SnoW26908599
范文一：三项完全平方公式：
整式乘除拔高题
三项完全平方公式:
2222 abcabcabacbc，，,，，，，，222，，
2222 abcabcabacbc,,,，，,,，222，，
222222,，，，，，222222abcabbcca ()()()abbcca，，，，，
2233立方和公式: ()()abaabbab，,，,，
2233立方差公式: ()()abaabbab,，，,,
33223和的完全立方公式: ()33abaababb，,，，，
33223差的完全立方公式 ()33abaababb,,,，,
【例1】
xy432,?若，则的值为_____。 2530xy，,,
mn23mn，103102,,， 10?若，则的值为_____。
60062001?计算的结果为 _____。 ,，20.125，，
nmn，，16naaa,,mmn,,21?若，且，求的值为_____。
【例2】
249xmx，，若是一个完全平方式，则m的值为_____。
【例3】
2200019991998xx，,,10xxx，,?已知，则的值为_____。
211,,23x,xx,，,510?已知， 那么, _______;,_______。 x，,,3xx,,
232?已知x，x,1,0，求x，2x，3的值。
1
【例4】
24821212121，，，，?计算,_______。 ，，，，，，，，
248322121212121，，，，,,,，? 的个位数字是_______。 ，，，，，，，，，，
【例5】
554433a,2b,3c,4如果，，，那么( )
A(a,b,c B(b,c,a C(c,a,b D(c,b,a
【例6】
222abab，，,，,2450243ab，,已知，求的值。
在线测试题
温馨提示:请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节～
241(计算a?a的结果是( )
8 6 4 2A(aB(aC(aD(a 2(下列运算正确的是( )
336 23A(x，x,xB(2x?3x,6x
33 2C((2x),6xD((2x，x)?x,2x 3141613(已知a,81，b,27，c,9，则a，b，c的大小关系是( )
A(a,b,c B(a,c,b C(a,b,c D(b,c,a 4(下列计算正确的是( )
23222326236A(3x，2x,5x B((a,b),a,b C((-x),x D(3x?4x,12x
5(20.2)abab，,，5(计算:的正确结果为( )
222105ababab,，105ababab,，A( B(
22210ab,5ab，ab1052ababab,，C( D(
4326(计算:的正确结果为( ) (68)(2)xxx,,,
22234xx，,，34xx34xx,,,34xA( B( C( D(
2
范文二：三数和的平方公式
三数和的完全平方公式
【三个数和的平方公式】(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca 证明： (a +b +c ) 2=[(a +b ) +c ]2=(a +b ) 2+2(a +b ) c +c 2
222222=a +2ab +b +2ac +2bc +c a +b +c +2ab +2bc +2ca ∴等式成立
22222语言描述：三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。 【四个数和的平方公式】（a+b+c+d）=a+b+c+d+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
22证明：（a+b+c+d）=[（a+b）+（c+d）]
=(a+b)+2（a+b）（c+d）+（c+d）
= a2+2ab+b2+2（ac+ad+bc+bd）+ c2+2cd+d2
= a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
语言描述：四数和的平方，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。
推广：几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。
注：①三数和、四数和的平方要求学生会推导，考试时大题应书写完整推导过程。 ②如何计算“差”类问题：
【例1】计算：(x -
22 22 2x +1
3132) 2解：原式=[x +(-2x ) +]
121122222=(x ) +(-2x ) +() +2x (-2) x +2x ?+2??(-2x ) 333
=x -22x +438
3x -222
3x +1
9
说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
练习：计算
（1）(a -b +c )
（2）(a +b -c )
（3）(x +
（4）(x -1x 2
x -2) +2)
22222（5）(2x +2y -3z )
范文三：完全平方公式和平方差公式的应用
完全平方公式和平方差公式的应用
公式:
语言叙述:两数的 。 公式结构特点:
左边: 右边: 熟悉公式:公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a， 是公式中的b
(5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a， 是公式中的b
(x-2y)(x+2y)
填空:
21、(2x-1)( )=4x-1
222、(-4x+ )( -4x)=16x-49y
第一种情况:直接运用公式
1.(a+3)(a-3) 2..( 2a+3b)(2a-3b)
3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2)
第二种情况:运用公式使计算简便
