YogiLin
范文一：高等数学教材word版 精品
目 录
一、函数与极限 ···········2
1、集合的概念 ··········2
2、常量与变量 ··········3
2、函数 ·············4
3、函数的简单性态 ········4
4、反函数 ············5
5、复合函数 ···········6
6、初等函数 ···········6
7、双曲函数及反双曲函数 ·····7
8、数列的极限 ··········8
9、函数的极限 ········· 10 10、函数极限的运算规则 ····· 11
一、函数与极限
1、集合的概念
一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给 定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能 构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母 A 、 B 、 C 、??表示集合,用小写拉丁字母 a 、 b 、 c ??表示集合中的元素。 如果 a 是集合 A 中的元素,就说 a 属于 A ,记作:a ∈ A ,否则就说 a 不属于 A ,记作:a ?A 。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作 N
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作 N +或 N +。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作 Z 。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作 Q 。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作 R 。
集合的表示方法
列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合
⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系
⑴、子集:一般地,对于两个集合 A 、 B ,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素,我们就 说 A 、 B 有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A ?B (或 B ?A )。。
⑵相等:如何集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,此时集合 A 中的元素与集合 B 中 的元素完全一样,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A =B 。
⑶、真子集:如何集合 A 是集合 B 的子集,但存在一个元素属于 B 但不属于 A ,我们称集合 A 是集合 B 的真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ?,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:
①、任何一个集合是它本身的子集。即 A ?A
②、对于集合 A 、 B 、 C ,如果 A 是 B 的子集, B 是 C 的子集,则 A 是 C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算
⑴、并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集。记作 A ∪ B 。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。)
即 A ∪ B ={x|x∈ A ,或 x ∈ B }。
⑵、交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集。记作 A ∩ B 。
即 A ∩ B ={x|x∈ A ,且 x ∈ B }。
⑶、补集:
①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。 通常记作 U 。
②补集:对于一个集合 A , 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集。简称为集合 A 的补集,记作 C U A 。
即 C U A ={x|x∈ U ,且 x A }。
集合中元素的个数
⑴、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。
⑵、用 card 来表示有限集中元素的个数。例如 A ={a,b,c },则 card(A)=3。
⑶、一般地,对任意两个集合 A 、 B ,有
card(A)+card(B)=card(A∪ B)+card(A∩ B)
我的问题:
1、学校里开运动会,设 A ={x|x是参加一百米跑的同学}, B ={x|x是参加二百米跑的同学}, C ={x|x是参加四百米跑的同学}。学校规定,每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项,请你用集合的 运算说明这项规定,并解释以下集合运算的含义。⑴、 A ∪ B ;⑵、 A ∩ B 。
2、在平面直角坐标系中,集合 C ={(x,y)|y=x}表示直线 y =x ,从这个角度看,集合 D={(x,y)|方程组:
2x-y=1,x+4y=5}表示什么?集合 C 、 D 之间有什么关系?请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。
3、已知集合 A={x|1≤ x ≤ 3}, B ={x|(x-1)(x-a)=0}。试判断 B 是不是 A 的子集?是否存在实数 a 使 A =B 成立?
4、对于有限集合 A 、 B 、 C ,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢?
5、无限集合 A ={1, 2, 3, 4,?, n ,?}, B ={2, 4, 6, 8,?, 2n ,?},你能设计一种比较 这两个集合中元素个数多少的方法吗?
2、常量与变量
⑴、变量的定义:我们在观察某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在过程中不 起变化,我们把其称之为 常量 ;有的量在过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,我们则把其称之为 变量 。 注:在过程中还有一种量,它虽然是变化的,但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的,我 们则把它看作常量。
⑵、变量的表示:如果变量的变化是连续的,则常用 区间 来表示其变化范围。在数轴上来说, 区间 是 指介于某两点之间的线段上点的全体。
以上我们所述的都是有限区间,除此之外,还有无限区间:
[a,+∞):表示不小于 a 的实数的全体,也可记为:a≤x<>
(-∞, b) :表示小于 b 的实数的全体,也可记为:-∞
(-∞,+∞):表示全体实数,也可记为:-∞
注:其中 -∞和+∞,分别读作
⑶、邻域:设 α与 δ是两个实数,且 δ>0. 满足不等式│x -α│<δ的实数 x="" 的全体称为点="" α的="" δ邻域,点="" α称为此邻域的中心,="">
2、函数
⑴、函数的定义:如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时,量 y 按照一定的法则 f 总有确 定的数值与它对应,则称 y 是 x 的 函数 。 变量 x 的变化范围叫做这个 函数的定义域 。通常 x 叫做 自变量 , y 叫做 函数值(或因变量) ,变量 y 的变化范围叫做这个 函数的值域 。 注 :为了表明 y 是 x 的函数,我们用 记号 y=f(x)、 y=F(x)等等来表示。 这里的字母
⑵、函数相等
由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应 关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,我们就称两个 函数相等 。
⑶、域函数的表示方法
a) :解析法 :用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。 例:直角坐标系中, 半径为 r 、圆心在原点的圆的方程是:x 2+y2=r2
b) :表格法 :将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。 例:在 实际应用中,我们经常会用到的平方表,三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c) :图示法 :用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量,纵坐标表 示因变量。 例:直角坐标系中,半径为 r 、圆心在原点的圆用图示法表示为:
3、函数的简单性态
⑴、 函数的有界性 :如果对属于某一区间 I 的所有 x 值总有│f(x)│≤M 成立, 其中 M 是一个与 x 无关 的常数,那么我们就称 f(x)在区间 I 有界,否则便称无界。
注:一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数
例题:函数 cosx 在 (-∞,+∞)内是有界的 .
