范文一：中国数学史论文数学史论文

24 数学通报 2010 年 第 49 卷 第2期 从算法教学管窥中国古代数学史 俞 昕 313000) ( 浙江湖州市第二中学 关于算法的涵义, 人们有着不同的界定. 普 通高中数学课程标准( 实验) 在学生算法目标达 成度上, 重在算法思想的理解与应用, 界定现代算 法的意义就是解决某一类问题的办法. 确切地说, 就是对于某一类特定的问题, 算法给出了解决问 题的一系列( 有穷) 操作, 即每一操作都有它的确 定性的意义( 使计算机能够按照它的指令工作) , 并在有限时间( 有穷步骤) 内计算出结果. 普通高中数学课程标准( 实验) 对! 算法部 分?进行说明时, 突出强调! 需要特别指出的是, 中 国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想?. 吴文俊 先生曾经说过! 我们崇拜中国传统数学, 决非泥古 迷古、 为古而古. 复古是没有出路的. 我们的目的 不仅是要显示中国古算的真实面貌, 也不仅是为 了破除对西算的盲从, 端正对中算的认识, 我们主 要的也是真正的目的, 是在于古为今用. ? 算法教 学中蕴涵着丰富的数学史教育价值, 作为新时代 的高中数学教师是有必要了解这一点的. 1 中国古代数学的特点 古代数学思想分为两大体系, 一个是以欧几 里得的几何 原本 为代表的西方数学思想体系, 这个体系以公理化的思想、 抽象化的方法、 封闭的 演绎体系为特色. 另一个则 是以我国的 九章 算 术 为代表的东方数学思想体系, 这个体系以算法 化的思想、 构造性的方法、 开放的归 纳体系为 特 色. 我国传统数学在从问题出发, 以解决问题为主 旨的发展过程中, 建立了以构造性与机械化为其 特色的算法体系, 这与西方数学以欧几里得几何 原本 为代 表的所谓公理化演 绎体系正好遥 遥 相对. 中国古代数学中的! 术?相当于现代数学术语 中的! 公式?, 两者虽有相同点( 都可以用来解决一 类有关问 题) , 其差异也非常 之大. 主 要表现在, ! 公式?只提供了几个有关的量之间的关系, 指明 通过哪些运算可由已知量求出未知量, 但并没有 列出具体的运算程序, 一般地, 认为这种程序是已 知的了. 但! 术?则由怎样运算的详细程序构成的, 可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体 程序, 即把! 公式? 展开为使用某种计算工叩木?体操作步骤. 从这点看, ! 术?正是现代意义上的算 法, 是用一套! 程序语言?所描写的程序化算法, 可 以照搬到现代计算机上去. 我国古代数学包括了 今天初等数学中的算术、 代数、 集合和三角等多方 面的内容. 由于受实用价值观的影响, 中国传统数 学的研究遵循着一种算法化思想, 这种思想从 九 章算术 开始一直是中国古代数学著作大都沿袭 的模式: 实际问题 # # # 归类 # # # 筹式模型化 # # # 程序化算法 即将社会生产生活中的问题, 先编成应用问题, 按 问题性质分类, 然后概括地近似地表述出一种数 学模型, 借助于算 筹, 得到这一 类问题的 一般解 法. 把算法综合起来, 得到一般原理, 分别隶属于 各章, 人们按照书中的方法、 原理和实例来解决各 种实际问题. 可以说, 中国传统数学以确定算法为 基本内容, 又以创造和改进算法为其发展的方向. 受 九章算术 的影响, 在之后的几个世纪, 一 些数学家的著作都以算法为主要特点, 包括王孝 通的 辑古算经 、 贾宪的 黄帝九章算法细草 、 刘 益的 议古根源 、 九韶的 数书九章 、 秦 李冶的 测圆海镜 和 益古演段 、 杨辉的 详 解九章算 法 、日用算法 和 杨辉算法 , 这些著作中包括 了增乘开方术、 贾宪三角、 高次方程数值解法、 内 插法、 一次同余式组解法等一些著名的算法, 进一 步发展了中国古代数学算法化的特点, 使得算法 的特点得到了进一步的强化和发展. 1 1 中国古代数学的算法化思想 算法化的思想是中国古代数学的重要特点, 并贯穿于中国古算整个发展过程之中. 即使是与

