万里大荒
范文一：参数方程高考真题
2004-2011年高考试题分类(参数方程) 1 ( 2007理 ) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的
参数方程为 33x t y t =+??=-?, (参数 t R ∈), 圆 C 的参数方程为 2cos 2sin 2x y θθ=??=+?
(参数 []02θπ∈, ) , 则 圆 C 的 圆 心 坐 标 为 , 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 为 .
3、 ( 2009理 ) (坐标系与参数方程选做题)若直线 ?
??+=-=. 2, 21:1kt y t x l (t 为参数)与 直线 2, :12.
x s l y s =??=-?(s 为参数)垂直,则 k = .
4. ( 2011文 )
(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为
sin x y θθ?=??=??(0θ≤<π)和 ?????="">
y t x 245(tR ∈) ,它们的交点坐标为 5. (2011理 ) (坐 标系 与参 数方程 选做 题) 已知 两 曲线 参数方程 分别
为
sin x y θθ?=??=??(0) θπ<≤ 和="" 254x="" t="" y="">
?=???=? (t ∈) R , 它们的交点坐标为 ___________. 6、 (选修 4-4) 把下列参数方程 32(14x t t y t
=-??=--?是参数) 化为普通方程:_________
7、 (选修 4-4)根据所给条件,把曲线的普通方程 210y x y ---=,设 1, y t t =-为参数化为参数方程 ____________________
8、 (选修 4-4)一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆,长轴长为 15565KM , 短轴长为 15443KM ,取椭圆中心为坐标原点,求卫星轨道的参数方程
9、 (选修 4-4)设直线 l 经过点 0(1,5)M 、倾斜角为
3
π,求直线 l 的参数方程 10、 (选修 4-4)设直线 l 经过点 0(1,5)M 、倾斜角为 3π,求直线 l 和圆 2216x y +=的两个交点到点 0(1,5)M 的距离的和与积
范文二：2014参数方程高考真题
参数与参数方程
1．[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．
2
x ＝2＋t ，
2
2．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：(t 为参数) 的普通方程为
2
y ＝12
________．
???
?x ＝1－22，
3. [2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为?(t 为参
2
y ＝2＋?2
数) ，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
4. 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
5．[2014·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建π立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈?0，?.
2??
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y 3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参
数方程，确定D 的坐标．
6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程
??x ＝2＋t ，x 2y 2
已知曲线C ：＋1，直线l ：?(t 为参数) ．
49?y ＝2－2t ?
(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值． 1．[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．
[解析] 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的求解．
曲线C 1的直角坐标方程是2x 2＝y ，曲线C 2的直角坐标是x ＝1. 联立方程C 1与C 2得
2???2x ＝y ，?y ＝2，?解得?所以交点的直角坐标是(1，2) ． ???x ＝1，?x ＝1，
2．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线
?x ＝2＋22t ，
C ：?(t
2
?y ＝12为参数) 的普通方程为
________．[解析] 依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0.
3. [2014·江苏卷] C．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
?x ＝1－22，的参数方程为?(t 为参数) ，直线l 与抛物线y ＝4x 相交于A ，B 两点，求线段
2
?y ＝2＋22
AB 的长．
?x ＝1－22t ，
2解：将直线l 的参数方程?代入抛物线方程y ＝4x ，得?2t ?＝4?1－?，
2?2???2
?y ＝22t
2
2
解得t 1＝0，t 2＝－8 2， 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. 4．[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程
将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
??x ＝x 1，2
解：(1)设(x 1，y 1) 为圆上的点，经变换为C 上的点(x ，y ) ，依题意，得?由x 1＋y 21＝1
?y ＝2y 1. ?
22??x ＝cos t ，2?y ?2y 得x ＋?2?＝1，即曲线C 的方程为x ＋＝1. 故C 的参数方程为?(t 为参数) ． 4?y ＝2sin t ?
2y 2??x ＝1，??x ＝0，?x ＋41，?
(2)由?解得?或?
???y ＝0?y ＝2. ??2x ＋y －2＝0，
1?11，所求直线斜率k ＝，于不妨设P 1(1，0) ，P 2(0，2) ，则线段P 1P 2的中点坐标为2?2
11
x －，即2x －4y ＝－3， 是所求直线方程为y －1＝?2?2化为极坐标方程，得2 ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
3
即ρ＝4sin θ－2cos θ
5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的
π
极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈?0，.