⑵、函数的单调性 :如果函数 在区间 (a,b)内随着 x 增大而增大,即:对于 (a,b)内任意两点 x 1
及 x 2, 当 x 1
, 则称函数 在区间 (a,b)内是 单调增加 的。 如果函数
范文二：七年级上册教材(word版)
Unit 1 My name’s Gina.
2d Role play the conversation. 分角色表演对话 Linda: Good afternoon! My name’s Linda. Are you Helen?
Helen: Yes, I am. Nice to meet you, Linda.
Linda: Nice to meet you, too. What’s her
name? Helen: She’s Jane. Linda: Is he Jack?
Unit 2 This is my sister.
2d Role-play the conversation. 分角色表演对话。
Sally: Good morning, Jane. Jane: Good morning, Sally.
Sally: Oh, Jane, this is my sister Kate. Kate, This is my friend Jane. Kate: Nice to meet you, Jane.
Jane: Nice to meet you, too. Are those your parents?
Kate: Yes, they are. Jane: And who’s he?
A: That ________ my family. That’s my mother. B: ________ he?
A: ________ my father. B: Who’s ________? A: She’s ________ sister. B: And who ________ they? A: ________ my grandparents.
3b Look at the picture. Make sentences with the
words in the three boxes.
1a Add the words in the box to the family tree.
2b
Unit 3 Is this your pencil?
2d Role-play the conversation.
分角色表演对话。
Teacher：Hi, Anna. Are these your pencils? Anna: No, they’re Bob’s.
Teacher：And is this his green pen? Anna: No, it isn’t. The blue pen is his. Teacher：What about this dictionary? Anna: It’s Helen’s. And the green pen is hers,
3a Complete the questions and answer about each picture.
2b Read the notice on the board and circle the lost things.
Unit 4 Where’s my schoolbag?
2d Role-play the conversation. 分角色表演对话。
Mom: Come on, Jack!
Jack: Oh, no! Where’s my bag? Mom: Hmm…is it on your desk? Jack: No. And it’s not under the chair. Mom: Oh! It’s on the sofa.
Jack: Thank you, Mom. Err…where’s the map? Mom: I think it’s in your grandparents’ room. Jack: Yes, it’s on their bed! And my hat? Mom: It’s on your head!
3a
A: Where _____ the pencils?
B: I don’t know. ______ they in the _______? A: Yes, they are.
2b Read the passage and answer the questions: Is Kate tidy? Is Gina tidy? 阅读短文并回答问题：Is Kate tidy? Is Gina tidy?
2c
3a
Unit 5 Do you have a soccer ball?
2d Role-play the conversation.分角色表演对话。
Cindy: Hey Helen, let's go! We're late Helen: OK.
Cindy: Do you have the baseball? Helen: Yes, I do. It's in my bag. Cindy: And where's our baseball bat? Helen: Bill has it.
Cindy: Oh, yeah. And do you have your jacket?
3b Fill in the blanks with do or does. Then practice the conversations with your partner.
用do或does填空，然后与同伴练习对话。
2b Read the survey results in a school magazine and answer the question:
Who has a soccer ball? I
Bill: Sounds good. John likes hamburgers. Jack: Oh, I don't like salad.
Bill: But John likes salad, and it's his birthday. Jack: Yes, you're right. What about the fruit? Tom: I think John likes strawberries and apples. Bill: OK. Let's have strawberries and apples then.
