范文一：复变函数的积分

第三章 复变函数的积分

一、 判断题

(1) 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。 ( ) (2) 有界整函数必为常数。 ( ) (3) 积分

=--r

a z dz a

z 1

的值与半径 ) 0(>r r 的大小无关。 ( ) (4) 若在区域 D 内有 ) () (z g z f =',则在 D 内 ) (z g '存在且解析。 ( )

(5) 若 ) (z f 在 10<=r r="" z="" c="" 的积分等于零,="">

) (z f 在 0=z 处解析。 ( )

(6) 设 21, v v 在区域 D 内均为 u 的共轭调和函数,则必有 21v v =。 ( ) (7) 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。 ( ) (8) 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。 ( ) 二、选择题:

1.设 C 为从原点沿 0至 i 21+的有向线段,则 =?

C

z z d Re ( )

(A )

i -21 (B ) i +-21 (C ) i +2

1

(D ) i --21

2.设 C 为不经过点 1, 0与 i -的正向简单闭曲线,则

z i z z z C

d )

() 1(1

2?

+-为 ( )

(A )

2i π (B ) 2

i π- (C ) 0 (D ) (A)(B)(C)都有可能 3.设 C 为从 1沿 1=+y x 至 i 的直线段,则

=-+?

y xy x y x C

d 2d ) (22( )

(A ) i - (B ) i (C ) 1 (D ) 1-

4.设 C 为正向圆周 2=z ,则 =+-z z e c z

d )

1(2

( ) (A ) i π2- (B ) i e π2- (C ) i e π2 (D ) 12i π

5.设 C 为正向圆周 2

1

=

z ,则 =

+---?z z z z z C d 10

621

sin

) 2(2

3 ( ) (A ) ) 1sin 1cos 3(2-i π (B ) 0 (C ) 1cos 6i π (D ) 1sin 2i π-

6.设 ξξξξ

z e z f =-=4

3

) () (,其中 4≠z ,则 =') i f π(( ) (A ) i π- (B ) 1- (C ) i π (D ) 1

7.设 C 为正向圆周 0222=-+x y x ,则 =-z z z C d 1

)

2

π

( ) (A )

i π22 (B ) i π2 (C ) 0 (D ) i π2

2- 8.设 C 为椭圆 142

2

=+y x ,则积分

?C z z d 1

= ( )

(A ) i π2 (B ) π (C ) 0 (D ) i π2-

9.设 c 为任意实常数,那么由调和函数 2

2y x u -=确定的解析函数 iv u z f +=) (是

( )

(A)c iz +2

(B ) ic iz +2

(C ) c z +2

(D ) ic z +2

10.设 ) , (y x v 在区域 D 内为 ) , (y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为 D 内解析函数的是 ( )

(A ) ) , () , (y x iu y x v + (B ) ) , () , (y x iu y x v -

(C ) ) , () , (y x iv y x u - (D ) x

v i x u ??-??

三、填空题

1.设 C 为负向圆周 2||=z ,则 =?

C z d

2.设 C 为正向圆周 2=-i z ,则 =-++?C z i z z z d )

(1

25323. 设 , 2

) (2-+-=C

d z z f ξξξξ其 中 曲 线 C 为 椭 圆 19422=+y x 正 向 , 则 =) 1(f =+') 2(i f =-'') (i f 4.设 C 为正向圆周 1=z ,则

?

C

5.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的

6.设 C 是从 π到 i 的直线段,则积分 =?

C

z

z z e d cos

7. 设 C 为 过 点 i 32+的 正 向 简 单 闭 曲 线 , 则 当 z 从 曲 线 C 内 部 趋 向 i 32+时 ,

=-+→ξξξ

z e c i z 32lim 当 z 从 曲 线 C 外 部 趋 向 i 32+时 , =-+→ξξξ

z c i z cos lim

32 。

8.调和函数 y x xy y x +-=) , (?的共轭调和函数为

9.若函数 2

3

) , (axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数 =a 10.设 ) , (y x u 的共轭调和函数为 ) , (y x v ,那么 ) , (y x v 的共轭调和函数为 四、计算积分 1. ?

=-1

|||d ||1|z z z =8

2.

=+-R z dz z z z

)

2)(1(62

, 其中 1, 0≠>R R 且 2≠R 。 3.

+C dz a z 2

22)

(1

,其中 C 为不经过 ai z ±=的简单正向闭曲线 .

五、设 ) (z f 在 z 平面上解析,且 ) (z f 恒大于正常数 M , 试证 ) (z f 为常值函数 . 六 、 证 明 :若

) (z f 在 圆 周 r z z =-||0上 及 其 内 部 解 析 , 则

. d ) (2! ) (20

00) (θπθπ

θin i n

n e re z f r n z f -?

+=

七 、 设 ) (z f 在 复 平 面 上 处 处 解 析 且 有 界 , 对 于 任 意 给 定 的 两 个 复 数 b a , , 试 求 极 限

=+∞→--R z R dz b z a z z f ) )(()

(lim

并由此推证 ) () (b f a f =(刘维尔 Liouville 定理) .

八、 设 ) (z f 在 ) 1(>

+C dz a z 2

22) (1

. 42]) (1[232a ai z i ai

z ππ-='-=-= (4) C 为即包含 ai z -=,也包含 ai z =的简单正向闭曲线

+C dz a z 2

22)

(1

=0 五、提示:对

)

(1

z f 运用刘维尔定理 . 七、提示:估值不等式证明极限 0. 再用柯西积分公式计算,可验证 ) () (b f a f =。

八、 , 8)

() 1(1

22

i dz z z f z z π=+=π=θθ

?

π

θ2) (2

cos 20

2

d e f i .

范文二：3 复变函数的积分

第三章 复变函数的积分

P72 例1 计算

?zdz ，其中C 是从原点到点3+4i 的直线段。

C

[解] 最好把方程直接写成z 的形式而不是x , y 的形式。过0和3+4i

4

的直线方程是：y =x 。按照

?x =x 1+t (x 2-x 1)

?y =y +t (y -y ) ?z =z 1+t (z 2-z 1), t ∈[0, 1]的表示法，

121?

