白日易珊婧
范文一：中考数学压轴题解题策略相似三角形的存在性问题解题策略
中考数学压轴题解题策略
相似三角形的存在性问题解题策略
专题攻略
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．
应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 例题解析
例? 如图1-1，抛物线y?123，与yx?x?4与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）82
轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1-1
【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边．
123x?x?4，可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)． 82
CECO1于是得到BA＝4，BC
＝??． EFOB2△ABC是确定的．由y?
△BPF中，BP＝2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了．
在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t
，所以CF．
因此BF???t)．
于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当4BABPt?（如图1-2）． ?
?3BCBF
②当BABF20（如图1-3）．
?
t??BCBP7
图1-2 图1-3
例? 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，
求点C的坐标．
图2-1
【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢？
本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第
（2）题求∠AOM的大小作铺垫；求得了∠AOM的大小，第（3）题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角．
（1）如图2-2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．容易得到
A(?1．
再由
A(?1、B(2,0)
两点，可求得抛物线的解析式为y?2xx． （2
）由y?2，得顶点
M (1,x?x?1)2．
．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
所以tan?BOM?
图2-2
（3）由
A(?1、B(2,0)，可得∠ABO＝30°．
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．
所以△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①当BAOA．
??
时，BC??2．此时C(4,0)（如图2-3）BCOMBCOA．
??
时，BC??6．此时C(8,0)（如图2-4）BAOM②当
图2-3 图2-4
例? 如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图3-1
【解析】△AMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．
（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3．
（2）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得D(0,－3)，C(2, 1)．
如图3-2，由B(3, 0)、D(0,－3)、C(2, 1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°． 所以∠CBD＝90
°，且BC1??．
BD3
图3-2 图3-3 图3-4
设点M、N的横坐标为x，那么NM＝－yM，而NA的长要分N在A的右边或左边两种
情况，因此列方程要“两次分类”：
当N在A右侧时，NA＝x－1，分两种情况列方程： x?110NABD107?3．解得x?．此时M(,?)（如图3-3）． ??3时，(x?1)(x?3)3NMBC39
x?11NABC1?．解得x＝6．此时M(6,－15)（如图3-5）②当． ??时，(x?1)(x?3)3NMBD3①当
当N在A左侧时，NA＝1－x，也要分两种情况列方程： 1?xNABD8?3．解得x?＞1，不符合题意（如图3-4）①当． ??3时，(x?1)(x?3)NMBC3
1?x1NABC1?．解得x＝0，此时M(0,－3)（如图3-6）②当．
??时，(x?1)(x?3)3NMBD3
图3-5 图3-6
例? 如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分∠OBA．点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．
图4-1
【解析】首先求得点C(3,0)．△ACP与△BPF中，相等的角在哪里啊？
①如图4-2，当点P在线段AB上时，△ACP与△BPF中，∠APC与∠BPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP与AB是垂直的．可以求得F(0,－4)，于是直线CF(CP)为y?4x?4． 3
4x?4． 3②如图4-3，当点P在AB的延长线上时，△ACP与△BPF有公共角∠P．于是∠OFC＝∠PFB＝∠A，可以求得F(0, 4)，因此直线CF(CP)为y??
③如图4-4，当点P在BA的延长线上时，∠B与∠PCA不可能相等．在△AOB中，根据大边对大角，∠B＞∠BAO；∠BAO又是△PCA的一个外角，∠BAO＞∠PCA．
图4-2 图4-3 图4-4
例? 如图5-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
图5-1
【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A(1, 4)，D(－4, 4)，B(－2,－2)．
所以AO?
，BO?
，AB?
DO?
△EOD∽△AOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程． 由EOODDE?
EO?
DE? ??
AOOBBA2222??x?y?68,设点E的坐标为(x, y)，根据EO＝68，DE＝180，列方程组?解22??(x?4)?(y?4)?180.
?x?8,?x?2,得?1 ?2 y??2,y??8,?1?2
所以点E的坐标为(8,－2)或(－2, 8)．
上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．
【解法二】如图5-2，△AOB是确定的，△AOB与△EOD有公共点O，OB∶OD＝1∶2，∠BOD＝90°．
如果△EOD∽△AOB，我们可以把△AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B′落在OD上，此时旋转角为90°，点B′恰好落在OD的中点．
按照这个运动规则，点A(1, 4) 绕着点O顺时针旋转90°，得到点A′(4,－1)，点A′是线段OE的中点，因此点E的坐标为(8,－2)．
如图5-3，点E(8,－2)关于直线OD（即直线y＝－x）对称的点为E′(2,－8)．
图5-2 图5-3
例? 如图6-1，在△ABC中，AB＝AC＝
BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．
图6-1
【解析】△ABC是等腰直角三角形，⊙A是确定的，先按照题意把图形补充完整． 如图6-2，容易发现△ABP与△FBD有公共角∠B，如果根据对应边成比例列方程BABDBABF或，其中BA＝
BP＝t，BD＝
2，但是用含t的式子表示BF??BPBFBPBD
困难重重啊！
图6-2 图6-3 图6-4
我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．
△ABP与△FBD有公共角∠B，我们以∠D为分类标准，分两种情况讨论它们相似： 第一种情况，如图6-3，∠BAP＝∠D是不可能的，这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角，∠BAP＝2∠D．
第二种情况，如图6-4，当∠BPA＝∠D时，在△ABP中，由于∠BAP＝2∠D＝2∠BPA， 因此45°＋3∠BPA＝180°．解得∠BPA＝45°．
此时△ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t＝8．
解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BPA＝∠D时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等．
范文二：中考数学压轴题解题策略五：相似三角形的存在性问题
中考数学压轴题解题策略
相似三角形的存在性问题解题策略
专题攻略
相似三角形的判定定理有 3个,其中判定定理 1和判定定理 2都有对应角相等的条件, 因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.
