初一数学中的分类讨论

范文一：初一数学中的分类讨论

初一（上）数学中的分类讨论（1）

在数学中, 如果一个命题的题设或结论不唯一确定, 有多种可能情况, 难以统一解答, 就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论, 最后综合归纳出问题的正确答案, 这种解题方法叫做分类讨论。笔者从以下四个方面对初一（上）数学中出现的分类讨论问题进行了探究。

一、由于问题中的几何图形的不确定而需要对其分类。

题1、已知线段AB ＝6cm, 点C 在直线AB 上,BC=2cm,则AC 之长为_________________

A 、8cm B 、4cm C 、8cm 或4cm D 、非以上答案

题2、已知∠A0B=120o，∠BOC=30o，则∠AOC=_____________________

题3、平面上, ∠AOB=100 o, ∠BOC=40 o, 若OM 平分∠AOB,ON 平分∠BOC, 求∠MON 的度数。

题4、在上午6点到7点之间, 时钟的时针和分针成直角的时刻是__________________

二、由于问题的条件和结论有多种可能情况而需要对其分类。

题5、平面内有四点，经过两点可画__________________条直线.

题6、富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的原价一定为__________________

A 、180

题7

(1)乙班比甲班少付多少元？

(2)甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？

B 、202.5 C 、180或202.5 D 、180或200 甲班分两次共购买苹果70kg （第二次多于第一次），共付189元，而乙班则一次购买苹果70kg.

分类讨论（2）

三、由于问题涉及到分类讨论的有关概念、法则、性质而需要对其分类。

题1、化简

(1)若|x+1|=3则x=__________________ (2)(-1)（n 为正整数）=__________________

(3)如果a =(-3) ，则a =.

四、由于问题含有的字母不同取值会导致不同结果而需要对其分类。

题2、绝对值不大于10的整数有个.

题3、式子

A 、2个 22n a b ab 的所有可能的值有++|a ||b ||ab |B 、3个 C 、4个 D 、无数个

题4、|a|＝5，|b|=3,求a+b的值

强化练兵

1、数轴上有A 、B 两点, 若A 点对应的数是-2, 且A 、B 两点的距离为3, 则点B 对应的数是__________________

1、A 、B 两地相距480千米, 一列慢车从A 地开出, 每小时行60千米, 一列快车从B 地开出, 每小时行65千米, 慢车先开出1小时, 两车相向而行, 慢车开出x 小时后, 两车相距100千米, 则列方程为

2、以∠A0B 的顶点O 为端点引射线OC, 使∠A0C: ∠BOC=5:4,若∠A0B=18 o, 求∠A0C 的度数.

3、在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点，已知AB ＝5cm ，点O 是线段AC 的中点，且OB=1.5cm，求线段BC 的长。

4、为了加强公民的节水意识, 合理利用水资源, 某市采用价格调控手段达到节水的目的, 该市

注:水费按月结算, 某户居民1月份用水8m3, 则应收水费:2×6+4×（8-6）=20元. 若该户居民3、4月份共用水15 m3 (4月份用水量超过3月份), 共交水费44元, 则该户居民3、4月份各用水多少立方米?

范文二：初一(上)数学中的分类讨论

初中数学解题思想方法专题培训

（一）分类讨论思想

在数学中, 如果一个命题的题设或结论不唯一确定, 有多种可能情况, 难以统一解答, 就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论, 最后综合归纳出问题的正确答案, 这种解题方法叫做分类讨论。

一、由于问题涉及到分类讨论的有关概念、法则、性质而需要对其分类。题1、化简

(1)若|x+1|=3则x=

(2)(-1)（n 为正整数）=

(3)数轴上有A 、B 两点, 若A 点对应的数是-2, 且A 、B 两点的距离为3, 则点B 对应的数是

(4)求-1+(-1)+(-1)+…+(-1)＝（n 为正整数）

二、由于问题含有的字母不同取值会导致不同结果而需要对其分类。题2、比较a 、a+b的大小

题3、式子

三、由于问题的条件和结论有多种可能情况而需要对其分类。

题4、平面内有四点，经过两点可画多少条直线

题5、富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的原价一定为

23n n a b ab ++的所有可能的值有|a ||b ||ab |

题6

(1)乙班比甲班少付多少元？

(2)甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？

四、由于问题中的几何图形的不确定而需要对其分类。题7、已知线段AB ＝6cm, 点C 在直线AB 上,BC=2cm,则AC 之长为

题8、已知∠A0B=120o，∠BOC=30o，则∠AOC=

题9、平面上, ∠AOB=100 o, ∠BOC=40 o, 若OM 平分∠AOB,ON 平分∠BOC, 求∠MON

题10、在上午6点到7点之间, 时钟的时针和分针成直角的时刻是

强化练兵

2、以∠A0B 的顶点O 为端点引射线OC, 使∠A0C: ∠BOC=5:4,若∠A0B=18 o, 求∠A0C 的度数.

