回忆14638387
范文一：高三数学中的类比推理
走出创新之路的归纳与推广
（1） 理解问题所提供的文字、数字、符号、图形、图表等，并从中提取有关信息进行分
析和处理；（2) 提出几个特殊的案例进行观察、实验、比较，研究其共性特征和变化规律；（3）归纳合情的共性特征和规律，试图发现蕴含着的数学模式，猜想和假设用字母或数学或数学符号形式化的表示其推广到一般情况下的数学结论；（4）再提出几个特殊案例，能检验所提出的猜想和假设的错误；（5）运用演绎方法去论证猜想和假设的正确性，通过推理或举反例说明猜想和假设的错误；（6）将研究的结果用准确的语言来表达
一、 求解数列通项中的归纳、猜想与证明
例1、已知数列{a n }是由非零整数组成的数列，满足
（1）求a 3，（2）证明：a n =a n -2+2(n ≥3) a 1=0, a 2=3, a n a n +1=(a n -1+2)(a n -2+2), n ≥3，
例2、设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，?． （Ⅰ）求a 1，a 2；
（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．
例3、设正整数数列{a n }满足：a 2=4，且对于任何n ∈N *，有
11+a a n +1112+
（1）求a 1，a 3；
（3）求数列{a n }的通项a n ．
例4、在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=λa n +λn +1+(2-λ)2n (n ∈N *) ，其中λ>0． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n ；
a n +1a ≤k +1对任意n ∈N *均成立． a n a k
8n 例5、已知数列{a n }，a n =，S n 为其前n 项和，计算(2n -1) 2(2n +1) 2
8244880S 1=, S 2=, S 3=, S 4=，观测上述结果，推测出计算S n 的公式，并加以证明 9254981（Ⅲ）证明存在k ∈N ，使得*
二、求证数列不等式的数学归纳法：
例6、已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a 0=1, a n +1=1a (4-a n ), n ∈N , 求证： 2n
a n
三、 知识交汇下的归纳与推广
例7、已知f (x ) 是定义在R 上的恒不为零函数，且对于任意的a , b ∈R ，都满足 f (ab ) =af (b ) +bf (a ) ，（1）求f (0),f (1)的值；（2）判断f (x ) 的奇偶性；（3）若
f (2-n ) f (2)=2, u n =(n ∈N ，求数列) {u n }的前n 项和S n n
例8、已知数列{a n }（n 为正整数）是首项为a 1, 公比为q 的等比数列，（1）求和： 0120123；（2）由(1)的结果归纳概括出关于正整数n a 1C 2-a 2C 2+a 3C 2, a 1C 3-a 2C 3+a 3C 3+a 4C 3
的一个结论。
n n -1k 例9、已知n 次多项式P (x ) =a x +a x +???+a n -1x +a n ，如果在一种算法中，计算x 0n 01
（k =2,3,4,..., n ) 的值需要k -1次乘法，计算p 3(x 0) 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P n (x 0) 的值共需要次运算。
下面给出一种减少运算次数的算法：P ,2, ???, n -1), 0(x ) =a 0, P k +1(x ) =xP k (x ) +a k +1(k =0,1
利用该算法，计算P 3(x 0) 的值共需要
四、以数图为背景的归纳与推广：
t s 例10：设{a n }是集合2+20≤s
a 1=3, a 2=5, a 3=6, a 4=9, a 5=10, a 6=12, ???, 将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：(1)写出这个三角形数表的第四行, 第五行各数;(2)求a 100;
t s r (3)设{b n }是集合2+2+20≤s
已知b k =1160, 求k
例11, 在由二项式系数所构成的杨辉三角形中, 第 行中从左到右第14与第15个数的比为2:3
例12, 将杨辉三角形中的奇数换成1, 偶数换成0, 从上往下数, 第一次全行的数均为1的是第一行, 第二次全行的数均为1的是第三行, 第n 行全行都为1的第 行，第61行中1的个数；
五、 以图形为背景的归纳与推广
例13、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4, 堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n ) 表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)=_____；f (n ) =_____（答案用n 表示）
