范文一:有关于MCM经典北美数学建模论文模版MCM北美数学建模论文模版.doc
有关于MCM经典北美数学建模论文模版
MCM北美数学建模论文模版
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模版 导
读:...........................................................................................31.1ethods
…… Title:Abstract:
Key # 4488
Page 2 of 9
Contents1.
Introduction..................................................................................................
...........................
......................3 1.1
ethods………………………………………………………………………
.……3 1.4 Annoyance in toll
plazas………………………………………….………….………………
…….3 1.5 The origin of the
toll ……………………...……………………………………...3 1.6
Queuing
theory………………………………………………………………………
…………...…...4 2.
The Description of
Problem….....................................................................................................
........
5 2.1 Hoate the al configuration ........................…………….………….5
2.2.1 From the perspective of
motorist…………………………………….………………….5 2.2.2
From the perspective of the toll
plaza…………………………………………………6 2.2.3
promise…………………………………...………………………………
……...………..6 2.3 Overall optimization and local optimization……………………………..……………….…6 2.4 The
differences in weights 3 4 5 6
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模版 导读:4Solutionand123456 and sizes of vehicles………………………………………..…7 2.5
odels……………..........................................................................................
..............................
...................7 3.1 Basic
Model............................................................................................................
.................
................7 3.1.1 Symbols and Definitions………………………………..…...…………………………
…...7 3.1.2
Assumptions……………………………………………………………….
……..……………..8 3.1.3 The Foundation of Model………………………………………………………………….9
3.1.4 Solution and
Result……………………………………………………………….……
…...11 3.1.5 Analysis of the
Result……………………………………………….……………………
…..……….….11 3.1.6 Strength and odel.................................................................................................14 3.2.1
Extra
Symbols……………………………………..………………………...…
………………......................14 3.2.2 Additional
Assumptions………………………………………………...…..…………
………………..14 3.2.3 The Foundation of Model………………………………..……………………………………
……….14 3.2.4 Solution and 3 4 5 6
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模版 导
读:.........................................................237.Appendix..............................
......................................................................................................................
..23Programsand123456
Result………………………………………….…………………………
…..……………...15 3.2.5 Analysis of the Result…………………………………………….……………………..…
………….….18 3.2.6 Strength and ethods used in our models…………………………………...……………………..…………
19 4.3 Application of our
models…………………………………………………..………………..
….19 5.
Future
odel………………………………………………………………………
………………19 5.2 Another layout of toll plaza………………………………………………………..……………23
5.3 The neethods………………………………………..……………23 6.
References....................................................................................................
...............................................23 7. Appendix......................................................................................................
................................................ 23 Programs and 3 4 5 6
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模版 导读:mization:Theoptimalnumberoftollbooths:3.1.4Sol123456 codes………………………………………………………………..……
………………24
Team # 4488
Page 3 of 9
I.
IntroductionIn order to indicate the origin of the toll s, the folloentioning.
1.1
1.2
1.3 1.4 1.5
1.6
II.
The Description of the Problem2.1 Hoate the al configuration1) From the perspective of motorist:
2) From the perspective of the toll plaza: 3) promise:
Team # 4488
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2.3 The local optimization and the overall optimization
Virtually:
2.4 The differences in s, Definitions and SymbolsThe signs and definitions are mostly generated from queuing theory.
3.1.2 Assumptions
Team # 4488
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3.1.3 The Foundation of Model1) The utility function
The cost of toll plaza: The loss of motorist: The ise: 2) The integer programming According to queuing theory, ization and the local optimization The overall optimization: The local optimization: The optimal number of tollbooths:
3.1.4 Sol 3 4 5 6
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读::Step2:Step3:Step4:Step5:Step6:Step7:Step8:Step9:2)Floulation.
Team#4488Page123456 ution and Result1) The solution of the integer programming: 2) Results:
3.1.5 Analysis of the Result Local optimization and overall optimization: Sensitivity: The result is quite sensitive to the change of the three parameters Trend: parison:
3.1.6 Strength and oreover, e useful conclusions about .
