或说明了置信水平的区间的半宽表示的测量不确定度，称为扩展不确定度，通常用符号U 表示。

扩展不确定度确定的是测量结果的一个区间，合理地赋予被测量之值的分布的大部分可望包含于此区间。实际上，扩展不确定度是由合成不确定度的倍数表示的测量不确定度，它是将合成标准不确定度扩展了k 倍得到的，即U=kuc，k 称为包含因子。通常情况下，k 取2(或3) 。

〔注〕假设测量结果是标准差为uc 的正态分布，它位于〔-kuc ，kuc 〕之间的概率为2Φ(k)-1，取k=2、3时，2Φ(k)-1=95.45%、99.73%，当取k=2.575时，2Φ(k)-1=9900%。如果只知道，uc2的估计值sc2为自由度v 的X2分布，则对于置信度为γ=1-α而言，k=tγ(ν)，tγ(ν)是自由度为ν的t 分布的γ=1-α分位数。

(二) 测量不确定度的来源

测量过程中有许多引起测量不确定度的来源，它们可能来自以下十个方面:

1. 对被测量的定义不完整或不完善

例如:定义被测量是一根标称值为1m 的钢棒的长度，若要求测准到微米级，则被测量的定义就不够完整，因为此时被测钢棒受温度和压力的影响已较明显，而这些条件没有在定义中说明。由于定义的不完整，将使测量结果中引入温度和压力影响的不确定度。这时，完整的定义应是:标称值为1m 的钢棒在25.0℃和101325 Pa时的长度。若在定义要求的温度和压力下测量，就可避免由此引起的不确定度。

2. 实现被测量定义的方法不理想

如上例，被测量的定义虽然完整，但由于测量时温度和压力实际上达不到定义的要求(包括由于温度和压力的测量本身存在不确定度) ，使测量结果中引人了不确定度。

3. 取样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量

例如:测量某种介质材料在给定频率下的相对介质常数，由于测量方法和测量设备的限制，只能取这种材料的一部分作为样块进行测量。如果测量所用的样块在材料的成分或均匀性方面不能完全代表定义的被测量，则样块将引起不确定度。

4. 对被测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善

同样以上述钢棒为例，不仅温度和压力影响其长度，实际上，湿度和钢棒的支撑方式都有明显影响。但由于认识不足，没有采取措施，就会引起不确定度。

5. 对模拟仪器的读数存在人为偏差(偏移)

模拟式仪器在读取其示值时，一般是估读到最小分度值的1/10。由于观测者的位置和观测者个人习惯不同等原因，可能对同一状态下的显示值会有不同的估读值，这种差异将产生不确定度。

6. 测量仪器的分辨力或鉴别力不够

数字式测量仪器的不确定度来源之一，是其指示装置的分辨力。即使指示为理想重复，这种重复性所贡献的测量不确定度仍然不为零，这是因为，当输入信号在一个已知的区间内变动时，该仪器却给出了同样的指示。

7. 赋予测量标准和标准物质的值不准

通常的测量是通过被测量与测量标准的给定值进行比较实现的，因此，该测量标准的不确定度将直接引入测量结果。例如:用天平测量时，测得质量的不确定度中包括了标准砝码的不确定度。

8. 用于数据计算的常量和其他参量不准

例如:在测量黄铜的长度随温度变化时，要用到黄铜的线热膨胀系数。查有关数据手册可以找到所需的值，与此同时，也可从手册上查出或计算出该值的不确定度，它同样是测量结果不确定度的一个来源。

9. 测量方法和测量程序的近似性和假定性

例如:被测量表达式的近似程度，自动测试程序的迭代程度，电测量中由于测量系统不完善引起的绝缘漏电、热电势、引线电阻上的压降等，均会引起不确定度。

10. 在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化

在实际工作中我们经常发现，无论怎样控制环境条件以及各类对测量结果可能产生影响的因素，而最终的测量结果总会存在一定的分散性，即多次测量的结果并不完全相同。这种现象是一种客观存在，是由一些随机效应造成的。

上述不确定度的来源不一定是独立的，例如，第10项可能与前面各项都有关。

(三) 测量不确定度的评定

1. 测量模型的建立

被测量指的是作为测量对象的特定量。在实际测量的很多情况下，被测量Y(输出量) 不能直接测得，而是由N 个其他量X1，X2，…，XN(输入量) 通过函数关系f 来确定的: Y=f(X1，X2，…，XN)(5.5-1)

