范文一：正交实验数据处理方法

试验的规模试验的规模将很大将很大正交试验设计就是安排多因素试验正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优、寻求最优水平组合水平组合的一种高效率试验设计方法。的一种高效率试验设计方法。下一张主页退出上一张1.11.1下一张主页退出上一张1 1 基本特点基本特点用部分试验用部分试验来代替全面试验通过对部分试验结果的分析来代替全面试验通过对部分试验结果的分析了解全面试验的情况。了解全面试验的情况。当交互作用存在时当交互作用存在时有可能出现交互作用的混杂有可能出现交互作用的混杂下一张主页退出上一张1.2 1.2 正交试验设计的基本原理正交试验设计的基本原理下一张主页退出上一张表表1010--11下一张主页退出上一张图图1010--11下一张主页退出上一张99个试验点均衡地分布于整个立方体内个试验点均衡地分布于整个立方体内有很强有很强的代表性的代表性能能够比较全面地反映选优区内的基本情够比较全面地反映选优区内的基本情况。况。下一张主页退出上一张1.3 1.3 1.3.1 1.3.1 正交表正交表下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张表表1010--22数学工作者数学工作者1.3.2 1.3.2 正交表的基本性质正交表的基本性质11..33..22..11正交性正交性11任一列中各水平都出现且出现的次数相等任一列中各水平都出现且出现的次数相等下一张主页退出上一张22任两列之间各种不同水平的所有可能组合任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现且对出现的次数相等都出现且对出现的次数相等下一张主页退出上一张1.3.2.2 1.3.2.2 代表性代表性11任一列的各水平都出现使得部任一列的各水平都出现使得部分试验中包括了所有因素的所有水平分试验中包括了所有因素的所有水平22任两列的所有水平组合都出现任两列的所有水平组合都出现使任意两因素间的试验组合为全面试验。使任意两因素间的试验组合为全面试验。由于正交表的正交性正交试验的试由于正交表的正交性正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中具有很强验点必然均衡地分布在全面试验点中具有很强的代表性。因此部分试验寻找的最优条件与全的代表性。因此部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件应有一致的趋势。面试验所找的最优条件应有一致的趋势。1.3.2.3 1.3.2.3 综合可比性综合可比性11任一列的各水平出现的次数相等任一列的各水平出现的次数相等22任任两列间所有水平组合出现次数相等使得任一因两列间所有水平组合出现次数相等使得任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中最大限度地排除了其他因素素各水平的效果中最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。验指标的影响情况。均衡分散均衡分散整齐可比整齐可比下一张主页退出上一张虽然搭配方式不同虽然搭配方式不同但但BB、、CC皆处于同等地位皆处于同等地位下一张主页退出上一张1.4 1.4 正交表的类别正交表的类别11、、等等水平正交表水平正交表22、、混合水平正交表混合水平正交表下一张主页退出上一张对于多因素试验正交试验设计是对于多因素试验正交试验设计是简单常用的一种试验设计方法其设计简单常用的一种试验设计方法其设计基本程序如图所示。基本程序如图所示。正交试验设计的基正交试验设计的基本程序包括本程序包括试验方案设计试验方案设计及及试验结果分试验结果分析析两部分。两部分。试验目的与要求试验目的与要求试验指标试验指标选因素、定水平选因素、定水平因素、水平确定因素、水平确定选择合适正交表选择合适正交表表头设计表头设计列试验方案列试验方案试验方案设计试验方案设

计试验结果分析试验结果分析进行试验记录试验结果进行试验记录试验结果试验结果极差分析试验结果极差分析计计算算KK值值计计算算kk值值计计算算极极差差RR绘绘制制因因素素指指标标趋趋势势图图优水平优水平因素主次顺序因素主次顺序优组合优组合结结论论试验结果分析试验结果分析试验结果方差分析试验结果方差分析列方差分析表列方差分析表进行进行F F 检验检验计算各列偏差平方和、计算各列偏差平方和、自由度自由度分析检验结果分析检验结果写出结论写出结论2.1 2.1 试验方案设计试验方案设计实例为提高山楂原料的利用率研究酶法液化工艺实例为提高山楂原料的利用率研究酶法液化工艺制造山楂原汁拟通过正交试验来寻找酶法液化的最制造山楂原汁拟通过正交试验来寻找酶法液化的最佳工艺条件。佳工艺条件。试验指标试验指标定量指标定量指标定性定性指标指标11明确试验目的确定试验指标明确试验目的确定试验指标对本试验而言试验目的是为了提高山楂原料对本试验而言试验目的是为了提高山楂原料的利用率。所以可以以液化率的利用率。所以可以以液化率液化率液化率果肉重量果肉重量--液化后残渣重量液化后残渣重量//果肉重量果肉重量××100100为试验指为试验指标来评价液化工艺条件的好坏。液化率越高山标来评价液化工艺条件的好坏。液化率越高山楂原料利用率就越高。楂原料利用率就越高。下一张主页退出上一张一般确一般确定试验因素时应以对试验指标影响大的因素、尚未考察过的因定试验因素时应以对试验指标影响大的因素、尚未考察过的因素、尚未完全掌握其规律的因素为先素、尚未完全掌握其规律的因素为先确定每个因素的水平一般以确定每个因素的水平一般以22--44个水平为宜。个水平为宜。因素的水平间距应根据专业因素的水平间距应根据专业知识和已有的资料尽可能把水平值取在理想区域。知识和已有的资料尽可能把水平值取在理想区域。22选因素、定水平列因素水平表选因素、定水平列因素水平表果肉加水量、加果肉加水量、加酶量、酶解温度和酶解时间酶量、酶解温度和酶解时间四因素正交试验四因素正交试验各各因素均取三个水平因素均取三个水平水平水平试验因素试验因素加水量加水量mL/100gmL/100gAA加酶量加酶量

mL/100gmL/100gBB酶解温度酶解温度??CC酶解时间酶解时间

hhDD1110101120201.51.52250504435352.52.53390907750503.53.51010--3 3 因素水平表因素水平表正交表的选择原则是在正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作用的前提下尽可能选用能够安排下试验因素和交互作用的前提下尽可能选用较小的正交表以减少试验次数。较小的正交表以减少试验次数。一般情况下一般情况下试验因素的水平数应等于正交表中的试验因素的水平数应等于正交表中的水平数因素个数水平数因素个数包括交互作用包括交互作用应不大于正交表的应不大于正交表的列数各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交列数各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度表的总自由度以便估计试验误差以便估计试验误差。。若各因素及交互作若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度用的自由度之和等于所选正交表总自由度则可采用有则可采用有重复正交试验来估计试验误差重复正交试验来估计试验误差。。33选择合适的正交表选择合适的正交表LLaabbcc正交设计正交设计试验总次数行数试验总次数行数因素水平数因素水平数因素个数列数因素个数列数LLaabbcc正交表的列数正交表的列数cc??因素所占列数因素所占列数交交互作用所占列数互作用所占列数空列。空列。正交表的总自由度正交表的总自由度aa--11??因因素自由度素自由度交互作用自由

度交互作用自由度误差自由度。误差自由度。正交表选择依据正交表选择依据下一

张主页退出上一张44表头设计表头设计列号列号11223344因素因素AABBCCDD下

一张主页退出上一张55编制试验方案按方案进行试验记录试验结果。编制试验方案

按方案进行试验记录试验结果。试验号试验号因因素素

AABBCCDD11111111112211222222331133333344221122335522223311662233112277331133228833221133993333221111101022505033909022443377111122353511202033505033.533.522.522.511.511.5试验结果试验结果液化率液化率

00171724241212474728281118184242??明确目的确定指标明确目的确定指标??