判定定理 2是最常用的解题依据, 一般分三步:寻找一组等角, 分两种情况列比例方程, 解方程并检验,如例题 1、 2、 3、 4.
应用判定定理 1解题, 先寻找一组等角, 再分两种情况讨论另外两组对应角相等, 如例 题 6.
应用判定定理 3解题不多见,如例题 5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组) . 例题解析
例 ? 如图 1-1, 抛物线 213482
y x x =-+与 x 轴交于 A 、 B 两点 (A 点在 B 点左侧) , 与 y 轴交于点 C . 动直线 EF (EF //x 轴) 从点 C 开始, 以每秒 1个单位的速度沿 y 轴负方向平移, 且分别交 y 轴、线段 BC 于 E 、 F 两点,动点 P 同时从点 B 出发,在线段 OB 上以每秒 2个 单位的速度向原点 O 运动. 是否存在 t , 使得△ BPF 与△ ABC 相似. 若存在, 试求出 t 的值; 若不存在,请说明理由.
图 1-1
【解析】△ BPF 与△ ABC 有公共角∠ B ,那么我们梳理两个三角形中夹∠ B 的两条边.
△ ABC 是确定的.由 213482
y x x =
-+,可得 A (4, 0)、 B (8, 0)、 C (0, 4). 于是得到 BA =4, BC
=12CE CO EF OB ==. △ BPF 中, BP =2t ,那么 BF 的长用含 t 的式子表示出来,问题就解决了.
在 Rt △ EFC 中, CE =t , EF =2t
,所以 CF .
因此 ) BF t ==-.
于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程: ①当 BA BP BC BF =
=43t =(如图 1-2) .
②当 BA BF BC BP =
=207t =(如图 1-3) .
图 1-2 图 1-3 例 ? 如图 2-1,在平面直角坐标系中,顶点为 M 的抛物线 y =ax 2+bx (a >0)经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B , AO =BO =2, ∠ AOB =120°.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)连结 O M ,求∠ AOM 的大小;
(3) 如果点 C 在 x 轴上, 且△ ABC 与△ AOM 相似,
求点 C 的坐标.
图 2-1
【解析】△ ABC 与△ AOM 中相等的一组角在哪里呢?
本题由简到难,层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式,得到顶点 M 的坐标,为第
(2)题求∠ AOM 的大小作铺垫;求得了∠ AOM 的大小,第(3)题暗示了要在△ ABC 中寻 找与∠ AOM 相等的角.
(1)如图 2-2,过点 A 作 AH ⊥ y 轴,垂足为 H .容易得到
A (1-.
再由
A (1-、 B (2,0)
两点,可求得抛物线的解析式为 2y x x =. (2
)由 221) y x x x ==-
M (1,.
所以 tan BOM ∠=
.所以∠ BOM =30°.所以∠ AOM =150°.
图 2-2
(3)由
A (1-、 B (2,0),可得∠ ABO =30°.
因此当点 C 在点 B 右侧时,∠ ABC =∠ AOM =150°.
所以△ ABC 与△ AOM 相似,存在两种情况:
①当 BA OA BC OM ==
时, 2BC ==.此时 C (4,0)(如图 2-3) .
②当
BC OA BA OM ==
时, 6BC ==.此时 C (8,0)(如图 2-4) .
图 2-3 图 2-4
例 ? 如图 3-1, 抛物线 y =ax 2+bx -3与 x 轴交于 A (1, 0)、 B (3, 0)两点, 与 y 轴交于点 D , 顶点为 C .
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M ,过 M 作 MN ⊥ x 轴于点 N ,使以 A 、 M 、 N 为顶点的三角形与△ BCD 相似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
图 3-1
【解析】△ AMN 是直角三角形,因此必须先证明△ BCD 是直角三角形.一般情况下, 根据直角边对应成比例分两种情况列方程.
(1)抛物线的解析式为 y =-x 2+4x -3.
(2)由 y =-x 2+4x -3=-(x -2) 2+1,得 D (0,-3) , C (2, 1).