范文三：民航建造师教材word版(部分)
1D410000民航机场工程技术
根据民航机场工程的实际要求，按照规定，一级民航机场工程建造师的专业包括：民航机场场道工程（含滑行道桥工程）、空管工程、航站楼弱电系统工程、民航机场目视助航工程4个专业的内容。
本章共五节，二十目，51条，综合了民航机场主要功能与构成、场道工程、空管工程、航站楼弱电系统工程及目视助航工程等方面的基本知识和基础技术。
本章的大部分内容应是重点要求的。本章所介绍的许多概念也是案例的工程技术基础，考生应认真掌握并灵活运用。
1D411000 民航机场的功能与构成
1D411010 民航机场的功能和分类
1D411011 民航机场的功能
一、民航机场主要功能
民航机场是航空运输的起点站、终点站，又是中转站和经停站。其功能如下：
（1）最根本的是供飞机安全、有序地起飞和着陆；
（2）在飞机起降前后，提供各种设施和设备，供飞机停靠指定机位；
（3）提供各种设施和方便，为旅客及行李、货物和邮件改变交通方式做好组织工作；
（4）提供各种设备和设施，安排旅客和货邮方便、安全、及时、快捷地上下飞机；
（5）提供包括飞机维修在内的各种技术服务，如通信导航监视、空中交通管制、航空气象、航行情报等（这些通常由所在机场的空管部门提供）
（6）一旦飞机发生事故时，能提供消防和应急救援服务；
（7）为飞机补充燃油、食品、水、及航材等，并清除、运走废弃物；
（8）为旅客和货邮的到达及离开机场提供方便的地面交通组织和设施（停车场和停车楼）；
（9）机场基本功能的扩大，即提供各种商业服务，如餐饮、购物、会展、休闲服务等。依托机场还可建立物流园区、临空经济区以及航空城等。
二、民航机场的功能分区
民航机场一方面要面向天空，送走出港的飞机，迎来进港的飞机；另一方面要面向陆地，供旅客、货物和邮件的进出，以便完成地面与空中两种运输方式的转变。机场包括了地面和空中两部分，作为交通运输系统，机场按功能划分则主要由以下3部分组成：
（1）飞行区；
（2）航站区；
（3）进出机场的地面交通系统。
进出机场的地面交通系统指由城市通向机场的道路系统，通常为公路，有时也会有轨道交通（地铁、轻轨）和水上交通。进出机场的地面交通系统的距离远近以及是否畅通影响客货的运输时间和航站楼的功能区面积。飞行区和航站区由机场当局管辖。进出机场的地面交通系统一般不由机场当局管辖，但在制定机场规划时必须统一考虑。
通常又将民航机场分为空侧和陆侧两部分。空侧（又称对空面或向空面）是受机场当局控制的区域，包括跑道、滑行道、停机坪等及相邻地区和建筑物（或其中的一部分），进入该区域是受管制的。陆侧则是为航空运输提供客运、货运及邮运服务的区域，非旅行的公众也能自由进出这部分区域的场所和建筑物。
三、民航机场的重要设施
除上述三个功能分区外，民航机场区域内的重要设施还有：
（1）机场空中交通管理设施，包括指挥塔台以及空中交通管制、通信导航监视、航行情报、航空气象等设施。
（2）应急消防救援设施，包括应急指挥中心、救援及医疗中心、消防站、消防供水系统等
设施。
（3）机场安全检查设施，包括旅客、货邮及工作人员等安检设施。
（4）机场保安设施，包括飞行区的保安设施、航站楼的保安设施、货运区保安设施、监控与报警系统。
（5）供油设施，包括卸油站、中转油库区、机场使用油库区、航空加油站、机坪管线加油系统以及地面汽车加油站等。卸油站和中转油库区一般位于机场边界之外。
（6）动力及电信系统，包括供电、供水、供气、供暖、供冷及电信等设施。
（7）货运区，包括货运仓库、货物集散地和办公设施以及货机坪。
（8）机场环境保障设施，包括防汛抗洪及雨水排放系统、污水处理与排放系统、污物垃圾处理设施、噪声监测及防治设施、鸟害及鼠害防治设施、绿化设施等。
（9）基地航空公司区，航空公司（或分公司）基地所在的机场，应为其安排停机坪、机库、维修车间和航材库等。
（10）属于机场的机务维护设施及地面服务设施等。
（11）旅客服务设施，如航空食品公司、宾馆、休息场所、商店及餐饮、娱乐、游览、会务等设施。
（12）驻场单位区，包括多功能联检单位（海关、边防、商检、卫生及动植物检疫等）、公安、银行、邮局、保险、旅行社等部门。
（13）机场办公及值班场所。
1D411012 民航机场的分类
一、按机场在航空运输网络中的地位划分
机场是航空运输系统网络的节点，按照其在该网络中的作用，通常可以分为枢纽机场、干线机场和支线机场。
（1）枢纽机场——国际、国内航线密集的机场。旅客在此可以很方便地中转到其他机场。根据业务量的大小，可分为大、中、小型枢纽机场。美国大型枢纽机场的中转旅客百分比很大，芝加哥奥黑尔机场和亚特兰大哈茨菲尔德机场的中转旅客超过50%。目前，国内一般认为北京首都国际机场、上海浦东国际机场和广州新白云国际机场为枢纽机场，但其中转百分比还不够大。
（2）干线机场——以国内航线为主，航线连接枢纽机场和重要城市（在我国指直辖市、各省会或自治区首府以及计划单列市和重要旅游城市），空运量较为集中，年旅客吞吐量达到某适当水平的机场。我国现有干线机场30多个。
（3）支线机场——经济比较发达的中小城市和一般旅游城市，或经济欠发达，但地面交通不便、空运量较少的城市地方机场。这些机场的航线多为本省区航线或邻近省区支线。
二、按进出机场的航线业务范围划分
（1）国际机场——有国际航线出入，因此设有海关、边防检查（护照检查）、卫生检疫、动植物检疫和商品检验等联检机构的机场。国际机场又分为国际定期航班机场、国际定期航班备降机场和国际不定期航班机场。
（2）国内航线机场——专供国内航线使用的机场。
（3）地区航线机场——在我国指大陆民航运输企业与香港、澳门、台湾等地区之间定期或不定期航班飞行使用，并设有相应（类似国际机场的）联检机构的机场。我国的地区航线机场应属国内航线机场。
在国外，地区航线机场通常是指为适应个别地区空管需求，可提供短程国际航线起降的机场。
三、按跑道导航设施等级划分
跑道配置导航设备的标准，反映了机场所具有的飞行安全和航班正常率保障设施的完善程度，是机场运行的重要指标。该标准需根据机场性质、地形和环境、当地气象、起降飞机类
型及年飞行量等因素进行综合研究加以确定。跑道导航设施等级按配置的导航设施可提供飞机以何种进近程序飞行而划分。具体按以下标准划分：
（1）非仪表跑道——飞机用目视进近程序飞行的跑道，代字为V 。
（2）仪表跑道——供飞机用仪表进近程序飞行的跑道，可分为：
1）非精密进近跑道——装备相应的目视助航设备和非目视助航设备的仪表跑道，能足以为直接进近提供方向性引导，代字为NP ；
2）Ⅰ类精密进近跑道——装备Ⅰ类仪表着陆系统和目视助航设备的仪表跑道，代字为CA T Ⅰ（见1D413011）；
3）Ⅱ类精密进近跑道——装备Ⅱ类仪表着陆系统和目视助航设备的仪表跑道，代字为CAT Ⅱ（见1D413011）；
4）Ⅲ类精密进近跑道——装备Ⅲ类仪表着陆系统和目视助航设备的仪表跑道，该系统可引导飞机直至跑道，并沿道面着陆及滑跑。它又根据对目视助航设备的需要程度分为A 、B 、C 三类，分别以CAT ⅢA 、CAT ⅢB 、CAT ⅢC 为代字（参见1D413011）。