选因素、定水平。选因素、定水平。??选择正交表。选择正交表。??表头设计。

表头设计。??编制试验方案。编制试验方案。

36.2036.2031.5431.5430.0930.0929.3229.3231.7731.7735.0235.0232.3732.3732.6432.6438.7938.7930.9030.9032.8732.8734.5434.5438.0238.0235.6235.6234.0234.0232.8032.802.2 2.2 试验结果分析试验结果分析3 3 3.1 3.1 直观分析法极差分析法直观分析法极

差分析法KKjmjm为第为第jj列因素列因素mm水平所水平所对应的试验指标和对应

的试验指标和kkjmjm为为KKjmjm平均值。由平均值。由kkjmjm大大小可以判断第

小可以判断第jj列因素优列因素优水平和优组合。水平和优组合。RRjj为第为第jj列

因素的极差反映了第列因素的极差反映了第jj列列因素水平波动时试验指标的变动

幅因素水平波动时试验指标的变动幅度。度。RRjj越大说明该因素对试验指越大说

明该因素对试验指标的影响越大。根据标的影响越大。根据RRjj大小可以大小可以

判断因素的主次顺序。判断因素的主次顺序。分析分析AA因素各水平对试验指标的

影响。因素各水平对试验指标的影响。

KKA1A1y1y2y30172441y1y2y30172441kkA1A1 K

KA1A1/313.7/313.7KA2y4y5y612472887KA2y4y5y612472887kA2KA2/329kA2KA2/329KA3y7y8y91184261KA3y7y8y91184261kA3KA3/320.3kA3KA3/320.33.1.1 3.1.1 不考察交互作用的试验结果分析不考察交互作用的试验结果分析根据极差根据极差

RRjj的大小可以判断各因素对试验指标的影响的大小可以判断各因素对试验指标的

影响主次。本例极差主次。本例极差RRjj计算结果见表计算结果见表1010--88比较

各比较各RR值大小可值大小可见见RRBBRRAARRDDRRCC所以因素对试验指标

影响的主所以因素对试验指标影响的主??次顺序次顺序是是BADCBADC。即加

酶量影响最大其次是加水量和酶解时间。即加酶量影响最大其次是加水量和酶解时

间而酶解温度的影响较小。而酶解温度的影响较小。以各因素水平为横坐标试验指

标的平均值以各因素水平为横坐标试验指标的平均值kkjmjm为纵坐标绘制因素与

指标趋势图。由因素与指标趋为纵坐标绘制因素与指标趋势图。由因素与指标趋势

图可以更直观地看出试验指标随着因素水平的变化势图可以更直观地看出试验指标

随着因素水平的变化而变化的趋势可为进一步试验指明方向。而变化的趋势可为进

一步试验指明方向。以上即为正交试验极差分析的基本程序与方法以上即为正交试

验极差分析的基本程序与方法试验号因素液化率

ABCD1111102122217313332442123125223147623122873132183213189332142K141134689K287827146K361947254k113.74.315.329.7k229.027.323.715.3k320.331.324.018.0极差R15.327.08.714.3主次顺序BADC优水平A2B3C3D1优组合

A2B3C3D1ABCD1111102122217313332442123125223147623122873132183213189332142K141134689K287827146K361947254k113.74.315.329.7k229.027.323.715.3k320.

331.324.018.0极差R15.327.08.714.3主次顺序优水平A2B3C3D1优组合

BADCA2B3C3D1试验号因素液化率

KK1136.2031.7738.7938.02144.7836.2031.7738.7938.02144.78KK2231.5435.0230.9035.62133.0831.5435.0230.9035.62133.08KK3330.0932.3732.8734.02129.3530.0932.3732.8734.02129.35KK4429.3232.6434.5432.80129.3029.3232.6434.5432.80129.30试验号A

茶多酚浓度B增效剂种类C被膜剂种类D浸泡时间E 空列结果

11233236.222412231.5433434330.0944211329.3251314431.7762131435.0273113132.3784332132.6491142338.79102323330.9113341232.87124124234.54131421138.02142244135.62153222434.02164443432.8K1144.78140.72125.00135.23138.65K2133.08135.16137.48136.99135.15K3129.35128.18133.95132.27129.10K4129.30132.45140.08132.02133.61k136.2035.1831.2533.8134.66k233.2733.7934.3734.2533.79k332.3432.0533.4933.0732.28k432.3333.1135.0233.0133.40极差R 3.873.143.771.242.39因素主次顺序优水

平A1B1C4优组合ACBDA1B1C4附附1 1 多指标正交试验极差分析多指标正交试验

极差分析11试验方案设计试验方案设计确定试验指标。确定试验指标。挑因素选水

平列因素水平表。挑因素选水平列因素水平表。湿面筋A改良剂用量B油炸时间sC

油炸温度D1280.05701502320.075751553360.180160水平试验因素

范文二：实验数据处理

第3章实验数据处理

通常，实验的结果最初是以数据的形式表达的。要想进一步得出结果，必须对实验数据做进一步的整理，使人们清楚地了解各变量之间的定量关系，以便进一步分析实验现象,提出新的研究方案或得出规律,指导生产与设计。

3.1 列表法

列表法就是将实验数据列成表格表示，通常是整理数据的第一步，为标绘曲线图或整理成数学公式打下基础。

3.1.1 实验数据表的分类

一般分为两大类:原始记录数据表和整理计算数据表。

? 原始记录数据表必须在实验前设计好，以清楚地记录所有待测数据，如传热实验原始记录数据表的格式见3-1。

? 整理计算数据表应简明扼要，只表达主要物理量(参变量)的计算结果，有时还可以列出实验结果的最终表达式，如传热实验整理计算数据表的格式见表3-2。

表3-1传热实验原始记录数据表年月日

装置编号: 换热器型式:传热管内径:

传热管外径: 有效长度: 热流体: 冷流体:

项 目 1 2 3 4 5 6

流量计读数,

冷

进口温度,? 或进口热电偶

流

热电势,mV 体

出口温度,? 或出口热电偶

热电势,mV

热 进口热电偶热电势,mV

流

出口热电偶热电势,mV 体

管

热电偶热电势,mV

壁

备注:

3.1.2 拟定实验数据表应注意的事项:

? 数据表的表头要列出物理量的名称、符号和单位。符号与单位之间用斜线“/”隔开。斜线不能重叠使用。单位不宜混在数字之中，造成分辨不清。

? 要注意有效数字位数，即记录的数字应与测量仪表的准确度相匹配,不可过多或过少。

?n? 物理量的数值较大或较小时，要用科学记数法来表示。以“物理量的符号×10/单位”的形

?n式，将记入表头，注意:表头中的10与表中的数据应服从下式:

?n 物理量的实际值×10= 表中数据。

? 为便于排版和引用，每一个数据表都应在表的上方写明表号和表题(表名)。表格应按出现的顺序编号。表格的出现，在正文中应有所交代，同一个表尽量不跨页，必须跨页时，在此页上须注上“续表??”。

? 数据表格要正规，数据一定要书写清楚整齐，不得潦草。修改时宜用单线将错误的划掉，将正确的写在下面。各种实验条件及作记录者的姓名可作为“表注”，写在表的下方。

表3-2 传热实验整理计算数据表

项目 1 2 3 4 5 6

2传 ,,W/(m×?),

热2 ,,W/(m×?),

系

2 ,,W/(m×?), 数

传 努塞尔准数

热 雷诺准数 Re

管

普兰特准数Pr 内

计算机回归得到的准数关联式:

本人回归得到的准数关联式:

备注

3.2 图示法

实验数据图示法的优点是直观清晰，便于比较，容易看出数据中的极值点、转折点、周期

性、变化率以及其它特性。准确的图形还可以在不知数学表达式的情况下进行微积分运算，因此

得到广泛的应用。

图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量y与自变量x相对应的与x数据表格。 i

作曲线图时必须依据一定的法则(如下面介绍的)，只有遵守这些法则，才能得到与实验

点位置偏差最小而光滑的曲线图形。

3.2.1 坐标纸的选择

化工中常用的坐标系为直角坐标系，包括笛卡尔坐标系(又称普通直角坐标系)、半对数

坐标系和对数坐标系。市场上有相应的坐标纸出售。

半对数坐标系

如图3-1所示。一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是分度不均匀的对数坐标轴。

该图中的横坐标轴(x轴)是对数坐标。在此轴上，某点与原点的实际距离为该点对应数的对数值，但是在该点标出的值是真数。为了说明作图的原理，作一条平行于横坐标轴的对数数值线，(见图3-1)。

对数坐标系

两个轴(x和y)都是对数标度的坐标轴，即每个轴的标度都是按上面所述的原则作成的。

图3-1 半对数坐标的标度法

选用坐标纸的基本原则

在下列情况下，建议用半对数坐标纸:

(1)变量之一在所研究的范围内发生了几个数量级的变化。

(2)在自变量由零开始逐渐增大的初始阶段，当自变量的少许变化引起因变量极大变化时，此时采用半对数坐标纸，曲线最大变化范围可伸长，使图形轮廓清楚。

(3)需要将某种函数变换为直线函数关系，如指数函数(详见3.3节)。

在下列情况下应用对数坐标纸:

(1)如果所研究的函数y和自变量x在数值上均变化了几个数量级。例如，已知x和y的

数据为:

x = 10, 20, 40, 60, 80, 100, 1000, 2000, 3000, 4000 y = 2, 14, 40, 60, 80, 100, 177, 181, 188, 200 在直角坐标纸上作图几乎不可能描出在x的数值等于10、20、40、60、80时，曲线开始部

见图3-2)，但是若采用对数坐标纸则可以得到比较清楚的曲线(如图3-3)。 分的点，(

图 3-3 在双对数坐标纸上描绘的图3-2的实验数据

在直角坐标纸上作图几乎不可能描出在x的数值等于10、20、40、60、80时，曲线开始部分的点，(见图3-2)，但是若采用对数坐标纸则可以得到比较清楚的曲线(如图3-3)。

(2)需要将曲线开始部分划分成展开的形式。

(3)当需要变换某种非线性关系为线性关系时，例如，抛物线函数。 3.2.2 坐标分度的确定

坐标分度是指每条坐标轴所能代表的物理量的大小，即指坐标轴的比例尺。如果选择不当，那么根据同组实验数据作出的图形就会失真而导致错误的结论。

坐标分度正确的确定方法:

(1)在已知和的测量误差分别为和的条件下，比例尺的取法通常使2和2构成的矩形近视为正方形，并使2=2=2mm。根据该原则即可求得坐标比例常数。

轴比例常数

轴比例常数

其中，的单位为物理量的单位。

现已知一组实验数据为:

1.00 2.00 3.00 4.00

8.00 8.20 8.30 8.00

当上列数据 的测量误差为 ， 的测量误差为

时，则按照这个原则，应当在如下的比例尺中描绘该组实验数据，即 轴单位:1/D(x)=1/0.05=20 mm, Y轴单位:1/D(y)=1/0.02=50mm。于是，在这个比例尺中的实验“点”的底边长度将等于2D(x)=2×0.05×20=2 mm，高度2D(y)=2×0.02×50=2 mm。图3-4即为按照这种坐标比例尺所描绘出的曲线图形。

(2)若测量数据的误差不知道，那么坐标轴的分度应与实验数据的有效数字位数相匹配，即实验曲线的坐标读数的有效数字位数与实验数据的位数相同。

在一般情况下，坐标轴比例尺的确定，既要不会因比例常数过大而损失实验数据的准确度，又不会比例常数过小而造成图中数据点分布异常的假象。为此:

? n (a) 推荐让坐标轴的比例常数=(1、2、5)×10(n为正整数)，而3、6、7、8、等的比例常数绝不可用，后者的比例常数不但引起图形的绘制和事业麻烦，也极易引出错误;

(b) 若根据数据和的绝对误差和求出的坐标比例常数不正好等于的推荐值，可选用稍小的推荐值，将图适当地画大一些，以保证数据的准确度不因作图而损失。 3.2.3 其它必须注意的事项

(1)图线光滑。利用曲线板等工具将各离散点连接成光滑曲线，并使曲线尽可能通过较多的实验点，或者使曲线以外的点尽可能位于曲线附近，并使曲线两侧的点数大致相等。

(2)定量绘制的坐标图，其坐标轴上必须标明该坐标所代表的变量名称、符号及所用的单

3位。如离心泵特性曲线的横轴就必须标上:流量V,(m/h)。

(3)图必须有图号和图题(图名)，以便于排版和引用。必要时还应有图注。

(4)不同线上的数据点可用?、?等不同符号表示，且必须在图上明显地标出。 3.3 经验公式的选择

在实验研究中，除了用表格和图形描述变量的关系外，常常把实验数据整理成为方程式，以描述过程或现象的自变量和因变量之关系，即建立过程的数学模型。在已广泛应用计算机的时代，这样做尤为必要。

3.3.1 经验公式的选择

鉴于化学和化工是以实验研究为主的科学领域，很难由纯数学物理方法推导出确定的数学模型，而是采用半理论方法、纯经验方法和由实验曲线的形状确定相应的经验公式。

半理论分析方法

化工原理课程中介绍的，由因次分析法推求出准数关系式，是最常见的一种方法。用因次分析法不需要首先导出现象的微分方程。但是，如果已经有了微分方程暂时还难于得出解析解，或者又不想用数值解时，也可以从中导出准数关系式，然后由实验来最后确定其系数值。例如，动量、热量和质量传递过程的准数关系式分别为:

; ;

其中各式中的常数(例如)可由实验数据通过计算求出。

纯经验方法

根据各专业人员长期积累的经验，有时也可决定整理数据时应采用什么样的数学模型。比如，在不少化学反应中常有

或者 形式。对溶解热或热容和温度的关系又常常可用多项式

来表达。又如在生物实验中培养细菌，假设原来细菌的数量为 ，繁殖率为 ，则每一时刻的总量 与时间 的关系也呈指数关系，即 等等。

由实验曲线求经验公式

如果在整理实验数据时，对选择模型既无理论指导，又无经验可以借鉴，此时将实验数据先标绘在普通坐标纸上，得一直线或曲线。

如果是直线，则根据初等数学，可知:，其中、值可由直线的截距和斜率求得。

如果不是直线，也就是说，y和x不是线性关系，则可将实验曲线和典型的函数曲线相对照，选择与实验曲线相似的典型曲线函数，然后用直线化方法，对所选函数与实验数据的符合程度加以检验。

直线化方法就是将函数转化成线性函数，其中，

，(为已知函数)。由已知的和，按，求得和

，然后将()在普通直角坐标上标绘，如得一直线，即可定系数和，并求得的函数关系式。

如偏离直线，则应重新选定，，直至为直线关系为止。

例3-1实验数据,如下表,求经验式。

1 2 3 4 5

0.5 2 3.5 8 12.5

* :仅介绍方法，故给出的例子中的实验数据省略了“单位”，下同。

解:将,标绘在直角坐标纸上得图3-5(a)

由-曲线可见其形状类似幂函数曲线，则令， 计算得:

0.000 0.301 0.477 0.602 0.699

-0.301 0.301 0.653 0.903 1.097

将仍标绘于普通直角坐标纸上，得一直线，见图3-5(b)。 由图上读得截距s

由直线的点读数求斜率，得:

斜率:

则得:

即幂函数方程

式:

3.3.2 常见函数的典型图形及线性化方法

常见函数的典型图形及线性化方法列于表3-3中。

表3-3 化工中常见的曲线与函数式之间的关系(摘自《化工数据处理》) 序号 图形 函数及线性化方法

双曲线函数 (1)

则得直线方程

S型曲线 (2)

则得直线方程

指数函数 (3)

则得直线方程

指数函数 (4)

则得直线方程

幂函数

(5)

则得直线方程

对数函数 (6)

则得直线方程:

例如:幂函数

两边取对数

令

则得直线化方

程

在普通直角坐标中标系绘关系，或者在对数坐标系中标绘关系，便可获得直线。幂函数在普通直角坐标中的图形以及式中值改变时所得各种类型的曲线如表3-3(5)所示。

3.4 图解法求经验公式中的常数

当经验公式选定后，接下来就要按照实验数据决定式中的常数。本节介绍如何用图解法求方程式中的常数。

3.4.1 幂函数的线性图解

当研究的变量间呈幂函数时，将实验数据()标绘在对数坐标纸上，其图形是一直线(见图3-6)。

系数的确定方法

? 先读数后计算:在标绘所得的直线上，取相距较远的两点，读取两对()值，然后按下式计算直线斜率b

b

(3-1)

=

应当特别提醒注意:由于对数坐标的示值是而不是，故在求取直线斜率时，务必用式(3-1)计算。

? 先测量后计算:当两坐标轴比例尺相同情况下，可用直尺量出直线上1、2两点之间的水平及垂直距离，按式(3-2)计算，见图3-6。

(3-2)

=

系数的确定方法

在对数坐标系中坐标原点为。在中，当=1时，因此系数的值可由直线与过坐标原点的轴交点的纵坐标来定出。如果和的值与1相差甚远，图中找不到坐标原点，则可用下面方法，即由直线上任一已知点1的坐标()和已求出的斜率，按式=计算值。

