柯西—施瓦茨不等式

范文一：柯西—施瓦茨不等式

柯西—施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式是数学分析中经常要用到的一个

不等式，在竞赛数学和高等数学中也有广泛的应用，

下面介绍它的三种证明方法，从而加深对该不等式的

理解，利于教学。定理(柯西-施瓦茨不等式):若

a,aa，，？和是任意实数，则有(nk=1?akbk)2?b,bb，，？12n12n

(nk=1?ak2)(k=n1?bk2)此外，如果有某个ai?0，则上式中的

等号当且仅当存在一个实数x使得对于每一个k=1,2，…，n都有akx+bk=0时成立。证明1平方和绝不可能是负数，故对每一个实数x都有nk=1?(akx+bk)2?0其中，等号当且仅当每一项都等于0时成立。

数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁?路易?柯西(Augustin Louis Cauchy)，赫尔曼?阿曼杜斯?施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz)，和维克托?雅科夫列维奇?布尼亚科夫斯基

(ВикторЯковлевичБуняковский)命名。柯西—施瓦茨不等式说，若x和y是实或复内积空间的元素，那麼 $\big| \langlex,y\rangle \big|^2 \leq \langlex,x\rangle \cdot \langley,y\rangle$ ;。

等式成立当且仅当x和y是线性相关。

柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数。

柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用范的写法表示:

$|\langlex,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\,$ ;。

范文二：浅谈柯西—施瓦茨不等式

浅谈柯西—施瓦茨不等式

作者：罗由琦

来源：《新课程学习·下》2014年第09期

摘要：柯西—施瓦茨不等式在数学学习中具有重要意义，能够灵活处理数学中很多其他公式难以解决的问题。主要对柯西—施瓦茨不等式的意义、证明和应用进行分析，并重点阐述了证明方法和应用作用。

关键词：柯西不等式；施瓦茨不等式；等式证明

在数学学习中，不等式是一个重要部分，它刻画了数学模型的不等关系，并能够体现出事物在量上的差异。不等式理论在分析数量间的大小关系中十分重要，在数学学习和其他学科的应用中，是一种十分有效的工具。

一、柯西—施瓦茨不等式的意义

柯西—施瓦茨不等式在数学学习中被广泛应用，在高等数学、微积分、概率论和线性代数等方面都有涉及，并且领域不同，其所体现的形式也不同，能在欧式空间两向量的内积运算得到统一，与均值不等式有一定差异，是一个十分重要的不等式。柯西—施瓦茨不等式有很多证明方法，每种方法都有一些不足，所以在学习应用中，要仔细掌握每种证明方法的条件和特点，并通过这些结论对柯西—施瓦茨不等式进行推广。灵活运用柯西—施瓦茨不等式能够解决很多数学上的难题，例如证明不等式、三角形求解、方程求解和最值计算等，确保能够将这些问题妥善地解决。

柯西—施瓦茨不等式能够解决其他不等式难以解决的问题，方法简洁和严密。柯西—施瓦茨不等式在结构上属于对称关系，所以在线性代数和几何数学中都得到有效证明。

通过对柯西—施瓦茨不等式的学习和研究，不等式的证明范围不断扩大，采用的方法也不断增多，在数学学习中获得很多便利。但是这种不等式与均值不等式也存在一定相似之处，会受到很多因素制约，在较短的时间内，无法进行完整的证明。所以在应用中应掌握柯西—施瓦茨不等式的定理和证明方法，理解柯西—施瓦茨不等式的关键环节，柯西—施瓦茨不等式的证明，可以选用数学时间归纳法，判别式法等，对数学学习有很大帮助。

二、柯西—施瓦茨不等式的证明

（一）柯西—施瓦茨不等式在实际应用中的定义

1.定理

2.应用

柯西—施瓦茨不等式能在数学学习和数学竞赛中巧妙应用，换句话来讲，就是将复杂的问题简化，例如，在不等式求解、三角形、最值和方程式的解题中，采用柯西—不等式的重点是根据问题的内容和要求，按照一定形式进行巧妙组合。柯西—施瓦茨不等式能够构造两个数组，并利用该不等式的原理，得出一些结论；在最值和方程求解过程中，这个方法同样适用。

（二）柯西—施瓦茨不等式的转化

柯西—施瓦茨不等式能够推出很多著名不等式，例如Minkowski不等式、赫尔德不等式。在Minkowski不等式中，任意2n个实数，具体公式如下：

赫尔德不等式是扩充柯西—施瓦茨不等式中的幂指数而形成的。

在赫尔德不等式中，当p=2，q=2，这个公式就代表着柯西—施瓦茨不等式，若n等于任意值，那么就有无数个不等式。

三、柯西—施瓦茨不等式的应用

（一）不等式在微积分中的应用

1.定义

由定积分的性质在区间[a，b]上分出n等分，分点自行定义，在从极限的保号性，能够得出上述公式成立，如果x∈[a，b]，f（x）=0，则可证明该公式成立。

2.推广

这种形式更为美观，并且方便推广，在应用中也更为便捷，假设f（x），g（x），h（x）在[a，b]上可积，那么可以组合成一个组合公式，具体如下：

并证明以下公式可以论证：

（二）不等式在平面几何中的应用

三角形的三边各边分别为a，b，c对应的高为ha，hb，hc，三角形内部的切圆半径为r。假设9r为ha，hb，hc的总和，那么能够试着判断三角形的形状。解题步骤如下：

三角形的面积为S，那么2S=aha=bhb=chc，由此能够导出，2S=r（a+b+c），所以能够用下面公式进行表述：

所以能够得出a=b=c时，公式取等号，所以当9r=ha+hb+hc时，该三角形是等边三角形。

（三）柯西—施瓦茨不等式在各种应用中的关系

在数学学习中，有很多不等式，并在数学的不同领域中，具有不同的重要性。不等式的运用能够使解题更加灵活，用其不变的本质，展现了数学领域中的统一性和渗透性。例如柯西—施瓦茨不等式在微积分中的运用，在线性代数中的应用，当仅存在不全为零的常数k1、k2，能够使k1α+k2？茁=0，不等式成立。

虽然这些不等式拥有不同的形式，内容也有一定的差异，在应用中，要根据实际情况进行相应的选择，确保应用时能够保留不等式本质，在学习中，要对这些形式进行区分，线性代数和概率论的公式有一定的抽象性和一般性，这种方法同样体现了数学不等式相互渗透的关系，例如国外有学者曾经说过，数学属于一个有机整体，不等式之间的联系为数学提供了生命力。这个观点在数学学习与分析中具有重要意义，所以应掌握各等式之间的联系，提高学生的思维创造能力。

在柯西—施瓦茨不等式的学习应用中，习题训练提高等式间的联系能力，并深入掌握不等式的变形，并重视柯西—施瓦茨不等式的几种变形。

在使用柯西—施瓦茨不等式时，要注意应用技巧，柯西—施瓦茨不等式在证明时，关键是掌握两组数结构，例如a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；然后巧妙地拆分常数项，采用柯西—施瓦茨不等式，要考虑要证明题目的实际情况和特征进行拆分，并仔细分析不等式中的常数，这是一种十分重要的应用技巧；最后要项的巧妙添加，在很多公式中，应注重常数项的添加和常数的各项，采用柯西—施瓦茨不等式，对这些题目进行证明。题目的巧妙变化，会导致题目无法应用柯西—施瓦茨不等式，题目没有完整的条件，所以应适当改变多项式的形式，并弄清不等式的本质特性，以此达到柯西—施瓦茨不等式证明的题目的目标。除了这些技巧，在不等式的应用中，还有很多技巧，例如巧妙转换位置、巧妙设置待定参数、巧妙运用变量的代换。

