操慕洁冰
范文一：动量表象下力学量算符的讨论
动量表象下力学量算符的讨论
动量表象下力学量算符的讨论
*
魏代会，梁婵娟，杨永栩
(广西师范大学物理科学与技术学院，广西 桂林 541004)
?
摘 要：讨论了常用的量子力学量算符及薛定谔方程在动量表象下的表示形式，重点讨论了坐标算符的表
示形式的选取问题。
关键词：动量表象；力学量算符；薛定谔方程 中图分类号：O413.1 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2010)01-0037-03
1 引言
表象是量子力学的基本概念之一。表象的英文形式是“representation”，直译出来就是“表示”。关于
[1]
、“态和力学量算符的每表象的定义，有很多版本，如“量子力学中态和力学量的具体表示形式称为表象”
[2]
一组可能的表示方式称为表象”等，这些说法都比较抽象。一般说来表象就是用什么物理量来表示物理体系的行为，比如用动量就是动量表象，用能量就是能量表象，在不同表象下研究问题，就好比在不同的坐标系下研究几何问题，所得的结论不会因为所选取的表象不同而发生改变。大多数情况下，人们习惯采用坐标表象，是因为坐标表象容易根据物理问题的要求写出波函数满足的边界条件，另外一些常用势在坐标表象中
[3]
是定域的，表述起来比较简单。但对于处理一些问题，例如，依赖于动量表象的势V (p ) ，它们不是坐标空间中的定域势，采用在动量表象下进行讨论则比较方便。因此，在动量表象下讨论力学量算符和薛定谔方程的具体表示形式具有一定的实际意义。
2 力学量算符在动量表象中的表示
?(x , ?i ?) 在Q 表象中的表示 2.1 任意力学量算符F
?x
?的算符方程（以一维为例） 坐标表象中，F
?(x , ?i ?) ψ(x , t ) （1） Φ(x , t ) =F
?x
选择表象时，首先注意到力学量算符Q 的本征函数完全集{u n (x )}作为基矢，并假设Q 具有分立的本征值
{Q n }，然后把ψ(x , t ) ，Φ(x , t ) 按u n (x ) 展开
?ψ(x , t ) =∑a m (t ) u m (x ) ?m （2） ?
?Φ(x , t ) =∑b m (t ) u m (x )
m ?
代入（1）式后两边以u n d x 作用，并利用{u n (x )}的正交归一性，可得
b n (t ) =∑F nm a m (t ) （3）
m , n
∫
*
??(x , ?i ?在Q 表象中的矩阵) u m (x )d x n , m =1,2,3 。F nm 就是力学量算符F ∫?x ?x
?F 11…F 1m ?
元，它所构成的算符矩阵为? ?。
???F F ?
mn ??n 1?(x , ?i 式中F nm =u n *(x ) F
* 基金项目：国家自然科学基金项目(10979012)
? 通讯作者：weidh@ihep.ac.cn 收稿日期：2010-01-22
37
第31卷 第1期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.31 No.1 2010
如果Q 只具有连续的本征值λ，且对应的本征函数是u λ(x ) ，则将ψ(x , t ) ，Φ(x , t ) 按Q 的本征矢展开，得到
ψ(x , t ) =a λ(t ) u λ(x )d λ Φ(x , t ) =b λ(t ) u λ(x )d λ （4）
代入（1）式，采用类似分立谱情形的推导方式，只是将u (x ) ，a (t ) ，b (t ) 的脚标由可数的n ，m 换为连续变化的λ，并将所有的求和转换为对λ的积分，
∫∫
?(x , p ?x ) a λ(t ) u λ(x )d λ （5） b λ(t ) u λ(x )d λ=F
∫∫
用u λ′(x ) 左乘上式两边，并在x 变化的整个区域内对x 积分，有
δ(λ′?λ) b λ(t )d λ=F λ′λa λ(t )d λ （6）
*
∫∫
?(x , p ?x ) 变换到任意表象中的表示从（6）式中可以得到，在Q 的本征值是连续谱的情况下，坐标表象中的F
?(x , p ?x ) u λ(x )d x 。只不过，连续谱情形下的矩阵的行列不再是仍然是一个矩阵，其矩阵元为F λ′λ=u λ′(x ) F
∫
*
可数的，而是用连续变化的下标来表示的抽象的矩阵形式。
?(x , ?i ?) 在动量表象中的表示 2.2 力学量算符F
?x
i p x x 1?(x , ?i ?在动量表象下的 作为基矢，则算符在一维情况下，动量算符本征函数u p (x ) =F e
?x (2π ) 2
矩阵元为
?(x , ?i ?u ′(x )d x （7）F pp ′=∫u *x F () p p
?x
?x （1）动量算符p
i i i i
′x ′x ?p x x p x x ?p x ?p x 1? 1 ?x ) p x ′p =e (p (?i ) e d x =(?i ) ∫e (e )d x
2π ∫?x 2π ?x
（8）
i
′?() p p x 1x x
p x ∫e =d x =p x δ(p x ?p ′x ) 2π
?x 在动量表象下的矩阵元为p x δ(p x ?p ′动量算符p x ) ，动量算符在自身表象中即为动量本身p x 。
? （2）坐标算符x
?=x 为例进行推导，代入（7）式，有 仍取x 分量x
i i
′x p x ?p x x 1
x p x p x ′=e xe d x （9） ∫2π
i i i i
?p x x ?px ?p x x ?? p x x i ?
