范文一：二次根式的加减

21.3.1 二次根式的加减

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法.

先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经 验,用它来指导根式的计算和化简.

重难点关键

1.重点:二次根式化简为最简根式.

2.难点关键:会判定是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

学生活动:计算下列各式.

(1) 2x+3x; (2) 2x 2-3x 2+5x2; (3) x+2x+3y; (4) 3a 2-2a 2+a3

教师点评:上面题目的结果,实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字母不 变,系数相加减.

二、探索新知

学生活动:计算下列各式.

(1)

(2)

(3

(4)

老师点评:

(1

x ,不就转化为上面的问题吗?

(2+3

(2

y ;

(2-3+5

(3

z ;

(1+2+3

(4

x

y .

(3-2

因此,二次根式的被开方数相同是可以合并的,如

可以合并吗?可以的.

(板书)

所以, 二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式, ? 再将被开方数相同的二次根 式进行合并.(注意:1、二次根式的加减分两个步骤:①化为最简二次根式;②合并被开方数相

同的二次根式; 2

)

例 1. 计算

(1

(2

分析 :第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根 式进行合并.

解:(1

(2+3

(2

(4+8

例 2. 计算

(1)

(2

+

解:(1)

(12-3+6

(2

+

三、巩固练习

教材 P 19练习 1、 2. 四、应用拓展

例 3.已知 4x 2+y2-4x-6y+10=0

,求( 2

3

+y

-(x

)的值.

分析:本题首先将已知等式进行变形,把它配成完全平方式,得(2x-1) 2+(y-3) 2=0,即 x= 1

2

, y=3.其

次,根据二次根式的加减运算,先把各项化成最简二次根式, ? 再合并同类二次根式,最后代入求值. 解:∵ 4x 2+y2-4x-6y+10=0

∵ 4x 2-4x+1+y2-6y+9=0

∴(2x-1) 2+(y-3) 2=0

∴ x= 1 2 , y=3

原式

=

2

3

2

当 x= 1

2

, y=3时,

原式 = 1

2

4

五、归纳小结

本节课应掌握:(1)不是最简二次根式的,应化成最简二次根式;(2)相同的最简二次根 式进行合并.

六、布置作业

1.教材 P 21习题 21. 3 1、 2、 3、 5.

2.选作课时作业设计.

提高题:

一、填空题

1

).

2

、

________

)

3.计算二次根式

________.(答案:

三、综合提高题

1

2.236

-

0.01) 解:原式

3

5

4

5

12

5

1

51

5

32.236≈ 0.45

2.先化简,再求值.(

-(

x=32, y=27. 解:原式

(

=(6+3-4-6

当 x=

32, y=27时,原式

9

23.

n m 、 n 的值. 4.如图所示的 Rt △ ABC 中,∠ B=90°,点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1厘米 /? 秒

的速度向点 A 移动;同时,点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2厘米 /秒的速度 向点 C 移动.问:几秒后△ PBQ 的面积为 35平方厘米? PQ 的距离是多少厘米?

(结果用最简二次根式表示)

(分析:设 x 秒后△ PBQ 的面积为 35平方厘米, 那么 PB=x, BQ=2x, ? 根据三角形面积公式就可以求出 x 的值. 解:设 x 后△ PBQ 的面积为 35平方厘米. ) 则有 PB=x, BQ=2x 依题意,得:

1

2

x 22x=35 ; x 2=35; PBQ 的面积为 35平方厘米.

=

== PBQ 的面积为 35平方厘米, PQ 的距离为

5.同学们,我们以前学过完全平方公式 a 2±2ab +b2=(a ±b ) 2,你一定熟练掌握了吧 ! 现在,我们 又学习了二次根式,那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方,如 3=2, 5=2,你知道是谁的二次根式呢?下面我们观察:

) 2=2-22112) 2 ∴ )

2

求:(1

(2

(3

=

(4

,则 m 、 n 与 a 、 b 的关系是什么?并说明理由.

解:m n a

mn b

+=??

=? 理由:两边平方得 a ±

±

所以 a m n b mn =+??=?