柯西—施瓦茨不等式是数学学习中的重要公式，在数学体系中占有非常重要的位置，其实际应用的意义，能够在学习中得到更加灵活的利用，并加深对这种不等式的理解。通过对柯西—施瓦茨不等式证明方法的分析，能够得知柯西—施瓦茨不等式在实际应用中的定义与柯西—施瓦茨不等式的转化，并要熟练掌握这些方法，在微积分以及平面几何中进行应用，从上文可以得知，柯西—施瓦茨不等式在微积分中的应用、在平面几何中的应用、在各种应用中的关系。柯西—施瓦茨不等式，在平面区域的推广，能够使二元连续函数的大搜二重积分性运用，并将不同的二重积分，变成不同形式的不等式，并进行相应变形，而二重积分值可以利用二重积分不等式来计算，对比二重积分的特征，以及平面区域的二元函数的最大值和最小值，对二重积分的精确度进行估算，确定柯西—施瓦茨不等式的实用性。

参考文献：

[1]余池增.柯西不等式在高中数学中的应用研究[D].广州大学，2013（5）：167-168.

[2]孙晓莉.柯西—施瓦茨不等式的推广与应用[D].合肥工业大学，2013（4）：152-153.

[3]付英贵.关于柯西—施瓦茨不等式证明[J].西南科技大学高教研究，2012（12）.

[4]张伟，何卫.柯西—施瓦茨不等式的三种证明[J].重庆教育学院学报，2013（5）：164-165.

[5]陈应德.柯西不等式与施瓦茨不等式的推广[J].甘肃高师学报，2013（8）：129-130.

[6]倪伟平.柯西—许瓦兹不等式的推广[J].临沂师范学院学报，2012（3）：15-16.

范文三：柯西施瓦茨不等式

柯西施瓦茨不等式的应用及推广

作者：查敏指导老师:蔡改香

摘要本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法

和应用，并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题，反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特别是在概率统计中的广泛应用.

关键词 Cauchy-Schwarz不等式 Minkowski不等式 Holder不等式 Hermite阵

1引言

柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛，是异于均值不等式的另一个重要不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决，这个不等式结构和谐，无论代数、几何，都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用，对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.

2 在实数域中的Cauchy不等式

命题1 设ai,bi?R(i?1,2,?,n)，则

(

?ab)

iii?1

?(?a)?(?bi2) （1）

ii?1

i?1

其中当且仅当bi?kai,(i?1,2,?,n)（k为常数）等号成立.

证明由f(x)?

?(xa?b)

i?1

?0,?x?R,则（?a)x?(2?aibi)x??bi2?0

i?1

nnn

由于?x?R,因此上述不等式的判别式大于零，即：

4(?aibi)?（4?a)(?bi2)?0

i?1

nnn

易得（1）式成立.

例1 设ai?R(i?1,2,...,n),求证(a1?a2???an)(

111?+?+?n2 a1a2an

证明由不等式左边的形式，很容易想到柯西不等式解之

（a1?a2???an)(

111

???+)a1a2an

?2???+]??

???(1?1???1)2?n2

柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛，而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.

由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski不等式定理1 任意的2n个实数a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn，有 ?

事实上，由（1）得

?i?1

??ai?bi?

???2?2? ?a?b???i???i? （2）

??i?1??i?1?

??ai?bi?

i?1

??a?2?aibi??bi2

2ii?1

i?1

?nn

?n2??n2??n2?2??2???ai?2??ai???bi???bi=??ai????bi?

??i?1??i?1?i?1i?1?i?1??i?1?

12121212

????

这就证明了（2）.

将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式. 定理2 对任意的非负数ai,bi?i?1,2,?,n?有

1ppi

1qqi

?ab?(?a

iii?1

i?1

)?(?b)

i?1

其中p,q?R，满足

??1且p?1. pq

证明由杨格不等式a

p?bq?ab，其中a,b?0且

??1得 pq

?ab

i?1

111nn?nn?np1??qqpqqpp

?(?ai)?(?bi)????ai(?ai?bi(?bi))?

i?1i?1i?1????i?1?i?1???

1p1q??1?nn????111?ppqq

????ai(?ai)???bi(?bi)?????1

q?pqi?1?p?i?1i?1?????????n

赫尔德不等式中，当p?2,q?2时为柯西施瓦茨不等式，若将n??则可导出相应的无穷不等式.

由定理2可将定理1的幂指数进行扩充定理3 若对任意的非负实数ai,bi，

??1，p,q?R?且p?1，则pq

???p?p?p?a?b?a?b????ii???i???i? ?i?1??i?1??i?1?

证明 ??ai?bi?=?ai?bi???ai?bi?

p-1

=?ai?bi???ai?bi?

????=?ai??ai?bi?q?+?bi??ai?bi?q?????

由杨格不等式

??a?b???a??a?b???b??a?b?

i?1

111

?n?nn

?p??p??p?q??

????aip????bip??????ai?bi?? ?i?1??i?1???i?1????

化简即得所要证得的不等式.

还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式：推论1 若对任意非负实数ai,bi，有

i?1

??,?bi??，则

i?1

??p?q?ab?a?b?ii??i???i?

i?1?i?1??i?1?

下面将上命题1进行推广：

引理1 （算术-几何平均值不等式）设a1,a2,?,an为个n正数，则

?ai?

ni?1nn

等号成立的充要条件为a1?a2???an.

引理2 设????x1,x2,?,xn??,???y1,y2,?,yn???V,k?R,作定义：

?????x1?y1,x2?y2,?,xn?yn??，

k???kx1,kx2,?,kxn??,

??,????x1y1,x2y2,?,xnyn??,

则在V中定义了的加法、数乘、内积作成R上的线性空间一定构成欧几里得空间，简称欧氏空间 (在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义).

推论2 设xi,yi,?,zi,(i?1,2,?n)是m组实数，则有

(

?xy???z)

i?1

?(?x)(?y)?(?zim) （2）

i?1

nnn

等号成立的充要条件为x1:y1:z1?x2:y2:z2??=xn:yn:zn .

证明为方便起见，不妨设

S??xi, S??yi,?,S??zim,

i?1

ai?

yxiz

,bi?i,?,ci?i,(i?1,2,?n) SxSzSy

从而由引理1有

aim?bim???cim

xiyi???zi?SxSy???Szaibi???ci?SxSy???Sz?

对上式进行n的累次求和，可得

xiyi???zi?SxSy???Sz?(aim?bim???cim) ?mii?1m

即

nnn

1mm

xiyi???zi?SxSy???Sz(?ai??bi????cim) （4）?mii?1i?1i?1m

由于

?aim??(

i?1n

i?1

ximi?1

)?m?1 SxSx

ni?1

同理

i?1

?1，?cim?1

这样（4）式为

?xy???z

?SxSy???Sz

再两边m同时次幂，得

(?xiyi???zi)m?SxmSym???Szm

故证得（3）式成立.

注1 在命题1中，除xi?ai,yi?bi,(i?1,2,?,n)，其余均为1，且m?2，则不等式（3）就是不等式（1）的推广.

