英雄赵一曼
范文一：2015年高考理科数学(天津卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(理工类)
第 I 卷
注意事项:
1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他 答案标号 .
2、本卷共 8小题,每小题 5分,共 40分 .
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 .
(1)已知全集 {}1,2,3,4,5,6,7,8U = ,集合 {}2,3,5,6A = ,集合 {}1,3,4,6,7B = ,则集合 U A B = e (A ) {}2,5 (B ) {}3,6 (C ) {}2,5,6 (D ) {}2,3,5,6,8
(2)设变量 , x y 满足约束条件 20
30230x x y x y +≥??
-+≥??+-≤?
,则目标函数 6z x y =+的最大值为
(A ) 3 (B ) 4 (C ) 18 (D ) 40
(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 (A ) 10- (B ) 6(C ) 14(D )
18
(4)设 x R ∈ ,则“ 21x -< ”是“="">
20x x +-> ”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件
(D )既不充分也不必要条件
(5) 如 图 , 在 圆 O 中 , , M N 是 弦 AB 的 三 等 分 点 , 弦 , CD CE 分 别 经 过 点 , M N .若
2, 4, 3CM MD CN === ,则线段 NE 的长为
(A )
83 (B ) 3 (C ) 103 (D ) 52
(6) 已知双曲线 ()22
22
10, 0x y a b a b
-=>
> 的一条渐近线过点 ( , 且双曲线的一个焦点在抛物线 2y =
的准线上,则双曲线的方程为
(A )
2212128x y -= (B ) 2212821x y -=(C ) 22134x y -=(D ) 22
143
x y -= (7) 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 ()2
1x m
f x -=- (m 为 实 数 ) 为 偶 函 数 , 记
()()0.52(log3), log 5, 2a f b f c f m === ,则 , , a b c 的大小关系为
(A ) a b c < (b="" )="" a="" c="" b="">< (c="" )="" c="" a="" b="">< (d="" )="" c="" b="" a="">
(8)已知函数 ()()2
2, 2,
2, 2,
x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数 ()()2g x b f x =-- ,其中 b R ∈,若函数 ()()y f x g x =- 恰 有 4个零点,则 b 的取值范围是
(A ) 7, 4??+∞ ??? (B ) 7, 4??-∞ ??? (C ) 70, 4?? ???(D ) 7, 24??
???
.
第 II 卷
注意事项:
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 . 2、本卷共 12小题,共计 110分 .
二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30分 .
(9) i 是虚数单位,若复数 ()()12i a i -+ 是纯虚数,则实数 a 的值为 . (10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ) ,则该几何体的体积为
(11)曲线 2
y x = 与直线 y x = 所围成的封闭图形的面积为 (12)在 6
14x x ??- ??
? 的展开式中, 2
x 的系数为 (13) 在 ABC ? 中, 内角 , , A B C 所对的边分别为 , , a b c , 已知 ABC ?的面积
为 , 12,cos , 4
b c A -==- 则 a 的值为 (14)在等腰梯形 ABCD 中 , 已知 //, 2, 1, 60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和
DC 上 , 且 , 1, , 9BE BC DF DC λλ
== 则 AE AF ?
的最小值为 .
三、解答题:本大题共 6小题,共 80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13分)已知函数 ()22sin sin 6f x x x π??
=--
??
?
, R x ∈ (I)求 () f x 最小正周期; (II)求 () f x 在区间 [, ]34
p p
-上的最大值和最小值 .
16. (本小题满分 13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 . 现有来自甲协 会的运动员 3名,其中种子选手 2名;乙协会的运动员 5名,其中种子选手 3名 . 从这 8名运动员中随机选择 4人 参加比赛 .
(I)设 A 为事件 “选出的 4人中恰有 2 名种子选手, 且这 2名种子选手来自同一个协会” 求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望 .
17. (本小题满分 13分)如图,在四棱柱 1111ABCD A B C D -中,侧棱 1A A ABCD ⊥底面 , AB AC ⊥,
1AB =
, 12, AC AA AD CD ===且点 M 和 N 分别为 11C D B D 和 的中
点 .
(I)求证:MN ABCD 平面 ; (II)求二面角 11D -AC B -的正弦值;
(III)设 E 为棱 11A B 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正 弦值为 1
3
,求线段 1E A 的长
18. (本小题满分 13分)已知数列 {}n a 满足 *212(q) n N , 1, 2n n a qa a a +=≠∈==为实数,且 q 1, ,且
233445, , a a a a a a +++成等差数列 .
(I)求 q 的值和 {}n a 的通项公式; (II)设 *2221
log , n
n n a b n N a -=∈,求数列 n {b }
的前 n 项和 .
19. (本小题满分 14分) 已知椭圆 2222+=1(0) x y a b a b >>的左焦点为 F -c (,0) ,
,点 M 在椭圆上且位
于第一象限,直线 FM 被圆 42
2
+4b x y =截得的线段的长为 c
, .
(I)求直线 FM 的斜率;
(II)求椭圆的方程;
(III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP
OP (O 为原点)的斜率的取值范围 .
20. (本小题满分 14分)已知函数 () n , n f x x x x R =-∈,其中 *n ,n 2N ∈≥. (I)讨论 () f x 的单调性;
(II)设曲线 () y f x =与 x 轴正半轴的交点为 P , 曲线在点 P 处的切线方程为 () y g x =, 求证:对于任意的正实数 x , 都有 () () f x g x ≤;
(III)若关于 x 的方程 ()=a(a) f x 为实数 有两个正实根 12x x , ,求证: 21|-|21a
x x n
+-
答案及解析
一、 选择题
1、 【答案】 A 【解析】
试题分析:{2,5,8}U B =e, 所以 {2,5}U A B = e,故选 A. 考点:集合运算 . 2、 【答案】
C
考点:线性规划 . 3、 答案】 B 【解析】
试题分析:模拟法:输入 20, 1S i ==;
21, 20218,25i S =?=-=>不成立; 224, 18414,45i S =?==-=>不成立 248, 1486,85i S =?==-=>成立 输出 6, 故选 B. 考点:程序框图 . 4、 【答案】 A
考点:充分条件与必要条件 . 5、 答案】 A 【解析】
试题分析:由相交弦定理可知, , AM MB CM MD CN NE AN NB ?=??=?,又因为 , M N 是弦 AB 的三等分点, 所以 AM MB AN NB CN NE CM MD ?=?∴?=?,所以 248
33
CM MD NE CN ??===,故选 A.
考点:相交弦定理 . 6、 【答案】
D
考点:1. 双曲线的标准方程及几何性质; 2. 抛物线的标准方程及几何性质 . 7、 【答案】 C 【解析】
试题分析:因为函数 ()2
1x m
f x -=-为偶函数,所以 0m =,即 ()21x
f x =-,所以
2
21
log log 330.521(log3) log 2121312, 3a f f ?
