数学建模统计建模论文

范文一：数学建模统计建模论文

历年模竞赛试数题统的计分析

摘

全要国学生数大建学模竞作赛为大学热门赛生事，其试难题度势及趋建方模法是直关接系到赛好比坏。文也是围本绕该问题利用主成，统分计方法及年赛历题相文献关立一建列数学模型系对历年题赛行进综评合价预和测重性要建方法模序，最后由模型的求解结排提出果设性建意见。对于题问：本一利文用成分主分析法建方了综立合价预评模型测在，实际基上础影响赛题对易难度因素的置合理设的，再利值用第一主分成历年赛对题行进综评价合评，价结果，为210 年0的题最难赛其次是 2，105年，在此础上基立主建成回分方程归对， 026 1赛年难易题度程的测，结果为该预年的奖获率较，难高不大。对于度题二：本文在问合综评价预模测基型础建上立重了要性排序型。通过对历模的年赛解题题法方行统计分析，进建立评价函，数后最到建得方模法重要性排序的。模建所用方法中最、多最重的是运筹要划规次，是网之络优化和值数运算。于对题三问，们在我问题一和题问的二求解果的结础基上提出期建短议提应运筹高划，网规优络化数和值算运的掌与握用应并，在长建议中期出提提高读阅能力拓，知宽识和面习学计机新算算法型等建。该议模思路方法清晰，型合对数适模赛竞进题统行分计析。关字键：主分分成析评价；预测；；排序1 介绍 1. 背1景自80年代开，我国始的学数模建学教数和学建模竞赛日蓬勃地益发起展。来到如今全，国学建模竞赛数成为全已大学国生研究生的重及要赛，事且竞成赛绩成为也了衡一量个高学等府力实的个一准标。数建模竞赛学利有于进高校学生推的综合素质育教还有利，建于立校高生把学际问实和数学题法联立的思方想方。法正因为如此提，的科学性前教学以及历对年题的分析也赛变尤得为重要

1。2.问重题全述国学大生数建模学赛题竞众型，多于对模建赛试题竞型题及度难趋的把势握，系到关前赛备准工作落的及比实赛成的好绩。坏是将但每个题目做都遍一然不显能可，种思一是路题目的特点对进分析行，作出判断用，指于导前赛的各项准工作。备根据请历的年国题全目必选）（和有高关校选的拔目（自选题的特）点（例如数据、法、方模等规，建）模立型进分析行，解决下问题：以、1对模题目的难建度趋势进行综合评价预和测 2。、根据这些题目用常建模的方作统法计析，分常用对建模法的方要重进性排行序。3 对、建培模的训容、内方式等方给出面议建告报。.13 题分析问对针上以问题，行如进下析：对分于题一：本问问主要是题解决对建模

题目难的度进行综评合，并价对建模题进目行测。预首先们通过查我阅献，文历对届的赛进行题难易度分，选取析了针对模竞赛问题数难的易影度响素，因且并根每据一个因素值取不特点，同将其可为分连变续、分类变量、等级变量量，给出并变量了范。围过通成主分析的分方法，历届的对题的赛难度易行进综评合，价后然立建主分回归成方程对2061 年模建目难度进行预题测。于问题二：本问对题要对历代建模题主目的题方目统法，然计对建模后方法的重性进行要列排我们。过通阅查献，对历文年赛的题题方解进法统计行分，析后在问题然一模的基型上础，立建评函数，价对建模使方法用重要的性行排序。进后，最重要的建对的模方法行进析分。于对问题：三本问题是在两问题求解的基前上础何如有效地进建模行培和训习提学出设建意见性利。用问一的题年赛历题难评度结价果问和二题重的要建模方法结性，针果因对素分析出学提内习方容面议建针对，使用法方分析出重提学习点用使方建议法。1 4.问题设假1假.影设响数问模题难度的势趋因素完全不相。 2关.由于各因个素影响数模问题的度难趋是有势差异的，设假机随因素服从

N(0 , ?2 )。

1.5符号解

释

ijx, y ji ：第i组本样数据第 j中个变量值的X ：

本阵 Y样：X 做准标化后标的化准阵

矩 x j矩： X 中第 j 的均值 a 阵：矩阵 j X第中j的标准差

：标准化R的矩阵 Y样本相关的数系

F阵j , Qj： j 第主个分成

YQ ：评函价

数i c第：个i指标权重

A的：要性综重评价合

2 模型建立与

求解 2.1 综合价评测预模型 21.1 .型的模立建由假设1 影响数模,问题的难度势因素不趋全相完关，用利计中统成主分想来思选因筛是素意有的义，成主的基分本想是思用利性线数中的正交变代换将组一相变量生关成新不的关的相的变新，然量后新对变量进行降的维理，以处高度精成形维低统系通过查阅。关相文献，制了定响影数建模题目难易程度的因素学，具见体表，1 且我们根据而一每个素取值因同不点，可特将其为连分续量变分、类变量、级等变量，并给了出量变围范表。 1学建模题目难数易度程的因素影响素因题目阅量条件读的用情况考查利知识点的少多变性量质连变量分类续变量等级变量变量范围

50 1 ? ? 500n

2] [[1

]易

........难.1 05.......5.0 0.0........1 ...1........5

? n 1?5

数过学程复的性杂据数集的难易程收度问题开的性放景特征的建模情度难问的题可考性思问情景的新颖性题题的表问达方分布设式情问况计算机法的算易容

等级度量等级变变分量变量类等级

变量分类变量等变级量分变类量等级变量类变分

量?1n ?5

? 1 ?n5

1.........5. 1..........50 .......... 11.........5. 0.......... 11..........5 .0......... 11.........5 0...........1

1 ?n ? 5

?1n ?5

1, ? ?n

051,

表 1 得，设影响因素构由成的量向为 (x1 , x2 , 则样阵本：

为 ?T 1x ? x?11? T ?? xx X ?? 2 ?? ? 21? ? ?? ? Tx ?? ? ? n ? x?n1

1x2) 。

2 2x xn 2

x1 ?n x?2n ? ? ? xnn?

1）

（

其， xi中 j表第示 i组样本数据中第 j个变的量值。对 X 做标准化变换得标化矩准阵Y 为

T? y 1 ? ?y11? T? ?y Y y ?? ?2 ??21 ? ? ? ? ?Ty ? ??? n ? ?yn1

1y 22y yn22

?n? y 2 ?n ?? y n ?

n（2

）中其， iy j?

xj i? x ja j

，

x j ， a j 代表阵矩 X第中j 的均值与准差。

标算标计准化矩阵的Y 的样本相系数阵关 R

? R TYY n ?1

3（）

计算关相数矩系阵R的特值征

R ? ?nI? 0

解得 n个征特值1?? ?2 需?要由式确定下：

（4）

m）

，? ?

n? 0，前取个m成分主F j（ j? ,12

???

? ?1 j j? n1

? 0j8.

j5（）

其（5）式中也成为计贡累献，率它的义意是前 m主成个分综原始合量变含信所息能力。的在假 2设的础上得到主成基回归分方，此方程程以可对来未赛题的难程易度作预出测方程为，

f： ?1? 1x? ? 2 x ? ? ? 2nxn n（ ?,1

1,2）

（

）6

..12模型的解求通查过阅2 090年至 201 5全年国大学生学建数模题赛分析的关相文，献我们由此依为据到影得响题难易目程的具度体量变值查阅，浙江区 2赛00 年9 2至15 0荣获国全等一奖比率的作为量衡目难题易度程指的标，比越率，题高目越简，具单见体表2 表 2 数。模赛难易程度的具题变体量及获值率奖

年份

目题阅量读条件的用利情况考查知点识多的数少过程学复杂性的数收据集难易程度的问的题开放性情景特的征模难建度问题的可思考性题问景情新颖性的问的表题达方分式布问情设况计机算法的算容度易获率

[3]

奖2

09 050 1 044 142 0 30 4

12010 19 05 5 54 13 15 510

113 7 18 4 3 0 2 0 2 02 31

012 425 704 43 1 3 0 3 4 0

031 83 404 540 4 15 0 4

10214 320 5 0 5 1 450 3 04 1

10 5891 1 554 1 5 14 1 1

4.03650850 .02952 0.043513 0.0512549 .0506272 .05080330 .447015

（由）—1（）5，通式过SAS 编计程算得到，表的3结果表影响3因素相关参数特的值 1 征 324 5 66. 288774491 .7371745 .16758299 91.547273310.60 155480 03117.7631累计贡献率0.524 0.6 17 0.8802 5.9209 0.934 1

由前于个三主成的分累计献贡率已经到达.80，因此 ?m3 具，主成分体表见 4 表， 4影因素的响样本

主成主分成分主成分12 主成分 3 1 x-.02393690.4 4393-0. 501185 2 -0.1x62326-0.4 922590 .04119 x330 .29157 -0.32656360 .59219 5x40. 39598 03.29676 1.013596 x550 2.2766 2.07872980.4 1235 x2 60.90147 80.1-8215 0.8804293x7 0 .64201 .140776 01.20632 3x8 0.0395600.04 651 -03.449033x 09319.979 0.713227 0-.430577x 0 01.143979 -0.40915 7-.1002798 11x .037373 .005141 -40.078155 x1 20-2.545040. 81495 0437.782 于由第主成分的一征特最值，我们大取选第一主成分对题赛难程易度排，结果序见表5。表赛5题难程易度序排名次年份 20110 221503 2 0414 01325 201 26 2 00 972 110

由6）（由式 SA 软S件求得主分成归回程方如：下f

? 0 .043925 ? .0000004487x1 ?.0023088469 2x? 0. 00077 93x ?.000019412x4 ? 0. 00507 05x 0?0.03712333x6 ?0. 000469318x7? 0001.636264 8 x?0 0.11606346x ?9 .0005019307 1x0 ?0001.22563x11 ? 010.00368983 1x2

将表2的结代果回归入程得方到年获奖率各理论值的，体见表具。6 份年 209 200102 101 201 201322014 2 15 0表6 各的年奖获率实值与际理值论实际值理论相值对误差0. 360558 0.446032078 .02132532500 05.9222 .05173173020. 220499078 .043051 0.04130197290.057 92954

1005.419 05.05622 0.07503380 04471. 5.0064039720 0.4514848 030.742606810.04 68373050 .024902156 0.207962447 .006087343 5.006455283

2将

表6 结果利用Matlab 画图出像得，图到1 。

图1 各年获奖的率际实值与论值图理大数据像年来是许近学多研究者的向，方们我此以为景利背用主分回归成方程对201 6 年题赛的易难度程进行预测具，体结果表见 7 。表 7201 6年赛题的易难度预测

年程份

题目阅读量条件的用利情考查知识点况多的

[4少]

0162 00 3 41

数学

程的复过性杂据数集收难的易程度问题开的放情性景特征的建模度问题的难思可考性题问景情的颖性新题的问达方式表分布设情问况算机计法算的容度易获率奖

4 4 0 1 550 4 0.050141919

2.313 .果分结析由主分成析综合分价结评果表发5，现201 0年的赛题难，最次其 2是015 ，这是年因为两这考年察知点识、数学过程复的杂性级较高，等且而题问具一定有的放开、新性性颖建，难度模比大较，这些是都实际情况和符相。合由表6和图 1 果不结发难，现成主分归方程用来预回的相对测误差小，较理论和实际值值的线非常接曲，说近主明分成归回方程来预测用较合为，利理用方程此预测来021 6年题的难度趋赛势由表 7，得知，年的获该率较高奖，明试说题家大遍都普能，难做不度。大2.2 要重性序排模型 2.21. 型的建立模我们选取合综评价预模测型的关方相法，即主分分析方成法建立，价函评数最，对后各数个方模法的重性要进行排序。样同，设影响因构成素的向为量( 1y y2,,

[]3

, y

n) 。

根据

实

际数调据，对历查数年模问题方的法行统计进具，见体表，2 表示 0有用到该方法没1，表用到示了该法。方

表1 公对安共全素评判打因分份年方法

y211y2

y11

y12

2 ???