C :z (t ) =0+(3+i 4-0) t =(3+i 4) t , 0≤t ≤1, dz =z '(t ) dt =(3+i 4) dt 或C: x =3t , y =4t , 0≤t ≤1

?zdz =?(3+i 4) t ?(3+i 4) dt =(3+i 4) ?

C

1

2

1

1

tdt =(3+i 4) 2

或当曲线比较简单时不用t ，直接用x ：

44?x ?

y =x , 0≤x ≤3, z (x ) =x +iy = 1+i ?x =(3+4i ) ，

33?3?

如果曲线采用后一种形式，积分上限应改为3：C zdz =

?? dx

3

步骤：

1. 写出曲线C 的表达式C :z =z (t ), a ≤t ≤b . 这一步最关键。接下来类似换元法： 2. 换上、下限：起始时刻a ，终止时刻b . 3. dz =z '(t ) dt

4. 被积函数f (z ) 里的z 全部换成z (t ) .

下面我们将看到，由于被积函数f (z ) =z 处处解析，此积分其实

12

与路径无关，都等于?C zdz =z

3+i 4

12=(3+i 4) . ------------------------------------------------------------------------------------ P74 例3 计算C ，其中C 是(1) C 1(2) C 2+C 3

z =z 1+t (z 2-z 1), t ∈[0, 1]

[解] C

1:z (t ) =0+t (1+i -0) =(1+i ) t , 0≤t ≤1C 2:z (t ) =0+t (1-0) =t , 0≤t ≤1，

C 3:z (t ) =1+(1+i -1) t =1+it , 0≤t ≤1,

?

(1) I 1=(2)

?z dz =?(1-i ) t ?(1+i ) dt =2?

C 1

1

1

11

tdt =1

I 2=?=?+?=?+?(1-it ) ?i dt

C C 2C 300111 1

=+?(t +i ) dt =++i =1+i 0与例1对比可以看到，由于被积函数f (z ) =处处不解析，此积分其实与路径有关。

------------------------------------------------------------------------------------

1

P73 例2 计算C (z -z ) n +1dz ，其中C 是以z 0为圆心，r 为半径

的正向圆周，n 为整数。

i θi θ

z =z (θ) =z +re , 0≤θ≤2πdz =ire d θ， C: ，0

2π2π1ire i θ1

C (z -z 0) dz =?0r e θ=i ?0r e θi 2π-i θn i 2π

=?e d θ=?(cos n θ-i sin n θ)d θr 0r 0

2πi n =0?

2π?

=?i ?11?

sin n θ+i cos n θ?=0n ≠0?r ??0?

最后结果里没有z 0和r 。这是一个重要的例子，以后经常用到，不

1?2πi n =1

要记住的形式：C (z -z ) dz =? 0n ≠1?0

------------------------------------------------------------------------------------ 如何应用Cauchy-Goursat 基本定理：只要C 内没有被积函数f (z ) 的奇点，则

z

C

f (z ) dz =0，不必管C 外有多少奇点（外面的奇

点不要管它！）。

z +3

dz =0 sin e dz =0，z =3例：C (z -5) (z -6)

----------------------------------------------------------------------------------- 如何应用闭路变形原理：计算

C

f (z ) dz 时，只要积分曲线C 在

伸缩、变形时没有碰到被积函数f (z ) 的奇点，则积分保持不变。

主要用于解析性比较好的函数，不能用于

f (z ) =ax +iby (a ≠b ), 这样的函数。

----------------------------------------------------------------------------------- 如何应用复合闭路定理：若C 内有多个被积函数f (z ) 的奇点（外面的奇点不要管它！），我们把每一个奇点用正向小圆C i 包起来，则

C

f (z ) dz =∑f (z ) dz ，

k =1

C k

n

里面只有一个奇点的闭路积分

C k

f (z ) dz 可以用Cauchy 积分公

1

式、高阶导数公式、第五章的留数方法、C (z -z ) n dz 解决。

α是≠0的复P101 14. 设C 为不经过α与-α的正向简单闭曲线，z

数，试就α与-α跟C 的各种不同位置，计算积分C z -αdz 的

值。 [解]

z z 1?11?

+?dz C z 2-α2dz =C (z +α)(z -α) dz =2C

?z -αz +α?

1111=dz +dz 2C z -α2C z +α?2πi α, -α都在C 内?

=?πi α, -α仅有一个在C 内?0α, -α都在C 外?

以上方法用的是积分的线性而不是复合闭路定理，若要用复合闭

路定理，对第一种情况，对α与-α各用一个正向小圆C i 包起来，

z z z

C z 2-α2dz =C 1z 2-α2dz +C 2z 2-α2dz ，接下来需要用

Cauchy 积分公式。

1z 1z ?11?

I =dz +dz =2πi +?=2πi

C 1C 2??

P83 例1. [解]

i

?z cos zdz

i

i

i

i 0

i ?i

i

e i ?i -e e +e =i +-1=e -1-1

?z cos zdz =?zd sin z =z sin z -?sin zdz =i sin i +cos z

只要函数在单连通区域内解析，则实积分计算中的方法比如分部积分，换元法等都可以应用。注意f (z ) =ax +iby (a ≠b ), 这样的函数不能使用NL 公式。

------------------------------------------------------------------------------------ P84 例2. 沿着z 平面第一象限内的圆弧z =1，计算

ln(z +1) ?1dz .

ln(z +1)

, -1]一段后剩下的区[解] 被积函数在割去实轴上(-∞

域里解析，圆弧z =1的起点终点都在单连通解析区域内，因此，

i

ln(z +1) 11222

[]dz =ln(z +1) =ln (i +1) -ln 2?1122??1?π?π32πln 2 2

=? ln +i ?-ln 2?= =--ln 2+i ??????

i

i

[]

----------------------------------------------------------------------------------

2z -1

P79 例 C z 2-z dz ，C 为包含单位圆z =1的任何正向简单闭曲线。

[解]每一个奇点0，1各用一小圆C 0, C 1包起来，利用复合闭路定理，

2z -12z -12z -1C dz =C 0dz +C 1dz

12z -112z -1=?dz +dz C 0C 1 ?2z -12z -1?=2πi +?=2πi ?2=4πi 01??