因为(e ) 与(?的乘积， (e ) =(?) xe ，则可以把xe 看成是
i ?p x ?p x
x p x p x ′
i i i i
′x ′x p x x p x p x ?p x x 1 ?? 1??
e e x e e x δ(p ′ =(?)() d =(i) d =i x ?p x ) （10） ∫∫2π i ?p x 2π ?p x ?p x
i i i i
′x ′x ′x ′x p x p x p x p x ? i ?
对于（9）式，我们还可以作如下的推导，因为，所以可以把xe 看成是(e ) (e ) =() xe
′ p ?p ′?x x
与(?i ) 的乘积，则
x p x p x ′
i i i i
′x ′x ?p x x p x p x ?p x x 11 ? ?
e xe x e e x =d =()() d =(?i δ(p ′x ?p x ) （11） ∫∫′p 2π 2π i ?p ′?x x
比较以上（10）（11）两个式子我们发现，对选取不同的变量求偏导，所得到的坐标算符在动量表象下的矩
38
动量表象下力学量算符的讨论
阵元相差一个正负号。因此，在动量表象下坐标算符作用在δ函数上时有i
??两种不同的表示形和?i ?p x ?p ′x
式。这是不是说明坐标算符在动量表象下有两种形式呢？狄拉克δ函数是一种广义函数，只有在积分号下才有意义。而代表运算或变换的算符只有作用于波函数上才是有物理意义的。利用函数Φ(x ) 和ψ(x ) 的动量表
示b (p x ) 和a (p x ) ，算符方程ψ(x ) =x Φ(x ) 就变成
′b (p x ) =∫x p x p x ′a (p ′（12） x )d p x
将（10）式代入（12）式，有
b (p x ) =i ∫b (p x ) =?i ∫
??
′′δ(p ′p ) a (p )d p i a (p x ) （13） ?=x x x x
?p x ?p x
将（11）式代入（12）式，有
?
′′′′+∞δ(p ′x ?p x ) a (p x )d p x =?i [δ(p x ?p x ) a (p x )]?∞
?p ′x
（14）
) ?a (p ′?x
d p ′a (p x ) +i ∫δ(p ′x ?p x ) x =i ′?p x ?p x
?
?被算符i ?在动量表象与坐标表象中算符方程ψ(x ) =x Φ(x ) 比较，坐标算符x 代替。因此，坐标算符x
?p x
下的形式只能取为i
（3）其它算符
?
形式。 ?p x
?，?x
?表示为F ?=F ?(x , p ?(x ) (x , p ?(x , ?i ?x ) ， 根据以上讨论我们可得，如一个算符F 在坐标表象中F ?x ) =F ?则在动量表象中有F
(p )
?(i ?, p ) ，?, p ?x ) =F (x 因此我们可以直接写出一般情况下其它力学量算符在动量表x
?p x ?????x ?zp ??y ，把y =i ，z =i 代入，得动量表象中角动量象下的表示形式。例如：角动量算符L x =yp
?p y ?p z
22
???p p ???算符L x =i (p y ) 。同样，哈密顿算符H =?p z +V (i ) 。 +V (r ) 在动量表象中的形式为H =
2μ?p 2μ?p z ?p y
（4）动量表象下的薛定谔方程
有了哈密顿算符，我们可以把坐标表象下的薛定谔方程直接写成动量表象下的表示形式为
?p 2??
V (i) ?ψ(p ) =E ψ(p ) 。 + ?