上式表示的这种函数关系，就称为测量模型，或测量过程的数学模型。

测量模型f 代表所使用的测量程序和评定方法，它描述如何从输入量Xi 的值求得输出量Y 的值。输入量X1，X2，…，XN 本身可看做被测量，也可能取决于其他量，甚至包括系统效应的修正值和修正因子，因此，函数关系式f 可能非常复杂，以至于不能明确地表示出来。当然，数学模型有时也可能简单到Y=X。例如:用卡尺测量工件的尺寸，工件的尺寸就等于卡尺的示值。

数学模型不是惟一的。采用不同的测量方法和不同的测量程序，就可能有不同的数学模型。例如:一个随温度t 变化的电阻器两端的电压为V ，在温度为t0时的电阻为R0，电阻器的温度系数为α，则电阻器的损耗功率P(输出量或被测量) 取决于V ，R0，α和t(输入量) ，即:

P=f(V，R0，α，t)=V2/R0〔1+α(t-t0)] (5.5-2)

同样是测量该电阻器的损耗功率P ，我们也可采用测量其端电压和流经电阻的电流I 来获得，则P 的数学模型就变成:

P=f(V，I)=VI (5.5-30)

数学模型可用已知的物理公式求得，也可用实验的方法确定，有时甚至只能用数值方程给出。如果数据表明，f 未能将测量过程模型化至测量所要求的准确度，则必须在f 中增加其他输入量，即增加影响量。例如:在电阻功率的测量中，增加电阻上已知的温度非均匀分布、电阻温度系数的非线性关系、电阻值与大气压力的关系等，直至测量结果满足要求。

在输入量X1，X2，…，XN 中，一类是当前直接测定的量，其值和不确定度得自于单一观测、重复观测，或依据经验的调整等，并可能涉及仪器读数的修正值，以及诸如环境温度、大气压力、湿度等影响量修正值的确定。而另一类则是从外部引入的量，例如:与已校准的测量标准、有证参考物质相关的量，或从手册中查出的参考数据等。

设式(5.5-1)中被测量Y 的估计值，即输出估计值为y ，输入量Xi 的估计值，即输入估计值为xi ，则有y=f(x1，x2，…，xN)(5.5-4)

在此，输入值是经过对模型中所有主要系统效应的影响修正的最佳估计值。否则，须将必要的修正值作为独立的输入量引入测量模型中。

对于一随机变量，可以使用其分布方差或方差的正平方根，即标准差，来量度其值的分散性。与输出估计值或测量结果y 相关的测量标准不确定度u(y)，是被测量Y 的标准差，它是通过与输入估计值相关的标准差，即标准不确定度u(xi)来确定的。与估计值相联系的标准不确定度具有与估计值相同的量纲。在有些情况下，使用相对标准不确定度，即估计值的测量不确定度除以估计值的模，可能更为适当，它的量纲为1。当估计值等于0时，相对

不确定度的概念不适用。

2. 输入估计值测量不确定度的评定

(1)概述

与输入估计值相关的测量不确定度，采用"A 类" 或采用"B 类" 方法评定。标准不确定度的A 类评定，是通过对观测列的统计分析来评定不确定度的方法。此时，标准不确定度为通过求平均程序或适当的回归分析求得的平均值的实验标准差。标准不确定度的B 类评定，是用不同于对观测列统计分析的方法来评定不确定度的方法。此时，标准不确定度是根据其他知识或信息得出的。

(2)标准不确定度的A 类评定

当在相同的测量条件下，对某一输入量进行若干次独立的观测时，可采用标准不确定度的A 类评定方法。

假定重复测量的输入量Xi 为量Q 。若在相同的测量条件下进行n(n>1)次独立的观测，量Q 的估计值为各个独立观测值qj(j=1，2，…，) 的算术平均值

与输入估计值相关的测量不确定度可按以下方法之一评定:(a)值qj 的实验方差s2(q)是概率分布方差的估计值，可按下式计算

其(正) 平方根称为实验标准差。算术平均值方差的最佳估计值，是由下式给出的平均值的实验方差:s2（ )=s2(q)/n(5.5-7)

其(正) 平方根称为平均值的实验标准差。与输入估计值相关的标准不确定度即平均值的实验标准差:u )=s( )(5.5.8)

值得注意的是，一般而言，当重复测量次数n 较小(n<10)时，按式(5.5-8)表述的a>

〔例5.5-1]对一等标准活塞压力计的有效面积进行测量。在各种压力下，测得10次活塞有效面积S0与工作基准活塞面积S5之比li 如下:

0.250670 0.250673

0.250670 0.250671

0.250675 0.250671

0.250675 0.250670

0.250673 0.250670

则其最佳估计值，即测量结果L 为:

由式(5.5-6)求得实验标准差s(li)为:

则由式(5.5-7)求得L 的标准不确定度u(L)为:

u(L)=s(L)=s(li)/ =0.63×10-6

(b)对于特性比较明确且处于统计控制之下的测量过程来说，使用所获得的合并样本标准差sp 来描述分散性，可能比采用通过有限次数的观测值获得的标准差更为合适。sp 为测量过程长期的组内方差平均值的平方根。在此情况下，若输入量Q 的值由非常有限的n 次

独立观测值的平均值求得，则平均值的方差可按下式估计:

s2( )=sp2/n(5.5-9)

根据该值，按式(5.5-8)即可求出标准不确定度。

〔例5.5-2]在实行量块的测量保证方案时，为使实验处于控制状态，要以核查标准量块来建立单个量块的标准差。若第1次核查时的样本标准差为s1=0.015μm，第2次核查时的样本标准差为s2=0.013μm，……多次核查的合并样本标准差sp 为0.014μm(条件为诸样本标准差无显著差异) 。

若以sp 核查标准量块的合并样本标准差，用以考察任一次测量(设测量次数为n=6)，则标准不确定度u(x)为:

u(x)=sp/ =0.014/ =0006(μm)

(3)标准不确定度的B 类评定B 类标准不确定度评定是用不同于对观测列统计分析的方法，来评定与输入量Xi 的估计值xi 相关的不确定度。即根据所有可获得的关于Xi 可能变异性的信息，做出科学的、经验的判断，来评定标准不确定度u(xi)。用于不确定度B 类评定的信息来源一般包括:

①以前的观测数据；

②对有关材料和仪器特性的了解和经验；

③生产部门提供的技术说明文件；

④校准证书、检定证书或其他文件提供的数据；

⑤手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；

⑥规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限或复现性限。

运用所掌握的信息进行测量不确定度的B 类评定，要求有一定的知识、经验和技巧。适当评出的B 类标准不确定度，可与A 类标准不确定度一样可靠。

B 类不确定度评定的最常用方法有以下四种:

(a)已知扩展不确定度和包含因子

如输入估计值xi 来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同时还明确给出其扩展不确定度U(xi)及包含因子k 的大小，则与输入估计值相关的标准不确定度u(xi)为:

u(xi)=U(xi)/k(5.5-10)

〔例5.5-3]校准证书上指出，标称值为1kg 的砝码的实际质量m=100000032g，并说明按包含因子k=3给出的扩展不确定度U=024mg。则由该砝码导致的测量标准不确定度分量u(m)为:

u(m)=0.24mg/3=80μg

相对标准不确定度为:

urel(m)=u(m)/m=80×10-9

(b)已知扩展不确定度和置信水平的正态分布

如果给出xi 在一定置信水平p 下的置信区间的半宽，即扩展不确定度Up ，除非另有说明，一般按正态分布来评定其标准不确定度u(xi)，即:

u(xi)=Up/kp(5.5-11)其中，kp--置信水平p 下的包含因子。

正态分布的置信水平p(置信概率) 与包含因子kp 之间存在着下表所示的关系。

〔例5.5-4]校准证书上给出标称值为10Ω的标准电阻器的电阻Rs 在23℃时为: R.(23℃)=(10.00074±000013)Ω同时说明置信水平p=99%。

由于U99=0.13mΩ，按表5-5-1，kp=2.58，故其标准不确定度

u(Rs)=0.13mΩ/2.58=50μΩ。

(c)其他几种常见的分布

除了正态分布外，其他常见的分布有t 分布、均匀分布、反正弦分布、三角分布、梯形分布、两点分布等。

若只知道输入量的估计值xi 分散区间的上限和下限分别为a+和a-(例如测量仪器的出厂指标、温度范围、由自动数据简化引起的舍入或截断误差) ，则只能保守一些假定输入量Xi 在上、下限之间的概率分布为均匀(矩形) 分布。按照上述情况(b)的做法，输入估计值xi 及其标准不确定度u(xi)分别为:

xi=(a++a-)/2(5.5-12)

u2(xi)=(a+-a-)2/12(5.5-13)如果上、下限之差用2a 表示，即a+-a-=2a，则: u2(xi)=a2/3(5.5-14)

或:

u(xi)=a/ (5.5-15)