如图 3-2,由 B (3, 0)、 D (0,-3) 、 C (2, 1),可知∠ CBO =45°, ∠ DBO =45°. 所以∠ CBD =90
°,且 13
BC BD ==.
图 3-2 图 3-3 图 3-4
设点 M 、 N 的横坐标为 x ,那么 NM =-y M ,而 NA 的长要分 N 在 A 的右边或左边两种
情况,因此列方程要“两次分类” :
当 N 在 A 右侧时, NA =x -1,分两种情况列方程: ①当
3NA BD NM BC ==时, 13(1)(3) x x x -=--.解得 103x =.此时 M 107(, ) 39
-(如图 3-3) . ②当 13NA BC NM BD ==时, 11(1)(3) 3x x x -=--.解得 x =6.此时 M (6,-15) (如图 3-5) . 当 N 在 A 左侧时, NA =1-x ,也要分两种情况列方程: ①当 3NA BD NM BC ==时, 13(1)(3) x x x -=--.解得 83
x =>1,不符合题意(如图 3-4) . ②当 13
NA BC NM BD ==时, 11(1)(3) 3x x x -=--.解得 x =0,此时 M (0,-3) (如图 3-6) .
图 3-5 图 3-6
例 ? 如图 4-1, 在平面直角坐标系中, A (8,0) , B (0,6), 点 C 在 x 轴上, BC 平分∠ OBA . 点 P 在直线 AB 上,直线 CP 与 y 轴交于点 F ,如果△ ACP 与△ BPF 相似,求直线 CP 的解析 式.
图 4-1
【解析】首先求得点 C (3,0).△ ACP 与△ BPF 中,相等的角在哪里啊?
①如图 4-2,当点 P 在线段 AB 上时,△ ACP 与△ BPF 中,∠ APC 与∠ BPF 是邻补角, 如果这两个邻补角一个是锐角,一个是钝角,两个三角形怎么可能相似呢?因此 CP 与 AB 是垂直的.可以求得 F (0,-4) ,于是直线 CF (CP ) 为 443
y x =-. ②如图 4-3,当点 P 在 AB 的延长线上时,△ ACP 与△ BPF 有公共角∠ P .于是∠ OFC =∠ PFB =∠ A ,可以求得 F (0, 4),因此直线 CF (CP ) 为 443y x =-
+. ③如图 4-4,当点 P 在 BA 的延长线上时,∠ B 与∠ PCA 不可能相等.在△ AOB 中,根 据大边对大角,∠ B >∠ BAO ;∠ BAO 又是△ PCA 的一个外角 ,∠ BAO >∠ PCA .
图 4-2 图 4-3 图 4-4
例 ? 如图 5-1,二次函数 y =x 2+3x 的图象经过点 A (1,a ) ,线段 AD 平行于 x 轴,交抛 物线于点 D . 在 y 轴上取一点 C (0, 2), 直线 AC 交抛物线于点 B , 连结 OA 、 OB 、 OD 、 BD . 求 坐标平面内使△ EOD ∽△ AOB 的点 E 的坐标;
图 5-1
【解法一】点 A 、 D 、 B 都是确定的,可以求得 A (1, 4), D (-4, 4), B (-2, -2) .
所以 AO =
, BO =
, AB =
DO =.
△ EOD ∽△ AOB ,对应边已经确定,因此我们可以根据判定定理 3列方程. 由 EO OD DE AO OB BA ==
=
EO =
DE = 设 点 E 的坐标为 (x , y ) , 根据 EO 2=68, DE 2=180, 列方程组 222268, (4) (4) 180.
x y x y ?+=??++-=??解 得 118, 2, x y =??=-? 22
2, 8, x y =??=-? 所以点 E 的坐标为 (8,-2) 或 (-2, 8).
上面的解题过程是“盲解” ,我们并不明白两个三角形的位置关系.
【解法二】 如图 5-2, △ AOB 是确定的, △ AOB 与△ EOD 有公共点 O , OB ∶ OD =1∶ 2, ∠ BOD =90°.
如果△ EOD ∽△ AOB , 我们可以把△ AOB 绕着点 O 顺时针旋转, 使得点 B ′ 落在 OD 上, 此时旋转角为 90°,点 B ′ 恰好落在 OD 的中点.
按照这个运动规则,点 A (1, 4) 绕着点 O 顺时针旋转 90°,得到点 A ′ (4,-1) ,点 A ′ 是 线段 OE 的中点,因此点 E 的坐标为 (8,-2) .
如图 5-3,点 E (8,-2) 关于直线 OD (即直线 y =-x )对称的点为 E ′ (2,-8) .
图 5-2 图 5-3
例 ? 如图 6-1,在△ ABC 中, AB =AC =
BC =8.⊙ A 的半径为 2,动点 P 从点 B 出发沿 BC 方向以每秒 1个单位的速度向点 C 运动.延长 BA 交⊙ A 于点 D ,连结 AP 交 ⊙ A 于点 E ,连结 DE 并延长交 BC 于点 F .设点 P 运动的时间为 t 秒,当△ ABP 与△ FBD 相似时,求 t 的值.
