范文一:等比数列第二课时教案
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等比数列第二课时教案
性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法。 等比中项的理解与应用
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 新授课
多媒体、实物投影仪 诱思探究法
1
2
课后反思:
3
高一数学集体备课学案与教学设计
《等比数列》教学设计
成都航天中学刘杨勇
一、教材分析:
1、内容简析:
本节主要内容是等比数列的概念及通项公式,它是继等差数列后有一个特殊数列,是研究数列的重要载体,与实际生活有密切的联系,如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决,在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想,在高考中占有重要地位。
2、教学目标确定:
从知识结构来看,本节核心内容是等比数列的概念及
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通项公式,可从等比数列的“等比”的特点入手,结合具体的例子来学习等比数列的概念,同时,还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上,导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标:
第一课时:
理解等比数列的概念 ,掌握等比数列的通项公式及公式的推导
在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想,提高学生观察、归纳、猜想、
证明等逻辑思维能力
通过对等比数列通项公式的推导,培养学生发现意识、创新意识
第二课时:
加深对等比数列概念理解,灵活运用等比数列的定义及通项公式,了解等比中项概
念,掌握等比数列的性质
运用等比数列的定义及通项公式解决问题,增强学生的应用
3、教学重点与难点:
第一课时:
重点:等比数列的定义及通项公式
难点:应用等比数列的定义及通项公式,解决相关简
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单问题
第二课时:
重点:等比中项的理解与运用,及等比数列定义及通项公式的应用
难点:灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题
二、学情分析:
从整个中学数学教材体系安排分析,前面已安排了函数知识的学习,以及等差数列的有关知识的学习,但是对于国际象棋故事中的问题,学生还是不能解决,存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突,产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构??在研究等差数列中用到的思想方法,于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。
高一学生正处于从初中到高中的过度阶段,对数学思想和方法的认识还不够,思维能力比较欠缺,他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时,高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此,本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律,另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。
多数学生愿意积极参与,积极思考,表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生,让学生在参与
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的过程中,学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。
三、教法选择与学法指导:
由于等比数列与等差数列仅一字之差,在知识内容上是平行的,可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上,牢固掌握数列的相关知识。因此,在教法和学法上可做如下考虑:
1、教法:采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法
教法构思如下:提出问题????????引发认知冲突?????????观察分析??????归纳概括?????得出结论?????总结提高。在教师的精心组织下,对学生各种能力进行培养,并以促进学生发展,又以学生的发展带动其学习。同时,它也能促进学生学会如何学习,因而特别有利于培养学生的探索能力。
2、学法指导:
学生学习的目的在于学会学习、思考,达到创新的目的,掌握科学有效的学习方法,可增强学生的学习信心,培养其学习兴趣,提高学习效率,从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进行学法指导:
把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊
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到一般的方法。其通项公式an?a1qn?1是以n为字变量的函数,可利用函数
思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。
注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结,
培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和
深刻性的目的。
四、教学过程设计:
第一课时
1、创设情境,提出问题
情境1:本章引言内容
提出问题:同学们,国王有能力满足发明者的要求吗,
引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为:
1,2,2,2,2, ??,2
于是发明者要求的麦粒总数是 1+2+22+23+??????+263
情境2:某人从银行贷款10000元人民币,年利率为r,若此人一年后还款,二年后还款,三年后还款,??,还款数额依次满足什么规律,
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10000,10000,10000,??
情境3:将长度为1米的木棒取其一半,将所得的一半再取其一半,再将所得的木棒继2323463作用于原来的认知结构在原有认知的基础上分析在特殊情况下一般情况下例题和练习
111,,,??48
17问:你能算出第7次取一半后的长度是多少吗,观察、归纳、猜想得
2、自主探究,找出规律:
学生对数列,,分析讨论,发现共同特点:从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常续取其一半,??各次取得的木棒长度依次为多少,
数,那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母q表示,即an:an?1?q。
1
点评:等比数列与等差数列仅一字之差,对比知从第二项起,每一项与前一项之“差”为常数,则为等差数列,之“比”为常数,则为等比数列,此常数称为“公差”或
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“公比”。
3、观察判断,分析总结:
观察以下数列,判断它是否为等比数列,若是,找出公比,若不是,说出理由,然后回答下面问题:
1,3,9,27,??
111?1,?,?,?,??48
1,-2,4,-8,??
