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范文一：电大工程数学

电大工程数学

电大天堂【工程数学】形成性考核册答案

工程数学作业(一)答案(满分100分)

矩阵第2章

(一)单项选择题(每小题2分，共20分)

?设b1a2b2a3a1a22a2,3b2a32a3,3b3 (D )( b3 2，则2a1,3b1

c1c2c3c1c2c3

A. 4 B. ,4 C. 6 D. ,6

0001

?若00a0

0200 1，则a (A )(

100a

A. 1

2 B. ,1 C. ,1

2 D. 1

?乘积矩阵 1,1

,103

521 中元素c 23 (C )(

A. 1 B. 7 C. 10 D. 8

?设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是( B)(

A. A,B,1 A,1,B,1 B. (AB),1 BA,1

C. (A,B),1 A,1,B,1 D. (AB),1 A,1B,1

?设A,B均为n阶方阵，k 0且k 1，则下列等式正确的是(D

A. A,B A,B B. AB nAB

C. kA kA D. ,kA (,k)nA

?下列结论正确的是( A)(

A. 若A是正交矩阵，则A,1也是正交矩阵

B. 若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵

C. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵

D. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB 0

?矩阵 13

25 的伴随矩阵为( C)(

A. 1,3

,25 B. ,13

2,5

C. 5,3 ,53

,21 D.

2,1

?方阵A可逆的充分必要条件是(B )(

A.A 0 B.A 0 C. A* 0 D. A* 0

?设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则(ACB ),1 (D )(

A. (B ),1A,1C,1 B. B C,1A,1

1 )(

C. AC(B) D. (B) CA

?设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(A )(

A. (A,B) A,2AB,B B. (A,B)B BA,B

C. (2ABC),12222,1,1,1,1,1,1 2C,1B,1A,1 D. (2ABC) 2C B A

(二)填空题(每小题2分，共20分)

?1,1,4

000 ,10

?11,1

11x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 ,51 ?若A为3 4矩阵，B为2 5矩阵，切乘积AC B 有意义，则C为矩阵( 11 15 A ?二阶矩阵 01 ( 01

12 ,120 ?设A 40,B ，则(A,B ) 3,14 ,34

?设A,B均为3阶矩阵，且A B ,3，则,2AB

1a ?若A 为正交矩阵，则a 0 ( 01

2,12 ?矩阵402的秩为 2 ( 0,33

A1 ?设A1,A2是两个可逆矩阵，则 O

(三)解答题(每小题8分，共48分) 06,3 5,18 72 ( ,12 ?设A,B均为3阶矩阵，且A ,1,B ,3，则,3(A B) O A2 ,1 A1,1 OO ( ,1 A2

12 ?设A ,B ,35

?(AB) C( ,11 43 ,C 54 求?A,B;?A,C;?2A,3C;?A,5B;?AB;

3,1 ，

6 1716 2A,3C 37 4

7 5621 (AB)C 15180 12 03 6A,C 答案:A,B

0 18 2622 7A,5B AB 23 120

,121 ?设A ,B 0,12 103 21,1 ,C ,114 3,21 ，求AC,BC( 002

解:AC,BC (A,B)C 024

201 ,114

3,21

6,410

002 ,2210

310

?已知A ,121 ,B 102

,111 ，求满足方程3A,2X B中的X( 342 211

解: 3A,2X B

X 1

2(3A,B) 1 83,2 4

2 ,252 2,1

,15

7115 2 7115

222

?写出4阶行列式

1020

,1436

02,53

3110

中元素a41,a42的代数余子式，并求其值(

020120

答案:a41 (,1)4,1436 0 a42 (,1)4,2,136 45

2,530,53

?用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:

122 1234 ? 312 1000

21,2

; ? 2

2,21

111,1 ; ? 1100

10,2,6 1110 (

1111

解:(1)

122100

,2r 1,122100 2 r0,2,120 A|I 21,2010 r

, 2r2

1 , r3 0,3,6,210 32,r1 1

,3,6,32310

2 , 2r2,r3 0 ,21001 0,6,3,201 0092,21

12122 ,1

3r2

,10,2,330

2r3,r1 100999

9r3 1 0122,10 , 2r3 , r21021,2

00133

0019299

9,21

99 9,2

122

A,1 9 219

99,

2 9,219

(2)A,100 22,6,2617 1 ,175 ,1120,130,1 (过程略) (3)

A ,1 0,1102,1 4,1,530,1 00 0 0 1

1 1 ?求矩阵 1 2

1011011 101100 的秩( 012101 113201 1 1011011 01101011011 1 ,

1101100 ,rr1,r2

1,r3 1,101,1,1

12101 , 2r1 , r4 0

0 , r2, r4 01,10 1 00011,10 0001解:

2113201 01,112,2,1 0001

1011011

, r3, r4 01,101,1,1

00011,10

0000000

R(A) 3

(四)证明题(每小题4分，共12分)

?对任意方阵A，试证A,A 是对称矩阵(

证明:(A,A’)’ A’,(A’)’ A’,A A,A’

A,A 是对称矩阵

?若A是n阶方阵，且AA I，试证A 1或,1( 证明: A是n阶方阵，且AA I

AA AA A2 I 1

A 1或A ,1

?若A是正交矩阵，试证A 也是正交矩阵(

证明: A是正交矩阵

A,1 A

(A ),1 (A,1),1 A (A )

即A 是正交矩阵

工程数学作业(第二次)(满分100分)

第3章线性方程组

(一)单项选择题(每小题2分，共16分)

x1,2

?用消元法得 x2,4x3 1 x1

2,x

3 0的解 x2为(C )(

3 2

A. [1,0,,2] B. [,7,2,,2]

C. [,11,2,,2] D. [,11,,2,,2]

,1,1 ,10 ,10 4 111

x1,2x2,3x3 2 ,x3 6(B )( ?线性方程组 x1 ,3x,3x 423

A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

1 0 0 1 3 ?向量组0,1,0,2,0的秩为( A)( 0 0 1 1 4

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

1 0 1 1 1 0 0 1

?设向量组为 1 , 2 , 3 , 4 ，则(B )是极大无关组( 0 1 1 1 010 1

A. 1, 2 B. 1, 2, 3 C. 1, 2, 4 D. 1

?A与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则(D)(

A. 秩(A) 秩() B. 秩(A) 秩()

C. 秩(A) 秩() D. 秩(A) 秩(),1

?若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组(A )(

A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解

?以下结论正确的是(D )(

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解

B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解

C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解

D. 齐次线性方程组一定有解

?若向量组 1, 2, , s线性相关，则向量组 B. 没有一个向量

C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量

9(设A，,为n阶矩阵，既是,又是,的特征值，x既是,又是,的属于的特征向量，则结论( )成立(

,( 是AB的特征值 ,( 是A+B的特征值

,( 是A,B的特征值 ,(x是A+B的属于的特征向量

10(设,，,，,为n阶矩阵，若等式(, )成立，则称,和,相似(

,(AB BA ,((AB) AB ,(PAP,1 B ,(PAP B

(二)填空题(每小题2分，共16分)

x1,x2 0 ?当时，齐次线性方程组有非零解( x,x 02 1

?向量组 1 0,0,0 , 2 1,1,1 线性(

?向量组 1,2,3 , 1,2,0 , 1,0,0 , 0,0,0 的秩是

?设齐次线性方程组 1x1, 2x2, 3x3 0的系数行列式1 2 3 0，则这个方程组有

解，且系数列向量 1, 2, 3是线性的(

?向量组 1 1,0 , 2 0,1 , 3 0,0 的极大线性无关组是 1, 2( ?向量组 1, 2, , s的秩与矩阵 1, 2, , s 的秩相同 (

?设线性方程组AX 0中有5个未知量，且秩(A) 3，则其基础解系中线性无关的解向量有个(

?设线性方程组AX b有解，X0是它的一个特解，且AX 0的基础解系为X1,X2，则AX b的通解为X0,k1X1,k2X2(

9(若是,的特征值，则是方程 I,A 0 的根( 10(若矩阵,满足A,1 A ，则称,为正交矩阵( (三)解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1(用消元法解线性方程组

x1,3x2,2x3,x4 6

3x1,8x2,x3,5x4 0 ,2x1,x2,4x3,x4 ,12

,x1,4x2,x3,3x4

解:

1,3,2,16 ,3r,r 1,3,2,16 3r,r 1

01923,48

A 3,8150 2rr1r21

1,3 01 5r22,r3

1,r478,18,r1,r0178,18 ,21,41,12 0,5,8,10 4

,90

,14,1,32 01,3,48 0

0,10,12

26 3r 101923

,48 1

01923,48 ,124 ,14,r3

2r 4

178,18 ,19r,r 10042

,7r31

3,r ,46 0178,18 ,1r3 0 0

0,312

3 001,14

, 5r2

3 , r4

01015

001,14 0056,13

0056,13

00011,33

10042,124 0002

1,42r 11 r4

01015,46 ,15r4,r1

4,r2

0100,1 x1 2 001,14

r 4,r 3

0101

方程组解为

x2 ,1

01,3 0

1,3 x3 100

x4 ,3

,(设有线性方程组

11 x

1 1 y 1

11 z 2

为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?

111 11 2 ,r,r 11 2

1 1 r 1 r3

1 1 , 1r2

1 , r3 0 ,11, , 2 解: 11 2

111 01, 1, 21, 3

r 2, r3

0 ,11, (1, )

00(2, )(1, )(1, )(1, )2

当 1且 ,2时，R(A) R() 3，方程组有唯一解

当 1时，R(A) R() 1，方程组有无穷多解

,(判断向量能否由向量组 1, 2, 3线性表出，若能，写出一种表出方式(其中

,8 ,2 3 ,5

,3 7 ,5 ,

, 6

1 , 2 , 3

,10

解:向量能否由向量组 1, 2, 3线性表出，当且仅当方程组 1x1, 2x2, 3x3 有

解

,23,5,8 1037

这里 , 7,5,6,31,341

1, 23,

1037 0010,117 3,21,10 000571

R() R(A)

方程组无解

不能由向量 1, 2, 3线性表出

,(计算下列向量组的秩，并且(1)判断该向量组是否线性相关

1 3 ,1 1

,1 ,7 ,3

1 2 , 2 8

3 , 3 0 , 4 6

9 ,3

4 13 3

13,11 13,11

,1,7,39 0112 解:

1, 2, 3, 4 2806 00018

39,33

0000

413,36

0000

该向量组线性相关

,(求齐次线性方程组

x1,3x2,x3,2x4 0

,5x1,x2,2x3,3x4 0

,x1,11x

2,2x3,5x4 0

3x1,5x2,4x4 0

的一个基础解系(

解:

1,31,2 5r,r 1,31,2 ,3r52,1

A ,51,23 12,7 ,r 11

r1,r3 ,14 014,rr2,r3

2,27

1,112,5 , 3r1 , r4 0,143

, 0,143,7 , r4 0,143 3504 014,3 0000

10 0003

0505

1r14,

2 114,

1140 r14

3 r4

12 2r3,r1 11

1,31 1

2 3 r3 01,32 , 2r3 ,r2 1,30 000143 1 0

0014 0 0

00141

x51 ,x3

14 ,5 14 方程组的一般解为 x3 3

2 14x3 令x3 1，得基础解系

14 x4 0

1 ,(求下列线性方程组的全部解(

x1,5x2,2x3

,3x4 11

,3x1,x2,4x3,2x4 ,5

,x1,9x2,4x4 17 5x1,3x2,6x3

,x4 ,1

解:

1,52,311 3r,r 1,52

11 ,5r92,r 1 ,31,42,5 12

,728 10

,14

7,1 r1,r3 , 5r1 ,r40,142

2r r2,r3

2, r4

0,14

2,2

7 ,1,90,417

0,142,728 0000 536,1,1

028,414,56

0000 1097,11

,1 14 r2 0

112x ,71,2 19x3,2x4,1 0007200 方程组一般解为 x2 ,11

0 7x3,2x4,2

令x3 k1，x4 k2，这里k1，k2为任意常数，得方程组通解

x 1 ,7k1,1k2,1 ,7 1

x 1929 2 1

2 k11,k2,2 k 1 ,k ,1 , x12

3 x 7 k2 7 2 0

1 1 0

4 k2

0 1 0 ,(试证:任一,维向量 a

1,a2,a3,a4 都可由向量组

1 1 1 1 01 1 1 1 0 ， 2 0 ，

3 1

， 4 1

0 0 0

1 线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式(

1 0 0 0 0 1 00

证明: 12,1 3, 2 0 4, 3 1

0 0

0 0 1

1 28

任一,维向量可唯一表示为

a1 1 0 0 0 a 0 1 0 0 2 a1 ,a2 ,a3

,a4 a1 1,a2( 2, 1),a3( 3, 2),a4( 4, 3)

a3 0 0 1 0 a000 1 4

(a1,a2) 1,(a2,a3) 2,(a3,a4) 3,a4 4

?试证:线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有

零解( 证明:设AX B为含n个未知量的线性方程组

该方程组有解，即R() R(A) n

从而AX B有唯一解当且仅当R(A) n

而相应齐次线性方程组AX 0只有零解的充分必要条件是R(A) n

AX B有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组AX 0只有零解

9(设是可逆矩阵,的特征值，且 0，试证:1是矩阵A,1

的特征值(

证明: 是可逆矩阵,的特征值

存在向量，使A

I (A,1A) A,1(A ) A,1( ) A,1 A,1 1

即1

是矩阵A,1的特征值

10(用配方法将二次型f x2

1,x2,x22

23,x4,2x1x2,2x2x4,2x2x3,2x3x4化为标准型(

解:

f (x222x22

1,x2),x3,x4,2x2x4,2x2x3,2x34 (x1,x2)2,x3,2x3(,x2,x4),x4,2x2x4

(x22

1,x2),(x3,x2,x4)2,x2

令y1 x1,x2，y2 x3,x2,x4，y3 x2，x4 y4

x1 y1,y3

即 x2 y3

x3 y

2,y3,y4

x4 y4

则将二次型化为标准型 f y2

1,y22

2,y3

工程数学作业(第三次)(满分100分)

第4章随机事件与概率

(一)单项选择题

?A,B为两个事件，则( B)成立(

A. (A,B),B A B. (A,B),B A

C. (A,B),B A D. (A,B),B A

?如果( C)成立，则事件A与B互为对立事件(

A. AB B. AB U

C. AB 且AB U D. A与互为对立事件

?10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概

率为(D

A. C32

10 0.7 0.3 B. 03. C. 0.72 0.3 D. 3 0.72 0.3

4. 对于事件A,B，命题(C )是正确的(

9 )(

A. 如果A,B互不相容，则,互不相容

B. 如果A B，则 B

C. 如果A,B对立，则,对立

D. 如果A,B相容，则,相容

?某随机试验的成功率为p(0 p 1),则在3次重复试验中至少失败1次的概率为(D )(

A.(1,p)3 B. 1,p3 C. 3(1,p) D. (1,p)3,p(1,p)2,p2(1,p)

6.设随机变量X~B(n,p)，且E(X) 4.8,D(X) 0.96，则参数n与p分别是(A )(

A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2

7.设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则对任意的a,b(a b)，E(X) (A )(

C. , ,

bxf(x)dx B. baxf(x)dx f(x)dx af(x)dx D. , ,

8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B )(

3 sinx,, x sinx,0 x A. f(x) 22 B. f(x) 2

其它其它 0, 0,

3 sinx,0 x sinx,0 x C. f(x) 2 D. f(x) 0,其它其它 0,

9.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则对任意的区间(a,b)，则P(a X b) ( D)(