国内装备了Ⅱ类精密进近仪表着陆系统的机场有北京首都国际机场、上海浦东国际机场、广州新白云国际机场、成都双流机场、西安咸阳机场等；装备有Ⅰ类精密进近系统的机场有天津滨海国际机场、三亚凤凰机场、重庆江北机场等；国外，在美国纽约肯尼迪机场的四条主要跑道中，分别安装了Ⅲ类或Ⅱ类精密进近系统；在英国伦敦希思罗机场的三条可供使用的跑道中，其中一条跑道两端均装有Ⅱ类精密进近系统；还有一条跑道一端装有Ⅱ类精密进近系统，而另一端装有Ⅲ类精密进近系统。
范文四：初高中数学衔接教材word版
初高中数学衔接教材
目
引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 1. 1 提取公因式
1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1. 3分组分解法
1. 4十字相乘法（重、难点）
1. 5关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 第三讲 三角形的“四心”
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a +b )(a -b ) =a 2-b 2； （2）完全平方公式 (a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 (a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3； （2）立方差公式 (a -b )(a 2+ab +b 2) =a 3-b 3；
（3）三数和平方公式 (a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac ) ； （4）两数和立方公式 (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； （5）两数差立方公式 (a -b ) 3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x +1)(x -1)(x -x +1)(x +x +1) ．
2222
?(x +1) -x 解法一：原式=(x -1) ???
录
22
=(x 2-1)(x 4+x 2+1) =x -1．
解法二：原式=(x +1)(x 2-x +1)(x -1)(x 2+x +1) =(x 3+1)(x 3-1) =x -1．
例2 已知a +b +c =4，ab +bc +ac =4，求a +b +c 的值． 解： a +b +c =(a +b +c ) -2(ab +bc +ac ) =8．
练 习
1．填空：
2
2
2
2
2
2
2
66
121211
a -b =(b +a ) （ ）； 9423
22
（2）(4m + ) =16m +4m +( ) ；
（1）
2222
(3 ) (a +2b -c ) =a +4b +c +( ) ． 2．选择题：
1
1
mx +k 是一个完全平方式，则k 等于 （ ） 2
1212122
（A ）m （B ）m （C ）m （D ）m
416322
（2）不论a ，b 为何实数，a +b -2a -4b +8的值 （ ）
（1）若x +
2
（A ）总是正数 （B ）总是负数
（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数
第一讲 因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）x 2-(a +b ) xy +aby 2； （4）xy -1+x -y ．
解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有
x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2) ．
1 x x 1 －2 －1 －ay －1
1 x x 1 6 －2 －by －2
图1．1－1 图1．1－3 图1．1－4 图1．1－2
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6) ． （3）由图1．1－4，得
x 2-(a +b ) xy +aby 2＝(x -ay )(x -by ) （4）xy -1+x -y ＝xy ＋(x －y ) －1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
课堂练习 一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）x +5x -6=__________________________________________________。 （2）x -5x +6=__________________________________________________。 （3）x +5x +6=__________________________________________________。 （4）x -5x -6=__________________________________________________。 （5）x -(a +1)x +a =__________________________________________________。
2222
x y
－1 1
图1．1－5
2
（6）x -11x +18=__________________________________________________。 （7）6x +7x +2=__________________________________________________。 （8）4m -12m +9=__________________________________________________。 （9）5+7x -6x =__________________________________________________。 （10）12x +xy -6y =__________________________________________________。
2
2
2
2
2
2
2
2、x 2-4x +=(x +3)(x + )
3、若x 2+ax +b =(x +2)(x -4)则a = ，b = 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）x +7x +6（2）x +4x +3（3）x +6x +8（4）x +7x +10 （5）x +15x +44中，有相同因式的是（ ） A 、只有（1）（2） B 、只有（3）（4） C 、只有（3）（5） D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式a +8ab -33b 得（ ） A 、(a +11)( a -3) B 、(a +11b )( a -3b ) C 、(a -11b )( a -3b ) D 、(a -11b )( a +3b ) 3、(a +b )+8(a +b )-20分解因式得（ ）
