范文一：6、离差平方和法

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6、离差平方和法 、

G 和 G2 被聚为新类，重心为 X6 = (1+ 2) / 2 =1.5 1

如G 和G2 为一类，则离差平方和 1

S12 = (1?1.5)2 + (2 ?1.5)2 = 0.5

1 如 G和 G3为一类，则离差平方和

S13 = (1? 2.25)2 + (2 ? 2.25)2 = 3.125

类似于方差分析的想法，如果类分得恰当，同类内的 样品之间的离差平方和应较小，而类间的离差平方和应当 较大。 离差平方和法的思路是，当k固定时，选择使S达到 最小的分类。先让n个样品各自成一类，然后缩小一类， 每缩小一类离差平方和就要增大，选择使S2增加最小的两 类合并，直到所有的样品归为一类为止。离差平方和法 定义类间的平方距离为

G 1 G 1 G2 G3 G4 G5

0 0.5 3.125 18 32

G2

0 1.125 12.50 24.50

G3

G4

G5

0 6.125

15.125

0 2 0

2 2 2 定义距离为离差平方和的增量:Dpq = Sr2 ? Sp ? Sq

其中 S2 是由Gp 和Gq 合并成的Gr 类的类内离差平方和。 可以证明离差平方和的聚类公式为

r

nk + np 2 nk + nq 2 nk 2 递推公式: = D Dpk + Dqk ? Dpq nr + nk nr + nk nk + nr

2 rk

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范文二：一种带约束的最小离差平方和系统聚类法及应用

Vol . 25 No . 1 第 25 卷第 1 期计算机应用

2005 年 1 月 Computer Applications J an. 2005

() 文章编号 :1001 - 9081 200501 - 0045 - 04

一种带约束的最小离差平方和系统聚类法及应用

1 2李 斌,郭剑毅

( 1 . 昆明理工大学 生物与化学工程学院 ,云南 昆明 650224 ;

) 2 . 昆明理工大学 信息工程与自动化学院 ,云南 昆明 650093

( )kmlb @vip . sina . com

摘 要 :针对异常数据的不利影响和类数难以判别的问题提出了一种带约束的最小离差平方和

系统聚类法 ,包括对初始数据进行线性变换 、聚类检验指标分析 、主因素分析等 。通过对实际调查样

本数据进行聚类 ,挖掘和分析客户群中所存在的不同特征的组群 ,得到了直观的聚类过程和较合理的

分组结果 。

关键词 :数据挖掘 ;聚类分析 ;客户关系管理

中图分类号 : TP311 . 11文献标识码 :A

Method and a pplication of restricted minimum variance hierarchical cl uster 1 2L I Bin, GUO J ian2yi

(1 . College of Biological and Chemical Engineering , Kunming University of Science and Technology , Kunming Yunnan 650224 , China ;

)2 . College of Inf ormation Engineering and Automation , Kunming University of Science and Technology , Kunming Yunnan 650093 , China Abstract : To the questions of adverse effect of unusual data and difficulties in defining the number of clusters , a method of

( ) Restricted Minimum Variance Hierarchical Cluster RMVHCwas proposed , including varying initial data linearly , inspection

standard analysis and main factors analysis etc . Through clustering to the sample data of investigation , excavating and analysing

various characteristics existing in customers actually , cluster course and relatively rational grouping result were directly perceived

through the senses.

Key words : Data Mining ; clustering ; customer relationship management

( 提出了一种带约束的最小离差平方和系统聚类法 Restricted 0 引言 ) Minimum Variance Hierarchical Cluster ,RMVHC。该方法可以约

( ) ( ) 聚类是一个将数据集划分为若干组 class或类 cluster束不合理数据对聚类过程的影响 ,并且解决了聚类类数难以 的过程 ,并使得同一个组内的数据对象具有较高的相似度 ,而 判别的问题 ,使聚类结果更客观 、更合理 、更科学 。4 , 5 ( ) 不同组内的数据对象则是不相似的。一个聚类 cluster

就是由彼此相似的一组对象所构成的集合 ,不同聚类中的对 1 RMVHC 聚类法 象通常是不相似的 。聚类分析属于一种无指导学习方法和通 RMVHC 聚类法提出的背景 1. 1 过观察学习方法 ,它涉及到数据库技术 、计算机技术 、统计学 、