2?
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y 3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参
数方程，确定D 的坐标．
解：(1)C 的普通方程为(x －1) 2＋y 2＝1(0≤y ≤1) ．
可得C 的参数方程为
??x ＝1＋cos t ，?(t 为参数，0≤t ≤π) ． ?y ＝sin t ，?
(2)设D (1＋cos t ，sin t ) ．由(1)知C 是以G (1，0) 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在π点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t 3，t 3
ππ33
故D 的直角坐标为?1＋cos ，sin ?，即?.
33???22
6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程
??x ＝2＋t ，x 2y 2
已知曲线C ：＋1，直线l ：?(t 为参数) ．
49?y ＝2－2t ?
(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
?x ＝2cos θ，?
解：(1)曲线C 的参数方程为?(θ为参数) ，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
?y ＝3sin θ?
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ) 到直线l 的距离d ＝则|P A |＝
d 2 5
|5sin(θ＋α) －6|，
5sin 30°
5
|4cos θ＋3sin θ－6|， 5
4
其中α为锐角，且tan α＝3
当sin(θ＋α) ＝－1时，|P A |取得最大值， 225
最大值为5
5
当sin(θ＋α) ＝1时，|P A |取得最小值，最小值为.
5
范文三：极坐标参数方程高考真题
高考真题
一、 22. (2007宁夏卷 ) (本小题满分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程 1O 圆 和 2圆 O 的极坐标方程分别为 4cos 4sin ρθρθ==-, . (Ⅰ)把 1O 圆 和 2圆 O 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 1O 圆 , 2圆 O 交点的直线的直角坐标方程 .
二、 23. (2008宁夏卷) (本小题满分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 1:cos () sin x y θθθ
=??
=?为 参 数 ,曲线
C 2
:2()
2
x t y ?=-??
?
?=??为 参 数 。
(1)指出 C 1, C 2各是什么曲线,并说明 C 1与 C 2公共点的个数;
(2) 若把 C 1, C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, 分别得到曲线 1' C , 2' C 。 写出 1' C , 2' C 的参数方程。 1' C 与 2' C 公共点的个数和 C 1与 C 2公共点的个数是否相同?
说明你的理由。
三、 23. (2009宁夏卷) (本小题满分 10分)选修 2— 4:坐标系与参数方程
已知曲线 C 1:4cos , 3sin , x t y t =-+??=+? (t 为参数) , C2:8cos ,
3sin , x y θθ=??=?(θ为参数) .
(Ⅰ)化 C 1, C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C 1上的点 P 对应的参数为 2
t π=
, Q 为 C 2上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 332, :2x t C y t
=+??
=-+?(t 为参数)距离的最小值.
四、 23. (2010新课标全国卷) (本小题满分 10分 ) 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C 1:???
??
x =1+t cos α, y =t sin α,
(t 为参数 ) ,圆 C 2:???
??
x =cos θy =sin θ,
(θ为参数 ) .
(1)当 α=
π
3
时,求 C 1与 C 2的交点坐标; (2)过坐标原点 O 作 C 1的垂线,垂足为 A , P 为 OA 的中点.当 α变化时,求 P 点轨迹的参数 方程,并指出它是什么曲线 .
五、 23. (2011新课标全国卷) (本小题满分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 2cos (22sin x y α
αα=??=+?
为参数)
, M 为 1C 上的动点, P 点满足 2OP OM =
,点 P 的轨迹为曲线 2C . (I )求 2C 的方程;
(II )在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 3
π
θ=
与 1C 的异于极点的交
点为 A ,与 2C 的异于极点的交点为 B ,求 |AB|
六、 21. (2) (2010福建卷)
在直角坐标系 xOy 中,直线 L
的参数方程为 32
2
x y ?=-????
=+??(t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐
标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆
C 的方程为
θ。
(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆 C 与直线 L 交于点 A,B 。若点 P 的坐标为(3
) ,求∣ PA ∣ +∣ PB ∣。
七、 21. ⑶(2010江苏卷)参数方程与极坐标
在极坐标系中,圆 ρ=2cosθ与直线 3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数 a 的值 .