?===-=-=-= ??
?
()()2log 502log 5214, 2(0)210b f c f m f ==-====-=
所以 c a b <,故选>
考点:1. 函数奇偶性; 2. 指数式、对数式的运算 . 8、 【答案】 D 【解析】
试题分析:由 ()()2
2, 2,
2, 2,
x x f x x x -≤??=?->??得 222, 0(2) , 0x x f x x x --≥??-=?<>
所以 22
2, 0() (2) 42, 0222(2) , 2
x x x y f x f x x x x x x x ?-+<>
=+-=---≤≤??--+->?,
即 222, 0() (2) 2,
0258, 2x x x y f x f x x x x x ?-+<>
=+-=≤≤??-+>?
() () () (2) y f x g x f x f x b =-=+--, 所以 ()()y f x g x =-恰有 4个零点等价于方程
() (2) 0f x f x b +--=有 4个不同的解,即函数 y b =与函数 () (2) y f x f x =+-的图象的 4个公共点,由图象
可知
7
2
b <. 考点:1.="" 求函数解析式;="" 2.="" 函数与方程;="" 3.="" 数形结合="">
二、 填空题
9、 【答案】 2- 【解析】
试题分析:()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数,所以 20a +=,即 2a =-. 考点:1. 复数相关定义; 2. 复数运算 . 10、 【答案】 8
3
π 【解析】
试题分析:由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为 1,高为 2的圆柱,两端是底面半径为 1,高为 1的圆 锥,所以该几何体的体积 2
2181221133
V πππ=??+????=. 考点:1. 三视图; 2. 旋转体体积 .
11、 【答案】 1
6
【解析】
试题分析:两曲线的交点坐标为 (0,0),(1,1),所以它们所围成的封闭图形的面积
()1
223001
112
36S x x dx x x ??=-=-= ????.
考点:定积分几何意义 .
12、 【答案】
15
16
考点:二项式定理及二项展开式的通项 .
13、 【答案】 8 【解析】
试题分析:因为 0A π
,所以 sin A ==
又 1sin 242ABC S bc A bc ?=
===,解方程组 224
b c bc -=??
=?得 6, 4b c ==,由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ??
=+-=+-???-= ???
,所以 8a =.
考点:1. 同角三角函数关系; 2. 三角形面积公式; 3. 余弦定理 . 14、 【答案】 29
18
【解析】
试题分析:因为 1, 9DF DC λ= 12DC AB = , 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ
--=-=-==
, AE AB BE AB BC λ=+=+ , 19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ
-+=++=++
=+
, ()
221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++?????=+?+=+++? ? ????
?
B
A
19199421cos1201818λλλλλ++=
?++???
?21171729
92181818
λλ=++≥= 当且仅当 2192λλ=即 23λ=时 AE AF ? 的最小值为 29
18
.
考点:1. 向量的几何运算; 2. 向量的数量
积; 3. 基本不等式 .
三、
解答题
15、 【答案】 (I)π
; (II) max () f x =
, min 1() 2f x =-
.
考点:1. 两角和与差的正余弦公式; 2. 二倍角的正余弦公式; 3. 三角函数的图象与性质 . 16、 (I)
6
35; (II) 随机变量 X 的分布列为
()52
E X =
【解析】
试题分析:(I)由古典概型计算公式直接计算即可; (II)先写出随机变量 X 的所有可能值, 求出其相应的概率, 即 可求概率分布列及期望 . 试题解析:(I)由已知,有
222223334
86
() 35
C C C C P A C +==
所以事件 A 发生的概率为
635
. (II)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4
()453
4
8
(1,2,3,4) k k C C P X k k C -=== 所以随机变量 X 的分布列为
所以随机变量 X 的数学期望 ()112341477142
E X =?+?+?+?= 考点:1. 古典概型; 2. 互斥事件; 3. 离散型随机变量的分布列与数学期望 .
17、 【答案】 (I)见解析; ; 2. 【解析】
试题分析:以 A 为原点建立空间直角坐标系 (I)求出直线 MN 的方向向量与平面 ABCD 的法向量,两个向量的乘 积等于 0即可; (II)求出两个平面的法向量, 可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小, 再求正弦值即可; (III)
设 111A E A B λ=
,代入线面角公式计算可解出
λ的值,即可求出 1A E 的长 . 试题解析:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 (0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0) A B C D -,
1111(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),(1,2,2) A B C D -,
又因为 , M N 分别为 1B C 和 1D D 的中点, 得 11, ,1, (1,2,1) 2M N ??- ???
.
(I)证明:依题意,可得 (0,0,1)n =
为平
面 ABCD 的一个法向量,
50, ,02MN ??=- ??
? ,
由此可得, 0MN n ?=
,又因为直线
MN ?平面 ABCD ,所
以 //MN 平面 ABCD
(II)1(1, 2,2), (2,0,0)AD AC =-=
,设 1(, , ) n x y z =
为平面
1ACD 的法向量,则
1110
n AD n AC ??=???=??
,即 22020x y z x -+=??=?,不妨设 1z =,可得 1(0,1,1) n = ,
设 2(, , ) n x y z = 为平面 1ACB 的一个法向量,则 21200
n AB n AC ??=???=??
,又 1(0,1,2) AB = ,得 20
20
y z x +=??
=?,不妨设 1z =,可得 2(0,2,1) n =-
因此有 121212
cos , n n n n n n ?==?
,于是 12sin , n n = , 所以二面角 11D AC B --
. (III)依题意,可设 111A E A B λ= ,其中 [0,1]λ∈,则 (0,,2) E λ,从而 (1
, 2,1) NE λ=-+ ,又 (0,0,1) n =
为平面 ABCD 的一个法向量,由已知得
1cos , 3
NE n NE n NE n ?==
=?
,整理得 2430λλ+-=, 又因为 [0,1]λ∈
,解得 2λ=
,
所以线段 1A E
2.
考点:1. 直线和平面平行和垂直的判定与性质; 2. 二面角、直线与平面所成的角; 3. 空间向量的应用 .
18、 【答案】 (I) 1
2
22, 2, .
n n n n a n -??=???
为奇数 ,
为偶数 ; (II) 1242n n n S -+=-.
【解析】
试题分析:(I)由 () (
) () ()
34234534a a a a a a a a +-+=+-+得 4253a a a a -=- 先求出 q ,分 n 为奇数与偶数讨 论即可; (II)求出数列 {}n b 的通项公式,用错位相减法求和即可 .