例14、根据下列5个图形及相应点的个数变化规律，试猜出第n 个图中有 个点
六、具有开放性的归纳与推广：
例15、已知两个圆：x +y =1①与x +(y -3) =1②则由①-②得上述两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：
（能否推广其它曲线）
七、具有似真性的归纳与推广：
m 例16规定C x =2222x (x -1???) x (-m +
m ! 1) 0, x ∈R , m ∈N ，且C x =1，这是组合数
n C m (m , n ∈N , m ≤n ) 的一种推广：
① 求C 5
-153C x 的值②设x >0，当x 为何值时，12取最小值③组合数的两个性质：（1）(C x )
m n -m m m -1m m C n =C n ;(2)C n +C n =C n +1是否都能推广到C x (x ∈R , m ∈N ) 的情形？若能推
m 广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由；④已知组合数C n ∈N , 证
m 明当x ∈Z , m ∈N ，C x (x ∈R , m ∈N ) 为整数
八、具有引导性的归纳与推广：
例17、已知数列a 1, a 2, a 3, ???, a 30; 其中a 1, a 2, a 3, ???, a 10是首项为1，公差为1的等差数列, a 10, a 11, a 12, ???, a 20是公差为d 的等差数列; a 20, a 21, a 22, ???, a 30是公差为d 2的等差数列
(d ≠0)(1)若a 20=40, 求d ;(2)试写出a 30关于d 的关系式, 并求a 30的取值范围;(3)续写已知数列, 使得a 31, a 32, a 33, ???, a 40是公差为d 的等差数列, …, 依次类推, 把已知数列推广为无穷数列, 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例), 并进行研究, 你能得到什么样的结论? 3
九、具有方向性的归纳与推广：
a 例18, 已知函数y ＝x ＋有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上x
是减函数，在[a ，＋∞) 上是增函数．
2b
（1）如果函数y ＝x ＋（x ＞0）的值域为[6，＋∞) ，求b 的值； x
c 2（2）研究函数y ＝x ＋2（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； x
a a 2（3）对函数y ＝x ＋和y ＝x ＋2（常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的x x
函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F (x ) ＝
111(x 2+) n ＋(2+x ) n （n 是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的x 2x
研究结论）．
综合题：
范文二：生活中类比推理的例子 类比推理的教学设计
类比推理的教学设计
摘要:类比是根据两个对象或两类事物间存在着的一些相同或相
似的属性，猜测他们之间也可能具有的其他一些相同或相似的属性
的思维方法。类比联想可发现新的数学知识，类比推理可寻求解决
问题的方法和途径，可培养学生的发散思维和创造思维及合情推理
的能力。
关键词:类比推理;教学设计;数学教学
高考中常以类比思维为轴心，与数学思想、数学方法、数学基础
知识整合，形成开放性的题目，设计此文让大家对类比推理有更深
1
的了解。
1.由特殊向一般类比
由特殊向一般类比，培养学生的发散思维、理性思维、判断猜想
及探索能力。
例1、由a,b?r+且a?b,则 a3+b3,a2b+ab2.。
由上式可类比若a,b?r+且a?b, 则 an+bn,an-1b+abn-1，给出
证明。
证明:要证an+bn,an-1b+abn-1成立，
只需证(an-1-bn-1)(a-b),0成立
若a,b,则an-1-bn-1),0，(a-b),0，?上式成立，
若a,b,则an-1-bn-1),0，(a-b),0，?上式成立，
?an+bn,an-1b+abn-1。
2.由抽象向具体类比
由抽象向具体问题类比，培养学生思维的灵活性，化归的思想，
合情的联想和理性思维。
例2、已知f(x)是定义在r上的不横为零的函数，且对于任意的
a,b?r都满足:f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(1)、f(0)的值;
2
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明结论;
(3)若f(2)=2,un=f(2-n) n,(n?n*),求数列,un,的前n项和
sn.
解:(1)令a=0,b=0，则f(0)=0f(0)+0f(0), ?f(0)=0.
令a=1,b=1,则f(1)=f(1)+f(1), ?f(1)=0.