6

,则 m 、 n 与 a 、 b 的关系是什么?并说明理由.

解:依题意,得 2223241012m m n ?-=-??-=?? , 2

283m n ?=??=??

, m n ?=±??=??

所以 m n ?=??=??

m n ?=-??=??

或 m n ?=??=??

或 m n ?=-??=??

四、应用拓展

若最简根式

3a

a 、 b 的值.(? 同类二

次根式就是被开方数相同的最简二次根式)

( 分 析 :同 类 二 次 根 式 是 指 几 个 二 次 根 式 化 成 最 简 二 次 根 式 后 , 被 开 方 数 相 同 ; ? 事 实 上 , 根

式

化简成 |b|

才由同类二次

根式的定义得 3a-?b=?2, 2a-b+6=4a+3b.)

由题意得 432632a b a b a b +=-+??-=? ∴ 246

32a b a b +=??-=?

∴ a=1, b=1

21.3.2 二次根式的加减

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除;多项式与单项式相乘、相除;多项式与多项式 相乘、相除;乘法公式的应用.

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.

重难点关键

重点:二次根式的乘除、乘方等运算规律;

难点关键:由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

教学过程

一、复习引入

学生活动:请同学们完成下列各题 :

1.计算

(1)(2x+y)2zx (2)(2x 2y+3xy2)÷ xy

2.计算

(1)(2x+3y)(2x-3y ) (2)(2x+1) 2+(2x-1) 2

老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1) ? 单项式3单项式;(2)单 项式3多项式;(3)多项式÷单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用.

二、探索新知

如果把上面的 x 、 y 、 z 改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢? ? 仍成立. 整式运算中的 x 、 y 、 z 是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切, ? 当然也可以代 表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式.

例 1.计算 :

(1

(2)(

(分析 :刚才已经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律, ? 所以直接可用整式的运算规律.)

解:(1

(2)、(

3 2

例 2. 计算

(1

)(

(2

(分析:刚才已经分析,二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立. )

解:(1

)(

2+

(2

=

2-

2 =10-7=3

三、巩固练习

课本 P 20练习 1、 2. 四、应用拓展

例 3.已知 x b

a

-

=2-

x a

b

-

,其中 a 、 b 是实数,且 a+b≠ 0

,

并求值.

(分析

=1,因此对代数式的化简,可先将分母有理化,再通过解

含有字母系数的一元一次方程得到 x 的值,代入化简得结果即可.)

解:原式

=(x+1)

=4x+2

∵ x b

a

-

=2-

x a

b

-

; ∴ b (x-b ) =2ab-a(x-a )

∴ bx-b 2=2ab-ax+a2 ; ∴(a+b) x=a 2+2ab+b2; ∴(a+b) x=(a+b) 2∵ a+b≠ 0 ; ∴ x=a+b

∴原式 =4x+2=4(a+b) +2

五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.

六、布置作业

1.教材 P 21习题 21. 3 1、 8、 9.

2.选用课时作业设计.

作业设计

一、选择题

1

20

3

).

2

答案:1 ).

二、填空题

1.(- 1

2

+

2

) 2的计算结果(用最简根式表示)是 ________.(答案:

1-2 )

2.(

-(

) 2的计算结果(用最简二次根式表示)是多少?(答案:

)

3.若

,则 x 2+2x+1=________.(答案:2 )

4.已知

a 2b-ab 2=_________.(答案:

三、综合提高题

1

= -

2.当

的值.(结果用最简二次根式表示)

=

22

2(1) () 2

1

x x x

x

+++?

+

=

2(1)(1)

1

x x x

x

+++

+

= 2(2x+1)

∵

原式=2(

)

课外知识

1、 互为有理化因式:? 互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b ) =a2-b 2,同

时它们的积是有理数, 不含有二次根式:如

与

练习

________;

_________.

_______.

2、分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、 ? 分母上同乘以一个二次根式,达到化去分母中的根号的 目的.

练习:把下列各式的分母有理化

(1

(2

; (3

(4

.

3.其它材料:如果 n

=

.