试题解析:(I) 由已知,有 (
) () (
) ()
34234534a a a a a a a a +-+=+-+,即 4253a a a a -=-, 所以 23(1) (1) a q a q -=-,又因为 1q ≠,故 322a a ==,由 31a a q =,得 2q =, 当 21(*)n k n N =-∈时, 112
212
2
n k n k a a ---===,
当 2(*)n k n N =∈时, 2
222n k
n k a a ===,
所以 {}n a 的通项公式为 12
22, 2, . n n n n a n -??=???
为奇数 ,
为偶数
考点:1. 等差中项定义; 2. 等比数列及前 n 项和公式 .3. 错位相减法 .
19、 【答案】
(I) 3; (II) 22132x y += ;
(III) , ?-∞ ????
.
【解析】
试题分析:(I) 由椭圆知识先求出 , , a b c 的关系, 设直线直线 FM 的方程为 () y k x c =+, 求出圆心到直线的距离,
由勾股定理可求斜率 k 的值; (II)由 (I)设椭圆方程为 22
22132x y c c
+=,直线与椭圆方程联立,求出点 M 的坐标,
由 FM =
c ,从而可求椭圆方程 .(III)设出直线 FP :(1) y t x =+
,与椭圆方程联立,求得 t =>x 的范围,即可求直线 OP 的斜率的取值范围 . 试题解析:(I) 由已知有 2213
c a =,又由 222a b c =+,可得 223a c =, 22
2b c =,
设直线 FM 的斜率为 (0) k k >,则直线 FM 的方程为 () y k x c =+,由已知有
2
22
22c b ??????+= ? ?????
,解得 k =(II)由 (I)得椭圆方程为 22
22132x y c c
+=,直线 FM 的方程为 () y k x c =+,两个方程联立,消去 y ,整理得
22
3250 x cx c
+-=,解得
5
3
x c
=-或 x c
=,因为点 M 在第一象限,可得 M
的坐标为 c
?? ???
,由
FM ==,解得 1
c =,所以椭圆方程为
22
1
32
x y
+=
(III)设点 P 的坐标为 (, )
x y ,直线 FP 的斜率为 t ,得
1
y
t
x
=
+
,即 (1)
y t x
=+(1)
x ≠-, 与椭圆方程联立 22
(1)
1
32
y t x
x y
=+
?
?
?
+=
??
,消去 y ,整理得 222
23(1) 6
x t x
++=
,又由已知,得 t =>
3
1
2
x
-<-或>
x
-<>
设直线 OP 的斜率为 m ,得
y
m
x
=,即 (0)
y mx x
=≠,与椭圆方程联立,整理可得 2
2
22
3
m
x
=-. ①当
3
, 1
2
x ??
∈--
?
??
时,有 (1) 0
y t x
=+<,因此>
m >
,于是 m =
3
m
?
∈
??
②当 ()
1,0
x ∈-时,有 (1) 0
y t x
=+>,因此 0
m
,于是 m =
,
m
?
∈-∞
??
综上,直线 OP
的斜率的取值范围是 ,
?
-∞
????
考点:1. 椭圆的标准方程和几何性质; 2. 直线和圆的位置关系; 3. 一元二次不等式 .
20、 【答案】 (I) 当 n 为奇数时, ()
f x 在 (, 1)
-∞-, (1,)
+∞上单调递减, 在 (1,1)
-内单调递增; 当 n 为偶数时, () f x 在 (, 1)
-∞-上单调递增, ()
f x 在 (1,)
+∞上单调递减 . (II)见解析; (III)见解析
.
试题解析:(I)由 () n
f x nx x
=-,可得,其中 *
n N
∈且 2
n ≥,
下面分两种情况讨论:
(1)当 n 为奇数时:
令 () 0f x '=,解得 1x =或 1x =-,
当 x 变化时, (), () f x f x '的变化情况如下表:
所以, () f x 在 (, 1) -∞-, (1,) +∞上单调递减,在 (1,1) -内单调递增 . (2)当 n 为偶数时,
当 () 0f x '>,即 1x <时,函数 ()="" f="" x="" 单调递增;="" 当="" ()="" 0f="" x=""><,即 1x="">时,函数 () f x 单调递减 .
所以, () f x 在 (, 1) -∞-上单调递增, () f x 在 (1,) +∞上单调递减 . (II)证明:设点 P 的坐标为 0(,0) x ,则 11
0n x n
-=, 20() f x n n '=-,曲线 () y f x =在点 P 处的切线方程为
()00() y f x x x '=-,即 ()00() () g x f x x x '=-,令 () () () F x f x g x =-,即 ()00() () () F x f x f x x x '=--,则 0() () () F x f x f x '''=-
由于 1() n f x nx n -'=-+在 ()0, +∞上单调递减,故 () F x '在 ()0, +∞上单调递减,又因为 0() 0F x '=,所以当
0(0,) x x ∈时, 0() 0F x '>,当 0(, ) x x ∈+∞时, 0() 0F x '<,所以 ()="" f="" x="" 在="" 0(0,)="" x="" 内单调递增,在="" 0(,="" )="" x="">
调递减,所以对任意的正实数 x 都有 0() () 0F x F x ≤=,即对任意的正实数 x ,都有 () () f x g x ≤.
(III)证明:不妨设 12x x ≤,由 (II)知 ()()2
() g x n n
x x =--,设方程 () g x a =的根为 2
x ',可得
202
. a
x x n n
'=
+-,当 2n ≥时, () g x 在 (), -∞+∞上单调递减,又由 (II)知 222() () (), g x f x a g x '≥==可得 22x x '≤.
类似的,设曲线 () y f x =在原点处的切线方程为 () y h x =,可得 () h x nx =,当 (0,) x ∈+∞,
() () 0n f x h x x -=-<,即对任意 (0,)="" x="" ∈+∞,="" ()="" ().="" f="" x="" h="" x="">
设 方 程 () h x a =的 根 为 1x ', 可 得 1a
x n
'=
, 因 为 () h x nx =在 (), -∞+∞上 单 调 递 增 , 且
考点:1. 导数的运算; 2. 导数的几何意义; 3. 利用导数研究函数性质、证明不等式 .
范文二：2015年天津理科数学试卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(理工类)
第 I 卷
注意事项:
1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号 .
2、本卷共 8小题,每小题 5分,共 40分 .
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 .
(1)已知全集 {}1,2,3,4,5,6,7,8U = ,集合 {}2, 3, 5, 6A = ,集合 {}1, 3, 4, 6, 7B = ,则集合 A U C B =
(A ) {}2,5 (B ) {}3,6 (C ) {}2,5,6 (D ) {}2,3,5,6,8
(2)设变量 , x y 满足约束条件 2030230x x y x y +≥??-+≥??+-≤?