(2)函数f(x)的定义域为r,
令a=-1,b=-1，则f(1)=-f(-1)-f(-1),而f(0)=0,?f(-1)=0,
令a=-1,b=x, 则f(-x)=-f(x)+xf(-1),?f(-x)=-f(x),
?f(x)为奇函数。
(3)由f(ab)=af(b)+bf(a).得 f(ab)ab=f(b)b+f(a)a令
g(x)=f(x)x ,
则个g(ab)=g(a)+g(b),且f(x)=xg(x),由此式我们可以联想到对
数函数的性质:g(an)=ng(a)，?
f(an)=ang(an)=nang(a)=nan-1f(a),
un=f(2-n)n=(12)n-1 f12又?f(2)=2,
?f(0)=f(1)=f(2×12)=2f(12 )+12 f(2)= 2f(12)+1
?f(12 )=- ,?un=(-12 )×(12 )n,?sn=(12 )n-1.
评注:此题由抽象函数类比具体函数，培养了学生联想、类比、
化归等数学思想，以及分析问题和解决问题的能力。
3
3.由平面向空间类比
平面几何和立体几何中有许多问题可以由平面类比到空间，
例3.如图，图?有面积关系: sδpa1b1sδpab=
pa1.pb1pa.pb
猜想图?有体积关系:vp-a1b1c1vp-abc，并予以证明。
猜想: sδpa1b1sδpab= pa1.pb1.pc1pa.pb.pc
证明:? sδpa1c1sδpac= pa1.pc1pa.pc ，
设b1o和bo1分别为三棱锥b1-pa1c1和三棱锥b-pac的高，
? b1obo1=pb1pb，而 vp-a1b1c1=vb1-pa1c1,=13sδpa1c1.b1o
vp-abc=vb-pac,=13sδpac.bo1 .
? vp-a1b1c1vp-abc=vb-pac=pa1.pb1.pc1pa.pb.pc
4.平行类比
例4、 若数列{an}(n?n*) 为等差数列，则有bn=a1+a2+a+ann(n
?n*) 也为等差数列， 类比上述性质，相应地，若数列 {cn}(n?
n*)是等比数列，且cn>0 (n?n*)
则有dn=c1+c2+...c类比推理的教学设计nn也是等比数列。
在中学数学教学过程中,我们常常会有“似曾相识”的感觉,如果
4
把“似曾相识”的东西进行比较,加以联想的话,可能会出现许多意
想不到的结果和方法.这种“把类似进行比较、联想,由一个数学对
象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去,从而获得另一个数
学对象的性质”的思维方法就是类比法. 发挥你的聪明才智，用好
类比法，去发现数学中的更多的奥妙。
百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
5
范文三：刍议高中数学中的类比推理
时间就是金钱，效率就是生命～
刍议高中数学中的类比推理
——巧类比 提效率
徐州市田家炳中学,221200, 武瑞雪
,电话:15852133202 E-mail:wrx2020@163.com,
类比推理就是根据两个对象或两类事物间存在着一些相同或相似的属性，推测它们之间也可能有其它相同或相似的属性的一种思维过程.它的逻辑形式可以表示为:对象A具有属性a、b、c、d;对象B具有属性a、b、c，所以对象B也具有属性d(
类比推理是一种由特殊到特殊的推理形式，推出的结论不一定正确(需要检验或证明)，但利用类比推理能进行科学研究和发明创造，能预测解题思路、发现问题答案或结论. 例如，据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了“锯子”.他的思维过程可能为:齿形草能割破行人的腿，所以要造出形状上类似于齿形草的“锯子”,就应能“锯”开木材.
波利亚曾说:“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”开普勒对类比也情有独钟:“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师??”《普通高中数学课程标准》(实验)把培养学生的类比推理能力作为培养目标之一.事实上，在高中数学中的许多概念、结论之间都有类似的地方，在新概念的提出，新结论的证明过程中，恰当运用类比的方法，以旧导新，有利于建构新知识，能让学生对新知识的记忆更牢固，理解更深刻.在高中数学中可通过类比法引入的概念或结论非常多，如:等比数列可类比等差数列进行教学;立体几何可类比平面几何进行教学;双曲线可类比椭圆进行教学，复数可类比实数教学等等.