-1,-1,-1,-1,??
1,0,1,0,?? 如数列,,都是等比数列,它们的公比依次是2,1+r,
思考:?公比q能为0吗,为什么,首项能为0吗,
?公比q?1是什么数列,
?q?0数列递增吗,q?0数列递减吗,
?等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式:
这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。
选题分析;因为等差数列公差d可以取任意实数,所以学生对公比q往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况,以致于在不为具体数字时不会讨论以上两种情况,故给出问题以揭示学生对公比q有防患意识,问题?是让学生明白q
要注意与等差数列的区别。 ?0时等比数列的单调性不定,而q?0时数列为摆动数列,
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备选题:已知x?R则x,x2,x3,??xn,??成等比数列的从要条件是什么,
4、观察猜想,求通项:
方法1:由定义知道
a2?a1q,a3?a2q?a1q2,a4?a3q?a1q3,??归纳得:等
比数列的通项公式为:an?a1qn?1
方法2:迭代法
根据等比数列的定义有
an?an?1?q?an?2?q2?an?3?q3????a2?qn?2?a1?qn?1
方法3:由递推关系式或定义写出:
aaa2a?q,3?q,4?q,??n?q,通过观a1a2a3an?1
察发现aa2a3a4?????n?q?q?q??q?qn?1 a1a2a3an?1
?an?qn?1,即:an?a1qn?1 a1
公式an?a1qn?1的特征及结构分析:
公式中有四个基本量:a1,n,q,an,可“知三求一”,体现方程思想。
a1的下标与的qn?1上标之和1??n,恰是an的下标,即q的指数比
项数少1。
5、问题探究:通项公式的应用
例、已知数列?an?是等比数列,a3??2,a8?64,求a14
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的值。
44备选题:已知数列?an?满足条件:an?pn,且a4??。求a8的值25
6、课堂演练:教材138页1、2题
备选题1:已知数列?an?为等比数列,a1?a3?10,a4?a6?,求a4的值
备选题2:公差不为0的等差数列?an?中,a2,a3,a6依次成等比数列,
则公比等于
7、归纳总结:
等比数列的定义,即an?qn?1 a1
等比数列的通项公式an?a1qn?1及推导过程。
8、课后作业:
必作:教材138页练习4;习题12、3、4、5
选作:1、已知数列?an?为等比数列,且a1?a2?a3?7,a1a2a3?8,求an
2、已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1
求证:?an?1?是等比数列;。
求?an?的通项an。
第二课时
1、复习回顾:
上节课,我们学习了??
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等比数列定义:an:an?1?q
通项公式:an?a1qn?1
若n?1n?1ann?1)对不对, ,数列?an?是等比数列吗,an?a1?
2逆向思考:若数列?an?满足an?an?1?an?1,它一定是等比数列吗,
若m?n?p?q,则am?an?ap?aq
4、灵活运用:
下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。
例1、 在等比数列?an?中,a3?a5?100,求a4
变式1、等比数列?an?中,若a2?2,a6?162,则a10?变式2、等比数列?an?中,若a7?a12?5,则a8?a9?a10?a11?
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范文二:等比数列第二课时
2.4.2《等比数列》学案
一、学习目标 (1)进一步掌握等比数列的通项公式;
(2)掌握推导等比数列的性质
二.课前预习(请同学们先完成课本53页练习第3,4两题再填空) 1. 等比数列的性质:若等比数列{a n }的首项为a 1, 公比为q ,则有: (1)a n =am ;(即用任意一项都能表示第n 项)
(2)m+n=s+t(其中m,n,s,t ∈N ) ,则_______t ;若m+n=2k,则________m .
(3)等比数列中依次k 项和成等比数列,即 成等比数列,其公比为 (4)数列?
*
?1?
?是公比为 的等比数列 a ?n ?
2
(5)数列a n 是公比为 的等比数列
{}
(6)若{b n }是公比为p 的等比数列,(项数相同)则数列{a n b n }是公比为 的等
比数列。
(7)若a n >0,则{log c a n }(c >0, c ≠1) 是________数列
2.已知三数成等比数列,且积为定值,一般情况下该如何设这三个数?
三.典例剖析 例1. 例2.
等比数列{a n }中a 2+a 7=66, a 3a 6=128,求等比数列的通项公式a n .