2010 年 第 49 卷 第2期 数学通报 25 图形有关的几何问题也不例外, 中算家们将几何 方法与算法有机地结合起来, 实现了几何问题的 算法化. 这样, 从问题出发建立程序化的算法一直 是古代中国数学研究的传统, 也是中算家们努力 的方向. 这种算法化的思想着重构造实践, 更强调 ! 经验?、 发现?和构造性思维方式下从无到有的 ! 发明, 对今天的算法教学与研究具有重要的启迪 作用. 中国古代数学算法化的思想具体表现如下: 第一步, 把实际中提出的各种问题转化为数学模 型; 第二步, 把各种数学模型转化为代数方程; 第 三步, 把代数方程转化为一种程序化的算法; 第四 步, 设计( 并逐步改进) 、 归纳、 推导( 寓推理于算法 之中) 出各种算法; 第五步, 通过计算回溯逐步达 到解决原来的问题. 1 2 中国古代数学的构造性方法 所谓构造 性方法是解 决数学问 题的一种 方 法, 是创造性思维方式直接作用的结果. 按照现代 直觉主义者, 特别是构造主义者的观点, 对于一个 数学对象, 只有当它可以通过有限次的操作而获 得, 并且在每步操作之后都能有效地确定下一步 所需要采取的操作, 才能说它是存在的. 按照这种 思维方式, 可以使概念和方法按固定的方式在有 限步骤内进行定义或得以实施, 或给出一个行之 有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造 出来. 换言之, 就是能用有限的手段刻画数学对象 并针对问题提出具体的解法. 中国古代数学的算法化思想与构造性的方法 紧密相连. 由于古代中算家所关心的大多是较为 实用的问题, 他们在解决问题时首先考虑是如何 得到可以直接应用的、 可以方便操作的解, 而不会 满足于仅仅知道解在理论上的存在性. 因为这种 纯粹的理论解对于受实用价值观影响的中算家来 说是没有多大意义的. 从而我们推断, 构造性方法 的产生是算法化思想直接作用的结果. 从我国许多经典算书中可以发现, 数学构造 性方法在算法中有 许多精彩的体 现. 例如就! 方 程?的筹算图阵及其程序设计而言, 首先, ! 群物总 杂, 各列有数, 总言其实?, 这是对每行中未知数的 系数和常数项的安排, 其次, ! 令每行为率, 二物者 再程, 三物者三程, 皆如物数程之?, 这是对诸行关 系的安排, ! 并列为行?又说明了什么叫! 方程?. 这 为中国古代数学的构造性方法提供了一个具有说 服力的样板. 由于构造性的方法特别强调运算的可操作程 度, 所以构造出的! 术?可以通过一系列有限的运 算求出解来, 具有一般性. 时至今日我国古算家所 设计的许多算法几乎都可以整套照搬到现代的电 子计算机上实现. 这也是我国古算在算法上长期 居于领先地位的一个重要原因. 2 2. 1 中国古代数学中的优秀算法案例 中国古代的代数学 代数学是中国传统数学中一个值得骄傲和自 豪的领域. 中小学数学中的算术、 代数内容, 从记 数以至解联立的线性方程组, 实质上都是中国古 代数学家的发明创造. 结合新课程的算法教学, 笔 者选取我国古代著名算法进行分析. 2. 1. 1 求最大公约数的算法( 更相减损术) 中国古代数学中, 未曾出现素数、 因数分解等 概念, 但 是发 明了 求两 整数的 最大 公约 数 的方 法 # # # 更相减损术:

范文二：数学史论文

数学史论文

题目： 浅谈对数学史的认识

学院： 数学与计算机科学学院

班级： 数学与应用数学2010级 四 班

姓名：

指导教师： 职称： 副教授

完成日期： 2013 年 12 月 16 日

浅谈对数学史的认识

摘要：数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。英国科学史家丹皮尔说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”。数学是历史员悠久的人类纫识领域之一。从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，确实构成了科学史上最有理性魅力的题材。

关键词：古希腊数学 发展史 数学家 学派

古希腊数学

－、论证数学的发端

希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非州北部的数学家们创造的数学。大批游历埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦社会特有的唯理主义气氛中，这些经验的算术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。

普洛克鲁斯在《评注》其他地方再次根据欧多谟斯的著作介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理：

1. 圆的直径将圆分为两个相等的部分；

2. 等腰三角形两底角相等；

3. 两相交直线形成的对顶角相等；

4. 如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。

希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(约公元前580一前500) 。毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷离的传说人物。二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过书面的著作。今人对毕拉哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普洛克鲁斯等人关于希腊数学著作的评注。今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数学的研究，相传“哲学”(意为“智力爱好”) 和“数学”(意为“可学到的知识”) 这两个词正是毕达哥拉斯本人所创。

毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，在希腊民主力量向涨时期受到冲击并逐渐解体。毕达哥拉期本人也逃离克洛托内，不久被杀。希腊波斯战争(公元前492一前449) 以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派林立，主要有：1、伊利亚学派；2、诡辩学派；3、雅典学院(柏拉图学派) ；4、亚里士多德学派。