[例5.5-5]手册中给出纯铜在20℃时的线膨胀系数α20(Cu)为16.52×10-6℃-1，并说明此值的变化范围不超过±0.40×10-6℃-1。保守一些假定α20(Cu)在此区间内为均匀分布，则线膨胀系数的标准不确定度u(α)为:

u(α)=0.40×10-6℃-1/1.73=0.23×10-6℃-1。

(d)由重复性限或再现性限求不确定度

在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出输入量的两次测得值之差的重复性限，或再现性限R 时，如无特殊说明，则输入估计值的标准不确定度为:

u(xi)=r/2.83(5.5-16)

或u(xi)=R/2.83(5.5-17)

这里，重复性限，或再现性限R 的置信水准为95%，并作为正态分布处理。

3. 输出估计值标准不确定度的计算

(1)当全部输入量彼此独立或不相关时，与输出估计值y 相关的标准不确定度，即合成标准不确定度，由下式得出:

式中，xi(y)是与输入估计值xi 相关的标准不确定度对于与输出估计值y 相关的标准不确定度的贡献，即:

ui(y)=ciu(xi)(5.5-19)

ci 是与输入估计值xi 相关的灵敏系数，它等于在输入估计值xi 处评定的模型函数f 关于Xi 的偏导数，即:

灵敏系数ci 表示输出估计值y 随输入估计值xi 的变化而变化的程度。它可以从模型函数f 按式(5.5-19)评定，或采用数值方法计算，即分别计算因输入估计值xi 的+u(xi)和-u(xi)的变化而引起的输出估计值y 的变化，所得的y 值之差除以2u(xi)即为ci 的值。有时，可以通过实验，例如分别在xi±u(xi)重复测量，找出输出估计值y 的变化以求出ci 的值。如果模型函数f 是输入量Xi 的和或差，即:

则输出估计值应是相应的输入估计值的和或差，即:

式中，pi 即为灵敏系数，故与输出估计值相关的合成标准不确定度为:

如果模型函数f 是输入量Xi 的积或商，即:

则输出估计值应是相应的输入估计值的积或商，即

在这种情况下，灵敏系数等于piy/xi，如果采用相对标准不确定度ω(y)=u(y)/|y|和ω(xi)=u(xi)/|xi|的话，可以得到与式(5.5-22)类似的表达式:

(2)当两个输入量Xi 和Xk 之间有一定程度的相关性时，即它们之间不是相互独立的，那么，其协方差也应作为不确定度的一个分量来考虑。在以下情况下，与两个输入量Xi 和Xk 的估计值相关的协方差可以认为是零或影响非常小:

(a)输入量Xi 和Xk 相互独立，例如，它们是在不同的独立实验中重复而且非同时测得的，或它们分别代表独立进行的不同评定所得出的量；

(b)输入量Xi 和Xk 中的一个可作为常量看待；

(c)研究表明，输入量Xi 和Xk 之间没有相关性的迹象。

有时，可以通过改变测量程序来避免发生相关性，或者使协方差减小到可以忽略不计的程度。例如:通过改变所使用的同一台标准器等。

4. 扩展不确定度的评定

扩展不确定度是确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。实际上，扩展不确定度是将输出估计值的标准不确定度u(y)扩展了k 倍后得到的，这里的k 称为包含因子。即:

U=ku(y)(5.5-27)

k 值一般为2，有时为3，这取决于被测量的重要性、效益和风险。当可以赋予被测量正态分布，且与输出估计值相关的标准差的可靠性足够高时，包含因子k=2，这代表扩展不确定度的包含概率约为95%。

扩展不确定度是测量结果取值区间的半宽，该区间可期望包含了被测量之值分布的大部分。而测量结果的取值区间在被测量值概率分布中所包含的百分数，称为该区间的置信水平或置信概率，用符号p 表示。与置信水平相联系的扩展不确定度，用符号Up 表示。例如:若合理地赋予被测量之值的分散区间包含全部的测得值，则此区间的置信概率为p=100%，扩展不确定度用U100表示，它就是置信区间的半宽，通常用符号a 表示。若只包含95%的被测量之值，则此区间称为置信概率为p=95%的置信区间，其半宽就是扩展不确定度U95；类似地，若要求99%的概率，则半宽为U99。显然，U95 5. 测量不确定度的报告

一个完整的测量结果应包含两部分:

(1)被测量Y 的最佳估计值，即输出估计值y ，一般由测量列的算术平均值给出；

(2)描述该测量结果分散性的测量不确定度，它实际上是测量过程中来自测量设备、环境、人员、测量方法及被测对象的所有不确定度因素的集合。

报告测量不确定度有两种方式:一种是直接使用合成标准不确定度，另一种是使用扩展不确定度。在进行基础计量学研究和基本物理常量的测量时，通常使用合成标准不确定度。除此之外，一般采用扩展不确定度来报告测量不确定度。

设被测量是标称值为100g 的标准砝码质量ms 下面举例说明其测量结果的表达方法:

(1)用合成标准不确定度表达

(a)ms=100.02147g，u(ms)=0.35mg。

(b)ms=10002147(35)g，括号中的数是u(ms)的数值，与所说明结果的最后位数字相对应。

(c)ms=100.02147(0.00035)g，括号中的数是u(ms)的数值，用所说明结果的单位表示。

(2)用扩展不确定度表达

(a)ms=100.0215g，U(ms)=0.7mg(k=2)。

(b)ms=(1000215±00007)g ，其中±后的数是扩展不确定度U(ms)，k=2。

需要指出的是:输出估计值y 及其标准不确定度u(y)或扩展不确定度U(y)的数值都不应给出过多的有效位数。一般来说，最终报告时，扩展不确定度U(y)至多为两位有效数字，即可取1～2位有效数字。但在计算过程中，为了避免修约误差，可能需要保留一些多余的位数。

按照1～2位有效位数，对测量不确定度的数值进行修约时，一般要将最末位后面的数都进位而不是舍去。例如:U(y)=10.4mm，应进位到11mm 。一旦测量不确定度的有效位数确定了，则应采用它的修约间隔来修约测量结果，以确定其有效位至哪一位。也就是说，当采用同一测量单位来表述测得值及其不确定度时，它们的有效位数应是对齐的。

6. 测量不确定度的分类和评定流程

归纳上述内容，可将测量不确定度的分类简示如下:

测量不确定度评定的总流程，可归纳示于图5.5-1。

(四) 测量不确定度应用实例

〔例5.5-6]高值电阻的测量

1. 测量任务

在某电子设备的生产中，需要使用1MΩ的高值电阻，设计要求其最大允许误差应在±0.1%以内。为此，对选用的高值电阻进行测量，以确定其电阻值是否满足预期的使用要求。

2. 测量方法

用一台数字多用表对被测电阻器的电阻进行直接测量，测量系统按图5.5-2连接。

3. 测量仪器

使用5位半的数字多用表一台，经检定合格并在有效期内。

用该数字多用表测量电阻的技术指标如下:

最大允许误差为:±(0.005%×读数+3×最低位数值) ；测量时所用档的满量程值为1999.9kΩ，最低位数值为0.01kΩ；当环境温度为(5～25) ℃时，温度系数的影响可忽略。

4. 实测记录

在室温(23±1) ℃下，用该数字多用表重复测得的显示值Ri 列于表5.5-2。

测量次数n=10

测量结果为

5. 测量不确定度评定 (1)测量模型电阻器的电阻值就等于数字多用表的电阻显示值R 。 (2)标准不确定度分量 ①A 类评定由实测数据估算平均值的实验标准差s(R)为:

故标准不确定度分量u1(R)为:

②B 类评定

根据数字多用表的技术指标，确定其最大允许误差的区间的半宽a 为:

a=0.005%R+3×0.01kΩ

设测量值在该区间内为均匀分布(矩形分布) 。由数字多用表不准引*的标准不确定度分量u2(R)为:

u2(R)=a/ =(0.005%×999.408KΩ+3×0.01kΩ)/1.73=0046kΩ

(3)合成标准不确定度由于上述2项标准不确定度分量之间不相关，所以合成标准不确定度uc(R)为:

(4)扩展不确定度取包含因子k=2，故扩展不确定度U 为:

U=ku。(R)=2×0.094kΩ=0.188kΩ≈0.2kΩ

6. 测量结果报告

电阻器的电阻值为R=(999.4±0.2)kΩ，扩展不确定度为U=0.2kΩ，包含因子k=2。可见，符合电阻器的设计要求(1000±1)kΩ，故该电阻器可用于某电子设备的生产中。

第六节测量控制体系

一、概述

测量控制体系，是指为实现测量过程的连续控制和计量确认所需的一组相关的或相互作用的要素。

有效的测量控制体系，可以保证测量设备和测量过程始终满足其预期的要求，从而保证测量结果的准确性。测量控制体系的目标，在于控制由测量设备和测量过程产生的不正确的测量结果及其影响。测量控制体系采用的方法不仅是测量设备的标准/检定，还包括应用统计技术对测量过程的变异做出评价。