图 6-1
【解析】△ ABC 是等腰直角三角形,⊙ A 是确定的,先按照题意把图形补充完整. 如图 6-2,容易发现△ ABP 与△ FBD 有公共角∠ B ,如果根据对应边成比例列方程 BA BD BP BF =或 BA BF BP BD
=,其中 BA =
BP =t , BD =
2,但是用含 t 的式子表示 BF 困难重重啊!
图 6-2 图 6-3 图 6-4
我们另起炉灶,按照判定定理 1来解决.
△ ABP 与△ FBD 有公共角∠ B ,我们以∠ D 为分类标准,分两种情况讨论它们相似: 第一种情况,如图 6-3,∠ BAP =∠ D 是不可能的,这是因为∠ BAP 是等腰三角形 ADE 的外角,∠ BAP =2∠ D .
第二种情况, 如图 6-4, 当∠ BP A =∠ D 时, 在△ ABP 中, 由于∠ BAP =2∠ D =2∠ BP A , 因此 45°+3∠ BP A =180°.解得∠ BP A =45°.
此时△ ABP 是等腰直角三角形, P 与 C 重合,所以 t =8.
解答这道题目, 如果选取点 P 的 3个不同位置, 按照题意画图, 可以帮助我们探究. 在 讨论第二种情况∠ BP A =∠ D 时,我们容易被已知图 6-1给定的点 P 的位置所误导,以为图 6-2中“锐角∠ D ”与“钝角∠ BP A ”不可能相等.
范文三：例谈“相似三角形”背景中求线段长度的解题策略
例谈“相似三角形”背景中求线段长度的解题策略
上海中学数学 年第 期
例谈“相似三角形 背景中求线段长度的解题策略 上海市青浦区金泽中学
李雪峰
相似三角形背景中求线段的长度,是上海 例 已知 , ‖ , 一 ,市中考、
一模、二模考试中经常出现的题 目,笔
一 .点 在线段上,联结,过点 作
者通过具体实例分析这类题目的解题策略.这的垂线,与 相交于点 .设线
段 的长
种题型的考查往往是在图形的运动变化中:先 为 .
给出两个三角形的一组角对应相等,再分两类 当 时,求线段 的长; 情况讨论两个三角形相似,进而再利用相似求设 的面积为 ,求 关于 的函 线段的长度.
数解析式,并写出函数的定义域;当?与?相似时,求线段
一
、 直接利用代数法解决的长.
代数法是利用三角形相似后对应边成比例
列出比例式,再代人数据计算得出结果.
例 已知如图 ? ,正
方形 的边长是 , 是的中点,有一条线段 ,
它的两个端点 ,』\,可以分别 在 , 边上任意滑动,线
段 的长度不变,始终是 . 点 作 ,交于点 .得一
图 ?
则当 与以 , ,』\『为
顶点的三角形相似时,求线段 而 , 一萼 ..?.函数解析的长. 式为 一 ,.
解:。.。正方形 的边长是 , 是的中点,.‘. 一 ,、/ . .‘ 一 一 。, ’.’
一 一 。,.’.?与
’
. . 与 相似分两类情况讨论: 相似分两类情况讨论: 当 ? 当? ?时,
?、时 如图 ? ,’.一 丝 一 . . . .一。 牟”...’ 半 ;; 一
? 。? ??? 二 一 当? ?时,一 . .
一 一,...。一年 .‘ .‘
斋丽 .?.一号?
图 ?
综上所述,当?与 相似时,线?
一
.
, , .一 .
段 的长为 或 .
包括数学的和非数学的 基础上的主动建构过结语 程,做到生本课堂.
改进学生学习方式是当前数学教育改革的 参考文献:
核心,如果对学生学习方式重视不够,很可能出 现让学生学得比较被动的情况.因此,可以通过王伟,段世彬.初中数学课堂
提问的视角究竟在
哪里 .中学数学教学参考 中旬. ,. “问题串”的设计进行合理地“导学”,从而发挥曹才翰,章建跃.数学教育
心理学 .北京.北
学生的主动性,并通过亲身实践、合作交流等方 京师范大学出版社, .
式,使数学学习过程成为学生在自己已有经验 万方数据 上海中学数学 年第 期
一 ,.。. 一 , 当
?时如图 ? ,
过点 作 上 , 上 , .
. ,垂足分别为 、 、
?’ 一
,则 ?一 , ? ,则
,,。.。 一 ,
‘ 一 ,.。.?
旦要 / ’ 图图?一
?,.。. ? ,.‘. 一
图 ?
。
. .
: ,.’. 一/ , 一? / ,.. 厶 , ?.
. 综上所述,当?与?相似时,线 综上所述,当 与?相似时,线段 厶段 的长为?、 或 .