在数学教学中，通过类比，可由两个命题中条件的相似，去猜想结论的相似;也可由两个命题条件结论的相似，去猜想证明方法的相似.在中学数学中，常遇到的类比方式有:
1. 推广类比
22例?已知两个圆:x+y=1 ?
22与 x+(y,3)=1 ?
则由?式减?式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .
分析:本题是由“特殊的圆”到“一般的圆”之间的类比.两特殊的圆有“圆心不同但半径相等”的特点，故类比应以“圆心不同但半径相等”为基本条件，故类比出推广的命题为:设圆的方程:
222(x,a)+(y,b)=r ?
唯有惜时才能成功，唯有努力方可成就～
时间就是金钱，效率就是生命～
222与(x,c)+(y,d)=r ?
2222其中a,c或b,d，则由?,?可得两圆的对称轴方程2(c-a)x+2(d-b)y+a+b-c-d =0.
2.联想类比
例?求证:若对正常数m和任意实数x，等式f(x+m)=[1+f(x)]/[1-f(x)]成立，则f(x)是周期函数.
分析:要证是周期函数，只能从定义出发，但本题中不能直接找到该函数的一个，，fx
周期，故证明的关键在于直觉感知周期的取值.但从本质看很难直接找到函数的一个周期.观察题中等式f(x+m)=[1+f(x)]/[1-f(x)]的结构特征，类比联想到正切公式tan(x+,,4)=(1+tanx)/(1-tanx)，而tanx的最小正周期为,,,的4倍，从而猜测f(x)是以4m为最小正周期的周期函数.证明略.
3.方法类比
很多学生课上听得懂，课后自己做题时却不知如何下手，主要原因是解题时不能将老师讲过的方法正确迁移，而学习数学，最需要的就是方法的迁移能力.因此我们在解题教学中，
. 要擅于将老师讲过的解题方法类比迁移到解决新的题目中去.
例?设边长为a的正三角形内的任一点P到三边的距离分别为h,h,h,以P为顶点，以三角123形的各边为底组成分别以h,h,h为高的三个三角形，则由等面积法有: 123
(1/2)ah+(1/2)ah+(1/2)ah=(1/2)a，(/2)a,故得边长为a的正三角形内的任一点P到三边的3123
距离之和为定值(/2)a;试对棱长为a的正四面体写出类似的性质，并加以证明. 3
解:类似性质为:棱长为a的正四面体内的任一点到四面的距离之和为定值(/3)a. 6
证明如下:设点P是棱长为a的正四面体内的任一点，则其可分割成以点P为顶点，四个表面为底面的四个三棱锥，由等体积法可得
2222(1/3)( /4)a,h+(1/3)( /4)a,h+(1/3)( /4)a,h+(1/3)( /4)a,h=(1/3)( 33331234
2/4)a,(/3)a (棱长为a的正四面体的高为(/3)a)，故得棱长为a的正四面体内的任一366
点到四面的距离之和为定值(/3)a. 6
4.等比、等差数列的类比
例?在等差数列,a,中，若a=0，则有等式a+a+？+a,a(n,19,n,N,，成立，类比上n101n9n21,
述性质，相应地:在等比数列,b,中，若b=1，则有等式 成立. n9
分析:本题主要考查观察分析能力、抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列 {a } 的某性质而得到等比数列 {b }相似性质的能力。 nn
我们知道，等差数列用减法定义，性质用加法表述，(如，在等差数列中，若 m , n , p , q ? N * , 且 m + n = p + q , 则 a + a= a + a);等比数列用除法定义，性质用乘法表述mn pq
(如，在等比数列中，若 m , n , p , q ? N * , 且 m + n = p + q , 则 a a = a a ). mn pq
一般地，等比数列与等差数列之间的类比原则可参见下表:
唯有惜时才能成功，唯有努力方可成就～
时间就是金钱，效率就是生命～
等比数列与等差数列的类比原则
等差数列 等比数列
加法(减法) 乘法(除法)
乘法(除法) 乘方(开方)
和为0 积为1
等差中项(算术平均数) 等比中项(几何平均数)
由上表类比原则，得本题答案为:bb？b,b(n,17,n,N,， 12n17n,
5.升降维类比
数学家波利亚曾指出:“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在立体几何的教学中，时常由学生熟悉的平面几何有关结论通过类比，推理出立体几何新结论，由平面向量的有关内容类比出空间向量新知识，从而使学生学会升降维类比. 类比的原则可参见下表:
平面几何与立体几何的类比原则
平面几何 立体几何
线段长 面积
平面角 二面角
面积 体积
边 面
多边形 多面体
三角形 三棱锥
三角形的内切圆 三棱锥的内切球
三角形的周长 三棱锥的表面积
三角形的面积 三棱锥的体积
AB,AC,ABC例5.(2003年全国高考题)在平面几何里，有勾股定理:“设的两边相
222AB，AC,BC互垂直，则”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的
A,BCD侧面面积与底面面积的关系.可以得出的正确结论是:“设三棱锥的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ”.