The model is fit for, such as odel
Team # 4488
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3.2.1 Extra SymbolsSigns and definitions indicated above are still valid. Here are some extra signs and definitions.
3.2.2 Additional Assumptions Assumptions concerning the anterior process are the same as the Basic Model.
3.2.3 The Foundation of Model1) Hoine the optimal number As the Basic Model,
3.2.4 Solution and Result1) Simulation algorithm Based on the analysis above, ulation arithmetic as folloulation.
Team # 4488
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模版 导读:
mstodeclarethatthismodelismorereasonablethantheBasicModelandmuchmoreeffectivethantheexistingdesign.ethodsus 7 of 9 3) Solution
3.2.5 Analysis of the Result
3.2.6 Strength and odel aims to make up for the neglect of . The result seems to declare that this model is more reasonable than the Basic Model and much more effective than the existing design. ethods used in our models
4.3 Applications of our models
V.
Future odel
Team # 4488
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5.1.1 The limitations of queuing theory
5.1.2
5.1.3
5.1.4
1)
2) 3)
4)
5.2 Another layout of toll plaza
Team # 4488
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5.3 The neethods
VI.
References[1] [2] [3] [4] [5] VII.
Appendix 3 4 5 6
范文二:数学建模统计建模论文
历年模竞赛试数题统的计分析
摘
全要国学生数大建学模竞作赛为大学热门赛生事,其 试难题度势及趋建方模法是 直关接系到赛好比坏。文也是围本绕该问题利用主成,统分计方法及年赛历题 相文献关立一建列数学模型系对历年题赛行进综评合价预和测重性要建方法模 序,最后由模型的求解结排提出果设性建意见。对 于题问:本一利文用成分主分析法建方了综立合价预评模型测在,实际 基上础影响赛题对易难度因素的置合理设的, 再利值用第一主分成历年赛对题行进 综评价合评,价结果,为210 年0的题最难赛其次是 2,105年,在 此础上基立 主建成回分方程归对, 026 1赛年难易题度程的测,结果为该预年的奖获率较, 难高不大。 对于度题二:本文在问合综评价预模测基型础建上立重了要性排序型。通过 对历模的年赛解题题法方行统计分析,进建立评价函,数后最到建得方模法重要 性排序的。模建所用方法中最、多最重的是运筹要划规次,是网之络优化和值数运算 。 于对题三问 ,们在我问题一和题问的二求解果的结础基上提出期建短议提 应运筹高划,网规优络化数和值算运的掌与握用应并,在长建议中期出提提高读阅能 力拓,知宽识和面习学计机新算算法型等建。 该议模思路方法清晰,型合对数适模赛竞进题统行分计析 。关字键:主分分成析评价;预测;;排序1 介绍 1. 背1景 自80年 代开,我国始的学数模建学教数和学建模竞赛日蓬勃地益发起展。来到如 今全,国学建模竞赛数成为全已大学国生研究生的重及要赛,事且竞成赛 绩成为也了衡一量个高学等府力实的个一准标。 数建模竞赛学利有于进高校学生推的 综合素质育教还有利,建于立校高生把学际问实和数学题法联立的思方想 方。法正因为如此提,的科学性前教学以及历对年题的分析也赛变尤得为重要
1。2.问 重题 全述国学大生数建模学赛题竞众型,多于对模建赛试题竞型题及度难趋的把势握, 系到关前赛备准工作落的及比实赛成的好绩。坏是将但每个题目做都遍一 然不显能可,种思一是路题目的特点对进分析行,作出判断用,指于导前赛的各项 准工作。备 根据请历的年国题全目必选)(和有高关校选的拔目(自选题的特)点(例如数据、 法、方模等规,建)模立型进分析行,解决下问题:以 、1对模题目的难建度趋势进行综合评价预和测 2。、根据这些题目用常建模的方作统法计析,分常用对建模法的方要重进性 排行序。3 对、建培模的训容、内方式等方给出面议建告报 。.13 题分析问 对针上以问题,行如进下析: 对分于题一:本问问主要是题解决对建模
题目难的度进行综评合,并价对建模 题进目行测。预首先们通过查我阅献,文历对届的赛进行题难易度分,选取析了针对 模竞赛问题数难的易影度响素,因且并根每据一个因素值取不特点,同将 其可为分连变续、分类变量、等级变量量,给出并变量了范。围过通成主分析的分 方法,历届的对题的赛难度易行进综评合,价后然立建主分回归成方程 对2061 年模建目难度进行预题测 。于问题二:本问对题要对历代建模题主目的题方目统法,然计对建模后方 法的重性进行要列排我们。过通阅查献,对历文年赛的题题方解进法统计行分,析 后在问题然一模的基型上础, 立建评函数,价 对建模使方法用重要的性行排序。进 后,最重要的建对的模方法行进析分。 于对问题:三本问 题是在两问题求解的基前上础何如有效地进建模行培和训 习提学出设建意见性 利。用问一的题年赛历题难评度结价果问和二题重的要建 模方法结性,针果因对素分析出学提内习方容面议建针对,使用法方分析出重提 学习点用使方建议法。1 4.问题 设 假1假.影设响数问模题难度的势趋因素完全不相。 2关.由于 各因个素影响数模问题的度难趋是有势差异的,设假机随因素服从
N(0 , ?2 )。
1.5符号解
释
ijx, y ji : 第i组 本样数据第 j中 个变量值的X :
本阵 Y样 :X 做准标化后标的化准阵
矩 x j矩: X 中第 j 的均值 a 阵 :矩阵 j X第 中j的 标准差
:标准化R的矩阵 Y样本相关的数系
F阵j , Qj: j 第主个分成
YQ :评函价
数i c第 : 个i指标权重
A的 :要性综重评价合
2 模型建立与
求解 2.1 综合价评测预模型 21.1 .型的模立建 由假设1 影响数模,问题的难度势因素不趋全相完关,用利计中统成主分想 来思选因筛是素意有的义 ,成主的基分本想是思用利性线数中的正交变代换将组一 相变量生关成新不的关的相的变新,然量后新对变量进行降的维理,以处高度 精成形维低统 系 通过查阅。关相文 献 ,制了定响影数建模题目难易程度的因素学, 具见体表 ,1 且我们根据而一每个素取值因同不点,可特将其为连分续量变分、类变量、级等变量,并给 了出量变围范 表 。 1学建模题目难数易度程的因素影响 素 因题目阅量 条件读的用情况 考查利知识点的少 多变性量质 连变量 分类续变量等级变量 变 量范围
50 1 ? ? 500n
2] [[1
]易
........难.1 05.......5.0 0.0........1 ...1........5
0
1,
? n 1?5
数过学程复的性杂 据数集的难易程收度问 题开的性放 景特征的建模情度难问 的题可考性思 问情景的新颖性题 题的表问达方 分布设式情问况计 算机法的算易容
等级度量 等级变变 分量变量类等级
变量分 类变量等 变级量 分变类量等级 变量 类变分
量?1n ?5
? 1 ?n5
1.........5. 1..........50 .......... 11.........5. 0.......... 11..........5 .0......... 11.........5 0...........1
0,
1
1 ?n ? 5
0
,1
?1n ?5
01
1, ? ?n
051,
表 1 得,设影响因素构由成的量向为 (x1 , x2 , 则样阵本:
为 ?T 1x ? x?11? T ?? xx X ?? 2 ?? ? 21? ? ?? ? Tx ?? ? ? n ? x?n1
,
1x2) 。
x1
2 2x xn 2
2
x1 ?n x?2n ? ? ? xnn?
1)
(
其, xi中 j表第示 i组样本数据中第 j个 变的量值。对 X 做标准化 变换得标化矩准阵Y 为
T? y 1 ? ?y11? T? ?y Y y ?? ?2 ??21 ? ? ? ? ?Ty ? ??? n ? ?yn1
1y 22y yn22
y1
?n? y 2 ?n ?? y n ?
n(2
)中其, iy j?
xj i? x ja j
,
x j , a j 代表阵 矩 X第中j 的均值 与准差。
标算标计准化矩阵的Y 的样本相 系数阵关 R
? R TYY n ?1
3()
计算关相数矩系 阵R的特 值征
R ? ?nI? 0
解得 n个征特 值1?? ?2 需?要由式确定下:
(4)
m)
,? ?
n? 0,前 取 个m成分主F j( j? ,12
???
? ?1 j j? n1
m
? 0j8.
j5()
其(5)式中也成为计贡累献,率它的义意是 前 m主成个分综原始合量变含信所 息能力。的 在假 2设的 础上得到主成基回归分方, 此方程程以可对来未赛题的难程易度 作预出测方程为,
f: ?1? 1x? ? 2 x ? ? ? 2nxn n( ?,1
2
1,2)
(
)6
2
..12模型的 解求 通查过阅2 090年至 201 5全年国大学生学建数模题赛分析的关相文 , 献我 们由此依为据到影得响题难易目程的具度体量变值查阅,浙江区 2赛00 年9 2至15 0荣获国全等一奖比率的作为量衡目难题易度程指的标,比越率,题高目越 简,具单见体 表2 表 2 数。模赛难易程度的具题变体量及获值率奖
年份
目题阅量读 条件的用利情况 考查知点识多的 数少过程学复杂性的数 收据集难易程度 的问的题开放 性情景特的征模难建度问题的可思考 性 题问景情新颖性 的问的表题达方 分式布问情设况 计机算法的算容度易获 率
[3]
奖2
09 050 1 044 142 0 30 4
12010 19 05 5 54 13 15 510
20
113 7 18 4 3 0 2 0 2 02 31
012 425 704 43 1 3 0 3 4 0
12