推论3 （将命题1推广为无限和不等式）设xi,yi,?,zi?R,i?N且

i?1

??，

i?1

??，?,?zim??，则

i?1

(?xiyi???zi)?(?x)(?y)?(?zim)

i?1

????

（证明过程可仿推论2的证法并结合引理2）.

3 微积分中的Cauchy-Schwarz不等式

命题2 设f(x),g(x)在?a,b?可积，则

?b??b2??b2?

??f(x)g(x)dx????f(x)dx???g(x)dx? （5）

?a??a??a?

证明类似命题1可以利用判别式证明之.下面给出另一种证法:

因为f(x),g(x)在?a,b?上可积，则由定积分的性质f2,g2,fg均在上?a,b?上可积，对区间?a,b?进行n等分，分点为xi?a+有

b?a

i,i?0,1,2,?,n.由定积分的定义，n

f(x)g(x)dx?lim?f(xi)g(xi)

n??

i?1n

b?a

f(x)dx?lim?f2(xi)

n??

i?1n

b?a

nb?a

?g(x)dx?lim?g(xi)2a

n??

i?1

由（1）式知

?b??b2??b2???f(x)g(x)dx????f(x)dx???g(x)dx? ?a??a??a?

再由极限的保号性易知（5）式成立.

注2 若对?x??a,b?,f(x)?0，或f(x),g(x)成正比，则（5）式等号成立，但其逆不真.

例如，除有限点外，f(x)?g(x),x??a,b?，有

)，但?f(x)dx??g(xdx

f(x),g(x)并不成比例.

例2 利用柯西施瓦茨不等式求极限：设f(x),g(x)在?a,b?上连续，

f(x)?0,g(x)有正下界，记dn??f(x)g(x)dx,?n?1,2,??，求证：

lim

dn?1

?maxf(x) .

n??da?x?b

证明为了分析?

?dn?1?

?的变化趋势，研究dn邻项之间的关系. ?dn?

dn?

f(x)g(x)dx

f(x)

n?12

f(x)

n?12

????n?1n?1

???g?x?f(x)dx???g?x?f(x)dx? ?a??a??dn?1?dn?1

因为dn?0，平方得dn2?dn?1dn?1，即

dn?1dn

. ?

dndn?1

因为f(x)在?a,b?连续，所以存在M?0，使得f?x??M,故

n?1d

0?n?1??g?x?f?x?dx

?g?x?f?x?dx?M?g?x?f?x?dx

?g?x?f?x?dx?M

因为?

?dn?1?

?单调有上界，所以有极限. d?n?

即lim

dn?1

?M?maxf(x)

n??da?x?b

在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式，如下面介绍的Minkowski不等式：

定理4 设f(x),g(x)在?a,b?可积，则Minkowski不等式

???2??2?2

f(x)?g(x)dx?f(x)dx?g(x)dx??????????? ?a??a??a?

证明由（5）式

?b??b2??b2???f?x?g?x?dx????f(x)dx???g(x)dx? ?a??a??a?

bb?b?b2

???f?x??g?x??dx???f?x?dx?2?f?x?g?x?dx??g2?x?dx ?a?aaa

??b

?f2?x?dx?2?f2?x?dx?g2?x?dx??g2?x?dx

????aa?a?a

11?b?b22??????????f2(x)dx????g2(x)dx??

??a????a

bbb

因为两边都大于等于零，且右边大括号也大于等于零，所以有

???2??2?2

f(x)?g(x)dx?????f(x)????g(x)? ????a??a??a?

将柯西施瓦茨不等式的幂指数进行扩充，有Holder不等式定理5 f(x),g(x)?0，

??1，p,q?R?且p?1，则 pq

????pq

f(x)g(x)dx???f(x)dx????g(x)dx?

?a??a?f(x)g(x)dx

????pq

f(x)dx?g(x)dx?????? ?a??a?

证明

????bbpq????

=??f(x)??f(x)pdx????g(x)??g(x)qdx??dx????aaa????????????b

f(x)p

g(x)q

p??f(x)pdx

q??g(x)qdx

11??1pq

得证.

利用定理5，将定理4的幂指数进行扩充，有

111b

????f(x)?g(x)?p

dx???????fp(x)?????p?a???g(x)?

?a?a?

证明可参考定理3 的证明，且p=2即为定理4中的不等式. 同样将上命题2进行推广.

推论4 设fi(x)(i?1,2,?,n)是闭区间?a,b?上为正的n个可积函数，则

??n

(x)dx??(?(fi

(x))n

dx)

ai?1

i?1

证明不妨设?

(fi(x))ndx?ki(i?1,2,?,n),则

??n

(x)dx

ai?1

((fi(x))n1

??n

??ai?1

k)ndx

ni?1

由引理1可得

b??n

(fb

ni(x))n11(fn

()n

dx?ai?1k??(i(x)))dx?1 inai?1

ki这样就证得不等式（6）成立.

注3 在推论4中，取n?2，则得到柯西施瓦茨不等式，即不等式（5）. 注4 不等式（5）可写成

?b?f?x2

a??

?af?x?g?x?dx?bb

f?x?g?x?dx

?g?x??dx

受此启发，易于得到柯西施瓦茨不等式更为一般的推广形式：设fi(x),fj(x)(i,j?1,2,?,n)是闭区间?a,b?上的可积函数，则有

det(?fi(x)fj(x)dx)?0

即为

6）（

?f?x?dx

21a

?f?x?f?x?dx

?f?x?dx

22ab

?f?x?f?x?dx?0

fn?x?f1?x?dx

fn?x?f2?x?dx?

fn2?x?dx

并且等号成立的充要条件为：存在不全为零的常数?1,?2,?,?m使得

i?1

f(x)?0.

推论5 （将命题2再推广）设fi(x)?0,(i?1,2,?,n),0?则

??fi?x??dx??

??f(x)dx??(?(f(x))dx)

0i?1

i?1

（7）

（可仿推论4并结合反常积分理论即证）.

4 n维欧氏空间中Cauchy-Schwarz不等式

在n维欧氏空间中，对任意的向量???a1,a2,?,an?,???b1,b2,?,bn?,定义内积??,????a1b1,a2b2,?,anbn?;定义的长度或范数为

命题3 对任意的向量?,?有

????,??.

??,?????

当且仅当?,?线性相关时等号才成立.

（8）

证明若??0，则?0,???0，（8）式显然成立.

若??0，则令????

??,????

，则??,???0，且

0??

??,???,?????,????,???????,????????,?????????222

?????

??,??

当?,?线性相关时等号显然成立.

反之，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或??0或??0，即

也就是说?,?线性相关.

??,????

根据上述在n维欧氏空间中的柯西施瓦茨不等式，我们有三角不等式

??????? （9）

因为

???????,???????,???2??,?????,?????2???=?+?

所以（9）式成立.

用柯西施瓦茨不等式不等式有时可很巧妙地解决相关数学命题，如下

a1?a2+?+an例3

求证?

n证明这里可取???a1,a2,?,an?,???1,1,?,1?,由柯西施瓦茨不等式

?a1+a2+?+an????,?????=?1+1+?+1??a12+a22+?+an2?

整理即得

a1?a2+?+an?

n5 概率空间??,F,??中的Cauchy-Schwarz不等式

命题4 设?X,Y?为任意随机变量，若?X,?Y存在，则??XY?也存在，

????