在
827和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,求插入的三个数的积。 32
变式1:(2010全国1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 2a 3=5, a 7a 8a 9=10, 则 a 4a 5a 6=
变式2:设等比数列{a n }中,a 1a , 7是方程2x -7x +4=0的两个根,则
2
log 2a 1-log 2a 4+log 2a 7=________
例3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数。
随堂检测:
1.{a n }是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为
①{a n 2}也是等比数列 ③{
( )
②{ca n }(c ≠0) 也是等比数列 ④{lna n }也是等比数列 C .2
D .1
1
}也是等比数列 a n
B .3
A .4
2.等比数列{a n }中,已知a 9 =-2,则此数列前17项之积为 ( )
A .216
B .-216
C .217
D .-217
3若两数的等差中项为6,等比中项为5,则以这两数为两根的一元二次方程为
A .x 2-6x +25=0 C .x +6x -25=0
4.已知在等比数列中,a 3=-4,a 6=18,则a 9=
5.设lg a 1, lg a 2, lg a 3, lg a 4成等差,d =5,则 6
.
已
知
等
比
数
列
2
( )
B .x 2+12x +25=0 D .x -12x +25=0
2
a 4
=_________________. a 1
{a n }
,
a n >0, a 5a 6=9
,则
log 3a 1+log 3a 2+ +log 3a 10=________________
课后作业:
1. 已知-9, a 1, a 2, -1四个实数成等差数列,-9, b 1, b 2, b 3, -1五个实数成等比数列,则
b 2(a 2-a 1) =________
2等比. 数列{a n }中,a 7?a 11=6, a 4+a 14=5, a n >a n +1,则
a 20
=_______________ a 10
3. 在等比数列{a n }中,a n >0,公比q ∈(0,1),且a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25又a 3, a 5的等比中项为2,(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =log 2a n , ,数列{b n }的前n 项和为s n ,求数列{s n }的通项公式。 (选做)(3)当
s s 1s 2s 3
+++...... +n 最大时,求n 的值 123n
范文三:等比数列第二课时
§2.4等比数列(第二课时)
【教学目标】
1. 灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;
2. 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
一、知识链接 内容1:等比数列的通项公式a = = .
n
公比q 满足的条件是
2:等差数列有何性质?
1. 在等比数列{a n }中,a 52=a 3a 7是否成立呢?
2
2. a n =a n -1a n +1(n >1) 是否成立?你据此能得到什么结论?
2
3. a n =a n -k a n +k (n >k >0) 是否成立?你又能得到什么结论?
新知2:等比数列的性质
在等比数列中,若m +n =p +q ,则a m a n =a p a k .
试试:在等比数列{a n },已知a 1=5, a 9a 10=100,那么a 18=方式 手段 二、独立预习 内容 等比中项定义
如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = (a ,b 同号).
方式 手段
四、探究展示
内容例1已知{a },{b }是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从
n
n
方式 手段 三、合作交流
内容问题1:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b
G b
=?G 2=ab ?G = a G
成等比数列,则
新知1:等比中项定义
如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = (a ,b 同号).
试试:数4和6的等比中项是 .
问题2:
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变式:项数相同等比数列{a n }与{b n },数列{
a n
}也一定是等比数列吗?证明你的b n
比数列,则b 2(a 2-a 1) =( ). A .8 B.-8 C.±8 D.
3. 若正数a ,b ,c 依次成公比大于1的等比数列,则当x >1时,log a x ,log b x ,log c x ( )
A. 依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C. 依次成等比数列 D. 各项的倒数依次成等比数列
4. 在两数1,16之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于5. 在各项都为正数的等比数列{a n }中,a 5 a 6=9, 则log 3a 1+ log3a 2+…+ log3a 10=
98
结论.
小结:两个等比数列的积和商仍然是等比数列.
例2在等比数列{a n }中,已知a 4?a 7=-512,且a 3+a 8=124,公比为整数,求a 10.
变式:在等比数列{a
n }中,已知a 7?a 12=5,则a 8?a 9?a 10?a 11=
※ 动手试试
练1. 一个直角三角形三边成等比数列,则( ). A. 三边之比为3:4:5 B. 三边之比为13
D. 较大锐角的正弦为 方式 手段
六、反馈总结
⒈课堂检测1. 在{a }为等比数列中,a 1?a 9=64,a
n
3
+a 7=20,求a 11的值.