应用Cauchy 积分公式、高阶导数公式的关键：把产生奇点的部分

11

0，(z -z 0) 单独列出，剩下的部分只要在C 内没奇点就行

了，就可以作为公式中的解析函数f (z ) 。f (z ) 在曲线C 外的奇点不要管它。

-------------------------------------------------------------------------------

e z

例 C z (z -2i ) dz ，C :中心3i ，半径2的圆。 [解]

C

e z e z

dz =2πi

=πe 2i =π[cos 2+i sin 2]

z =2i

[]

cos z

例 C (z -i ) 3dz , C :绕i 的任意简单闭曲线。

cos z 2πi πe +e -1

i [解] C (z -i ) 3dz =(cos z )z =i =πi ?(-cos i )=-例

()

C

e z 11

C 2:z -= (3) C 3:z =2 dz ,(1) C 1:z = (2) z (z -1)

e z

[解] I 1=C 1z (z -1) 3dz =C 1I 2=e z

z e (z -1)

dz =2πi (z -1) 3

=-2πi

z =0

C 2

e z

z z "e 2πi ?e ?z dz =dz =??33C 2(z -1) z (z -1) 2! ?z ?

z =1

?z ?122??

=πi ?e -2+3??=πie

z ??z =1??z z

I 3=I 1+I 2=πi (e -2)

"[]u ?v =u ''v +2u 'v '+u v '' 补充技巧：

P91 定理：f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在D 解析u (x , y ) 和

v (x , y ) 是D 上的调和函数。

证明：由于解析函数的导数仍是解析函数，所以u (x , y ) 和

v (x , y ) 有任意阶偏导数。

u (x , y ) 和v (x , y ) 是解析函数的实部和虚部，满足CR 条件：

u x ' =v y ' , u y ' =-v x '

两式分别对x , y 求偏导，u xx " =v yx " , u yy " =-v xy " =-u xx " ，

u xx " +u yy " =0

Laplace 方程成立，所以u (x , y ) 是D 上的调和函数。类似地可证 v (x , y ) 也是D 上的调和函数。 □

P92 例1证明u (x , y ) =

y -3x y 是调和函数，并求（不定积

分法）其共轭调和函数v (x , y ) 和由它们构成的解析函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 。

22

u ' =-6xy , u ' =3y -3x , u xx " =-6y , u yy " =6y [解] x y

u xx " +u yy " =0

所以u (x , y ) =

32

y -3x y 是调和函数。

f ' (z ) =u x ' +iv x ' =u x ' -iu y ' =-6xy -i (3y 2-3x 2)

32

2

f ' (x ) =i 3x 令y =0，

23

f ' (z ) =i 3z f (z ) =iz +C 1，所以，求得原函数由于实部u (x , y ) 不含常数，所以C 1=iC , C ∈R .

3

f (z ) =iz +iC 分解为实部、虚部，得 最后，

f (z ) =i z 3+C

(= =y 3-3x 2y +i x 3-3xy 2+C

z =x +iy

()()

注：最后一步可用于检验。做题时要注意求的是什么。 P92 例1 （偏导数法） [解] 。。。。。。

u x ' =-6xy , u y ' =3y 2-3x 2

v x ' =-u y ' =-3y 2+3x 2, v y ' =u x ' =-6xy

v =?v y ' dy =?-6x ydy =-3xy 2+g (x )

对上式两边求偏导数v x ' ，

v x ' =-3y 2+g ' (x ) =-3y 2+3x 2

?g ' (x ) =3x 2?g (x ) =x 3+C , C ∈R

v (x , y ) =x 3-3xy 2+C 所求解析函数为

f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) =y 3-3x 2y +i x 3-3xy 2+C =i z 3+C P92 例2 已知一调和函数

()()()

v (x , y ) =e x (y cos y +x sin y ) +x +y ，求一解析函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，使f (0) =0.

[解]

v x ' = =e (y cos y +x sin y +sin y )+1

x

v y ' =e (cos y -y sin y +x cos y )+1

x

f ' (z ) =u x ' +iv x ' =v y ' +iv x ' =e x (cos y -y sin y +x cos y )+1

+i e x (y cos y +x sin y +sin y )+1

x x

[]()(1+x )+(1+i ) f ' (x ) =e 1+x +1+i 0+1=e 令y =0，

z z ()f ' (z ) =e 1+z +(1+i ) f (z ) = =ze +(1+i ) z +C ，所以，

由于虚部v (x , y ) 不含常数，所以C ∈R 。

z

f (0) =0C =0f (z ) =ze +(1+i ) z . 由，得，

[

[

[]

]

]

P103 31 设v =e sin y ，求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数f (z ) =u +iv . [解]

2px

v x ' =pe px sin y v " =p e sin y xx

px

v y ' =e px cos y v " =-e sin y yy

" 2px

v " +v =(p -1) e sin y =0xx yy p =±1

px

f ' (z ) =u x ' +iv x ' =v y ' +iv x ' =e cos y +ipe sin y

px pz

f ' (x ) =e , f ' (z ) =e 令y =0， e pz pz ±z

所以 f (z ) =p +C =pe +C =±e +C .

?y ?

-P102 29 求具有下列形式的所有调和函数：(2) u =f x ? . 补充：

??

px px

求一解析函数g (z ) =u +iv 。

[解] 解这类题的一般方法是先引进一个中间变元t ，再解Laplace 方程。设t =

y

u =，则f (t )，

1?y ?

u x ' =f ' (t ) ? -?, u y ' =f ' (t ) ?,

?x ?

2

y 22y ?y ??2y ?

u xx " =f " (t ) ? -?+f ' (t ) ? ?=f " (t ) +f ' (t ) ,

x x ?x ??x ?