,则目标函数 6z x y =+的最
大值为
(A ) 3(B ) 4(C ) 18(D ) 40
(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为
(A ) 10- (B ) 6(C ) 14(D ) 18
(4)设 x R ∈ ,则“ 21x -< ”是“="" 220x="" x="" +-=""> ”的
(A )充分而不必要条件
(B )必要而不充分条件
(C )充要条件
(D )既不充分也不必要条件
(5)如 图,在圆 O 中, , M N 是弦 AB 的三等 分点,弦 , CD CE 分别经 过点 , M N . 若 2, 4, 3CM MD CN === ,则线段 NE 的长为
(A )
83 (B ) 3(C ) 103
(D ) 52
(6) 已知双曲线 ()22
2210, 0x y a b a b -=>>
的一条渐近线过点 ( , 且双曲线的一个焦点在抛物
线 2y = 的准线上,则双曲线的方程为
(A ) 2212128x y -= (B ) 2212821x y -=(C ) 22134x y -=(D ) 22
143
x y -= (7) 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 ()21x m f x -=- (m 为 实 数 ) 为 偶 函 数 , 记 ()()0.52log 3, log 5, 2a b f c f m === ,则 , , a b c 的大小关系为
(A ) a b c < (b="" )="" a="" c="" b="">< (c="" )="" c="" a="" b="">< (d="" )="" c="" b="" a="">
(8) 已 知 函 数 ()()22, 2, 2, 2,
x x f x x x ?-≤?=?->?? 函 数 ()()2g x b f x =-- , 其 中 b R ∈ , 若 函 数 ()()y f x g x =- 恰有 4个零点,则 b 的取值范围是
(A ) 7, 4??+∞ ??? (B ) 7, 4??-∞ ??
? (C ) 70, 4?? ???(D ) 7, 24?? ??? 第 II 卷
注意事项:
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 .
2、本卷共 12小题,共计 110分 .
二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30分 .
(9) i 是虚数单位,若复数 ()()12i a i -+ 是纯虚数,则实数 a 的值为 .
(10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ) ,则该几何体的体积为 3
m
.
(11)曲线 2y x = 与直线 y x = 所围成的封闭图形的面积为 .
(12)在 6
14x x ??- ??
? 的展开式中, 2x 的系数为 (13)在 ABC ? 中,内角 , , A B C 所对的边分别为 , , a b c ,已知 ABC ?
的面积为 , 12,cos , 4
b c A -==- 则 a 的值为
(14) 在等腰梯形 ABCD 中 , 已知 //, 2, 1, 60AB DC AB BC ABC ==∠= , 动点 E 和 F 分别在线 段 BC 和 DC 上 , 且 , 1, , 9BE BC DF DC λλ
== 则 AE AF ? 的最小值为 三、解答题:本大题共 6小题,共 80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13分)已知函数 ()22sin sin 6f x x x π??=--
???, R x ∈ (I)求 () f x 最小正周期;
(II)求 () f x 在区间 ?????
?-4, 3ππ上的最大值和最小值 . 16. (本小题满分 13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 . 现有来自甲协会的运动员 3名,其中种子选手 2名;乙协会的运动员 5名,其中种子选手 3名 . 从这 8名运动员中随机选择 4人参加比赛 .
(I)设 A 为事件 “选出的 4人中恰有 2 名种子选手, 且这 2名种子选手来自同一个协会” 求事件 A 发生的概率;
(II)设 X 为选出的 4人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望 .
17. (本 小 题 满 分 13分 ) 如 图 , 在 四 棱 柱 1111ABCD A B C D -中 , 侧 棱 1A A ABCD ⊥底面 , AB AC ⊥, 1AB =
,
12, AC AA AD CD ===且点 M 和 N 分别为 11C D B D 和 的中点 .
(I)求证:MN ABCD 平面 ;
(II)求二面角 11D -AC B -的正弦值;
(III)设 E 为棱 11A B 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为
13
,求线段 1E A 的长
18. (本小题满分 13分) 已知数列 {}n a 满足 *212(q) n N , 1, 2n n a qa a a +=≠∈==为实数,且 q 1, , 且
233445, , a a a a a a +++成等差数列 .
(I)求 q 的值和 {}n a 的通项公式;
(II)设 *2221
log , n n n a b n N a -=∈,求数列 n {b }的前 n 项和 . 19. (本小题满分 14分)已知椭圆 2222+=1(0) x y a b a b >>的左焦点为 F -c (,0) ,
离心率为 3
,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 422
+4b x y =截得的线段的长为 c
, . (I)求直线 FM 的斜率;
(II)求椭圆的方程;
(III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP
OP (O 为原点)的斜率的取值范围 .
20. (本小题满分 14分)已知函数 () n , n f x x x x R =-∈,其中 *n ,n 2N ∈≥.
(I)讨论 () f x 的单调性;
(II)设曲线 () y f x =与 x 轴正半轴的交点为 P ,曲线在点 P 处的切线方程为 () y g x =, 求证:对于 任意的正实数 x ,都有 () () f x g x ≤;
(III)若关于 x 的方程 ()=a(a) f x 为实数 有两个正实根 12x x , ,求证: 21|-|21a x x n
+-
范文三：【DOC】-2015年高考天津卷理科数学
2015年高考天津卷理科数学
2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(理工类)
第I卷
注意事项:
1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知全集U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合A 2,3,5,6 ，集合B 1,3,4,6,7 ，则集合AeUB
(A) 2,5 (B) 3,6 (C) 2,5,6 (D) 2,3,5,6,8
x,2 0 (2)设变量x,y 满足约束条件 x,y,3 0 ，则目标函数z x,6y的最大值为
2x,y,3 0
(A)3(B)4(C)18(D)40
(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S
的值为
(A),10 (B)6(C)14(D)18
(4)设x R ，则“x,2 1 ”是“x,x,2 0 ”
的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5)如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，
弦2CD,CE 分别经过点M,N .若
CM 2,MD 4,CN 3 ，则线段NE 的长为
(A)8105 (B)3(C) (D) 332
x2y2
(6)已知双曲线2,2 1,a 0,b 0,
的一条渐近线过点
，且双曲线的一个ab,
焦点在抛物线y2 的准线上，则双曲线的方程为
x2y2x2y2x2y2x2y2
1(C), 1 (B), 1(D), 1 (A),282121283443
(7)已知定义在R 上的函数f,x, 2x,m,1 (m 为实数)为偶函数，
记a log0.53,b f,log25,,c f,2m, ，则a,b,c 的大小关系为
(A)a b c (B)a c b (C)c a b (D)c b a
2,x,x 2,(8)已知函数f,x, 函数
g,x, b,f,2,x, ，2 ,x,2,,x 2,
其中b R ，若函数y f,x,,g,x, 恰有4个零点，则b的取值范围是
(A) 7 7 7 7 ,, (B) , , (C) 0, (D) ,2 4 4 4 4
第II卷
注意事项:
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
(9)i 是虚数单位，若复数,1,2i,,a,i, 是纯虚数，则实数a的值为 .