上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下三个方面。

1、三大几何问题 古希腊三大著名几何问题是： (1)化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形；(2)倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；(3)三等分角，即分任意角为三等分。

希腊人对三大作因问题的所有解答都无法严格遵守尺规作图的限制。直到19世纪，数学家们才利用现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。希腊人虽然没有能解决三大作图问题，但他们的探讨引出了许多重要发现，对整个希腊数学产生了巨大影响。

2、无限性概念的早期探索 希腊人在理性数学活动的早期，已经接触到了无限性、连续性等深刻的概念，对这些概念的探讨，也是雅典时期希腊数学的特征之一。

3、逻辑演绎结构的倡导 雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。柏拉图出身贵族名门，以万贯家财开设雅典学院。学院虽以哲学研究为主，但柏拉图认为数学是一切学问的基础。柏拉图本人虽末得到很多具体的数学成就，但对数学研究的方法却颇多贡献。普洛克鲁斯将分析法与归谬法归功于柏拉图。柏拉图给出了许多几何定义，并坚持数学知识作

演绎整理。

二、黄金时代—亚历山大学派

从公元前338年希腊诸邦被马其领控制，至公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”。 这一时期希腊数学的中心从雅典转移到了亚历山大城。公元前300年左右，亚历山大兴建艺术宫(博物馆) 和图书馆，提倡学术，罗致人才，使亚历山大成为希腊文化的首府，那里学者云集，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。

1、欧几里得与几何《原本》：“原本” 原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。第1卷作为全书之首，给出了一些最基本的定义，如“点是没有部分的”；“线是没有宽度的长”；“面是只有长度和宽度的”；等等。接下来我们一起来看看他的公理和公设。

公设：（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线；（2）一条有限直线可不断延长；（3）以任意中心和直径可以画圆；（4）凡直角部彼此相等；（5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。

公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量减等量，差相等；（4）彼此重合的图形是全等的；（5）整体大于部分。欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点。

欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理—公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。

2、阿基米德的数学成就：阿基米德(公元前287一前212) 出生于西西里岛的叙拉古，早年曾在亚历山大城跟过欧几里得的门生学习，后来虽然离开了亚历山大，但仍与那里的师友保持着密切联系。他的许多成果都是通过与亚历山大学者的信而保存下来。因此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的成员。阿基米德著述极为丰富，内容涉及数学、力学及天文学等，其中流传于世的有： (1)《圆的度量》；(2)《抛物线求积》；(3)《论螺线》；(4)《论球和圆柱》； (5)《论劈锥曲面和旋转椭球》； (6)《引理集》； (7)《处理力学问题的方法》； (8)《论平面图形的平衡或其重心》； (9)《论浮体》； (10)《砂粒计数》； (11)《牛群问题》。

阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题。（1）在《圆的度量》中，阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。他从圆内接正三角形出发，边数逐次加倍，计算到正96边形而得到圆周率的近似于22/7；（2）在《论球和圆柱》中，阿基米德运用穷竭法证明了与球的面积和体积有关的公式；（3）发现了浮力定律并用它来解决了皇冠难题；（4）与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用数学家。“给我一个支点，我就可以移动地球! ”这就是著名的杠杆原理的生动体现。

3、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论：阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学。但他最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结。这部以欧几里得严谨风格写成的巨著对圆锥曲线研究所达到的高度，直至17世纪笛卡儿、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶(直圆或斜圆) 锥得到所有的圆锥曲线，并给以正式的命

名，现在通用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。

《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段得到了今日解析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的。但另一方面，这种纯几何的形式，不仅使这部著作本身晦涩难懂，同时也使其后数千年间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到17世纪，笛卡儿等人起来打破希腊式的演绎传统后才得以来临。

三、亚历山大后期和希腊数学的衰落

崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪完全征服希腊各国而夺得了地中海地区的霸权，并建立了强大的罗马帝国。唯理的希腊文明从此被务实的罗马文明所取代。罗马统治下的亚历山大城，由于希腊文化的惯性影响以及罗马统治者对那里的自由研究的宽松态度，在相当长—段时间内仍然维持着学术中心的地位，并产生了一批杰出的数学家和数学著作．通常把从公元前30年到公元6世纪的这—段时期，称为希腊数学的“亚历山大后期”。

微积分的发展史

微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。 与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试，如阿基米德《论螺线》中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法；阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线，等等。但所有这些都是基于静态的观点。

古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬《按时历》中求“月离迟疾”(月亮运行的最快点和最慢点) 、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值(郭守敬甚至称之为“极数”) 等问题，但东方学者以惯用的数值手段(“招差术”，即有限差分计算) 来处理，从而回避了连续变化率。总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见的。