1、 1998×2002 2、498×502
3、999×1001 4、1.01×0.99
125、30.8×29.2 6、(100-)×(99-) 33
187、(20-)×(19-) 99
第三种情况:两次运用平方差公式
221、(a+b)(a-b)(a+b)
111222、(a+2)(a-2)(a+4) 3、(x- )(x+ )(x+ ) 242
第四种情况:需要先变形再用平方差公式
1、(-2x-y)(2x-y) 2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)
5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)
第五种情况:每个多项式含三项
1
1.(a+2b+c)(a+2b-c) 2.(a+b-3)(a-b+3)
3.x-y+z)(x+y-z) 4.(m-n+p)(m-n-p)
完全平方公式
公式:
语言叙述:两数的 . 。 公式结构特点:
左边: 右边: 熟悉公式:公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
公式变形
22221、a+b=(a+b) =(a-b)
22222、(a-b)=(a+b) ; (a+b)=(a-b)
2 23、(a+b)+(a-b)=
2 --24、(a+b)(a-b)=
一、计算下列各题:
12222(x，y)(3x,2y)(,2t,1)1、 2、 3、 4、 (a，b)2
123122225、 6、 7、 8、(0.02x+0.1y) (,3ab，c)(x，y)(x,1)3322
二、利用完全平方公式计算:
22 (1)102 (2)197
三、计算:
22222(x，3),xy,(x，y)xyxyxy,,，,()(1) (2)(3) ，，，，
四、计算:
22(xy，1),(xy,1)(1)(a，3)(a,3),(a,1)(a，4) (2)
2(2a，3),3(2a,1)(a，4)(3)
五、计算:
(a，b，3)(a，b,3)(x,y，2)(x，y,2)(1) (2)
2
(3)(4) (a,b,3)(a,b，3)xyzxyz，,，，2323，，，，
六、拓展延伸 巩固提高
22x，4x，k,(x，2)1、若 ，求k 值。
2是完全平方式，求k 值。 2、 若x，2x，k
112a，3、已知，求的值 a，,32aa
巧用平方差公式解题
22(a，b)(a,b),a,b平方差公式 用语言可叙述为:两数之和与两数之差的积等于这两数的平方
差。在解题过程中，若能灵活运用平方差公式，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举
例解析如下参考:
11022例1、计算: (50),(49)1111
10149解析:若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将看作，将看作，逆用平方差公式，50ab1111则问题化繁为简，事半功倍
110110220011022(50，49)(50,49),100，,= (50),(49)1111111111111111
2例2、计算: 100,99.9，100.1
解析:先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将变形为(100,0.1)(100，0.1)，再99.9，100.1
运用平方差公式，则问题迅速获解
22222100,(100,0.1)(100，0.1),100,(100,0.1),0.01= 100,99.9，100.1
22006例3、计算: 222005，2007,2
2222(2005,1)，(2007,1)解析:直接计算，数值较大，可先将分母变形为，2005，2007,2
再逆用平方差公式，则问题迅捷可解
2220062006原式= ,22(2005，1)(2005,1)，(2007，1)(2007,1)(2005,1)，(2007,1)
3
2222006200620061 ,,,2006，2004，2006，20082006，(2004，2008)2，2006，20062
1111例4、计算: (1,)(1,)(1,)？(1,)222223410
解析:这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏 而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解
11111111原式= (1,)(1，)(1,)(1，)(1,)(1，)？(1,)(1，)2233441010
13243591111111=，，，，，，？，，,，, 223344101021020
2481632642(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)，1例5、试确定的未位数 解析:这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2变形为(3-1)再连续运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。
248163264(3,1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)，1原式=
2248163264(3,1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)，1=
4481632646464(3,1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)，1？,(3,1)(3，1)，1==
128128432323,1，1,3,(3),81= 因为未位数是1的任何次幂的未位数还是1