八、 23. (2010辽宁卷) (本小题满分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知 P 为半圆 C :cos (0) sin x y θ
θθπθ=?≤≤?=?为 参 数 , 上的点,点 A 的坐标为(1,0) , O 为坐标原点,
点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧
的长度均为
3
π
。
(I )以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II )求直线 AM 的参数方程 .
参考答案:
一、 22.解:以有点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长
度单位. (Ⅰ) cos x ρθ=, sin y ρθ=, 由 4c o s ρθ=得 2
4cos ρρθ=.
所以 224x y x +=. 即 2240x y x +-=为 1O 圆 的直角坐标方程.同理 22
40x y y ++=为 2圆 O 的直角坐标方程.
(Ⅱ)由 22
22
40
40x y x x y y ?+-=??
++=??
解得 1100x y =??=?, , 222
2x y =??=-?. 即 1O 圆 , 2圆 O 交于点 (00) , 和 (22) -, .过交点的直线的直角坐标方程为 y x =-.
二、 23. (1)C 1时圆,C 2是直线C 1的普通方程为 221x y +=,圆心C 1(0,0) ,半径 1r =; C 2
的普通方程为 0x y -+=, 因为圆心C 1
到直线 0x y -+=的距离为1,所以C 1与C 2
只有一个公共点;
(2)压缩后的参数方程分别为 (
))
' ' 12cos 2::1
sin 2
4
x x C C t y y ?=θ
=
-???
?θ??
=θ???=??为 参 数 , 为 参 数
化为普通方程为 ' 2' 121::2
2
C x C y x =+
2+4y=1,
,联立消元得:2
210x ++=,其判别
式 (2
4210?=-??=;所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点,和原来相同;
三、 23.解:(Ⅰ) 2
2
2
2
12:(4) (3) 1, :
1649
x
y
C x y C ++-=+
=. 1C 为圆心是 (4, 3) -,半径是 1
的圆. 2C 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3的椭圆.
(Ⅱ)当 2
t π=
时, (4, 4) P -, (8cos , 3sin ) Q θθ,故 3(24cos , 2sin ) 2
M θθ-++
.
3C 为直线 270x y --=, M 到 3C
的距离 |4cos 3sin 13|5
d θθ=
--.
从而当 43cos , sin 5
5
θθ=
=-
时, d
5
.
四、 23. (1) (1,0), (12,-22
1sin 2
() 1sin cos 2
x y σ
σσσ?
=
????=-??为 参 数 . P 点轨迹是圆心为 (1
4
0) ,半 径为 1
4
五 、 23解:
(I )设 P(x, y) ,则由条件知 M(
2
,
2Y X ). 由于 M 点在 C 1上,所以
???????+==α
αsin 222
, cos 22
y x
即 ???+==ααsin 44cos 4y x 从而 2C 的参数方程为 4cos 44sin x y αα=??=+?(α为参数)
(Ⅱ) 曲线 1C 的极坐标方程为 4sin ρθ=, 曲线 2C 的极坐标方程为 8sin ρθ=。 射线 3
π
θ=
与 1
C 的 交 点 A 的 极 径 为 14s i 3
πρ=, 射 线 3
πθ=与 2C 的 交 点 B 的 极 径 为 28s i 3
πρ=。 所
以
21||||AB ρρ-==六 、 (2)本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识,
考查运算求解能力。 解法一:
故由上式及 t 的几何意义得
解法二:
(Ⅰ)同解法一。
(Ⅱ)因为圆 C 的圆心为(0
,半径
, 直线 l 的普通方程为:
.
由 解得:或
不妨设 A (1,
) , B (2,
,又点 P 的坐标为(3
,
七、
八、
范文四：极坐标与参数方程高考真题
极坐标与参数方程高考真题
1、 (2007) 坐标系与参数方程:1O 和 2O 的极坐标方程分别为 4cos 4sin ρθρθ==-, . (Ⅰ)把 1O 和 2O 的 极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)求经过 1O , 2O 交点的直线的直角坐标方程.