一、微积分的酝酿

近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪。为了理解这一酝酿的背景，我们首先来赂微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件。 首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空而作出了令世人惊奇不已的天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨，而且推动了光学的研究。

1619年，开普勒公布了他的最后一条行星运动定律。开普勒行星运动三大定律要意是：

1. 行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点；

2. 由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等；

3. 行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

1638年，伽利略的《关于两门新科学的对话》出版。伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45度时达到，等等。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始

迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点。

当时，人们主要集中的焦点有：非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决。与此同时，行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣被重新激发起来。

在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时期内取得了迅速的进展。代表性的工作有：

1、开普勒与旋转体体积：开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。例如他认为球的体积是天数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一。

2、卡瓦列里不可分量原理：他在《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法。认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成。他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”。 卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，他对积分学创立最重要的贡献还在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等价于下列积分式子：

3、费马求极大值和极小值方法：按费马的方法。设函数f(x)在点a 处取极值，费马用“a+e”代替原来的未知量a ，并使f(a+e)与f(a)逼近，即：f(a+e)→f(a) ，这里所提到的“e ”就是后来微积分学当中的“

”。

4、沃利斯的“无穷算术”：沃利斯另“一项重要的研究是计算四分之一单位圆的面积，并由此得到的无穷乘积表达式。并有以下猜想：

二、牛顿的“流数术”

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利赂、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竞成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，??，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。

1、 流数术的初建

牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。 就在此时，牛顿首创了小o 记号表示x 的无限小且最终趋于零的增量。 1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明“正流数术”(微分法) ，次年5月又建立了”反流数术”(积分法) 。1666年 10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》著称，《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。

2、流数术的发展

《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。他在这一年10月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的员献。但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文，它们分别是：

(1)1669年的《运用无限多项方程的分析》； (2) 1671年的《流数法与无穷级数》；

(3) 1691年的《曲线求积术》。

牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》之中。因此《原理》也成为数学史上的划时代著作。《原理》在创导首末比方法的同时保留了无限小瞬，这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议。实际上，在牛顿的时代，建立微积分严格基础的时机尚不成熟，在这样的条件下，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给出不同解释，说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度。

参考文献：

[1]王青建. 数学史简编. 科学出版社，2004

[2]朱家庄. 数学史. 高等教育出版社，2011.5

[3]傅海伦. 中外数学史概论. 科学出版社,2007

[4]李文林. 数学史概论. 高等教育出版社,2011.2

范文三：数学史论文

数学论文

沈祺琪

大约在30万年前，人类形成了数学的概念，30万年以后，数学成为一门学科，成为一门科学，对人类的文明影响极深。人类对它30万年的研究，不断将新鲜血液注入其中，使它充满生机活力，日新月异。但是，30万年对于64亿年来说，太短了，我们并没有足够的时间将数学研究透彻。于是，一个个问题不断提出，又不断有人将它们解决，就像疾病里的癌症，仍有问题顽固地占据数学家们的头脑，让他们百思不得其解。但对于数学家们来说，这个比喻是不恰当的。在他们眼里，各个猜想、疑惑是会下金蛋的鹅。即便他们”不愿” 杀死它，在思维的碰撞中也是让人们受益颇多的。

接下来，我们小组便会给大家介绍几个著名的猜想：

一、一步一步往上爬——高次方程

我记得，我们至少是从小学四年级开始接触方程，从简单的一元一次方程，二元一次方程，再到我们初中研究最多的二元一次方程，还有“方程思想”，再到现在的曲线方程，方程可以说是我们寒窗十二载的中轴线。

我们都知道初中背烂了的二元一次方程的求根公式，这个公式的最早解出的人是阿拉伯数学家花拉子米，他在他的著作《代数学》一书中总结出了一元二次方程的一般代数解。

可是，三次、四次方程的求根揭发一直到15世纪都没有大的突破和进展。但终于在1515年由波伦亚大学教授费罗首先作出突破，他得到了x^3+mx^2=n的求根公式。之后几十年，关于三次方程解法的消息不断传出，一发不可收拾。终于，卡尔丹在自己的著作《大法》中，完美公布了一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解法。其实就是系数的加减乘除和变形得到的。卡尔丹的学生费拉里更是一举拿下四次方程的一般解法，并收入著作《大法》中。