厶的长为 或 .
厶
例 在矩形 中, 一 , , 点评:如例 和例 所示,用代数法解决此 是 边上一点, 交 于点 ,过点 类问题,思路非常清晰.一、分类 通常分两类 ;
作 一 ,交射线 于点 ,交射
二、列出比例式;三、代人数据,解出方程.解题
线 于点 .
时要注意根据题目的已知条件,列出恰当的比 如图 ? ,当点 与点 重合时,
求
例式,这样才能解出方程,解出方程后还要注意的长; 验根,看解出的结果是否符合题意. 如图 ? ,当点 在线段 上时,设
直接利用几何法解决问题 : , ,求 与 之间的函数关 系式,并写出它的定义域;
几何法:就是利用三角形相似后对应角相 联结 ,当?与/ 相似时,
等,再通过角的等价转化,结合图形原有的条 件,得出新的几何结论,进而再利用新的几何结论解题. 例 已知如图 ? ,在
?中, ? 一 , , /、\
一, . ? 是 边上一点, 一 , 是
图 ?。,.’. ? 。。.‘ 边上一动点 不与点 、 重 一 。.‘. 一 .
合 ,联结,并作? ? 如图 ? ,过点
,射线 交线段 于 .
作 ,垂足为点设的长度为 ,图 一
.得 , 一
的长度为 ,求 关于 的函数 , .‘ ? , ? 关系式,并写出函数的定义域;
\
, ? 一 ,.。. 一 联结 ,当?与/ 相似时,
一 ? ? . 图 ?
求线段的长. 。.。 一。,.‘.
解: 一一? 。 ?..
厶
一 。,‘.。,.‘.一。,.’., .。. 一.‘ 一 ,.‘.?与? 相似分两类情况讨论: ..’.当?与?相似时分两 当??? 类情况讨论 :
时 如图 ~ ,.。. 一 当???时 如图 ? , ’ ,。.。 一 ,.‘.
. 一 / ,/一 ,.‘.
一
/,.。. 一 ,.。.? . 一 ... .一丽. ..’. 一? 。 昔 一 , 图 ?
解得, ? .
丢一等 .? ?. 当? ?时如图 ? ,.’. 一 , ,‘.’’ 图 ? 万方数据上海中学数学年第 期 当???
一
.
时如图 ? ,过点 作
一 ‘.。 ? ,.’. 一 ,‘.。
上 ,垂足为点 , 与 ‘ : ,.’. 一 ..’.当
交 于 点 .。.。???与?相似时分两类情况讨论: ?,.。. 一 ,。.‘
. 当? ? , ,’:/ ,.。. 一 ,.. ?时 如图 一? ,.‘.
/, . /一
一 ,‘.’,.。. 一 .设一 一 ,则一
图 ?, 一一 一 ?是一..,:. ,.。.... ? ,易得一 .得 一 .
一号, .?. .
综上所述,当?与?相似时,线
段 的长为?或 .
一 , .‘.?点评:如例 和例 所示,用几何法解决此 ,...丽 一
类问题分三步:一、分类通常分两类 ;二、寻找 与对应角相关的角,进行等价转化,得出新的几 一一?,得 一? 一
何结论;三、利用新的几何结论解题.如例 ,第 一
种情况,通过相等的角之间的转化,得出两直 .解得. 一 , 。 一 舍去.即
线段线平行的结论,再得出线段的相等,最后计算得 的长为 .
出结果;第二种情况,通过两条角平分线交于一 综上所述,当?与?相似时,线
点的特征,得出两条线段相等,再推导出两个三
段 的长为 或 .
角形全等,最后利用全等对应边相等的性质得 例 如图 ? ,已
出结论.例 的解题思路也大致如此.解题时的 知梯形 中, ‖
难点在于根据分类的标准正确得画出图形并结, . , 一 ,
合图形的已知条件推导出新的几何结论.?一 , 。 一 三、几何法与代数法结合起来解决问题
?.点 在边 上运动
图 ?
有些问题,单独用几何法或代数法都难以 点 不与点 、点 重
解决,若把两者结合起来,先用几何法进行转 合 ,一束光线从点 出发,沿 的方向射出, 化,找出新的图形特征,再用代数法列出比例式 经 反射后,反射光线 交射线 于点 . 求解.这种方法往往会“柳暗花明又一村”,并收当 时,求 的长度;
到事半功倍的效果.当点 落在线段 上时,设? , 例 已知, ,试求 与 之间的函数关系,并写出其 一 , 一 ,
定义域;
一 。, ‖如 联结 ,若以点 、 、 为顶点的三
图 ? . 是射线
角形与?相似,试求线段 的长度. 图 ? .上的动点 点解:.
与点 不重合 , 是线段 的中点. 如图 ? , 设. ,?的面积为 ,求 关与
的延长线
于 的函数解析式,并写出函数的定义域; ,得 一联结,交线段 于点 ,如果以 、 、 为顶点的三角形与?相似,求线 在线段 上,.。.函数定 图 ? 段的长.