且

????XY?????X

式中等号成立当且仅当存在常数t0，使得

??Y?t0X??1 （11）

证明定义实变量t的二次函数为

????Y? （10）

u?t????tX?Y????X2?t2???XY?2t???Y2?

因为对一切t，必然有?tX?Y??0,从而有u?t??0，于是方程u?t??0要么无实根，要么就有一个实根，亦即重根，即判别式非正，从而

????XY?????X

????Y??0

即 ????XY?????X

????Y?

当等号成立时，方程u?t??0有一个重根t0，使??t0X?Y??0 从而 D?t0X?Y????t0X?Y????t0X?Y?即 D?t0X?Y??0 且 ??t0X?Y??0 于是 ??t0X?Y?0??1 即 ??Y?t0X??1

反之，若存在常数t0，使得（11）式成立，即

???t0X?Y??0

??t0X?Y?0??1

222

从而 ?t0X?Y?0?1，??t0X?Y?X?0?1

2222

于是 ?Y?t0X?0，?YX?t0X?0

2222

即 ?Y?t0?X，且??XY??t0?X

????

222222

????Y?X故 ??XY?t?X?t?X?X??????? ??????00????

即在（10）式中等号成立.

例4 设随机变量Xi与Xj的相关系数?ij存在，则?ij?1且?ij?1的充要条件为Xi与Xj以概率1线性相关.即存在常数a,b?a?0?，使?Xj?aXi?b?1，其中当?ij?1时，a?0；当?ij??1时a?0.

证明

X??

XX??X

??2??X??X?2?????X??XX??X????

j???j????Xi???Xi??????jiii????????

DXiDXj????????即?ij2?1，所以?ij?1，此时等式成立当且仅当存在t0，使得

?X??X?

X??X

??t0?1

其中t0是方程t?2?ijt?1?0当?ij?1时的解.

?X??X?

X??X显然，当?

ij?1时，t0?1，即???1

?X??X?

X??Xjj当?ij??

1时，t0??1，即???1

该定理表明：当?ij?1时，Xi与Xj之间存在线性关系，从而相关系数?ij作为“标准尺度下的协方差”是随机变量Xi与Xj之间的线性强弱程度的度量，更确切地说应该是线性相关系数.

在统计教学中，求直线趋势方程的两个待定系数时，用到最小二乘法.柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起到了补充说明的作用，增强了预测模型的准确性、科学性、严密性.

例5 （求方程系数中的应用）当函数yi?f(ti),，是由实验或观（i?1,2,?,n）察得到的，建立直线趋势方程ye?a?bt的模型时，要求实际观察值yi与趋势值ye离差的平方和必须为最小.

解设Q?a,b??

??a?bt?y?

i?1

ni?1

，这里

Q?a,b????a?bt?y????a?bti?yi?

i?1

?Q?Q令?2?(a?bt?y)?1?0,?2?(a?bt?y)2?t?0 ?a?bi?1i?1

??y?na?b?t?i?1i?1

整理得到：?

nnn?ty?at?bt2????i?1i?1?i?1

nnn?n2?n?2?

消去a,?n?t???t??b?n?ty??t?y.

i?1i?1i?1?i?1????i?1?

?n?222

由柯西施瓦茨不等式n?t??1??t???1?t?

i?1i?1i?1?i?1?

?n?1112

知n?t???t??0，当且仅当????时取等号.

t1t2tni?1?i?1?

?n?2

由于t是时间变量，故t1?t2???tn，所以n?t???t??0

i?1?i?1?

nnn

n?ty??t?y?

1i?1i?1

?b?i?

2?t?(?t)2??所以?. i?1i?1

?nn?yt???a?i?1?bi?1?nn?

nnn

在直线回归方程ye?a?bx中，a,b均为回归系数.在求回归系数时，同样用

nnn

n?xy??x?y?

1i?1i?1

?b?i?

222?nnx?(x)?????Cauchy不等式证明n?x2???x??0得到?. i?1i?1

i?1?i?1??nn

?yx???a?i?1?bi?1?nn?

?n?2

事实上，如果，n?x???x??0，由柯西施瓦茨不等式我们得到

i?1?i?1?

总体回归直线就是一条平行于y轴的直线了，这时x与y之x1?x2?xn???,这时，

间没有线性关系，从统计学的角度讲总体中没有变异，就没有必要进行统计了.

例 6 （在判断极值存在中的应用）证明Q?a,b??

??a?bt?y?

i?1

存在极小值.

?Q?Q

证明因为?2?(a?bt?y)?1,?2?(a?bt?y)2?t

?a?bi?1i?1

求二阶偏导得

2nnn

?2Q?2Q2?Q?2?1?2n,2?2?t,?2?t 2?a?b?a?bi?1i?1i?1

222nnn????2Q??2Q?2Q?n????2?2

因为?????2?2??2?t??2n??2?t??4???t??n?t?

?bi?1?i?1??i?1???a?b??a????i?1??

由柯西施瓦茨不等式我们得到

?n?2

n?t???t??0 i?1?i?1?

n??n?2???2Q??2Q?2Q2

所以?????2?2?4???t??n?t??0

?bi?1??a?b??a????i?1??

?2Q2

又因为，所以存在极小值，可以证明也就是Qa,b?a?bt?y?21?2n?0???????a2i?1i?1

最小值.

由以上几个例子可以发现，柯西施瓦茨不等式不等式在概率论与数理统计中有着广泛的实际应用.

6 矩阵分析中的Cauchy-Schwarz不等式

定义1 设A?aij为n阶方阵，记A?,即同时取共轭又转置.若A?A,则称A是一个Hermite阵.当A为实矩阵时，Hermite阵就是实对称阵.

命题5 设x,y?C，则

(a) xy?xx?yy 等号成立当且仅当x与y线性相关.

证明当x与y至少一个为零向量时，结论显然不成立.不妨设x?0，定义

x?yz?y?x，则x?z?0.于是

xyx

0?z

?z?y?y?

x?y?y?

x?yx

此即xy?x?y

等号成立?z?0?y与x成比例.

（b）设A为n?nHermite阵且A?0,则

x?Ay?x?Ax?y?Ay

等号成立当且仅当x与y线性相关.

证明因为A?0，则由Hermite阵的性质，存在矩阵B,使得A?BB.命

u?Bx,v?By，对u和v应用(a),便得到(b).

(c)设A为n?n的Hermite阵且A?0,则 ‘ xy?xAx?yAy, 等号成立当且仅当x与A?1y线性相关.

证明因为A?0,所以A(c).

由上可知x,y?Cn为任意的一对列向量，我们要讨论的是当它们为正交向量时柯西施瓦茨不等式，是柯西施瓦茨不等式的另一种形式的推广.

推论6 C表示复数域，x?表示x的共轭转置向量，n?n 阶正定矩阵的全体记为C?n,??.设A?C?n,??，A的特征值为?1,?2,?,?n，且都大于零，那么对于任意一对正交向量x,y?Cn，有 xAy??1?

2??

存在,对u?Ax和v?A

?y应用(a),即得欲证的

???n???

?xAx?yAy 2?1?

证明不失一般性，令x?y?1，显然只需要证明当正交向量对x?y?1时，推论6成立.令

B??x,y?A?x,y?

那么，B是一个2?2Hermite阵，令其特征值为u1?u2，由Poincare定理，有

?1??1??2??n?0

所以B?C?n,??.同时

xAy

x?Ax?y?Ay

xAx?yAy?xAy

???