甲班分两次共购买苹果70kg （第二次多于第一次），共付189元，而乙班则一次购买苹果70kg.

3、在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点，已知AB ＝5cm ，点O 是线段AC 的中点，且OB=1.5cm，求线段BC 的长。

4、为了加强公民的节水意识, 合理利用水资源, 某市采用价格调控手段达到节水的目的, 该市自来水收费价格见价目表

范文三：专题2：几何图形问题中的分类讨论

初三数学专题复习— 几何图形中的分类讨论(一)

1、热身训练:(1)已知等腰三角形的一个内角为 75°,则其顶角为 ________. (2)已知等腰三角形的两条边长分别是 3和 5, 则三角形的周长 ____________. (3)已知等腰三角形的一腰上的高与另一腰成 35°,则此等腰三角形的顶角是 (4)已知,在 Rt △ ABC 中, AB=5, BC=4,则 AC= .

(5) 已知, 在 △ ABC 中, AB=5, AC =3, AD 是 BC 上的高, 且 AD=2, 则 BC=______ 注 :

2、例题讲解:问题 1:如图,在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为(2, 1) , 则在 x 轴上是否存在点 P ,使△ AOP 为等腰三角形?若存在,写出所有符合条件的 P 点坐标;若不存在,请说明理由 .

变式 1:如上图,在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为(2, 1) . 则在坐标轴上是否存在点 P ,使△ AOP 为直角三角形?若存在,写出所有符合条件的 P 点坐标;若不存在,请说明理由 .

变式 2:在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为(2, 1) ,若点 B 的坐标为(4, 0) ,点 P 为坐标平面上的一点,则当以点 O 、 A 、 B 、 P 为顶点的四边形是平行四边形时,求点 P 的坐标 .

问题 2:直线 AB 与 x 轴, y 轴交于 A (3, 0) B (0, ) , 点 C 为线段 AB 上一动点,过 C 作 CD ⊥ x 轴于 D 点 . (1)、求直线 AB 的解析式 . (2)、若梯形 OBCD 的面积是

,求 C 点坐标 . (3)、在第一象限内是否存在点 P ,使以 P 、 O 、 B 为顶点的三角形与△ OBA 相似, 若存在,写出 P 点坐标;若不存在,请说明理由

a x

问题 3:如图,在 Rt △ ABC 中,∠ B=90°, BC=4cm, AB=8cm, D 、 E 、 F 分别为 AB,AC,BC 边上的中点, 若 P 为 AB 边上的一个动点, PQ ∥ BC 且交 AC 于点 Q , 以 PQ 为一边, 在 A 的异侧作正方形 PQMN , 记正方形 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分面积 y .

(1)当 AP=3cm时,求 y 的值 .

(2)设 AP=xcm,试用含 x 的代数式表示 ycm 2. (3)当 y=2cm2时,试确定点 P 的位置 .

3、巩固练习:

(1) 在 Rt △ ABC 中, AB=6, BC=8,则这个三角形的外接圆直径是 __________ (2)已知点 M (0, 1) , N (0, 3) ,在直线 y=2x+4上找一点 P , 使 △ MPN 为直角三角形,求点 P 的坐标 .

(3)如图,在平面直角坐标系中,分别平行 x 、 y 轴的两直线 a 、 b 相交于点 A(3, 4) .连接 OA ,若在直线 a 上存在点 P ,使 △ AOP 是等

腰三角形.那么所有满足条件的点 P 的坐标是

初三数学专题复习 — 几何图形中的分类讨论(二)

1、热身训练:

(1)∠ A=500

,∠ B=600

,一直线 l 与 △ ABC 的边 AC 、 AB 边相交于点 D 、 E 两点, 当∠ ADE 为 ________ 度时, △ ABC 与 △ ADE 相似。