A. F(a),F(b) B.

C. f(a),f(b) D. baF(x)dx b

af(x)dx

210.设X为随机变量，E(X) ,D(X) ，当(C )时，有E(Y) 0,D(Y) 1(

A. Y X, B. Y X,

C. Y X,

D. Y X,

(二)填空题

?从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2( 52.已知P(A) 0.3,P(B) 05.，则当事件A,B互不相容时，P(A,B) P()

3.A,B为两个事件，且B A，则P(A,B) P,A,(

4. 已知P(AB) P(),P(A) p，则P(B) 1,P(

5. 若事件A,B相互独立，且P(A) p,P(B) q，则P(A,B) p,q,pq(

6. 已知P(A) 0.3,P(B) 05.，则当事件A,B相互独立时，P(A,B) P(AB)

x 0 0 0 x 1( 7.设随机变量X~U(0,1)，则X的分布函数F(x) x 1x 1

8.若X~B(20,0.3)，则E(X)

9.若X~N( , )，则P(X, 3 ) 2 (3)(

10.E[(X,E(X))(Y,E(Y))]称为二维随机变量(X,Y)的(

(三)解答题

1.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算分别表示下列事件:

? A,B,C中至少有一个发生;

? A,B,C中只有一个发生;

? A,B,C中至多有一个发生;

? A,B,C中至少有两个发生;

? A,B,C中不多于两个发生;

? A,B,C中只有C发生(

解:(1)A,B,C (2)AC,ABC,AC (3) AC,ABC,AC,AC

(4)AB,AC,BC (5),, (6)C

2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率:

? 2球恰好同色;

? 2球中至少有1红球(

解:设A=“2球恰好同色”，B=“2球中至少有1红球”

22112C3,C2C3C2,C33,126,39P(A) P(B) 221051010C5C5

3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品;如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率( 解:设Ai “第i道工序出正品”(i=1,2)

2P(A1A2) P(A1)P(A2|A1) (1,0.02)(1,0.03) 0.9506

4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、

丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率(

解:设A1 "产品由甲厂生产" A2 "产品由乙厂生产" A3 "

产品由丙厂生产"

B "产品合格"

P(B) P(A1)P(B|A1),P(A2)P(B|A2),P(A3)P(B|A3)

0.5 0.9,0.3 0.85,0.2 0.80 0.865

5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止(已知他每发命中的概率是p，求所需设计次

数X的概率分布( 解:P(X 1) P

P(X 2) (1,P)P

P(X 3) (1,P)2P

????

P(X k) (1,P)k,1P

????

故X的概率分布是

23 k 1 p(1,p)p(1,p)2p (1,p)k,1p

6.设随机变量X的概率分布为

123456 0 01 .015.0.20.3012.01.0.03

试求P(X 4),P(2 X 5),P(X 3)(

解:

P(X 4) P(X 0),P(X 1),P(X 2),P(X 3),P(X 4) 0.1,0.15,0.2,0.3,0.12 0.87

P(2 X 5) P(X 2),P(X 3),P(X 4),P(X 5) 0.2,0.3,0.12,0.1 0.72

P(X 3) 1,P(X 3) 1,0.3 0.7

7.设随机变量X具有概率密度

2x,0 x 1f(x) 其它 0,

试求P(X 11),P( X 2)( 24

1解:P(X ) 2 1

, f(x)dx 1202xdx 12x20

41 41P( X 2) 4

8. 设X~f(x)

解:E(X) 214f(x)dx 212xdx x41 15 16 2x,0 x 1 0,其它，求E(X),D(X)( ,

, xf(x)dx x 2xdx 0 123x31

0 2 3

2411x0 , 042

121D(X) E(X2),[E(x)]2 ,()2 2318

9. 设X~N(1,0.62)，计算?P(0.2 X 18.);?P(X 0)(

解:

X,1P(0.2 X 1.8) P(,1.33 1.33) (1.33), (,1.33) 2 (1.33),1 2 0.9082,1 0.8164

0.2

X,1P(X 0) P( 1.67) 1, (1.67) 1,0.9525 0.0475

0.6E(X2) , x2f(x)dx 1x2 2xdx

10.设X1,X2, ,Xn是独立同分布的随机变量，已知E(X1) ,D(X1) ，设 Xi，求ni 1E(),D()( 2

1解:E() E(n

i 1nXi) 11E(X1,X2, ,Xn) [E(X1),E(X2), ,E(Xn)] nn1n n

1n11D() D(Xi) 2D(X1,X2, ,Xn) 2[D(X1),D(X2), ,D(Xn)] ni 1nn

11 2 n 2 2 nn

工程数学作业(第四次)

第6章统计推断

(一)单项选择题

?设x1,x2, ,xn是来自正态总体N( , )( , 均未知)的样本，则(A)是统计量(

A. x1 B. x1, C. 22x12

22 ?设x1,x2,x3是来自正态总体N( , )( , 均未知)的样本，则统计量(D)不是

的无偏估计(

12 D. x1

1(x1,x2) 2

C. 2x1,x2 D. x1,x2,x3 A. max{x1,x2,x3} B.

(二)填空题

1(统计量就是

2(参数估计的两种方法是和似然估计两种方法(

3(比较估计量好坏的两个重要标准是，(

4(设x1,x2, ,xn是来自正态总体N( , )( 已知)的样本值，按给定的显著性水平检验22

5(假设检验中的显著性水平为事件|, 0| u(u为临界值)发生的概率(

(三)解答题

1(设对总体X得到一个容量为10的样本值

4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值和样本方差s2( H0: 0;H1: 0，需选取统计量U , 0(

1101解: x 36 3.6 i10i 110

11012 s (x,x) 25.9 2.878 i10,1i 192

2(设总体X的概率密度函数为

( ,1)x ,0 x 1f(x; ) 其它 0,

试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 (

解:提示教材第214页例3 1, 1n2,1 xi, ? 矩估计:E(X) x( ,1)xdx 02, ni 11,1

最大似然估计:

L(x1,x2, ,xn; ) ( ,1)xi (1, )n(x1x2 xn)

ndlnLnlnL nln( ,1), lnxi, , lnxi 0， ? ,d ,1i 1i 1i 1nnn lnx

i 1n,1 i

3(测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为(单位:m):

108.5 109.0 110.0 110.5 112.0

2222测量值可以认为是服从正态分布N( , )的，求与的估计值(并在? 2.5;? 未知的情况下，

分别求的置信度为0.95的置信区间(

151522? x xi 110 ? s 解: (xi,x) 1.875 5i 15,1i 1

(1)当 2 2.5时，由1,α,0.95， ( ) 1,

2 0.975 查表得: 1.96

故所求置信区间为:[x,

222 n

s,x, ns] [108.6,111.4] (2)当未知时，用s替代，查t (4, 0.05 ) ，得故所求置信区间为:[x, 2.776 nn

24(设某产品的性能指标服从正态分布N( , )，从历史资料已知 4，抽查10个样品，求得均值为17，

取显著性水平 005.，问原假设H0: 20是否成立(

解:|U| |,x, ] [108.3,111.7] , 0

/n| |17,20

4/| 3 0.237， 4 3.162

0.975 ，查表得: 1.96 2

因为 |U| 0.237 > 1.96 ，所以拒绝H0 由 ( ) 1,

5(某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为(单位:cm):

20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5

问用新材料做的零件平均长度是否起了变化( 005.)( 解:由已知条件可求得:x 20.0125 s 0.0671 2

|T| |0.035 0.1365 0.259s/n0.259/8

t(n,1,0.05) t(9,0.05) 2.62 | || , 020.0125,20

? | T | < 2.62 ? 接受H0

即用新材料做的零件平均长度没有变化。

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范文二：电大工程数学

工程数学(本) 2014春模拟试题(一)

一、单项选择题(每小题 3分,共 15分)

1.下列命题中不正确的是( ) . A . A 与 A '有相同的特征多项式

B . 若 λ是 A 的特征值, 则

O X A I =-) (λ的非零解向量必是 A 对应于 λ的特征向量 C .若 λ=0是 A 的一个特征值,则 O AX =必有非零解 D . A 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量

2.设 A , B 都是 n 阶矩阵,则下列等式中正确的是 ( ) . A . BA AB = B . ()B A AB ''='

C . ()

111

---=A B AB D . ()111

---+=+B A B A

3.设 A B , 是两个随机事件,下列命题中不正确的是 ( ) . A . ) () () () (AB P B P A P B A P -+=+ B . ) () () (B P A P AB P = C . ) (1) (P A P -= D . )

()

() (B P AB P B A P =

4.设袋中有 6只红球, 4只白球,从其中不放回地任取两次,每次取 1只,则两次都取到红球的概率是( ) .