(10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为 m .
2(11)曲线y x 与直线y x 所围成的封闭图3
形的面积为 .
1 2x(12)在 x, 的展开式中， 的系数 4x
为 .
(13)在 ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别
为a,b,c ，已知 ABC的面积
为 ，6
1b,c 2,cosA ,, 则a 的值为. 4
(14)在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB 2,BC 1, ABC 60 ,动点E 和F
分别在线段BC 和DC 上,且,BE BC,DF 1DC, 则AE AF 的最小值9
为 .
三、解答题:本大题共6小题，共80分(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(
15.(本小题满分13分)已知函数f,x, sin2x,sin2 x,
(I)求f(x)最小正周期;
(II)求f(x)在区间[- ，x R 6 pp,]上的最大值和最小值. 34
16. (本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名;乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率;
(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
17. (本小题满分13分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱
,ABA1A 底面ABCD AC,AB=
1,
AC=AA1=2,AD=CD且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
(I)求证:MN平面ABCD;
(II)求二面角D1-AC-B1的正弦值;
(III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为
的长
18. (本小题满分13
*1，求线段A1E3分)已知数列{an}满足an,2 qan(为实数，且qq 1，
)
a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列
. an 1aN ,，且21,2
(I)求q的值和{an}的通项公式;
(II)设bn log2a2n的前n项和. ,n N*，求数列,bn,a2n,1
x2y2
-c,0), 19. (本小题满分14分)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F(
离心率为ab
b422，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c
，43
. (I)求直线FM的斜率;
(II)求椭圆的方程;
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP
OP(O为原点)的斜率的取值范围.
20. (本小题满分14分)已知函数f(x) nx,xn,x R，其中n N*,n 2. (I)讨论f(x)的单调性;
(II)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x，都有f(x) g(x);
(III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1，x2，求证: |x2-x1|< a+2="">
范文四：2015理科数学(天津卷)
2015年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (天津卷 ) 本试卷分为第 Ⅰ 卷 (选择题 ) 和第 Ⅱ 卷 (非选择题 ) 两部分,共 150分,考试用时 120分钟 . 第 Ⅰ 卷 1至 3页,第 Ⅱ 卷 4至 6页 .
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码 . 答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效 . 考试结束后,将本试卷和答题卡一 并交回 .
祝各位考生考试顺利 !
第 Ⅰ 卷
注意事项:
1. 每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号 .
2. 本卷共 8小题,每小题 5分,共 40分 .
参考公式:
如果事件 A , B 互斥,那么 P (A ∪ B ) =P (A ) +P(B ) .
如果事件 A , B 相互独立,那么 P (AB ) =P (A ) P (B ) .
柱体的体积公式 V =Sh ,其中 S 表示柱体的底面面积, h 表示柱体的高 .
锥体的体积公式 V =1
3
,其中 S 表示锥体的底面面积, h 表示锥体的高 .
一、选择题:本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 .
1. (2015天津,理 1) 已知全集 U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},集合 A ={2, 3, 5, 6},集合 B ={1, 3, 4, 6, 7},则集合 A ∩ ? U B = ()
A . {2, 5} B . {3, 6} C . {2, 5, 6} D . {2, 3, 5, 6, 8}
答案:A
解析:由题意可知 ? U B ={2, 5, 8},则 A ∩ ? U B ={2, 5}. 故选 A .
2. (2015天津,理 2) 设变量 x , y 满足约束条件 x+2≥ 0,
x? y+3≥ 0,
2x+y? 3≤ 0,
则目标函数 z =x+6y 的最大值为
()
A . 3 B . 4 C . 18 D . 40 答案:C
解析:画出题中约束条件满足的可行域,如图中阴影所示,将目标函数化为 y =-1 6 z
6
,结合图象
可知,当目标函数线平移到过点 A (0, 3) 时, z 取得最大值,最大值为 18. 故选 C .
3. (2015天津,理 3) 阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 ()
A . -10 B . 6 C . 14 D . 18
答案:B
解析:第一次循环, i =2, S =20-2=18,不满足判断框条件,进入循环体 ;
第二次循环, i =4, S =18-4=14,不满足判断框条件,进入循环体 ;
第三次循环, i =8, S =14-8=6,满足判断框条件,结束循环,输出 S. 因此,输出 S 的值为 6. 4. (2015天津,理 4) 设 x ∈ R ,则 “ |x-2|<1” 是="" “="" x="" 2+x-2="">0” 的 ()
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
答案:A
解析:因为 |x-2|<1等价于>
5. (2015天津,理 5)
如图,在圆 O 中, M , N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD , CE 分别经过点 M , N. 若 CM =2, MD =4, CN =3,则线段 NE 的长为 ()
A . 8
3
B . 3
C . 10 3 D . 5 2
答案:A
解析:由相交弦定理,得 CM·MD=AM·MB, CN·NE=AN·NB.
因为 M , N 是弦 AB 的三等分点,
所以 AM =MN =NB , MB =AN.
所以 AM ·MB =AN ·NB .
所以 CM ·MD =CN ·NE ,即 2×4=3·NE ,解得 NE =8 3
6. (2015天津,理 6) 已知双曲线 x2 a2 ? y2
b2
1(a >0, b >0) 的一条渐近线过点 (2, ,且双曲线的一个
焦点在抛物线 y 2=4x 的准线上,则双曲线的方程为 ()
A . x2 21 ? y2
28
=1 B . x2
28
? y2 21 1
C . x2 3 ? y2
4
=1 D . x2
4
? y2 3 1
答案:D
解析:因为双曲线 x 2
a ? y2
b
=1(a >0, b >0) 的渐近线方程为 y =b
a
x ,所以 2b
a
=①
又因为抛物线 y 2=4的准线为 x =-c ==. ②
由①②,得 a 2=4, b 2=3. 故所求双曲线的方程为 x 2
4 ? y2 3 =1.
7. (2015天津,理 7) 已知定义在 R 上的函数 f (x ) =2|x-m|-1(m 为实数 ) 为偶函数 . 记 a =f (log0. 53) , b = f (log25) , c =f (2m ) ,则 a , b , c 的大小关系为 ()
A . a
C . c
答案:C
解析:因为函数 f (x ) =2|x-m|-1为偶函数,所以对任意的 x ∈ R ,都有 f (-x ) =f (x ) ,即 2|-x -m|-1= 2|x-m|-1对 ? x ∈ R 恒成立,所以 m =0,即 f (x ) =2|x|-1.