?p ??2μ
3 结论
根据表象理论，力学量算符在不同表象中的表示形式与基矢有关，表象不同只是形式不同，
但不改变所得到的结论（力学量的可能取值、取值概率与平均值都是一样的）。本文通过对常见的力学量算符在动量表象中表示的具体形式进行分析和讨论，尤其是坐标算符在动量表象下的表示形式的选取问题，使我们对抽象的表象变换理论有了一个具体化的认识，解决了学生学习中的疑惑。在教学过程中引导学生在动量表象中解决一维无限深势阱[4]、一维线性谐振子等问题，对学生深入理解表象理论是很有帮助的。
参 考 文 献
[1] 周世勋. 量子力学教程[M]. 北京：高等教育出版社，2006.
[2] 刘连寿. 理论物理简明教程[M]. 武汉：华中师范大学出版社，1986. [3] 曾谨言.量子力学卷I（第3版）[M]. 北京：科学出版社，2001.
[4] 杨修会. 在动量表象中求解一维无限深势阱问题[J]. 广西物理，2007,28(4):51-52.
39
范文二：动量表象下的薛定谔方程
第１５卷第５期２００２年１０月
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦ
武汉科技学院学报
ＷＵＨＡＮＩＮＳＴＩＴＵＴＥ
ＯＦＳＣＩＥＮＣＥ
Ｖ０１．１ＳＮｏ．５
ＡＮＤＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
Ｏｃｔ＋２００２
动量表象下的薛定谔方程
昊小超
《湖ｊ｛：教育学院物理系，湖北武汉４３００６０）
摘要：根据量子力学的表象理论，给出一种由坐标表象下的薛定谔方程导出动量表象下的薛定谔方程的方法。关键谰：莓定谔方程，坐标表象，动萤表象
审黼分类号：０４１３．１
文献标谈码：Ａ
义章编号：１００９～５１６０（２００２）０５一∞８０一∞
１含时薛定谔方程
禽时薛定谔方程舟勺坐标袭象为：
ｉｈ呈甲（≯，｝）：膏（尹，拿：；）甲《芦，ｆ）
其中哈密顿算符的坐标表象为：
（１）
疗（Ｆ，—ｈ—：１）：一—ｈ—２；ｊ２＋ｖ（尹）
Ⅳ（Ｆ，≯’＝一五；蛐‘尹’
甲（尹，｝）楚量子态的坐标表象，禽时醇定谔方程的动量表象为：
（２）
ｉｈ导ｃ（ｐ，ｆ）：ｆｚ（Ｐ，ｉｈ、ｊｐ）ｃ（声，ｆ）
（３）
其中Ｃ（芦，ｔ）是罐子态｜：｝皇动鳖表象，詹的动餐淡象为：
纵Ｐ，访ｉ？ｐ）２云ｗ“壳
对式作相关蓊换：￥（尹，ｔ）一ｅ（Ｐ，ｔ）一Ｐ２，可得（３）、（４）式。只是（１）式的左方ｉ不变号，是对动馘进行运算的偏微商算符。
￡一一ｉ雾一ｉｈｌ每一ｉｈ：；一尹，一ｈ
、
２：－２
ｒ２是对坐标进行运算的偏微商算符。而ｐ则
■Ｇ）＝七ｅｉⅣ。甲ｐＧ）的止交归一化公式为：
（２荭袁声
Ｆ露以一维情形为例，绘壅宙（１）式导出（３）式酶一种方式，坐标表象１Ｆ动餐莽簿憋本薤蘧数为：
Ｊ碧ｐ※（ｘ）ＬＦｐ，（ｘ）ｄｘ＝６（尸一Ｐ７）
系数Ｃ（Ｐ，ｔ）就是上述量予态的Ｐ表象，为了下面的需要，改写（１）式中的Ｐ呻∥，有
（５）
｛一（羔）；构成完全系，现将誓（鼍≠）按｛■（ｘ）ＩＮＴｌ：：￥（茗，｝＞＝ｊ—Ｓ（Ｐ，｝）匕（茗，≠）和其串展开
Ｙ（麓≠）＝｜ｅ（∥，｝＞■（戈＞∥
将（６）代入（１）式中得：
《◇
ｉｈ边Ｏｔ雀，ｏ矽７＝ｐ氓皇ｉ击，
ｐ、’
３一一
ｏ
ａｘ
ｘ、Ｃ（Ｐ。ｔ）峰。
牧臻嚣期：２００２—０９—１４
作者简介：吴小超（１９５４一），菇，讲师，研究方向：量子力学
第５期吴小超：动量表象下的薛定谔方程
８ｌ
［∥访丝警酋≥Ｐ锄一如力出＝肛７｛Ｊ？Ｐ袖疗＠，力孚去ｏｒｌｐ，（ｘ，ｔ）出｝ａ∥力