A . 31 B . 259 C . 53 D . 10

5.对于单个正态总体总体 ) , (~2σμN X , 2

σ已知时,关于均值 μ的假设检验应采

用( ) .

A . t 检验法 B . U 检验法 C . χ2

检验法 D . F 检验法

二、填空题(每小题 3分,共 15分 )

6.若 3阶方阵 ????

?????--=423010201A ,则 =+A A 2

7.设 A 为 n 阶方阵,若存在数 λ和 n 维向量 X ,使得 AX X λ=,则

称数 λ为 A 的特征值, X 为 A 相应于特征值 λ的特征向量.

8.设 1) (=A r ,那么 3元齐次线性方程组 AX =O 的一个基础解系中含有个解向量.

9.设随机变量 ??

??-5. 02. 0101~a X ,则 =a .

10.设 X 为随机变量,已知 2) (=X D ,那么 =-) 23(X D .

三、计算题(每小题 16分,共 64分)

11.设矩阵 ??????????-=012411210A , ????

??????=321024345B ,求 B A 1

12. λ为何值时,下列方程组有解?有解时求出其全部解.

???

??=-+=+--=-+λ

321

3213214322213x x x x x x x x x 13.设 ) 4, 3(~N X ,试求:(1)) 95(X P . (已知 , 8413. 0) 1(=Φ9987. 0) 3(, 9772. 0) 2(=Φ=Φ)

14.设某种零件长度 X 服从正态分布 ) 25. 2, (μN ,今从中任取 100个零件抽检,测得平均长度为 84.5 cm,试求此零件长度总体均值的置信度为 0.95的置信区间 (. ) . u 0975196=.

四、证明题(本题 6分)

15.设 A , B 是 n 阶对称矩阵,试证:A + B 也是对称矩阵.

工程数学(本) 2014春模拟试题(一)

参考解答

一、单项选择题(每小题 3分,共 15分) 1. D 2. C 3. B 4. A 5. B

二、填空题(每小题 3分,共 15分)

6. 0 7.非零 8. 2 9. 0.3 10. 18

三、 (每小题 16分,共 64分) 11.解:利用初等行变换可得

??????---→??????????-12083000121001041

1100012010411001210

?????

?????----→??????????---→211

23100124010112001123200001210011201 因此, ????

???????----=-2112

3124

112

A ……10分 =-B A 1

???????????????

??????

?----321024345211

23124

112=??????????---654151413987

. ……16分

12.解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形

??????+--→??????????----→??????????----10003210450122103210131143221211311λλλ ……7分

由阶梯阵可知:当 01=+λ即 1-=λ时,方程组有解. 此时,由最后一个行简化阶梯阵得方程组的一般解为:

?--=+=3

53231x x x x , (其中 3x 为自由元) . ……10分令 03=x ,得方程组的一个特解 ()'

-=0340X . ……12分

不计最后一列,令 x 3 = 1,得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系

X 1 =()'

-125

……14分

于是,方程组的通解为:

10kX X X +=, (其中 k 是任意常数 ) . ……16分

13.解:(1) ) 32

1() 23923235(

) 95(<><><><>

(2) ) 23723(

) 7(->-=>X P X P ) 22

(1) 223(≤--=>-=X P X P 0228. 09772. 01) 2(1=-=Φ-= ………16分

14.解:由于已知 σ2

,故选取样本函数 U n

N =

-μ

σ~(, ) 01 ………5分

零件长度总体均值的置信度为 0.95的置信区间

][975

. 0975

. 0σ

u u +- ………10分

由已知, 100, 5. 1, 5. 84===n σ, 96. 1975. 0=u ,于是可得

206. 845. 196. 15. 84975. 0=?--n

u σ

, 794. 845. 196. 15. 84975

. 0=?

-+n

u σ

因此,零件长度总体均值的置信度为 0.95的置信区间:]794. 845, 206

. 84[. ……16分

四、 (本题 6分)

15.证明:因为 B B A A ='=', ,由矩阵的运算性质可得 B A B A B A +='+'='+) (

所以 A + B 也是对称矩阵,证毕. ……6分

工程数学(本) 2014春模拟试题(二)

一、单项选择题(每小题 3分,共 15分)

1.设 B A , 为 n 阶矩阵,则下列等式成立的是( ) . A . BA AB = B . B A B A +=+ C . 111) (---+=+B A B A D . 111) (---=B A AB

2. 方程组 ???

??=+=+=-3

312321

21a x x

a x x a x x 相容的充分必要条件是 ( ) , 其中 0≠i a , ) 3, 2, 1(=i .

A . 0321=++a a a B . 0321=-+a a a C . 0321=+-a a a D . 0321=++-a a a

3.设矩阵 ??

???--=1111A 的特征值为 0, 2,则 3A 的特征值为 ( ) .

A . 0, 2 B . 2, 6

C . 0, 0 D . 0, 6

4.若事件 A 与 B 互斥,则下列等式中正确的是( ) . A . P A B P A P B () () () +=+ B . P B P A () () =-1 C . P A P A B () () = D . P AB P A P B () () () =

5.设 n x x x , , , 21 是来自正态总体 ) 1, 5(N 的样本,则检验假设 5:0=μH 采用统计量 U =( ) . A .

5- B .

/15-

C . n

/15- D .

二、填空题(每小题 3分,共 15分 )

1.设 221

122

A x x =-+,则 0A =的根是 . 2.设 4元线性方程组 AX =B 有解且 r (A ) =1,那么 AX =B 的相应齐次方程组的基础解

系含有个解向量.

3.设 A B , 互不相容,且 P A () >0,则 P B A () = . 4.设随机变量 X ~ B (n , p ) ,则 E (X ) =

5.若样本 n x x x , , , 21 来自总体 ) 1, 0(~N X ,且 ∑==n

i i x n 1

1,则 ~ .

三、计算题(每小题 16分,共 64分)

1.设矩阵 100111101A ????=-????-??

,求 1() AA -'. 2.求下列线性方程组的通解.

123412341

23424535

3652548151115

x x x x x x x x x x x x -++=??

-++=??-++=? 3.设随机变量 X ~ N(3, 4) .求:(1) P (1< x="">< 7)="" ;="" (2)使="" p="" (x="">< a="" )="0.9成立的" 常数="" a="" .="" (已知="" 8413.="" 0)="" 0.="" 1(="Φ," 9.="" 0)="" 28.="" 1(="Φ," 9773.="" 0)="" 0.="" 2(="Φ)">

4. 从正态总体 N (μ, 4) 中抽取容量为 625的样本, 计算样本均值得 = 2.5, 求 μ的置信度为 99%的置信区间 .(已知 576. 2995. 0=u )

四、证明题(本题 6分)

4.设 n 阶矩阵 A 满足 0) )((=+-I A I A ,则 A 为可逆矩阵.