2、 (2008) 坐标系与参数方程:
已知曲线 C 1:cos () sin x y θθθ=??=?为参数 ,曲线 C 2
:()
x t y ?
???
???
为参数 。 (1)指出 C 1, C 2各是什么曲线,并说明 C 1与 C 2公共点的个数;
(2)若把 C 1, C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 1' C , 2' C 。写出 1' C , 2' C 的参数方程。 1' C 与 2' C 公共点的个数和 C 1与 C 2公共点的个数是否相同?说明你的理由。
3、 (2009) 已知曲线 C 1:4cos , 3sin , x t y t =-+??=+? (t 为参数) , C 2:8cos ,
3sin , x y θθ=??=?
(θ为参数) .
(Ⅰ)化 C 1, C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C 1上的点 P 对应的参数为 2t π
=, Q 为 C 2上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 332, :2x t C y t
=+??=-+? (t 为参数)距离的最小值.
4、 (2010) 坐标系与参数方程:已知直线 C 1:????? x =1+t cos α, y =t sin α, (t 为参数 ) ,圆 C 2:?
????
x =cos θy =sin θ, (θ为参数 ) . (1)当 α=π
3
时,求 C 1与 C 2的交点坐标;
(2)过坐标原点 O 作 C 1的垂线,垂足为 A , P 为 OA 的中点.当 α变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是 什么曲线.
5、 (2011) 坐标系与参数方程:在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1的参数方程为 2cos 22sin x y αα
=??
=+?(α为参数) , M 是
C 1上的动点, P 点满足 2OP OM =
,P 点的轨迹为曲线 C 2 (Ⅰ ) 求 C 2的方程
(Ⅱ ) 在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 3
π
θ=与 C 1的异于极点的交点为 A ,与 C 2的异于
极点的交点为 B ,求 AB .
6、 (2012) 已知曲线 C 1的参数方程是 ?
????
x =2cos φ
y =3sin φ(φ为参数 ) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系,曲线 C 2的极坐标方程是 ρ=2. 正方形 ABCD 的顶点都在 C 2上,且 A 、 B 、 C 、 D 以逆时针次序排列,点 A 的 极坐标为 (2, π
3)
(Ⅰ ) 求点 A 、 B 、 C 、 D 的直角坐标;
(Ⅱ ) 设 P 为 C 1上任意一点,求 |PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
7、 (2013课标 1)已知曲线 1C 的参数方程为 45cos ,
55sin x t y t
=+??
=+?(t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2sin ρθ=。
(Ⅰ)把 1C 的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求 1C 与 2C 交点的极坐标(0,02ρθπ≥≤<)>
8、 (2013课标 2)已知动点 P Q 、 都在曲线 2cos ,
:2sin x t C y t
=??=?(t 为参数)上,对应参数分别为 =t α与 =2t α
(02απ<) ,="" m="" 为="" pq="">
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。
9、 (2014课标 1)已知曲线 194:2
2=+y x C ,直线 ?
??-=+=t y t x l 222:(t 为参数) (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;
(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 的最大值与最小值 .
10、 (2014课标 2)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极 坐标方程为 2cos , [0,]2
π
ρθθ=∈.
(1)求 C 得参数方程;
(2)设点 D 在 C 上, C 在 D
处的切线与直线 :2l y =+垂直,根据(1) 中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标 .
11、 (2015课标 1)在直角坐标系 xOy 中,直线 1:2C x =-,圆 ()()22
2:121C x y -+-=,以坐标原点为极 点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . (I )求 12, C C 的极坐标方程 . (II )若直线 3C 的极坐标方程为 ()π
R 4
θρ=∈,设 23, C C 的交点为 , M N ,求 2C MN ? 的面积 .
12、 (2015课标 2)在直线坐标系 xOy 中,曲线 C 1
:cos sin x t y t ==αα{(t 为参数, t ≠0)其中 0≤α≤π. 在以 O 为
极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2:p=2sin θ, C 3:
cos θ。 (I ) 求 C 1 与 C 3 交点的直角坐标;
(II ) 若 C 1 与 C 2 相交于点 A , C 1 与 C 3 相交于点 B ,求 |AB|的最大值 .