－”ｄｔ
Ｏｔ
（７，
（７）式左方关于ｘ的积分由（５）式化为６函数，于是：左方：ｆ－ｄＰ，访空罩呈』ｂ（Ｐ一尸，）：汤喜ｃ（ＪＰ，ｆ）。
（７）式右方花括号内是疗的矩阵元的动量表象日即，：
Ｈｐｐｔ＝．Ｉ：？ｙＰｑ¨肌０杀一，（¨出
于是化（７）式为：
（８）
扬芸ｃ（朋）＝ｐｈ即川ｐｉｄｔ
ｆ）
－一∞
ｐｐ
（９）
为计算（９）式的右方，必须将（８）式的右方用Ｐ表象表示出来。为此，考虑算符委，设其具有本征
值分立谱｛ｑ｝，童的本征态的Ｐ表象为ｕｑ（ｐ），则再（Ｐ，坊嘉）在Ｑ表象中的矩了元为：日阡，＝．ｒ口群（Ｐ）ｈ（Ｐ，访嘉）Ｕ口，（Ｐ）印，作替换Ｐ＋∥，得
Ｈ钾，一－ｆａ气Ｐ／，，访参心，（ＰⅣ）勿Ⅳ
ｕ
ｕ
（１０）
由此得疗在Ｐ表象中的矩阵元（即再作替换ｑ砷，ｇｏｐ７）
Ｈ
ＤＰｆ＝ｌＵｐｑＰｉ、氪Ｐｉ，濂斋、）Ｕｐ｜ＩＰ｜、∥
８
注意到ＵＰ＊（尸Ⅳ），Ｈ。。是户的本征态的Ｐ表象，是６函数，所以：
ＵＰ＊（ＰＨ、＝６试（ｅ－Ｐ“、）＝６（Ｐ－Ｐ。。、；Ｕ
０Ｐ‘、）＝６（ｅ－Ｐ‘、）＝６ｔＰ‘一Ｐ‘、
（１１）
代入（（１０））式得：利用６函数的筛选性得到：
％－『６（ｐ－ｐ＂）疗（Ｐ／，，访嘉）６（Ｐ∥＿Ｐ，）卯Ⅳ
日即，＝曹（尸，坊嘉）６（ｐ－－ｐ７）
访芸Ｏｔ
（１２）
式（１２）与（８）表示的是疗在Ｐ表象中的矩阵元，将（１２）代入（９），／－）可移出积分号：
托（确‘疗（Ｐ，ｆ壳軎）６（ｐ－ｐｔ…蛳卯７＝疗（川壳軎）胫（ｐ－ｐ７…ｎ
最后得：
ｄＰ７
ｃ（Ｐ’ｔ）＝疗（户，访若）ｃ（Ｐ，ｔ）
ＯＰ
（１３）
由（１３）改写为三维形式便为（３）式。（１２）（１３）式也可采取以下推导公式。注意到Ｈ是厄密的，由（¨）有：
％＝．ｆｄＰⅣ㈣ｐｌｌ，访南∥’（ＰⅣ叫）＿
｛疗（∥＇ｆ壳专∥（ｐ／－－ｐ炉妇（Ｐ，，。壳嘉川尸／－ｐ）｝
这里川了驴（Ｐ／，勘参）＝疗（Ｐ，】！，㈣３专）＝疗（Ｐ／’哟专）。冈为Ｐ
（１２７）
７是实的。将（１２，）
旃杀ｃ＠ｆ）‘和懈（尸，’一疏刍）占（尸７－Ｐ）ＩｃＱ４，。‘印懈（∥－腩刍）ｅ瞄泖
ｒｅｎｎｉｄ占ｒｈｃＳｎｏｉｔａｔｎｅｓｅｐ－
８２
武汉科技学院学报
２００２铝
（Ｐ７—Ｐ）爿叠（Ｐ，一访軎）ｃ｝｛劬ｆ）粤膏（Ｐ＇ｆ壳軎）ｃ够ｆ）。这样也得到了（１３）式。
２定态薛意谔方程
根据定态波函数的外形特征，定态的动量表象可设为：Ｃ（Ｐ，ｔ）＝ｑ９（尸狄力
（１４）１
代入含时薛定谔方程的动量表象的表达式中，有
妒（Ｐ）坊掣＝苁力疗（Ｐ，访旁）Ｖ（Ｐ）
（１５）】
ｍ５）式分离蝇两边同除以、－ｗ肌…ｚ而１访趔ｄｆ＝南香（Ｐ，ｆ壳砉ｍＰ）＿九。其中Ａ是分离
变量，ｇ－数，其意义尚不明确，由此得两个方程：
流趔ａｆ瑚力；扣，访軎ｍ耻Ａｍ
一ｈ
由（１６）前一式可解出：将（１７）代入（１４）得：
ｆ（ｔ）＝ｃｅ
６
（１６）
（１７）
一三ｍ
ｃ（Ｐ，ｔ）＝ｔＩＪ（ｐ）ｅ“
（１８）
积分常数已并入甲（尸）之中，因为现在还没明确Ａ的意义，不知道它是否是粒子的能量，ＮＰｌｉｔｉ不能断言（１６）后一式就是定态薛定谔方程，注意到我们假定定态的动量表象的表示为（１４），也就是（１８）式也确定的自由粒子，而动量为Ｐ７（能量为Ｅｅ，）的自由粒子态的动量表象为：
ｃ（Ｐ，ｔ）：６（Ｐ—ｐｉ）８一≯
（１８）与（１９）比较可知，九就是定态粒子的能量，即兄＝Ｅ，于是（１６）后一式改写为：
（１９）
疗（Ｐ舫砉煳耻Ｅ即溅丢＋ｖ（访砉胛（耻Ｅ即）
汶就县定态薛定谔方程的动量表象。参考文献：
【ｌｌ
［２１
（２。）