031 83 404 540 4 15 0 4
10214 320 5 0 5 1 450 3 04 1
2
10 5891 1 554 1 5 14 1 1
4.03650850 .02952 0.043513 0.0512549 .0506272 .05080330 .447015
(由)—1()5,通式过SAS 编计程算得到, 表 的3结果表 影响3因素相关参数 特的值 1 征 324 5 66. 288774491 .7371745 .16758299 91.547273310.60 155480 03117.7631累计贡 献率0.524 0.6 17 0.8802 5.9209 0.934 1
7
由前于个三主成的分累计献贡率已经到 达.80,因此 ?m3 具,主成分体表见 4 表, 4影因素的响样本
主成 主分成分 主成分12 主成分 3 1 x-.02393690.4 4393-0. 501185 2 -0.1x62326-0.4 922590 .04119 x330 .29157 -0.32656360 .59219 5x40. 39598 03.29676 1.013596 x550 2.2766 2.07872980.4 1235 x2 60.90147 80.1-8215 0.8804293x7 0 .64201 .140776 01.20632 3x8 0.0395600.04 651 -03.449033x 09319.979 0.713227 0-.430577x 0 01.143979 -0.40915 7-.1002798 11x .037373 .005141 -40.078155 x1 20-2.545040. 81495 0437.782 于由第主成分的一征特最值,我们大取选第一主成分对题赛难程易度排,结 果序见表5。 表 赛5题难程易度序排名次 年 份 20110 221503 2 0414 01325 201 26 2 00 972 110
由6)(由式 SA 软S件求得主分成归回程方如:下f
? 0 .043925 ? .0000004487x1 ?.0023088469 2x? 0. 00077 93x ?.000019412x4 ? 0. 00507 05x 0?0.03712333x6 ?0. 000469318x7? 0001.636264 8 x?0 0.11606346x ?9 .0005019307 1x0 ?0001.22563x11 ? 010.00368983 1x2
将 表2的 结代果回归入程得方到年获奖率各理论值的,体见表具 。6 份年 209 200102 101 201 201322014 2 15 0表6 各 的年奖获率实值与际理值论实际 值 理论 相值对误差0. 360558 0.446032078 .02132532500 05.9222 .05173173020. 220499078 .043051 0.04130197290.057 92954
1005.419 05.05622 0.07503380 04471. 5.0064039720 0.4514848 030.742606810.04 68373050 .024902156 0.207962447 .006087343 5.006455283
2将
表6 结果 利用Matlab 画图出像得,图到1 。
图1 各 年获奖的率际实值与论值图理 大数据像年来是许近学多研究者的向 ,方们我此以为景利背用主分回归成 方程对201 6 年题赛的易难度程进行预测具,体结果表见 7 。表 7201 6年赛题的 易难度预测
年程份
题目阅读 量条件的用利情 考查知识点况多的
[4少]
0162 00 3 41
数学
程的复过性杂 据数集收难的易程度问题 开的放 情性景特征的建模度 问题的难思可考 性题问景情的颖性新 题的问达方式表分布 设情问 况算机计法算的容度易获 率奖
4 4 0 1 550 4 0.050141919
2.313 .果分结析由 主分成析综合分价结评果 表 发5,现201 0年的赛 题难,最 次其 2是015 , 这是年因为两这考年察知点识、数学过程复的杂性级较高,等且而题问具一定有的 放开、新性性颖建,难度模比大较,这些是都实际情况和符相。合 由 表6和图 1 果不结发难,现成主分归方程用来预回的相对测误差小,较理论 和实际值值的线非常接曲,说近主明分成归回方程来预测用较合为,利理用 方程此预测 来021 6年题的难度趋赛势由表 7, 得知,年的获该率较高奖,明试说题 家大遍都普能,难做不度。 大2.2 要重性序排模型 2.21. 型的建立模我 们选取合综评价预模测型的关方相法,即主分分析方成法建立,价函评数 最,对后各数个方模法的重性要进行排序 。样同,设影响因构成素的向为量( 1y y2,,
[]3
, y
n) 。
根据
实
际数调据 ,对历查数年模问题方的法行统计进具,见体 表,2 表示 0有用到该方法没1,表 用到示了该法。方
表1 公对安共全素评判打因分 份年 方法
w
1w
2
?
wL
y1
y
y211y2
y11
y12
2 ???
?
y1
L
2y L
?
y
n?
ny1
?
yn
2
?ny
L则样本为:
阵T? y1? ?y11 ? T?? y y ? Y 2 ?? ?? 2 1 ? ? ? ??yT ? ? ? ? n ? ? yn
1
y1 y222 y 2n
y1n
? y? 2n? ? ?ynn?
(
7
)
中, y其i j示表 i 第组本样据中第数 j个变量 的。 值对 Y 标做准变换化得准标矩化阵 Z
为 ?Tz1 ? ? z1 ? T? 1? z zZ? ? 2 ??? 2 ?1? ? ? ?z ? ? ? ?Tn ? ? zn1
z
21 z22z 2n
1zn ?? z 2 n ? ?? nnz?
()
8
(在3)—4()式基上础解,得 个n征特 ?值 1 ?2 ??
? ?n
0 ?特值越大,征应
的因对素就越重要,也因根据特征值此的小,可以大方法的重将程要按度从到小 排大。列般来一特征值说对应方法无所法确定,而主分最大的优点是利用低成向 维系量就可统行评进价,需取部分主成分只构评造函数得到价价权重评,可对重即 要影的因响进素筛选行取,前m 个主成分 Q (j j? 1 ,2定 利用前, m 个主成构造分价函数:评QY ? ?
(? j/ ??j )Q j ? b11 w? 2b w2? j
?1 j ? 1m
mm), 需由要5)式(
?确b wLn
(
)
9
此得到原有指标由分得:值
Yi ?V b j ?iyj ,( i 1? ,2j
1?
L
,
)
(1n0
由(7)式得)各指标的到重权
:i c ?YVi/ VYi?i
?1
n
(
11)
由再 2表 结果的运用模,评糊判,计算各 方法类用到的数总
:5[
]ri
? ?1yi j ( i? ,1 2
j, 1
?
L
,)n
(
2)
1
由(12)式
得各到类方法归化一的矩阵 : n? ?r /r i 0 10? ? ? 1 1i? ? 1? n ??0 r2 1/ ? r1i0 0 ? ?R??i ? 1 ? ? ??? n ? 00rn1 / ?ir1? ??i ? 1 ?? 后最到得要重性综的评合判:
(3)1
A?c i R
j.2.2 2型的求解模
(1
4)
通
过查 1阅993 至年20 51年全 国大学生数建模赛学题方法的相文关 献,得到 8表 的果。结1表 示运该用法方, 0示表有运用没方法。 表该 81993年 至215 年0题的建赛方法模1 939 91941 995 9961 19971 98 9199 9 1 1 11 11 1 1 001 0 1 111 1 0 11 1 0 0 0 0 00 0 0 001 0 0 01 0 00 0 0 0 1 000 0 1 0 2000 1 100 0 01
3][
运筹规划 网络化 数优值计 统算与计价 评微方分与程差分 程 计算机模方 拟几与微何积分 表 8续 筹运规划网 优络 数化计算值 计统与价评 分方微与差程分 方 计算程机拟模几何 微积分与续 表8运 筹规划
001 210 1 000 0
020 1 200 0 0 01
203 010 0 0 1 0
0
0240 0 1 1 1 00 0
0250 101 1 0 00
026 2007 01 11 1 110 0 0 1 0 0 0 0
20
8 00 1 11 0 0
2009 00
2
0100
21011
2
12 10
20
1 3
120
4 20
1150
1
网优化 络值数算计 统计与评 微分价程与差方分 方程 算计机拟模 何几与积分
微0
11 0 01
0
1 1 0 1
00
1 1 00
0
001 0 0
0 0 11 00 0
010 1 01
1
10 00 0
由(7) (、8、)()—(3)式5通过, SA 编S程计算,到表 得9结果 。表 9 建方法模的关参数 相特值征 2 13 4 5 68.9366916 5.54918039 31.1791353 247.388969 26.157772 0.63619689 8献贡率0. 385 0.8232 0.149340 .21 010.9640.02 7 累7贡献 率计 .0883 506125. 0.5677 0.77780 9.72 1
3由于前四
主成分的个累贡献率计已达到 0经8,.此因 ? 4 , 表m 0 1模方法样本建主的分 主成成 分1主成分 2 主 分成 3主成 分4 0 .11248 0221.8398 0-281344. -0.1610690.3 05103 0050.142 -0.011771 -0.411315 0301503. .0050421 -.001711 -07.41311 05032873 0..4333680 .24408 05.17031 0.221557 00.1789 60-2.4059 80.361-32 07.61259 5.0939188-0. 0781130 2.16681 .0211482 0.29183 80-2.8314 4-0.10166 09085384.0 282.3 -0906.5141-0.0 180 5.0315030 .005012 -40011.77 -01.11341 0.175249 -101.57968 0.73274 -0501.4027 0050991 0.2.40169 03.9522 6-0.91079 7.0121116 0-1.6019 -8.106974 60.645169 .2830917- 0.20814 0.120466 60-.100924 0.21659 05193.98 80.-8701310 2161.68 0.51987 0.28208430 0.4606 0.312792 1.101261 10.1-96180 -.061976 40.645961 .0084579 0-.291381 -028.2840- 011.2354
x
1x2 x 34xx 56xx7 x x9 x801 x1 x121 x31x 1 x45 116x x71
x81 x91 2x0 x2 1x2 x232
0.0
7123 0.023987 01.7219140 28.3971 0.-2338490 .14419
8-0.