?xAx?yAy???xAx?yAy??TrB???xAx?yAy???????????

4detB

4?1?2

?2yAy?

?1?2?1?2?1?2

?????

yAy???????yAy?1??2?yAy12112

所以

x?Ax

xAx?yAy

?1?

?1?2

?1?

?1?1??21

?1?

?1??1

1???2?

又因为f?x??

?x?0?是单调递减的函数，所以 x

xAx

x?Ax?y?Ay

?1?

?1?n 22?1?n

这样定理得证.

例7 设A?C?n,??，A的特征值为?1,?2,?,?n，且都大于零，那么对于任意非零向量x?C，有

?xAx??xAx??2?

证明令y?x

?Ax???xAx?x，这样xy?0同时

Ay?x

x??x?A?1x?Ax

x?Ay?x??x?A?1x??x?Ax?

y?Ay???x?A?1x??y?Ax? （12）

由（12）式，我们可以得到yAx?xAy?0，将（11）式带入推论6，有 x?Ay??1?

???n????1?xAx?xAx??yAx? ??2?1?

因为xAy?yAx?0，所以

???

x?Ay???1?n?x?Ax?x?A?1x

?2?1?

将上式用于xAy?x?xAxxAx，我们得到

x即

?n??1

xAx??x?Ax? ?2?1

xAx??xAx?2?? ?

这样定理得证.

注5 由柯西施瓦茨不等式的形式（b）xAy?xAx?yAy，我们可得到

x?Ay

由推论6

xAx?yAy

xAy

x?Ax?y?Ay

?1?

?1 （13）

2?1

因此（13）式的结论较柯西施瓦茨不等式精确，所得结果更强.

结束语

本文从五个方面分别介绍了柯西施瓦茨不等式的五个等价形式，并进行了简洁的证明.并分别介绍了柯西施瓦茨不等式的简单应用，特别是在概率统计中的实际应用，而且在实数域和微积分中进行了一定的推广.由于知识所限，在对其他方面的柯西施瓦茨不等式没有进入深入的分析，也没有进行推广.

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003. [2]吴传生.数学分析（上册）习题精解[M].合肥:中国科技大学出版社，2004. [3]邓天炎，叶留青.概率统计[M].北京:中国矿业大学出版社，2004. [4] 王松佳,吴密霞,贾忠贞[M].北京:科学出版社,2005.

[5] 黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京: 科学出版社, 2007. [6]K.G.宾莫尔.数学分析基础浅导[M].北京：北京大学出版社，2006.

[7]孙永生,王昆扬.泛函分析讲义[M].北京：北京师范大学数学科学学院，2007.

[8] 罗俊丽,朱白. Cauchy-Schwarz不等式的几中推广形式[J].商洛学院学报,23:4(2009),28-29. [9]常广平，李林衫，刘大莲.利用Cauchy-Schwarz不等式估计回归系数[J].北京联合大学学报，22:4(2008),77-78.

Application and promotion of the Cauchy-Schwartz inequality Author:Zha Min Superviser: Cai Gaixiang Abstract This paper explores all kinds of forms and content and a variety of ways of

proof and applications of the Cauchy inequality in diffirent fields of mathematics,and makes some degrees of promotion of it. Through a series of examples,we can see that the Cauchy inequality makes the proof of related mathematical propositions more simple and even can reach onestop effect,especially in the field of probability and statistics.

Keywords Cauchy-Schwartz inequality Minkowski inequality Holder inequality

Hermite matrix

范文四：柯西施瓦茨不等式

分类号(宋体小三加黑) 论文选题类型 U D C 编号

(黑体小初)

(宋体小一加黑)

题目 ,宋体小二加黑)

学院 (宋体小三加黑)

专业

年级

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学号

指导教师

二? 年月(宋体三号加黑)

华中师范大学

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本人郑重声明:所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

学位论文作者签名: 日期: 年月日

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学位论文作者签名: 日期: 年月日

导师签名: 日期: 年月日

内容摘要............................................................ 1 关键词.............................................................. 1 Abstract............................................................ 1 Keywords............................................................ 1 1.Cauchy-Schwarz不等式的简介 ....................................... 2 2.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式 ................................... 2

2.1实数域中的Cauchy-Schwarz不等式.............................. 2

2.1.1定理 ................................................... 2

2.1.2 应用................................................... 3

2.1.2.1 用于证明不等式 ................................... 3

2.1.2.2 用于求最值 ....................................... 3

2.1.2.3 用于解方程组 ..................................... 4

2.1.2.4用于解三角形相关问题.............................. 4

2.2.n维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式........................ 5

2.2.1定理 ................................................... 5

2.2.2应用 ................................................... 6

2.2.2.1 用于证明不等式 ................................... 6

2.2.2.2用于求最值 ........................................... 6

2.2.2.3 用于证明三维空间中点到面的距离公式 ............... 7

2.3数学分析中的Cauchy-Schwarz不等式............................ 7

2.3.1定理 ................................................... 7

2.3.1.1定理(积分学中的柯西—施瓦茨不等式).............. 7

2.3.1.2 定理(数项级数的柯西—施瓦茨不等式) ............. 9

2.3.2 应用.................................................. 10

2.3.2.1 用于证明不等式 .................................. 10

2.4概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式........................... 10

2.4.1 定理.................................................. 10

2.4.2 应用.................................................. 11

2.4.2.1 用于研究两个随机变量的相关系数 .................. 11

2.4.2.2用于求方程的系数................................. 12

2.4.2.3 用于判断极值是否存在 ............................ 13 3(Cauchy-Schwarz不等式四种形式的内在联系 ......................... 13

3.1证明方法的相似性............................................ 13

3.2内在之间的互推性............................................ 14

3.3 四种形式的本质.................................... .........15 参考文献........................................................... 16

内容摘要:本文介绍了柯西施瓦茨不等式在实数域、维欧式空间、数学分n

析、概率空间四个不同分支的表现形式，并简单说明了其在各个领域内的应用，

主要包括证明不等式、求最值，解三角形的相关问题，解方程组，研究概率论中

的相关系数、判断极值的存在性。此外，本文还给出了柯西施瓦茨不等式的四种

不同形式的内在联系。

关键词:柯西施瓦茨不等式应用内在联系

Abstract: In this paper, the four different forms of

Cauchy-Schwarz-inequality are firstly introduced. The four different forms include real number field, dimensional Euclidean space, n

mathematical analysis, probability space. Then its applications are

showed, which include proving the inequality, finding a solution to the maximum value and minimum value of a function or equations, solving triangle, studying the correlation coefficient on the probability theory, determining the existence of extreme value. In addition, this paper also gives the internal relations of the four different forms of Cauchy-Schwarz-inequality.