所以 f (x ) 在 [0, +∞ ) 上为增函数 .
又 f (log0. 53) =f (-log 23) =f (log23) , f (2m ) =f (0),
且 0
所以 f (0)
即 f (2m )
8. (2015天津,理 8) 已知函数 f (x ) = 2? |x|, x≤ 2,
(x? 2) 2, x>2,
函数 g (x ) =b -f (2-x ) ,其中 b ∈ R ,若函数 y
=f (x ) -g (x ) 恰有 4个零点,则 b 的取值范围是 ()
A . 7 4 , +∞ B . ?∞ , 7 4
C . 0, 7 4 D . 7 4 , 2
答案:D
解析:由 f (x ) = 2? |x|, x≤ 2,
(x? 2) 2, x>2,
得 f (x ) =
2+x, x<0, 2?="" x,="" 0≤="" x≤="" 2,="" (x?="" 2)="" 2,="" x="">2,
f (2-x ) = 2+2? x, 2? x<>
2? (2? x) , 0≤ 2? x≤ 2,
(2? x? 2) 2, 2? x>2
=
x2, x<0, x,="" 0≤="" x≤="" 2,="" 4?="" x,="" x="">2,
所以 f (x ) +f(2-x ) = x2+x+2, x<0, 2,="" 0≤="" x≤="" 2,="" x2?="" 5x+8,="" x="">2.
因为函数 y =f (x ) -g (x ) =f (x ) +f(2-x ) -b 恰有 4个零点,
所以函数 y =b 与 y =f (x ) +f(2-x ) 的图象有 4个不同的交点 .
画出函数 y =f (x ) +f(2-x ) 的图象,如图 .
由图可知,当 b ∈ 7
4
, 2时,函数 y =b 与 y =f (x ) +f(2-x ) 的图象有 4个不同的交点 . 故选 D . 第 Ⅱ 卷
注意事项:
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 .
2. 本卷共 12小题,共 110分 .
二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30分 .
9. (2015天津,理 9)i 是虚数单位,若复数 (1-2i)(a+i) 是纯虚数,则实数 a 的值为 . 答案:-2
解析:(1-2i)(a+i) =a+2+(1-2a )i .
∵ (1-2i)(a+i) 是纯虚数, ∴ a+2=0,且 1-2a ≠ 0,
∴ a =-2.
10. (2015天津,理 10) 一个几何体的三视图如图所示 (单位:m) ,则该几何体的体积为 m 3.
答案:8π
3
解析:由题中三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱组成,其体积 V =21
3
π×12×1+π×12×2
=8π
3
11. (2015天津,理 11) 曲线 y =x 2与直线 y =x 所围成的封闭图形的面积为 . 答案:1
6解析:在同一平面直角坐标系中作出函数 y =x 2与 y =x 的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影 所示,设其面积为 S.
由 y=x2, y=x, 得 x=0, y=0或 x=1, y=1.
故所求面积 S = 10(x -x 2)d x = 12x2? 13x3 01
=16
12. (2015天津,理 12) 在 x? 1
4x
6
的展开式中, x 2的系数为 . 答案:15
16 解析:由题意知
T r+1=C 6rx 6-r · ? 1
4xr
=C 6r·x 6-2r
· ? 14 r.
令 6-2r =2,可得 r =2. 故所求 x
2
的系数为 C 62
? 142=15
16
13. (2015天津,理 13) 在 △ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c. 已知 △ ABC 的面积为 3 b -c =2, cos A =-1
4a 的值为 . 答案:
8
解析:∵ S △ ABC =1 2 sin A =1
2
1? cos =1
24
3, ∴ bc =24. 又 b -c =2,
∴ a 2=b 2+c2-2bc cos A =(b -c ) 2+2bc -2bc× ? 1 4 =4+2×24+1
2
24=64.
∵ a 为 △ ABC 的边, ∴ a =8.
14. (2015天津,理 14) 在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ∥ DC , AB =2, BC =1,∠ ABC =60°. 动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 BE=λBC, DF=1
9λ
DC,则 AE·AF的最小值为 .
答案:29
18
解析:由题意作图如图,则 AE=BE? BA=λBC? BA, AF=DF? DA=DC
9λ
? DA.
∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形,易知 DC =1
2
=1, AD =BC =1,∠ ABC =60°, ∴ ∠ DCB = 120°,且 λ>0.
∴ AF·AE=DC
9λ
? DA·(λBC? BA)
=DC·BC 9 ? DC·BA
9λ
-λDA·BC+DA·BA
=1 9 1×1×cos 120°-1
9λ
1×2×cos 180°-λ×1×1×cos 120°+1×2×cos 60°
=-1 18 +2 9λ
+λ2 +1
=17 18 +2
9λ
+λ
2
≥ 17
18
+22
9λ
×λ2
=29 18 ,
当且仅当 λ=2 3 时等号成立 . 故应填 29 18
三、解答题:本大题共 6小题,共 80分 . 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 15. (本小题满分 13分 )(2015天津,理 15) 已知函数 f (x ) =sin 2x -sin 2 x? π
6
, x ∈ R . (1)求 f (x ) 的最小正周期 ;
(2)求 f (x ) 在区间 ? π3 , π
4
上的最大值和最小值 .
解:(1)由已知,有 f (x ) =1? cos 2x 2 ? 1? cos 2x?
π
2
=1
2
1
2
cos2x+
2
sin2x ? 1
2
cos 2x =
4
x -1 4
cos 2x
=1 2 sin 2x? π
6
.
所以, f (x ) 的最小正周期 T =2π
2
π.
(2)因为 f (x ) 在区间 ? π
3
, ? π
6
上是减函数,在区间 ? π
6
, π
4
上是增函数, f ? π
3
=-1 4
, f ? π6
=-1 2 , f π
4
=
4
. 所以, f (x ) 在区间 ? π
3
, π
4
上的最大值为
4
-1 2 .
16. (本小题满分 13分 )(2015天津,理 16) 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的 运动员组队参加 . 现有来自甲协会的运动员 3名,其中种子选手 2名 ; 乙协会的运动员 5名,其中种 子选手 3名 . 从这 8名运动员中随机选择 4人参加比赛 .
(1)设 A 为事件 “ 选出的 4人中恰有 2名种子选手,且这 2名种子选手来自同一个协会 ” ,求事件 A 发生的概率 ;
(2)设 X 为选出的 4人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 解:(1)由已知,有 P (A ) =
C 22C 32+C32C 3
2C 8
=6
35
所以,事件 A 发生的概率为 6
35
(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2, 3, 4. P (X =k ) =
C 5kC 3
4?k
C 8
(k =1, 2, 3, 4) .