经济学 、市场及营销学 、机器学习 、心理学和方法论等 。它被 由统计学的理论得知 ,说明一组观察值的差异情况须考3 应用于经济分析 、模式识别 、图像处理 、数据分析等领域 。特 察其变异指标。变异指标是用来反映一群性质相同数据的 别在商业方面 ,聚类分析可以帮助市场人员发现顾客群中所 ( ) 离散程度大小的 ,常用的变异指标有极差 、标准差 离差、方 存在的不同特征组群 。 差 、标准误差 、变异系数等 。 传统 聚 类 算 法 有 多 种 , 如 k2均 值 法 、AGNES 法 、DIANA4 系统聚类法的指导思想是 : 一个合理的聚类应当是类

内的离差平方和较小 ,类间的离差平方和较大 。具体做法是 , 6 等 ,但在这些算法中对不合理数据的处理提得很少 ,在实法 先将 n 个观测各自成一类 , 计算其两两的距离得到一个距离际应用中会经常遇到不合理数据的影响和干扰 ; 而且对于应 矩阵 , 然后把离得最近的两个观测合并为一类 , 于是只剩了 n

( ) 当聚到什么程度即类数 类水平数的判别也没有一个定式 。 - 1 个类 , 每缩小一类离差平方和就要增加 , 选择使离差平方 在聚类过程中确定类水平数 ,也就是在什么地方合并或分解 和增加最小的两类合并 , 就只剩下了 n - 2 个类 , 如此合并下 非常关键 ,因为在对一组对象进行合并或分解之后 ,聚类进程 去直到剩下两个类 ,把它们合并为一个类为止 。 将在此基础上继续进行合并或分解 ,这样既无法回到先前的 当然 ,真的合并成一个类就失去了聚类的意义 ,所以上面

() ( ) 状态 不可逆,也不能进行类间的对象交换 。因此 ,如果所做 的聚类过程应该在某个类水平数 即未合并的类数停下来 ,

出的合并或分解决策不合适 ,就会导致聚类结果质量较差 。最终的类数就取这些未合并的类 。决定聚类个数是一个很复

针对上述异常数据的干扰和类数难以判别的问题 ,本文杂的问题 。

收稿日期 :2004 - 07 - 08 ;修订日期 :2004 - 11 - 29

() ( ) 作者简介 :李斌 1965 - ,男 ,湖北武汉人 ,硕士研究生 ,主要研究方向 :管理信息系统 、数据挖掘 ; 郭剑毅 1964 - ,女 ,河南人 ,副教授 ,主 要研究方向 :信息系统 、人工智能 、分布式控制应用.

n 在系统聚类法中 , 把 n 个观测看作 n 类 , 就会有这样一个 2 ( ( ) ))(= x- x′x- xT4 l l ? 问题 , 如果这 n 个观测值并不是个个都是有效值 , 也就是说如 l = 1 x 为所有样品的总重心 果有异常数据和不合理数据 , 那么它就会对聚类过程产生不 k 1利的影响 , 换句话说当对含有奇异数据进行聚类时 , 可能干扰 )(x = n x5 i i ? n i = 1判别类数的结果 , 这对于小样本空间和较小数据库时尤为突 当 k 固定时 , 应选择使 P达到最小的分类 。 K 出 。 两类合并后增加的离差平方和看成类间的平方距离 , 即 :在实际应用时就有这样的情况 ,比如在数据采搜集进行 )( ()- W+ W 6 D= W ( )i j ij k () 问卷调查时 ,有的调查对象 客户在填写调查表时很不认真 , 当 C和 C合并为新类 C后 , 按离差平方和法计算类 i j ( k) 有些内容随意填写 ,有的全写零 ,有的全部写成一个值 ,有的 C与其他类 C之间的距离的递推公式为 :( ) kl 是照着别人的内容抄写等等 。这样调研的结果造成有的数据 N+ N N+ N N i l j l l 不能反映真实情况 ,但又是极少数的 ,进行人工排查很困难 , ()= D+ D- 7 DD ( ) il jl ij kl N+ N N + N N + N ( ( ) ( ) ) kl kl kl 如果对样本数据先进行数据处理 ,以减小奇异数据的影响或 1. 4 聚类类数的确定 者说降低奇异数据的干扰使其对聚类过程的影响最小化 ,这 系统聚类最终得到一个聚类树 ,可以把所有观测聚为一 样就会增强聚类过程的有效性和增强聚类结果的说服力 。 类 。到底应该把观测分为几类是一个比较困难的问题 ,因为 所以 ,针对上述问题就应当对初始数据进行预处理 。 分类问题本身就是没有一定标准的 ,应根据具体情况综合分 1. 2 预处理方法和原理 析得出 。对样本数据进行预处理 ,以削弱异常数据对整个聚类过 针对这个问题 ,本文采用检验指标结合主因素分析的方 程的影响很有必要 。这里采用线性变换的方法 ,即先对数据 法来综合比较判定 。具体方法是 : 集作线性变换 ,这样可以把不符合标准的数据转化为一定范 ) 1多取几个变量进行聚类 ;围的值 ,把变换的结果作为一个新的数据集 ,然后再用最小离 ) () 2判断贡献率较大的变量个数 有几个主因素;差平方和法进行系统聚类分析 。 ) 3根据聚类过程中检验值的波动情况初步确定类数 ;