范文二：二次根式的加减

例1 选择题：

（12是同类二次根式的是（ ）

A. 12 B. C. D. 18

232－a2a－3

（2）若2与a的值是（ ）

64

2051315A. B. C. D. 13388

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一点通：（1）要判断两个二次根式是不是同类二次根式，需要先将它们化为最简二次根

66

12＝23，＝，＝18＝2。由此可得，

2233选D。（2）由题意可知，这两个二次根式化简后的被开方数相同。因此，先把这两个二次根

2－a12a－3

式进行化简：212－6a，6＝2a－3。依题意，知12－6a＝2a－3，

634

2－a2a－31515

解得aa0，0，故选D。

8864

答案：（1）D；（2）D。

例4 计算：（1）abab－ab）； （2）2－12）（18＋48）； （3）（2＋5）（5－2）； （4）（3－23）2。

一点通：（1）题可用分配律；（2）题可用多项式乘以多项式的法则；（3）、（4）题可用乘法公式。

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答案：（1）ab＋ab－abab＝（ab＋ab－abab＝abab＋abab－ab＝a2b＋ab2－ab；（2）2－12）（18＋482－3）（32＋3）＝2·32＋2·43－23·32－23·43＝6＋6－6－24＝－18－26；（3）（7＋5）（52－27）＝（52）2－（27）2＝50－28＝22；（4）（6－3）2＝（36）

2

－2·36·23＋（3）2＝54－362＋12＝66－362。

点评：在运算过程中，每个根式可以看做是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次

根式的和可以看做是“多项式”。有理数（或整数）运算中的运算律、运算法则及所有的乘法公式，在二次根式的运算中仍然适用。

一、二次根式加减的实质

二次根式的加减，实质是合并同类二次根式。

（1）同类二次根式的合并方法与同类项的合并方法类似，即系数相加，根指数与被开182＝22＝42。

（2）二次根式的加减运算，首先要把二次根式化为最简二次根式，其次把其中的同类二次根式进行合并。

（3ab（ab≠0）就是最简结果，不能合并。

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13

（4）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式，如3应写成3。

22

二、二次根式的分母有理化

在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的两种方法：

（1）利用分数的基本性质，分子与分母都乘以分母的有理化因式。

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式叫做

*1. 27A. 1个

18

42

3的被开方数相同的二次根式有（ ） 2

D. 4个

1113 D. 4 3232－3

D. 5

B. 2个 C. 3个

2. 下列式子运算正确的是（ ）

A. 3－2＝1 B. 8＝42 C.

*3. 已知m＝1＋2，n＝1－2m＋n－3mn的值为（ ）

A. 9

B. ±3 C. 3

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*4. 式子－3xx－

A. 正数 A. 33－3

＋4x的值必为（ ） xB. 零 B. 3

C. 负数 C. 1

D. 不确定 D. 3

*5. 3的整数部分为x，小数部分为y，则3x－y的值是（ ） **6. 式子6－x＋4的值（ ）

A. 当x＝0时最大 C. 当x＝－4时最大

B. 当x＝0时最小 D. 当x＝－4时最小

（x2＋y2）＋20＝40。

（1）试用上述方法，化简：（5＋7＋23）2＋（5＋7－23）2＋57＋3）

2

＋（－5＋7＋23）2；

（2）由例题及（1）化简的结果，直接写出下列化简题的答案：（7＋11＋32）2＋

（7＋11－2）2＋（7－11＋32）2＋（－7＋11＋32）2＝__________。

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一、选择题

1. A 27＝33是同类二次根式。

2. D

3. C 解析：由m＝1＋2，n＝1－2，得m－n＝2，mn＝－1，所以m＋n－3mn＝（m－n）－mn（22）2－（－1）＝3。

四、拓广探索

*15. 解：（1）设x57，y＝5－7。则原式＝（x＋23）2＋（x－23）2＋（y＋23）2＋（－y＋23）2＝2（x2＋y2）＋2（23）2＋2（3）2＝96；（2）由以上两式，可得原式＝4[7）2＋（11）2＋（32）2]＝144。

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范文三：二次根式的加减

二次根式的加减(初稿)

教学目标 :

知识与技能: 使学生掌握二次根式的运算方法,明确数 的运算顺序、运算 律及乘法公式在二次根 式的运算中仍然适用;

过程与方法: 对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比 较, 要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用引导法, 在多解中进行比较, 寻求有效快捷的计算方法.