3.4.2 指数或对数函数的线性图解

当所研究的函数关系呈指数函数( )或对数函数( )时，将实验数据( )标绘在半对数坐标纸上的图形是一直线。

系数或的求法:

在直线上任取相距较远的两点，根据两点的坐标()、()来求直线的斜率。 对

，纵轴为对数坐标轴

(3-3)

(3-4)

对 , 横轴 x 为对数坐标

(3-5)

系数的求法

系数的求法与幂函数中讲的方法基本相同，可用直线上任一点处的坐标()和已经求出的系数或，代入函数关系式后求解。即

由 可得

由 可得

3.5 实验数据的回归分析法

在3.4节介绍了用图示法获得经验公式的过程。尽管图示法有很多优点，但它的应用范围毕竟很有限，所以本节将介绍目前在寻求实验数据的变量关系间的数学模型时，应用最广泛的一种数学方法，即回归分析法。回归分析法与电子计算机相结合，已成为确定经验公式最有效的手段之一。

3.5.1 变量类型

人们在实践中发现，各种变量相互联系相互依存，变量之间的关系分为两类:

(1)函数关系:属于确定性关系。如中，表示路程，表示速度，表示时间。 若知两个变量，则另一个变量的唯一值可由函数关系式求出。

(2)相关关系:与其中之一变量的每一个值对应的另一个变量的值不是一个或几个确定值，而是一个集合值。此时，变量、之间的关系称为相关关系。这是由于在许多实际问题中，

或者由于随机性因素的影响，变量之间的关系比较复杂，或者由于各变量的测量值不可避免地存在着测量误差，致使变量之间的关系具有不确定性。

需要指出的是函数关系和相关关系在概念上是截然不同的，但它们之间并无严格界线。如上所述，相关变量之间虽无确定关系，从统计意义上讲，它们之间又存在着某种确定的函数关系。理论上有一定函数关系的变量，在多次测试中由于误差的存在也含不确定性了。因此两者之间存在转化问题。

3.5.2 回归分析法的含义和内容

回归方程

回归分析是处理变量之间相互关系的一种数理统计方法。用这种数学方法可以从大量观测的散点数据中寻找到能反映事物内部的一些统计规律，并可以按数学模型形式表达出来，故称它为回归方程(回归模型)。

线性和非线性回归(拟合)

回归也称拟合。对具有相关关系的两个变量，若用一条直线描述，则称一元线性回归;若用一条曲线描述，则称一元非线性回归。对具有相关关系的三个变量，其中一个因变量、两个自

变量，若用平面描述，则称二元线性回归;若用曲面描述，则称二元非线性回归。依次类推，可以延伸到维空间进行回归，则称多元线性或非线性回归。处理实际问题时，往往将非线性问

题转化为线性来处理。建立线性回归方程的最有效方法为线性最小二乘法，以下主要讨论依最小二乘法拟合实验数据。

回归分析法所包括的内容

回归分析法所包括的内容或可以解决的问题，概括起来有如下四个方面:

? 根据一组实测数据，按最小二乘原理建立正规方程，解正规方程得到变量之间的数学关系式，即回归方程式。

? 判明所得到的回归方程式的有效性。回归方程式是通过数理统计方法得到的，是一种近似结果，必须对它的有效性作出定量检验。

? 根据一个或几个变量的取值，预测或控制另一个变量的取值，并确定其准确度(精度)。

? 进行因素分析。对于一个因变量受多个自变量(因素)的影响，则可以分清各自变量的主次，和分析各个自变量(因素)之间的互相关系。

下面先讨论线性回归，进而介绍非线性回归。

3.5.3 线性回归分析法

一元线性回归

? 回归直线的求法

在取得两个变量的实验数据之后，若在普通直角坐标纸上标出各个数据点，如果各点的分布近似于一条直线，则可考虑采用线性回归法求其表达式。

设给定 个实验点 ，其离散点图如图3-7所示。于是可以利用一条直线来代表它们之间的关系

(3-6)

式中 —由回归式算出的值，称回归值

和 —回归系数

对每一测量值 均可由式(3-6)求出一回归值 。回归值 i与实测值 之差的绝对值

表明 与回归直线的偏离程度。两者偏离程度愈小，说明直线与实验数据点拟合愈好。 值代表点 沿平行于 轴方向到回归直线的距离，如图3-8上各竖直线 所示。

设 (3-7)

其中 是已知值，故 为 和 的函数，为使 值达到最小，根据数学上极值原理，只

要将式(3-7)分别对 , 求偏导数 ，并令其等于零即可求 , 之值，这就是最小二乘法原理。即

(3-8)

由式(3-8)可得正规方程:

(3-9)

其中: (3-10)

解正规方程(3-9)，可得到回归式中的 和 :

= (3-11)

= (3-12)

可见，回归直线正好通过离散点的平均值( )，为计算方便，令:

= (3-13)

= (3-14)

= (3-15)

可得

(3-16) =

以上各式中的 、 称为 、 的离差平方和， 为 、 的离差乘积和，若改换 、 各自的单位，回归系数值会有所不同。

? 回归效果的检验

在以上求回归方程的计算过程中,并不需要事先假定两个变量之间一定有某种相关关系。因此，必须对回归效果进行检验。

? 离差、回归和剩余平方和及其自由度

先介绍平方和、自由度及方差概念，以便于对回归效果检验的理解。

(a)离差、回归和剩余平方和

实验值 与平均值 的差( )称为离差， 次实验值 的离差平方和

越大,说明 的数值变动越大。

所以 (3-17)

由前可知 (3-18)

令 (3-19)

式(3-17)可写成 (3-20)

式(3-20)称平方和分解公式，理解它并记住它对于掌握回归分析方法很有帮助。为便于理解，用图形说明之(见图3-9)。

它是回归线上 的值与平均值 之差的平方和，称为回归平

: 方和。

= (3-21)

(3-22) :

式(3-22)代表实验值 与回归直线上纵坐标 值之差的平方和。它包括了 对 线性关系影响以外的其它一切因素对 值变化的作用。所以常称为剩余平方和或残差平方和。

在总的离差平方和 中， 所占的比重越大， 的比重越小，则回归效果越好，误差越小。

(b) 各平方和的自由度

所谓自由度( )，简单地说，是指计算偏差平方和时，涉及独立平方和的数据个数。每一个平方和都有一个自由度与其对应，若是变量对平均值的偏差平方和，其自由度 是数据的个数( )减1(例如离差平方和)。如果一个平方和是由几部分的平方和组成，则总自由度

等于各部分平方和的自由度之和。因为总离差平方和在数值上可以分解为回归平方和 和剩余平方和 两部分，故

= + (3-23)

式中， —总离差平方和 的自由度， ， 等于总的实验点数; n

—回归平方和的自由度， 等于自变量的个数 ;

—剩余平方和的自由度， = , = 。

对于一元线性回归， , 。

(c) 方差

平方和除以对应的自由度后所得值称为方差或均差。

回归方差 = (3-24)

剩余方差 (3-25)

剩余标准差 (3-26)

愈小，回归方程对实验点的拟合程度愈高，亦即回归方程的精度愈高。

? 实验数据的相关性

(a) 相关系数

相关系数 是说明两个变量线性关系密切程度的一个数量性指标。其定义为

= (3-27)

2 = (3-28)

2由式(3-28)可看出， 正好代表了回归平方和 与离差平方和 的比值。

的几何意义可用图3-10说明。

=0:此时 ，回归直线的斜率 ， =0， = ， 不随 而变化。此时离散点的分布情况有两种情况，或是完全不规则， 、 间完全没有关系，如图3-10(1);或是 、 间有某种特殊的非线性关系,如图3-10 (6)所示。

0, ,1:代表绝大多数情况，此时 与 存在一定线性关系。若 ,0，则 ,0，且 ,0，离散点图的分布特点是 随 增大而增大，如图3-10 (2)所示，称为 与 正相关。若 ,0，则 ,0，且 ,0， 随 增大而减小，如图3-10(3)所示，称 与 负相关。 的绝对值愈小，( / )愈小，离散点距回归线愈远，愈分散; 的绝对值愈接近于1，离散点就愈靠近回归直线。