2222答案为:S，S，S,S. ,,,,ABCACDADBBCD
这一题就考查了学生的降维类比推理能力.
在高中数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，也是开拓数学新领域、新分支的重要途径.教师在教学过程中应以身作则充分利用类比推理的方法进行教学，随时注意帮助学生掌握类比推理的方法，以培养学生猜想和发现新问题、解决新问题的能力，从唯有惜时才能成功，唯有努力方可成就～
时间就是金钱，效率就是生命～
而提高学习效率和创造性思维能力.
唯有惜时才能成功，唯有努力方可成就～
范文四：试论小学数学教学中的类比推理
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
试论小学数学教学中的类比推理
作者:黎光兰
来源:《科教创新》 2013年第 03期
摘要:在我国小学教学方法中一个比较典型的方法就是类比推理,这个方法由于其有助于 学生思维的发散而经常被应用于小学数学教学中。类比推理的方法不仅符合我国小学数学教育 的发展思路,而且也有助于培养学生的独立思考的能力。本文针对小学数学教学中的类比推理 进行系统论述。
关键词:小学数学 类比推理 教学方法
中图分类号:G62 文献标识码:A 文章编号:1007-0745(2013) 03-0087-01
类比是由两个(或两类)思维对象之间的某些方面的相同或相似,从而推出它们在其它方 面也相同或相似的一种思维方法。用这样的思维方法进行推理就叫类比推理。 “ 类比 ” 一词最早 出现在希腊文中,含有 “ 比例 ” 的意思,这里所指的比例不是简单的 1:2=3:6中的比例,而是 相关事物之间的某些相似关系的迁移,是自然界与人类社会内部互相联系的一种反映。因此, 类比推理是一种从已知到未知,探求和发现新知识的富有成效的思维方法。它帮助不少科学家 继往开来,推陈出新,获得许多重要学说、重大发现和创造发明。比如现代科技中应用广泛的 “ 仿生学 ” 就是建立在类比推理所揭示的原理基础上的一门新兴科学。《小学数学新课程标准 (2011年修订版)》在 “ 总体目标 ” 中明确提出:让学生学会独立思考,体会数学的基本思想和 思维方式。这对数学思维方法在小学数学教学中的渗透提出了新的要求。类比推理作为一种自 由的、生动活泼的数学思维方法,在数学的学习中来认识和学习类比推理是比较简洁、明了, 易于表达和训练的,是符合小学生心理和认知发展特点的。然而在小学数学教学实践中发现大 部分小学老师认为小学数学教学内容简单,没有什么数学思维方法可谈,在课堂教学时主要局 限于解题的技能与技巧层面。虽然从知识层面来看小学数学的教学内容是比较简单,但那里面 处处蕴含着数学思维方法,在教学中需要教师去挖掘和渗透。下面通过具体实例探讨一下类比 推理在小学数学教学中的应用。
一、运用类比,推导公式
在教学圆柱体侧面积时,学生已有长方形面积的知识,教师可以先引导学生动手操作,观 察认识圆柱体侧面部位,然后展开圆柱体的侧面,将曲面转化到平面上,让学生感知其侧面展 开图是一个长方形。再让学生类比长方形的长和宽与圆柱体相应部位的关系,由长方形的长 (a )相当于圆柱体底面的周长(2πr),长方形的宽(b )相当于圆柱体的高(h )。从而由长 方形面积公式 S=ab推出圆柱体的侧面积公式 S=2πrh 。学生通过这样的类比不但加深了对公式 的理解,而且也很自然的记住了公式,根本不需要去死记硬背。
二、运用类比,总结解题方法
范文五：类比推理在数学教学中的应用
类比推理在数学教学中的应用
木渎第二高级中学 赵 微
当前，中学教学中十分重视培养学生的创新能力。如何通过数学知识的学习，来培养学生的创新意识，发展学生的创造个性呢,现在的教学过程是师生共同探索新知识的学习过程，是师生围绕着解决问题相互合作和交流的过程。在这过程中，学生在已有知识和经验的基础上，通过自己的独立观察和感知，运用比较分析、综合、抽象和概括、归纳、联想、演绎等逻辑思维方法，在解决教师提出的探究性问题过程中，发现新的知识和方法，使学生领会新知识的产生过程，从中培养和发展学生的思维能力。