设初始数据集为 :) 4作检验值的变化曲线 ,根据峰值修正类数 ;

xxX11 12 1 m ) 5作变量散点图矩阵和三维图 ,找出主因素 ; xxX) 21 22 2 m 6根据主因素散点图 ,最终确定聚类的类数 。x = 8确定类数的检验指标有 : 2 xxx〃R 统计量n1 n2 nm n ×m

P n 为样本数 , m 为变量数 , 设变换后的数据为 x′, 变换公式G ij 2 )(R= 1 - 8 2 T 为 :2 其中 P为分类数为 G个类时的总类内离差平方和 , T 为所有 G x- min { x} ij ij , n i = 1 , 2 , 1 ?i ?n 2 )(3 k ,x′= 1 变量的总离差平方和 。R 越大 , 说明分为 G 个类时每个类内ij max { x } - min { x } ij ij j = 1 , 2 , , m 1 ?i ?n 1 ?i ?n 的离差平方和都比较小 , 也就是分为 G 个类是合适的 。但是 , [ 9 ] 由矩阵论理论可得, 线性变换就是一种映射 , 线性变换 2 2 显然分类越多 , 每个类越小 , R越大 , 所以只能取 G 使得 R足 不影响线性相关性 , 其本质由不变量决定 , 一个转动或平移变 2 够大 , 但 G 本身比较小 , 而且 R不再大幅度增加 。 换的具体形式随坐标系而异 , 但变换矩阵的本征值并没有改 〃半偏相关系数变 , 它们与坐标的取舍没有关系 。 在把类 C和类 C合并为下一水平的类 C时 , 定义半偏 K L M 1. 3 聚类公式相关系数为 : 设观测个数为 n , 变量个数为 m , G 为在某一聚类水平上 B KL 2 )(半偏 R =9 2 ( ) 的类的个数 , x为第 i 个观测 , C是当前 水平 G的第 k 类 , i K T

其中 B 为合并类引起的类内离差平方和的增量 , 半偏相关 KL N 为 C中的观测个数 , 进行系统聚类时 , 类间距离可以直接 K K

系数越大 , 说明这两个类越不应该合并 , 所以如果由 G + 1 类 计算 , 也可以从上一聚类水平的距离递推得到 。观测间的距离

可以用欧氏距离或欧氏距离的平方 , 如果用其他距离或非相 合并为 G 类时如果半偏相关系数很大就应该取 G + 1 类 。 似性测度得到了一个观测间的距离矩阵也可以作为系统聚类 〃伪 F 统计量方法的输入 。 ( ) ( ) T - P/ G - 1G()10 F = 最小离差平方和法的具体计算公式如下 。 ( )P/ n - G G

伪 F 统计量评价分为 G 个类的效果 。如果分为 G 个类合 第 i 个类 C样品间离差平方和为 : i

( ) ( ) 理 ,则类内离差平方和 分母应该较小 , 类间平方和 分子n i 相对较大 。所以应该取伪 F 统计量较大而类数较小的聚类水 )(( ) ( )2 W= x- x′x- xi l l l l ? l = 1 平 。 2 k 个类的类内离差平方和为 : 〃伪 t统计量 n 2 k k i ) )( ( ) ( ()t= B / W + W / N + N - 2 11 KL K L K L ( ) ( )()P= W= x- x′x-x 3 k il l l l ??? 用此统计量评价合并类 C 和类 C 的效果 , 该值大说明 K L i = 1 i = 1 l = 1