=1:此时， =0， = ，即所有的点都落在回归直线上，此时称 与 完全线性相关。当 =1时，称完全正相关; =,1时，称完全负相关。如图3-10 (4)、(5)所示。

(b) 显著性检验

如上所述，相关系数 的绝对值愈接近于1， 、 间愈线性相关。但究竟 与1接近到什么程度才能说明 与 之间存在线性相关关系呢,这就有必要对相关系数进行显著性检验。只有当 达到一定程度才可用回归直线来近似地表示 、 之间的关系。此时，可以说线性相关显著。一般来说，相关系数 达到使线性相关显著的值与实验数据点的个数 有关。因此，只有 , min时，才能采用线性回归方程来描述其变量之间的关系。 min值可见附录5(相关系数检验表)。利用该表可根据实验数据点个数 及显著水平 查出相应的 min。一般可取显著性水平 =1%或5%。

如 =17，则 ,2=15。查相关系数检验表(见附录5)，得

=0.05时, min=0.482

=0.01时, min=0.606

? 回归方程的方差分析

方差分析是检验线性回归效果好坏的另一种方法。通常采用 检验法，因此要计算统计量

= = = (3-29)

对一元线性回归的方差分析过程见表3-5。由于 ，则

= (3-30)

然后将计算所得的 值与 分布数值表(见附录6)所列的值相比较。

分布表中有两个自由度 和 ，分别对应于 计算公式(3-29)中分子的自由度 与分母的自由度 。对于一元回归中， = =1， = = 。有时将分子自由度称为第一自由度，分母自由度称为第二自由度。

表3-5 一元线性回归的方差分析表

名称 平方和 自由度 方差 方差比 显著

性

回归 = =

=1 剩余

总计 =

=

分布表中显著性水平 有0.25，0.10，0.05，0.01四种，一般宜先查找 =0.01时的最小值 ，与由式(3-30)计算而得的方差比 进行比较，若 ? ，则可认为回归高度显著(称在0.01水平上显著)，于是可结束显著性检验;否则再查较大 值相应的 最小值，如 ，与实验的方差比 相比较，若 , ?

，则可认为回归在0.05水平上显著，于是显著性检验可告结束。依次类推。若 ,

，则可认为回归在0.25的水平上仍不显著，亦即 与 的自变量的线性关系很不密切。

对于任何一元线形回归问题，如果进行方差分析中的 检验后，就无须再作相关系数的显著性检验。因为两种检验是完全等价的，实质上说明同样的问题。

(3-31)

根据上式，可由 值解出对应的相关系数 值，或由 值求出相应的 值。

? 根据回归方程预报 值的准确度

一元线性回归中的剩余标准差[见式(3-26)]

= (3-32)

与第2章的标准误差 的数学意义是完全相同的。差别仅在于求 时自由度为 ，而求 时自由度为 。即因变量 的标准误差 可用剩余标准差s来估计:

= (3-32a)

值出现的概率与剩余标准差之间存在以下关系，即被预测的 值落在 0?2 区间内的概率约为95.4%，落在 0?3 区间内的概率约为99.7%。由此可见，剩余标准差 愈小，则利用回归方程预报的 值愈准确。故 值的大小是预报准确度的标志。

这两条线及回归线画在图3-11中，可见绝大多数观测点位于这两条直线之间。

多元线性回归

? 多元线性回归的原理和一般求法

在大多数实际问题中，自变量的个数往往不止一个，而因变量是一个。这类问题称为多元回归问题。多元线性回归分析在原理上与一元线性回归分析完全相同，仍用最小二乘法建立正规方程，确定回归方程的常数项和回归系数。

? 回归方程的显著性检验

同一元线性回归的方差分析一样，可将其相应计算结果，列入多元线性回归的方差分析表中， 同样，可以利用 值对回归式进行显著性检验，即通过 值对 与 之间的线性关系的显著性进行判断。

3.5.4非线性回归

在许多实际问题中，回归函数往往是较复杂的非线性函数。非线性函数的求解一般可分为将非线性变换成线性和不能变换成线性两大类。这里主要讨论可以变换为线性方程的非线性问题;另一类非线性方程求解问题在第6章介绍计算机仿真问题时再作讨论。

非线性回归的线性化

工程上很多非线性关系可以通过对变量作适当的变换转化为线性问题处理。其一般方法是

对自变量与因变量作适当的变换转化为线性的相关关系，即转化为线性方程，然后用线性回归来

分析处理。现以二元非线性回归为例来说明这种方法。

例3-8 流体在圆形直管内作强制湍流时的对流传热关联式

(3-45) s

其中 常数 、 、 的值将通过回归求得，由实验所得数据列于表3-8(a)。

表3-8(a) 数据表

序号 1 1.8016 2.2556 2.4465 4.3885 7.76 0.8899 2 1.6850 2.2266 2.3816 4.3769 7.74 0.8887 3 1.5069 2.1780 2.0519 4.3122 7.70 0.8865 4 1.2769 2.1062 1.7143 4.2341 7.67 0.8848 5 1.0783 2.0327 1.3785 4.1394 7.63 0.8825 6 0.8350 1.9217 1.0352 4.0150 7.62 0.8820 7 0.4027 1.6050 1.4202 4.1523 0.71 -0.1487 8 0.5672 1.7537 2.2224 4.3468 0.71 -0.1487 9 0.7206 1.8577 3.0208 4.4801 0.71 -0.1487 10 0.8457 1.9272 3.7772 4.5772 0.71 -0.1487 11 0.9353 1.9714 4.4459 4.6480 0.71 -0.1487 12 0.9579 1.9813 4.5472 4.6577 0.71 -0.1487 (1) 首先应将式(3-45)转化为线性方程:

方程两边取对数得

令

则(3-45)式可转化为

(3-46)

转化后方程中的、和的值见表3-8(a)。

(2) 对经变换得到的线性方程(3-46)，按照上节讲的线性回归方法处理。 该方程的自变量个数较少，可采用列表法用计算器计算，所得数据见表3-8(b)所示;如果自变量的个数比较多，可采用计算机编程计算。

表3-8(b) 回归计算值

序号

1 4.3885 0.8899 2.2556 19.2589 0.7919 5.0877 3.9053 9.8987 2.0073 2 4.3769 0.8887 2.2266 19.1572 0.7898 4.9577 3.8898 9.7456 1.9766 3 4.3122 0.8865 2.1780 18.5951 0.7859 4.7437 3.8228 9.3920 1.9308 4 4.2341 0.8848 2.1062 17.9276 0.7829 4.4361 3.7463 8.9179 1.8636 5 4.1394 0.8825 2.0327 17.1346 0.7788 4.1319 3.6530 8.4142 1.7939 6 4.0150 0.8820 1.9217 16.120 0.0221 3.6929 3.5412 7.7156 1.6949 7 4.1523 -0.1487 1.6050 17.2416 0.0221 2.5760 -0.6174 6.6644 -0.2387 8 4.3468 -0.1487 1.7537 18.8946 0.0221 3.0755 -0.6464 7.6230 -0.2608 9 4.4801 -0.1487 1.8577 20.0713 0.0221 3.4510 -0.6662 8.3227 -0.2762 10 4.5772 -0.1487 1.9272 20.9507 0.0221 3.7141 -0.6806 8.8212 -0.2866 11 4.6480 -0.1487 1.9714 21.6039 0.0221 3.8848 -0.6912 9.1612 -0.2931 12 4.6577 -0.1487 1.9813 21.6942 0.0221 3.9255 -0.6926 9.2283 0.2946

52.3282 4.4222 23.8167 228.6497 4.7293 47.6769 18.5638 103.9098 9.6099

由表3-8(b)计算结果可得正规方程中的系数和常数值列于表3-8(c)，其计算过程与例

3-6中完全相同。

表3-8(c) 正规方程中的系数和常数值

名称 数值 0.4616 -0.7190 3.2104 0.0485 0.8429 0.4073 1.9847 4.3607 0.3685

根据上面的数据可列出正规方程组

解此方程得 ，。

因为

则有

那么线性回归方程为

(3-46a)

从而求得对流传热关联式中各系数为

准数关联式 (3-45a)

实测值和回归值的比较见表3-8(d)

表3-8(d) 回归结果对照表

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.8016 1.685 1.5069 1.2769 1.0783 0.835 0.4027 0.5672 0.7206 0.8457 0.9353 0.9579