111u yy " =f " (t ) ?=f " (t ) x

y 22y 1

u xx " +u yy " =f " (t ) 4+f ' (t ) 3+f " (t ) 2=0

x x x

f " (t ) t 2+f ' (t ) 2t +f " (t ) =f " (t ) t 2+1+f ' (t ) 2t =0

[]

f " (t ) 2t

=-t +1，

两边取积分，

?

ln f ' (t ) =-ln t 2+1+c 1，c 1∈R

两边代入实指数函数，

(

f " (t ) 2t

dt =-?2dt t +1

)

e

ln f ' (t )

()=e

-ln t 2+1+c 1

f ' (t ) =c 2t +1

(

2

)

-1

1=c 2, c 2=e c 1>0

t +1

1

f (t ) =c 2?dt =c 2arctan t +c 3, c 3∈R ，

t +1

?y ?

?+c 3. （类似于P103 30(4)） 所以u (x , y ) =c 2arctan ??

1y ?y ?

u x ' =c 22? -2?=-c 222

x x +y ??y ??

1+ ???1x ?1?

u y ' =c 2?=c 2 ? x +y ?y ???

1+ ???

y x ??

f ' (z ) =u x ' +iv x ' =u x ' -iu y ' =-c 222-i c 222?

x +y ?x +y ?

x 1

令y =0， f ' (x ) =-ic 2x 2=-ic 2

1

所以f ' (z ) =-ic 2，求原函数f (z ) =-ic 2ln z +c 4, c 4∈C .

f (z ) =-ic 2ln z +c 4=-ic 2(z +i arg z )+c 4

验算：=c y -ic ln x 2+y 2+c '

224

范文三：第二类曲线积分_复变函数积分的一个性质

第 23卷第 2 期 . 2辽 宁 工 学 院 学 报 . 23 N o V o l2 0 0 3 年 4 月 .A p r 2 0 0 3 JOU RNAL O F L IAON IN G IN ST ITU T E O F T ECHNOLO GY ?

第二类曲线积分、复变函数积分的一个性质

陈永衡, 王有德, 徐洪香

()辽宁工学院 数理科学系, 辽宁 锦州 121001

摘 要: 论述了关于面、线、点对称的曲线上的广义奇、偶函数的第二类曲线积分及关于原点对称的曲线上的 奇、偶复

变函数积分的一个性质。

关键词: 对称变量; 广义奇函数; 广义偶函数

中图分类号: 241. 4 文献标识码: 文章编号: 100521090 (2003) 0220069202O A

A Property of Curv il inear In tegral about Coord ina te

and Com plex in tegrat ion

222,, CH EN YonghengW AN G YoudeXU Hongx iang

(. , , 121001, )M athem atical & Physical Science D ep tL iaoning Institute of T echno logyJ inzhou Ch ina

: ; ; Key wordssymm etrical variab legeneralized odd funct io n generalized even funct io n

: AbstractA p roperty of cu rvilinear in tegral abou t coo rdinate of generalized odd and even funct io n

, , in the symm etrical cu rve abou t p laneline and po in t is discu ssedw ith the p roperty of com p lex in2

.tegrat io n of odd and even funct io n in the symm etrical cu rve abou t o rig in also studied

(, - , - ) = (, , ) , 或 (- , - , - ) = (, ,x y z f x y z f x y z f x y 文献[ 1 ] 应用了对称区域上的奇、偶函数的二、三重积

) ) , 那么称函数 (, , ) 为 上的广义偶函数。z f x y z # 分、第一类曲线、曲面积分的性质, 简化了运算。 本文将这一

性质推广到各种对称曲线上的第二类曲线积分及复变函数 定理 1 若函数 在有向光滑空间曲线 上连 (, , ) f x y z # 的积分中去。 空间曲线的对称性可分为关于坐标面对称、关 续, 曲线 由形状及方向都对称的两部分 , 构成, (,# # 1 # 2 f x

, ) 关于对称变量为广义奇 (偶) 函数, 则第二类曲线积分有y z 于坐标轴对称及关于坐标原点对称三种情况。而有向曲线除

(1) 若 与 关于 坐标面对称, 则(# 1 # 2 xOy 曲线形状对称外, 还有方向对称和方向反对称 即形状对称 ) () (的两部分中的一个取反方向时, 两者的方向才对称两种情 f x , y , z dx = 0 () () )f x , y , z dx = 2 f x , y , z dx ?

??# # #2 2 1 况。 如 坐标面上的曲线 : + = 4 (逆时针方向) , 若 xOy #x y

() () )f x , y , z dy = 2f x , y , z dy 1 ??# # # 关于 轴对称时, 其方向反对称。x

定义 1 若曲线 关于 坐标面对称, 则称坐标 为 # xOy z ( () () () )f x , y , z dz = 2f x , y , z dz f x , y , z dz = 0 1 ???# # # 对称变量; 若 关于 轴对称, 则称坐标 、为对称变量;# x yz (2) 若 与 关于 轴对称, 则# 1 # 2 x 若 关于坐标原点对称, 则称坐标 、、为对称变量。# x yz

定义 2 设函数 (, , ) 在曲线 上有定义, 曲线 f x y z # # ( () () () )f x , y , z dx = 0 f x , y , z dx = 2f x , y , z dx 1 ???# # # 关于 坐标面 (或 轴, 或坐标原点) 对称, 如果对 上任xOy x #

一点 (, , ) 处, 关于对称变量 或 或 有 (, , , . ) (,x y z z y z x yz f x ( () () () )f x , y , z dy = 2f x , y , z dy f x , y , z dy = 0 1 ???# # # , - ) = - (, , ) (或 (, - , - ) = - (, , ) , 或y z f x y z f x y z f x y z () () ( () )f x , y , z dz = 2f x , y , z dz f x , y , z dz = 0 ???# # # (- , - , - ) = - (, , ) ) , 那么称函数 (, , ) 为f x y z f x y z f x y z 1