39236 -052084.16 0.1-5978 6-.00284610.1 8265 60.02100
5
-00.09129 .061307 0.1200646-0 .0019240 372.74 -5001.02470. 21406 60-0109.240.0 7743 0.723421 6026388. 3.302338
9由(9
—(1)1式),得到标的分指及值重,权体具表 1见1 表。1 指标的分值及1重权
V
Y 1
2.51168
VY4
21.274560
V
Y3 1.3
55264
YV 4
0.59153
VY 7
5.0434665
V
Y60
235.546
Y V
7.00415
c1
0.3260999
2
c.012418
c300.2
2417
c
40.809617
5
c.0077975
c6
0.
403049
c
7.00188
7再由(12—)(4)1,式到重得要性法方排列结果:
A
?(.1006630, .005636749,.050531,0.13501,000.4175,.00030,060.0504)
22.3.结 分析 果由述结果不上难发现,筹规划运法占方比的是重大最,其次的络优网化法方 及数值计以算法方比较也大 运,规筹划法方包括线规性、 划线性非规、划 态动规、划决 论、排策队等优化论识知网络,化优括包论等。这图数和建模学身来本是说 比相符,较在实意现义下优,问题化直是热门问一题也,是一难个问点题,因求 解此结较为果合。理 3数学 模建建设性告报全 大学生数学国模竞赛建为作学大的重生赛事要 也作为,量一衡个高实力的校一个重 要赛事。竞赛对题试的把控对各高校说来有不可具忽视重的要性本。基文 这于种况运用情数学模型 对0162 年的赛事试题行了进测预预。测果如下: 结.1按照年趋势往预测 ,206 年全国大学生1学数建竞模赛赛题然依低阅以读 量
,多识面,少数据以及知较开放大为性。主此在础上基计算对的算法要求机 会也相增加应。设情况以 4 问问或5 为问主,设条理问晰清 。2.基于年往数据的析分预测 ,206 1全国年大学生数建模竞学赛赛题解主
法要以
筹规划,网运络优化和值运数算主为。在此体主上,能可在统计存与价的 方评的法用,应他数其方学法能的可几率低较。基于以 上两点预结测,果出相应的提建: 1.对于短议建议,期201 年6数模赛在竞,即我需要的是们对主要方法运筹规划,网 络优化数,运值算统计,与价方法重评学习,点并能熟练地应用,还需适量了 其他解法方的运。用2 对.长期于议建,我们加应强在阅理读题解的意能力,来未趋的势是在少 阅读的量基础上提相应问出。题应拓宽还知面识未,发来展将更广的有知面识和更 的开大放性。在基础上此对计机新型算算的掌法也握较大的重有要,性来的计未算 将依赖更计于机算计,的复算杂性会相应的也大。加 以上对教是和学习学面方的项建几。 4 议模的优缺点及推型广 点优 1:综.评价预测模型在合对难易度析方面有较分为简便的运算较强的和适应性。 2.重要 性排模序运用型主成分分析,运法用观客数,可据性靠较,高 结果较为准确 。点:缺综 评价预合测模型运用了主分分析法成 对难度打分,在存主意思误观差。 推:广 综评价合测预模型适用可大于多有历史数据的近期预数,测重性排要序模 型可用适于事物素因选情筛况 5 参考文。 [献]1张.鹏于主成分分基的综析合价研评[究D].南:南京京工大学理20,04[2 ]杜荣明高.中物理题难度试影响因素研的究D].重[:庆南西大,2学008[ 3]中国学数模网建h.tpt//:www.shum.com/homoe /[4李金昌.大]据数与统计新思[J维.]统计究,研012431,1(:1)-10 [7]5刘通,胡运碧.模江评判糊数的学模及其型参估计数[]J北,工业京学大学, 2报001,7(12)11:-2115
范文三:初中数学建模论文
“压岁钱”与“美化环境小银行”
山东省泰安市第六中学初二七班 杨煜晖 指导老师:
摘要与关键词 压岁钱 沙尘暴 美化环境 植树
一、 调查目的
沙尘暴天气是我国西北地区和华北北部地区出现的强灾害性天气, 可造成 房屋倒塌、交通供电受阻或中断、火灾、人畜伤亡等,污染自然环境,破坏作物 生长, 给国民经济建设和人民生命财产安全造成严重的损失和极大的危害。 当肆 虐的沙尘风暴代替了我们印象中明媚的春光和温柔的春风, 我们能为治理环境做 些什么?通过对往年植树情况的调查, 我提出, 为美化我们的生活环境建立初中 生“美化环境小银行” ,利用存款利息每年春天购置树苗,或学校组织植树活动, 或向需要的省市捐助种子、树苗的方式贡献我们绵薄之力。
一、 调查方法
1、实际考察
2、 其他搜集数据调查(网络)
二、 调查结果与分析
从小到现在,我们收了十来年的压岁钱大概有 2000元,假如平均每年按照 200元存入银行,初中三年每个学生总共存入 600元计算,我们六中,初中 21个班级,初一、初二、初三各 7个班,每班按 70人计算,初三的存一年,初二 的存两年,初一的存三年, 年利率分别按 2.25%、 2.40%、 2.60%(人民银行利率) 计算,则:
初一段学生存三年的利息和:
(200×2.60%×3)×(70×7)=7644(元 ) ;
初二段学生存二年的利息和:
(200×2.40%×2)×(70×7)=4704(元 ) ;
初二段学生存二年的利息和:
(200×2.25%×1)×(70×7)=2205(元 ) ;
一年全校利息合计:
7644+4704+2205=14553(元)。
按每棵垂柳 50元计算,每年可购置
14553÷5=291(棵)树苗,
如果我们利用节假日用心维护,成立“志愿者护林小分队”提高树木成活 率,按百分之八十的成活率来算,我们四年的初中生活能种活的树是:
291*4*80%=931.2((棵)
也就是说, 我们能用自己的能力建造一片小森林, 当我们漫步在这片森林中 的时候,该是多么幸福啊!
如果这个计划能在所有学校实行, 那么, 我们的森林将会多么大?会不会锁 住无情的风沙?让所有人重享蓝天碧水和风的美好生活?