有了三四次方程的一般解法，自然想到五次及更高。但努力了持续两百多年仍未有成功，无法用根式得出五次方程及更高次的方程的解。终于，拉格朗日首次宣布“不可能用根式解四次以上的方程”，他在1770年发表论文并企图证明，但在200多页的论文中他仍然不能得出结论，他宣布放弃，并说“这是在向人类的智慧提出挑战”。鲁菲尼受拉格朗日的影响，在14年中尝试多种解法，但也不能得到证明。但令人意想不到的是，一位挪威年仅22岁的年轻人阿贝尔在1824年发表论文完美地证明了朗格朗日“不可能用根式解四次以上的方程”的猜想，他的光辉闪耀得令人侧目，却因外界的不重视和生活的贫困，只留世27年便悄然离去。有人说，阿贝尔窥破了上帝的秘密，是上帝带走了他。无可否认，阿贝尔为高次方程的研究画上了句号，也用短暂的生命为高次方程的研究画上了闪耀的感叹号！

其实，数学家解难题与我们做习题经常处于相同的境地，当问题解决不了时，我们为何不换个思路想想，将问题变成我们熟悉的再来解决。

二、大门里的加减乘除——中国剩余定理

中国在外国人用外国人眼中一直都是神秘的，就像蒙娜丽莎的微笑，无法触及。而中国古代数学也是自成一体的，连编书也基本以问题集的形式出现（《九章算术》）。中世纪以后，数学与生活实际的结合更为紧密，韩信点兵便是一个典

例：

他为了保守军事机密，不让敌军知晓我军人数，让士兵报数时，先按1~3的顺序，再按1~5的顺序，最后以1~7的顺序，并依此记下最后一名士兵所报之数。而这一方法便是今天所学的同余问题。

这种问题最早出现于《孙子算经》，而古人也为它给出了问题解法，对于我们来说，这些有可能让人有些有些云里雾里，但以下方程对我们来说便是熟悉的。 有兴趣的同学可以找找方程的一般解

X=3a+2

X=5b+3

X=7c+2

秦九韶是我国南宋时期的数学家，1247年编写了划时代的巨著《数学九章》。他在《数学九章》第一章中“大衍术”中给出了“物不知数”的一般解法。由于秦九韶的方法中所用的一次同余方程右边均为一，所以他称这种方法为“大衍求一术”

欧拉（1743年）和高斯（1801年）非别对一次同余方程进行了深入的研究。重新独立发现了一次同余方程组的一般解法。1852年，英国在华的传教士伟烈亚力降“物不知数”的解法传到欧洲。1876年，德国人马蒂生首先发现“大衍求一术”和高斯发现的一次同余方程组的一般解法是一致的。从此，西方将关于一次同余方程组求解的剩余定理称为“中国剩余定理”。而在中国，它又被称作“孙子定理”

“中国剩余定理”是《孙子定理》中“物不知数”的算法的推广。这一过程，形成了中国古代数学最具特色的部分，充分展现了中国古代数学算术精神的魅力。

三、“会下金蛋的鹅”——费马大定理

兴许你仍会有些迷惑，这只鹅下了怎样一个金蛋呢？在证明费马大定理的过程中，形成了一些数学分支。比如库默尔在证明它时，促使了代数论的形成和发展；而它也是建立算数代数的大功臣。

1、提出

丢蕃图的《算术》以解不定方程著称，不定方程追的是这样的方程，其中方程式的个数少于未知数的个数，而且要求方程式的解是整数。而在《算术》中。最著名的不定方程就是“将一个已知的平方数分成两个平方数。”1637年左右，费马在阅读该命题时，写下了一段批语，用现代数学语言表达“x^n + y^n = z^n ，xyz≠0,当n>2时，方程没有整数解”——这就是举世闻名的费马大定理。

2、 发展与探索

①费马本人证明了n=4时定理成立

若方程有解，则设解为xyz ，那么含x=x^m,y=y^m,z=z^m,就得到x^4+y^4=z^4的一组解，与定理矛盾，从而证明了该定理对于4的倍数的n 都成立，并据此推论要证明该定理，只需这证明对任意奇素数p 方程x^p+y^p=z^p没有非整数解即可。 ②欧拉证明了n=3时定理成立

③狄利克雷和勒让德证明了n=5时定理成立

⑤在此之后，这一问题研究长期停滞不前，多位数学家尝试证明，但均告失败。连以攻克数学难题著称的大数学家希尔伯特都望之却步

⑥1983年左右，证明出现了新的转机，德国数学家法尔廷证明了莫代尔猜想，方程x^n+y^n=1，其中n 是自然数，至多有有限个有理数解，也就是说x^n+y^n=z^n最多有有限个解

⑦在1993年6月23日，在英国剑桥牛顿研究所中。英国数学家维尔斯向全世界宣布，他证明了费马大定理！但事情随及出现了反复，维尔斯的证明存在着漏洞。在巨大的压力下，维尔斯经过一系列的努力，最终于1995年5月于《数学年刊》上发表了修正后的证明。经此，费马大定理在30年后终被证明！