; 如果有 或 上的广义奇函数(, , - ) = (, , ) (# f x y z f x y z f (3) 若 与 关于坐标原点对称, 则# 1 # 2

? 收稿日期: 2002205209

() 作者简介: 陈永衡 19472, 男, 辽宁盖州人, 副教授。

23 卷辽宁工学院学报 第 70

22 函数 关于对称变量 为广义偶函数, 积分元素 x y z sinz x dz ( () () () )f x , y , z dx = 2f x , y , z dx f x , y , z dx = 0 ???# # # 1 22 中不含对称变量 成分, 则 x y z sinz dz = 0.x ? # ( () () () )f x , y , z dy = 2f x , y , z dy f x , y , z dy = 0 ???# # # 对 复变函数 当() = (+ ) = (, ) + (, ) , f z f x iy u x y iv x y 1 关于 为奇函数 ((- ) = - () ) 时有 () (- ) = [ -f z z f z f z f z f ( () () () )f x , y , z dz = 2f x , y , z dz f x , y , z dz = 0 (- ) (+ )]= [(- ) + y ]= (- , - )+ (- , -x iy f x i u x y iv x 1 ???# # # 故有 ) , (- , - ) = - (, ) , (- , - ) = - (, u x y u x y v x y v x y 本定理可简述为: 各种形状及方向对称的曲线上的第

) , 该两式说明复变函数 关于变量 为奇函数的充分 () 二类曲线积分, 当积分元素 中含有对称变量成分 (, ) y f z z dx dy dz

必要条件是其实部 及虚部 两个实变量函数 (, ) (, ) 时, 广义偶函数的积分为零, 广义奇函数的积分为半个曲线 u x y v x y

关于变量 为广义奇函数。同理, 复变函数 关于变量 , () x y f z 上积分的 2 倍。否则结论相反。当曲线方向反对称时, 结论与

为偶函数的充分必要条件是其实部 及虚部 (, ) (, ) z u x y v x y 本定理相反。

两个实变量函数关于变量 为广义偶函数。由此, 我们应 , x y 证明 只证 (3) 中第二式, 其他证明类似。 设 参数方 # 1 以 作为对称变量, 在二维复平面上应取曲线关于坐标 , x y 程为 () , = () , 单调地由 变到 由对称性, = ; y Υx z ?x x a b# 2 原点的对称性来研究问题。 为 (- ) , = - (- ) , 单调地由- 变到- ,= - y Υx z ?x x a b 定理 2 若复变函数 在曲线 上连续, 有向曲线 () f z C C () () f x , y , z dy = f x , y , z dy 是由形状及方向关于坐标原点对称的两部分 构成, 则 1 , ??C 1 C 2 # # b () () () () + f x , y , z dy = f [ x , Υx , ?x ]Υ′x dx 若 关于变量 为偶函数, 则f () z = 0(1) () f z z z d ??# a ?c2 + f [ x , - Υ(- x ) , - ?(- x ) ] [ - Υ′(- x ) ]dx?x c ?- a- b () ( 2) 若 关 于 变 量 为 奇 函 数, 则f z dz = ( ) f z z 2() f z dz. 其中, 后者中- ′(- ) = ′(- ) , 并设- = , 则后一积 ?Υx x Υ- x x x rc1

分为 当曲线形状对称, 方向反对称时, 结论相反。 b

f [ - r, - Υ( r) , - ?( r) ]Υ′( r) (- d r)r () () () 证 明 f z dz = u x , y dx - v x , y dy + ?a ???cccb i () u x , y dy ( ) ?( ) ( ) () Υ?Υ′rd r c v x , y dx + i = - f [ - r, - r, - r] ??a c若 关于对称变量 为广义奇函数, 即 (, , ) , , f x y z x y z f (1) 当 为偶函数时, (, ) , (, ) 关于 为广() , f z u x y v x y x y [ - , - ( ) , - () ]= - [ , ( ) , ( ) ], 则rΥr?rf rΥr?r 义偶函数, 由定理 1, () () (u x , y dx = v x , y dy = v x , b ???ccc() () () () f x , y , z dy = f [ x , Υx , ?x ]Υ′x dx ) () y dx = u x , y dy = 0, 故 ??() # a ?f z dz = 0. c c b ? 当 为奇函数时, (, ) , (, ) 关于 为广 (2) () , f z u x y v x y x y ( ) ( ) ( ) + f [ r, Υr, ?r]Υ′rd r ?a () 义奇函数, 由定理 1, 1中四个积分都等于上积分的 2 倍, 故() = f x , y , z dy ? ? ?# () () f z dz = 2 f z dz. c c1 若 关于对称变量 为广义偶函数, 即 (, , ) , , f x y z x y z f 如, 下列积分中曲线 的形状及方向对称, 被积函数是C [ - , - ( ) , - () ]= [ , ( ) , ( ) ], 则rΥr?rf rΥr?r b 偶函数, 故积分值皆为零

2i () () () () f x , y , z dyf [ x , Υx , ?x ]Υ′x dx dz = 0 2??# a ?z + 1 b |z |= 6 ( ) ( ) ( ) dz - f [ r, Υr, ?r]Υ′rd r = 0 2 ?? = 0 a 2 (z ) ()+ 1z + 5 本定理可简化第二类曲线积分的计算, 有时可很快地 |z |= 2 判定积分值为零。 sinz dz = 0例 计算曲线积分 x y z sinz dz , 其中 是平面 ? # y z ?# = |z |= 4 2 2

参考文献: 2 2 2 与球面 + + = 1 的交线, 其方向与 轴成右手系。z x y z z 解 1: 关 于 坐 标 原 点 形 状 及 方 向 对 称, 被 积 函 数# [ 1 ] 陈文灯, 黄开先. 数学题型集粹与模拟式题集, 理工类 22 关于对称变量 , , 为广义偶函数, 积分元素 x y z sinz x y z dz []. 北京: 世界图书出版公司, 2000, 119, 138.M 中含有对称变量 成分, 则 , , x y z x y z sinz dz = 0. ?# 2 2 责任编辑: 傅春玲

解 2: 坐标面形状对称而方向反对称, 被积关于 # yO z

范文四：信号的傅里叶变换及其性质(复变函数与积分变换课程论文)