第 1 期李斌等 :一种带约束的最小离差平方和系统聚类法及应用 47

在传统聚类法中 , 对类数的判别没有统一的定式 , 本文提9. 46 % ,累计贡献率是 93. 47 % ,第三个因素的特征值是率是 出的利用检验指标 、点图矩阵 、主因素分析来综合比较 , 最终 3. 48 ,贡献率是 4. 63 % ,累计贡献率达 98. 1 % ,第四个因素的

特征值是 1. 42 ,贡献率是 1. 9 % 。 确定分类数的方法更客观 、更全面 。

这说明 :有 三 个 因 素 对 数 据 的 解 释 能 力 达 到 了 98 %以 2 RMVHC 聚类法在客户关系管理中的应用 上 ,它们构成了主成分 ,而其中第一个因素影响力最强 。根据 8 2. 1 聚类与客户关系管理 比例标准选取两个主因素 。

表 2 聚类过程 在“客户为向导”的时代 ,企业实施客户关系管理可以持

续与消费者建立良好的互动关系 ,其经营策略是“卖客户真正 NCL Clusters Joined FREQ SPRSQ RSQ ERSQ CCC PSF PST2 需要的产品”。然而 ,不同的客户其需求各不相同的 ,只有发 10 CL21 CL18 9 0 . 004 4 . 967 . 943 5. 36 153 9 . 7 掘客户的潜在需求与喜好来开发消费者乐于接受的产品 ,并 9 CL31 CL36 4 0 . 005 4 . 962 . 936 5. 04 150 28. 6 通过维系住最有价值的客户群 ,才能创造更大更多的 利 润 。 8 CL14 CL17 4 0 . 005 7 . 956 . 928 4. 91 152 3 . 3

7 CL11 CL10 35 0 . 009 6 . 946 . 918 3. 52 147 13. 8 所以 ,对客户进行聚类 、划分 、分群便成为经营者们考虑的首

6 CL7 CL19 39 0 . 010 7 . 936 . 905 3. 32 148 11. 5 要问题 。

5 CL6 CL16 47 0 . 012 8 . 923 . 886 3. 37 155 11. 6 2. 2 数据采集4 CL9 CL8 8 0 . 029 9 . 893 . 859 2. 47 147 12. 0 客户数据来源于实地问卷调查 ,发出调查表 200 份 ,收回3 CL4 1 012 9 0 . 052 3 . 840 . 812 1. 13 142 8 . 1 120 份 ,调查内容涉及个体基本信息和消费 水 平 23 个 变 量 。 2 CL5 CL3 56 0 . 173 5 . 667 . 683 58. 7 - 0 . 41 110 这里考察的四个变量为 : 1 CL2 1 015 57 0 . 667 0 . 000 . 000 0 . 00 . 110 ) () 1LivingComparison 月生活费占月收入的比例;

) () 2foodComparison 月购买副食品开支占月收入比例;表 2 中 ,NCL 代表聚类水平 ,ClusterJined 代表本次聚类将 ) () 3CommunicationComparison月通讯费占月收入比例; 哪两类合并在一起 , 如上表中类水平为 8 时 , 合 并 的 是 旧 类) () 4TotalComparison 月总支出占月总收入比例。 CL14 和旧类 CL17 , 类 水 平 为 3 时 , 合 并 的 是 旧 类 4 与 观 察

2. 3 程序实现 1 012 。FREQ 表示本次合并的类有多少个观测 , SPRSQ 是半偏2 2 采用 SAS 8. 0 编程语言 ,数据存储为 Excel 2000 。程序流 R, RSQ 是 R, ERSQ 是 零 假 设 期 望 值 , CCC 是 立 方 群 聚 标 2 )(程为 : 因篇幅所限略去程序代码 准 ,PSF 是伪 F 统计 ,PST2 是伪 t统计 。

〃对数据进行预处理 ,即将数据集中关心的属性作线性 2. 4 初步判定类数

变换运算 ,把结果放到一个新的数据集中 ;因为事先并不知道数据的实际分类情况 ,所以必须找到 2 2 〃采用最小离差平方和法对新数据集的数据进行分析 ,一个合理的分类个数 。为此 ,考察 CCC、伪 F、伪 t和半偏 R