所以,随机变量 X 的分布列为
随机变量 X 的数学期望 E (X ) =11
1423
733
7+41
14=5
2 17. (本小题满分 13分 )(2015天津,理 17)
如图,在四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,侧棱 A 1A ⊥底面 ABCD , AB ⊥ AC , AB =1, AC =AA 1=2, AD =CD = ,且点 M 和 N 分别为 B 1C 和 D 1D 的中点 .
(1)求证:MN ∥平面 ABCD ; (2)求二面角 D 1-AC -B 1的正弦值 ;
(3)设 E 为棱 A 1B 1上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 1
3A 1E 的长 .
解:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 A (0, 0, 0) , B (0, 1, 0) , C (2, 0, 0) ,
D (1, -2, 0) , A 1(0, 0, 2) , B 1(0, 1, 2) , C 1(2, 0, 2) , D 1(1, -2, 2) . 又因为 M , N 分别为 B 1C 和 D 1D 的中点,得 M 1, 1
2, 1 , N (1, -2, 1) .
(1)证明:依题意,可得 n =(0, 0, 1) 为平面 ABCD 的一个法向量 . MN = 0, ? 52, 0 . 由此可得 MN ·n =0,又因为直线 MN ? 平面 ABCD , 所以 MN ∥平面 ABCD .
(2)AD1 =(1, -2, 2) , AC =(2, 0, 0) . 设 n 1=(x 1, y 1, z 1) 为平面 ACD 1的法向量,
则 n1·AD1 =0, n1·AC =0, 即 x1? 2y1+2z1=0, 2x1=0. 不妨设 z 1=1,可得 n 1=(0, 1, 1) .
设 n 2=(x 2, y 2, z 2) 为平面 ACB 1的法向量, 则 n2·AB1 =0, n2·AC =0,
又 AB1 =(0, 1, 2) ,得
y2+2z2=0, 2x2=0.
不妨设 z 2=1,可得 n 2=(0, -2, 1) . 因此有 cos | 10, 于是 si n 3 10 . 所以,二面角 D 1-AC -B 1的正弦值为 3 10 . (3)依题意,可设 A1E =λA1B1 ,其中 λ∈ [0, 1],则 E (0, λ, 2) ,从而 NE =(-1, λ+2, 1) . 又 n =(0, 0, 1) 为平面 ABCD 的一个法向量,由已知,得 cos |NE|·|n|1 3, 整理得 λ2+4λ-3=0,又因为 λ∈ [0, 1],解得 λ= -2. 所以,线段 A 1E 的长为 -2. 18. (本小题满分 13分 )(2015天津,理 18) 已知数列 {a n }满足 a n+2=qa n (q 为实数,且 q ≠ 1) , n ∈ N *, a 1=1, a 2=2,且 a 2+a3, a 3+a4, a 4+a5成等差数列 . (1)求 q 的值和 {a n }的通项公式 ; (2)设 b n = log 2a2na2n? 1 n ∈ N *,求数列 {b n }的前 n 项和 . 解:(1)由已知,有 (a 3+a4) -(a 2+a3) =(a 4+a5) -(a 3+a4) ,即 a 4-a 2=a 5-a 3, 所以 a 2(q -1) =a 3(q -1) . 又因为 q ≠ 1,故 a 3=a 2=2,由 a 3=a 1·q ,得 q =2. 当 n =2k -1(k ∈ N * ) 时, a n =a 2k -1=2 k -1 =2 n? 1 2 ; 当 n =2k (k ∈ N *) 时, a n =a 2k =2k =2 n . 所以, {a n }的通项公式为 a n = 2n? 12, n为奇数, 2n, n为偶数 . (2)由 (1)得 b n =log 2a2n a2n? 1 =n 2 设 {b n }的前 n 项和为 S n ,则 S n =11 2 +21 2 31 2 +… +(n - 1) 1 2n? 2 1 2n? 1 1 2 S n =11 2 21 2 31 2 +… +(n -1) 1 2 1 2 上述两式相减,得 1 2 S n =1+1 2 +1 2 +… +1 2 ? n 2 =1? 1 1? 2 ? n 2 =2-2 2 ? n 2 , 整理得, S n =4-n+2 2 . 所以,数列 {b n }的前 n 项和为 4-n+2 2n? 1 , n ∈ N *. 19. (本小题满分 14分 )(2015天津,理 19) 已知椭圆 x2 a +y2 b 1(a >b >0) 的左焦点为 F (-c , 0) ,离心 率为 3 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x 2+y2=b2 4 c , |FM|=4 3 (1)求直线 FM 的斜率 ; (2)求椭圆的方程 ; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 OP (O 为原点 ) 的斜率的取值范围 . 解:(1)由已知有 c 2 a2 =1 3 a 2=b 2+c2,可得 a 2=3c 2, b 2=2c 2. 设直线 FM 的斜率为 k (k >0) ,则直线 FM 的方程为 y =k (x+c) . 由已知,有 2 + c 2 2 =b 2 2 ,解得 k = 3 (2)由 (1)得椭圆方程为 x2 3c +y2 2c 1,直线 FM 的方程为 y = 3 x+c) ,两个方程联立,消去 y ,整 理得 3x 2+2cx -5c 2=0,解得 x =-5 3 ,或 x =c. 因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为 c, 2 3 c . 由 |FM|=(c+c) 2+2 3 c? 0=4 3 c =1,所以椭圆的方程为 x 2 3 +y2 2 1. (3)设点 P 的坐标为 (x , y ) ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t =y x+1 ,即 y =t (x+1)(x ≠ -1) ,与椭圆方程 联立 y=t(x+1) , x2 3 +y2 2 =1, 消去 y ,整理得 2x 2+3t 2(x+1) 2=6. 又由已知,得 t =6? 2x 3(x+1)2 >-3 2 设直线 OP 的斜率为 m ,得 m =y x ,即 y =mx (x ≠ 0) ,与椭圆方程联立,整理可得 m 2=2 x? 2 3 . ①当 x ∈ ? 3 2 , ? 1时,有 y =t (x+1) <0,因此 m="">0,于是 m =2 x2 ? 2 3 m ∈ 3 , 2 3 . ②当 x ∈ (-1, 0) 时,有 y =t (x+1) >0,因此 m <0,于是 m="-2" x="" ?=""> 3 m ∈ ?∞ , ? 2 3 . 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ?∞ , ? 2 3 ∪ 3 , 2 3 . 20. (本小题满分 14分 )(2015天津,理 20) 已知函数 f (x ) =nx -x n , x ∈ R ,其中 n ∈ N *,且 n ≥ 2. (1)讨论 f (x ) 的单调性 ; (2)设曲线 y =f (x ) 与 x 轴正半轴的交点为 P ,曲线在点 P 处的切线方程为 y =g (x ) ,求证:对于任意 的正实数 x ,都有 f (x ) ≤ g (x ); (3)若关于 x 的方程 f (x ) =a (a 为实数 ) 有两个正实数根 x 1, x 2,求证:|x2-x 1| 1?n +2. (1)解:由 f (x ) =nx -x n ,可得 f' (x ) =n -nx n -1=n (1-x n -1) ,其中 n ∈ N *,且 n ≥ 2. 