2481632642(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)(3，1)，1所以未位数是1
222计算:(1)、 (2)、 (3)、 6002,5002，700210.1,9.99.9，10.1
248163264(2，1)(2，1)(2，1)(2，1)(2，1)(2，1)(2，1)，1(4)、试确定的未位数 完全平方公式的变形和应用
一、 完全平方公式常见的变式
22(a，b),(a,b)，4ab(1)
222a，b,(a,b),2ab(2)
2222(a，b)，(a,b),2(a，b)(3)
2222ab,(a，b),(a，b)(4)
4
1122(5) a，,(a，),22aa
二、完全平方公式变形的应用
22008a，b,8,ab,16，c(a,b，c)例1 已知，求的值。 解:由变式(1)得:
22222(a,b),(a，b),4ab,8,4(16，c),,4c
22(a,b)，4c,0 所以所以 a,b,0,c,0
2008(a,b，c),0 所以
2222(x，y),7,(x,y),3,求x，y例2 已知的值。
解:由变式(3)得:
22(x，y)，(x,y)7，322x，y,,,5 22
2244x，y,1,x，y,2,x，y例3 已知求的值。
解:由变式(4)得:
22222xy,(x，y),(x，y) ,1,2
1,,1 所以 xy,,2
再由变式(2)得:
4422222x，y,(x，y),2xy
71122 ,4, , ,2,2，(,)222
124例4 已知，求的值。 x，3x，1,0x，4x
解:由题意知 x,0
12 在的两边都乘以得: x，3x，1,0x
1 x，,,3x
由变式(5)得:
11222 x，,(x，),2,(,3),2,72xx
114222 x，,(x，),2,7,2,4742xx
5
22xxyy，,，,312120yxy,例1 若为有理数，且满足，求的值(
xyxy,分析:欲求的值，须求出的值(由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的(
22xyy，,，,312120解:，
22xyy，,，,3(44)0，
22xy，,,3(2)0，
2222xy??0,(2)0,xy,,,0,(2)0?，?，即， xy,,0,2
x0y?=2=1(
222例2 已知，求的值( abbc,,,,,2,5abcabbcac，，,,,
分析:显然，本题若按一般方法，即先求出的值，再代入多项式求值，将十分困难(而我们abc,,
发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式(因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解(
解:? abbc,,,,,2,5，?， ac,,3
1222222?= abcabbcac，，,,,(222222)abcabbcac，，,,,2
1222，，= abbcac,，,，,，，，，，，，，2
1222，，==19( ,，，253，，，，2
22xyxy，，,，4614xy,例3 试说明不论为何值时,代数式的值总是正数.
22xyxy，，,，46140>分析:本题实质就是证明.观察代数式不难发现，将14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的(
22xyxy，，,，4614解:
22xxyy，，，,，，44691=
2222(2)(3)1xy，，,，(2)x，(3)y,=??0,?0,
2222(2)(3)1xy，，,，xyxy，，,，4614?>0.即代数式的值总是正数.
平方差公式专项练习题
A卷:基础题
6
一、选择题
221(平方差公式(a+b)(a,b)=a,b中字母a，b表示( )
A(只能是数 B(只能是单项式 C(只能是多项式 D(以上都可以 2(下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( )
A((a+b)(b+a) B((,a+b)(a,b)
1122 C((a+b)(b,a) D((a,b)(b+a) 33
3(下列计算中，错误的有( )
22222?(3a+4)(3a,4)=9a,4;?(2a,b)(2a+b)=4a,b;
222?(3,x)(x+3)=x,9;?(,x+y)?(x+y)=,(x,y)(x+y)=,x,y(
A(1个 B(2个 C(3个 D(4个
224(若x,y=30，且x,y=,5，则x+y的值是( )
A(5 B(6 C(,6 D(,5
二、填空题
5((,2x+y)(,2x,y)=______(
22446((,3x+2y)(______)=9x,4y(
227((a+b,1)(a,b+1)=(_____),(_____)(
8(两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差
是_____(
三、计算题
219(利用平方差公式计算:20×21( 33
2410(计算:(a+2)(a+4)(a+16)(a,2)(
B卷:提高题 一、七彩题
1((多题,思路题)计算:
242n (1)(2+1)(2+1)(2+1)…(2+1)+1(n是正整数);
40163242008(2)(3+1)(3+1)(3+1)…(3+1),( 2
22((一题多变题)利用平方差公式计算:2009×2007,2008(
2007 (1)一变:利用平方差公式计算:( 2200720082006,，
22007 (2)二变:利用平方差公式计算:( 200820061，，
二、知识交叉题
23((科内交叉题)解方程:x(x+2)+(2x+1)(2x,1)=5(x+3)(
7
三、实际应用题
4(广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，
则改造后的长方形草坪的面积是多少,
四、经典中考题
5(下列运算正确的是( )