并把结果放到一个新数据集中 ;统计量 。从表 2 计算结果分析 ,可以发现 : CCC 局部最大值在 〃定义类水平数 ,进行立方群标准估算和伪 F 统计量的 2 和 5 处 ,建议取 2 类或 5 类 ; 伪 F 局部最大值为 5 ,建议取 52 计算 ; ( 类 ; 再看伪 t, 建议 3 类或 5 类 局部最大值处是不应合并的 ,2 2 2 2 〃进行半偏 R、R和伪 t统计等计算 ;) 即局部最大值处的类数加 1;从聚类过程可见半偏 R建议 3

() 〃确定主因素 主因子; 类 。

〃根据检验规则确定样本划分类数 ; 由以上检验指标初步判定 :划分为 3 类或 5 类 。〃把结果存入另一个新数据集 。 计算结果和聚类过程分 2. 5 综合比较确定类数

( 别如表 1 和表 2 所示 。由于聚 ) 1为了 确 定 分 类 数 , 来 比 较 一 下 四 个 变 量 的 散 点 图 矩

) 类过程较长 ,这里只列出类水平 10 到类水平 1 的聚类过程。阵 ,见图 1 。

表 1 特征值计算

factor Eigenvalue Difference Proportion Cumulative

1 63. 150 611 8 56. 038 614 1 0. 840 1 0 . 840 1

2 7 . 111 997 7 3 . 634 379 8 0. 094 6 0 . 934 7

3 3 . 477 617 9 2 . 049 947 1 0. 046 3 0 . 981 0 4 1 . 427 670 8 0 0 . 019 0 1 . 000 0

总样本离差平方和 :

Root2Mean2Square Total2Sample Standard Deviation = 4. 334 971

不同观察间的离差平方和 :

Root2Mean2Square Distance Between Observations = 12. 261 15 () 表 1 是特征值和对应因素 因子的贡献率 , Eigenvalue 是 特征

( 值 ,Propotion 是 贡 献 率 累 计 特 征 值 的 和 与 总 和 的 百 分 ) 比,Cumulative 是 累 计 贡 献 率 。第 一 个 因 素 的 特 征 值 是 66. 15 ,贡献率是 84. 01 % ,第二个因素的特征值是 7. 11 ,贡献图 1 散点图矩阵

比 较 矩 阵 中 几 个 结 果 , 相 对 集 中 有 LivingComparison 和

TotalComparison 的 散 点 图 ,foodComparison 与 TotalComparison 的

散点图 。

) 2比较和观察它们的三维图 ,见图 2 和图 3 所示 。

图 5 树状图

3 结语

针对异常数据的不利影响和类数难以判别的问题提出了 一种带约束的最小离差平方和聚类法 ,主要包括 : 图 2 三维散点图 1

) 1对实际数据中的不合理异常数值先作预处理 ,进行线

性变换 ,以削弱不合理数值将会对聚类过程产生的不利影响 ,

() 然后再进行样品间或组 簇间离差平方和计算 ;

) 2为使聚类过程类数判别更合理 、准确 ,提出了用检验

指标 、散点图矩阵和主因素分析联合判定聚类类数的方法 。

利用聚类分析方法能从数据中找出相关的特征或模式 ,

可以从客户的交易数据中 ,萃取其消费行为模式 ,实现对客户 图 3 三维散点图 2 进行动态区分 ,在获得详细的客户区分后 ,进一步针对个别的 通 过 以 上 分 析 , 从 选 择 的 四 个 变 量 中 确 定 客户层进行量身订制的特别营销 ,以此获取其忠诚度 ,实现企 “LivingComparison”和“ TotalComparison”为主因素 。 业经营的最佳化 。

) 3作主因素的散点图如图 4 所示 。 参考文献 :

( ) 1 ] CHEESEMAN P , STUTZ J . Bayesian Classification AutoClass :

Theory and Results A . FAYYAD UM , PIATETSKY 2SHAPIRO G ,

SMITH P , et al . ed. Advances in Knowledge Discovery and Data Min2

ingC . AAAI/ MIT Press , 1996 . 153 - 180 .