情感与态度:通过本节课的学习培养学生的类比思想 . 教学重点:正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次 根式的混合运算 教学难点:二次根式的运算法则

教学方法:讨论法

教学过程: 一、情境 创设

1. 二次根式的乘除法是怎样进行 的?二次根式的加减法是怎样进行的?

2. 什么叫同类二次根式?举 例说明

3. 回顾整式的乘法公式:多项式乘法公式、平方差公式、完全平方公式 。 二、探索活 动。

1. 怎样计算:) 22)(223(--? 小组讨论,全班交流 。 类比:怎样计算(a-b ) (a+2b)?

2. 怎样计算:) 22)(223(--?

回顾:(a-b ) (a+b)=________ 3. 2) 223(-呢?

小结:在进 行二次根式的混合运算时, 我们曾学过的整式运算的运算律仍 然适用。

三、例题教学

1. 例3、计算:(1) ) 3212

5(

?+(2) ) 232)(22(-- 2. 例 4、计算:(1) ) 23() 23(-?+(2) 2) 23(+

3. 小结 :多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘 法

4. 练习:

5. 补充练习:计算 :

(1). 51212++

- (2). ) 3

23242731(?--

(3). ) 22(+- (4). )

() 3(33ab ab ab b a ÷+-(a>0,b>0) 四、思维拓展

1. 在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°, AB=23 ,AC=22

求 Rt △ ABC 的周长和面积 .

2. , 2, 2-=+=b a 已知 的值。 求 22b ab a +-

3. 比较大小 , 并说明理由 . 5264?+

6410) 4(2+=+

10) 2(2=?

564?>+∴

五、小结

本节课学习了二次根式的运算,在进行运算时要注意什么? 1. 二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一 样的 , 含相同二次根式的项要合并 .

2. 运算律同样适用于二次根式的运算 .

3. 计算结果要最简 .

六、作业

范文四：二次根式的加减

成都戴氏教育高考中考学校广安校区 初二数学 教师：陈丽旭

二次根式的加减

一、知识点归纳：

1、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．

2、二次根式的加减法法则

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；

(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．

3、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．

注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；

(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．

例1、在下列二次根式中，与a?b是同类二次根式是（ ）

A．2

5(a?b)3 B．1

32(a?b)

C．1

a?b(a?b)4 D．3

a?b

例2、已知最简根式?(3a?2)4a?3b和?(2a?b?6)?4是同类根式，求(a?2b)2的值.

寄语：一份努力，一份收获！ 1 咨询热线电话：0826—2730099 地址：广安市广安区龙马商业广场C-2区3号楼2楼

成都戴氏教育高考中考学校广安校区 初二数学 教师：陈丽旭

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0

，求（2+y

3-（x

）的值．

例4．已知，X==2

变式：已知x2-3x+1=0,求x-1

x的值

例5、同学们，我们观察下式：）2=2-2·112 反之，

）2

∴

）2

求：（1

（2

（3

寄语：一份努力，一份收获！ 2 咨询热线电话：0826—2730099 地址：广安市广安区龙马商业广场C-2区3号楼2楼

成都戴氏教育高考中考学校广安校区 初二数学 教师：陈丽旭

例6、设a?b?2?,b?c?2?3，求a2?b2?c2?ab?bc?ac的值.