1.7326 1.6943 1.5027 1.3015 1.0931 0.8712 0.3937 0.5607 0.7146 0.8526 0.9697 0.9871

注:=105.109

(3) 回归方程的显著性检验

特别要说明的是，这里最后需要的回归式是式(3-45a)，所以应对式(3-45a)进行显著性检验，而不是对线性化之后的线性方程的回归式(3-46a)进行检验。因为线性化之前的非线性化方程形式各异，情况很复杂，对应的不一定等于对应的()，故用分布函数 作显著性检验，是一种近似处理的方法。

的离差平方和

=

回归平方和

剩余平方和

对的相对偏差=

方差比

查附录6得

所求之准数关联式3-45a在水平上高度显著。

4)预报值的准确度 (

剩余标准差

所以预报值的绝对误差?2×=6.4(概率95.4%)。

多项式回归

上节中讨论了经过变量置换，化一元曲线为直线进行线性回归的问题。但并非所有的一元

曲线都能转化为直线。例如三次多项式，就不能变换成直线。

由于任一连续函数按微积分概念在一个小的区间内均可用分段多项式来逼近，所以在实际

问题中，不论与自变量的关系如何，必要时可以把它变换成多元线性回归分析问题，最常

见的一种情形是多项式回归。在一元回归问题中，如果变量和的关系可以假定为次多项

式:

(3-47)

其中。

令 ，，，?，

则式(3-47)就可以转化为多元线性方程

(3-48)

由上可见，求多项式回归的问题化为多元线性回归模型是很方便的。这种方法可以用来解决相当一类的非线性问题。它在回归分析中占据重要的地位。例如

(3-49)

其中皆为自变量的已知函数。令

(3-50)

则(3-49)可写成

(3-51)

3.5.5 逐步回归法

在研究多项式回归问题时，已经遇到自变量代表的不仅是一个函数，还可能是一组不同

的变量或某些组合的变量。但这些自变量对因变量的影响不尽相同，有些自变量的作用可以

忽略，而保留与有显著关系的适度“好”的那部分自变量，这就属于多元回归分析中变量筛

选问题。下面将介绍的逐步回归法，在变量筛选上是行之有效的数学方法。

逐步回归的基本思想是，从当前在圈外的全部变量中，挑选其偏回归平方和贡献最大的变量，用方差比进行显著性检验的办法，判别是否选入;而当前在圈内的全部变量中，寻找偏

回归平方和贡献最小的变量，用方差比进行显著性检验的办法，判别是否从回归方程中剔除。

选入和剔除循环反复进行，直至圈外无符合条件的选入项，圈内无符合条件的剔除项为止。下面介绍逐步回归的具体计算方法。

变量的选入与剔除准则

在逐步回归计算中需要用到线性代数中的消去变换法进行变量的选入。对选入变量的回归系数进行显著性检验，剔除变量仍进行F,检验。

将系数矩阵r与常数项矩阵放在一起组成增广矩阵。为了检验方便，在矩阵的下面添

上一行组成一个方阵。

(3-87)

其中是的相关阵。那么

(3-88) ， ，

(3-89) ，

若中的最大者为，根据显著性水平值与n的大小，参看附录6 —F

分布表，选定一个常数作为为选入入变量的临界值，一般取1.5~4中的某一值。比较与

的大小，，则应选入，否则不能选入。

假设被选入，对作消去变换，将变为。中的元素 ()用表示，则有

(3-90)

由(3-90)式可知，是入选变量时，，就是的回归系数; 未被入选时，。

若已入选变量是，要考察在中可入选的变量，根据消去变

换的性质可知，只相当于对作了k次消去变换，则有

(3-91)

，

比较的大小，最大者记为，若，不能入选，筛选 结束;若，应选入，选入变量后，转入剔除变量步骤。

若已入选的变量为，考察中是否有可以剔除的。对应的L

矩阵记为，检验是否应剔除的统计量为

(3-92) ，

比较的大小，最小者记为，对于给定的显著性水平，确定一临界 值，若，则应剔除，再考察其余已选入变量是否还有应剔除的，直到没有入

选变量可剔除为止;若，则表明没有变量可剔除，又转入选入变量的步骤。

整理结果

经过若干次选入变量和剔除变量之后，所有变量再没有可入选或剔除的，选择变量的步骤停止，整理资料，得出回归方程。

(3-93)

逐步回归法由于剔除了不重要的变量，因此，无需求解一个很大阶数的回归方程,显著提高了计算效率;又由于忽略了不重要的变量，避免了回归方程中出现系数很小的变量而导致的回归方程计算时出现病态，得不到正确的解。在解决实际问题时，逐步回归法是常用的行之有效的数学方法。逐步回归的计算一般需借助计算机计算，故特自编了一套程序[见附录8.2]。

范文三：实验数据处理

实验数据处理

分析组：李学章 李 超 杨春梅 张 雪

2015年3月29日

实验数据处理

分析人员在任何一个工作环节都离不开数据，存在两个问题需要解决：一个是怎样测、读数据、应该记录几位数？另一个是怎样评价分析结果？

一、有效数字及其位数

1、有效数字：分析测定中实际能测量到的数字，包括所有准确数字和最后一位估计的不准确数字。

例如：0.2374g 12.35mL 2、“零”的作用：定位作用和作为有效数字。 3、“零”的意义：

①“零”在具体数字前，只起定位作用，不作有效数字。 例如：0.3378g 、0.0326g 。

②“零”在具体数字中间或后面，都作有效数字。 例如：1.2057g 、1.33200g

③以“零”结尾的正整数，其有效数字不确定。 例如：1200（2、3或4位）

二、有效数字的修约规则 一次修约到底，四舍六入五成双。

即①所谓“四舍”：当尾数≤4时，舍去尾数； 例如：12.354→12.35（保留4位）

②所谓“六入”：当尾数≥6时，向左进一位； 例如：3.6787→3.679（保留4位）

③所谓“五成双”：当尾数等于5时，5后有具体数就进1；5后没有数时看单双，若保留下来的未位数是奇数，则进位，若保留下来的未位数是偶数，则将5舍去。总之，应保留偶数。

例如：将下列数修约为两位有效数字。

0.205→0.20 0.315→0.32 0.325→0.32 3.148→3.1 7.3976→7.4 74.51→75 例如：将11.4565修约为两位有效数字，应一次修约为11，而不能进行多次修约，把11.4565→11.456（一次修约）→11.46（二次修约）→11.5（三次修约）→12（四次修约），得出错误的结果。

三、有效数字的运算法则

1、加减法运算法则：几个有效数字相加或相减，其和或差的有效数字位数以小数点后位数最少的数字为准。

例如：23.36＋5.120＋3.05843＝23.36＋5.12＋3.06＝31.54 21.25－3.206＝21.25－3.21＝18.04

2、乘除法运算法则：几个有效数字相乘或相除，其积或商的有效数字位数以有效数字位数最少的数字为准。

例如：5.42×0.12×2.1681＝5.4×0.12×2.2＝1.4 4.05÷0.2501＝4.05÷0.250＝16.2

3、在对数运算中，所取对数的小数位数应与真数的有效数字位数相同，对数的整数部分只起定位作用，不是有效数字。

例如：lg143.7＝2.1575

4、乘方、开方运算，其结果的有效数字位数应与运算的有效数字位数相同。 例如：1212＝146×102＝1.46×104

0. 049 0. 22

5、常数e 等的数值及乘除因数（2）等有效数字的位数是无限的，计算根据需要而定。

三、计算器的使用

在实验数据处理的过程中，使用计算器除了简单的加减乘除以外，还会用到函数的计算，正确使用计算器是确保结果准确的基础。

一般的学生计算器结构如图所示，这里主要介绍函数键的使用。

M+：把目前显示的值放在存储器中，是计算结果并加上已经储存的数； M-

：从存储器内容中减去当前显示值，是计算结果并用已储存的数字减去目

前的结果；

MR ：按下此键将调用存储器内容, MC ：按下时清除存储器内容

GT ：按下GT 键, 传送GT 存储寄存器内容到显示寄存器; 按AC 或C 键消除GT 显示标志.