2y L

ny1

?ny

L则样本为：

阵T? y1? ?y11 ? T?? y y ? Y 2 ?? ?? 2 1 ? ? ? ??yT ? ? ? ? n ? ? yn

y1 y222 y 2n

y1n

? y? 2n? ? ?ynn?

（

）

中， y其i j示表 i 第组本样据中第数 j个变量的。值对 Y 标做准变换化得准标矩化阵 Z

为 ?Tz1 ? ? z1 ? T? 1? z zZ? ? 2 ??? 2 ?1? ? ? ?z ? ? ? ?Tn ? ? zn1

21 z22z 2n

1zn ?? z 2 n ? ?? nnz?

（）

（在3）—4（）式基上础解，得个n征特 ?值 1 ?2 ??

? ?n

0 ?特值越大，征应

的因对素就越重要，也因根据特征值此的小，可以大方法的重将程要按度从到小排大。列般来一特征值说对应方法无所法确定，而主分最大的优点是利用低成向维系量就可统行评进价，需取部分主成分只构评造函数得到价价权重评，可对重即要影的因响进素筛选行取，前m 个主成分 Q （j j? 1 ,2定利用前， m 个主成构造分价函数：评QY ? ?

(? j/ ??j )Q j ? b11 w? 2b w2? j

?1 j ? 1m

mm），需由要5）式（

?确b wLn

（

）

此得到原有指标由分得：值

Yi ?V b j ?iyj ,( i 1? ,2j

)

（1n0

由（7）式得)各指标的到重权

：i c ?YVi/ VYi?i

（

11）

由再 2表结果的运用模，评糊判，计算各方法类用到的数总

:5[

]ri

? ?1yi j ( i? ,1 2

j, 1

,)n

（

2）

由（12）式

得各到类方法归化一的矩阵： n? ?r /r i 0 10? ? ? 1 1i? ? 1? n ??0 r2 1/ ? r1i0 0 ? ?R??i ? 1 ? ? ??? n ? 00rn1 / ?ir1? ??i ? 1 ?? 后最到得要重性综的评合判：

（3）1

A?c i R

j.2.2 2型的求解模

（1

4）

通

过查 1阅993 至年20 51年全国大学生数建模赛学题方法的相文关献，得到 8表的果。结1表示运该用法方， 0示表有运用没方法。表该 81993年至215 年0题的建赛方法模1 939 91941 995 9961 19971 98 9199 9 1 1 11 11 1 1 001 0 1 111 1 0 11 1 0 0 0 0 00 0 0 001 0 0 01 0 00 0 0 0 1 000 0 1 0 2000 1 100 0 01

3][

运筹规划网络化数优值计统算与计价评微方分与程差分程计算机模方拟几与微何积分表 8续筹运规划网优络数化计算值计统与价评分方微与差程分方计算程机拟模几何微积分与续表8运筹规划

001 210 1 000 0

020 1 200 0 0 01

203 010 0 0 1 0

0240 0 1 1 1 00 0

0250 101 1 0 00

026 2007 01 11 1 110 0 0 1 0 0 0 0

8 00 1 11 0 0

2009 00

0100

21011

12 10

1 3

120

4 20

1150

网优化络值数算计统计与评微分价程与差方分方程算计机拟模何几与积分

微0

11 0 01

1 1 0 1

1 1 00

001 0 0

0 0 11 00 0

010 1 01

10 00 0

由（7）（、8、）（）—（3）式5通过， SA 编S程计算，到表得9结果。表 9 建方法模的关参数相特值征 2 13 4 5 68.9366916 5.54918039 31.1791353 247.388969 26.157772 0.63619689 8献贡率0. 385 0.8232 0.149340 .21 010.9640.02 7 累7贡献率计 .0883 506125. 0.5677 0.77780 9.72 1

3由于前四

主成分的个累贡献率计已达到 0经8，.此因 ? 4 ，表m 0 1模方法样本建主的分主成成分1主成分 2 主分成 3主成分4 0 .11248 0221.8398 0-281344. -0.1610690.3 05103 0050.142 -0.011771 -0.411315 0301503. .0050421 -.001711 -07.41311 05032873 0..4333680 .24408 05.17031 0.221557 00.1789 60-2.4059 80.361-32 07.61259 5.0939188-0. 0781130 2.16681 .0211482 0.29183 80-2.8314 4-0.10166 09085384.0 282.3 -0906.5141-0.0 180 5.0315030 .005012 -40011.77 -01.11341 0.175249 -101.57968 0.73274 -0501.4027 0050991 0.2.40169 03.9522 6-0.91079 7.0121116 0-1.6019 -8.106974 60.645169 .2830917- 0.20814 0.120466 60-.100924 0.21659 05193.98 80.-8701310 2161.68 0.51987 0.28208430 0.4606 0.312792 1.101261 10.1-96180 -.061976 40.645961 .0084579 0-.291381 -028.2840- 011.2354

1x2 x 34xx 56xx7 x x9 x801 x1 x121 x31x 1 x45 116x x71

x81 x91 2x0 x2 1x2 x232

0.0

7123 0.023987 01.7219140 28.3971 0.-2338490 .14419

8-0.

39236 -052084.16 0.1-5978 6-.00284610.1 8265 60.02100

-00.09129 .061307 0.1200646-0 .0019240 372.74 -5001.02470. 21406 60-0109.240.0 7743 0.723421 6026388. 3.302338

9由（9

—（1）1式），得到标的分指及值重，权体具表 1见1 表。1 指标的分值及1重权

Y 1

2.51168

VY4

21.274560

Y3 1.3

55264

YV 4

0.59153

VY 7

5.0434665

Y60

235.546

Y V

7.00415

0.3260999

c.012418

c300.2

2417

40.809617

c.0077975

403049

7.00188

7再由（12—）（4）1，式到重得要性法方排列结果：

?(.1006630, .005636749,.050531,0.13501,000.4175,.00030,060.0504)

22.3.结分析果由述结果不上难发现，筹规划运法占方比的是重大最，其次的络优网化法方及数值计以算法方比较也大运，规筹划法方包括线规性、划线性非规、划态动规、划决论、排策队等优化论识知网络，化优括包论等。这图数和建模学身来本是说比相符，较在实意现义下优，问题化直是热门问一题也，是一难个问点题，因求解此结较为果合。理 3数学模建建设性告报全大学生数学国模竞赛建为作学大的重生赛事要也作为，量一衡个高实力的校一个重要赛事。竞赛对题试的把控对各高校说来有不可具忽视重的要性本。基文这于种况运用情数学模型对0162 年的赛事试题行了进测预预。测果如下：结.1按照年趋势往预测，206 年全国大学生1学数建竞模赛赛题然依低阅以读量

，多识面，少数据以及知较开放大为性。主此在础上基计算对的算法要求机会也相增加应。设情况以 4 问问或5 为问主，设条理问晰清。2.基于年往数据的析分预测，206 1全国年大学生数建模竞学赛赛题解主

法要以

筹规划，网运络优化和值运数算主为。在此体主上，能可在统计存与价的方评的法用，应他数其方学法能的可几率低较。基于以上两点预结测，果出相应的提建： 1.对于短议建议，期201 年6数模赛在竞，即我需要的是们对主要方法运筹规划，网络优化数，运值算统计，与价方法重评学习，点并能熟练地应用，还需适量了其他解法方的运。用2 对.长期于议建，我们加应强在阅理读题解的意能力，来未趋的势是在少阅读的量基础上提相应问出。题应拓宽还知面识未，发来展将更广的有知面识和更的开大放性。在基础上此对计机新型算算的掌法也握较大的重有要，性来的计未算将依赖更计于机算计，的复算杂性会相应的也大。加以上对教是和学习学面方的项建几。 4 议模的优缺点及推型广点优 1：综.评价预测模型在合对难易度析方面有较分为简便的运算较强的和适应性。 2.重要性排模序运用型主成分分析，运法用观客数，可据性靠较，高结果较为准确。点：缺综评价预合测模型运用了主分分析法成对难度打分，在存主意思误观差。推：广综评价合测预模型适用可大于多有历史数据的近期预数，测重性排要序模型可用适于事物素因选情筛况 5 参考文。 [献]1张.鹏于主成分分基的综析合价研评[究D].南：南京京工大学理20，04[2 ]杜荣明高.中物理题难度试影响因素研的究D].重[：庆南西大，2学008[ 3]中国学数模网建h.tpt//:www.shum.com/homoe /[4李金昌.大]据数与统计新思[J维.]统计究，研012431，1（：1）-10 [7]5刘通，胡运碧.模江评判糊数的学模及其型参估计数[]J北，工业京学大学， 2报001,7（12）11：-2115

范文二：初中数学建模论文

“压岁钱”与“美化环境小银行”

山东省泰安市第六中学初二七班杨煜晖指导老师:

摘要与关键词压岁钱沙尘暴美化环境植树

一、调查目的

沙尘暴天气是我国西北地区和华北北部地区出现的强灾害性天气, 可造成房屋倒塌、交通供电受阻或中断、火灾、人畜伤亡等,污染自然环境,破坏作物生长, 给国民经济建设和人民生命财产安全造成严重的损失和极大的危害。当肆虐的沙尘风暴代替了我们印象中明媚的春光和温柔的春风, 我们能为治理环境做些什么?通过对往年植树情况的调查, 我提出, 为美化我们的生活环境建立初中生“美化环境小银行” ,利用存款利息每年春天购置树苗,或学校组织植树活动, 或向需要的省市捐助种子、树苗的方式贡献我们绵薄之力。

一、调查方法

1、实际考察

2、其他搜集数据调查(网络)

二、调查结果与分析

从小到现在,我们收了十来年的压岁钱大概有 2000元,假如平均每年按照 200元存入银行,初中三年每个学生总共存入 600元计算,我们六中,初中 21个班级,初一、初二、初三各 7个班,每班按 70人计算,初三的存一年,初二的存两年,初一的存三年, 年利率分别按 2.25%、 2.40%、 2.60%(人民银行利率) 计算,则:

初一段学生存三年的利息和:

(200×2.60%×3)×(70×7)=7644(元 ) ;

初二段学生存二年的利息和:

(200×2.40%×2)×(70×7)=4704(元 ) ;

初二段学生存二年的利息和:

(200×2.25%×1)×(70×7)=2205(元 ) ;

一年全校利息合计:

7644+4704+2205=14553(元)。

按每棵垂柳 50元计算,每年可购置

14553÷5=291(棵)树苗,

如果我们利用节假日用心维护,成立“志愿者护林小分队”提高树木成活率,按百分之八十的成活率来算,我们四年的初中生活能种活的树是:

291*4*80%=931.2((棵)

也就是说, 我们能用自己的能力建造一片小森林, 当我们漫步在这片森林中的时候,该是多么幸福啊!