336358 A(a+a=3a B((,a)?(,a)=,a
11126322 C((,2ab)?4a=,24ab D((,a,4b)(a,4b)=16b,a 933
6(计算:(a+1)(a,1)=______(
C卷:课标新型题
2231((规律探究题)已知x?1，计算(1+x)(1,x)=1,x，(1,x)(1+x+x)=1,x，
234(1,x)(?1+x+x+x)=1,x(
2n (1)观察以上各式并猜想:(1,x)(1+x+x+…+x)=______((n为正整数)
(2)根据你的猜想计算:
2345 ?(1,2)(1+2+2+2+2+2)=______(
23n ?2+2+2+…+2=______(n为正整数)(
9998972 ?(x,1)(x+x+x+…+x+x+1)=_______(
(3)通过以上规律请你进行下面的探索:
?(a,b)(a+b)=_______(
22 ?(a,b)(a+ab+b)=______(
3223?(a,b)(a+ab+ab+b)=______(
2((结论开放题)请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4(
3.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，?将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同
的等腰梯形，如图1,7,1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1,7,2所示，分别计算这两个图形
阴影部分的面积，结果验证了什么公式,请将结果与同伴交流一下(
完全平方公式变形的应用 完全平方式常见的变形有:
222a，b,(a，b),2ab
222a，b,(a,b)，2ab
22(a，b),(a,b),4ab
2222a，b，c,(a，b，c),2ab,2ac,2bc
221、已知m+n-6m+10n+34=0，求m+n的值
22yx，y，4x,6y，13,0x、y2、已知，都是有理数，求的值。 x
22ab，22()16,4,abab，,,()ab,3(已知 求与的值。 3
练一练 A组:
222()ab，3()ab，()5,3abab,,, 1(已知求与的值。
8
22 2(已知求与的值。 abab，,,,6,4ab，ab
22222abab，,，,4,4()ab,3、已知求与的值。 ab
22224、已知(a+b)=60，(a-b)=80，求a+b及ab的值
B组:
22225(已知，求的值。 abab，,,6,4ababab，，3
1222xyxy，,,，,24506(已知，求的值。 (1)xxy,,2
1127(已知，求的值。 x,,6x，2xx
112428、，求(1)(2) x，3x，1,0x，x，24xx
22xyxy，，,，64159、试说明不论x,y取何值，代数式的值总是正数。 C组:
22223()()abcabc，，,，，10、已知三角形 ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式，请
说明该三角形是什么三角形,
整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(B卷)
一、请准确填空
22200420051、若a+b,2a+2b+2=0,则a+b=________.
2、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a,3b),则长方形的面积为________.
223、5,(a,b)的最大值是________，当5,(a,b)取最大值时，a与b的关系是________.
1224.要使式子0.36x+y成为一个完全平方式，则应加上________. 4m+1mm,15.(4a,6a)?2a=________.
26.29×31×(30+1)=________.
1227.已知,5+1=0,则+=________. xxx2x228.已知(2005,a)(2003,a)=1000,请你猜想(2005,a)+(2003,a)=________. 二、相信你的选择
29.若x,x,m=(x,m)(x+1)且x?0,则m等于
A.,1 B.0 C.1 D.2
110.(x+q)与(x+)的积不含x的一次项，猜测q应是 5
11A.5 B. C., D.,5 55
124364322282353211.下列四个算式:?4xy?xy=xy;?16abc?8ab=2abc;?9xy?3xy=3xy; ?(12m+8m,4m)42?(,2m)=,6m+4m+2，其中正确的有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9
m,1n+25m,253n12.设(xy)?(xy)=xy,则m的值为
A.1 B.,1 C.3 D.,3
2222213.计算,(a,b)(a+b),等于
4224 6446 6446 8448A.a,2ab+bB.a+2ab+bC.a,2ab+bD.a,2ab+b
2214.已知(a+b)=11,ab=2,则(a,b)的值是
A.11 B.3 C.5 D.19
215.若x,7xy+M是一个完全平方式，那么M是
494972 2 2 2A.yB.yC.yD.49y 224
16.若x,y互为不等于0的相反数，n为正整数,你认为正确的是
11nnnnA.x、y一定是互为相反数 B.()、()一定是互为相反数 yx
222,12,1nnnnC.x、y一定是互为相反数 D.x、,y一定相等 三、考查你的基本功
17.计算
22(1)(a,2b+3c),(a+2b,3c);
1223(2),ab(3,b),2a(b,b),(,3ab); 21001002005,5(3),2×0.5×(,1)?(,1);
2(4),(x+2y)(x,2y)+4(x,y),6x,?6x.