(2)如图, AB ⊥ BD , CD ⊥ BD , B 、 D 分别为垂足,已知 AB = 2,

CD = 3, BD = 7,点 P 是线 BD 上的一动点,若使点 P 分别与

A 、 B 和 C 、 D 构成的两个三角形相似,则线段 PB 的长 (3)已知相切两圆的圆心距为 5,一个圆的半径为 2,则另一个圆的半径为

F N

(4)已知点 P 到⊙ O 的最近距离为 3cm ,最远距离为 13cm ,求⊙ O 的半径 (5)在半径为 5的圆中,有两条平行弦 AB 和 CD ,如果 AB=6,CD=8,那么弦 AB 和 CD 之间的距离是 _________

(6)⊙ O 的直径 AB=2,过点 A 有两条弦 AC=2, AD=3,∠ CAD= (7)已知相交两圆的半径分别为 8cm 和 5cm ,公共弦长为 6cm ,求这两圆的圆心距

(8)已知直线 AB 上一点 C ,且 CA=3AB,则线段 CA 与线段 CB 之比注:

2、例题讲解:

(1)如图,已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm,BC=6cm..某一时刻,动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm /s 的速度向 B 点匀速运动;同时,动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm /s 的速度向 A 点匀速运动,问:是否存在时刻 t ,使以 A,M,N 为顶点的三角形与 ΔACD 相似?若存在,求 t 的值;若不存在,请说明理由.

(2) 如图:在⊿ ABC 中, ∠ C=90°,BC=6,AC=8. P、 Q 分别为 AC 、 BA 上的动点, 且 BQ=2AP,联结 PQ, 设 AP=x.

1)在点 P 、点 Q 移动的过程中,⊿ APQ 能否与⊿ ABC 相似?若能,请求出 AP 的长;若不能,请说明理由。

2)当 x 为何值时,⊿ APQ 是等腰三角形?

3)若⊙ C 的半径为 1,以点 Q 为圆心, BQ 长为半径作⊙ Q ,求当⊙ C 与⊙ Q 相切时求 AP 的长。

4) 若将题中条件 “ 点 Q 为 BA 上的动点 ” 改为 “ 点 Q 为射线 BA 上的动点 ” , 其它条件不变,设⊿ APQ 的面积为 y, 求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出函数的定义域。 3、巩固练习

(1)在平面直角坐标系中,已知点 P (-2,-1) . 过 P 作 y 轴的垂线 PA, 垂足为 A. 点 T 为坐标轴上的一点 . 若以 P , O , T 为顶点的三角形与 △ AOP 相似 , 请写出点 T 的坐标 ?

【变式】若点 T 在第四象限 , 请写出点 T 的坐标。

(2)小圆的圆心在原点,半径为 3,大圆的圆心坐标为 (a, 0) ,半径为 5,如果两

圆内含,那么 a 的取值范围是 _________。

(3)如图,直线 4

y x =-+与 x 轴, y 轴分别交于点 M , N

1)求 M , N 两点的坐标;

2) 如果点 P 在坐标轴上, 以点 P 125为半径的圆与直线 4

y x =-+相

切,求点 P 的坐标。

范文四：几何图形中的分类讨论(强化练习)

练习

- 1 -

几何图形中的分类讨论

——圆

强化练习:

1、如图, AB 是圆 O 的弦, AC 是圆 O 的切线, ∠=?BAC 60,则弦 AB 所对的圆周角等于 __________。

2、相交两圆的半径分别为 8和 5,公共弦为 8,这两个圆的圆心距等于 _________。

3、已知在直径 AB 为 13的半圆上有一点 C , CD ⊥ AB ,垂足为 D ,且 CD =6, 则 AD 的长为 .

4、已知⊙ 1O 和⊙ 2O 相外切, 1R =1、 2R =2,半径为 3的⊙ O 与两圆都相切,则满足条件的圆个数共有个。

5、已知圆 O 1和圆 O 2相内切,圆心距为 1cm ,圆 O 2半径为 4cm ,求圆 O 1的半径。

6、如图所示 , 点 A 坐标为 (0, 3) , ⊙ A 半径为 1, 点 B 在 x 轴上 .

(1) 若点 B 坐标为 (4, 0) , ⊙ B 半径为 3, 试判断 ⊙ A 与 ⊙ B 位置关系 ;

(2) 若 ⊙ B 过 M (-2, 0) 且与 ⊙ A 相切 , 求 B 点坐标 .

7、如图,在 Rt △ ABC 中,∠ ACB =90°, AC =6㎝, BC =8㎝ , P 为 BC 的中点.动点 Q 从点 P 出发,沿射线 PC 方向以 2㎝ /s的速度运动,以 P 为圆心, PQ 长为半径作圆.设点 Q 运动的时间为 t s.