如果这个计划能在所有学校实行, 那么, 我们的森林将会多么大?会不会锁住无情的风沙?让所有人重享蓝天碧水和风的美好生活?

三、调查体会

通过这次调查,我了解到树与我们的生活,健康是息息相关的,同时也深刻体会到树木、森林的宝贵, 保护环境, 爱护环境是我们每一个人义不容辞的责任和义务。

范文三：数学建模论文

数学奥秘我之见

淄博外语学校初二四班：贾爽

[摘要]本文主要讨论一些关于有理数的规律，包括：“数字黑洞” “填幻方”“乘方运算”三个方面的内容，通过了解这三个方面的内容，可以使我们更深刻地认识数与代数之间的关系以及数的规律性和趣味性。

关键词：规律、有理数、代数

讨论一：数字黑洞

前言：“黑洞”本指非常奇怪的天体，该天体体积小，吸引力强，密度大，任何物体到了它那里就别想再出来。无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一定的运算，都能被它“吸”进去，无疑能逃出它的魔掌。（1）西西弗斯串：任取一个自然数数串，

例如35962，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，就可以得到2、3、5，用着三个数组成下一个数字串235。对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得1、2、3，于是123就是一

个数字黑洞。

（2）角谷猜想：任取一个自然数，如果它

是偶数，我们就把它除以二，如果它是奇数，我们就把它乘3加上1。在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就得到一串自然数，或早或迟，你就会掉到4→2→1这个循环中，或者说，你总会得到一。

结论：一个很大或很小数的输入，只要有一定的规律，又或许是我们总是去不断探索规律，那么有理数的一切都是有规律可寻的！

讨论二：乘方运算

前言：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方是一种特殊的乘法，具有以下基本性质：

n 2n ≥

（1）a 与a 的奇偶数相同;(2)a0 ;(3)当自然数n 的个数分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9时n ,

n n 4

由此可发现，个位数出现周期现象，并且

4k ＋R

周期是4，于是得n 中（k,r 的个位数为非负整数，n ≠0,0≤r ＜4,

4k ＋R

当R ＝0时，n 的个位数与字n 的个位数字相同；

4k ＋R

当R ≠0时，n 的个位数字与n 的个位数字相同；

问题：

你能很快算出1995吗？

为了解决这个问题，我就可以看这个个位数上的数字是5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可以写成10·n ＋5，即求﹙10·n ＋5﹚的值（n 为自然数），我们可以分析出n ＝1,n ＝2,n ＝3……从这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格內填出探究结果）

1. 通过计算，规律为：

＝225可写成100×1（1＋1）＋25；25＝625可写成100×2﹙2＋1﹚＋25； 35＝1225可写成100×3﹙3＋1﹚＋25；45＝2025可写成100×4﹙4＋1﹚＋25； …… 75＝5625可写成（ 100×7﹙7＋1﹚＋25 ），

85＝7225可写成（ 100×8﹙8＋1﹚＋25 ﹚。

2. 从以上探究中的结果、归纳、猜想我们就可以总结出以下规律:

152

3222

﹙10＋5﹚＝100×n ﹙n ＋1﹚＋25

3. 根据以上的探索，我们就可以算出：1995＝100×199×﹙199＋1﹚＋25＝3980025

结论：遇到一个难以解决的题目时，我们可以用我们所掌握的知识把它转化成已经学过的内容，先从简单的入手。像这种乘方的问题，我们就可以化难为简，

运用乘方的三种基本性质就可以解决！

讨论三：三阶幻方

前言：相传大禹治水时，洛水神龟献给

大禹一本洛书，书中有一幅奇怪的图，那幅图用今天的数学符号翻译出来，就是三阶幻方。也就是如图所示3×3的方阵中填入1~ 9，其中每行每列和两条对角线上数字的和都相等。

数学家哈尔莫斯、巴尔布尤把图中每行每列数字组成一个三位数，并写出他们的逆序数，就得到下列美妙的等式:

492＋357＋816＝618＋753＋294

4922＋357 2＋816 2＝6182＋7532＋294

2438＋951＋276＝672＋159＋294 4382＋9512＋8162＝6722＋1592＋8342

现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在3×3的方阵图中，每行、每列、

每条对角线上的3个数的和都相等，就成它为三阶幻方。根据探索，我就可以总结出三阶幻方的三阶幻方：

（1）在3乘3的方格中填入9个不同的数，使格

列各行及两对角线上3个数的和都相等，且为5，若最中间的一个为n ，则s=3n，

（2）在三个阶幻方中，每个数都加上一个相同的

数，仍是三阶幻方，

（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，

仍是一个三阶幻方。

解决三阶幻方问题，常需小合当引元，运用三阶幻方定义，性质，整体核算等方法求解。

（1）如图1，，有九个方格要求在每个方格填入不同的数，使得每行每行每列、每条对角线上三个都相等，数之和都相等，问图中左上角的数是多少

（图一）

（图二）由已知条件得：

＋19＋x 4

x ＋x1＋x 2＝

＋x 3＋x 4＝x ＋x 3＋13＝x 2

这样前面两个式子之和，即

2x ＋x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝13＋19＋x 1＋x 2＋x 3＋x 4

2x ＝13＋19

x ＝16

（2）请将﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，﹣43，4这9个数分别填入图中方阵的9个空格，是3列，3行，2条对角线的3个数的和为0。

其一正一负，并且绝对值相等，所以0 必须在中间。

结论：解三阶幻方只有根据它的基本性质来计算，稍微复杂一点的我们可还可以

利用方程方法来解决，可见，数与方程之间的联系是多么紧密啊！

总结：通过以上三个探究，我发现了数拥有无穷的奥秘，其实，这些并不是都只能在数学领域中得到充分的利用，在生活中，我们也可以利用这些知识来解决生活中的问题！

范文四：数学建模论文

数学建模一周论文

论文题目：

乒乓球比赛问题

队长1：学号：电话：队员2：学号：队员3：学号：

专业：班级：指导教师：

2012 年06月10日

摘要

通过对高中数学新教材的教学，结合新教材的编写特点和高中研究性学习的开展，对如何加强高中数学建模教学，培养学生的创新能力方面进行探索。

乒乓球的建模问题可以与数学建模问题联合起来看的，并且利用数学建模解决它。数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。他将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到相应的帮助和指正。他们有以下步骤：

关键词：创新能力；数学建模；研究性学习。对学生提出新的教学要求，要求学生：

（1）学会提出问题和明确探究方向；

（2）体验数学活动的过程；

（3）培养创新精神和应用能力。

其中，创新意识与实践能力是新大纲中最突出的特点之一，数学学习不仅要在数学基础知识，基本技能和思维能力，运算能力，空间想象能力等方面得到训练和提高，而且在应用数学分析和解决实际问题的能力方面同样需要得到训练和提高，而培养学生的分析和解决实际问题的能力仅仅靠课堂教学是不够的，必须要有实践、培养学生的创新意识和实践能力是数学教学的一个重要目的和一条基本原则，要使学生学会提出问题并明确探究方向，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，就必须建立数学模型，从而形成比较完整的数学知识结构。

数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义，现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。

一．问题重述

二．模型的合理假设三．模型建立与求解四．模型的优缺点分析五．模型的推广

一、问题的重述

五局三胜制是乒乓球团体赛常用赛制，一方赢完散场比赛即终止赛事。

1、如何赢得一局比赛？

在一局比赛中，先得11分的一方为胜方；10平后，先多得两分的一方为胜方。

2、攻击次序和方位

在获得两分后，接发球方变为发球方，依次类推，直到该局比赛结束，或直至双方比分为10平，或采用轮换发球法时，发球和接发球次序不变，但每人只轮发1分球。在双打中，每次换发球时，前面的接发球员应成为发球员，前面的发球员的同伴应成为接发球员。在一局比赛中首先发球的一方，在该场比赛的下一局中应首先接发球，在双打比赛的决胜局中，当一方先得5分以后，接发球的一方必须交换接发球次序。一局中，在某一方位比赛的一方，在该场比赛的下一局应换到另一方位。在决胜局中，一方先得5分时，双方应交换方位。

五场三胜制

一、二、四、五场为单打，第三场为双打。

（1）一个队由三名运动员组成，每名运动员出场2次。

（2）比赛顺序是：主队VS 客队第一场 A —— X 第二场 B —— Y 第三场 C+A或B —— Z+X或Y 第四场 A或B —— Z 第五场 C —— X或Y （3）在打完前两场比赛后再确定双打运动员的出场名单。

A 或B 及X 或Y 如果参加了双打比赛，就不能参加后面的单打比赛；不参加双打比赛的运动员才可以参加后面的单打比赛。

此题是以“五局三胜制”进行乒乓球赛事，虽然两队实力相当，但不同的出场顺序可能导致不同的结果，所以合理的安排是取得成功的关键，题中所给矩阵也只是打满五局A 队获胜的预测结果。根据矩阵来说明两队实力的强弱，不同的出场方案会有哪些结果，若站在某队的角度，应采取那种出场方案，对“五局三胜制”进行的乒乓球赛事进行评价。

A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选

手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为和）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以次序出场而B 队以次序出场，则打满5局A 队可胜局。由此得矩阵如下：

（1）根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？

（2）如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？（3）如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？

（4）比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点

乒乓球团体赛的比赛规则如下：从一个队中挑选出的三名比赛队员和一个队长

（可由参赛队员兼任，亦可由其他人员专任）组成。比赛之前，双方队长应抽签决定A 、B 、C 和X 、Y 、Z 的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单。现行的比赛顺序：第一场A —X ，第二场B —Y ，第三场 C —Z ，第四场 A —Y ，第五场 B —X 。每场比赛为三局两胜制。当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。

现有甲队挑选出的三名比赛队员分别是：A1、A2、A3，乙队挑选出的三名比赛队员分别是：B1、B2、B3，根据以往的历史资料，甲队与乙队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率如表B.1所示。

表B.1：两队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率队员 B1 B2 B3 A1 0.50 0.55 0.60 A2 0.45 0.50 0.55 A3 0.40 0.45 0.50 你所要完成的问题如下：

1. 甲队教练将如何安排上场运动员的次序，使得本队获胜的概率最大。建立相应的数学模型，并说明你的理由。

2. 如果每一局比赛，A1胜B3的概率改为0.45，A3胜B1的概率改为0.55。在这种情况下，甲队教练将如何调整甲队队员的上场次序？

某中学将举行乒乓球比赛, 小明他们班有5人先进行淘汰赛, 选出一人参加学校的决赛, 班主任杨老师计算了一下比赛的次数:"嗯, 由于5是奇数, 所以第一轮有一个队员轮空, 第二轮中还得出现一次轮空, 一共需要进行4场比赛. 选拔出一个队员后, 学校共有37个班级参加决赛, 也采用淘汰赛, 你知道需要多少场比赛吗? 你还没有算出来吗? 哈哈! 还在画表格呀? 告诉你吧, 每场比赛淘汰一名队员, 一共要淘汰36名队员, 所以要进行36场比赛. 不过, 如果你想轻易地算出轮空的次