工程数学(本) 2014春模拟试题(二)

参考解答

一、单项选择题(每小题 3分,共 15分) 1. A 2. B 3. D 4. A 5. C 二、填空题(每小题 3分,共 15分)

1. 1, -1, 2, -2 2. 3 3. 0 4. np 5. ) 1, 0(n

N 三、 (每小题 16分,共 64分) 1.解:由矩阵乘法和转置运算得

100111111111010132101011122AA --????????????'=-=-??????

??????----??????

……… 6分

利用初等行变换得

111100132010122001111100021110011101----??????????→----??????

??? 10020001

11201

01????→????-??10

010111010

01112????→---??????→??????

???

?100201010011001112 即 1

201() 011112AA -??

??'=??????

……… 16分

7-2. 解利用初等行变换,将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵,即

245353652548151115-?? ?- ? ?-??→245351201000555-?? ?-- ? ??? →120100055500555--?? ? ? ???→120100011100000--?? ? ? ???

方程组的一般解为:124

421x x x x x =+??=-+?,其中 2x , 4x 是自由未知量. …… 8分

令 042==x x ,得方程组的一个特解 0(0010) X '=, ,, .

方程组的导出组的一般解为:

124

42x x x x x =+??

=-?,其中 2x , 4x 是自由未知量. 令 12=x , 04=x ,得导出组的解向量 1(2100) X '=,, , ;

令 02=x , 14=x ,得导出组的解向量 2(1011) X '=-, , , . …… 13分

所以方程组的通解为:

22110X k X k X X ++=12(0010) (2100) (1011) k k '''=++-, ,, ,, , , , , ,

其中 1k , 2k 是任意实数. …… 16分

3.解:(1) P (1< x="">< 7)=")">

723231(

-<><-x p=")">

31(<><-x p=")" 1()="" 2(-φ-φ="0.9773" +="" 0.8413="" –="" 1="0.8186" ……="" 8分="" (2)因为="" p="" (x="">< a="" )=")">

-<-a x="" p=")">

3(-Φa = 0.9 所以

28. 12

=-a , a = 3 + 28. 12? = 5.56 …… 16分 4.解:已知 2=σ, n = 625,且 n

u σμ

~ ) 1, 0(N …… 5分

因为 = 2.5, 01. 0=α, 995. 02

1=-

, 576. 22

1=-

206. 0625

2576. 22

1=?

…… 10分

所以置信度为 99%的 μ的置信区间为: ]706. 2, 294. 2[], [2

1=+--

. …… 16分

四、 (本题 6分)

证明: 因为 0) )((2=-=+-I A I A I A ,即 I A =2

所以, A 为可逆矩阵. …… 6分

范文三：电大经济数学基础2012-2013试题及答案

试卷代号:2006

中央广播电视大学 2012—— 2013学年度第一学期“开放专科”期末考试

经济数学基础试题 2013年 1月

一、单项选择题:

1、下列各函数对中, ( D )中的两个函数相等 . A.x x g x x f ==) (, ) () (2 B.1) (, 11) (2+=--=x x g x x x f C. x x g x y ln 2) (, ln 2== D.1) (, cos sin ) (22=+=x g x x x f

2、函数 ?????=≠=0, 0sin ) (x k x x x x f ,在 ) (x f 在 x=0处连续,则 k =( C ) .

A.-2 B.-1 C.1 D.2

3、下列定积分中积分值为 0的是( A ) . A.e e x

x ?---1

12 B. e e x x ?--+112 C. dx x x ) cos (3+?-ππ D.dx x x ) sin (2+?-π

π 4、设 A=?????201 402 110-- ????

?--333, 则 r (A ) =( B ). A.1 B.2 C.3 D.4

5、若线性方程组的增广矩阵为 =A ???01 λλ21- ??

?-42, 则当 λ=( A )时线性方程组无解 . A.2

1 B.0 C.1 D.2 二、填空题:

6、函数 2

4) (2--=x x x f 7、设某商品的需求函数为 2100) (p e

p q -=,则需求弹性 =P E 2

p -.

8、若 ?+=c x F dx x f ) () (,则 =--?dx e f e x x ) (c e F x +--) (.

9、当 a ≠ -3时,矩阵 A=???-11 ??

?a 3可逆 .

10、已知齐次线性方程组 AX=O中 A 为 3×5矩阵,则 r(A) ≤ 3 .

三、微积分计算题:

11、设 x x y 2ln cos +=,求 dy. 解:x x x y ln 2sin +-=', dy=='dx y (x

x x ln 2sin +-)dx 12、计算定积分 dx e e x x 23

ln 0) 1(+?.

解:由第一换元积分法得 c e e d e dx e e x x x x x ++=++=+??322) 1(3

1) 1() 1() 1( 3

56) 1(31) 1(3ln 0323ln 0=+=+?x x x e dx e e (期末复习指导 P.67 三 5) 四、线性代数计算题:

13、设 A=?????100 ?????211,B=?????-101 ????

?-210, 计算 1) (-B A T . 解:???=10B A T 10 ???21?????-101 ?????-210=???--11 ??

?32, ???--11 32 01 ???10→ ???01 12- 11-- ???10→ ???01 10 13-- ???12,所以 1) (-B A T =???--13 ??

?12 14、求线性方程组 ?????=++-=++-=+-553234224321

4321421x x x x x x x x x x x 的一般解 .

解:因为增广矩阵

A =?????211 321--- 110 541

?????532→ ?????001111

--- 110 331 ?????112→ ?????001 011-- 010 031 ?????012

→ ?????001 010 011-- 032-- ????

?-011,故方程组的一般解为: ???-+=++=1

312432431x x x x x x (其中 43, x x 是自由未知量) 五、应用题:

15、设生产某种产品 q 个单位时的成本函数为 q q q C 625. 0100) (2++=(万元) , 求:(1)当 q=10时的总成本、平均成本和边际成本; (2)当产量 q 为多少时, 平均成本最小? (课本 P.141例 7或期末复习指导 P.57 四 1)

解:(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:

q q x C 625. 0100) (2++= 625. 0100) (++=q q

x C 65. 0) (+='q x C

所以 1851061025. 0100) 10(2=?+?+=C 5. 1810

) 10() 10(==C C 116105. 0) 10(=+?='C

(2)令 025. 0100) (2=+-='q

q C ,得 q =20(q =-20舍去 ) 因为 q =20是其在定义域内的唯一驻点, 且该问题确实存在最小值, 所以当 q =20时,平均成本最小。

范文四：电大【工程数学】形成性考核册答案

电大【工程数学】形成性考核册答案

工程数学作业(一)答案(满分100分)

第2章矩阵

(一)单项选择题(每小题2分，共20分)

a1a2

(D )( ?设，则

c1c2c3c1c2c3

A. 4 B. ,4 C. 6 D. ,6

0001

?若00a0

，则(A )(

100a

A. 11

2 B. ,

?乘积矩阵

中元素(C )(

A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 ?设A,B均为n阶

可逆矩阵，则下列运算关系正确的是( B)(

?设A,B均为n阶方阵，且

，则下列等式正确的是(D

?下列结论正确的是( A)(

A. 若A是正交矩阵，则也是正交矩阵

B. 若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵

C. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵

D. 若A,B均为n阶非零矩阵，则

?矩阵

的伴随矩阵为( C)(

?方阵A可逆的充分必要条件是(B )(

?设A,B,C均为n阶

可逆矩阵，则(D )(

1 )(

C. AC

?设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(A )(

(二)填空题(每小题2分，共20分)

x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是

?若A为矩阵，B为矩阵，切乘积有意义，则C为矩阵(

?二阶矩阵

?设

(

，则

，则( ?设A,B均为3阶矩阵，且

?设A,B均为3阶矩阵，且，则

?若

为正交矩阵，则(

?矩阵4

2的秩为 2 (

?设A1,A2是两个可逆矩阵，则

(

(三)解答题(每小题8分，共48分)

?设

求?;?;?;?;?AB;，

?( 答案:

?设

1，求(

解:

?已知

1，求满足方程中的X(

解:

?写出4阶行列式

中元素a41,a42的代数余子式，并求其值(

201

20答案:

?用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:

2312

; ? ; ?