Keywords: Cauchy-Schwarz-inequality application

internal-relations

1.Cauchy-Schwarz不等式的简介

柯西施瓦茨不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西施瓦茨不等式是一条很多场合都用得上的不等式，例如证明不等式、求函数最值、线性代数的矢量，研究三角形的相关问题，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差，求方程系数，判断极值的存在性。

2.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式

2.1实数域中的Cauchy-Schwarz不等式

2.1.1定理

nnn222abab ,(). 设则当且仅当abRi,(1,2,,,…，n)，,,,iiiiii,,,111iii

bbbn12,,…=时，不等式等号成立. aaa12n

证明:通过构造关于的二次函数来证明 x

nnnn2222fxaxbaxabxb()()()+2().,，,，设 ,,,,iiiiii,,,,1111iiii

n2a,0,若即时，显然不等式成立. aaa,,,…=0,i12ni1,

nn22222a,0a,0,若时，则有且fxaxbaxbaxb()()()()0,,，,，，,,…,,iinn1122i1i1,,

nnn222,,,,[2()]4()()0.abab 由于成立，所以且当且仅当fx()0,,,,iiii,,,111iii

bbbn12,,…=时，不等式等号成立. aaa12n

nnn222abab ,().故 ,,,iiii,,,111iii

2.1.2 应用

在中学数学和竞赛数学中常常巧妙地应用柯西—施瓦茨不等式(即Cauchy-Schwarz不等式)将许多繁琐复杂的问题简单化，比如常常用于求证不等式、最值、解方程组和解三角形的相关问题，而运用柯西施瓦茨不等式的关键在于根据问题的要求并按照其形式，巧妙地构造两组数。

2.1.2.1 用于证明不等式

1112aaan，，，，，，,……例1(已知都是正数，求证: aaa,,…，()().n1212naaan12证明:根据柯西—施瓦茨不等式的形式构造两个数组:

aaa,,,,… 12n

111 …,,,,

aaa12n

nnn11222利用柯西施瓦茨不等式有 aa,,()[()][()],,,,iiaa,,,111iiiii

nnn12即 ,a(1)()().,,,ia,,,111iiii

1112aaan，，，，，，,……所以 ()().n12aaan12

2.1.2.2 用于求最值

222例2.已知求的最小值. xyz，，321,xyz,，,

1222222解:根据柯西—施瓦茨不等式的形式构造两个数组:xyz,(3),和2,(),1,

12222222则有 [(3)][2()1](2)1,xyzxyz，，，,，,,，,

163222222即 (3)13xyzxyz，，,,，，,316

3222所以的最小值. xyz，，316

2.1.2.3 用于解方程组

29,,，,,346xyz,,2例3. 在实数范围内解方程组 ,29222,xyz，，,23,,4解:由柯西施瓦茨不等式知

46,222222222 (23)(9812)[(2)(3)][(3)()()]xyzxyz，，，，,，，,，，

2922 ,(346)(),，,,xyz2

2229(346)(29/2)29,，,xyz222所以当且仅当,，，,,,xyz23.49812294，，

29xyz23时等号成立，并将其与联立解方程组可得:,，,,346xyz,,2,32223,

3,x,,2,y,,1 ,

,z,1,

2.1.2.4用于解三角形相关问题

例4. 设分别为三角形三边，其对应的高分别为为三角形外切圆hhhr,,,abc,,abc

9r,半径，且满足hhh，，，试确定三角形的形状. abc

S解:设三角形的面积为，则 2,2(),SahbhchSrabc,,,,，，abc

1111119r, 故 hhh，，,，，,，，，，,2()()()9Srabcrabcabcabc

abc,,等号当且仅当时成立，因此，此三角形为等边三角形。

2.2.n维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式

[1] 2.2.1定理

2,,,,,,,,,,,在维欧氏空间中，对任意向量有其中等号当且仅n,,,

当线性相关时成立。 ,,,

证明:证法1 通过构造关于的二次函数来证明 x

fxxx(),,，，,,,,设

由实向量的内积的双线性，对称性和正定性可知

2fxxxxx(),,2,,0.,，，,，，,,,,,,,,,,, ,,0,,,0,当时，，不等式成立。

2,,0当时，由于成立，则等号当且仅,,，，,,2,4,,0,,,,,,,fx()0,，，

2,,,,,,,,,.,当时成立，即不等式得证。 ,,,k

证法2 通过利用实向量空间的内积的基本性质来证明

,,,,,,,,0,,0,,0如果故结论成立。

,,,,,0.,,,0.,若由内积的正定性知令仍由内积的正定性知，,,,,,,,,,,,,0,,且等号只在时成立。把,的表达式代入，利用内积的双线性计算,,0

,,,,,,,,,得0, ,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,，,,,,,,,,,,,,

,,,,,, ,,,.,,,,,

,,,0.,,,,,,,,,由于且由内积的对称性知故

,,,,,,2，其等号只在时成立，即,,,,,,0,0,,,,,,,,,,,,,,

,,,时成立，不等式获证。 ,,,,,,

注:如果把此不等式中的内积用坐标表达出来，就是下述不等式:

2222222它也被称为柯西—布()()(),abababaaabbb，，，,，，，，，，………nnnn11221212

尼亚可夫斯基不等式。

2.2.2应用

2.2.2.1 用于证明不等式

222aaaaaa，，，，，，……1212nn例5. 证明: ,nn

证明:取由柯西施瓦茨不等式得 ,,,，，，,(),(1,1,,1)aaa……12n

2222222 ()|(,)|||||=(1+1++1)(+++)aaaaaa，，，,,………,,,,nn1212

222aaaaaa，，，，，，……1212nn整理得: ,nn

2.2.2.2用于求最值

222例6. 已知的最小值。 xyzfxyzxyz，，,,，，1,(,,)23求

11解:构造向量,,,,(,,1),(2,3,)xyz

1111222,,,，，,,，，||1,||23xyz可得: 236

11,,,，，，，，,，，, (,)(2)(3)11xyzxyz

由柯西施瓦茨不等式得:

11222 1(1)(23),，，，，，xyz23

11222则 fxyzxyz(,,)23,，，,6

11222即的最小值为. fxyzxyz(,,)23,，，6

2.2.2.3 用于证明三维空间中点到面的距离公式

,:0,AxByCzD，，，,例7. 已知为三维空间中的一点，平面求点Pxyz(,,)000

P到平面的距离,.

解:设为平面上的任意一点，则 ,Mxyz(,,)

222 ||()()(),PMxxyyzz,,，,，,000

又因为由柯西施瓦茨不等式有

2222222 [()()()]()[()()()]xxyyzzABCAxxByyCzz,，,，,，，,,，,，,000000

2 ,，，,，，[()()]AxByCzAxByCz000

2 ,,,，，[()]DAxByCz000

2 ,，，，()AxByCzD000

||AxByCzD，，，222000所以等号当且仅当||()()(),PMxxyyzz,,，,，,,000222ABC，，xxyyzz,,,000PM,,即时成立。 ,,,ABC

||AxByCzD，，，000dPM,,||又由距离的定义可知点为。 P到平面的距离,min222ABC，，

2.3数学分析中的Cauchy-Schwarz不等式

2.3.1定理

[2]2.3.1.1定理(积分学中的柯西—施瓦茨不等式)

2bbb22，，ab, 设在上可积，则fxgxdxfxdxgxdx()()()(),,. fxgx(),(),,,,,,,aaa，，

证法1 通过建立辅助函数来证明

2xxx22，，作函数Fxftgtdtftdtgtdt()()()()(),,,，由定积分的性质得 ,,,,,aaa，，

xxx'2222Fxftgtdtfxgxfxgtdtgxftdt()2()()()()()()()(),,,,, ,,,aaa

xxx2222 =2()()()()()()()()fxgxftgtdtfxgtdtftgxdt,, ,,,aaa

2x,,,fxgtftgxdt()()()()0 = ,,,a

ab,故在上单调递减，即 Fx()FbFaab()(),(),,,,

2bbb22，，而故，即不等式成立。 ftgtdtftdtgtdt()()()()0,,,Fa()0,,Fb()0,,,,,,aaa，，

b注:此证法的关键在于将变成而构建辅助函数，进而将问题转化成利用函数x

单调性来证明不等式。此外也可以类似定理1.1和定理2.1构建一元二次函数来

求证。

证法 2 通过构造积分不等式来证明

22ab, 因为在上可积，所以都可积，且对任fxgxfxgx(),(),()(),fxgx(),(),,

b222[()()]0tfxgxdx,,何实数也可积，又故，即ttfxgx,[()()],[()()]0,tfxgx,,,abbbb2222[()()]()2()()()0tfxgxdxtfxdxtfxgxdxgxdx,,,，, ,,,,aaaa