⑴当 t =1.2时,判断直线 AB 与⊙ P 的位置关系,并说明理由;

⑵已知⊙ O 为△ ABC 的外接圆,若⊙ P 与⊙ O 相切,求 t 的值.

练习 - 2 -

范文五：专题提升7-相似图形中的分类讨论

专题提升7 相似图形中的分类讨论 1(已知?ABC与?DEF相似，?ABC的三边长分别为2 cm，3 cm，4 cm，?DEF的一边长是8 cm，则?DEF其余两边的长不可能是(B)

A(6 cm和4 cm B(12 cm和10 cm

3216C(16 cm和12 cm D. cm和 cm 33

【解】提示:分?DEF的最大边为8 cm～最小边为8 cm和最大边或最小边均不为8 cm这三种情况讨论(

2(在?ABC中，E是AB上一点，AE,2，BE,3，AC,4.在AC上取一点D，使?ADE与?ABC相似，则AD的值是(C)

855828A. B. C.或 D.或 522555

【解】如解图(

(第2题解)

ADAB?若?ADE??ABC～则,. AEAC

?AE,2～BE,3～?AB,5.

55AD,～?AD,, ?242

AEAB?若?AED??ABC～则,～ ADAC

258?,～?AD,. AD45

58综上所述～AD的值是或. 25

3(如图，在梯形ABCD中，AD?BC，?D,90?，AD,2，BC,5，DC,8.若DC边上有一点P，使?PAD与?PBC相似，则符合条件的点P有(C)

A(1个 B(2个

C(3个 D(4个

【解】设PD,x～则PC,8,x.

在?PAD与?PBC中～?D,?C,90?.

ADPD2x?若?PAD??PBC～则,～即,～ BCPC58,x

16解得x,～符合题意( 7

ADPD2x?若?PAD??BPC～则,～即,～ PCBC8,x5

解得x,4?6～均符合题意(

综上所述～符合条件的点P有3个(

(第3题) (第4题)

4(将三角形纸片(?ABC)按如图的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.

12已知AB,AC,3，BC,4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与?ABC相似，则BF的长是7或2(

【解】易得?B′EF??BEF～?可设B′F,BF,x～则CF,4,x.

??C,?C～?分情况讨论:

B′F4,xFCx12?若?B′FC??ABC～则,～即,～?x,. ABBC347

B′F4,xFCx?若?FB′C??ABC～则,～即,～?x,2. BAAC33

12综上所述～BF的长是或2. 7

5((本溪中考)在?ABC中，AB,6 cm，AC,5 cm，点D，E分别在AB，AC上(若?ADE

5与?ABC相似，且S?S,1?8，则AD,或2cm. ?四边形ADEBCED3

【解】 ?S?S,1?8～ ?四边形ADEBCED

?S?S,1?9～ ??ADEABC

??ADE与?ABC相似比为1?3.

分情况讨论:

AD1?若?AED??ABC～则,. AC3

5?AC,5 cm～?AD, cm, 3

AD1?若?ADE??ABC～则,. AB3

?AB,6 cm～?AD,2 cm.

5综上所述～AD, cm或2 cm. 3

6(如图，在Rt?ACB中，?C,90?，AC,4 cm，BC,3 cm，点P由点B出发沿BA方向向终点A匀速运动，速度为1 cm/s;同时点Q由点A出发沿AC方向向终点C匀速运动，速度为2 cm/s.连结PQ，设点P，Q运动的时间为t(s)(0,t,2)，当以A，P，Q为顶点的三

1025角形与?ACB相似时，t的值为或( 713

(第6题)

【解】在Rt?ACB中～ 22?AC,4～BC,3～?AB,AC，BC,5.

由题意～得BP,t～AQ,2t～?AP,5,t.

??A,?A～?分两种情况:

5,tAQAP2t10?若?APQ??ABC, 则,～即,～解得t,. ACAB457

5,tAQAP2t25?若?AQP??ABC～则,～即,～解得t,. ABAC5413

1025综上所述～t的值为或. 713

7(在?ABC中，P是AB上的动点(点P异于A，B两点)，过点P的直线截?ABC，使截得的三角形与?ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的?ABC的相似线，简记为P(l)(xx为正整数)(

(1)如图?，?A,90?，?B,?C，当BP,2PA时，P(l)，P(l)都是过点P的?ABC的相12

似线[其中P(l)?BC，P(l)?AC]，此外还有1条过点P的?ABC的相似线( 12

(第7题)