18.(6分)解方程
x(9x,5),(3x,1)(3x+1)=5.
四、生活中的数学
19.(6分)如果运载人造星球的火箭的速度超过11.2 km/s(俗称第二宇宙速度)，则人造星球将会挣脱地球
的束缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为
61.8×10 m/h,请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍,
五、探究拓展与应用
20.计算.
2424224(2+1)(2+1)(2+1)=(2,1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2,1)(2+1)(2+1)
448=(2,1)(2+1)=(2,1).
根据上式的计算方法，请计算
6432432(3+1)(3+1)(3+1)?(3+1),的值. 2
“整体思想”在整式运算中的运用
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“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，
无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考:
22的值为7时,求代数式的值. 1、当代数式x，3x，53x，9x,2
3332222、已知，，，求:代数式的a,x,20b,x,18c,x,16a，b，c,ab,ac,bc888
值。
22(x，1)(y，1)3、已知，，求代数式的值 x，y,4xy,1
534、已知时，代数式，求当时，代数式 ax，bx，cx,8,10x,2x,,2
53 的值 ax，bx，cx,8
5、若， M,123456789，123456786N,123456788，123456787
试比较M与N的大小
2326、已知，求的值. a，a,1,0a，2a，2007
平方差公式基础题
一、选择题
1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )
A.(x+y)(,x,y) B.(2x+3y)(2x,3z)
C.(,a,b)(a,b) D.(m,n)(n,m)
2.下列计算正确的是( )
22A.(2x+3)(2x,3)=2x,9 B.(x+4)(x,4)=x,4
22C.(5+x)(x,6)=x,30 D.(,1+4b)(,1,4b)=1,16b
3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )
A.(,a,b)(,b+a) B.(xy+z)(xy,z)
C.(,2a,b)(2a+b) D.(0.5x,y)(,y,0.5x)
24.(4x,5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )
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2222 2A.,4x,5y B.,4x+5y C.(4x,5y)D.(4x+5y) 425.a+(1,a)(1+a)(1+a)的计算结果是( )
44A.,1 B.1 C.2a,1 D.1,2a C.(x,y)(x+25y) D.(x,5y)(5y,x)
平方差公式提高题 一、选择题:
1.下列式中能用平方差公式计算的有( )
11 ?(x-y)(x+y), ?(3a-bc)(-bc-3a), ?(3-x+y)(3+x+y), ?(100+1)(100-1) 22
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列式中,运算正确的是( )
1112222352(2)4aa,(1)(1)(1)mmm,,,, ?, ?, ?, (1)(1)1,，，,,xxx339
abab，，23?. 2482，，,
A.?? B.?? C.?? D.??
3.乘法等式中的字母a、b表示( )
A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.单项式、?多项式都可以
二、解答题
2484.计算(a+1)(a-1)(+1)(+1)(+1). aaa
11111计算:. (1)(1)(1)(1)，，，，，2481522222
2222215.计算: . 10099989721,，,，，,
2226.(1)化简求值:(x+5)-(x-5)-5(2x+1)(2x-1)+x?(2x),其中x=-1.