数却没有这么容易, 那么, 怎样计算轮空的次数呢?, 请看如下的分析:

不知道你注意了没有, 如果比赛人数正好是2的幂, 那么轮空次数就是0, 也就是说, 如果比赛人数是2,4,8,16,32等等, 就不会出现轮空, 如果不是这样类型的数, 则至少要有一次轮空. 假设有n 个队员参赛, 如果是奇数, 那么第一轮就有一名队员要轮空, 从第二轮开始的轮空数与(n+1)/2个队员参赛的轮空数是一样的, 所

以这时总的轮空数是: (用L(n)表示n 个队员参赛的轮空数)

L(n)=1+L((n+1)/2)

如果n 是偶数, 那么, 第一轮没有轮空, 从第二轮开始的轮空数与n/2个队员参赛

的轮空数是一样的, 所以有: L(n)=L((n)/2)

我们可以统一处理以上两个公式: L(n)=a0+L((n+a0)/2)

其中a0为1或为0取决于n 的奇偶性, 下面的a1,a2,a3... 也一样, 假定2k<><2k+1,并且规定n>=2,因为最后总是冠亚军决赛, 所以最后一场比赛总是2名队员. 继

续往下推, 我们有:

L(n)=a0+a1+L(a0/4+a1/2+n/4) =a0+a1+a2+L(a0/8+a1/4+a2/2+n/8)

=a0+a1+a2+...+ak-1+L(a0/2k+a2/2k-1+...+ak-1/2+n/2k)

k-1 k-1

= ∑as+L(1/2k∑as2s+n/2k) s=0 s=0

由于最后总有: k-1

1/2k∑as2s+n/2k=2 s=0 即:

k-1

∑as2s=2k+1-n s=0

我们看到,L(n)=a0+a1+a2+...+ak-1

所以, 只要将2k+1-n化成二进制表示, 其系数和就是轮空数, 也就是其中1的个数. 对于n=37,我们可以算出2k+1-n=64-37=27=11011,其中有4个1, 所以共有四次轮空

二、模型的合理假设

乒乓球规则的变化对各种因素的影响进行模糊综合评判。首先进行一定程

度的社会调查，得到一个模糊关系矩阵，再利用模糊数学的综合评判方法进行定量化分析。

乒乓球采用的

21分记分制若改为11分记分制，将对很多方面的因素起影响作用，这就

需要我们进行模糊综合评价。显然，本题的关键是通过调查获取较为客观的数据，通过对数

据的分析建立模糊矩阵 - （

1）调查对象具有代表性，调查到的数据较严密。

（2）乒乓球规则的变化只对赛场激烈程度、胜负的偶然性、球员的技术发挥、战术发挥、

心理因素起影响作用。 U:

因素集;

V：评语集;

iu: U

中第i 个元素;

iv: V

中第i 个元素;

Ri:

模糊关系矩阵;

Si:

第i 种乒乓球赛制变化影响的评语得分.

设因素集

U={激烈程度u1，偶然性u2，技术发挥u3，战术发挥u4，心理因素u5}；

评语集V={影响v1，较影响v2，有些影响v3，不大影响v4，毫不影响v5}

。根据我们的社会调查，得到两个因素论域U 与评语论域V 之间的模糊关系矩阵为

10.7370.2330.0200.0100

0.5670.2830.1230.0270

0.0570.4360.4300.0770

0.2700.4270.2630.0400

0.4730.2770.1500.0530.047 其中

R1为乒乓球21分制3盘2胜改为11

分制5盘3胜的模糊关系矩阵。

R2为乒乓球

21分制5盘3胜改为11分制的7盘4胜的模糊关系矩阵。

又经调查，各个因素u1，u2，u3，u4，u5的权为

A=（0.32 0.028 0.005 0.10 0.25）,

从而两种规则的变化对应的模糊综合评判分别为

110.7370.2330.0200.0100

0.5670.2830.1230.0270

0.320.280.050.100.25

0.0570.4360.4300.0770

0.2700.4270.2630.0400

0.4730.2770.1500.0530.047

现对B1评语进行定量化处理，把

[0，1]区间等分成5份，第i 份对应评语集V 中的iv 元素，

记C1∈[0，1/5）（影响）， C2∈[1/5，2/5）（较影响），C3∈[2/5，3/5）（有些影响），C4

∈[3/5，4/5）（不大影响），C5∈[4/5，1）（毫不影响）得到一个关于评语的

分数向量C=

（C1，C2，C3，C4，C5），从而得分S=1

由于S1低＜

1/5，1/5＜S1高＜2/5，故该影响充其量属于“较影响”。同理，对于乒乓球21

分5盘三胜制改为11分7盘4胜制有： S高 =1

0.0390.1350.1200.0690.030???? （

0.039 0.135 0.120 0.069 0.030）1/5 2/5 3/5 4/5 1

由于S2低＜2/5

，2/5＜S2高＜3/5，故该影响总体充其量属于“有些影响”。

本模型计算出乒乓球

21分3盘2胜制改为11分5盘3胜制和21分5盘3胜制改为11

分7盘4胜制影响的模糊综合评判，并在此基础上进行定量化分析。对于前者，我们获得的

评价结果是“较影响”，主要原因是：赛场将变得更加激烈，胜负的偶然性变大，球员的技

术发挥和战术发挥将受到影响。而对于后者，我们获得的评价结果是“有影响”，原因是：

胜负的偶然性不再像前者那样大，主要是个人的实力因素影响。

：由于在一局开始时，如果输了球，比分会拉开距离，而每局只有11分，可能

没有追赶时间，因此在开局时尽可能使用“杀手锏”，及时进入状态。球员不仅要尽快适应

新赛制，在训练中进行技术和战术创新，而且要培养稳重的心理素质。由于我们对问题进行定量分析，所得结果还是客观全面的。但鉴于社会调查的局限性，

调查对象虽在一定程度上具有代表性，但具体上还存在着误差，而调查到的数据由于只靠人

工统计，也存在着误差; 乒乓球赛制的变化，对很多方面起作用，不仅仅是假设中提到的因

素，这也存在着误差。

以后如果进行社会调查时，要广泛深入，多参考专家的评价，尽多地利用计算机统计数

据。

又如：

β1β2

α1R =

α2α3

?2 0 5?

133

β3

4??4?1??

当A 队以

αi 次序出场、B 队以βj 次序出场时，设这时A 队每一局比赛获胜的概

p i j

率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的（实际上也许并

不是这样，但是题目中给我们的信息太少，我们只能这样假设）。这样，5局比

赛就是一个独立重复试验序列。

比赛实际上是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜，因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举。

当A 选α1的时候，他能得到2，1，4。为赢1盘，输2盘，赢得总局数为7，最不利情况为1局。

当A 选α2的时候，他能得到0，3，4。为赢2盘，输1盘，赢得总局数为7，最不利情况为0局。当A 选

α3的时候，他能得到5，3，1。为赢2盘，输1盘，赢得总局数为9，

α3都不利。而对比α2

最不利情况为1局。

综上所述，可得，不论B 选择什么方案，α1比a α2和和

α3，α3的战况和满意程度都比α2的高。故，A 队最稳妥的方案是α3。

同理，B 队最稳妥的方案是β1。

三、模型建立与求解

数学应用题如何建模：

建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次：

第一层次：直接建模。

根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为：

将题材设条件翻译成数学表示形式

应用题审题题设条件代入数学模型求解选定可直接运用的数学模型

第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型

中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。

第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。

第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数

学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。

根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？

β1β2

α1R =

α2α3

β3

4?? 4?1??

0 5?

133

设ξ是A 队在5局比赛中获胜的局数，显然，ξ服从二项分布b (5, p i j ) ，概率分布为

P {ξ=k }=C 5k p i k j (1-p i j ) 5-k ，k =0, 1, , 5 。

R 矩阵中的9个元素，是在9种不同的出场次序下A 队每局获胜的概率。假设这9种不同的出场次序出现的概率相同，都是9种不同的出场次序出现的概率相同，都是9，那么，就可以求出A 队在每一局比赛中获胜的局数

A=（2+1+4+0+3+4+5+3+1）/9=2.777778

2.777778大于2.5从每五局比赛来说，A 队的实力比B 队略微强一些。由五局的实力可得每局获胜的概率分别为2/5，1/5，4/5，0/5，3/5，4/5，5/5，3/5，1/5，我们可以得到这样一个矩阵

?0. 40. 20. 8?

P =(p i j ) =?00. 60. 8? 。

????10. 60. 2??

比赛是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。

下面我们来计算在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率： A队最后获胜，可以分成下列几种情况：（1）A 队前三局获胜。这种情况的概率为 p i 3j ；

（2）在前三局中A 队胜二局，B 队胜一局，第五局A 队又胜一局。这种情况的概率为

C 32p i 2j (1-p i j ) p i j =3p i 3j (1-p i j ) ；

（3）在前四局中A 队胜二局，最后A 队又胜一局。这种情况的概率为

22C 4p i j (1-p i j ) 2p i j =6p i 3j (1-p i j ) 2 ；

把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率

q i j =p i 3j +3p i 3j (1-p i j ) +6p i 3j (1-p i j ) 2

=p i 3j [1+3(1-p i j ) +6(1-2p i j +p i 2j )]=p i 3j (10-15p i j +6p i 2j ) 。

?0. 40. 20. 8?

将P =(p i j ) =?00. 60. 8? 各数值代入上式，可以计算出A 队最后获胜

????10. 60. 2??的一个矩阵

?0. 31744Q =(q i j ) =??0

??1

0. 057920. 682560. 68256

0. 94208?

0. 94208?? 。 0. 05792??

矩阵Q 中元素q i j 表示：当A 队以αi 次序出场、B 队以βj 次序出场时，在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率（也就是B 队最后失败的概率）。

如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？从矩阵

α1

Q =(q i j ) =

α2α3可以看出：

β1

?0. 31744?0???1

β2

0. 057920. 682560. 68256

β3

0. 94208?

0. 94208??0. 05792??