133BP(2)如图?，?C,90?，?B,30?，当,或或时，P(l)截得的三角形面积为?ABCxBA244

1面积的. 4

【解】 (1)过点P作l?BC～则l也是过点P的?ABC的相似线( 33

(2)分三种情况讨论:

BP1?如解图?～P为斜边AB的中点～,, BA2

BP3?如解图?～CP为AB的垂线～,, BA4

1BP3?如解图?～BP,BC～,. 2BA4

1331综上所述～当BP,或或时～P(l)截得的三角形面积为?ABC面积的. x2444

(第7题解)

8(已知矩形ABCD与长为30，宽为20的矩形相似，且AB,15，求矩形ABCD的周长和面积(

3020【解】若AB为长～则有,～解得CB,10. 15CB

此时矩形ABCD的周长,2×(15，10),50～矩形ABCD的面积,15×10,150,

2030若AB为宽～则有,～解得CB,22.5. 15CB

此时矩形ABCD的周长,2×(15，22.5),75～矩形ABCD的面积,22.5×15,337.5.

19(如图，在平面直角坐标系中，直线y,x，1交x轴于点A，交y轴于点B.试在y轴上找2

一点P，使?AOP与?AOB相似，你能找出几个这样的点(点P与点B不重合),分别求出对应AP的长(

(第9题)

OB1【解】易可求得点A(,2～0)～B(0～1)～?,. OA2

?点P在y轴上～且点P与点B不重合～

??AOB,?AOP,90?.

OP1OP2若?AOP与?AOB相似～则,或,～ OA2OA1

?OP,4或OP,1.

22～4)或P(0～,4)～此时AP,2,25, ?当OP,4时～点P(0，422当OP,1时～点P(0～,1)～此时AP,2，1,5.

综上所述～共有3个点满足条件～分别为点P(0～4)～P(0～,4)～P(0～,1)～AP,AP12312,25～AP,5. 3

10(如图，已知CA?AB于点A，DB?AB于点B，AB,12 m，AC,4 m(一只蚂蚁由点B向终点A爬行，每分钟前进1 m，另一只蚂蚁由点B向点D爬行，每分钟前进2 m(他们同时出发，点P，Q为它们在某一时刻的位置，则爬行几分钟后，以A，C，P为顶点的三角形与以B，P，Q为顶点的三角形相似,并说明理由(

(第10题)

【解】设爬行x(min)后～以A～C～P为顶点的三角形与以B～P～Q为顶点的三角形相似( 由题意～得PB,x(m)～BQ,2x(m)～?AP,(12,x)m.

??A,?B,90?～

?分两种情况讨论:

?当?ACP??BPQ时～

ACBP4x,～即,～解得x,4. APBQ12,x2x

?当?ACP??BQP时～

ACBQ42x,～即,～解得x,10. APBP12,xx

由题意～得0?x?12～故两个x值均符合题意(

?爬行4 min或10 min后～以A～C～P为顶点的三角形与以B～P～Q为顶点的三角形相似( 11(若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图?，在矩形ABCD中，BC,2AB，则称矩形ABCD为方形(

(第11题)

(1)设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值(一组即可)(

(2)如图?，在?ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连线为一边作矩形，使这些矩形的边BC，BC，BC，BC的对边分别在BC，BC，BC，11223344223344BC上(

?若BC,25，BC边上的高线长为20，则以BC为一边的矩形是不是方形,为什么, 44

?若以BC为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高线长之比( 33

【解】 (1)答案不唯一～如a,2～b,4.

(2)?以BC为一边的矩形不是方形(理由如下: 44

过点A作AM?BC于点M～交BC于点E～交BC于点F～交BC于点G～交BC于点11223344N～则AM?BC. 44

?BC?BC～??ABC??ABC～ 4444

BCANAB4444?,,,. BCAMAB5

?BC,25～AM,20～

?BC,20～AN,16～ 44

?MN,4～即以BC为一边的矩形的另一边长为4. 44

?4×2,8?20～4?2,2?20～

?以BC为一边的矩形不是方形( 44

1?设AM,h～则GN,h. 5

同?可得～?ABC??ABC～ 33

BCAGAB3333?,,,. BCAMAB5

?以BC为一边的矩形为方形～ 33

22BC2?当BC,2GN,h时～BC,h～?,, 3353AM3

111BC1当BC,GN,h时～BC,h～?,. 332106AM6

21综上所述～BC与BC边上的高线长之比是或. 36

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