义域为 . ?.
解:如图 ’.’ ‖ ,.’. 一 , . ?
,取中点 ,,.’. 一 ..。.当
联结.得 一
?与?相似时分两类情况讨论: 图 ?
万方数据
范文四：2-相似三角形的存在性问题解题策略 (1)
中考数学压轴题解题策略(2)
相似三角形的存在性问题解题策略
《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌
专题攻略
相似三角形的判定定理有 3个,其中判定定理 1和判定定理 2都有对应角相等的条件, 因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.
判定定理 2是最常用的解题依据, 一般分三步:寻找一组等角, 分两种情况列比例方程, 解方程并检验,如例题 1、 2、 3、 4.
应用判定定理 1解题, 先寻找一组等角, 再分两种情况讨论另外两组对应角相等, 如例 题 6.
应用判定定理 3解题不多见,如例题 5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组) . 例题解析
例 ? 如图 1-1,抛物线 213482
y x x =-+与 x 轴交于 A 、 B 两点(A 点在 B 点左侧) ,与 y 轴交于点 C .动直线 EF (EF //x 轴)从点 C 开始,以每秒 1个单位的速度沿 y 轴负方向平 移,且分别交 y 轴、线段 BC 于 E 、 F 两点,动点 P 同时从点 B 出发,在线段 OB 上以每秒 2个单位的速度向原点 O 运动.是否存在 t ,使得△ BPF 与△ ABC 相似.若存在,试求出 t 的值;若不存在,请说明理由.
图 1-1
【解析】△ BPF 与△ ABC 有公共角∠ B ,那么我们梳理两个三角形中夹∠ B 的两条边.
△ ABC 是确定的.由 213482
y x x =
-+,可得 A (4, 0)、 B (8, 0)、 C (0, 4). 于是得到 BA =4, BC
=12CE CO EF OB ==. △ BPF 中, BP =2t ,那么 BF 的长用含 t 的式子表示出来,问题就解决了.
在 Rt △ EFC 中, CE =t , EF =2t
,所以 CF .
因此 ) BF t ==-.
于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程: ①当 BA BP BC BF =
=43t =(如图 1-2) .
②当 BA BF BC BP =
=207t =(如图 1-3) .
图 1-2 图 1-3 例 ? 如图 2-1,在平面直角坐标系中,顶点为 M 的抛物线 y =ax 2+bx (a >0)经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B , AO =BO =2, ∠ AOB =120°.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)连结 OM ,求∠ AOM 的大小;
(3) 如果点 C 在 x 轴上, 且△ ABC 与△ AOM 相似,
求点 C 的坐标.
图 2-1
【解析】△ ABC 与△ AOM 中相等的一组角在哪里呢?
本题由简到难,层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式,得到顶点 M 的坐标,为第
(2)题求∠ AOM 的大小作铺垫;求得了∠ AOM 的大小,第(3)题暗示了要在△ ABC 中寻 找与∠ AOM 相等的角.
(1)如图 2-2,过点 A 作 AH ⊥ y 轴,垂足为 H .容易得到
A (1-.
再由
A (1-、 B (2,0)
两点,可求得抛物线的解析式为 233
y x x =-. (2
)由 221) y x x x ==-
M (1,.
所以 tan BOM ∠=
.所以∠ BOM =30°.所以∠ AOM =150°.
图 2-2
(3)由
A (1-、 B (2,0),可得∠ ABO =30°.
因此当点 C 在点 B 右侧时,∠ ABC =∠ AOM =150°.
所以△ ABC 与△ AOM 相似,存在两种情况:
①当 BA OA BC OM ==
时, 2BC ===.此时 C (4,0)(如图 2-3) .
②当
BC OA BA OM ==
时, 6BC ==.此时 C (8,0)(如图 2-4) .
图 2-3 图 2-4
例 ? 如图 3-1, 抛物线 y =ax 2+bx -3与 x 轴交于 A (1, 0)、 B (3, 0)两点, 与 y 轴交于点 D , 顶点为 C .
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M ,过 M 作 MN ⊥ x 轴于点 N ,使以 A 、 M 、 N 为顶点的三角形与△ BCD 相似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
图 3-1
【解析】△ AMN 是直角三角形,因此必须先证明△ BCD 是直角三角形.一般情况下, 根据直角边对应成比例分两种情况列方程.
(1)抛物线的解析式为 y =-x 2+4x -3.
(2)由 y =-x 2+4x -3=-(x -2) 2+1,得 D (0,-3) , C (2, 1).
如图 3-2,由 B (3, 0)、 D (0,-3) 、 C (2, 1),可知∠ CBO =45°,∠ DBO =45°.
所以∠ CBD =90
°,且 13
BC BD ==.