MU ：按下该键完成利率和税率计算. ；

清除输入键(CE)：在数字输入期间按下此键将清除输入寄存器中的值并显示"0" ，可重新输入；

AC ：是清除全部数据结果和运算符。 C: 清除最近输入的一组数字

→（＞或者Backspace ）：作用象电脑键盘的退格键，每按一下清除最后一个字。

:（或者 sqrt ） 是开平方，作用是对当前的数开平方 +/_:作用是更改当前数字的正负(加上“-”号或者取消“-”号)

=：作用有两个，除了显示计算结果，还可以计算乘方和相同数相加（减）。 %：求百分数 1/x 求倒数值

log(2,5)需分情况说明： 一、CASIO fx-82ES等自然书写显示的计算器，有 log 口口 键(口 代表方框) ，然后在第一个框输入2，第二个框输入15。

四、使用公式

在数据处理过程中，经常会用到各类相关的计算公式，熟练掌握公式及公式中相关符号的意义及单位，是确保实验结果准确的重要基础，并能够将实验数据

代入公式中进行正确计算。

以EDTA 标准溶液标定实验公式为例：

m ?

c EDTA =

(V EDTA

25

?1000 -V 空白) ?81. 39

式中：V EDTA ——滴定消耗EDTA 标准溶液的体积，单位为mL ； V 空白——空白试验消耗EDTA 标准溶液的体积，单位为mL ； c EDTA ——EDTA 标准溶液的浓度，单位为mol/L； 81.39——ZnO 的摩尔质量，单位为g/mol； m ——ZnO 的质量，单位为g 。

通过对公式的正确解读，将实验数据正确代入公式中就能正确计算出EDTA 标准溶液的浓度。

五、数据的估算

在实际分析过程中，学生应具备一定的估算能力。例如，在称量样品时，可根据要求称重的质量来进行估计，加快称量的速度及准确性；根据称重样品的质量，估算出所需滴定液的体积（如在滴定分析中，最适宜体积应在20~~40mL）。

下表列举分析中常识性的数据，在估算中以可此为参考。

六、误差、偏差、极差

分子实验中测定的数据，由于受到分析方法、仪器、试剂、操作者以及偶然因素的影响，不可能绝对准确，总是存在一定的误差。测定中存在的偶然误差，其数据一般符合统计学的规律性，因此，需要应用统计学的知识，对分析数据进行处理，才能做出合理的判断。

（一）基本概念

1、分析结果的准确度：试样测定平均值与真值间的相符程度。它的高低用误差的大小来表示，误差越小，准确度越高，误差越大，准确度越低。

2、误差：测定值与真值之差（有正、负之分）。是客观存在的，不可消灭，只可减小。

3、真值：物体本身具有的真实数值。实际中用多次测定结果的算术平均值（均值）充当真值。

+a n a 1 +a 2 +a 3+ …… ( n ) n

4、误差的表示方法：有绝对误差和相对误差两种。

5、绝对误差：测定值与真值之间的代数差值。 绝对误差＝测定值（或实验值）－真值

6、相对误差：绝对误差与真值之比。

相对误差＝

绝对误差

?100％

真值

7、分析结果的精密度：同一条件下，对同一个量重复测定时各测定值彼此间相符的程度。它的高低用偏差的大小来表示，偏差越小，精密度越高，偏差越大，精密度越低。

8、偏差：对同一个量多次测定，单次测定值与均值之差值。（有正、负之分） 9、绝对偏差：个别测定值与均值之差。 绝对偏差＝某次的测定值－均值

10、相对偏差：绝对偏差与均值之比。 11、准确度与精密度的关系：

相对偏差＝

绝对偏差

?100％

均值

准确度表示测定结果的准确性，以真值为标准，由随机误差和系统误差所决定。精密度表示测定结果的重现性，以平均值为标准，由随机误差所决定，与真值无关。

只有在消除了系统误差之后，精密度高才会准确度高。只有高精密才能高准确；准确度高一定需要精密度好。

结论：精密度高，准确度不一定高，准确度高，一定要求精密度高。（精密度是准确度的前提，但精密度高了准确度不一定也高）

[说明] 在实际工作中，真值未知，分析结果的评价只能用精密度表示；若选用良好的分析方法，在消除系统误差的情况下，测定结果的差异主要是随机误差造成的，因此精密度完全可以评价分析结果的优劣。

12、平均偏差：各绝对偏差的绝对值的平均值。

偏差 偏差 …… 偏差n n

13、相对平均偏差：平均偏差与均值之比。

平均偏差

?100 ％ 均值

14、极差（范围误差）：一组数据中，最大值与最小值之差。 15、相对极差：极差与均值之比。

极差

?100％

均值

（二）误差的种类、产生原因及减免方法

1、系统误差（可测误差）：在一定条件下，由某种恒定的或按某一确定规律

起作用的因素所引起的误差。可进行校正或部分消除，是可以测定的，影响分析结果的准确度。

①对照实验：

a. 用标准样品进行；以标准样品作试样与被分析试样在完全相同的条件下进行分析从而估算方法误差，同时引入校正系数来校正分析结果。校正系数＝标准试样含量/标准试样分析结果。

b. 换可靠的分析方法（标准方法或经典方法）进行；也可用国家颁布的标准方法或公认的经典方法与所拟定的方法进行对照

c. 不同实验室不同分析人员分析同一试样来相互对照。

②空白试验：在不加待测组分的情况下，按分析方法所进行的试验。所测得的值叫空白值。

试样分析结果—空白值＝较准确的结果。空白试验可以检验和减免由试剂、蒸馏水不纯或仪器带入的杂质所引起的误差，空白值一般不应很大，否则应提纯试剂或改用适当试剂和选用适当仪器的方法来减小空白值。

2、随机误差（偶然误差）：测定值受各种因素随机变动而引起的误差。不是偶然产生的，是必然产生的，不可避免，无法校正，只能减小，不能消除，影响分析结果的精密度，多次平行测定求平均值可减小。（难以觉察也难以控制。如测定时环境的温度、湿度、压力突变，仪器性能如天平零点发生改变等。）

特点：符合正态分布规律。

①大小相等的正负误差出现的概率相等。

②小误差出现的概率大，大误差出现的概率小。

七、实验数据记录表与报告表

分析记录表是记录分析过程中的各项实验方法、条件、操作、实验数据和实验结果等的原始资料，是判断产品及过程质量合格与否的依据。记录的内容必须真实、完整、准确，做到随做随记，不能事后补记。记录不能随意修改，若写错时，在错误的地方划上单线或双线， 在旁边改正重写，并签名。

实验数据记录表样表

分析工作完成后根据检验结果，开具分析报告书。分析报告书是对产品及过程质量检验结果的正式凭证，结果判定必须明确、肯定、有依据。分析报告上必须有检验者、复核者和部门负责人的签章，签章应写全名，否则该分析结果无效。

实验报告单

填写注意事项 1、 使用碳素笔填写 2、 数据修改

分析工作应按时开展并提交结果，并注重保密性。

范文四：实验数据处理

红光

空间频率:10 lp/mm

Pcmin=0.04 Prmin=0.00

Pcmax=0.98 Prmax=0.98

MTFcolumn=Pcmax-Pcmin MTFrow=Prmax-Prmin

4 MTFrow=0.98 MTFcolumn=0.9

Prmin0,Prmax0.98,MTFrowPrmaxPrmin:,,MTFrow0.98,

3000

4000

2000fcfr

20001000

0000.51 00.20.40.60.81

pp

空间频率:25 lp/mm

Pcmin=0. 36 Prmin=0.12

Pcmax=0.98 Prmax=0.98

MTFcolumn=Pcmax-Pcmin MTFrow=Prmax-Prmin

MTFcolumn=0.62 MTFrow=0.86 3000

3000

20002000frfc

10001000

000.20.40.60.810p00.51 p

空间频率:50 lp/mm

Pcmin=0.46 Prmin=0.3

Pcmax=0.98 Prmax=0.98

MTFcolumn=Pcmax-Pcmin MTFrow=Prmax-Prmin

MTFcolumn=0.52 MTFrow=0.68

4000

3000

3000

2000fcfr2000

10001000

0000.5100.20.40.60.81

pp

空间频率:80 lp/mm

Pcmin=0.52 Prmin=0.44

Pcmax=0.82 Prmax=0.84

MTFcolumn=Pcmax-Pcmin MTFrow=Prmax-Prmin

MTFcolumn=0.3 MTFrow=0.4

6000

5000

fc4000fr

2000

0000.5100.20.40.60.81 pp

小组成员:王晓勋、陈鹏、赵鹏、张朴林、徐翠萍

实验日期:2012-3-29

范文五：实验数据处理

合金相图：测绘金属相图常用的实验方法是热分析法，其原理是将一种金属或合金熔融后，使之均匀冷却，每隔一定时间记录一次温度，表示温度与时间关系的曲线叫步冷曲线。当熔融体系在均匀冷却过程中无相变化时，其温度将连续均匀下降得到一光滑的冷却曲线; 当体系内发生相变时，则因体系产生之相变热与自然冷却时体系放出的热量相抵偿，冷却曲线就会出现转折或水平线段，转折点所对应的温度，即为该组成合金的相变温度。利用冷却曲线所得到的一系列组成和所对应的相变温度数据，以横轴表示混合物的组成，纵轴上标出开始出现相变的温度，把这些点连接起来，就可绘出相图。