周世勋．量子力学教程［ＭＩ．北京：人民教育出版社，１９７９．皿．Ｈ．布洛欣采夫．量子力学原理［Ｍ１．北京：商务印书馆，１９５９．
Ｓｃｈｒ占ｄｉｎａｅｒｅｑｕａｔｉ日ｅｑｕａｔｉｏｎ
１，ｍｅｎｔｕｍｕｎｄｅｒｍｏｍｅｎｔｕｍｒｅｐｅｓｅｎｔａｕｏｎ
ＷＵ
Ｘｉａｏ—ｃｈａｏ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆｐｈｙｓｉｃｓ，ＨｕｂｅｉｃｏｌｌｅｇｅｏｆＥｄｕｃｍｉｏｎ，ＷｕｈａｎＨｕｂｅｉ４３００６０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ
ｗｈｉｃｈ
ｃａｎ
ｔｏ
ｔｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｏｆｑｕａｎｔｕｍｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｇｉｖｅｓ
ａ
ｋｉｎｄｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄ，
ｄｅｒｉｖｅｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｕｎｄｅｒｍｏｍｅｎｔｕｍｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｆｒｏｍｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｕｎｄｅｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ
ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙ
Ｗｏｒｄｓ：Ｓｃｈ
５ｄｉｎｇｅｒ
ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｃｏｏｒｉｎａｔｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｉｏｎ；ｍｏｍｅｎｔｕｍｒｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ
动量表象下的薛定谔方程
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
吴小超
湖北教育学院,物理系,湖北,武汉,430060
武汉科技学院学报
JOURNAL OF WUHAN INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY2002,15(5)
参考文献(2条)
1. дИ布洛欣采夫 量子力学原理 19592. 周世勋 量子力学教程 1979
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_whkjxyxb200205022.aspx
范文三：【doc】动量表象下的薛定谔方程
动量表象下的薛定谔方程
第15卷第5期武汉科技学院
JOURNALOFWUHANINSTITUTEOFSCIENCEANDTECHNOLOGY
Vo1.15NO.5
Oct.2002
动量表象下的薛定谔方程
昊小超
(湖北教育学院物理系,湖北武汉430060) 摘要:根据量子力学的表象理论,给出一种由坐标表象下的薛定谔方程导出动量表
象下的薛定谔方程的方法.