(

解:(1)

22100

(2)

(过程略

?求矩阵

101100

的秩(

解:

(四)证明题(每小题4分，共12分) ?对任意方阵A，试证是对称矩阵( 证明:

是对称矩阵

?若A是n阶方阵，且，试证或( 证明:是n阶方阵，且

或

?若A是正交矩阵，试证也是正交矩阵( 证明:是正交矩阵

即是正交矩阵

工程数学作业(第二次)(满分100分)

线性方程组第3章

(一)单项选择题(每小题2分，共16分)

?用消元法得

的解

为(C )(

(B )( ?线性方程组

A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

?向量组

的秩为( A)(

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

，则(B )是极大无关组( ?设向量组为

?A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则(D)(

A. 秩秩(A) B. 秩秩(A)

C. 秩秩(A) D. 秩秩

?若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组(A )(

A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解

?以下结论正确的是(D )(

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解

B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解

C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解

D. 齐次线性方程组一定有解

?若向量组线性相关，则向量组 B. 没有一个向量

C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量

既是,又是,的特征值，x既是,又是,的属于 9(设A，,为n阶矩阵，

的特征向量，则结论( )成立(

,(是AB的特征值 ,(是A+B的特征值

是A,B的特征值 ,(x是A+B的属于的特征向量 ,(

10(设,，,，,为n阶矩阵，若等式(, )成立，则称,和,相似(

,(A,(,(PAP

(二)填空题(每小题2分，共16分)

?当时，齐次线性方程组有非零解( ,(

?向量组线性(

?向量组的秩是

?设齐次线性方程组的系数行列式

解，且系数列向量是线性的(

，则这个方程组有

?向量组

的极大线性无关组是(

?向量组的秩与矩阵个(

的秩相同 (

?设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 ?设线性方程组有解，X0是它的一个特解，且的基础解系为X1,X2，则的通解为(

9(若是,的特征值，则是方程的根( 10(若矩阵,满足

，则称,为正交矩阵( (三)解答题(第1小题9分，其余每小题11

分) 1(用消元法解线性方程组

解:

方程组解为

,(设有线性方程组

为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?

解:

当且时，，方程组有唯一解当时，

，方程组有无穷多解

,(判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式(其中

解:向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组

有解

037

这里

方程组无解

不能由向量线性表出

,(计算下列向量组的秩，并且(1)判断该向量组是否线性相关

解:

413

该向量组线性相关

,(求齐次线性方程组

的一个基础解系( 解:

0100

方程组的一般解为

令，得基础解系

,(求下列线性方程组的全部解(

解:

方程组一般解为

令，，这里k1，k2为任意常数，得方程组通解

,(试证:任一,维向量

都可由向量组

，

线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式(

证明:

任一,维向量可唯一表示为

?试证:线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性

方程组只有零解( 证明:设为含n个未知量的线性方程组

该方程组有解，即

从而有唯一解当且仅当

而相应齐次线性方程组A只有零解的充分必要条件是

有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零

解

9(设是可逆矩阵,的特征值，且，试证:11

是矩阵的特征值(

证明:是可逆矩阵,的特征值

存在向量，使

即11

是矩阵的特征值

10(用配方法将二次型

4化为标准型(

解:

令，，，

即

则将二次型化为标准型

工程数学作业(第三次)(满分100分)

第4章随机事件与概率

(一)单项选择题

?A,B为两个事件，则( B)成立(

?如果( C)成立，则事件A与B互为对立事件(

且与B互为对立事件

?10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为(D

A. C32

4. 对于事件A,B，命题(C )是正确的(

9 )(

A. 如果A,B互不相容，则A,B互不相容

，则 B. 如果

C. 如果A,B对立，则A,B对立

D. 如果A,B相容，则A,B相容

?某随机试验的成功率为则在3次重复试验中至少失败1次的概率为(D )(

6.设随机变量X~B(n,p)，且，则参数n与p分别是(A )(

A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2

7.设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则对任意的，(A )(

f(x)dx

8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B )(

其它其它

其它

9.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则对任意的区间(a,b)，则( D)(

210.设X为随机变量，，当(C )时，有(

(二)填空题

?从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2

2.已知，则当事件A,B互不相容时，

3.A,B为两个事件，且，则(

4. 已知，则(

5. 若事件A,B相互独立，且，则(

6. 已知，则当事件A,B相互独立时，

7.设随机变量X~U(0,1)，则的分布函数

(

8.若X~B(20,0.3)，则

9.若，则(

称为二维随机变量(X,Y)的( (三)解答题

1.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算分别表示下列事件: ? A,B,C中至少有一个发生; ? A,B,C中只有一个发生; ? A,B,C中至多有一个发生; ? A,B,C中至少有两个发生; ? A,B,C中不多于两个发生; ? A,B,C中只有C发生(

解

2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率: ? 2球恰好同色;

? 2球中至少有1红球(

”，B=“2球中至少有1红球” 解:设A=“2球恰好同色

252

C3C2

112

910

3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品;如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率( 解:设第i道工序出正品”(i=1,2)

4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，

甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品

的概率(

解:设uot;产品由甲厂生产产品由乙厂生产"

产品由丙厂生产"

产品合格

5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止(已知他每发命中的概率是p，求

所需设计次数X的概率分布( 解:

????

故X的概率分布是

6.设随机变量X的概率分布为

试求(

30.3

40.12

50.1

解:

7.设随机变量X具有概率密度

其它

试求

解:

(

8. 设

解:

，求E(X),D(X)( 23x310其它

9. 设X~N(1,0.62)，计算?;?( 解:

210.设是独立同分布的随机变量，已知，设

E(X),D(X)( ，求解:

工程数学作业(第四次)

第6章统计推断

(一)单项选择题

?设是来自正态总体(均未知)的样本，则(A)是统计量(

x122

?设x1,x2,x3是来自正态总体(均未

知)的样本，则统计量(D)不是的无偏估计(

A. max{x1,x2,x3} B.

(二)填空题

1(统计量就是

2(参数估计的两种方法是和似然估计两种方法(

3(比较估计量好坏的两个重要标准是，(

4(设是来自正态总体(已知)的样本值，按给定的显

著性水平检验

，需选取统计量

(

5(假设检验中的显著性水平为事件(u为临界值)发生的概率(

(三)解答题

1(设对总体X得到一个容量为10的样本值

4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0

试分别计算样本均值和样本方差s( 解:

2(设总体X的概率密度函数为

f(x;

110

其它

试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数( 解:提示教材第214页

例3

矩估计:最大似然估计:

xi,

，

3(测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为(单位:m):

108.5 109.0 110.0 110.5 112.0

测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值(并在?