2
2
2
22
2
2
2
A 、(a +b +10)( a +b -2) B 、(a +b +5)( a +b -4) C 、(a +b +2)( a +b -10) D 、(a +b +4)( a +b -5)
4、若多项式x -3x +a 可分解为(x -5)(x -b )，则a 、b 的值是（ ）
2
A 、a =10，b =2 B 、a =10，b =-2 C 、a =-10，b =-2 D 、a =-10，b =2 5、若x 2+mx -10=(x +a )( x +b )其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、±3 C 、±9 D 、±3或±9 三、把下列各式分解因式
1、6(2p -q )-11(q -2p )+3 2、a -5a b +6ab
2
3
2
2
2
3、2y -4y -6 4、b -2b -8 2．提取公因式法
例2 分解因式： 32
（2）x +9+3x +3x a 2(b -5)+a (5-b )
解： （1）．a 2(b -5)+a (5-b )=a (b -5)(a -1)
32
（2）x +9+3x +3x =(x 3+3x 2) +(3x +9) =x 2(x +3) +3(x +3)
2
=(x +3)(x +3) ．
42
（1）
或
x 3+9+3x 2+3x ＝(x 3+3x 2+3x +1) +8＝(x +1) 3+8＝(x +1) 3+23
＝[(x +1) +2][(x +1) -(x +1) ?2+2] ＝(x +3)(x +3) 课堂练习： 一、填空题：
1、多项式6x y -2xy +4xyz 中各项的公因式是_______________。 2、m (x -y )+n (y -x )=(x -y )?__________________。 3、m (x -y )+n (y -x )=(x -y )?____________________。
2
2
2
2
2
2
2
2
4、m (x -y -z )+n (y +z -x )=(x -y -z )?_____________________。 5、m (x -y -z )-x +y +z =(x -y -z )?______________________。 6、-13ab x -39a b x 分解因式得_____________________。 7．计算99+99二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、2a b -4ab =2ab (a -b )?????????????????????? （ ）
2
222
6
32
5
2、am +bm +m =m (a +b )??????????????????????? （ ） 3、-3x +6x -15x =-3x x +2x -5????????????????? （ ） 4、x +x
n
n -13
2
(
2
)
=x n -1(x +1)???????????????????????? （ ）
3
3：公式法
例3 分解因式： （1）-a +16 （2）(3x +2y )-(x -y )
4
22
解：(1)-a +16=42-(a 2) 2=(4+a 2)(4-a 2) =(4+a 2)(2+a )(2-a )
(2) (3x +2y )-(x -y )=(3x +2y +x -y )(3x +2y -x +y ) =(4x +y )(2x +3y ) 课堂练习
2
2
4
一、a -2ab +b ，a -b ，a -b 的公因式是______________________________。 二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
222233
4?2??2??2?2
1、x 2-0. 01= x ?-(0. 1)= x +0. 1? x -0. 1??????????? （ ）
9?3??3??3?
22
2、9a 2-8b 2=(3a )-(4b )=(3a +4b )( 3a -4b ) ????????????? （ ） 3、25a 2-16b =(5a +4b )( 5a -4b )??????????????????? （ ） 4、-x 2-y 2=-x 2-y 2=-(x +y )( x -y )???????????????? （ ）
2
()
5、a 2-(b +c )=(a +b +c )( a -b +c )?????????????????? （ ） 五、把下列各式分解
2
1、-9(m -n )+(m +n ) 2、3x -
2
2
2
3、4-x 2-4x +2 4、x -2x +1 4．分组分解法
例4 （1）x 2-xy +3y -3x （2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6．
（2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6=2x 2+(y -4) x -y 2+5y -6 =2x 2+(y -4) x -(y -2)(y -3) =(2x -y +2)(x +y -3) ．
或
()
1 3
2
2
4
2x 2+xy -y 2-4x +5y -6=(2x 2+xy -y 2) -(4x -5y ) -6
=(2x -y )(x +y ) -(4x -5y ) -6 =(2x -y +2)(x +y -3) ．
2222
课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）x -y +a -b +2ax +2by
（2）a -4ab +4b -6a +12b +9
5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 的因式分解．
若关于x 的方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1、x 2，则二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 就可分解为
2
22
a (x -x 1)(x -x 2) .
例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1）x +2x -1； （2）x 2+4xy -4y 2．
解： （1）令x +2x -1=0
，则解得x 1=-1
x 2=-1，
∴x +2x -
1=?x -(-1+??x -(-1?
222
????