关键词:薛定谔方程,坐标表象,动量表象
中图分类-g-:0413l文献标识码:A文章编号:loo9—5l60(2002)05一oo8O—o3
1含时薛定谔方程
含时薛定谔方的坐标表象为:
j!=}旦(,f):疗(-f,
鱼)ho(,f)
Otz
其中哈密t顷算符的坐标表象为:
,
:一
h21
(,t)是域子态的坐标表象,含时薛定方的动昔表象为: ihc(户,):疗(卢,ihp)c(户,f)
其中c(户,t)是鼙子态的动量表象,的动域表象为: 2
力
对式(1),(2)作相天替换:ho(,t)一C(P,t)
一
户:,得(3),(4)式.n.1a~(1)式的左方不变号,
是对动:进行运算的偏微商算符.
i一一i一ihp:一ih一户,,力
,是对坐标进行运算的偏微商算符.而.!J!lJ 卜以一维情形为例,给山由(1)式导山(3)式的一种方式,坐枥表象卜动算符的本征
函数为:
)=士PhoX)的止交],化公式为:
(2刀力
Jp()ho,/()dx=(P—P)(5)
{()}构成完全系,现将(,)按{)}展开:(,)=J(P,f),壬,p(,)其中展开 系数C(|D,f)就是上述量子态的P表象,为了下面的需要,改写(1)式中的P一,有
(,)=IC(,r),壬,p()(6)
将(6)代入(1)式中得:
[,):詹c,孚未
收稿|I期:2002—09—14
作者简介:吴小超(1954一),男,讲师,研究方向:量予力学 XC(P.t)(1
,,,,,
第5期吴小超:动量表象下的薛定谔方程
E坊崛ufl,(x,t)={疗击}r,c7,
(7)式左方芙的积分由(5)式化为函数,于是:左方:f,(Jp一):c(P,f).一 dtdt
(7)式右方花括号内是疗的矩阵元的动量表象日PP,: Hppt=
fly()疗(,i旦Ot),()(8)
T是化(7)式为:
导c=p/,f)(9)dtJ—pp,
为计算(9)式的右方,必须将(8)式的右方用P表象表示出来.为此,考虑算符,设其具有本征
值分立谱{},的本征态的P表象为uq(p),则疗(P,嘉)在Q表象中的矩了元为:日P尸,=.r
(P)力(P,杀),(P),作替换P一,得
H=3Uq,)Uq,
由此得疗在P表象中的矩阵元(即再作替换q—p,q一p)
HDPfUpPf1I:I(P)UPf如f
注意到U(P),H是户的本征态的P表象,是函数,所以:
U*(P)=(p-P):(P—P);Up(P):5(Jp—P):5(P一P)
代入((10))式得:Hppt=.f(P--P//)疗(刍)(p//_p/)(11) 利用函数的筛选性得到:Hpp:=疗(P,刍)(p--p/)(12) 式(12)与(8)表示的是疗在P表象中的矩阵元,将(12)代入(9),疗可移出积分号: ((壳砉)(p-p/=()巨(p-p/
最后得:O
t
c(P'c)=疗(户,)c(P'c)(13)
C}P,
田【ljJ恢.一与为二维彤式便为(3)式.(12)(13)式也可采取以下推导公式.注意到H是厄密的,由(11)有:
H,=IdPP,,,刍(p//--p)=
(p/,访LP)}(P,,m)}(12/)
这里州了,m)=(P,))=(一)0冈是实2,)
Ot=.6(=IA(曲
82武汉科技学院2002正
(尸-m:4,0(尸,一)疗(尸)c这样也得剑了(13)式.
2定态薛意谔方程
根据定态波函数的外形特征,定态的动量表象可设为:c(P,t)=(Jp),(f)(14)
代入含时薛定谔方程的动量表象的表达式中,有(Jp)=f)疗(尸,),王,(Jp)(15) 5)式分离变量,两边同除以得:1
=
1疗(壳.
其中是分离
变量常数,其意义尚不明确,由此得两个方程:
df;,軎)(I6)
一三
由(16)前一式可解出:flO=Ce(17)
一
'
--
at
将(17)代入(14)得:c(P,t)=tlJ(P)e(18) 积分常数已并入,王,(Jp)之中,因为现在还没明确的意义,不知道它是否是粒子的能量,所以还不能断言
(16)后一式就是定态薛定谔方程,注意到我们假定定态的动量表象的表示Y~t(14),也就是(18)式也确定的自由
粒子,而动量为P(能量为E)00自由粒子态的动量表象为:
c(P,t):(Jp—P/)e一(19)
(18)与(19)比较可知,就是定态粒子的能量,即=E,于是(16)后一式改写为: 疗c尸,c=Ec或/'2
+Vcc=Ecc2.
这就县定杰薛守谔方稗的动量表象.