1. 用已知纯Pb 、纯Sn 的熔点及水的沸点作横坐标，以纯物步冷曲线中的平台温度为

纵坐标作图，画出热电偶的工作曲线。

2. 找出各步冷曲线中拐点和平台对应的温度值。

3. 从热电偶的工作曲线上查出各拐点温度和平台温度，以温度为纵坐标，以组成为

横坐标，绘出Pb —Sn 合金相图。

燃烧热的测定：1. 取柰约0.6g 左右，倒在压片机外模内压片，再在分析天平上准确称重后备用。

2. 截取长度为12cm 的燃烧丝，备用。

3. 拧开氧弹盖放在专用支架上，将弹内洗净，擦干，放入10mL 蒸馏水。将已准确称重的样品片放入不锈钢燃烧皿内，再将已称重的燃烧丝两端分别缠紧在弹盖的两支电极，并使燃丝的中部抵在样品片上，但不能与燃烧皿壁接触。用万用表检查图Ⅲ-1-3中4和5是否通路，若不通，说明燃烧丝接触不良，需检查缠紧。

4. 小心地旋紧氧弹盖子。旋松排气孔，将进气孔上的螺丝(接电线用) 旋下，换接导气管的螺栓，打开氧气钢瓶上的阀门，旋转减压阀，氧气即充入弹内，排气约15秒，关闭排气孔，增大压强致2MPa 左右，关闭氧气钢瓶阀门及减压阀，拧下氧弹上的导气管螺栓，将原来的螺丝装好，再用万用表检查两电极是否为通路，若不通，则需放掉氧气，打开弹盖，重新缠紧燃烧丝; 若是通路则可作燃烧之用。

5. 将充氧之后的氧弹放入量热计内筒中的金属支架上，用容量瓶准确量取3000ml 自来水（先加2000ml, 后加1000ml) 倒入内筒，应将氧弹淹没。检查氧弹是否漏气。

6. 接上点火电极的导线，盖好水帽，插入已调好的贝克曼温度计（要求水银柱不超过1.5℃刻度为宜）。

7. 按要求接好电源插头。打开总电源(指示灯亮) ，打开搅拌器（不得有摩擦声，如有摩擦声须调整内筒位臵），打开照明开关(放大镜照明灯亮) ，

8.开始测量数据，十分钟后打开点火开关，点火指示灯亮后自灭，即表示已点火，立即关闭点火开关。点火后20秒内即可观察到内筒温度迅速上升，表明点火成功，即可记录内筒温度，直到温度达到最高点或2min 内温度变化不超过0.002℃为止，此即内筒燃烧后温度T 2。如果点火后2min 内筒温度变化很小，系样品未燃烧之故，说明点火失败，必须一切从头开始重做。

9. 温度记录后，即可关闭电源，称量剩余的燃烧丝的长度，将氧弹洗净，擦干备用。将内筒自来水倒掉，擦干备用。

1. 用雷诺图解法作图求3000ml 水温度升高的值。

2.计算柰的恒容燃烧热。

氢氧化铁溶胶电泳：1.Fe(OH)3溶胶的制备及纯化

2. 装臵仪器和连接线路

用蒸馏水洗净电泳管后，再用少量溶胶洗一次，将渗析好的Fe(OH)3溶胶倒入电泳管中，使液面超过活塞(2)、(3)。关闭这两个活塞，把电泳管倒臵，将多余的溶胶倒净，并用蒸馏水洗净活塞(2)、(3)以上的管壁。打开活塞(1)，用自己配制的HCl 溶液冲洗一次后，再加入该溶液，并超过活塞(1)少许。插入铂电极按装臵图Ⅲ-25-1连接好线路。

电泳仪器装置图

1.Pt 电极；2.HCl 溶液；3.Fe(OH)3溶胶；4. 电泳管；5. 活塞；6. 直流电源；7. 电键；8. 滑线电阻；9. 直流电压表；10. 电源线路。

3.测定溶胶电泳速度

同时打开活塞(2)和(3)，关闭活塞(1)，打开电键7，经教师检查后，接通直流稳压电源6，调节电压为100V 。接通电键7，迅速调节电压为100V ，并同时记时和准确记下溶胶在电泳管中液面位臵，约1h 后断开电源，记下准确的通电时间t 和溶胶面上升的距离d ，从伏特计上读取电压E ，并且量取两极之间的距离L 。

实验结束后，折除线路。用自来水洗电泳管多次，最后用蒸馏水洗一次。

1. 将实验数据记录如下: 电泳时间s ；电压V ；两电极间距离cm ；溶胶液面移动距离cm 。

2. 将数据代入公式(3)中计算ζ电势。

溶液吸附法测定固体物质的比表面：1. 把数据填入下表

2. 作E —C 工作曲线。

3. 求次甲基蓝原始溶液的浓度C 0和平衡溶液的浓度C 。从E —C 工作曲线上查得对应的浓度，然后乘以稀释倍数200，即得C 0和C 。

4. 计算比表面，求平均值。

1. 活化样品，将活性炭臵于瓷坩埚中放入500℃马福炉中活化1h(或在真空箱中300℃活化1h) ，然后臵于 干燥器中备用。

2. 溶液吸附取100mL 三角烧瓶3只，分别准确称取活化过的活性炭约0.1g ，再加入40g 浓度为2g ·dm-3左右 的次甲基蓝原始溶液，塞上包有锡纸的软木塞，然后放在振荡器上振荡3h 。

3. 配制次甲基蓝标准溶液

4. 原始溶液的稀释，为了准确测定原始溶液的浓度，在台称上称取浓度为2g ·dm-3的原始溶液2.5g 放入 500mL容量瓶中，稀释至刻度。

5. 平衡液处理，样品振荡3h 后，取平衡溶液5mL 放入离心管中，用离心机旋转10min ，得到澄清的上层溶液。取2.5g 澄清液放入500mL 容量瓶中，并用蒸馏水稀释到刻度。

6. 选择工作波长，用6mg ·dm-3的标准溶液和0.5cm 的比色皿，以蒸馏水为空白液，在500nm ～700nm 范围 内测量光密度，以最大吸收时的波长作为工作波长。

7. 测量光密度，在工作波长下，依次分别测定4mg ·dm-3、6mg ·dm-3、8mg ·dm-3、10mg ·dm-3、 12mg·dm-3的标准溶液的光密度，以及稀释以后的原始溶液及平衡溶液的光密度。

电极的制备及电动势的测定：1. 电极的制备

(1)铜电极的制备

将铜电极在1∶3的稀硝酸中浸泡片刻，取出洗净，作为负极，以另一铜板作正极在镀铜液中电镀(镀铜液组成为:每升中含125gCuSO4·5H2O ，25gH2SO4，50mL 乙醇) 。线路见图Ⅲ-15-1。控制电流为20mA ，电镀20min 得表面呈红色的Cu 电极，洗净后放入0.1000mol ·kg-1CuSO4中备用。

(2)锌电极的制备

将锌电极在稀硫酸溶液中浸泡片刻，取出洗净，浸入汞或饱和硝酸亚汞溶液中约10s ，表面上即生成一层光亮的汞齐，用水冲洗晾干后，插入0.1000mol ·kg-1ZnSO4中待用。

1. 将实验值与理论值进行对比，并计算相对误差。

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