13、【 2015高考新课标 1,文 23】选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中, 直线 1:2C x =-, 圆 ()()2
2
2:121C x y -+-=, 以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系 . (I )求 12, C C 的极坐标方程 . (II )若直线 3C 的极坐标方程为 ()π
R 4
θρ=∈,设 23, C C 的交点为 , M N ,求 2C MN ? 的面积 .
14、 2014(本小题满分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 194:2
2=+y x C ,直线 ???-=+=t
y t x l 222:(t 为参数) (2)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;
(3)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最小值 .
15、 (2014辽宁 ,23,10分 ) 选修 4— 4:坐标系与参数方程
将圆 x 2
+y2
=1上每一点的横坐标保持不变 , 纵坐标变为原来的 2倍 , 得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程 ;
(2)设直线 l:2x+y-2=0与 C 的交点为 P 1,P 2, 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 求过线段 P 1P 2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 .
16、 (2009·辽宁 ) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcos ???
?θ-π
3=1, M 、 N 分别为 C 与 x 轴, y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M 、 N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P ,求直线 OP 的极坐标方程.
17、 (2010·东北三校第一次联考 ) 在极坐标系下,已知圆 O :ρ=cos θ+sin θ和直线 l :ρsin (θ-π4) =22(1)求圆
O 和直线 l 的直角坐标方程;
(2)当 θ∈ (0, π) 时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.
18、 (2011·江苏 ) 在平面直角坐标系 xOy 中, 求过椭圆 ????? x =5cos φ, y =3sin φ(φ为参数 ) 的右焦点, 且与直线 ???
??
x =4-2t ,
y =3-t
(t 为参数 ) 平行的直线的普通方程.
19、 . (12分 )(2010·福建 ) 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ??
?
x =3-22t ,
y =5+2
2
t (t 为参数 ) . 在极坐标系 (与
直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴 ) 中, 圆 C 的方程为 ρ=25sin θ.
(1)求圆 C 的直角坐标方程;
(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A , B . 若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求 |P A |+|PB |.
20、 【 2015高考陕西, 文 23】 选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标版权法 xOy 吕, 直线 l
的参数方程为 (x t y ?
=??
?
???为参数) , 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, C
的极坐标方程为 ρθ=.(I)写出 C 的 直角坐标方程; (II)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标 .
21、 (2010·课标全国 ) 已知直线 C 1:????? x =1+t cos α, y =t sin α(t 为参数 ) ,圆 C 2:?
????
x =cos θ, y =sin θ(θ为参数 ) . (1)当 α=π
3求 C 1与 C 2的交点坐标; (2)过坐标原点 O 作 C 1的垂线,垂足为 A , P 为 OA 的中点,当 α变化时,求 P 点轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线.
范文五：新课标高考真题,参数方程典型例题,高考必考
1、 (08)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 C 1:cos () sin x y θθθ=??=?为参数 ,曲线 C 2
:() x t y ????
???为参数 。 (1)指出 C 1, C 2各是什么曲线,并说明 C 1与 C 2公共点的个数;
(2)若把 C 1, C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 1' C , 2' C 。写出 1' C , 2' C 的参数方程。
1' C 与 2' C 公共点的个数和 C 1与 C 2公共点的个数是否相同?
说明你的理由。
【试题解析】 (1)C 1时圆,C 2是直线C 1的普通方程为 2
2
1x y +=,圆心C 1(0,0) ,半径 1r =; C 2
的普通方程为 0x y -+=, 因为圆心C 1
到直线 0x y -+=的距离为1,所以C 1与C 2只有一个公共 点;
(2)压缩后的参数方程分别为 (
))' ' 12cos 2
::1sin 2
4
x x C C t y y t ?
=θ=-????θ??=θ???=??
为参数 , 为参数
化为普通方程为 '
2
'
121::2C x C y x =
2
+4y=1,
,联立消元得:2210x ++=
,其判别式 (2
4210?=-??=;所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点,和原来相同;
【 高考考点 】参数方程与普通方程的互化及应用 2、 (09)选修 4— 4:坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1:4cos , 3sin , x t y t =-+??