三、 调查体会
通过这次调查,我了解到树与我们的生活,健康是息息相关的,同时也深 刻体会到树木、森林的宝贵, 保护环境, 爱护环境是我们每一个人义不容辞的责 任和义务。
范文四:数学建模论文
数学奥秘我之见
淄博外语学校初二四班:贾爽
[摘要]本文主要讨论一些关于有理数的规律,包括:“数字黑洞” “填幻方”“乘方运算”三个方面的内容,通过了解这三个方面的内容,可以使我们更深刻地认识数与代数之间的关系以及数的规律性和趣味性。
关键词:规律、有理数、代数
讨论一:数字黑洞
前言:“黑洞”本指非常奇怪的天体,该天体体积小,吸引力强,密度大,任何物体到了它那里就别想再出来。无独有偶,数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数,通过一定的运算,都能被它“吸”进去,无疑能逃出它的魔掌。 (1) 西西弗斯串:任取一个自然数数串,
例如35962,数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数,就可以得到2、3、5,用着三个数组成下一个数字串235。对235重复上述程序,就会得到1、2、3,将数串123再重复进行,仍得1、2、3,于是123就是一
个数字黑洞。
(2) 角谷猜想:任取一个自然数,如果它
是偶数,我们就把它除以二,如果它是奇数,我们就把它乘3加上1。在这样一个变换下,我们就得到了一个新的自然数,如果反复使用这个变换,我们就得到一串自然数,或早或迟,你就会掉到4→2→1这个循环中,或者说,你总会得到一。
结论:一个很大或很小数的输入,只要有一定的规律,又或许是我们总是去不断探索规律,那么有理数的一切都是有规律可寻的!
讨论二:乘方运算
前言:求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方是一种特殊的乘法,具有以下基本性质:
n 2n ≥
(1)a 与a 的奇偶数相同;(2)a0 ;(3)当自然数n 的个数分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9时n ,
2
n
3
n n 4
5
由此可发现,个位数出现周期现象,并且
4k +R
周期是4,于是得n 中(k,r 的个位数为非负整数,n ≠0,0≤r <4,
4k +R
当R =0时,n 的个位数与字n 的个位数字相同;
4k +R
当R ≠0时,n 的个位数字与n 的个位数字相同;
问题:
你能很快算出1995吗?
2
为了解决这个问题,我就可以看这个个位数上的数字是5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可以写成10·n +5,即求﹙10·n +5﹚的值(n 为自然数),我们可以分析出n =1,n =2,n =3……从这些简单情况,从中探索其规律,并归纳、猜想出结论(在下面空格內填出探究结果)
1. 通过计算,规律为:
=225可写成100×1(1+1)+25;25=625可写成100×2﹙2+1﹚+25; 35=1225可写成100×3﹙3+1﹚+25;45=2025可写成100×4﹙4+1﹚+25; …… 75=5625可写成( 100×7﹙7+1﹚+25 ),
85=7225可写成( 100×8﹙8+1﹚+25 ﹚。
2. 从以上探究中的结果、归纳、猜想我们就可以总结出以下规律:
152
2
3222
﹙10+5﹚=100×n ﹙n +1﹚+25
2
3. 根据以上的探索,我们就可以算出:1995=100×199×﹙199+1﹚+25=3980025
2
结论:遇到一个难以解决的题目时,我们可以用我们所掌握的知识把它转化成已经学过的内容,先从简单的入手。像这种乘方的问题,我们就可以化难为简,
运用乘方的三种基本性质就可以解决!
讨论三:三阶幻方
前言:相传大禹治水时,洛水神龟献给
大禹一本洛书 ,书中有一幅奇怪的图,那幅图用今天的数学符号翻译出来,就是三阶幻方。也就是如图所示3×3的方阵中填入1~ 9,其中每行每列和两条对角线上数字的和都相等。
数学家哈尔莫斯、巴尔布尤把图中每行每列数字组成一个三位数,并写出他们的逆序数,就得到下列美妙的等式:
492+357+816=618+753+294
4922+357 2+816 2=6182+7532+294
2438+951+276=672+159+294 4382+9512+8162=6722+1592+8342
现在人们已给出一般三阶幻方的定义:在3×3的方阵图中,每行、每列、
每条对角线上的3个数的和都相等,就成它为三阶幻方。 根据探索,我就可以总结出三阶幻方的三阶幻方:
(1) 在3乘3的方格中填入9个不同的数,使格
列各行及两对角线上3个数的和都相等,且为5,若最中间的一个为n ,则s=3n,
(2) 在三个阶幻方中,每个数都加上一个相同的
数,仍是三阶幻方,
(3) 在三阶幻方中,每个数都乘以一个相同的数,
仍是一个三阶幻方。
解决三阶幻方问题,常需小合当引元,运用三阶幻方定义,性质,整体核算等方法求解。
(1)如图1,,有九个方格要求在每个方格填入不同的数,使得每行每行每列、每条对角线上三个都相等,数之和都相等,问图中左上角的数是多少
(图一)
(图二) 由已知条件得:
+19+x 4
x +x1+x 2=
+x 3+x 4=x +x 3+13=x 2
这样前面两个式子之和,即
2x +x 1+x 2+x 3+x 4=13+19+x 1+x 2+x 3+x 4
2x =13+19
x =16
(2)请将﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,﹣43,4这9个数分别填入图中方阵的9个空格,是3列,3行,2条对角线的3个数的和为0。
其一正一负,并且绝对值相等,所以0 必须在中间。
结论:解三阶幻方只有根据它的基本性质来计算,稍微复杂一点的我们可还可以
利用方程方法来解决,可见,数与方程之间的联系是多么紧密啊!
总结:通过以上三个探究,我发现了数拥有无穷的奥秘,其实,这些并不是都只能在数学领域中得到充分的利用,在生活中,我们也可以利用这些知识来解决生活中的问题!
范文五:数学建模论文
数学建模一周论文
论文题目:
乒乓球比赛问题
队长1: 学号: 电话: 队员2: 学号: 队员3: 学号:
专 业: 班 级: 指导教师:
2012 年06月10日
摘要
通过对高中数学新教材的教学,结合新教材的编写特点和高中研究性学习的开展,对如何加强高中数学建模教学,培养学生的创新能力方面进行探索。
乒乓球的建模问题可以与数学建模问题联合起来看的,并且利用数学建模解决它。数学建模随着人类的进步,科技的发展和社会的日趋数字化,应用领域越来越广泛,人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度,通过数学建模解数学应用题,提高学生的综合素质。他将结合数学应用题的特点,把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析,希望得到相应的帮助和指正。他们有以下步骤:
关键词:创新能力;数学建模;研究性学习。 对学生提出新的教学要求,要求学生:
(1)学会提出问题和明确探究方向;
(2)体验数学活动的过程;
(3)培养创新精神和应用能力。
其中,创新意识与实践能力是新大纲中最突出的特点之一,数学学习不仅要在数学基础知识,基本技能和思维能力,运算能力,空间想象能力等方面得到训练和提高,而且在应用数学分析和解决实际问题的能力方面同样需要得到训练和提高,而培养学生的分析和解决实际问题的能力仅仅靠课堂教学是不够的,必须要有实践、培养学生的创新意识和实践能力是数学教学的一个重要目的和一条基本原则,要使学生学会提出问题并明确探究方向,能够运用已有的知识进行交流,并将实际问题抽象为数学问题,就必须建立数学模型,从而形成比较完整的数学知识结构。
数学模型是数学知识与数学应用的桥梁,研究和学习数学模型,能帮助学生探索数学的应用,产生对数学学习的兴趣,培养学生的创新意识和实践能力,加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义,现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。
一.问题重述
二.模型的合理假设 三.模型建立与求解 四.模型的优缺点分析 五.模型的推广
一、 问题的重述
五局三胜制是乒乓球团体赛常用赛制,一方赢完散场比赛即终止赛事。
1、如何赢得一局比赛?