3、“金蛋”

费马大定理的解决是综合利用多种数分支的结果，同时，它的证明也给整个数学带来了巨大的财富，使之产生了许多数学理论和方法，形成了一些数学分支。比如库默尔在证明该定理过程中，促使了代数数论的形成和发展。又如，算数代数几何的建立也有赖于费马大定理的证明。由此看来，费马大定理确实是只会下金蛋的鹅。

数学问题解决固然重要，但更重要的是，在解决问题的过程中，我们学要掌握的新知识、新办法。

但是，亲爱的同学们，请别忘了最重要的一点。上述所有问题的解决都历时长久，有的甚至长达几个世纪。而真正促使着一个个猜想转变为定理的，正是一代代的数学家们坚持不懈的努力和那矢志不渝的探索。或许这才是这一个个闪光的定理真正教给我们的最深刻的道理。正如马克思所说：“在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望到达光辉的顶点。”在我们的学习生活中，希望我们能够沿着前人走过的路成长，感受先贤们不朽的智慧光芒，以科学王冠上的最美丽的宝石为目标，用坚持与努力化为前行的大道，开辟出属于我们自己的生活。

范文四：数学史小论文

广西教育学院

数学史论文 系 级：

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黄金分割引出的数学问题 【摘要】黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，即长段为全段的0。618。黄金分割作为自然界普遍存在的客观规律，是自然界现象之间必然的、实质性的、不断重复着的关系，体现了客观世界统一性与多样性的辩证关系，它在科学研究中被广泛运用。黄金分割广泛存在于我们的生活中。黄金分割的出现，引出了一系列的数学问题，本文通过对黄金分割引出的一些问题进行简析，去揭示那些神秘现象，体现人与自然的和谐美。

【关键词】 黄金分割 黄金分割点 黄金矩阵 斐波那契数列

一、黄金分割发展概况

黄金分割的起源要追溯到公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯。相传毕达哥拉斯有一次从一家铁匠铺路过时，发现铺子中发出的叮叮当当的打铁声似乎隐匿着什么秘密，于是他走进铺子，测量了一下铁锤和铁砧的尺寸，惊奇地发现它们之间存在着一种很和谐的关系。回到家后，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分成两段，在铁锤和铁砧尺寸比例的启发下，他最后确定把一根线按1:0。618的比例截断最优美。而且，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起比例理论，根据欧德莫斯在《几何学史》中的记载，他在研究这一问题时应用了分析法。黄金分割的系统论述，最早见于欧几里得《几何原本》。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。到19世纪，黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0。618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。

二、现实生活中的黄金分割

1、人体美学中的黄金分割

人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能

称得上一种完整的美。

人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。 黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点；

(3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上之分割点；(9)眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；

(14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。 面部黄金分割律 面部三庭五眼 黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、

(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。

2、艺术与建筑上的黄金分割

金字塔的几何形状有五个面, 八个边, 总数为十三个层面。由任何一边看入去, 都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸(5-8-13)。无论是古希腊帕特农神庙, 还是中国古代的兵马俑, 它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合1比0.618的比例。法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8：5, 它的每一扇窗户长宽比例也是如此。 黄浦江东岸的 东方明珠广播电视塔, 塔身高达468米。纽约联合国大楼在建筑设计中所运用的黄金分割率。五角星中线段的比率都符合黄金分割率, 这使得它成为了黄金分割的首要代表。正是因为这个原因, 五角星总是被作为美丽与完美的象征, 并与女神和神圣的女性联系在一起。生活中建筑物、门窗、画框、十字架、扑克牌和书籍等, 他们长和宽的比例都十分接近于“黄金分割率”。报幕员在舞台上的最佳位置是舞台宽度的0.618之处。高清晰度电视的屏幕设计成16：9。西方画家非常注意把和谐的比例关系融入自己的绘画中, 达·芬奇曾挖掘出人的尸体来测量人体骨骼结构的确切比例, 他是宣称人体的结构比例完全符合黄金分割率的第一人。艺术家在设计创作其作品时都有意识地、严格地遵循了黄金分割比率。

3、自然现象中黄金分割

太阳系本身就是一条斐波那契螺线, 形成以太阳为中心的涡旋。事实上, 列昂纳多曾有论述：“与车轮不同的是, 涡旋越趋中心速度越快。”比如说, 水星年(水星绕行太阳一周) 等于地球年的88天, 而冥王星的1年是地球年的248倍。翠茜·特威曼和鲍伊德·赖斯在《上帝之