由此推得关于t的二次三项式的判别式非正，即

bbb222[()()]()()0fxgxdxfxdxgxdx,,, ,,,aaa

bbb222[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,故. ,,,aaa

b2[()()]0tfxgxdx,,注:此法的关键在于构造积分不等式，展开求关于t的判别,a

式，这就将问题转化成了关于t的二次三项式有无根的问题。证法 3 通过利用定积分的定义来证明

22ab,ab,因为在上可积，所以都可积，对区间进fxgxfxgx(),(),()()fxgx(),(),,,,

ba,行等分，分为由定积分的定义得 n,0,1,2,.xaiin,，,…,in

nbba,()()lim()()fxgxdxfxgx, ,ii,a,,nn1,i

nbba,22()lim()fxdxfx, ,i,a,,nn,1i

nbba,22 ()lim() gxdxgx,,i,a,,nn,1i

nnnbababa,,,222因为[()()]()()， fxgxfxgx,,,,,iiiinnn,,,111iii

nnnbababa,,,222故[lim()()][lim()][lim()] fxgxfxgx,,,,iiii,,,,,,nnnnnn,,,111iii

2bbb22，，即. fxgxdxfxdxgxdx()()()(),,,,,,,aaa，，

注:此证法的关键在于应用“分割，近似求和，取极限”的思想方法.

[3] 证法4 通过利用二重积分的知识来证明

bb2Fxydxfxgyfygxdy(,)[()()()()],,令 ,,aa

bb2222dxfxgyfxgxfygyfygxdy[()()2()()()()()()],， = ,,aa

bbbbbb2222,,，[()()]2()()()()[()()]fxgydydxfxgxdxfygydyfygxdydx,,,,,,aaaaaa

bbbbb22222fxdxgydyfxgxdxfydygxdx()()2[()()]()(),,，, = ,,,,,aaaaa

bbb2222{()()[()()]}fxdxgxdxfxgxdx,, = ,,,aaa

bb2Fxydxfxgyfygxdy(,)[()()()()]0,,,,当且仅当时，故xy,,,aa

bbb222fxdxgxdxfxgxdx()()[()()],, ,,,aaa

bb2xy,Fxydxfxgyfygxdy(,)[()()()()]0,,,,当时，故,,aa

bbb222fxdxgxdxfxgxdx()()[()()],, ,,,aaa

bbb222[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,综上则有. ,,,aaa

注:本证法将问题转化成二重积分问题，并利用了轮换对称性，重积分对称性在

积分中的应用时高等数学学习中的一个重点、难点，值得注意。

2.3.1.2 定理(数项级数的柯西—施瓦茨不等式)

22222abab和()abab,, 若级数收敛，则级数收敛，且. ,,,,,,nnnnnnnn

1222222ab和()ab，证明:由于收敛，则有收敛，而，故abab,，||(),,,nnnnnnnn2

ab绝对收敛. ,nn

nnn222由定理1.1中的abab ,().可知当令取极限时，n,,,,,iiii,,,111iii

2abab ,().即为所要证明的不等式. ,,,nnnn

2.3.2 应用

2.3.2.1 用于证明不等式

ab, 例8. 若都在在上可积，则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式: fxgx(),(),,

111bbb222222 [(()())][()][()]fxgxdxfxdxgxdx，,，,,,aaa

证明:由柯西施瓦茨不等式得

bbbb222 (()())()2()()()fxgxdxfxdxfxgxdxgxdx，,，， ,,,,aaaa

1bbbb22222 ,，,，fxdxfxdxgxdxgxdx()2[()()](),,,,aaaa

11bb22222 ,，[(())(())]fxdxgxdx,,aa

111bbb222222 故 [(()())][()][()]fxgxdxfxdxgxdx，,，,,,aaa

2.4概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式

[4] 2.4.1 定理

22 设为任意随机变量，若存在，则也存在， EE(),(),,,,，E(),,

222且，等号成立当且仅当存在常数t，使得 Pt{}1,,,,[()]()()EEE,,,,,,00证明:构造二次函数

2222 定义任意实数t的二次函数为 utEtEtEtE()()()2()(),,,,，,,,,,,

2因为对一切t，必然有，从而有于是方程要么无实根， ()0t,,,,ut()0,,ut()0,

222要么有一个实根，即重根，则判别式非正，从而， [()]()()0EEE,,,,,,,

222即. [()]()()EEE,,,,,,

2当等号成立，方程有一个重根，使， tEt()0,,,,ut()0,00

222 从而DtEtEtEt()()(())()0,,,,,,,,,,,,,,,,0000

即且，于是 Dt()0,,,,,Et()0,,,,PtPYtX{0}1,{}1,,,,,,,且0000反之，若存在常数，使得成立，即 tPt{}1,,,,Pt{0}1,,,,,,000

222从而 PtPt{0}1,{()0}1,,,,,,,,,,,00

2222于是 EtEt{}0,{}0,,,,,,,,,00

2222即 EtEEtE()(),()(),,,,,,,且00

222222222故 [()][()]()()()()EtEtEEEE,,,,,,,,,,00

222即在式中等号成立。 [()]()()EEE,,,,,,

2.4.2 应用

2.4.2.1 用于研究两个随机变量的相关系数

EE,,,,,,P{}1,, 例9. 对于相关系数成立，并且当且仅当; ,,1,,,||1,DD,,

,,,,,,EEP{}1,,,而当且仅当 ,,,1DD,,

,,,,,,EE证明:对随机变量应用柯西施瓦茨不等式有与

DD,,

22[][][][],,,,,,,,,,,,EEEE2 |{}|{}{}EEE,

DDDD,,,,

2t即，故等号成立当且仅当存在使得 ,,1||1,,,0

EE,,,,,,2Pt{}1,, (其中t是方程时的解) tt,，,,210||1,,当00DD,,

EE,,,,,,P{}1,,显然，时，即 t,1,,,10DD,,

,,,,,,EEP{}1,,,时，即 t,,1,,,,10DD,,

注:以上表明，当时，存在完全线性关系，这时如果给定一个随机 ,,与,,,1

变量的值，另一个随机变量的值便完全决定. 2.4.2.2用于求方程的系数

是由实验或观察得到的，建立直线趋势方例10.当函数yftin,,(),(1,2,,),…ii

程的模型时，要求实际观察值与趋势值离差的平方和必须为最小。 yabt,，yyiee

nnn222Qababty(,)(),,，,Qababtyabty(,)()(),，,,，,解:设这里 ,,,ii,,,111iii

n,Q2()10,令,，,,,abty ,,a,1i

n,Q22()0,，,,,abtyt ,,b,1i

nn,ynabt,，,,,nnnnn，，,ii,,1122整理得消去 anttbntyty,(),,,,,,,,,,,nnn,,,,,211111iiiii，，,tyatbt,，,,,,iii,,,111,