=(x +1x +1．
（2）令x +4xy -4y =0
，则解得x 1=(-2+
y ，x 1=(-2-y ， ∴x +4xy -
4y =[x +2(1y ][x +2(1y ]．
4
2
2
2
2
练 习 1．选择题：
多项式2x 2-xy -15y 2的一个因式为 （ ） （A ）2x -5y （B ）x -3y （C ）x +3y （D ）x -5y 2．分解因式：
（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；
（3）x 2－2x －1； （4）4(x -y +1) +y (y -2x ) ．
习题1．2
1．分解因式：
（1） a +1； （2）4x -13x +9；
（3）b +c +2ab +2ac +2bc ； （4）3x 2+5xy -2y 2+x +9y -4． 2．在实数范围内因式分解：
（1）x -5x +3 ； （2
）x --3；
（3）3x 2+4xy -y 2； （4）(x 2-2x ) 2-7(x 2-2x ) +12． 3．?ABC 三边a ，b ，c 满足a +b +c =ab +bc +ca ，试判定?ABC 的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a ) ．
第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，
如求方程的根（1）x +2x -3=0(2) x +2x +1=0 (3) x +2x +3=0}
我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为
2
2
2
2
2
2
22
2
342
2
b 2b 2-4ac
) = (x +． ① 22a 4a
因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是
（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－
-b x 1，2
＝
2a
b ； 2a
（3）当b 2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根
5
x 1，2
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－
b ； 2a
（3）当Δ0，所以方程一定有两个不等的实数根
，
x 2=． x 1=
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a 2－4×1×(a －1) ＝a 2－4a ＋4＝(a －2) 2，
所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a ) ， 所以
①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a 1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根
2
-b +-b x 1=
，x 2=，
2a 2a
则有
-2
b b
x 1+x 2===-；
2a a
2
-b +-b b 2-(b -4ac ) 4ac c
x 1x 2===2=． 2
2a 2a 4a 4a a
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知
x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，
即 p ＝－(x 1＋x 2) ，q ＝x 1·x 2，
2
所以，方程x ＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，
2
x 1，x 2也是一元二次方程x －(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0．
6
b c
，x 1·x 2＝．这一关系也被称为韦达定理． a a
例2 已知方程5x +kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．
所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－所以，方程的另一个根为－
2
3． 5
3
，k 的值为－7． 5
63，∴x 1＝－． 55
解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－
例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2) x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大
21，求m 的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2) ，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，
222
∴(x 1＋x 2) －3 x1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]－3(m ＋4) ＝21，
化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17． 当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×2930．
②
17
由①得 a － 4411
（C ）m －，且m ≠0
44
2．填空:
（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则
11
+＝． x 1x 2
（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是
． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3|b -1|=0，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？
8
4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x2－3) 的值．
习题2.1 A 组
1．选择题:
（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：
①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为-
④方程3 x2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．
（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x1－x 2|＝
3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数
根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为
（ ）
（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:
（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．
（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2) ＞x 1x 2，求实数k 的取值范围． 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x1－x 2|和
7； 3
x 1+x 2
； 2
（2）x 13＋x 23．
5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x1－x 2|＝2，求实数m 的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于
（ ）
（A
（B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则
（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m ) x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
9
x 1x 2
+的值为 （ ） x 2x 1
3
（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）
2
（ ）
（A ）α＋β≥
11
（B ）α＋β≤ （C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1 22
（4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b ) x ＋
（ ）
（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根 2．填空：
若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ． 3． 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x1－2 x2) ＝－（2）求使
c
＝0的根的情况是 4
3
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； 2
x 1x 2
+－2的值为整数的实数k 的整数值； x 2x 1
x
（3）若k ＝－2，λ=1，试求λ的值．
x 2
m 2
=0． 4．已知关于x 的方程x -(m -2) x -4
2
（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2． 5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．
2．2 二次函数
2
2.2.1 二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 的图象和性质
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，
如作图（1）y =x (2) y =-x (3) y =x +2x -3 教师可采用计算机绘图软件辅助教学}
22
问题1 函数y ＝ax 与y ＝x 的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝
2
2
2
之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 12
x ，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象2
的值扩大两倍就可以了． 象（如图2－1所示），从
2
数y ＝2x 的图象可以由函
再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y ＝a (x ＋h ) 2＋k 与y ＝ax 2的图象之间
12
x ，y ＝－2x 2的图象，2
系．
各点的纵坐标变为原来的决定了图象的开口方向和存在怎样的关系？
图2.2-2
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1) 2
＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1) 2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1) 2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝a (x ＋h ) 2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：
所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：
b b b 2b 22
由于y ＝ax ＋bx ＋c ＝a (x ＋x ) ＋c ＝a (x ＋x ＋2) ＋c －
a a 4a 4a
b 2b 2-4ac ) + =a (x +， 2a 4a
2
2
b b 4ac -b 2
, ) ，对称轴为直线x ＝－；（1）当a ＞0时，函数y ＝ax ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为(-
2a 2a 4a
b b b
当x -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝-时，函数取最小值y ＝
2a 2a 2a
4ac -b 2
． 4a
b b 4ac -b 22
, ) ， （2）当a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝-时，函数取最大值y ＝
2a 2a 2a
4ac -b 2
． 4a
2
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
图2.2-4 图2.2-3
例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、
最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－
3(x ＋1) 2＋4， ∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4) ；
当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；
当x －1时，y 随着x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A (－1，4)) ，与x 轴交于点
B 和
C (，与y 轴的交点为D (0，1) ，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
2
函数y ＝ax ＋bx ＋c 图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数a 决定
（2） 确定对称轴：对称轴方程为x =-
b 2a
2
（3） 确定图象与x 轴的交点情况，①若△>0则与x 轴有两个交点，可由方程x ＋bx ＋c=0求出②①若△=0
2
则与x 轴有一个交点，可由方程x ＋bx ＋c=0求出③①若△<0则与x>
（4） 确定图象与y 轴的交点情况, 令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c ） （5） 由以上各要素出草图。
练习：作出以下二次函数的草图
（1）y =x 2-x -6 (2)y =x 2+2x +1 (3) y =-x 2+1
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表
时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120) ，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有
?70=130k +b ,
解得 k ＝－1，b ＝200． ?