舟》中列举的事实更进一步：太阳与水星的距离, 加上水星与金星距离, 正等于金星和地球的距离。太阳系中月球是距地球最近的星球, 月球的平均密度(3.4g/cm)与地球的平均密度(5.5g/cm)之比恰为0.618：1。北纬23.5度是一个奇特的地带, 在这条太阳回归线上有不少自然奇观与人文奇迹。用传统的观点来讲, 回归线地带是一条好风水带。现在我们来看看此地带的若干“风水现象”：在北回归线周围, 有世界最高的青藏高原, 有最大的撒哈拉沙漠, 有美国的东部大平原, 有世界上最深的海沟——马里亚纳海沟, 有号称世界屋脊的山峰——珠穆朗马峰, 有中国有最长的大江——长江。此外还有不少著名的自然风景区, 如张家界、西双版纳、桂林、云南石林等。著名的能量异常区——百慕大三角区就经过北回归线。有世界上最大的金字塔群。翻翻世界名人录, 会发现有不少伟人出生在这个地带上。且此地带是最繁茂的生物圈。地球地轴的倾斜, 当然有其深刻的宇宙意义。倾斜的地轴造成的太阳回归线, 如用黄金分割律来分析, 我们就会发现, 它恰好位于地球地轴的黄金分割点上。有人把中东地区看成地球的“肚脐”,因为它不仅正好位于大约东经30 北纬30度的地方, 而且有最大的石油库, 并且是世界两大宗教的圣地, 又是历史上非常多事的地方。

三、黄金分割引出的数学问题

1、无限不循环小数 a:b=(a+b):a ，通常用希腊字母Ф表示这个值。 黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而

1.618:1与1:0.618是一样的， 确切值为（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一个根。

2、黄金分割三角形

正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。

黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以

用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的

三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而

正五边形内的

黄金分割三角形 不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的顶角是

36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18°（即2*sin(π/10)）。将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。

3、黄金矩阵

若矩阵的宽与长的比等

于（√5-1）/2≈0.618，

那么这个矩形称为黄金

矩形（又称根号矩形）。

4、黄金分割点

黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。

利用线段上的两个黄金分割点，可以作出正五角星，正五边形等。

5、黄金分割线

由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 L将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L 为该图形的黄金分割线。

6、无穷连分数与无穷套根式

有限段的黄金比1/X=X/（1-X ），有X2=1-X，X （1+X)=1，得X=1/（1+X）。 对等式右边分母中的X 又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。 对等式进行类似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。 这样一个简洁的无穷连分式穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感，黄金数与无穷连分数、无穷套根式之间竟有如此迷人的联系，怎不叫人惊叹?

7、黄金分割与斐波那契数列

让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144?..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n+1）-→0.618?。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄

金分割比的。比如：1/1=1，2/3=0.66，??，3/5=0.6，5/8=0.625，8/13=0.615 13/21=0.619，??，21/34=0.617，??，34/35=0.618，?? 8、尺规作图实现黄金分割

（1）设已知线段为AB ，过点B

作BC ⊥AB ，且BC=AB/2；

（2）连结AC ；

（3） 以C 为圆心，CB 为半径

作弧，交AC 于D ；

（4）以A 为圆心，AD 为半径作弧，交AB 于P ，则点P 就是AB 的黄金分割点。

事实上，在一个黄金矩形中，以一个顶点为圆心，矩形的较短边为半径作一个四分之一圆，交较长边于一点，过这个点，作一条直线垂直于较长边，这时，生成的新矩形仍然是一个黄金矩形，这个操作可以无限重复，产生无数个黄金矩阵。

四、结束语

数学是中一门蕴含丰富美学价值的学科，其中黄金分割尤其充满了神秘。它与我们的生活息息相关，在我们的周围随处可见，同时也由此引出了许多的数学问题，并将其运用于许多科学研究中。在生活中只要我们善于观察，善于思考，将所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣。

参考文献

[1] 吴振奎，刘舒强．数学中的美——数学美学初探[ M ]．天津: 天津教育出版社，1997

[2] 中国大百科全书数学编辑委员会．中国大百科全书·数学［M ］．中国大百科全书出版社．1988，306．

[3] 百度百科．http://baike.baidu.com/view/1816.htm

范文五：1100730112数学史论文

《数学史》

结课论文

题 目： 论数学发展史上的三大危机

院 系： 数学与计算科学学院

专 业： 数学与应用数学

姓名学号： 唐利娟 1100730112

指导教师： 荣继红

日 期： 2014 年 5 月 14 日

论数学发展史上的三大危机

摘要:本文主要介绍了数学发展史上的三大危机的成因和对数学发展的影响，通过对三大危机的了解我们将能够更加详细的了解数学的发展史。希帕索斯发现

了第一个无理数，从而促使了第一次数学危机的发生。而几何学中不可通约量的引进使欧式几何变得更加完善。第二次危机源自于莱布尼茨提出的“无穷小量是零还是非零”，而后，柯西提出极限理论，使微积分更完善。之后罗素悖论的提出，促使了第三次数学危机的发生。而后，弗芝克尔改进策梅罗的七条公理得出公理系统，使得集合论得到了发展。