;?未知的情况下，

的置信度为0.95的置信区间( 分别求

解:

(1)当时，由1,α,0.95，

查表得:

故所求置信区间为:

(2)当未知时，用s替代，查t (4, 0.05 ) ，得故所求置信区间为:

(设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，

取显著性水平，问原假设是否成立(

解:

， n

由

，查表得:

因为，所以拒绝H0

5(某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为(单位:cm):

20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5

问用新材料做的零件平均长度是否起了变化()( 解:由已知条件可求得:

? | T | < 2.62 ? 接受H0

即用新材料做的零件平均长度没有变化。

范文五：电大工程数学形成性考核册答案

工程数学作业（一）答案（满分100分）

第2章矩阵

（一）单项选择题（每小题2分，共20分）

a 1

⒈设b 1

a 2b 2a 3a 1

b 3=2，则2a 1-3b 1a 22a 2-3b 2

a 3

． 2a 3-3b 3=（D ）

c 1c 2

c 3c 1

c 2

c 3

A. 4 B. －4 C. 6 D. －6

0001 ⒉若

00a 0

0200=1，则a =（A ）． 1

00a

12 B. －1 C. -1

D. 1 ⒊乘积矩阵-13?

?1??24??-10???

?521?

中元素c ?

23=（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8

⒋设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）． A. A +B

-1

+B -1 B. (AB ) -1=BA -1

C. (A +B )

-1

=A -1+B -1 D. (AB ) -1=A -1B -1

⒌设A , B 均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D A. A +B =A +B B. AB =n A B C. kA =k A D. -kA =(-k ) n A ⒍下列结论正确的是（ A ）．

A. 若A 是正交矩阵，则A -1

也是正交矩阵

B. 若A , B 均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 C. 若A , B 均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵 D. 若A , B 均为n 阶非零矩阵，则AB ≠0

⒎矩阵3?

?1?

． ?25?的伴随矩阵为（ C ）

A. ?

?1-3??-13?-25?

B. ??

?2-5??

）．

?5-3? C. ?? D.

-21???-53?

?2-1? ??

⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）．

A. A ≠0 B. A ≠0 C. A *≠0 D. A >0 ⒐设A , B , C 均为n 阶可逆矩阵，则(ACB ') -1=（D ）． A. (B ') -1A -1C -1 B. B 'C A C. A -1C -1(B -1) ' D. (B -1) 'C -1A -1

⒑设A , B , C 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. (A +B ) 2=A 2+2AB +B 2 B. (A +B ) B =BA +B 2 C. (2ABC ) -1=2C -1B -1A -1 D. (2ABC ) '=2C 'B 'A ' （二）填空题（每小题2分，共20分）

-1

2-10

⒈1-40=．

00-1

-1

⒉1

-1x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是． 1-5

⒊若A 为3?4矩阵，B 为2?5矩阵，切乘积AC 'B '有意义，则C 为

?11??15?

A == ⒋二阶矩阵?01??01?．

????

?12?

?-120??? ⒌设A =40, B =?，则(A +B ') '=????3-14???-34??

?06-3?

?5-18? ??

⒍设A , B 均为3阶矩阵，且A =B =-3，则-2AB = 72 ．

-12

⒎设A , B 均为3阶矩阵，且A =-1, B =-3，则-3(A 'B ) =．

⒏若A =?

?1a ?

?为正交矩阵，则a = 0 ． 01??

?2-12??? ⒐矩阵402的秩为 2 ． ????0-33???A 1

⒑设A 1, A 2是两个可逆矩阵，则?

（三）解答题（每小题8分，共48分） ⒈设A =?

O ?A 2??

-1

?A 1-1

=??O O ?

． -1?A 2?

?12??-11??54?

，求⑴A +B ；⑵A +C ；⑶2A +3C ；, B =?, C =????

?-35??43??3-1?

⑷A +5B ；⑸AB ；⑹(AB ) 'C ．

?03??66??1716?

答案：A +B =? A +C =2A +3C =?????

?37??18??04?

?2622??77??5621?

' A +5B =?AB =(AB ) C =??2312??15180?

120??????

?-114?-121103?????，求AC +BC ． ⒉设A =?, B =, C =?3-21??????0-12??21-1???002??

?-114?

?024???=?6-410? 解：AC +BC =(A +B ) C =?3-21????-2210??201??0??02???

?310??102?

???? ⒊已知A =-121, B =-111，求满足方程3A -2X =B 中的X ． ???????342???211??

解： 3A -2X =B

3??4-1??2?83-2???11?5?2?=?-11? ∴ X =(3A -B ) =?-25

222??

??71157115????

??222??

⒋写出4阶行列式

1-10302432-51106 30

中元素a 41, a 42的代数余子式，并求其值．

020120

答案：a 41=(-1) 4+1436=0 a 42=(-1) 4+2-136=45

2-530-53

⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

?12??12?2

?? ⑴ 21-2； ⑵ ????1??2-21???

解

[A |I ]=??2

?2????1

???→?0

??0??

1-r 231-r 39

234?312?

?； ⑶

11-1?

0-2-6?

（

?1?1??1??1

01110011

0?0??． 0??1?

）

0-30

1-2-

3-6-292

231-2

?0?0??1???

：

1-2

21-20101-23

312

010

?10?-2r +r 2

?-2r 1?+r 30???1??→?0

?01???

-3-621-6-2-3-2109209129

010

231-32-9

??0???2r 3+r 1?1

-2r 3+r 2

0?????→?0??1??0

?9???

r 2+r 10??13

?-2r 2+r 30?????→??0

?01??

22?99?12?

-?99?21?-99??010

∴A -1

?1?9?2=??9?2?9?

29192-9

2?9?2? -?9?1?9??

（2）A -1

00?22-6-2617??1

?-175??-1120-130-1?(过程略) (3) A =?=??-1?0-1102-1????4-1-530-1???00?

0?? 0??1?

?1?1

⒍求矩阵?

?1??2

解

01011011112301121000

1?0?

?的秩． 1??1?

：

?1?1??1??2

011011?-r +r ?1

?0-r 1+r 3

101100?-2r +r 4???1??→?

?0012101?

113201??0

?1011011??01-101-1-1?r 3+r 4??-??→?

?00011-10???0000000??

1??1

?01-101-1-1?-r +r 24????→??00011-10?

1-112-2-1??0

01101

1-101-1-1??0011-10?

0011-10?

01101

∴ R (A ) =3

（四）证明题（每小题4分，共12分）

⒎对任意方阵A ，试证A +A '是对称矩阵．证明：(A +A ' )' =A ' +(A ' )' =A ' +A =A +A '

∴ A +A '是对称矩阵

⒏若A 是n 阶方阵，且AA '=I ，试证A =1或-1．证明： A 是n 阶方阵，且AA '=I

∴ A A '=A A '=A =I =1 ∴

A =1或A =-1

⒐若A 是正交矩阵，试证A '也是正交矩阵．证明： A 是正交矩阵

∴ A -1=A '

∴ (A ') -1=(A -1) -1=A =(A ') '

即A '是正交矩阵

工程数学作业（第二次）(满分100分)

第3章线性方程组

（一）单项选择题(每小题2分，共16分)

?x 1+2x 2-4x 3=1?x 1???为（C ）

x 2+x 3=0的解?x ⒈用消元法得?．

?2?

??-x 3=2?x 3???

A. [1, 0, -2]' B. [-7, 2, -2]' C. [-11, 2, -2]' D. [-11, -2, -2]'

?x 1+2x 2+3x 3=2?

⒉线性方程组?x 1． -x 3=6（B ）

?-3x +3x =4

23?

A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

?1??0??0??1??3?

⒊向量组?0?, ?1?, ?0?, ?2?, ?0?的秩为（ A ）．

????????????0????0????1????1????4??

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

?1??0??1??1?

?1??0??0??1?

⒋设向量组为α1=??, α2=??, α3=??, α4=??，则（B ）是极大无关组．

?0??1??1??1?????????010???????1?