下面分两种情况讨 论: ①当 n 为奇数时, 令 f' (x ) =0,解得 x =1,或 x =-1. 当 x 变化时, f' (x ) , f (x ) 的变化情况如下表: 所以, f (x ) 在 (-∞ , -1) , (1, +∞ ) 上单调递减,在 (-1, 1) 内单调递增 . ②当 n 为偶数时, 当 f' (x ) >0,即 x <1时,函数 f="" (x="" )="" 单调递增=""> 当 f' (x ) <0,即 x="">1时,函数 f (x ) 单调递减 . 所以, f (x ) 在 (-∞ , 1) 上单调递增,在 (1, +∞ ) 上单调递减 . (2)证明:设点 P 的坐标为 (x 0, 0) ,则 x 0=n 1 n? 1, f' (x 0) =n -n 2. 曲线 y =f (x ) 在点 P 处的切线方程为 y =f' (x 0)(x -x 0) ,即 g (x ) =f' (x 0)(x -x 0) . 令 F (x ) =f (x ) -g (x ) ,即 F (x ) =f (x ) -f' (x 0)(x -x 0) ,则 F' (x ) =f' (x ) -f' (x 0) . 由于 f' (x ) =-nx n -1+n在 (0, +∞ ) 上单调递减,故 F' (x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递减 . 又因为 F' (x 0) =0, 所以当 x ∈ (0, x 0) 时, F' (x ) >0,当 x ∈ (x 0, +∞ ) 时, F' (x ) <0,所以 f="" (x="" )="" 在="" (0,="" x="" 0)="" 内单调递增,在="" (x="" 0,="" +∞="" )="" 上单调递减,所以对于任意的正实数="" x="" ,都有="" f="" (x="" )="" ≤="" f="" (x="" 0)="0,即对于任意的正实数" x="" ,都="" 有="" f="" (x="" )="" ≤="" g="" (x="" )=""> (3)证明:不妨设 x 1≤ x 2. 由 (2)知 g (x ) =(n -n 2)(x -x 0) . 设方程 g (x ) =a 的根为 x' 2,可得 x' 2=a n?n2 +x0. 当 n ≥ 2时, g (x ) 在 (-∞ , +∞ ) 上单调递减 . 又由 (2)知 g (x 2) ≥ f (x 2) =a =g (x' 2) ,可得 x 2≤ x' 2. 类似地,设曲线 y =f (x ) 在原点处的切线方程为 y =h (x ) ,可得 h (x ) =nx. 当 x ∈ (0, +∞ ) , f (x ) -h (x ) =-x n <0,即对于任意的 x="" ∈="" (0,="" +∞="" )="" ,="" f="" (x="" )=""> 设方程 h (x ) =a 的根为 x' 1,可得 x' 1=an 因为 h (x ) =nx 在 (-∞ , +∞ ) 上单调递增,且 h (x' 1) =a =f (x 1) a1?n+x0. 因为 n ≥ 2,所以 2n -1=(1+1) n - 1≥ 1+C n? 11=1+n-1=n ,故 2≥ n1=x 0. 所以, |x2-x 1| a1?n2. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(理工类) 第 I 卷 注意事项: 1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号 . 2、本卷共 8小题,每小题 5分,共 40分 . 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . (1)已知全集 {}1,2,3,4,5,6,7,8U = ,集合 {}2,3,5,6A = ,集合 {}1,3,4,6,7B = , 则集合 U A B =e (A ) {}2,5 (B ) {}3,6 (C ) {}2,5,6 (D ) {}2,3,5,6,8 (2)设变量 , x y 满足约束条件 2030230x x y x y +≥??-+≥??+-≤? ,则目标函数 6z x y =+的最大值为 (A ) 3(B ) 4(C ) 18(D ) 40 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 (A ) 10- (B ) 6(C ) 14(D ) 18 (4)设 x R ∈ ,则“ 21x -< ”是“="" 220x="" x="" +-=""> ” 的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 (5)如图,在圆 O 中, , M N 是弦 AB 的三等分点, 弦 , CD CE 分 别 经 过 点 , M N . 若 2, 4, 3CM MD CN === ,则线段 NE 的长为 (A ) 83 (B ) 3(C ) 103 (D ) 52 (6)已知双曲线 ()22 2210, 0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点 ( ,且双曲线的一个 焦点在抛物线 2y = 的准线上,则双曲线的方程为 (A ) 2212128x y -= (B ) 2212821x y -=(C ) 22134x y -=(D ) 22 143 x y -= (7)已知定义在 R 上的函数 ()21x m f x -=- (m 为实数)为偶函数, 记 ()()0.52log 3, log 5, 2a b f c f m === ,则 , , a b c 的大小关系为 (A ) a b c < (b="" )="" a="" c="" b="">< (c="" )="" c="" a="" b="">< (d="" )="" c="" b="" a=""> (8)已知函数 ()()22, 2, 2, 2, x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数 ()()2g x b f x =-- , 其中 b R ∈ ,若函数 ()()y f x g x =- 恰有 4个零点,则 b 的取值范围是 (A ) 7, 4??+∞ ??? (B ) 7, 4??-∞ ??? (C ) 70, 4?? ???(D ) 7, 24?? ??? 第 II 卷 注意事项: 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 . 2、本卷共 12小题,共计 110分 . 二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30分 . (9) i 是虚数单位,若复数 ()()12i a i -+ 是纯虚数,则实数 a 的值为 . (10) 一个几何体的三视图如图所示 (单位:m ) , 则该几何体的体积为 3 m . (11)曲线 2y x = 与直线 y x = 所围成的封闭图 形的面积为 . (12)在 6 14x x ??- ?? ? 的展开式 中, 2x 的系 数 为 . (13)在 ABC ? 中,内角 , , A B C 所对的边分别 为 , , a b c , 已 知 ABC ?的 面 积 为 , 12,cos , 4 b c A -==- 则 a 的值为 (14) 在等腰梯形 ABCD 中 , 已知 //, 2, 1, 60AB DC AB BC ABC ==∠= , 动点 E 和 F 转载请注明出处范文大全网 » 2015年高考理科数学(天津范文五：2015年天津高考数学(理科)试题及答案