复变函数与积分变换

课程论文

题 目 信号的傅里叶变换及其性质

任课老师 王学顺 学院班级 工学院 自动化xxx 姓名学号 Xxx xxxxxxxxx 时 间

2013年12月4日

信号的傅里叶变换及其性质

xxx

（北京xx大学，自动化xxx，xxxxxxxxxx）

摘 要： 傅里叶变换的概念是针对非周期信号引入的，但周期信号也存在傅里叶变换，本文指出求解周期信号的傅里叶变换有三种方法：一是在一个周期内积分求傅里叶系数，二是利用对应的单脉冲信号频谱与傅里叶系数的关系求，三是利用傅里叶变换的时移性求。本文讨论了不同方法所求周期信号傅里叶变换结果之间的内在联系，进一步揭示出信号的时域与频域的对称特性。

关键词：周期信号，傅里叶变换，傅里叶系数，对称性，级数

引言

信号傅里叶变换是信号与系统中非常重要的一部分，它在数学许多分支、物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，也是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用。周期信号傅里叶变换是一系列冲激，其冲激强度与傅里叶系数有关。 如果傅里叶系数不容易求解，可从对应的单脉冲信号的频谱求得。本文分析了周期信号从不同角度所得傅里叶变换结果的内在联系及其性质。

1． 傅立叶变换概念

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 1.1定义

f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换，

②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换

②傅里叶逆变换

1.2相关

* 傅里叶变换属于谐波分析。

* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;

* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解

.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).

2． 傅里叶变换的性质

2.1线性性质

傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里

叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数

都存在，和为任意常系数，则有

2.2尺度变换性质 若函数

的傅里叶变换为

和的傅里叶变换

和

，则对任意的非零实数，函数的傅里

叶变换

对于

存在，且等于

的情形，上式表明，若将

的图像沿横轴方向压缩倍，则其傅里叶变换

。对于

的情形，还会使得傅里

的图像将沿横轴方向展宽倍，同时高度变为原来的叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。

2.3平移性质

若函数

的傅里叶变换为

，则对任意实数等于

，函数也存在

傅里叶变换，且其傅里叶变换

也就是说，2.4微分关系 若函数

的傅里叶变换为

可由

向右平移得到。

，且其导函数的傅里叶变换存在，则有

即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子导数

的傅里叶变换存在，则

即阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子2.5卷积特性 若函数

以及

都在上绝对可积，则卷积函

。更一般地，若的阶

。

的傅里叶变换存在，且

2.6Parseval定理以及Plancherel定理 若函数

以及

平方可积，二者的傅里叶变换分别为

与，则有

上式被称为Parseval定理。特别地，对于平方可积函数

，有

上式被称为Plancherel定理。这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间上的一个运算符（若不考虑因子）。

2.7对称性的应用

前面指出对称性可以看做是对所有性质的一个总结。实际上，傅里叶变换的定义式本身即体现了该性质。同时也可以直接利用傅里叶正反变换的定义式来证明该性质。反之，该性质可以用于傅里叶正、反变换的求解，另外利用对称性，还可以实现时移特性与频移特性、时域微分特性与频域微分特性、时域卷积特性与频域卷积特性的互推。下面给出其推导过程。为了叙述方便，设

FTFTFT

?F1???和 f2?t????F2???的fT?t????F???，f1?t???

推导中，都利用到展缩特性的特例:：

（1）由时移特性推导频移特性

FT

f??t????F???? 。

FT

??Ft???2?f????

由对称性得:

?j?t0FT

????Ft?t???2?f??e0由时移特性得:

?jtt0FT

??2?f?te???2?F????t0?

再利用对称性得:

jtt??ftet??t????利用展缩特性 ，得:

FT

???F???t0?，频移特性得

证。

( 2) 由时域微分特性推导频域微分特性

FT

??Ft???2?f????

由对称性得:

dF?t由时域微分特性得: 再利用对称性可得:

FT???j2??f????

FT

j2?tf(?t)???2?[dF???d(??)]??2?[dF(??)d?]

利用展缩特性，

t??t，????，可得:

FT?jtf(t)???dF(?)d(??)?dF(?)d?，频域微分特性得证。

( 3) 由时域卷积特性推导频域卷积特性

FTFT

????Ft???2?f????Ft???2?f2???? 1由对称性得:1，2FT

????Ft?Ft???2?f1?????2?f2???? 2由时域卷积特性得:1

FT????2?f?t?2?f?t???2?F1(??)?F2(??) 12再利用对称性得:

用展缩特性，

t??t，????，得:

FT

2?f1?t?f2?t????F1(?)?F2(?)

由此频域卷积特性得证。

3． 从傅里叶系数角度求周期信号的傅里叶变换

周期信号 ?T (t)满足狄里赫利条件,可展开成指数形式的傅里叶级数

fT?t??

n???

jn?tFe?n

?

（2）

式中 Ω=

2?

是基波角频率, Fn是傅里叶复系数 T

T

12

Fn??TfT (t)e-jn?tdt （2）

T?2

对(1)式两端取傅里叶变换可得

FT

fT?t????2?Fn????n?? （3）

(3)式表明,周期信号的傅里叶变换由无穷多个冲激函数组成,这些冲激函数位于信号的谐波角频率 n??n?0,?1,?2,??处,其强度为傅里叶复系数 Fn的2?倍。

4． 从时域卷积角度求周期信号的傅里叶变换

TTT3T

?

设从周期信号fT?t?中截取一个周期（如2~2或4~4）可得到对应的单个脉冲

?

信号，令其为

f0?t?，那么

fT?t??f0?t???T?t? （4）

?T?t??

上式中，换为

n???

??(t?nT)

?

为周期冲激序列。设

f0?t?的傅里叶变

F0?j??，根据时域卷积定理可得fT?t?的傅里叶变换

fT?t????Fo?j??????(?)?Fo?j??????(??nT)

FT

n???

?

???F0(jn?)?(??n?)

n???

?

（5）

（5）式表明，周期信号fT?t?的傅里叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的谐波角频率 n??n?0,?1,?2,??处，其强度为对应单个脉冲信号叶变换

f0?t?的傅里

Fo?j??在n??n?0,?1,?2,??时刻的值。

5． 不同角度所得结果的讨论

（3）式是从周期信号分解为无穷多个指数分量的离散和角度得出的；（5）式是根据周期信号可以看成单个脉冲信号与周期冲激序列卷积得出的结果，它们是同一周期信号的傅里叶变换，两者之间应当有必然联系，将（3）式和（5）式对比可得

2?Fn??F0(jn?)