nnnnnn222222ntt,,()0,nttt,,,,1(1)由柯西施瓦茨不等式得，故,,,,,,,,,,,,11ii1111iiii

111,,,…等号成立当且仅当. ttt12n

nn22ntt,,()0t又由于为时间变量，故ttt,,,…，所以 ,,12nii11,,

nnn,ntyty,,,,,iii,,,111,b,nn22,ntt,(),,,故 ,ii,,11

,nn

,ybt,,,,ii,,11a,,n,

2.4.2.3 用于判断极值是否存在

n2证明Qababty(,)(),,，,存在极小值。例11. ,,1i

n,Q 证明:因为2()1,，,,abty ,,a,1i

n,Q22() ,，,,abtyt,,b,1i

222nnn,,,QQQ2212,2,2,,,,ntt求二阶偏导得 ,,,22,,,,abab,,,iii111

222nnnn,,,QQQ，，22222因为 ()(2)2(2)4(),,,，,,，,,tnttnt,,,,22,,,,,,abab,,,,iiii1111，，

nn22ntt,,()0由柯西施瓦茨不等式得 ,,ii11,,

222nn,,,QQQ，，222所以 ()4()0,,,，,,,tnt,,22,,,,,,abab,,ii11，，

2nn,Q2Qababty(,)(),，,又故存在极小值。 2120,,,,n,,2,a,1i,i1

从以上两个例子可以看出柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起了补

[5]充说明的作用，增强了预测模型的准确性、科学性、严密性。

3(Cauchy-Schwarz不等式四种形式的内在联系

3.1证明方法的相似性

以上我们介绍了柯西施瓦茨不等式在实数域、维欧式空间、数学分析、概n

率空间四个不同分支的表现形式，并简单说明了其在各个领域内的应用，尽管这四种表现形式涉及到不同的数学对象，证明方法各自也呈现出多样化，但是我们发现，这四种种形式在证明方法上都可以通过构造二次函数或者二次不等式(本质都是通过判别式对根的情况进行判断)来进行统一的证明。如: 在实数域中

nnnn2222fxaxbaxabxb()()()2()0,，,,，,令 ,,,,iiiiii,,,,1111iiii

在维欧式空间中 n

2fxxxxx(),,2,,0.,，，,，，,,,,,,,,,,,令

在微积分中

bbbb2222令Fttfxgxdxtfxdxtfxgxdxgxdx()[()()]()2()()()0,,,,，, ,,,,aaaa

在概率空间中

2222令 utEtEtEtE()()()2()()0,,,,，,,,,,,,

,,0从以上各式可看出都是通过构造二次函数或二次不等式，利用判别式进行

求证。

[6] 3.2内在之间的互推性

连续性从“分析”的角度:定理2.1.1定理2.3.1.1 离散性从“代数”的角度:本质上是一致的，如:

nR1)若在向量空间中取， ,,,,(,,,),(,,,)aaabbb……1212nn

,,,,ab定义内积，则定理2.2.1,定理2.1.1 ,ii,1i

2)若在空间取， Cab[,],,,,fxgx(),()

b,,,()(),fxgxdx定义内积，则定理2.2.1,定理2.3.1.1 ,a

从“测度论”的角度:

1)若选取离散型随机变量

aaabbb……,,,,1212nn,,,, ,,,~,()~,f111111,,,,……,,,,nnnnnn,,,,

nnn1112222EaEbEab,,,,,,,,,, 则，故定理2.4.1定理2.1.1 ,,,iiiinnn,,,111iii

,~[,],(),()[,],UabfxgxCab,2)若选取连续性随机变量则

bbb1112222EffxdxEggxdxEfgfxgxdx,,,,,,,()(),()(),()()()(),,,,aaabababa,,,

故定理2.4.1,定理2.3.1.1

3.3 四种形式的本质是内积在不同的(赋范)空间的表现形式

当定义内积，，其中,,,,,，，，,,abababaaabbb...(,,...,),(,,...,)11221212nnnn

则

22222222,,,,,,,,,(...)(...)(...),,,，，，,，，，，，，abababaaabbbnnnn11221212

即为柯西施瓦茨不等式在实数域和维欧式空间的表现形式。 n

当定义内积，,,,,,，，,,ababaabb...(,...,,...),(,...,,...)+...，其中 1111nnnn

则

222222,,,,,,,,,(......)(...)(...),,,，，，,，，，，，，ababaabb……nnnn1111

即为柯西施瓦茨不等式在数学分析数项级数上的表现形式。

b,,,,,,,dx 当定义内积其中是关于在上的连续函数，则取x,,,[,]ab,a

2,,,,,,,,,,,fxgx(),(),,,时，由得

bbb222 [()()]()(),fxgxdxfxdxgxdx,,,,,aaa

即为柯西施瓦茨不等式在数学分析积分学中的表现形式。

,,,,,,,,,,,,(),E 当定义内积，若为随机变量，取，则由,,,

2222,,,,,,,,,,得，即为柯西施瓦茨不等式在概率[()]()()EEE,,,,,,

空间的表现形式。

因此，柯西施瓦茨不等式的四种形式是内积在不同的(赋范)空间的表现形式。

参考文献:

[1]樊恽，刘宏伟,线性代数与解析几何教程(下册)[M]. 北京:科学出版社，2009.

[2]华东师范大学数学系编，数学分析(上册，第三版)[M]，北京:高等出版社，2001(2009重印)

[3]付英贵，关于柯西施瓦茨不等式证明[J].西南科技大学《高教研究》， 2009,93(4):8-9

[4]李贤平，概率论基础(第三版)[M].北京:高等出版社，2010.

[5] 常广平，李林衫，刘大莲.利用Cauchy-Schwarz不等式估计回归系数[J] 北京联合大学学报，22:4(2008),77-78.

[6]张千祥.柯西不等式的教学价值[J].大学数学，2004(2):116-118.

范文五：施瓦茨不等式的证明

施瓦茨不等式的证明

同济大学线性代数教材第五章相似矩阵及二次型第111页

(?akbk)?(?a)(?bk2)

k?1

nnn

(8)

证明：二元一次方程中，对于实数未知数x，实数系数ak和bk。有如下表达式成立

?(ax?b)

k?1

?2x?akbk??bk2

k?1

(9)

若对于以上方程中的系列系数，存在(10)式成立，则令x=m，可知以上方程等于0，否则，以上方程(9)均大于0(或者说等于0无解).

m??

bb1b

??2????na1a2an

(10) bk??mak

(11)

若不存在(10)式关系，即为(11)式不成立，则(12)式无解。则存在(13)式关系。

?(ax?b)

k?1

k?1n

?2x?akbk??bk2?0

k?1

(12)

??(2?akbk)?4?a

k?1

?4[(?akbk)??a

k?1

?b]?0

2kk?1

(13)

当(10)式成立的时候，可知

(?akbk)??a

k?1

22k

2kn

k?1

2kn

?(?m?akak)?m

k?12k

?a?a

2kk?1

k?1

?m[(?a)??a

k?1n

k?1

k?1nk?12k

]

?m[(?a)(?a)??a

k?1

k?12k

](14)

?m[?a

2k?1

?a??a?a

2kk?1

k?1

nnn

]

总之，有(15)式成立。

(?akbk)??a

k?1

?0(13)

得证！

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