11(2)解方程5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-)(x+)=2. 33
111117.计算: (1)(1)(1)(1)(1),,,,,2222223499100
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范文四：三数和的完全平方公式
15.3.3 三数和的完全平方公式
我们来计算(a +b +c ) 2。
(a +b +c ) 2=(a +b +c )(a +b +c ) =[(a +b ) +c ][(a +b ) +c ]=(a +b ) 2+2(a +b ) c +c 2=a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca 。 一般地，我们有
即三个数的和的平方，等于它们的平方和，再加上每两个数的积的2倍。 这个公式叫做（乘法的）三数和的完全平方公式。
练习
运用三数和的完全平方公式计算：
（1）(a -b +c ) 2；
（2）(a +b -c ) 2；
（3）(a -b -c ) 2；
（4）(-a -b +c ) 2。
例1 运用三个数的完全平方公式计算：
（1）(x +2y +z ) 2； （2）(2a -b +c ) 2； （3）(m -n -3) 2。 解：（1）(x +2y +z ) 2=x 2+(2y ) 2+z 2+2?x ?(2y ) +2?(2y ) ?z +2?z ?x =x 2+4y 2+z 2+4xy +4yz +2xz ；
（2）(a -2b +c ) 2=a 2+(-2b ) 2+c 2+2?a ?(-2b ) +2?(-2b ) ?c +2?c ?a =a 2+4b 2+c 2-4ab -4bc +2ac ；
（3）(m -n -3) 2
=m 2+(-n ) 2+(-3) 2=2?m ?(-n ) +2?(-n ) ?(-3) +2?(-3) ?(m ) =m 2+n
2+9-2mn +6n -6m
=m 2-2mn +n 2-6m +6n +9。
1
例2 已知a +b +c =4，ab +bc +ac =4，求a +b +c 的值． 解： a 2+b 2+c 2=(a +b +c ) 2-2(ab +bc +ac ) =8．
例3 运用三数和的完全平方公式计算：
（1）2132； （2）1282。
解：（1）2132=(200+10+3) 2=2002+102+32+2?200?10+2?10?3+2?3?200 =40000+100+9+4000+60+1200
=45369；
（2）1282=(100+30-2) 2
=1002+302+(-2) 2+2?100?30+2?30?(-2) +2?(-2) ?100 =10000+900+4+6000-120-400
=16384。
练习
1．运用三数和的完全平方公式计算：
（1）(x -3y -z ) 2； （2）(1+y -4z ) 2；
（3）(-3a -b +2c ) 2； （4）(x 2-x +2) 2；
（5）(2x +3y +4z ) 2； （6）(x -3y -4z ) 2。
2．下面各式的计算错在哪里？应该怎样改正？
（1）(-a -b -c ) 2=-a 2-b 2-c 2-2ab -2bc -2ca ；
（2）(-a +b +c ) 2=-a 2+b 2+c 2-2ab +2bc -2ca 。
3．运用三数和的完全平方公式计算：
（1）1422； （2）2392。
4．已知a =1
20x +3, b =1
10x +4, c =1
20x +5，求代数式a 2+b 2+c 2-2ab -2bc +ac 的值．
5．已知a , b , c 为三角形的三边，a 2+b 2+c 2=8，ab -bc -ac =4，求a +b -c 的值．
2
范文五：三数和(含差)的平方公式
三数和(差) 的完全平方公式
三个数和的平方公式:(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca
证明：
(a +b +c ) 2
=[(a +b ) +c ]2
=(a +b ) 2+2(a +b ) c +c 2
=a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2
=a +b +c +2ab +2bc +2ca 222
∴等式成立
语言描述：三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。
三个数含差的平方公式：(a+b-c) 2 =a2 +b2 +c2 +2ab-2ac-2bc (a-b+c) 2 =a2 +b2 +c2 +2ac-2ab-2bc
四个数和的平方公式：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
证明：（a+b+c+d）2
=[（a+b）+（c+d）]2
=(a+b) 2+2（a+b）（c+d）+（c+d）2
= a2+2ab+b2+2（ac+ad+bc+bd）+ c2+2cd+d2
= a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
语言描述：四数和的平方，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。
扩展：几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。
①三数和、四数和的平方学生应会推导，考试时大题应书写完整推导过程。 ②如何计算“差”类问题：
1【例1】计算：(x 2-2x +) 2 3
1解：原式=[x 2+(-2x ) +]2 3
111=(x 2) 2+(-2x ) 2+() 2+2x 2(-) x +2x 2?+2??(-2x ) 333 8221=x 4-22x 3+x 2-x +339
解释：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
练习：计算
1（1）(x +-2) 2 x
（2）(a -b +c ) 2
2（3）(x -+2) 2 x
（4）(a +b -c ) 2
（5）(2x +2y -3z ) 2