?50=150k +b ,
∴ y ＝－x ＋200．
设每天的利润为z （元），则
z ＝(－x +200)(x －120) ＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160) 2＋1600，
∴当x ＝160时，z 取最大值1600．
答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．
b 2b 22
解法一：y ＝x ＋bx ＋c ＝(x +) +c -，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到
42
b b 22
y =(x ++4) +c -+2的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，
24?b
--4=0, ??2 ? 解得b ＝－8，c ＝14． 2
b ?c -+2=0, ?4? 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4) 2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．
例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4) ，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；
（2）当－20时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0) ，B (x 2，0) ，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以
b c b c
，x 1x 2＝， 即 ＝－(x 1＋x 2) ， ＝x 1x 2． a a a a
b c 2
所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x +x +) = a[x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1x 2]＝a (x －x 1) (x －x 2) ．
a a
x 1＋x 2＝-
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0) ，B (x 2，0) 两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上， 所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）． 设该二次函数的解析式为y =a (x -2) 2+1(a <0)>
∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴-1=a (3-2) 2+1，解得a ＝－2．
∴二次函数的解析式为y =-2(x -2) 2+1，即y ＝－2x 2＋8x －7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，
∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，
-12a 2-4a 2
=-4a ， 顶点的纵坐标为
4a
1． 2
123123
所以，二次函数的表达式为y ＝x +x -，或y ＝－x -x +．
2222
由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝±
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，
可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0) ，或(1，0) ，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，∴对称轴为直线x ＝－1．
又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1) 2＋2，或y ＝a (x ＋1) 2－2，由于函数图象过点(1，0) ，
11，或a ＝． 22
11
所以，所求的二次函数为y ＝－(x ＋1) 2＋2，或y ＝(x ＋1) 2－2．
22
∴0＝a (1＋1) 2＋2，或0＝a (1＋1) 2－2．∴a ＝－
说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今
后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
由函数图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，可得
?-22=a -b +c , ?
?-8=c ,
?8=4a +2b +c , ?
解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．
所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
练 习 1．选择题:
（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定
1
（2）函数y ＝－ (x ＋1) 2＋2的顶点坐标是 （ ）
2
（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0) 和(2，0) ，则该二次函数的解析式可设为y ＝a
(a ≠0) ．
（2）二次函数y ＝－x 23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2) ，(0，－3) ，(－1，－6) ； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11) ；
（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0) 和(1＋2，0) ，并与y 轴交于(0，－2) ．
2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为 y ＝2(x －1) 2－1，其顶点坐标为(1，－1) ． （1）把函数y ＝2(x －1) 2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2) ，
所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x －3) 2－2． （2）把函数y ＝2(x －1) 2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2) ，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x ＋1) 2＋2．
2．对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题． 例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： （1）直线x ＝－1；
（2）直线y ＝1． 解：（1）如图2．2－7，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．
222
由于y ＝2x －4x ＋1＝2(x －1) －1，可知，函数y ＝2x －4x ＋1图象的顶点为A (1,－1) ，所以，对称后所得到图象的顶点为A 1(－3，
2
1) ，所以，二次函数y ＝2x －4x ＋1的图象关于直线x ＝－1对称后所
2即y ＝2x 2＋12x ＋17． 得到图象的函数解析式为y ＝2(x ＋3) －1，
（2）如图2．2－8，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状． 由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1) 2－
－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1)
B (1，3) 线y ＝1－2x 2＋4x ＋1．
1，可知，函数y ＝2x 2所得到图象的顶点为－4x ＋1的图象关于直－2(x －1) 2＋3，即y ＝
练 习 1．选择题：
图2.2－8
（1）把函数y ＝－(x －1) 2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所
得图象对应的解析式为 （ ） （A ）y ＝ (x ＋1) 2＋1 （B ）y ＝－(x ＋1) 2＋1 （C ）y ＝－(x －3) 2＋4 （D ）y ＝－(x －3) 2＋1
第三讲 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
图3.2-1 图3.2-2
如图3.2-1 ，在三角形△ABC 中，有三条边AB , BC , CA ，三个顶点
在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心. 三角形的角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知 D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，
图3.2-3
A , B , C ，
段. 重心在三
求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE ，设AD 、BE 交于点G ，
1E =E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且D Q D 、
2\V GDE ∽V GAB ，且相似比为1：2，
，
\AG =2GD , BG =2GE .