参考文献:
【1J周世勋.量子力学教程[MI.北京:人民教育出版社,1979. 【2】皿.M.布洛欣采夫.量子力学原理IM].北京:商务印书馆,1959 Schr6dingerequationundermomentumrepesentation
WUXiao—chao
(Departmentofphysics,HubeicollegeofEducation,WuhanHubei430060.China)
Abstract:Accordingtotherepresentationtheoryofquantummechanics,thispapergivesakindofthemethod.
whichcanderiveschrodingerequationundermomentumrepresentationfromschrodingerequationundercoordinate
representation.
KeyWords:Schbdingerequation;coorinaterepresentionmomentumrpresentation
范文四：4-1求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元
习题4
2??4-1求在动量表象中角动量L的矩阵元和L的矩阵元. xx
,?LLd,,,,() 解: ,,xpppxp,
ii,,,,,,,,prpr13,,?? ,,eypzped,()()zy,,2,
ii,,,,,,p,rp,r13,,()() ,eyp,zped, zy,2,,
ii,,,,,,p,rp,r,,13,,,,,()e(i,)(pp)ed, zy,,,2,pp,yz
i,,,,(p,p),r,,13,,,,,(i)(pp)()ed, zy,,,,pp2,yz
,,,,,,i,(p,p),(p,p) . yz,p,pzy
,2*2,,()()LxLd,,,, ,,xpppxp,
ii,,,,,,p,rp,r132,,??,()e(yp,zp)ed, zy,,2,
ii,,,,,,p,rp,r13,,????()()(),eyp,zpyp,zped, zyzy,2,,
ii,,,,,,,prpr,,13,,??,,,()e(ypzp)(i,)(pp)ed, zyyz,,,2,pp,zy
ii,,,,,,p,rp,r1,,3,,??(,)()()(),ip,peyp,zped, yzzy,2,,p,p,zy
i,,,,(p,p),r,,1223,,,,,(pp)()ed, yz,,,,pp2,zy
,,,,22,,,,(p,p),(p,p) . yz,p,pzy
4-2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元.
33
2n,u(x),sinx解:基矢: naa
222,,n,E 能量:n22a,
1u对角元:(利用) unudununuccoscossin,，，2,nn
a2m,a2sin. ,,xxxdxmm,02aa
a2mn,, 当时, mn,x,(sinx),x,(sin)dxmn,0aaa
,,amnmn1(,)(，)，，,xcosx,cosxdx,,,0aaa，，
a,,2，1a(m,n)ax(m,n)xx,[cos，sin],,,22aa(m,n)amn(,),0，
a2,,，amnaxmn(，)(，)xx ,[cos，sin] ,22,,amna(，)(m，n),0，
，，a11m,n,,,(,1),1,,,222,(m,n)(m，n)，，
amn4m,n,,,(,1),12222,mn(,)
,,a2mdn*?,p,u(x)pu(x)dx,,isinx,sinxdxmnmn,,0aadxa,,,a2n,mn,,isinx,cosxdx,20aaa
,,,a,n(m，n)(m,n)，，,,isinx，sinxdx,2,,0aaa，，
a ,,,，，n,a(m，n)a(m,n),icosx，cosx ,,2,,(m，n)a(m,n)aa，，0
,，，,na11m,n,,,i，(,1),1],,2,(m，n)(m,n)a，，
,i2mnm,n,,,(,1),122(m,n)a
cos()cos()mnumnu，,其中利用了. sincosmunuduC,,,，,2()2()mnmn，,
4-3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数.