“稳妥的方案”对于B 队来说，需考虑最坏的情况，采用出场次序β1时，最坏的情况是A 队出场次序α3，B 队失败的概率为1，采用出场次序β2时，最坏的情况是A 队出场次序α2，α3，B 队失败的概率为0.68256，采用出场次序β3时，最坏的情况是A 队出场次序α1，α2，B 队失败的概率为0.94208，3个失败概率中，0. 68256为最小，所以，B 队最稳妥的方案是采用出场次序β2。

对于A 队来说，采用出场次序α1时，最坏情况是B 队采用出场次序β2，A 队获胜概率为0. 05792；采用出场次序α2时，最坏情况是B 队采用出场次序β1，A 队

获胜概率为0；采用出场次序α3，最坏情况是B 队采用出场次序β3，A 队获胜概

率为0. 05792。3个获胜概率中，0. 05792为最大，所以，A 队最稳妥的方案是采用出场次序α1或α3。

若B 队采用，β2A 队采用α1，则B 队获胜，若B 队采用β2，A 队采用α2α3，则A 队获胜。

若A 队采用α1，B 队采用β1，则B 队获胜，B 队采用β2，则A 队获胜，B 队采用β3，则A 队获胜。

若A 队采用α3，B 队采用β1，则A 队获胜，B 队采用β2，则A 队获胜，B 队采用β3，则B 队获胜。

如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？从A 队角度来看，采用最稳妥的方案 3时获胜的概率最大

四、模型的优缺点分析

数学应用题的特点

我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点：

第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。

第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。

第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。

比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式优点也有缺点。优点：

虽是在打满五局的情况下得到的，但是可以推测两队的实力情况，进而指导出场

方案

缺点：

这只是在打满五局的情况下得到的，并不符合实际参赛规格，因此以上处理也仅供参考，但并不能完全凭借。

五、模型推广

针对其他赛事，如网球，排球，以及下棋等，我们也可以采取上述类似的方案，建立相应的模型，从而找到最优解。建立数学模型应具备的能力：

从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时也体现一个学生的综合能力。 1提高分析、理解、阅读能力。

阅读理解能力是数学建模的前提，数学应用题一般都创设一个新的背景，也针对问题本身使用一些专门术语，并给出即时定义。如1999年高考题第22题给出冷轧钢带的过程叙述，给出了“减薄率”这一专门术语，并给出了即时定义，能否深刻理解，反映了自身综合素质，这种理解能力直接影响数学建模质量。 2强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力。

将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作。例如：一种产品原来的成本为a 元，在今后几年内，计划使成本平均每一年比上一年降低p%，经过五年后的成本为多少?

将题中给出的文字翻译成符号语言，成本y=a(1-p%)5 3增强选择数学模型的能力。

选择数学模型是数学能力的反映。数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的模型，体现数学能力的强弱。建立数学模型主要涉及到方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型。结合教学内容，以函数建模为例，

以下实际问题所选择的数学模型列表：函数建模类型实际问题

一次函数成本、利润、销售收入等

二次函数优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等幂函数、指数函数、对数函数细胞分裂、生物繁殖等三角函数测量、交流量、力学问题等 4加强数学运算能力。

数学应用题一般运算量较大、较复杂，且有近似计算。有的尽管思路正确、建模合理，但计算能力欠缺，就会前功尽弃。所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在，忽视运算能力，特别是计算能力的培养，只重视推理过程，不重视计算过程的做法是不可取的。

利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力的培养，是实施素质教育所必须的，需要引起教育工作者的足够重视。加强高中数学建模教学培养学生的创新能力四、培养学生的其他能力，完善数学建模思想。

由于数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个中小学数学学习过程之中，小学解算

术运用题中学建立函数表达式及解析几何里的轨迹方程等都孕育着数学模型的思想方法，熟练掌握和运用这种方法，是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的关键，我认为这就要求培养学生以下几点能力，才能更好的完善数学建模思想：

（1）理解实际问题的能力；

（2）洞察能力，即关于抓住系统要点的能力；

（3）抽象分析问题的能力；

（4）“翻译”能力，即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来，形成数学模型的能力和对应用数学方法进行推演或计算得到注结果能自然语言表达出来的能力；

（5）运用数学知识的能力；

（6）通过实际加以检验的能力。

只有各方面能力加强了，才能对一些知识触类旁通，举一反三，化繁为简，如下例就要用到各种能力，才能顺利解出。例2：解方程组 x+y+z=1 (1) x2+y2+z2=1/3 (2) x3+y3+z3=1/9 (3)

分析：本题若用常规解法求相当繁难，仔细观察题设条件，挖掘隐含信息，联想各种知识，即可构造各种等价数学模型解之。

方程模型：方程（1）表示三根之和由（1）（2）不难得到两两之积的和（XY+YZ+ZX）=1/3，再由（3）又可将三根之积（XYZ=1/27），由韦达定理，可构造一个一元三次方程模型。（4）x,y,z 恰好是其三个根 t3-t2+1/3t-1/27=0 (4)

函数模型：

由（1）（2）知若以xz(x+y+z)为一次项系数，（x2+y2+z2）为常数项，则以3＝（12＋12＋12）为二次项系数的二次函

f(x)=(12+12+12)t2-2(x+y+z)t+(x2+y2+z2)=(t-x)2+(t-y)2+(t-z)2为完全平方函数3(t-1/3)2，从而有t-x=t-y=t-z，而x=y=z再由(1)得x=y=z=1/3，也适合（3）平面解析模型

方程（1）（2）有实数解的充要条件是直线x+y=1-z与圆x2+y2=1/3-z2有公共点后者有公共点的充要条件是圆心(O、O) 到直线x+y的距离不大于半径。总之，只要教师在教学中通过自学出现的实际的问题，根据当地及学生的实际，使数学知识与生活、生产实际联系起来，就能增强学生应用数学模型解决实际问题的意识，从而提高学生的创新意识与实践能力。

数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。

范文五：数学建模论文sars

数学建模论文

论文题目:北京 SARS 的传播研究

姓名 :熊坤学号 :130101224 专业 :机械设计制造及其自动化姓名 : 何红学号 :130701231 专业 :信息与计算科学

姓名 :劳洁琼学号 :140404317 专业 :通信工程

摘要

SARS 从 2003年陆续传入,期间先后感染 6000多人其中北京感染 2847,给我过社会和经济带来严重额的影响,为减少疾病的危害,提高人们对疾病的 ARS 的认识 , 疫情分析及对北京疫情走势的预测研究也变得尤为重要。为提高人们对疾病的 SARS 的认识并通过数学方法控制疫情的传播, 本文对北京市的 SARS 传播问题建立了数学模型,针对疫情传播特点,构建控前模型和控后模型。

针对问题一:本文研究附件一的模型 N(t)=NO(1+K),分析得出模型是基于现实中的自然状态,描述出了 SARS 传染病最核心最本质的变化趋势。因此该模型具有的合理性。

针对问题二:对于附件 1的模型建立优于它控前模型和控后。根据定义与假设列出相应的所需的方程组, 由直接拟合推导各个参数存在较大的困难, 因此采用整体拟合。再通过相应式子计算预测每日新增的隔离的 SARS 病毒感染者,整理相应的数据;最后预测北京最终的累计感染非典人数。据此,在后标题“模型的评论与改进”中阐述对卫生部门锁采取的措施的评论。

针对问题三;通过对早期模型和实际情况的分析,我们认为影响 SARS 传播因素众多,大致可分为时域因素和地域因素。列举如下:

(1)时域因素

a . 政府干预:初期疫情较轻, 政府介入不足, 后期疫情较重, 政府加强干预 (如:强行隔离,公共场所消毒等行为) 。

b .媒体宣传:初期疫情较轻,媒体宣传强度很弱,导致民众的自我保护意识不足,容易感染;后期疫情较重,媒体宣传强度很大,民众的自我保护意识大大加强。

c .认识程度:当一种新的传染病出现时,初期因为研究人员的认识程度不足, 没有及时设计并采取有效的预防和治疗措施, 但随着研究的深入, 认识程度会越来越高。

(2)地域因素

a .人口密度和人口流动:人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病,疫情程度会比人口密度和人口流动小的城市严重。

b 由政治(政府对传染病的措施和重视程度) 、经济(如该地区用于医疗事业的费用) 、文化(群众对传染病的认识) 、科技(如医学技术)水平所决定,发达地区对突发传染病的控制能力强, 能有效控制, 欠发达地区控制能力弱, 易爆发严重疫情。

c .气候:SARS 适合在春秋两季传播,且各城市的气候不同,疫情程度不同。综上我们认为一个较好的传染病传播模型因该具有如下功能:

a .能较好的描述疫情的大致走势。

b .能较精确的给出关键时间(初期爆发时刻;中期稳定时刻;高峰期; 0病例增长的时刻) ,以便政府和卫生部门针对不同作出及时而正确的措施。

c .能给出描述疫情的指标,以便政府和卫生部门决定其各项工作的力度。

关键词: SARS疫情趋势传染病控前模型传染病控后模型人群分类微分模型整体拟合回归分析

1、问题重述

1.1问题的背景

严重急性呼吸综合征(Severe Acute Respiratory Syndromes ),又称传染性非典型肺炎,简称 SARS ,是一种因感染 SARS 冠状病毒引起的新的呼吸系统传染性疾病。主要通过近距离空气飞沫传播,以发热,头痛,肌肉酸痛,乏力,干咳少痰等为主要临床表现, 严重者可出现呼吸窘迫。本病具有较强的传染性, 在家庭和医院有显著的聚集现象。首发病例, 也是全球首例。于 2002年 11月出现在广东佛山,并迅速形成流行态势

1.2问题的概述

现阶段北京 SARS 的传播正处于高峰期。由于人们对该种疾病的传播机理还不太清楚, 因此引起人们的恐慌, 它关系社会的稳定和经济的发展。因此对该问题的研究非常有必要,我们把人口分成四类,即 :健康人 S(t)SARS病人 I(t)病人免疫(包括死亡)的人 R(t)及疑似病人 P(t)四类人,利用现有数据着重从四类人口中:把该传染病进行统计学分析, 归纳出主要特征通过假设, 参数以及它们的相互联系,进行数据判定,数据假设,数据处理,数据分析,建立控前模型,数据总结等得出较为科学的 SARS 问题的控后模型。

相关信息(见附件 1、 2、 3)

附件 1SARS 疫情分析及对北京走势的预测

附件 2北京市疫情的数据

附件 3北京市接待海外游客人数

附件 4相关编程

1.3问题的提出

问题一:对附件 1所提供的一个早期的模型,评价其合理性和实用性。

问题二:建立自己的模型, 说明为什么优于附件 1中的模型, 对于卫生部门所采取的措施做出评论, 如:提前或延后 5天采取严格的隔离措施, 对疫情传播所造成的影响做出估计。

问题三:影响 SARS 传播因素以及对 SARS 疫情期间北京疫区人群进行分类。

二.数学模型的分析与建立

2.1分析与假设

将人群分为四类:

健康者 (易受感染者 ) :用 S 表示健康者在人群中的比例。

潜伏期者(已感染,尚未发病) :用 E 表示他们在人群众的比率。

发病期者 (已发病者 ) :用 I 表示病人在人群中的比例。

退出者 (死亡者 ) :用 R 表示退出者在人群中的比例。

2.2模型的建立

1.参数设定

1λ——每个病人平均每天有效接触(足以使被接触者感染)的人数。 q ——退出率,为 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。

l ——(流入)流出人口占本地总人口的比率。

1ε——处于潜伏期的病人的日发病率。

P ——流入人口中带菌者所占的比例。

2.控前方程的建立

根据我们的分析和各变量的分析, 结合实际的疫情的传播规律, 我们可以建立如下的方程组:IS dt

dS 1λ-= (1) LE LP E IS dt

dE -+-=11ελ (2) qI E dt

dI -=1ε (3) qI dt

dR = (4) 0000, , , E R I S (初值)

3.参数的确定

1) 1λ ——根据医学资料和有关数据推导而得。

2) q ——由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析,求其统计平均值。

3) l ——由城市的出入人口流动情况 (主要由经济发达程度和交通状况决

定) 。可查有关资料。

4) 1ε——根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可

得。

5) P ——由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。 II 控后模型的建立

1.参数设定

λ2——不可控人群 (在后面的分析中可得到 ) 在发病后到被隔离前平均每天接触

的人的数目。

q ——退出率,为 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。

β——接触病源的人的发病率。

ε——每天由可控人群和不可控人群转化为病人的日转化率。

2.控后方程的建立

根据上面我们的各种假设和各变量和参数的实际意义 , 我们可以建立如下控制后的疾病模型的方程组:

(5)

()qI G dt

dI -+=ωεβ (6) qI dt

dR = (7)

(8) ()

βεωωβωλω-+=G S dt

d 2 (9) 00000, , , , ωE R I S (初值)

S dt

dS ωβλ2-=()G S dt dG βεωβωλ-+=2

在得到这个模型后 , 我们对模型和数据进行了进一步的分析 , 发现这个模型中存在以下的问题 :

(1) 该模型中 , 没有充分考虑疑似病例 , 即“疑似者”和“隔离者”的之间的关系不明确。

(2)从收集到的数据中我们无法得到有关隔离者和未被隔离者的信息,因此无法对其做出分析。

从以上两点出发 , 我们对模型进行了改进 , 我们仍将将人群分为五类 , 但这五类人的界定作了改动:我们将隔离者和未被隔离者改为“疑似者”和“自由带菌者” , 用 Y 和 M 分别代表这两者在人群中所占的比例。以下是对“疑似者”和“自由带菌者”的说明:

疑似者:所有未确诊的非健康者。包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者和还未出现症状但已疑为带菌者而被隔离观察的。在此我们假设这一阶段中的所有的病人产生都是被前几阶段的病人传染而来的。

自由带菌者:不可控的病毒携带者。

综合上面的未考虑因素和部分不确定因素,我们提出以下改进模型: III 控后优化模型的建立

1.参数说明

1y —— 疑似中每日被排除的人数占疑似人数的比例;

2y ——疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例;

ε ——每个自由带菌者转化为病人的日转化率;

2λ——每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数;

α ——被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率;

2.方程的建立

MS Yy dt

dS 21λ-= (10) Y y qI M dt

dI 2+-=ε (11) qI dt

dR = (12) αλMS Y y Y y dt

dY 221+--= (13)

M MS dt

dM εαλ--=) 1(2 (14) 注 00000, , , , M Y R I S 为初值

3. 参数的确定

鉴于每个地区的情况(医疗卫生水平,经济发展情况,人口密度等)不同,所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析, 而应该各个城市分别对待。由于北京在强化控制阶段采取措施相当严格, 而且找到的数据也比较齐全, 故我们以北京为例来说明参数的分析方法。

1) 1y ——疑似者的日排除比例:

计算公式:1y =

当天疑似病例累计人数数每天新增的疑似排除人以北京为例说明:

首先我们直观的观察一下 y1的变化趋势,根据卫生部的每日疫情公布数据求出每天对应的 y1(见后面列表 5 ) ,用 matlab 画图,如下图 1所示:

图 1

初步用曲线拟合处理一下原始数据,如图 2所示:

(光滑的线为 cubIc 拟合曲线)

图 2

可以看出 y1大概有两个峰值,第一个峰值是由于采取措施力度很大,加之强化控制初期市民有较恐慌的心理, 导致疑似病例中非感染者比例较高; 第二个峰值则是因大部分真正带病的疑似者已转化为确诊后,未带菌者相对比例增大造成的。

虽然三阶拟合能在一定程度上反映 y1的规律,但如果用这个图来分析就会发现误差特别大,为此,我们去除几个偏离太大的点,得到下图 3:

图 3

其中,平直的线为 lIneaR 拟合直线。

再用威布尔分布观察一下处理后的 y1的值的分布情况, 如图 4所示:(对威布尔分布做解释)

图 4

可以看出 y1的值主要分布 2%— 4.5%之间,其中概率最大的取值为:3.51%,故我们在模型建立过程中,就取 3.51%为 y1的概率平均值。

2) 2y ——疑似转化为病例的日转化比:

计算公式:2y =

当天疑似累计人数确诊的人数每天新增的疑似转化为以北京为例

同 y1的分析方法一样, 首先我们直观的观察一下由已知数据算得的各天的 y2(见后面的列表 5)的变化趋势如下图 5所示:

图 5

原始的数据有一些点偏离太大,去除这些点后,得到下图 6:

图 6

从原始数据可以看出 y2总的

趋势是下降的, 先用曲线拟合

处理一下如图 7:(光滑的线是

y2的五阶拟合线)

图 7

显然, y2在病情得到较大重视之后总的趋势是下降的,但是初期因初始的自由带菌者较多,还有一个较大的峰值。

最后,我们依然用威布尔分布来观察一下 y2的值的分布情况,如图 8所示:

图 8

可以看出 y2的值主要分布 0.05%— 2%之间, 但是 y2不同于 y1的分布那么均匀, 所以我们不能用一个有效值来取代 y2的值。在这里, 我们把 y2的值分布人为划分为两个阶段值:2.229%和 0.59%。

如下图 9所示, y2的两个有效值分布在中直线的两侧。

图

从对 y1与 y2的数据处理来看, 我们可以将强化控制后的这段时间分为两个阶段:过渡期和平稳期; 这两个阶段的产生是与非典自身的特性分不开的。由于非典具有潜伏期, 所以在强化控制初期, 由于前一段时间对非典的控制力度不够, 造成较多的人处于非典潜伏期, 这一部分人最终将转化为非典病人; 且因为他们为自由带菌者, 在被收治以前会传染较多的人; 加之各项措施从颁布到实行总会有一段反应时间, 所以上述原因直接导致了过渡期的形成, 其特征为:y2较大, q (退出率)较小。 (有关 q 的分析见对 q 数据处理)

3) q 的计算公式 =

当天病人累计人数

的人数每天新增的治愈和死亡以北京为例:

从 q 的原始数据(见附表 5)中我们可以看出, q 的值也存在阶段性。 5.16日以前, q 的值大概在 1%左右摆动,不存在较大的波动;而 5.16日以后 ,q 的值基本都在 1%以下。由于 q 的定义中包括了治愈率与死亡率两部分,在过渡期,由于发病人数较多,治愈率相对较低;当进入平稳期后,发病人数减少,治愈率必然增高。故这与我们上面对于过渡期和平稳期的假设是吻合的。

4) ε——从数据可推算出其值在 12%— 30%之间我们在这里令 %20=ε。

5) α——与城市的人口密度、生活习惯等因素有关,由于在强化控制阶

段对人员的流动控制的相当严格,还采取了比如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施 , 故我们可估计 %90~%70=α

3.模型的求解:

很明显从我们建立的模型是无法得到 s , i , r , y , m 的解析解的。为了解决这个问题,我们求助于 matlab 中的龙格—库塔方法来求出它们的数值解。

我们先通过采集到的实际数据算出每一天的 s , i,r,y,m ,做出它们与时间的函数图象, 然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。对比这两组图, 可以发现实际和理论存在着一定的差异。这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。所以,我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数(λ2, ε, α)来使实际图象和理论图象趋于一致。

经过多次调试 , 我们发现,当 λ2=0.71人 , ε=0.2,α=0.8时 , 实际图象和理论图象有最好的符合。而这三个值均在我们估计的范围内, 所以我们认为这三个值的得到是合理的。 (matlab 程序及画图结果附于论文后) 三 . 各地疫情分析

(1)北京地区

首先从已知数据看一下北京地区病人比率图(如下图 10所示) :

图 10 北京地区病人比例图

显而易见, 北京的发病人数在 4月 29日到 5月 15日这段时间内有最大的增长率即这段时间是北京非典疫情的“高潮期” ;由于政府措施得力,公众健康意识增强,非典病情从 5月 16号之后开始趋于缓和,在我们的参数分析中,北京各参数取值如下::1y =0.0351, 21y =0.0299, 22y =0.00555;1q =0.0087 2q =0.025, 2λ=0.71,α=0.8 , =ε0.2。 2λ取的是 0.71,即每个未被隔离的病人平均每天感染 0.71人,所以,北京地区政府采取的隔离措施是较为得力和及时的,在疫情完全扩散之前就阻断了大部分病源与健康人群的接触, 使传染链受阻, 有效的阻止了疫情的进一步扩大;在政府正式采取措施后 2q =0.025,可以看出此时的治愈率是比较高的, 与其他疫区相比北京的治愈率也是相对较高的, 这说明:北京的卫生部门对非典的预防措施比较及时的控制了病人与医护人员以及其他易感染人群的交叉感染, 从而基本断绝了病毒传播的一个主要途径; 同时其治疗措施相对较为完善,稳定了疫情。

从北京的地理位置和特定的社会环境(全国政治、经济、文化、交通的中心)来看,北京要想有效控制疫情的传播,应该注意以下几点:

1)首先必须强化对流动人口的管理,即认真抓好流入人口是否患有非典或携带有非典病毒的检查和确认。这样的话, 北京才可能在不受输入病人侵袭的前提下, 打好抵御非典的攻坚战。

2) 其次,要强化对公共场合(如公交、商场、餐厅、娱乐场所等)的管理,要

采取责任到部门,责任到单位,责任到个人的管理方式,明确责任,规范管理,做到环环相扣,一丝不漏。

3) 最后还要注意那些人口流动比较快的场合 (如汽车站、火车站、飞机场、宾馆等 ) 的管理, 要强化这些场所的卫生宣传, 增大防护工具以及消毒工具、药品的使用力度,以减少病毒大肆蔓延的可能性。

(2)内蒙古地区

下图 11为根据内蒙古公布的数据画出的内蒙古每日病人累计所占比率的统计图 ,

图 11 内蒙古每日病人累计所占比率的统计图

可以看到由于内蒙古的地理位置比较偏僻, 人口密度比较小, 经济较不发达, 其疫情的控制相比较于北京而言难度要小一些, 从而出现了疫情很快得到较好控制的局面,在分析内蒙古模型时我们的参数设定如下:11y =0.0271, 12y =0.06 , 21y =0.0456, 22y =0.0078; 1q =0.014, 2q =0.030, λ2=0.75,α=0.78, ε=0.2。可以看到 λ2取得是 0.75比北京的稍高一些,这是由于内蒙人口比较分散、自由带菌者不好控制而导致的; 但是, 由于内蒙古疫情始期较晚, 其时全国对非典已较为重视, 因此采取措施就相对比较及时, 所以尽管措施实施有一定难度, 疫情还是被有效地控制了下来。同时,由 1q =0.014而 2q =0.030, 2q 明显比 1q 大, 说明内蒙古卫生部门在后来采取的措施是更有效的, 这从一定程度上促进了疫情得以快速缓解。

考虑到内蒙古的地理位置偏远, 人口较分散, 经济较不发达, 内蒙古非典的防治主要应做到以下几点:

1) 做好非典卫生知识的宣传, 在比较偏远的乡村和人口密度很小的地区要专门进行有关非典的传播特点、典型病症、预防常识等知识的大力宣传。

2)强化对农村人口的管理。农村是相对人口密度比较小,但是医疗水平最低, 人们健康意识最低的区域。一旦农村人口染病, 就可能导致一大批人的交叉感染,

出现新的疫情。因此,保证农村人口不被感染具有很重要的意义。

3)强化消毒工具、药品的使用。由于内蒙古的经济不是很发达,可能导致人们不重视或不能有效的使用消毒工具和药品, 政府应该拿出专门的资金和人力来弥补由于经济原因带来的隐患,而不要等到病毒死灰复燃之时再来采取应急措施。