图 3-2 图 3-3 图 3-4
设点 M 、 N 的横坐标为 x ,那么 NM =-y M ,而 NA 的长要分 N 在 A 的右边或左边两种
情况,因此列方程要“两次分类” :
当 N 在 A 右侧时, NA =x -1,分两种情况列方程: ①当
3NA BD NM BC ==时, 13(1)(3) x x x -=--.解得 103x =.此时 M 107(, ) 39
-(如图 3-3) . ②当 13NA BC NM BD ==时, 11(1)(3) 3x x x -=--.解得 x =6.此时 M (6,-15) (如图 3-5) . 当 N 在 A 左侧时, NA =1-x ,也要分两种情况列方程: ①当 3NA BD NM BC ==时, 13(1)(3) x x x -=--.解得 83
x =>1,不符合题意(如图 3-4) . ②当 13
NA BC NM BD ==时, 11(1)(3) 3x x x -=--.解得 x =0,此时 M (0,-3) (如图 3-6) .
图 3-5 图 3-6
例 ? 如图 4-1, 在平面直角坐标系中, A (8,0), B (0,6), 点 C 在 x 轴上, BC 平分∠ OBA . 点 P 在直线 AB 上,直线 CP 与 y 轴交于点 F ,如果△ ACP 与△ BPF 相似,求直线 CP 的解析 式.
图 4-1
【解析】首先求得点 C (3,0).△ ACP 与△ BPF 中,相等的角在哪里啊?
①如图 4-2,当点 P 在线段 AB 上时,△ ACP 与△ BPF 中,∠ APC 与∠ BPF 是邻补角, 如果这两个邻补角一个是锐角,一个是钝角,两个三角形怎么可能相似呢?因此 CP 与 AB 是垂直的.可以求得 F (0,-4) ,于是直线 CF (CP ) 为 443
y x =-. ②如图 4-3,当点 P 在 AB 的延长线上时,△ ACP 与△ BPF 有公共角∠ P .于是∠ OFC =∠ PFB =∠ A ,可以求得 F (0, 4),因此直线 CF (CP ) 为 443y x =-
+. ③如图 4-4,当点 P 在 BA 的延长线上时,∠ B 与∠ PCA 不可能相等.在△ AOB 中,根 据大边对大角,∠ B >∠ BAO ;∠ BAO 又是△ PCA 的一个外角,∠ BAO >∠ PCA .
图 4-2 图 4-3 图 4-4
例 ? 如图 5-1,二次函数 y =x 2+3x 的图象经过点 A (1,a ) ,线段 AD 平行于 x 轴,交抛 物线于点 D . 在 y 轴上取一点 C (0, 2), 直线 AC 交抛物线于点 B , 连结 OA 、 OB 、 OD 、 BD . 求 坐标平面内使△ EOD ∽△ AOB 的点 E 的坐标;
图 5-1
【解法一】点 A 、 D 、 B 都是确定的,可以求得 A (1, 4), D (-4, 4), B (-2, -2) .
所以 AO =
, BO =
, AB =
DO =
△ EOD ∽△ AOB ,对应边已经确定,因此我们可以根据判定定理 3列方程. 由 EO OD DE AO OB BA ==
=
EO =
DE =. 设点 E 的坐标为 (x , y ) , 根据 EO 2=68, DE 2=180, 列方程组 222268, (4) (4) 180.
x y x y ?+=??++-=??解 得 118, 2, x y =??=-? 22
2, 8, x y =??=-? 所以点 E 的坐标为 (8,-2) 或 (-2, 8).
上面的解题过程是“盲解” ,我们并不明白两个三角形的位置关系.
【解法二】 如图 5-2, △ AOB 是确定的, △ AOB 与△ EOD 有公共点 O , OB ∶ OD =1∶ 2, ∠ BOD =90°.
如果△ EOD ∽△ AOB , 我们可以把△ AOB 绕着点 O 顺时针旋转, 使得点 B ′ 落在 OD 上, 此时旋转角为 90°,点 B ′ 恰好落在 OD 的中点.
按照这个运动规则,点 A (1, 4) 绕着点 O 顺时针旋转 90°,得到点 A ′ (4,-1) ,点 A ′ 是 线段 OE 的中点,因此点 E 的坐标为 (8,-2) .
范文五：中考数学压轴题解题策略(2)相似三角形的存在性问题
中考数学压轴题解题策略（2）
相似三角形的存在性问题解题策略
《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌
专题攻略
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．
应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 例题解析
例? 如图1-1，抛物线y?123，与x?x?4与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）82
y轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1-1
【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边．
123x?x?4，可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)． 82
CECO1于是得到BA＝4，BC
＝??． EFOB2△ABC是确定的．由y?
△BPF中，BP＝2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了．
在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t
，所以CF．
因此BF???t)．
于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当4BABPt?．解得（如图1-2）．
?
?3BCBF
②当BABF20．解得t?（如图1-3）． ?