为保证测量控制体系满足规定的计量要求，所有测量设备都须经过计量确认，而且测量过程应受控。因此，测量控制体系由两部分组成:(1)测量设备的计量确认:(2)测量过程实施

的控制。图5.6-1所示的是典型的测量控制体系。

二、测量设备的计量确认

计量确认是指为确保测量设备满足预期使用要求而进行的一组操作。所有的测量设备必须满足规定的计量要求，即必须经过确认，并在受控条件下使用，才能保证测量结果的有效性。由于不同测量过程的计量要求各不相同，因此，按某一特定测量过程的要求确认的测量设备也许不能用于其他的测量过程。

图5.6-2所示的是测量设备计量确认过程的流程图。

计量确认过程有两个输入，即顾客计量要求和测量设备特性；而确认过程的惟一输出，则是测量设备的确认状态，即测量设备是否满足顾客的计量要求。

顾客计量要求是指顾客根据相应的生产过程所规定的测量要求，它取决于被测量的情况。显然，确定计量要求属于顾客的职责范畴。但由于这项工作通常要求对生产过程有深刻的认识，并涉及专业的计量学知识，因此，在有些情况下，顾客也可委托具有相应技术能力和资格的专业人员代为完成。确定顾客计量要求时还需考虑不正确测量发生的风险，及其对相关产品质量的影响。顾客计量要求通常用最大允许误差、测量不确定度等技术指标来表述。

顾客计量要求一旦确定之后，就可据此选择合适的测量设备，或将已有测量设备的特性与之相比较，以确认测量设备是否满足这些要求。

测量设备的特性通常是通过一次或多次校准或检定确定的。将所确定的测量设备的特性与顾客计量要求进行比较后，即可确认测量设备是否符合预期使用要求。例如:将测量设备的示值误差与作为顾客计量要求之一的最大允许误差进行比较。如果示值误差小于最大允许误差，则确认该设备符合要求，可以使用；否则，需采取措施加以改进，待重新确认满足要求后，方可使用。

校准证书或校准报告中非常重要的信息之一，是关于校准结果测量不确定度的说明，它将用于使用该设备的测量过程不确定度的评价。

测量过程的一些重要特性，如测量不确定度等，不仅取决于测量设备本身，也取决于环境条件、测量程序等，有时还与观测者的技能和经验有关。为此，在选择测量设备时，关键的一点是将整个测量过程作为总体来考虑，以更好地满足使用要求。

以下举例说明测量设备计量确认的一般程序。

[例5.6-1]某生产过程对反应器压力的要求是应控制在(200～250)kPa 的范围内。据此，我们得出用于反应器的压力测量设备的计量要求如下:测量范围为(150～300)kPa ；最大允许误差为2kPa ；测量不确定度为0.3kPa(不包括与时间有关的效应) ；规定时间内的漂移不大于0.1kPa 。

比照此要求，顾客比较不同制造厂商提供的压力设备的技术指标(直接的或隐含的) ，从中挑选出最适配的测量设备和测量程序。例如:顾客可能最终选定了某厂家生产的一台准确度等级为0.5%、测量范围为(40～400)kPa 的压力计。

为确认所选压力计的性能满足反应器的压力测量要求，应对压力计进行校准。假设通过校准发现，在200kPa 时压力计的标值误差为3kPa ，而校准不确定度为0.3kPa 。显然，该压力计不满足规定的最大允许误差要求，暂时不能使用，而须进行调整。若经过调整之后重

新进行校准，示值误差为0.6kPa ，而校准不确定度仍为0.3kPa ，则该压力计已满足最大允许误差要求。假如我们还可证明它符合漂移要求的话，就可确认该压力计满足计量要求，可用于反应器的压力测量。

三、测量过程实施的控制

为控制测量过程的实施，不仅需确定该测量过程预期用途下所要求的特性，还需对这些特性进行分析/控制。测量过程的特性主要包括:最大允许误差、测量不确定度、稳定性、重复性、再现性等等。

应按规定的程序和时间间隔监控测量过程的实施，以确保能够及时发现测量过程中出现的问题，并迅速采取改进措施，避免偏离预期的要求。

测量过程的失控，例如由于核查标准退化或观测者技能不同等引起的问题，可通过一系列后过程活动来揭示，其中包括:控制图分析、趋势图分析、后续检验、实验室间比对、内部审核、顾客反馈等，特别是统计分析技术在测量控制体系中的应用起着非常重要的作用

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