虽然，我们发现数学研究活动中充满着猜想和错误。大科学家牛顿曾经说过:“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”著名数学教育家波利亚在《数学与猜想》中指出:“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定的形式出现在定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样。在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明;但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”波利亚认为，严格地说，除数学和论证逻辑外，所有的知识都是由一些猜想所构成的，人们借论证推理来肯定数学知识，而借合情推理来为猜想提供依据。因此，说的直截了当一点，合情推理就是猜想，并且波利亚还提出:“在数学教学中必须有猜想的地位。”波利亚的合情推理模式有着丰富的内容，有归纳、类比、观察、特殊化、一般化等方法，这些方法在数学探究活动中有着广泛的应用。下面将结合一些例子，着重对合情推理中的类比在数学教学中的应用进行阐述。
类比推理是根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，从而猜测它们在其他方面也可能相似或相同的一种猜想。在中学数学教学中，用类比猜想，可由两个命题中条件的相似，去猜想结论的的相似;也可由两个命题条件结论的相似，去猜想推理方法的相似;还可由两个概念的相似，去猜想解题思路的相似。利用类比来启发学生进行思维活动，就是启发学生把要研究的新问题和与之类似的原有知识、方法进行比较，使学生通过联想，获得解决问题的思路和方法，或建立新的数学结构。
我们知道数学教学一般可分为概念教学，命题教学与解题教学，下面就来谈一谈类比推理在这三个教学探究活动中的应用。
1类比推理在概念教学中的应用
数学概念是整个数学知识结构的基础。数学概念的教学是进行能力训练，实施素质教育的重要渠道。在引入新概念的教学中，首先就要使学生“感知”新材料，为了把能力训练和素质教育有意识地融入课堂教学中，教师必须根据教学内容精心设计这种感知的过程，因为这种“感知”过程也正好是对学生能力的一种有益训练。
例如，在学习等比数列概念时，教师可明确地告诉学生等比数列与等差数列有着
1
紧密的联系，同学们完全可以根据已学过的等差数列来研究等比数列。接着提出下列问题:?什么样的数列是等差数列,?你能由此类比猜想什么是等比数列吗,?请举出一两个例子，试说出等比数列的定义。这样的概念引入过程，学生参与程度很强，在几乎没有任何揭示情况下，让学生自己动脑、动手去研究。这种方法不仅在于训练和培养学生的类比思想，也可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。
再如，在研究抛物线的切线概念时，可以提出下列问题:?什么叫圆的切线,什么叫圆的割线,?能否像定义圆的切线那样给出抛物线切线的定义,?过圆上一点的切线是由过这点的圆的割线怎样形成的,师生通过复习、观察、类比，从而给出抛物线切线的定义。这样通过新旧概念的类比联系进行教学，不仅能做到通俗易懂、降低学生理解抛物线概念的难度，而且强化了学生观察类比的能力。 由于初等教学内容具有加强的系统性，前后知识衔接紧密，所以由旧知识类比导入新课在中学教学中最为常见，类比导入新课是培养学生推理的重要手段，由此导入新课必然会使学生从中运用类比的思维方法去猜想和发现新问题及解决问题的能力，从而使能力的训练和素质的培养真正落到实处。
2类比推理在命题教学中的应用
从数学问题的发现或提出新命题的过程来看，一般是从具体问题或素材出发，经过类比—联想或观察、实验、归纳等两条不同的途径，形成命题或加以确认。因此在命题教学中常常运用类比推理，抓住其发生过程、内涵、结构、性质等方面的相似性来研究问题。