所以

Fn?

11

F0(jn?)?F0(j?)??n?TT （6）

Fn等于对应单个脉冲信号的频谱 F0(j?)在

（6）式表明，周期信号的傅里叶复系数

1

F频率 n?处的值乘以T。（6）式建立了周期信号傅里叶复系数n与对应单个脉冲频谱

F0(j?)之间的关系，揭示出周期信号的频谱包络线形状与对应单个脉冲信号的傅里叶变换

的包络线形状相同。这一点可以从周期信号频谱的特点得到验证，当周期变大时，基波频率

Ω 变小，相应的离散谱线变密!各频率分量的幅度变小，但频谱包络线的形状不变。当T趋于无穷大时，周期信号转化为对应的单个脉冲信号，虽然各频率分量的幅度趋于无穷小，但频谱包络线的形状依然不变。

周期信号fT?t?还可以看成对应单个脉冲信号f0?t?时移后的叠加，两边取傅里叶变换有

FT

fT?t???f0?t?T??f0?t?T????????F0(j?)ej?T?F0(j?)?F0(j?)e?j?T

?F0(j?)?e?j?nt

n???

?

（7）

（7）表明，周期信号在频域中可以分解成无限多个时间为呢nT，复振幅为 指数分量e

?j?nt

F0(j?)的

的离散和。 与此相对应，（2）式表明的是周期信号在时域中可以分解成无

限多个频率为n?复振幅为

Fn的指数分量 ) ej?nt的离散和，如果说（2）式表示的是时

域函数的频域展开，则（6）式表示的是频域函数的时域展开!它们共同揭示了时域与频域之间的对称性。

（3）和（5）式从不同的角度揭示了周期信号的傅里叶变换是一系列相距为基波频率Ω的冲激函数，而（7）式表示的是周期信号傅里叶变换在时域内的级数展开，因而表示形式上差别较大。

6． 结论

信号的时域和频域分析是信号与系统课程中的一个重要组成部分，也是难点之一。我们不但要掌握多种方法。不能被表示形式的表象所迷惑，还要搞清楚不同方法之间的内在联系。

参考文献：

[1]. “傅里叶变换”词条，百度百科

[2]. 杨毅明，著.数字信号处理[p].89，机械工业出版社2012.

[3]. 吴大正主编，杨林耀，张永瑞，编.信号与线性系统分析[M].3.北京：高等教育出版社，2005。 [4]. 马金龙，胡建萍，王宛平.信号与系统[M]北京：科学出版社2006.

[5]. 管致中，夏恭恪，孟桥.信号与线性系统[M].4版.北京：高等教育出版社，2004.

[6]. 宋琪.一个关于傅里叶变换求解问题的探讨[J].电气电子教学学报，2008，8，Vol.30.No.4. [7]. 奥本海姆著.信号与系统[M].2版.刘树棠 ，译.西安：西安交通大学出版社，2004。 [8]. 郑君里，教与写的记忆LL信号与系统评注［B］I 北京: 高等教育出版社.2005,8.

范文五：信号的傅里叶变换及其性质(复变函数与积分变换课程论文)

复变函数与积分变换

课程论文

题 目 信号的傅里叶变换及其性质 任课老师 王学顺

学院班级 工学院 自动化xxx 姓名学号 Xxx xxxxxxxxx 时 间 2013年12月4日

信号的傅里叶变换及其性质

xxx

,北京xx大学,自动化xxx,xxxxxxxxxx,

摘 要: 傅里叶变换的概念是针对非周期信号引入的,但周期信号也存在傅里叶变换,本文指出求解周期信号的傅里叶变换有三种方法,一是在一个周期内积分求傅里叶系数,二是利用对应的单脉冲信号频谱与傅里叶系数的关系求,三是利用傅里叶变换的时移性求。本文讨论了不同方法所求周期信号傅里叶变换结果之间的内在联系,进一步揭示出信号的时域与频域的对称特性。

关键词:周期信号,傅里叶变换,傅里叶系数,对称性,级数

引言

信号傅里叶变换是信号与系统中非常重要的一部分，它在数学许多分支、物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，也是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用。周期信号傅里叶变换是一系列冲激，其冲激强度与傅里叶系数有关。 如果傅里叶系数不容易求解，可从对应的单脉冲信号的频谱求得。本文分析了周期信号从不同角度所得傅里叶变换结果的内在联系及其性质。

1( 傅立叶变换概念

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

1.1定义

f(t)是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件:具有有限个间断点;具有有限个极值点;绝对可积。则有下图?式成立。称为积分运算f(t)的傅里叶变换，

?式的积分运算叫做F(ω)的傅里叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做

F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

?傅里叶变换

1 / 8

?傅里叶逆变换

1.2相关

* 傅里叶变换属于谐波分析。

* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;

* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

*卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段;

* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).

2( 傅里叶变换的性质

2.1线性性质

傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里

2 / 8

叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数和的傅里叶变换和

都存在，和为任意常系数，则有

2.2尺度变换性质

若函数的傅里叶变换为，则对任意的非零实数，函数的傅里叶变换存在，且等于

对于的情形，上式表明，若将的图像沿横轴方向压缩倍，则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向展宽倍，同时高度变为原来的。对于的情形，还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。

2.3平移性质

若函数的傅里叶变换为，则对任意实数，函数也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换等于

也就是说，可由向右平移得到。

2.4微分关系

若函数的傅里叶变换为，且其导函数的傅里叶变换存在，则有

即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。更一般地，若的阶导数的傅里叶变换存在，则

即阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。

2.5卷积特性

若函数以及都在上绝对可积，则卷积函

的傅里叶变换存在，且

2.6Parseval定理以及Plancherel定理

若函数以及平方可积，二者的傅里叶变换分别为与，则有

3 / 8

上式被称为Parseval定理。特别地，对于平方可积函数，有

上式被称为Plancherel定理。这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间上的一个运算符(若不考虑因子)。