图3.2-4
设AD 、CF 交于点G ' ，同理可得，AG ' =2G ' D , CG ' =2G ' F . 则G 与G ' 重合，
\ AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 的内部，它到三角形的三边的距离相等. （如图3.2-5）
例
2 已知V ABC
的三边长分别为
三角形的内心在三角形
图3.2-5
BC =a , AC =b , AB =c ，I 为V ABC 的内心，且I 在B 、C 、
A D 、E 、F ，求证：AE =AF =上的射影分别为
V ABC
的边
b +c -a
. 2
三边上的切点，
证明 作V ABC 的内切圆，则D 、E 、F 分别为内切圆在
Q AE , AF 为圆的从同一点作的两条切线，
同理，BD =BF ，CD =CE .
\A E =A F ，
\b +c -a =AF +BF +AE +CE -BD -CD
=AF +AE =2AF =2AE
即AE =AF =
图3.2-6
b +c -a
. 2
例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形ABC 的重心和内心. 求证 三角形ABC 为等边三角形.
证明 如图，连AO 并延长交BC 于D .
Q O 为三角形的内心，故AD 平分DBAC ，
\
AB BD
=（角平分线性质定理） AC DC
图3.2-7 同理可得，AB =BC .
\V ABC 为等边三角形.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心. 锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. （如图3.2-8）
D 为BC 的中点，即BD =DC . Q O 为三角形的重心，
AB \=1，即AB =AC . AC
例4 求证：三角形的三条高交于一点.
图3.2-8
已知 V ABC 中，AD ^BC 于D , BE ^AC 于E ，AD 与BE 交于H 点. 求证 C H ^A B .
证明 以CH 为直径作圆，
Q AD ^BC , BE ^AC , \? HDC
\D 、E 在以CH 为直径的圆上， \? FCB DEH .
? HEC
90o ,
同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得? BED \? BCH BAD ，
又V ABD 与V CBF 有公共角DB ，\? CFB
BAD .
? ADB
图3.2-9
90，即CH ^AB .
o
过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
练习1
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.
2． （1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的内切圆的半径是___________;
（2）若直角三角形的三边长分别为a 、b 、c （其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.
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高中数学人教 B 版教材目录
高中数学(B 版)必修一
第一章 集合
第二章 函数
函数的概念和性质,
一次函数和二次函数,
函数与方程
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
指数与指数函数
对数与对数函数
幂函数
高中数学(B 版)必修二
第一章 立体几何初步
空间几何体的表面积和体积
三视图
第二章 平面解析几何初步
中点坐标公式 两点间距离公式
直线方程
圆的方程
空间直角坐标系(文不学)
高中数学(B 版)必修三
第一章 算法初步
程序(主要是和必修五数列的内容结合考)
第二章 统计
茎叶图 和 ??
第三章 概率
古典概型 (文的重点)
高中数学(B 版)必修四
第一章 基本初等函 (Ⅱ )
任意角的概念与弧度制
任意角的三角函数
三角函数的图象与性质(主要是以三角函数的图像)
第二章 平面向量
向量的线性运算
向量的分解与向量的坐标运算
平面向量的数量积(重点)
第三章 三角恒等变换
和角公式
倍角公式和半角公式 (诱导公式)
高中数学(B 版)必修五
第一章 解三角形
正弦定理和余弦定理
第二章 数列
数列(一般数列的通项和前 N 项和,递推公式)
等差数列
等比数列
第三章 不等式
均值不等式
一元二次不等式及其解法(与集合放在一起,或者是解答题中) 二元一次不等式(组)与简单线性规划问题(直线)
(文)高中数学(B 版)选修 1-1
第一章 常用逻辑用语
命题与量词
基本逻辑联结词
充分条件、必要条件与命题的四种形式(一般会出选择题) 第二章 圆锥曲线与方程
椭圆
双曲线
抛物线
第三章 导数及其应用
导数
导数的运算
高中数学(B 版)选修 1-2
第一章 统计案例
第二章 推理与证明
第三章 数系的扩充与复数的引入
第四章 框图
选修 2-1
第一章 常用逻辑用语
命题及其关系 充分条件与必要条件
简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词
第二章 圆锥曲线与方程
曲线与方程 椭圆 双曲线 抛物线
第三章 空间向量与立体几何
空间向量及其运算
阅读与思考
向量概念的推广与应用
立体几何中的向量方法
选修 2-2
第一章 导数及其应用
变化率与导数
导数的计算
导数在研究函数中的应用
定积分的概念
微积分基本定理
定积分的简单应用
第二章 推理与证明
合情推理与演绎推理
直接证明与间接证明
数学归纳法
第三章 数系的扩充与复数的引入
数系的扩充和复数的概念
复数代数形式的四则运算
选修 2-3
第一章 计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 排列与组合
探
二项式定理
第二章 随机变量及其分布
离散型随机变量及其分布列
二项分布及其应用
离散型随机变量的均值与方差
第三章 统计案例
回归分析的基本思想及其初步应用 独立性检验的基本思想及其初步应用
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