例7、已知：x?2?1,求代数式4x4?4x3?9x2

2?2x?1的值。

例8a，小数部分是b，计算+b的值

变式：若a，b，计算4b-3a+ab-7

寄语：一份努力，一份收获！ 3 咨询热线电话：0826—2730099 地址：广安市广安区龙马商业广场C-2区3号楼2楼

成都戴氏教育高考中考学校广安校区 初二数学 教师：陈丽旭

巩固练习

一、填空题。

1

是同类二

次根式的有________．

2．计算二次根式

________．

3．若

，则x2+2x+1=________．

4．已知

a2b-ab2=_________．

二、选择题。

1、下列各式：①17

中错误的有（ ）．

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

2 ）．

A．2 B．3 C．4 D．1

3、一个等腰三角形的两边分别为则这个三角形的周长为（ ）

A．．C．．

三、化简：

（1）1

2a?3

4a3?7

8aa5?1

4a2a7

（2）1

348x?xy4?4144

x3x3?xy4

x

寄语：一份努力，一份收获！ 4 咨询热线电话：0826—2730099 地址：广安市广安区龙马商业广场C-2区3号楼2楼

成都戴氏教育高考中考学校广安校区 初二数学 教师：陈丽旭

（3）2

327x3?x23xx

x?6x3?2x

（4）b

a?a

b?2?b

a?a

b?2(a?b?0)

四、综合提高题

1．如果△ABC的三边，P．

2．先化简，再求值．（

-（

，其中x=3

2，y=27．

3．当

的值．

（用最简二次根式表示）

寄语：一份努力，一份收获！ 5 咨询热线电话：0826—2730099 地址：广安市广安区龙马商业广场C-2区3号楼2楼

范文五：二次根式的加减

导学案设计 九年级数学(上)

21.3 二次根式的加减(二课时)

学习目标:会进行二次根式的加减运算，通过加减法运算解决生活实际问题。 难点扫雷:二次根式加减法的应用。

问题快递:

1、现有一块长为7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分

22别是8dm和18dm的正方形木板,

818分析:因为大、小正方形木板的边长分别为dm和dm，显然木板够宽。下面考虑木板是否够长。

881818由于两个正方形的边长的和为(+)dm，这实际上是求，这两个二次根式的和。我们可以这样计算:

8+18

=22+32(化为最简二次根式)

=2+32()(分配率)

=52

由于21.414<><>

22按要求截出两个面积分别是8dm和18dm的正方形木板。

规律总结:

二次根式加减时，可以先将二次根式化简成 ，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

“我是小教师”:

1、计算: (1)8045;(2)1664.,，xx

1，，(1)348,9，312;(2)(48，20)，12,5.2、计算: 3

习题园:

2212271、以下二次根式:?;?;?;?中，与可以合并的根式是 。 233

24133，3,632，6,8,22,227,12、下列各式:?;?;?;?，其中错73误的有 个。

122138,75a,9a,125,3a,30.2,,23、在中，与能进行加减运算的二次根式3a338a

有 。

5a,3b,7a，9b4、计算二次根式的最后结果是 。

必做基础题:习题21.3第1/2/3题。

1

导学案设计 九年级数学(上)

第二课时:

学习目标:1、运用二次根式化简解应用问题;2、多项式乘除法则和乘法公式在二次根式中的应用。

难点扫雷:整式运算知识迁移到二次根式的运算中。

完成计算，回顾旧知:

22(2)(23).xyxyxy，,1、计算: (1)(2);xyzx，,

2222(2)(21)(21).xx，，,2、计算: (1)(23)(23);xyxy，,

迁移变化，完成计算:

3、计算: (1)(68)3;，，(2)(4632)22.,,

4、计算: (1)(56)(35);，,(2)(107)(107).，,

思考驿站:二次根式的四则运算与整式的四则运算(类似)。 牛刀小试:

2(24,35，22)，21、计算的值是( ) 3

202220 A. 3,330 B. 330,3 C. 230,3 D. 3,30 3333

2、计算的值是 。 (x，x,1)(x,x,1)

132(,，)3、的计算结果是 。 22

2，，4、的计算结果是 。 (1,23)(1，23),23,1

2x,2,15、若，则 。 x，2x，1,

二次根式实践录: B 2问题:要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米的钢材(精确到0.1m),

2m 2222解:由勾股定理，得 ABAD=+BD=4+2=20=25,D A C 4m 1m 2222， BCBDCD=+=215，,

所需钢材的长度为AB+BC+AC+BD= 25+5+5+2=35+732.236+713.71(),，,m答:要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.71m的钢材。 必做基础题:习题21.3第4/5/6/7题

选做能力题:习题21.3第8/9题。

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