A. α1, α2 B. α1, α2, α3 C. α1, α2, α4 D. α1

⒌A 与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩(A ) =秩() B. 秩(A ) <秩() c.="" 秩(a="" )="">秩() D. 秩(A ) =秩() -1

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．

A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组α1, α2, , αs 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．

A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量 9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（）成立．

Ａ．λ是AB 的特征值Ｂ．λ是A+B的特征值

Ｃ．λ是A －B 的特征值Ｄ．x 是A+B的属于λ的特征向量

10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ａ．AB =BA Ｂ．(AB ) '=AB Ｃ．PAP -1=B Ｄ．PA P '=B （二）填空题(每小题2分，共16分)

?x 1+x 2=0

⒈当λ=?有非零解．

λx +x =02?1

⒉向量组α1=0, 0, 0, α2=1, 1, 1线性．

⒊向量组1, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0的秩是 ⒋设齐次线性方程组α1x 1+α2x 2+α3x 3=0的系数行列式α1α2

[][]

[][][][]

α3=0，则这个方

程组有无穷多解，且系数列向量α1, α2, α3是线性的． ⒌向量组α1=1, 0, α2=0, 1, α3=0, 0的极大线性无关组是α1, α2． ⒍向量组α1, α2, , αs 的秩与矩阵向量有２个．

⒏设线性方程组AX =b 有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X 1, X 2，则AX =b 的通解为X 0+k 1X 1+k 2X 2．

9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程λI -A =0 的根． 10．若矩阵Ａ满足A -1=A ' ，则称Ａ为正交矩阵．（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分)

1．用消元法解线性方程组

[][][]

[α1, α2, , αs ]的秩相同．

⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩(A ) =3，则其基础解系中线性无关的解

?x 1-3x 2-2x 3-x 4?3x -8x +x +5x ?1234?

?-2x 1+x 2-4x 3+x 4??-x 1+4x 2-x 3-3x 4

解

=-12=2

：

?1-3-2-16?-3r +r ?1-3-2-16?3r +r ?1

1221

?3-81????02r 1+r 35r 2+r 3

500178-18r +r -r +r 1414??????=???→??→?

?-21-41-12??0-5-8-10??0??????-14-1-32??01-3-48??001923-48?

178-18??02739-90?

0-10-1226?

?1?0

???→?

?0??0

3r 4+r 31-r 4201923-48??1

1?0-r 3178-18?3????→?

?003-312?

056-13??001923-48?-19r +r ?1

?0-7r 3+r 2

178-18?-5r +r 4???3??→?

?001-14?

056-13??0

1000010

42-124?15-46??-14?

11-33?

?11?0r 4?11??→?

?0??0

0100

042-124?-42r +r ?1

??0-15r 4+r 2

015-46?r 4+r 3

????→?

?01-14?

01-3??0

1000010

02?

?x 1=2

0-1?? ∴方程组解为??x 2=-1

?01?

?x 3=1?

?1-3??x 4=-3

２．设有线性方程组

?λ11??x ??1?

?1λ1??y ?=?λ? ??????

??11λ????z ????λ??

λ 为何值时，方程组有唯一解? 或有无穷多解?

?11λλ2?-r +r ?11λ?λ111?12?????r -λr 1+r 31?r 3

=?1λ1λ??→1λ1λ????→?0λ-11-λ????

2?λ111??01-λ1-λ2??11λλ??????1?1λλ

??2+r 3

?r ??→?0λ-11-λλ(1-λ) ?

2??00(2+λ)(1-λ) (1+λ)(1-λ) ??

解：

λ2?

?λ-λ2?1-λ3??

］

∴ 当λ≠1且λ≠-2时，R (A ) =R () =3，方程组有唯一解

当λ=1时，R (A ) =R () =1，方程组有无穷多解

３．判断向量β能否由向量组α1, α2, α3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

?-8??-2??3??-5?

?-3??7??-5??-6?

?, α1=??, α2=??, α3=?? β=??7??1??0??3?????????-103-2???????1?

解：向量β能否由向量组α1, α2, α3线性表出，当且仅当方程组α1x 1+α2x 2+α3x 3=β有解

?-23-5-8??1?7-5-6-3??0

???→??????→?这里 =[α1, α2, α3, β]=?

?1?0037?????3-21-10??0037?

1-341?? 010-117?

00571?

R () ≠R (A )

∴ 方程组无解

∴ β不能由向量α1, α2, α3线性表出

４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

?1??3??-1??1??-1??-7??-3??9?????????α1=?2?, α2=?8?, α3=?0?, α4=?6?

????????39-3???????3??????4???13???-3???6??

3-11??1?1?-1-7-39??0???

?→??????→?0解：[α1, α2, α3, α4]=?2806??

???39-33???0???413-36???0

3-11000

1000

2??18? ?0?0??

∴该向量组线性相关

５．求齐次线性方程组

?x 1-3x 2+x 3-2x 4=0

?-5x +x -2x +3x =0?1234

?-x 1-11x 2+2x 3-5x 4=0?+4x 4=0?3x 1+5x 2

的一个基础解系．

解：

?1-31-2?5r +r ?1-31

?-51-23?r 1+r 3?0-143

-3r +r 4???1?A =??→?

?-1-112-5??0-143???

504??3?014-3

??11

-r 2

?14

r 3?r 4

???→?0

??0?0?

0100

5143-1400

1??

?12?1

1?3r 3????→?02??3??0

?00???

010

5143-1400

5-2?-3r 2+r 1?10?14

14?-r 2+r 3

-7?-r 2+r 4?0-143

????→?-7?0?00?

?10?0?00

1?1?

r +r ?12?2131

1?-2r 3+r 2??????→?02??1??0

?00???

010

5143-1400

1?-?2-7? ?0??3?

?0??0? ?1?0??

5??5?x =-x 31??-14?14

??3?3?? ∴ 方程组的一般解为?x 2=x 3 令x 3=1，得基础解系 ξ=?

1414???

0???x 4=0

?1?????

６．求下列线性方程组的全部解．

?x 1-5x 2+2x 3

?-3x +x -4x ?123?

?-x 1-9x 2??5x 1+3x 2+6x 3

解

-3x 4=11

+2x 4=-5

-4x 4=17-x 4=-1

：

?1-52-311?3r +r ?1-52

?-31-42-5?r 1+r 3?0-142

-5r +r 4???1?=??→?

?-1-90-417??0-142???536-1-1???028-4??11?-r 214???→?0

??0?0?

9711-

700000

-121200

-311?-5r 2+r 1?10

?14

?-r 2+r 3

-728?2r 2+r 4?

????→?0-14

-728??00?

?14-56?

?0091?-1?72

2-728?

000?

?1?

71?x =-x +x 4+1?13??92-2? ∴方程组一般解为?

??x =-1x -1x -20?234?72?0??

令x 3=k 1，x 4=k 2，这里k 1，k 2为任意常数，得方程组通解

1?7??7??1?

-k +k 2+1?-1?x 1???9??2??1?92?x ??1??1??1??-2?12??=?k 1-k 2-2?=k ??+k ?-?+??

?x 3??72??7??2??0?

k 1?????1??0???

x ?4????0??1??0?k ??2????

７．试证：任一４维向量β=[a 1, a 2, a 3, a 4]都可由向量组

?1??1??1??1?

?0??1??1??1?α1=??，α2=??，α3=??，α4=??

?1??0??0??1?

????????

?1??0??0??0?

线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．

?1??0??0??0?

?0??1??0??0?

证明：α1=?? α2-α1=?? α3-α2=?? α4-α3=??

?1??0??0??0?

????????

?0??1??0??0?

任一４维向量可唯一表示为

?a 1??1??0??0??0?

?a ??0??1??0??0?2

β=??=a 1??+a 2??+a 3??+a 4??=a 1α1+a 2(α2-α1) +a 3(α3-α2) +a 4(α4-α3)

?a 3??0??0??1??0???????????a 000???????1??4?

=(a 1-a 2) α1+(a 2-a 3) α2+(a 3-a 4) α3+a 4α4

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组

只有零解．

证明：设AX =B 为含n 个未知量的线性方程组

该方程组有解，即R () =R (A ) =n

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