?BCBP7
图1-2 图1-3
例? 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，
求点C的坐标．
图2-1
【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢？
本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第
（2）题求∠AOM的大小作铺垫；求得了∠AOM的大小，第（3）题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角．
（1）如图2-2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．容易得到
A(?1．
再由
A(?1、B(2,0)
两点，可求得抛物线的解析式为y?2xx． （2
）由y?2
M (1,x?x?1)2．
．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°． 所以tan?BOM?
图2-2
（3）由
A(?1、B(2,0)，可得∠ABO＝30°．
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．
所以△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①当BAOA．
??
时，BC???2．此时C(4,0)（如图2-3）BCOMBCOA． ??
时，BC???6．此时C(8,0)（如图2-4）BAOM②当
图2-3 图2-4
例? 如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图3-1
【解析】△AMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．
（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3．
（2）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得D(0,－3)，C(2, 1)．
如图3-2，由B(3, 0)、D(0,－3)、C(2, 1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．
所以∠CBD＝90
°，且BC1??． BD3
图3-2 图3-3 图
3-4
设点M、N的横坐标为x，那么NM＝－yM，而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：
当N在A右侧时，NA＝x－1，分两种情况列方程： x?1NABD10107?3．解得x?①当．此时M(,?)（如图3-3）． ??3时，(x?1)(x?3)NMBC393
x?11NABC1?．解得x＝6．此时M(6,－15)（如图3-5）②当． ??时，(x?1)(x?3)3NMBD3
当N在A左侧时，NA＝1－x，也要分两种情况列方程： 1?xNABD8?3．解得x?＞1，不符合题意（如图3-4）． ??3时，(x?1)(x?3)NMBC3
1?x1NABC1?．解得x＝0，此时M(0,－3)（如图3-6）②当． ??时，(x?1)(x?3)3NMBD3①当
图3-5 图3-6
例? 如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分∠OBA．点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．
图4-1
【解析】首先求得点C(3,0)．△ACP与△BPF中，相等的角在哪里啊？
①如图4-2，当点P在线段AB上时，△ACP与△BPF中，∠APC与∠BPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP与AB是垂直的．可以求得F(0,－4)，于是直线CF(CP)为y?4x?4． 3
4x?4．
3②如图4-3，当点P在AB的延长线上时，△ACP与△BPF有公共角∠P．于是∠OFC＝∠PFB＝∠A，可以求得F(0, 4)，因此直线CF(CP)为y??
③如图4-4，当点P在BA的延长线上时，∠B与∠PCA不可能相等．在△AOB中，根据大边对大角，∠B＞∠BAO；∠BAO又是△PCA的一个外角，∠BAO＞∠PCA．
图4-2 图4-3 图4-4
例? 如图5-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
图5-1
【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A(1, 4)，D(－4, 4)，B(－2,－2)．
所以AO?
，BO?
，AB?
DO?．
△EOD∽△AOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程． 由EOODDE??
．所以EO?
DE? ??
AOOBBA22?x2?y2?68,?设点E的坐标为(x, y)，根据EO＝68，DE＝180，列方程组?解22(x?4)?(y?4)?180.??
?x?8,?x?2,得?1 ?2 y??2,y??8,?1?2
所以点E的坐标为(8,－2)或(－2, 8)．
上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．
【解法二】如图5-2，△AOB是确定的，△AOB与△EOD有公共点O，OB∶OD＝1∶2，∠BOD＝90°．
如果△EOD∽△AOB，我们可以把△AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B′落在OD上，此时旋转角为90°，点B′恰好落在OD的中点．
按照这个运动规则，点A(1, 4) 绕着点O顺时针旋转90°，得到点A′(4,－1)，点A′是线段OE的中点，因此点E的坐标为(8,－2)．
如图5-3，点E(8,－2)关于直线OD（即直线y＝－x）对称的点为E′(2,－8)．
图5-2 图5-3
例? 如图6-1，在△ABC中，AB＝AC＝
BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．
图6-1
【解析】△ABC是等腰直角三角形，⊙A是确定的，先按照题意把图形补充完整． 如图6-2，容易发现△ABP与△FBD有公共角∠B，如果根据对应边成比例列方程BABDBABF或，其中BA＝
BP＝t，BD＝
2，但是用含t的式子表示BF??BPBFBPBD
困难重重啊！
图6-2 图6-3 图6-4
我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．
△ABP与△FBD有公共角∠B，我们以∠D为分类标准，分两种情况讨论它们相似： 第一种情况，如图6-3，∠BAP＝∠D是不可能的，这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角，∠BAP＝2∠D．
第二种情况，如图6-4，当∠BPA＝∠D时，在△ABP中，由于∠BAP＝2∠D＝2∠BPA， 因此45°＋3∠BPA＝180°．解得∠BPA＝45°．
此时△ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t＝8．
解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BPA＝∠D时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等．
更多、更详细内容，请查看华东师大出版社《挑战中考数学压轴题》。
转载请注明出处范文大全网 » 中考数学压轴题解题策略相似三