在一局比赛中,先得11分的一方为胜方;10平后,先多得两分的一方为胜方。
2、攻击次序和方位
在获得两分后,接发球方变为发球方,依次类推,直到该局比赛结束,或直至双方比分为10平,或采用轮换发球法时,发球和接发球次序不变,但每人只轮发1分球。在双打中,每次换发球时,前面的接发球员应成为发球员,前面的发球员的同伴应成为接发球员。在一局比赛中首先发球的一方,在该场比赛的下一局中应首先接发球,在双打比赛的决胜局中,当一方先得5分以后,接发球的一方必须交换接发球次序。一局中,在某一方位比赛的一方,在该场比赛的下一局应换到另一方位。在决胜局中,一方先得5分时,双方应交换方位。
五场三胜制
一、二、四、五场为单打,第三场为双打。
(1)一个队由三名运动员组成,每名运动员出场2次。
(2)比赛顺序是: 主队VS 客队 第一场 A —— X 第二场 B —— Y 第三场 C+A或B —— Z+X或Y 第四场 A或B —— Z 第五场 C —— X或Y (3)在打完前两场比赛后再确定双打运动员的出场名单。
A 或B 及X 或Y 如果参加了双打比赛,就不能参加后面的单打比赛;不参加双打比赛的运动员才可以参加后面的单打比赛。
此题是以“五局三胜制”进行乒乓球赛事,虽然两队实力相当,但不同的出场顺序可能导致不同的结果,所以合理的安排是取得成功的关键,题中所给矩阵也只是打满五局A 队获胜的预测结果。根据矩阵来说明两队实力的强弱,不同的出场方案会有哪些结果,若站在某队的角度,应采取那种出场方案,对“五局三胜制”进行的乒乓球赛事进行评价。
A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛,两队各派3名选
手上场,并各有3种选手的出场顺序(分别记为 和 )。根据过去的比赛记录,可以预测出如果A 队以 次序出场而B 队以 次序出场,则打满5局A 队可胜 局。由此得矩阵 如下:
(1) 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗?
(2) 如果两队都采取稳妥的方案,比赛会出现什么结果? (3) 如果你是A 队的教练,你会采取何种出场顺序?
(4) 比赛为五战三胜制,但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的,这样的数据处理和预测方式有何优缺点
乒乓球团体赛的比赛规则如下:从一个队中挑选出的三名比赛队员和一个队长
(可由参赛队员兼任,亦可由其他人员专任)组成。比赛之前,双方队长应抽签决定A 、B 、C 和X 、Y 、Z 的选择,并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的 队伍名单。现行的比赛顺序:第一场A —X ,第二场B —Y ,第三场 C —Z ,第四场 A —Y ,第五场 B —X 。每场比赛为三局两胜制。当一个队已经赢得三场个人比赛时,该次比赛应结束。
现有甲队挑选出的三名比赛队员分别是:A1、A2、A3,乙队挑选出的三名比赛队员分别是:B1、B2、B3,根据以往的历史资料,甲队与乙队比赛,甲队运动员在每一局中获胜的概率如表B.1所示。
表B.1:两队比赛,甲队运动员在每一局中获胜的概率 队员 B1 B2 B3 A1 0.50 0.55 0.60 A2 0.45 0.50 0.55 A3 0.40 0.45 0.50 你所要完成的问题如下:
1. 甲队教练将如何安排上场运动员的次序,使得本队获胜的概率最大。建立相应的数学模型,并说明你的理由。
2. 如果每一局比赛,A1胜B3的概率改为0.45,A3胜B1的概率改为0.55。在这种情况下,甲队教练将如何调整甲队队员的上场次序?
某中学将举行乒乓球比赛, 小明他们班有5人先进行淘汰赛, 选出一人参加学校的决赛, 班主任杨老师计算了一下比赛的次数:"嗯, 由于5是奇数, 所以第一轮有一个队员轮空, 第二轮中还得出现一次轮空, 一共需要进行4场比赛. 选拔出一个队员后, 学校共有37个班级参加决赛, 也采用淘汰赛, 你知道需要多少场比赛吗? 你还没有算出来吗? 哈哈! 还在画表格呀? 告诉你吧, 每场比赛淘汰一名队员, 一共要淘汰36名队员, 所以要进行36场比赛. 不过, 如果你想轻易地算出轮空的次
数却没有这么容易, 那么, 怎样计算轮空的次数呢?, 请看如下的分析:
不知道你注意了没有, 如果比赛人数正好是2的幂, 那么轮空次数就是0, 也就是说, 如果比赛人数是2,4,8,16,32等等, 就不会出现轮空, 如果不是这样类型的数, 则至少要有一次轮空. 假设有n 个队员参赛, 如果是奇数, 那么第一轮就有一名队员要轮空, 从第二轮开始的轮空数与(n+1)/2个队员参赛的轮空数是一样的, 所
以这时总的轮空数是: (用L(n)表示n 个队员参赛的轮空数)
L(n)=1+L((n+1)/2)
如果n 是偶数, 那么, 第一轮没有轮空, 从第二轮开始的轮空数与n/2个队员参赛
的轮空数是一样的, 所以有: L(n)=L((n)/2)
我们可以统一处理以上两个公式: L(n)=a0+L((n+a0)/2)
其中a0为1或为0取决于n 的奇偶性, 下面的a1,a2,a3... 也一样, 假定2k<><2k+1,并且规定n>=2,因为最后总是冠亚军决赛, 所以最后一场比赛总是2名队员. 继
续往下推, 我们有:
L(n)=a0+a1+L(a0/4+a1/2+n/4) =a0+a1+a2+L(a0/8+a1/4+a2/2+n/8)
=a0+a1+a2+...+ak-1+L(a0/2k+a2/2k-1+...+ak-1/2+n/2k)
k-1 k-1
= ∑as+L(1/2k∑as2s+n/2k) s=0 s=0
由于最后总有: k-1
1/2k∑as2s+n/2k=2 s=0 即:
k-1
∑as2s=2k+1-n s=0
我们看到,L(n)=a0+a1+a2+...+ak-1
所以, 只要将2k+1-n化成二进制表示, 其系数和就是轮空数, 也就是其中1的个数. 对于n=37,我们可以算出2k+1-n=64-37=27=11011,其中有4个1, 所以共有四次轮空
二、模型的合理假设
乒乓球规则的变化对各种因素的影响进行模糊综合评判。首先进行一定程
度的社会调查,得到一个模糊关系矩阵,再利用模糊数学的综合评判方法进行定量化分析。
乒乓球采用的
21分记分制若改为11分记分制,将对很多方面的因素起影响作用,这就
需要我们进行模糊综合评价。显然,本题的关键是通过调查获取较为客观的数据,通过对数
据的分析建立模糊矩阵 - (
1) 调查对象具有代表性,调查到的数据较严密。
(2) 乒乓球规则的变化只对赛场激烈程度、胜负的偶然性、球员的技术发挥、战术发挥、
心理因素起影响作用。 U:
因素集;
V:评语集;
iu: U
中第i 个元素;
iv: V
中第i 个元素;
Ri:
模糊关系矩阵;
Si:
第i 种乒乓球赛制变化影响的评语得分.