在学习立体几何时，我们可以通过平面与空间的类比，引导学生猜想出许多空间图形的性质。例如，由平面内直线，可类比出空间内的平a//b,b//c,则a//c
面,//,,,//,,则,//,;与平面四边形类比可推出平行六面体的不少类似性质;球与圆类比可推出两球相切等球的有关性质;“面面垂直”与“线线垂直”、四面体与三角形均有较多的类似性质等，都是类比的思想方法获得运用的体现与展示。
特别，近几年的数学高考试题加强了对理性思维能力的考查。例如，(2003年全国高考题)在平面几何里，有勾股定理:“设,ABC的两边相互垂直，AB,AC
222AB，AC,BC则”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的
A,BCD侧面面积与地面面积的关系。可以得出的正确结论是:“设三棱锥的三
ABC、ACD、ADB个侧面两两相互垂直，则 ”。
2222S，S，S,S答案为:. ,,,,ABCACDADBBCD
这一题就考查了学生的类比推广能力，同时也渗透了研究性学习的理念。因此，在教学中，随时注意帮助学生掌握和善于运用类比的思想方法，不仅可起到巩固旧知识，加速对新知识的形成、理解和记忆，促进知识的正迁移，又能培养学生的创新能力以及思维的广阔性。
3类比推理在解题教学中的应用
解题的重要性是不言而喻的，科学的进行解题教学，可以为学生提供一个发现，创新的环境和机会。类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探
2
索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有限的方法。“选出一个类似的，教易的问题，去解决它，改造它的解法，以便它可以用作一个模式。然后，利用刚刚建立的模式，以达到原来的问题的解决。”这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着及其重要的作用。
fxf，，，，x,112，，fx，x,例1，设函数满足， ，，，，fx且存在正常数a,使fa,1.12fxf，，，，x12
求证: 是周期函数，并求出周期。 ，，fx
分析:要证是周期函数，只能从定义出发，但本题中不能直接找到该函，，fx
数的一个周期，故证明的关键在于直觉感知周期的取值。但从本质看很难直接找
fxf，，，，x,112，，fx，x,到函数的一个周期。观察题设的结构特征类比联想到12fxf，，，，x12
cotcot,1,,,三角恒等式，由于是周期函数且周，，cot，,,且有cot,1cot,,,cot，cot4,,
,期为×，我们就猜想，是以为周期的周期函数。在此猜想的基础，，,,4fx4a4 上，我们再对此题进行证明。
另外，在解题过程中，我们经常会用到数形结合的思想方法，以“形”助“数”，由“数”思“形”，优势互补，利用数式与图形的类比，可以迅速获得创新的解题途径。
，222222例2，设x,y,z,R,求证:x,xy，y，y,yz，z,z,zx，x.
要求证的式子结构比较复杂，用常规方法推证似难奏效，观察三个根式的结构特征，有，运用数与形的类比，联想到2222,x,xy，y,x，y,2xycos60
三角形的余弦定理，可以看作以x,y同理可得另外两个式子。然后22x,xy，y
构造一个三棱锥S-ABC如图(1)所示，
:使，ASB,，BSC,，CSA,60,SA,x,SB,y,SC,z
依余弦定理，有. 222222AB,x,xy，y,BC,y,yz，z,CA,z,zx，x因为三角形两边之和大于第三边，所以在?ABC中，有
222222AB，BC,CA,即x,xy，y，y,yz，z,z,zx，x.
3
S
xzy
CA
B
图 (1)
总之，在我们平时的学习与生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力，使他们的思维更具创造力。
4
5
转载请注明出处范文大全网 » 高三数学中的类比推理