2.7对称性的应用

前面指出对称性可以看做是对所有性质的一个总结。实际上，傅里叶变换的定义式本身即体现了该性质。同时也可以直接利用傅里叶正反变换的定义式来证明该性质。反之，该性质可以用于傅里叶正、反变换的求解，另外利用对称性，还可以实现时移特性与频移特性、时域微分特性与频域微分特性、时域卷积特性与频域卷积特性的互推。下面给出其推导过程。

FTFTFT，，，，ft,,,F,，，，，，，，，ft,,,F,ft,,,F,1122T为了叙述方便，设，和 的

FT，，，，f,t,,,F,,推导中，都利用到展缩特性的特例:: 。

(1)由时移特性推导频移特性

FT，，，，Ft,,,2,f,,由对称性得:

jtFT,,0，，，，Ft,t,,,,2,f,,e0由时移特性得:

,jttFT0，，，，2,f,te,,,2,F,,,t0再利用对称性得:

jttFT0，，，，fte,,,F,,tt,,t,,,,0利用展缩特性 ，得: ，频移特性得证。

( 2) 由时域微分特性推导频域微分特性

FT，，，，Ft,,,2,f,,由对称性得:

dFt，，FT，，,,,j2,,f,,dt由时域微分特性得:

再利用对称性可得:

FT，，j2,tf(,t),,,2,[dF,,d(,,)],,2,[dF(,,)d,]

,,,,t,,t利用展缩特性，，，可得:

FT,jtf(t),,,dF(,)d(,,),dF(,)d,，频域微分特性得证。

( 3) 由时域卷积特性推导频域卷积特性

4 / 8

FTFT，，，，Ft,,,2,f,,，，，，Ft,,,2,f,,1122由对称性得:，

FT，，，，，，，，Ft,Ft,,,2,f,,,2,f,,1212由时域卷积特性得:

FT，，，，2,f,t,2,f,t,,,,2,F(,,),F(,,)1212再利用对称性得:

,,,,t,,t用展缩特性，，，得:

FT ，，，，2,ftft,,,F(,),F(,)1212

由此频域卷积特性得证。

3( 从傅里叶系数角度求周期信号的傅里叶变换

周期信号 ? (t)满足狄里赫利条件,可展开成指数形式的傅里叶级数 T

,jnt,，，ft,Fe (2) Tn,

n,,,

2,式中 Ω=是基波角频率, 是傅里叶复系数 FnT

T1,-jnt2F,f (t)edt (2) TTn,,T2

对(1)式两端取傅里叶变换可得

FT，，，，ft,,,2,F,,,n, (3) Tn

(3)式表明,周期信号的傅里叶变换由无穷多个冲激函数组成,这些冲激函数位于信号的

2,谐波角频率 处,其强度为傅里叶复系数 F的倍。 ，，n,n,0,,1,,2,？n

4( 从时域卷积角度求周期信号的傅里叶变换

TTT3T,,，，ft2442T设从周期信号中截取一个周期(如~或~)可得到对应的单个脉冲

，，ft0信号，令其为 ，那么

，，，，，，ft,ft,,tT0T (4)

,

，，,t,,(t,nT),T，，ft0n,,,上式中，为周期冲激序列。设的傅里叶变

，，Fj,，，ft0T换为 ，根据时域卷积定理可得的傅里叶变换

5 / 8

,FT,,,,,,ft,,,,Fj,,(),Fj,,(,nT)，，，，，，,Too,n,,,

,

,,F(jn,),(,,n,),0n,,, (5)

，，ftT(5)式表明，周期信号的傅里叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数

，，ft，，n,n,0,,1,,2,？0位于信号的谐波角频率 处，其强度为对应单个脉冲信号的傅里

，，Fj,，，n,n,0,,1,,2,？o叶变换 在时刻的值。

5( 不同角度所得结果的讨论

(3)式是从周期信号分解为无穷多个指数分量的离散和角度得出的;(5)式是根据周期信号可以看成单个脉冲信号与周期冲激序列卷积得出的结果，它们是同一周期信号的傅里叶变换，两者之间应当有必然联系，将(3)式和(5)式对比可得

2,F,,F(jn,)n0

所以

11F,F(jn,),F(j,)n00,,n,TT (6)

FF(j,)n0(6)式表明，周期信号的傅里叶复系数 等于对应单个脉冲信号的频谱 在

1

Fn,Tn频率 处的值乘以。(6)式建立了周期信号傅里叶复系数与对应单个脉冲频谱 F(j,)0之间的关系，揭示出周期信号的频谱包络线形状与对应单个脉冲信号的傅里叶变换的包络线形状相同。这一点可以从周期信号频谱的特点得到验证，当周期变大时，基波频率 Ω 变小，相应的离散谱线变密!各频率分量的幅度变小，但频谱包络线的形状不变。当T趋于无穷大时，周期信号转化为对应的单个脉冲信号，虽然各频率分量的幅度趋于无穷小，但频谱包络线的形状依然不变。

f，，tT周期信号还可以看成对应单个脉冲信号时移后的叠加，两边取傅里叶变换有，，ft0

,,FT,jTjT,,,，，，，，，？？？ft,ftT，f，tT,，,,,F，(j)eF，(j)F，(j)eT00000

,(7) ,,jntF,(j,)e,0

n,,,

F(j,)0(7)表明，周期信号在频域中可以分解成无限多个时间为呢nT，复振幅为 的

,j,nte指数分量的离散和。 与此相对应，(2)式表明的是周期信号在时域中可以分解成无

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j,ntFn,en限多个频率为复振幅为 的指数分量 ) 的离散和，如果说(2)式表示的是时域函数的频域展开，则(6)式表示的是频域函数的时域展开!它们共同揭示了时域与频域之间的对称性。

(3)和(5)式从不同的角度揭示了周期信号的傅里叶变换是一系列相距为基波频率Ω的冲激函数，而(7)式表示的是周期信号傅里叶变换在时域内的级数展开，因而表示形式上差别较大。

6( 结论

信号的时域和频域分析是信号与系统课程中的一个重要组成部分，也是难点之一。我们不但要掌握多种方法。不能被表示形式的表象所迷惑，还要搞清楚不同方法之间的内在联系。

参考文献:

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