设因素集
U={激烈程度u1,偶然性u2,技术发挥u3,战术发挥u4,心理因素u5};
评语集V={影响v1,较影响v2,有些影响v3,不大影响v4,毫不影响v5}
。 根据我们的社会调查,得到两个因素论域U 与评语论域V 之间的模糊关系矩阵为
10.7370.2330.0200.0100
0.5670.2830.1230.0270
0.0570.4360.4300.0770
0.2700.4270.2630.0400
0.4730.2770.1500.0530.047 其中
R1为乒乓球21分制3盘2胜改为11
分制5盘3胜的模糊关系矩阵。
R2为乒乓球
21分制5盘3胜改为11分制的7盘4胜的模糊关系矩阵。
又经调查,各个因素u1,u2,u3,u4,u5的权为
A=(0.32 0.028 0.005 0.10 0.25),
从而两种规则的变化对应的模糊综合评判分别为
110.7370.2330.0200.0100
0.5670.2830.1230.0270
0.320.280.050.100.25
0.0570.4360.4300.0770
0.2700.4270.2630.0400
0.4730.2770.1500.0530.047
现对B1评语进行定量化处理,把
[0,1]区间等分成5份,第i 份对应评语集V 中的iv 元素,
记C1∈[0,1/5)(影响), C2∈[1/5,2/5)(较影响),C3∈[2/5,3/5)(有些影响),C4
∈[3/5,4/5)(不大影响),C5∈[4/5,1)(毫不影响) 得到一个关于评语的
分数向量C=
(C1,C2,C3,C4,C5),从而得分S=1
由于S1低<
1/5,1/5<S1高<2/5,故该影响充其量属于“较影响”。同理,对于乒乓球21
分5盘三胜制改为11分7盘4胜制有: S高 =1
0.0390.1350.1200.0690.030???? (
0.039 0.135 0.120 0.069 0.030)1/5 2/5 3/5 4/5 1
由于S2低<2/5
,2/5<S2高<3/5,故该影响总体充其量属于“有些影响”。
本模型计算出乒乓球
21分3盘2胜制改为11分5盘3胜制和21分5盘3胜制改为11
分7盘4胜制影响的模糊综合评判,并在此基础上进行定量化分析。对于前者,我们获得的
评价结果是“较影响”,主要原因是:赛场将变得更加激烈,胜负的偶然性变大,球员的技
术发挥和战术发挥将受到影响。而对于后者,我们获得的评价结果是“有影响”,原因是:
胜负的偶然性不再像前者那样大,主要是个人的实力因素影响。
:由于在一局开始时,如果输了球,比分会拉开距离,而每局只有11分,可能
没有追赶时间,因此在开局时尽可能使用“杀手锏”,及时进入状态。球员不仅要尽快适应
新赛制,在训练中进行技术和战术创新,而且要培养稳重的心理素质。 由于我们对问题进行定量分析,所得结果还是客观全面的。但鉴于社会调查的局限性,
调查对象虽在一定程度上具有代表性,但具体上还存在着误差,而调查到的数据由于只靠人
工统计,也存在着误差; 乒乓球赛制的变化,对很多方面起作用,不仅仅是假设中提到的因
素,这也存在着误差。
以后如果进行社会调查时,要广泛深入,多参考专家的评价,尽多地利用计算机统计数
据。
又如:
β1β2
α1R =
α2α3
?2 0 5?
133
β3
4??4?1??
当A 队以
αi 次序出场、B 队以βj 次序出场时,设这时A 队每一局比赛获胜的概
p i j
率是一个不变的常数,并且假设各局是否获胜是相互独立的(实际上也许并
不是这样,但是题目中给我们的信息太少,我们只能这样假设)。这样,5局比
赛就是一个独立重复试验序列。
比赛实际上是五局三胜制,要在五局三胜制比赛中最后获胜,才是真正获胜,因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举。
当A 选α1的时候,他能得到2,1,4。为赢1盘,输2盘,赢得总局数为7,最不利情况为1局。
当A 选α2的时候,他能得到0,3,4。为赢2盘,输1盘,赢得总局数为7,最不利情况为0局。 当A 选
α3的时候,他能得到5,3,1。为赢2盘,输1盘,赢得总局数为9,
α3都不利。而对比α2
最不利情况为1局。
综上所述,可得,不论B 选择什么方案,α1比a α2和和
α3,α3的战况和满意程度都比α2的高。故,A 队最稳妥的方案是α3。
同理,B 队最稳妥的方案是β1。
三、模型建立与求解
数学应用题如何建模:
建立数学模型是解数学应用题的关键,如何建立数学模型可分为以下几个层次:
第一层次:直接建模。
根据题设条件,套用现成的数学公式、定理等数学模型,注解图为:
将题材设条件翻译 成数学表示形式
应用题 审题 题设条件代入数学模型 求解 选定可直接运用的 数学模型
第二层次:直接建模。可利用现成的数学模型,但必须概括这个数学模型,对应用题进行分析,然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型
中所需数学量需进一步求出,然后才能使用现有数学模型。
第三层次:多重建模。对复杂的关系进行提炼加工,忽略次要因素,建立若干个数学模型方能解决问题。
第四层次:假设建模。要进行分析、加工和作出假设,然后才能建立数
学模型。如研究十字路口车流量问题,假设车流平稳,没有突发事件等才能建模。
根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗?
β1β2
α1R =
α2α3
β3
4?? 4?1??
?2
0 5?
133
设ξ是A 队在5局比赛中获胜的局数,显然,ξ服从二项分布b (5, p i j ) ,概率分布为
P {ξ=k }=C 5k p i k j (1-p i j ) 5-k ,k =0, 1, , 5 。
R 矩阵中的9个元素,是在9种不同的出场次序下A 队每局获胜的概率。假设这9种不同的出场次序出现的概率相同,都是9种不同的出场次序出现的概率相同,都是9,那么,就可以求出A 队在每一局比赛中获胜的局数
A=(2+1+4+0+3+4+5+3+1)/9=2.777778
2.777778大于2.5从每五局比赛来说,A 队的实力比B 队略微强一些。由五局的实力可得每局获胜的概率分别为2/5,1/5,4/5,0/5,3/5,4/5,5/5,3/5,1/5,我们可以得到这样一个矩阵
?0. 40. 20. 8?
P =(p i j ) =?00. 60. 8? 。
????10. 60. 2??
比赛是五局三胜制,要在五局三胜制比赛中最后获胜,才是真正获胜。
下面我们来计算在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率: A队最后获胜,可以分成下列几种情况: (1)A 队前三局获胜。这种情况的概率为 p i 3j ;
(2)在前三局中A 队胜二局,B 队胜一局,第五局A 队又胜一局。这种情况的概率为
C 32p i 2j (1-p i j ) p i j =3p i 3j (1-p i j ) ;
(3)在前四局中A 队胜二局,最后A 队又胜一局。这种情况的概率为
22C 4p i j (1-p i j ) 2p i j =6p i 3j (1-p i j ) 2 ;
把这三种情况加起来,就得到在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率
q i j =p i 3j +3p i 3j (1-p i j ) +6p i 3j (1-p i j ) 2
=p i 3j [1+3(1-p i j ) +6(1-2p i j +p i 2j )]=p i 3j (10-15p i j +6p i 2j ) 。
?0. 40. 20. 8?
将P =(p i j ) =?00. 60. 8? 各数值代入上式,可以计算出A 队最后获胜
????10. 60. 2??的一个矩阵
?0. 31744Q =(q i j ) =??0
??1
0. 057920. 682560. 68256
0. 94208?