4)其他。比如改善建筑物的通风条件、改善人们的卫生环境、提高人的自然免疫力等都是政府应该想到的有效措施。

(3)广东地区

还是先看一下广东地区的病人累计所占比率统计图(如下图 12所示) :

图 12

从上图可以看出, 广东地区发病人的比率在 4月 21号到 5月 10号左右是上升的很快的, 这主要是因为本地区疫情持续的时间较长, 政府采取的措施不是很得力造成的,我们在模型分析中采用的参数得值如下:11y =0.0694, 12y =0.01 , 21y =0.25, 22y =0.001; 1q =0.006, 2q =0.005, λ2=0.8, 1α =0.8, 2α=0.85, ε=0.2。从 1q =0.006, 2q =0.005,可以看出广东的卫生部门采取的措施开始不是很得力, 疫情的初期没有得到政府的充分重视, 从而导致了疫情的持续, 快速增长, 一直到国家下达严防命令后才采取有效的措施, 故广东的疫情缓解也是从 5月 10号左右才开始的。针对这一情况,我们对广东的非典疫情的控制提出以下建议:

1)加强流动人口的控制和管理。广东地区,经济比较发达,人流量大,且和北

京不同的是外来打工者占流动人口的比率很大, 这些人口是不易控制和管理的潜在非典传播者,因此,做好外来人口的管理工作在这里显得特别重要了。

2)强化潜在、分散的病毒转播者的控制。广州地区由于疫情的传播时间长,地区比较分散, 造成了潜在的病毒携带者比较多且分布很分散, 所以, 在非典开始呈缓解趋势的这段时间, 我们一定不能放松对这些潜在危险的警惕, 提前做好相关的宣传和制定相关的切实可行的法规, 做到有章可循, 有法可依, 真正消除大面积的交叉感染。

3)注意卫生环境的改善。据专家研究发现非典的传播和天气有一定的关系,病毒容易在日温差比较小, 气压产生回差的气候下大肆传播, 因此, 随着夏日的来临, 大家要注意不要把工作环境营造成特别利于病毒传播的小气候。而应该注意开窗通风,保持室内空气的流通。

4)注意消毒液的合理使用。如使用像过氧乙酸之类的消毒液时,由于过氧乙酸等溶液容易挥发、分解,其分解物是醋酸、水和氧,腐蚀性较强,因此,室内消毒后, 一定要保持室内空气中的药液的相对浓度不能太高。避免对人体造成大的刺激。

5)禁止食用果子狸等携带 sars 病毒源的食物,对已发病的病人进行隔离。 (1)香港地区

下图 13是根据香港特区卫生署的非典疫情发布数据画出的原始统计图:

图 13香港特区原始统计图

从图上可以看出:香港地方政府采取的措施比较早, 而且成效不错。但是由于人口流动快, 社会各层面的人相互交往频繁, 导致不可控的病毒传播者比较多, 因此, 疫情一直呈现出上升趋势, 而且, 我们可以看到在近期内病人比率还不会有

较大幅度的下降, 因此香港的非典工作需加大力度。结合香港的实际情况, 我们有以下建议:

1)加强散发病人的管理。由于香港的人口流动快,潜在传播者的危害就更明显了, 所以一定要强化和关注零散病人的及时隔离和医治, 以防再次引起大片的感染人群。

2)强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离。香港的疑似病人和确症人数基数很大, 在病情出现缓和的阶段如果放松对这些人的医治和隔离可能会导致再次的大量的交叉感染的发生,因此,一定要坚持不懈的抓好对他们的医治和管理。

3)注意对流动人口的管理。由于香港是亚洲的金融中心,人口流动明显不可避免, 这给疫情的控制带来了一定的难度, 同时也是导致病毒大量传播的潜在因素, 控制好流动人口不仅仅对香港的疫情有很重要的意义, 同时对祖国大陆的疫情的早日消失也有着较强的作用和影响的。

四 . 各地疫情预测

4.1分析与假设

本模型根据现有的控制程度进行预测。假设政府和公众采取的措施不会下降, 如果随着疫情的缓解人们的警惕心理下降, 政府的措施不再特别得力, 将会导致病菌的传播死灰复燃,引起病人的比率又出现小的峰值(这在“各地疫情分析”中已经对各地进行了假设分析) 。预测依据现在的医疗及防控水平, 因 SARS 是一种非典型的病疫, 医学界对它的认识不足, 既没有有效的预防措施, 也没有较完善

的治疗方案,因此在控制初期治愈率较低,自由带菌者的日传染人数

较大; 但是,随着医学研究的深入, SARS 治疗方案的完善,治愈率可能会有较大的提高,同时,预防措施也会更加有效(据有关资料,在不久的将来可能会研制出非典预防针) ,因此实际疫情可能会比我们预测的提前结束。

(1)北京地区的疫情预测

利用我们建立的优化模型对北京地区的 SARS 发病人数进行预测, 下图 14是我们通过 matlab 画图得到的病人比率图。 (其中的不规则的点是卫生部公布的累计确诊人数占的比率)

图 14

从上图我们可以看出:

1) 病情在 5月 3号到 5号左右达到 “高潮期” , 即图中曲线上升最快到开始平缓的时期;

a 发病人的比率在 x=30即 5月 28~31号左右出现最大值,且

0002. 0max =I ;但此时已经不是病情的“高潮期”

,因为这个比率是累计确诊的人数的比率;

b 疫情大约在 5月 30号之后开始缓解,并逐渐趋向缓解。从 5月

30号到 10月份左右是庾情的“缓解期” ;

2) 发病者的比率在 x=80左右即 7月 20号左右下降到 4月 25号左右的水平, 此时, 0001. 0=I ; 但是,需要指出的是,我们的预测是依据现在的医疗水平和药疗效果进行的,因此,预测可能会因为将来新药的研发而提前进入 SARS 的完全控制期;

3) 发病者所占的比率大概在 x=300时将到 0, 因此, 我们预计北京的 SARS 疫情将在明年 2月份左右得到完全的消除,即疫情的“最终控制期” ;

(2)内蒙古地区的疫情预测

利用我们建立的内蒙古地区的 SARS 模型和我们前面的假设,我们可以利用 matlab 得到内蒙古的疫情预测图如下图 15所示:(其中的离散的不规则的点是根据卫生部公布的每日非典型肺炎疫情数据画出的原始图)

注意:图中 y 轴值得数量级为 510-?

图 15

从上图可以看出:

4) 病情在 5月 8号到 9号左右达到“高潮期” ,即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时期;

5) 发病人的比率在 x=22即 5月 14~15号左右出现最大值,且

4max 102968. 0-?=I ;但此时已经不是病情的“高潮期”

,因为这个比率是累计确诊的人数的比率;

6) 疫情大约在 5月 30号之后开始缓解,并逐渐趋向缓解。从 5月 30号到 10月份左右是庾情的“缓解期” ;

7) 发病人的比率在 x=120左右即 8月 20号左右下降到 4月 23号左右的水平,此时, 6106753. 03-?=I ,需要指出的是,我们的预测是依据现在的医疗水平和药疗效果进行的,因此,预测疫情可能会因为将来新药的研发而以更快的速度得到完全控制;

8) 发病者的比率大概在 x=280时将降到 0, 因此, 我们预计北京的 SARS 疫情将在明年 1月份中下旬得到完全的消除,即疫情的“最终控制期” ;

(3)广东地区的疫情预测

利用我们建立的内蒙古地区的 SARS 模型和我们前面的假设,我们可以利用 matlab 得到内蒙古的疫情预测图如下图所示:(其中的离散的不规则的点是

根据卫生部公布的每日非典型肺炎疫情数据画出的原始图)

从上图可以看出:

9) 病情在 5月初达到“高潮期” ,即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时期;

10) 发病人的比率在 x=26即 5月 17号左右出现最大值 , 且

5max 109194. 1-?=I ; 但此时已经不是病情的 “高潮期”

, 因为这个比率是累计确诊的人数的比率;

11) 疫情大约在 7月 20号之后开始缓解,并逐渐趋向缓解。从 7月 20号到明年 2月份左右是疫情的“缓解期” ;

12) 发病人的比率在 x=60左右即 6月 20号左右下降到 4月 21

号左右的水平,此时, 51069. 1-?=I ; i— t 曲线的下降阶段在 6月

初到明年 2月一直都有较大斜率, 这说明在这么长的一段时期内都将

会有大量的病人出院。以后的一段时期里虽然病人并没有完全消除, 但我们可以说这少量病人都是在我们的控制之下的, 治愈他们只是时

间早晚的问题。所以在明年 2月份广东地区能达到其控制期。但是由

于发病者的比率大概在 x=900时将降到 0,因此,在未考虑医疗条件

和新药的研发前提下, 我们预计广东的 SARS 疫情将在 2004年 4月份

中下旬得到比较好的控制到 2005年 12月得到完全的消除, 即达到疫

情的“最终控制期” 。

比较三地疫情预测,我们可以看出广东地区是最晚达到“最终控制期”的,通过分析我们发现这是因为从数据来看, 这段时期广东地区的病人治愈人数一直比较少, 而我们是按现在的治愈率来预测疫情的发展, 故疫情维持的时间比实际的可能长一些, 但是总体趋势是不会有大的变化的。再则, 由于广东发布的数据表现出的统计规律不是很强, 导致数据出现陡升陡降的情况, 给我们的预测也多少带来了困难和误差,

还需要指出的是,我们采集到的数据是从 4月 21号才开始的,而广东的疫情是从 2002年 11月开始的, 因此造成我们的数据点主要分布在广东地区的疫情已经开始趋于平缓的时段,造成我们的预测可能有较大的误差;

4. 2控后模型的相关假设

1、所获得的数据由权威部门提供的全国疫情统计数据真实可信;

2、将 SARS 所有传播途径都视为与病源的接触

3、在疾病传播期内所考察地区的总人数视为常数 N ,即认为本地区流入的人数与流出的人数均相等,时间以天为单位:

4、假设每个病人单位时间有效接触人数 r(所谓“有效接触”是指病人与健康这接触时,足以使健康者受到感染而成为病人 ) 为常数:

5、根据国家卫生部门资料可知处于潜伏期的 SARS 病人不具有传染性:

6、根据国家卫生部资料, SARS 康复者二度感染的概率为 0,他们已经退出传染体系,因此将他们归为“退出者” 。

7、将人群分为五类:

1. 健康者:(易感人群 )

2.已被隔离的 SARS 感染患者

①疑似病人:被隔离但没有确诊或排除的人员。

②确诊 SARS 感染患者

3. 未被隔离的 SARS 感染患者。

4. 治愈人群(不会传染 SARS 的人群)

①死亡人群

②治愈人群

5、模型的建立与求解

5.1 SARS传播模型的建立

1. 根据之前的定义和假设,我们知道每个未被隔离的 SARS 病毒感染者每天可以使 1λS ()t 个健康易感染者,假设未被感染者的 SARS 感染人数为 ()t Ni 。因而知道每天被未隔离感染者感染的健康易感染者共有 1λS ()t ()t Ni 。同理, 每天被已隔离的感染者感染的健康者共有 ()o Ne t S 2λ。此外还知道每天新增被隔离的感染