=+? (t 为参数) , C 2:8cos , 3sin ,
x y θθ=??=?(θ为参数) 。
(1)化 C 1, C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1上的点 P 对应的参数为 2
t π
=
, Q 为 C 2上的动点,求 PQ 中点 M 到直线
332,
:2x t C y t
=+??=-+? (t 为参数)距离的最小值。
(Ⅰ) 22
2
2
12:(4) (3) 1, :
1649
x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是 (4,3) -,半径是 1的圆。
2C 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3的椭圆。
(Ⅱ)当 2
t π
=
时, (4,4). (8cos,3sin ) P Q θθ-,故 3
(24cos ,2sin ) 2
M θθ-++
3C 为直线 270x y --=,
M 到 3C
的距离 |4cos 3sin 13|d θθ=
-- 从而当 43
cos ,sin 55
θθ==-时, d
3、 10)选修 4— 4:坐标系与参数方程
已知直线 1C :{ {t为参数 }。 图 2C :
{ {θ为参数 }
(Ⅰ)当 a=
3
π
时,求 1C 与 2C 的交点坐标: (Ⅱ)过坐标原点 O 做 1C 的垂线,垂足为 A 、 P 为 OA 的中点,当 a 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,
并指出它是什么曲线。 (I )当 3
π
α=
时, C 1的普通方程为 1) y x =-, C 2的普通方程为 22
1x y +=.
联立方程组
{
221),
1, y x x x y -=+=解得 C 1与 C 2的交点为(1,0)
, 1(, 22
- (II ) C 1的普通方程为 sin cos sin 0x y α
αα--=.
A 点坐标为 2
(sin, cos sin ) a a a -,故当 a 变化时, P 点轨迹的参数方程为
21
sin 2
1sin cos 2
x a y a a ==-??? (a 为参数) P 点轨迹的普通方程为 22
11() 4
16
x y -+= 故 P 点是圆心为 1(,0) 4,半径为 1
4
的圆
X=1+tcosa y=tsina
X=cos θ y=sin θ
4、 (11)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1的参数方程为
2cos ,
22sin , x y αα=??
=+?
(α为参数) M 是 C 1上的动点, P 点满足 2OP OM =
, P 点的轨迹为曲线 C 2。
(1)求 C 2的方程;
(2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标中,射线 3
π
θ=与 C 1的异于极点的交点为 A ,与 C 2的异于
极点的交点为 B ,求 │ AB │
(I )设 P(x, y) ,则由条件知 M(
2
, 2Y
X ). 由于 M 点在 C 1上,所以
???
????
???????+==ααsin 222, cos 22y x 即 ???
???+==ααs i n
44c o s 4y x
从而 2C 的参数方程为
4cos 44sin x y α
α
=??
=+?(α为参数)
(Ⅱ)曲线 1C 的极坐标方程为 4sin ρθ=,曲线 2C 的极坐标方程为 8sin ρθ=。 射线 3
π
θ=
与 1C 的交点 A 的极径为 14sin 3
π
ρ=, 射线 3
π
θ=
与 2C 的交点 B 的极径为 28sin
3
π
ρ=。
所以 21||||AB ρρ-==5、 (122)选修 4— 4;坐标系与参数方程
已知曲线 C 1的参数方程是 ?
????
x =2cos φ
y =3sin φ(φ为参数 ) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线 C 2的极坐标方程是 ρ=2. 正方形 ABCD 的顶点都在 C 2上,且 A 、 B 、 C 、 D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐 标为 (2π
3
(Ⅰ ) 求点 A 、 B 、 C 、 D 的直角坐标;
(Ⅱ ) 设 P 为 C 1上任意一点,求 |PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
解:(1)将 45cos , 55sin x t y t
=+??
=+?消去参数 t ,化为普通方程 (x -4) 2+(y -5) 2
=25,
即 C 1:x 2
+y 2
-8x -10y +16=0.
将 cos , sin x y ρθρθ
=??=?代入 x 2+y 2-8x -10y +16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C 1的极坐标方程为 ρ2
-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C 2的普通方程为 x 2+y 2
-2y =0.
由 2222
810160, 20x y x y x y y ?+--+=?+-=?
解得 1, 1x y =??=?
或 0, 2. x y =??=?
所以 C 1与 C 2
交点的极坐标分别为 π4???, π2, 2?? ???
.