2 ] BERRY MJ , L INOFF G. Data Mining Techniques : For Marketing ,

Sales , and Customer Support M . John Wiley & Sons , Inc . New

York , NY , USA , 1997 3 ] 吴喜之 , 程博 , 等译. 统计学M . 北京 :高等教育出版社 ,2000 . 图 4 主因素散点图 张维明. 数据仓库原理与应用 M . 北京 : 电子工业出版社 , 4 ]

2002 . 图中以不同的颜色表示相对集中的点 , 可以看出分为 3

5 ] 朱扬勇 ,左子叶. 数据挖掘实践 M . 北京 : 机械工业出版社 , 类或 4 类较合适 。2003 . () ) 4作树状图 二叉树图如图 5 所示 。 图中从右端开始朱明. 数据挖掘M . 合肥 :中国科学技术大学出版社 , 2002 . 杨6 ] 东龙. 客户关系管理M . 北京 :中国经济出版社 ,2002 . 岳朝龙 ,一类分为两类 ,到了最左端完全是每一 7 ] 黄永兴. SAS 系统与经济统计分析M . 合肥 : 中国科技 大学出个观察一类了 ,而且标出了观察的名称 ,所以显得很乱 ,但基 8 ] 版社 ,2003 .

本可以看出分为 3 到 5 类都比较合理 。 史荣昌. 矩阵分析M . 北京 :北京理工大学出版社 ,1996 .9 ] 结论 :通过以上讨论可以把样本对象分为 4 类 。

()上接第 44 页 参考文献 :

1 ] 钱同惠 ,沈其聪 , 葛晓滨等译. 模糊逻辑及其工程应用 M . 北 5 结语 京 :电子工业出版社 , 2001

2 ] GLOVER F. Tabu search Part II J . ORSA Journal on Computing , 目前 ,在模式识别 、数据挖掘等领域 ,模糊聚类有着广泛 () 1990 , 2 1:4 - 32 . 的应用 。Tabu 搜索方法是一种高效的启发式搜 索 技 术 。本 BEN2DAYA M , AL2FAWZAN M. A tabu search approach for the flow 3 ] 文在分析模 糊 C2均 值 聚 类 算 法 的 基 础 上 , 提 出 了 一 种 基 于 shop scheduling problemJ . European Journal of operational Research , Tabu 搜索的模糊聚类新方法 ,且文中采用了适合于模糊聚类 () 1998 , 109 1:88 - 95 . 的树形编码方式 。实验结果表明 ,将 Tabu 搜索引入模糊 C2均 4 ] 刘素华 , 侯惠芳. 基于模糊理论的仓储物害虫的模糊模式识别 值聚类 ,学习 、优化性能良好 。尽管 Tabu 搜索是目前较流行 () 分类研究J . 计算机工程与应用 , 2004 , 12 5:227 - 231 . 的寻优搜索方法 ,但本方法还存在亟待完善之处 ,目前已有人 5 ] 贺 一 , 刘 光 远. 基 于 变 异 方 法 的 禁 忌 搜 索 J . 计 算 机 科 学 , 在这方面进行探索 ,如在 Tabu 搜索中自适应修改 Tabu 表 、和 () 2002 , 29 5:115 - 116 . 5 ,6 遗传算法结合使用等。总之 ,怎样更好地设置参数 ,提高 FERLAND JA , ALAIN IL , et al . Scheduling using tabu search with in2 6 ] 搜索能力 ,是该方法值得进一步探讨的问题 。 tensification and diversification J . Computer &Operations Research ,

() 2001 , 28 11:1075 - 1092 .

范文三：利用样本方差计算离差平方和

JournalofMathematicalMedicine　　　　　　　　　　　　　　　　Vol.16　　NO.5　　2003

　　文章编号:100424337(2003)0520394202　　　中图分类号:R311　　　文献标识码:A

利用样本方差计算离差平方和

王　小　平

(中国药科大学镇江校区　镇江212003)

摘　要:　通过对离差平方和的分解进行方差分析,提出利用样本方差进行离差平方和的计算。关键词:　样本方差;　离差平方和

　　统计学的实践表明,对于某一特性量经过多次试验的结果,一般不会是同一数值,而是彼此有差异,这种差异反映了

试验受各种条件(也称为因素)的制约。离差平方和就反映了某因素引起的差异大小。为解决此问题,英国统计学家R.A.

Fisher提出了方差分析的方法,其基本思想是将总的离差平方

2　方差分析中离差平方和的计算211　单因素方差分析

设有A因素r个水平,ini数据xij(i=1…r,j=

1…ni),。

和分解为几个部分,每一部分反映了方差的一种来源,然后利用F分布进行检验。

虽然现阶段有许多统计工具,EXCE电子表格和不太熟悉的SAS落后,生来说,、双因素方差分析、,说明如何利用样本方差来计算离差平方和。

1　离差平方和的计算公式

Ar

…

xr1

据

x

12……………xr2……

x1n1

行平均

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