SARS 患者总数为:()()t iS i N 10λξ+。

综合可得出, 每天新增的、未被隔离病人感染的数量总数为:()t d d N

1λ=()t N i + ()o Ne t S 2λ— ()()t iS i N 10λξ+ (1)

在每天新增被隔离的 SARS 感染者中减去每天治愈的人数和死亡的人数,可以得到有效的每天感染者的数量: ()()00100

Ne Ne t iS i N d de N

βμλε--+= (2) 每日治愈人数

t I

d d N =0Ne υ (3)

每日死亡人数

0Ne d d N

t d

β (4) 并且,根据所占比例。应有:

1) () () () () (=++++t e t d t r t i t S (5)

上述式(1) ~(5)构成了求解 SARS 模型所需的常微分方程组,即 SARS 模型。 5.2问题的求解。

考虑到直接拟合推导各个比率参数 , 存在很大的难度 , 我们采取了整体拟合的策略 , 以避免求解 1λ、 2λ、 0ε、 μ、 β时遇到相关数据缺乏所造成的困难。 5.2.1预测北京最终的累计非典感染人数

根据假设,每日新增的 SARS 病毒的感染者人数为 ()) (10t iS i N λε+,其中有来自新收治病例的 20%,来自疑似病例中的 80%,根据已知数据有当天新隔离感染者为:

()) (10t iS i N λε+ =(当天确诊人数 -前一天确诊人数)×20%+(后一天确诊人数 -当天确诊人数)×80%

以 2003年 4月 21日作为第一天,据此计算从 4.21-5.17, 每日新增隔离的病毒感染者人数如表 1所示:

根据这 27组数据,对表 1所得计算结果进行简单的描点(如图 1折线所示)其分布与指数曲线 bt ae t f -=) (近似 (如图 1曲线所示 ) ,所以对其进行整体回归拟合得到的表达式为: t e t f 03538. 05. 147) (-=

通过拟合的曲线能够看到,在 t=76的时候,新增隔离病毒感染者人数已近趋于 0。

5.2.2 预测北京 SARS 疫情结束的大致时间

当北京当天需要被隔离的人数降到 0时,说明 SARS 病毒已经不再传播,疫情已经解除。每日处在隔离中的 SARS 感染的总人数为 N e 0。

N e 0=当天已经确诊的病例 -当天死亡人数 -当天治愈出院人数

对其进行简单的描点,其图像大致和高斯函数图像较为吻合,如图 2所示

当 N

=0时,也就是说在 7月 10或 7月 11左右,北京地区当天隔离的 SARS 感染人数为 0,我们预测此时北京的非典疫情结束。

五 . 模型优缺点分析与改进

模型优点:

(1) 模型根据现有的数据资料设置变量,各变量之间关系明确,且各个参数可比较方便地得到。

模型重点是分析规律和进行预测。因为已知数据受很多随机因素的影响,规律性受到干扰,所以其变化情况不能较好地表达总体的规律性,进而不能对疫情进行较准确的预测;针对这个问题,我们对已知数据进行了统计平均,从总体的平均规律入手,没有局限于仅对现有数据的模拟。但是也要根据现有的数据对模型进行检验。从前面求解方程得到的图形结果来看, 模拟的曲线确实较好地代表了现有数据的总体变化规律。

(2)提出控前模型,由之前的数据进行拟合分析,创新地提出预测分析的控前模型,增加论文的实用性和合理性。

(3)控后模型具有较好的代表性,表现在以下两个方面:

1) 欲对某疫区进行预测, 只需对几个参数进行求解, 代入方程组并给出初值即可;

2) 对于控后的过渡期和稳定期两个阶段, 只改变其中的三个参数和初值, 即可得到较好的模拟和合理的预测。

(4)构建传染病模型的数据分析方法,贴切问题实际,有效解决问题

模型缺点与改进:

(1)控前模型只考虑了流动人口对出入城市的影响,忽略了交通工具上的传播,实际上从北京、太原以及全国其他地区的 SARS 疫情来看,交通中的传播有一定的影响。而且除了人口流动,城市交通,还会存在其他的偶然性因素对 SARS 疫情产生有效影响,本模型研究方向不够广泛,忽略了各种偶然性因素的影响。

改进思路:分析交通工具内的传播,除了容积、通风等外,还应考虑旅程时间的长短。同样条件下, 距离越远 SARS 传播的概率越大。根据民工流动与 SARS 扩散趋势, 可得:以北京为输入地的民工流动主要态势是沿京港线、京包线、石太线分布;而以广东为输入地的民工流动主要态势是沿京港线分布。因此可根据上述民工流动情况和交通路线的长短考虑交通过程对各地控前模型加以改进。除此之外,根据事情受多种因素影响时,多为正态分布这一定律,控前模型应结合偶然因素产生的可能性进行分析。

(2)控后模型中各参数对现有数据进行了概率平均,这在医疗水平和防控力度不变的假设下能较好地代表 SARS 的传播和控制规律,但实际情况必会随时间推移有较大的变化,针对此问题提出两点缺陷和改进方法:

a) 退出率 q 的物理意义或获取方式有一定的误差。为了使方程为常微分方程且

使之适合用龙格 -库塔法求其数值解,定义 q 为每天退出者占当天累计病人的比例。但是随着病人数的减少 q 势必有特定的变化趋势, 我们取其概率平均在较短时间内能较好地符合规律, 但预测时间较长时就不能简单地取概率平均值了,这就是我们预测最终控制期很长的最主要原因。

作为改进方法,可以对根据已知数据求出的 q (t )进行最大概率曲线拟合 ,得到关于 q 的函数,将此已知函数代入常微分方程组进行求解,则可能对提高预测结果的准确性有较大的帮助。最简单的 q (t )为 t 的一次函数。 b) 对于由于医学突破引起的参数变化, 可对模型参数进行适当的修正, 便可得到符合规律的预测。 (3)控后模型在对香港进行分析时遇到了困难,因为香港的已知数据中对人群的分类与模型不一致,因此论文中没有对香港疫情进行预测,这里提出针对香港人群分类提出的修正模型 :

? 将人群分为四类:健康者 S ,确诊病人 I ,自由带菌者 M ,退出者 R , ? 参数为:α——被感染者中的可控比; ε——自由带菌者的日平均发病率;

λ——每个自由带菌者在被收治前平均每天传染的有效人数; q ——病人的日治愈率。

? 建立的微分方程组为:

S M dt

λ-= (15) ελM qI dt dI

+= (16) qI dt

= (17) ) 1(αλ-=M dt

(18) (4) 模型采用常微分方程方法进行分析自身就有一定的缺陷:微分方程对 SARS 传播是以个体相互作用的情况而言,其计算结果的准确性、可靠性将受到限制。且因数值解的不确定性,只能对不太长的阶段进行预测(不超过 500天) ,若预测时间较长则会出现曲线抖动情况。

改进思路:借鉴中科院研究生院的 SARS 预测研究方案,采取流体力学中宏观偏微分方程和微观分子动力学方法相结合的方法,建立 SARS 传播的概率模型。即对现有数据完全进行概率统计,不建立常微分方程,而是建立改进的偏微分方程。但是这样明显使得计算量大幅度增加,由于时间限制,我们没有将此模型投入实践。虽然如此概率模型的优点不容忽视:它大大提高了计算结果的准确性和可靠性,从概率学角度出

发抓住了 SARS 传播的基本规律,使预测更加准确。

不论是本论文模型还是概率模型,进一步的工作和更准确的结果给出将有待于收集传染病学实际资料,并需考虑空间分布的更复杂模型与进行 Monte CaRlo 大量计算后方能得到。相信随着人们对 SARS 的进一步认识,随着社会各界的深入研究,从数学角度看, 其控前模型和控后模型将更加完善, 预测结果将更准确, 从医学角度看, SARS 将有更好的治疗方案和防控措施,疫区范围大大减小,疫期将进一步缩短, 。疫情更容易得到有效控制。

六、参考文献

[1]中华人民共和国卫生部网站, http ://www . m0h . gov . cn /

[2]百度百科:http ://www.baidu.com /

[3]王树禾著.常微分方程模型与混沌 [M].

[4]朱道元编著.数学建模精品案例 [M].东南大学出版社, 1999年 8月第 1版 [5]王兵团编著 . 数学建模基础。

[6]吴建国编著 . 数学建模案例精编。

附录

附件 1:北京市疫情的数据

( 据 : http://www.beijing.gov.cn/Resource/Detail.asp?ResourceID=66070 )

附件 3:北京市接待海外旅游人数(单位:万人)

附 5

x=1:1:27;

y=[113.4 , 105.2, 85.8 , 98.6 , 109.4 , 123 , 93.2 , 135.4 , 104 , 109 , 89 , 100.6 , 70.6 , 87.6 , 69.2 , 83.8 , 87.4 , 50.2 , 43.2 , 40.4 ,

38.8 , 42.2 , 27 , 19 , 17.2 , 15.4 , 14.2];

plot(x,y);

clf;

x=1:1:27;

y=[113.4 , 105.2, 85.8 , 98.6 , 109.4 , 123 , 93.2 , 135.4 , 104 , 109 , 89 , 100.6 , 70.6 , 87.6 , 69.2 , 83.8 , 87.4 , 50.2 , 43.2 , 40.4 , 38.8 , 42.2 , 27 , 19 , 17.2 , 15.4 , 14.2];

plot(x,y);hold on;

p2=polyfit(x,y,2);

p3=polyfit(x,y,3);

p7=polyfit(x,y,7);

disp('二次拟合曲线 '),p2

disp('三次拟合曲线 '),p3

disp('七次拟合曲线 '),p7

x1=0:1:27;

y2=polyval(p2,x1);

y3=polyval(p3,x1);

y7=polyval(p7,x1);

plot(x,y,'rp',x1,y2,'--',x1,y3,'k-.',x1,y7)

legend('拟合点 ',' 二次拟合 ',' 三次拟合 ',' 七次拟合 ')

x=0:1:120;

z=258.3*epx(-0.08675*c);

plot(x,y);

x=1:1:150;

y=1997*exp(-((x-26.56)/22.94).^2);

x1=1:1:64;

y1=[288,

414,

514,

603,

671,

762,

864,

980,

1062,

1198,

1275,

1371,

1530, 1585, 1673, 1719, 1798, 1872, 1895, 1936, 1959, 1967, 1969, 1979, 1991, 1991, 1968, 1955, 1938, 1895, 1841, 1770, 1723, 1660, 1628, 1589, 1512, 1473, 1413, 1337, 1253, 1217, 1184, 1152, 1078, 1020, 936, 894, 795, 685, 589, 516, 460, 391, 339,

278,

211,

176,

159,

141,

99,

73]

plot(x,y,'r',x1,y1,'b');

legend('每日处在 SARS 隔离的总人数拟合 ',' 每日处在 SARS 隔离的总人数 '); xlabel('图 2 每日处在 SARS 隔离的总人数拟合图 ');

x=1:1:27;

y=[96.4,99.2,69.5 , 85.6 ,97.4,114 , 83.2 , 132.4 , 92 93 , 72 , 82.6 ,

59.6 , 80.6 , 63.2 , 66.8 , 77.4 , 37.2 , 40.2 , 31.4 , 23.8 , 11.2 , -14 ,

6 , 11.2 , -1.4 , -23.8];

plot(x,'g',y,'y');cl

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