0. 94208?? 。 0. 05792??
矩阵Q 中元素q i j 表示:当A 队以αi 次序出场、B 队以βj 次序出场时,在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率(也就是B 队最后失败的概率)。
如果两队都采取稳妥的方案,比赛会出现什么结果? 从矩阵
α1
Q =(q i j ) =
α2α3可以看出:
β1
?0. 31744?0???1
β2
0. 057920. 682560. 68256
β3
0. 94208?
0. 94208??0. 05792??
“稳妥的方案”对于B 队来说,需考虑最坏的情况,采用出场次序β1时,最坏的情况是A 队出场次序α3,B 队失败的概率为1,采用出场次序β2时,最坏的情况是A 队出场次序α2,α3,B 队失败的概率为0.68256,采用出场次序β3时,最坏的情况是A 队出场次序α1,α2,B 队失败的概率为0.94208,3个失败概率中,0. 68256为最小,所以,B 队最稳妥的方案是采用出场次序β2。
对于A 队来说,采用出场次序α1时,最坏情况是B 队采用出场次序β2,A 队获胜概率为0. 05792;采用出场次序α2时,最坏情况是B 队采用出场次序β1,A 队
获胜概率为0;采用出场次序α3,最坏情况是B 队采用出场次序β3,A 队获胜概
率为0. 05792。3个获胜概率中,0. 05792为最大,所以,A 队最稳妥的方案是采用出场次序α1或α3。
若B 队采用,β2A 队采用α1,则B 队获胜,若B 队采用β2,A 队采用α2α3,则A 队获胜。
若A 队采用α1,B 队采用β1,则B 队获胜,B 队采用β2,则A 队获胜,B 队采用β3,则A 队获胜。
若A 队采用α3,B 队采用β1,则A 队获胜,B 队采用β2,则A 队获胜,B 队采用β3,则B 队获胜。
如果你是A 队的教练,你会采取何种出场顺序? 从A 队角度来看,采用最稳妥的方案 3时获胜的概率最大
四、模型的优缺点分析
数学应用题的特点
我们常把来源于客观世界的实际,具有实际意义或实际背景,要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示,从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点:
第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法,使所求问题数学化,即将问题转化成数学形式来表示后再求解。
第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问 题能力的检验,考查的是学生的综合能力,涉及的知识点一般在三个以上,如果某一知识点掌握的不过关,很难将问题正确解答。
第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景,难于进行题型模式训练,用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题,对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。
比赛为五战三胜制,但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的,这样的数据处理和预测方式优点也有缺点。 优点:
虽是在打满五局的情况下得到的,但是可以推测两队的实力情况,进而指导出场
方案
缺点:
这只是在打满五局的情况下得到的,并不符合实际参赛规格,因此以上处理也仅供参考,但并不能完全凭借。
五、模型推广
针对其他赛事,如网球,排球,以及下棋等,我们也可以采取上述类似的方案,建立相应的模型,从而找到最优解。 建立数学模型应具备的能力:
从实际问题中建立数学模型,解决数学问题从而解决实际问题,这一数学全过程的教学关键是建立数学模型,数学建模能力的强弱,直接关系到数学应用题的解题质量,同时也体现一个学生的综合能力。 1提高分析、理解、阅读能力。
阅读理解能力是数学建模的前提,数学应用题一般都创设一个新的背景,也针对问题本身使用一些专门术语,并给出即时定义。如1999年高考题第22题给出冷轧钢带的过程叙述,给出了“减薄率”这一专门术语,并给出了即时定义, 能否深刻理解,反映了自身综合素质,这种理解能力直接影响数学建模质量。 2强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力。
将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等,这种译释能力是数学建成模的基础性工作。 例如:一种产品原来的成本为a 元,在今后几年内,计划使成本平均每一年比上一年降低p%,经过五年后的成本为多少?
将题中给出的文字翻译成符号语言,成本y=a(1-p%)5 3增强选择数学模型的能力。
选择数学模型是数学能力的反映。数学模型的建立有多种方法,怎样选择一个最佳的模型,体现数学能力的强弱。建立数学模型主要涉及到方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型。结合教学内容,以函数建模为例,
以下实际问题所选择的数学模型列表: 函数建模类型 实际问题
一次函数 成本、利润、销售收入等
二次函数 优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等 幂函数、指数函数、对数函数 细胞分裂、生物繁殖等 三角函数 测量、交流量、力学问题等 4加强数学运算能力。
数学应用题一般运算量较大、较复杂,且有近似计算。有的尽管思路正确、建模合理,但计算能力欠缺,就会前功尽弃。所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在,忽视运算能力,特别是计算能力的培养,只重视推理过程,不重视计算过程的做法是不可取的。
利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题,培养学生发散思维能力是很有益的,是提高学生素质,进行素质教育的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践,有利于实践能力的培养,是实施素质教育所必须的,需要引起教育工作者的足够重视。 加强高中数学建模教学培养学生的创新能力 四、培养学生的其他能力,完善数学建模思想。
由于数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个中小学数学学习过程之中,小学解算
术运用题中学建立函数表达式及解析几何里的轨迹方程等都孕育着数学模型的思想方法,熟练掌握和运用这种方法,是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的关键,我认为这就要求培养学生以下几点能力,才能更好的完善数学建模思想:
(1)理解实际问题的能力;
(2)洞察能力,即关于抓住系统要点的能力;
(3)抽象分析问题的能力;
(4)“翻译”能力,即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来,形成数学模型的能力和对应用数学方法进行推演或计算得到注结果能自然语言表达出来的能力;
(5)运用数学知识的能力;
(6)通过实际加以检验的能力。
只有各方面能力加强了,才能对一些知识触类旁通,举一反三,化繁为简,如下例就要用到各种能力,才能顺利解出。 例2:解方程组 x+y+z=1 (1) x2+y2+z2=1/3 (2) x3+y3+z3=1/9 (3)
分析:本题若用常规解法求相当繁难,仔细观察题设条件,挖掘隐含信息,联想各种知识,即可构造各种等价数学模型解之。
方程模型:方程(1)表示三根之和由(1)(2)不难得到两两之积的和(XY+YZ+ZX)=1/3,再由(3)又可将三根之积(XYZ=1/27),由韦达定理,可构造一个一元三次方程模型。(4)x,y,z 恰好是其三个根 t3-t2+1/3t-1/27=0 (4)
函数模型:
由(1)(2)知若以xz(x+y+z)为一次项系数,(x2+y2+z2)为常数项,则以3=(12+12+12)为二次项系数的二次函
f(x)=(12+12+12)t2-2(x+y+z)t+(x2+y2+z2)=(t-x)2+(t-y)2+(t-z)2为完全平方函数3(t-1/3)2,从而有t-x=t-y=t-z,而x=y=z再由(1)得x=y=z=1/3,也适合(3) 平面解析模型
方程(1)(2)有实数解的充要条件是直线x+y=1-z与圆x2+y2=1/3-z2有公共点后者有公共点的充要条件是圆心(O、O) 到直线x+y的距离不大于半径。 总之,只要教师在教学中通过自学出现的实际的问题,根据当地及学生的实际,使数学知识与生活、生产实际联系起来,就能增强学生应用数学模型解决实际问题的意识,从而提高学生的创新意识与实践能力。
数学建模随着人类的进步,科技的发展和社会的日趋数字化,应用领域越来越广泛,人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度,通过数学建模解数学应用题,提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题 的特点,把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析,希望得到同仁的帮助和指正。
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