关键词：危机 无理数 无穷小 罗素悖论

引言：

数学, 绝对不是只有加、减、乘、除那样简单的运算而已。它是一个早从“石 器时代”就开始发展的一段历史，是一个演变和提升的过程。

德国数学家汉克尔曾有一段精彩的论述：“在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人的创造所破坏。唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”

论述非常精彩，而数学也历来被视为严格、和谐、精确的学科，但纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。数学史上的三次危机，就时时提醒着人们，古老的数学大厦，也是需要修理和加固的。

1第一次数学危机

1.1历史文献

公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2]。他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数），除此之外不再有别的数，即世界上只有整数或分数。

毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3]，即勾股定理。勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，和分别代表直角三角形的两条直角边，表示斜边。

然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或分数来表示。假设正方形边长为1，并设其对角线长为

，依勾股定理应有，即，那么是多少呢？希伯斯花了很多时间来寻找答案，结果发现两数不可通约性的证明[4]，用反证法证明如下：

设

，两直角边为，则由勾股定理有，设已将和中的公约数约去，即、已经互素，于是为偶数，

为奇数，不妨令，则有，，于是为偶数，这与前面已证为奇数矛盾。这一发现

历史上称为毕达哥拉斯悖论。

1.2影响和意义

毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了, 有理数的尊崇地位也受到了挑战，影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称为第一次数学危机。

第一次数学危机也极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先，它让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了。之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个包含有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论[4]，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学危机表明，推理证明才是可靠的。从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系，欧氏几何应运而生[6]。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展, 使几何学成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。

2第二次数学危机

2.1历史文献

公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。 例如牛顿当时是这样求函数的导数的[6]： =+++??+，然后用自变

量的增量除以函数的增

量

，/＋=[

。 - ]/

=+

??+……

+

, 最后，扔掉其中含有无穷小量的项，即得函数

的导数为

对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的指出：先用为除数除以，说明不等于零，而后又扔掉含有的项，则又说明等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。这就是著名的“贝克莱悖论”。

那么，无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数

学发展史中的第二次危机。

2.2影响和意义 第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量，为了解决这一危机，无数人投入大量的劳动。初期， 欧拉、拉格朗日经过努力使微积分取得了一些进展；从19世纪开始，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。而柯西采用的方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。后来外尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论。极限的定义表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。极限理论的建立加速了微积分的发展，后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论。这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。

3第三次数学危机

3.1历史文献

然而，正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时, 一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安, 其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大,“罗素悖论”的内容是这样的：设集合B 是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B 是否属于B ？之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论。理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么他就该为自己刮胡子。同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。这就是历史上著名的罗素悖论。罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。

3.2影响和意义

罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础——集合论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。然而科学面前数学家们没有回避，立即投入到了消除悖论的工作中，最终发现产生罗素悖论的根源原来是康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论。

为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。如以罗素为主要代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后

来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论；最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出集合论公理系统，经费兰克尔、冯?诺伊曼等人补充形成了一个完整的集合论公理体系（系统），在系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。

4结束语

历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展源泉之一。

数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密切的关系，每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。

数学中悖论和危机的历史也说明了这一点：已有的悖论和危机消除了，又产生新的悖论和危机。但是人的认识是发展的，悖论或危机迟早都能获得解决。“产生悖论和危机，然后努力解决它们，而后又产生新的悖论和危机。”这是一个无穷反复的过程，也就不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

参考文献：

[1] 师琼, 王保红. 悖论及其意义[J].中共山西省委党校学报,2005,28（4）:76～78.

[2] 李春兰. 试论数学史上的第一次危机及其影响[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版),2006,19(1):88～90.

[3] 梁伟. 试析悖论与数学史上三次危机及其方法论意义[J].科技资讯,2005,(27):187～188.

[4] 周勇. 第2次数学危机的影响和启示[J].数学通讯,2005,(13):47.

[5] 王庚. 数学怪论[A].数学文化与数学教育——数学文化报告集[C].北京:科学出版社,2004.13～25.

[6] 张怀德. 数学危机与数学发展[J].甘肃高师学报,2004,9(2):60～62.

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