34
解:定态薛定谔方程为
221dp22,，,,,,CptCptECpt(,)(,)(,) 222dp,
221dp22,，,,,,,CptECpt(,)()(,)0 即 . 222dp,
2 两边乘以，得 ,,
221d2Ep ,C(p,t)，(,)C(p,t),021,,,,,dp
,,,
2E11,,,,令, ,得 ,,p, p, ,,,,,,,,,
2d2C(p,t)，(,,,)C(p,t),0 . 2d,
与课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
1,E,(n，),n2
1i22,,p,Etn2,C(p,t),NeH(,p)enn式中为归一化因子，即 Nn
,1/2 . N,()nn1/2,2n!4-4求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
22111,,22222??H,p，,,x,,，,,x 解:, 22222x,,,
*?H,,(x)H,(x)dx ,pppp,
ii22,,pxpx,1,122,, ,e,，,,xedx(),2,,2,2,x2
ii2,,(pp)x(pp)x,,,,,111i222,,,,,() ,,pedx，xedx,,,,,,2,,2,,22,,
i22,(pp)x,,,p,11,22,,,,,,p,p，edx ()(),2,,,,,i,p222,
35
i22,(pp)x,,,,p,1122,,,,, ,p,p，edx()(),2,,,,i,,,,p22
22p1,22,, ,,(p,p),,,,,(p,p)2,22,,p
22p1,22,, . ,,(p,p),,,,,(p,p)222,,p
2?p?,，4-5若系统的哈密顿量HVx不显含时间,用矩阵方法证明在能量表，，,2
2,2EEx,,象中有 . ，，,nmnm2,n
?xpi,,, 证:由于, 得 ,,
,1i2?，，，，??,, xHxpp,,，，，，,,2
,?，，?即 . ,,pixH,，，,
,,??? pimxHHxniEExix,,,,,,.,,，，，，mnmnmnmnmn,,
?另一方面,利用哈密顿算符的本征矢完备性条件可得 uuI,,nn,1n
???? imxppxmmxnnpmmpnnxm,,,,,，，，，,n
,,,,xppxixxxx,,, ，，，，,,mnnmmnnmmnnmnmmnmnnmnn
2 , ,ix2,,,nmmnn
2,2EEx,,所以 . ，，,nmnm2,n
4-6求连续性方程的矩阵表示.
解:连续性方程为
,,, , ,,,,J,t
,i, ? J,(,,,*,,*,,), 2,
36
,i,而 ,,J,,,(,,,*,,*,,)2,
i,22 ,,(,,*,,*,,)2,
1?? , ,(,T,*,,*T,)i,
,,?? ? , i,,(,*T,,,T,*),t
*,,,()??i,,(,*T,,,T,*) , ,t
,，，，?? 写成矩阵形式为 , ,,,,,,iTT(),,,t,
,，，，**??. ,,,,,,iTTTT()()0,,,,,,t,
37
范文五：有两个处于基态的氢原子
2221.(21)(222)(4312)mxxyyxy
,m
xy
xy
“”
,,
:2221(1)(1)4312mxyxy
22PxyFPFxy(,)(1,1)(1)(1)
4312xyPxylxyd(,):43-1205
Flxy(1,1):43-120
47 22(1)(1)xyPF5e4312xyd21m
5
51113m221m
1mm132
QiaoSiMiaoJie
vvABAB0A vB
v0－27－19m,，1.67310kge,，1.60210Cm/sph,－31m,，0.91110kgE,,13.58eV h,ce1
n,2
1 EK,n2n
13.58 eVn,1
1 EK,,,13.58eV121
K,,13.58eV
11 EK,,,，,,13.583.39eV2242
EEE,,,,，(3.3913.58)eV=10.19eV 21内
－－1918hE,,,，，，10.19eV=10.191.60210J=1.63210J 内
,
mvmvmv,，，光子的动量 B0A
11222 ()mvmvvh,，，,0BA22
2h,h,h,mv,vc,,pmv,,,00,0vcc0
mv 0
mvmvmvmvv,，,，() BB0AA
48
v 0
1122()mvmvvmvvh,，,，, 0BBAA22 12(),,,，mvmvvvh,00AA 2
2mvmvvh,，,,0 0AA
211,,2,,mvvmv，,h,0 ,,00A24,,
211,,2mvmvvh,，,, 00A,,42,,
1vv vv,00minA02
vv, BA
h,v,2 0minm
4 v,，6.2510m/s 0min
2+Fe(NO) Cu(NO)HNOFe33323
Fe(NO)Cu(NO)HNO 33323
A1:1:1 B1:3:1 C3:3:8 D1:1:4
Fe(NO) Cu(NO)HNOHNO333233
Fe(NO)Fe(NO)Cu(NO)33332
2+1molFeFe4HNOFe(NO)NO?2HO3332+4mol2molC(Fe)3mol/L1mol
Fe(NO)HNO14DCu(NO)33332
1 . RNA30A+G=12,RNADNAC+T
49
QiaoSiMiaoJie
mRNADNAmRNADNA
mRNA=1/2DNA
DNAATGCC+T=G+A=1/2DNAC+TmRNA30
2CG30%,RNA A25% RNAU
A=25% A2 T1
T2 A1 U=?
DNA mRNA
DNAA+TA+TDNAA+T
C+G=30,A+T=70%mRNADNAA+T70%mRNAA+U70%U70%25%45%
50
51
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