C. 较小锐角的正弦为
练2. 在7和56之间插入a 、b ,使7、a 、b 、56成等比数列,若插入c 、d ,使7、c 、d 、56成等差数列,求a +b +c +d 的值.
2. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 9成等比数列,求
a 1+a 3+a 9
.
a 2+a 4+a 10
方式 手段
五、应用转化
a 内容 1. 在{a }为等比数列中,
n
n
⒉课堂小结
a 2a 4+2a 3a 5+a 5=16,>0,那么a 3+a 5=( ).
2
反思:
A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8
2. 若-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等
第 3页(共 4 页) 第 4页(共 4 页)
范文四:等比数列教案(第二课时)
汤老师家教 教案
学生姓名 年级 辅导课目 等比数列 一 两小时课时安排:掌握等比数列相关概念以及解决相关题目。(等比数列的概念,通项公式,前n项和的公式。等比数列的判定以及性质)
二 具体授课内容:
1 基础知识梳理 : 基本概念+基础例题
2 一周重点,难点回顾: 典型例题讲解
3 试题精讲:
11、已知数列a是等比数列,其前n项和为,, SS,,Saa,,20,,42n12n8(1)求数列a的通项公式 ,,n
aS(2)求数列的前n项和 ,,nn
1*n,2aa,,anN,1aa,2、已知数列的首项,,(,)。若,,nn,1n12
*nN,ba,,2() nn
b(1)问数列是否能构成等比数列,并说明理由 ,,n
汤老师家教 教案 (2)若已知,设数列的前n项和为,求 ab,a,1SS,,nn1nn
22x,03、函数()的图像在点(,)处的切线与x轴交aayx,kk
k点的横坐标为,为正整数,,则= aa,16aaa,,1135k,1
4、设等比数列a的前n项和为,若=1,, SaSS,4,,nn163
则= a4
1S4a5、设等比数列的公比q=,前n项和为,则= S,,nn2a4
a6、设数列的前n项和为,已知=1, SaSa,,42,,nn1nn,1
b(1)设baa,,2,证明数列是等比数列 ,,nnnn,1
a(2)求数列的通项公式 ,,n
汤老师家教 教案
11n,7、在数列中,=1, aaa,,,(1)a,,nn,1n1nn2
an(1)设,求数列的通项公式 bb,,,nnn
(2)求数列的前n项和。(错位相减法) aS,,nn
范文五:数学教案-34等比数列(第二课时)
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34等比数列(第二课时)
教学目的:
1灵活应用等比数列的定义及通项公式2熟悉等比数列的有关性质~并系统了解判断数列是否成等比数列的方法。教学重点:等比中项的应用及等比数列性质的应用教学难点:灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题教学过程:一、复习:
等比数列的定义、通项公式、等比中项二、讲解新课:
1(等比数列的性质:若m+n=p+q~则2(判断等比数列的方法:定义法~中项法~通项公式法3(等比数列的增减性:当q>1,>0或0<><><0时,{}是递增数列;当q>1,<><><1,>0时,{}是递减数列;当q=1时,{}是常数列;当q<0时,{}是摆动数列;三、例题讲解例1已知:b是a与c的等比中项~且a、b、c同号~求证:也成等比数列。证明:由题设:b2=ac得:?也成等比数列例2已知等比数列例3a?c,三数a,1,c成等差数列~a,1,c成等比数列~求的值>0时,{}是摆动数列;三、例题讲解例1已知:b是a与c的等比中项~且a、b、c同号~求证:也成等比数列。证明:由题设:b2=ac得:?也成等比数列例2已知等比数列例3a?c,三数a,1,c成等差数列~a,1,c成等比数列~求的值>
解:?a,1,c成等差数列,?a,c,2,又a,1,c成等比数列,?ac,1,有ac,1或ac,,1,当ac,1时,由a,c,2得a,1,c,1,与a?c矛盾~?ac,,1,a+c,(a,c),2ac,6,?,例4已知无穷数列~求证:,1,这个数列成等比数列,2,这个数列中的任一项是它后面第五项的~,3,这个数列的任意两项
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的积仍在这个数列中。证:,1,,常数,?该数列成等比数列。,2,~即:。,3,~?~?。?且~?~,第项,。例5设均为非零实数~~求证:成等比数列且公比为。证一:关于的二次方程有实根~?~?则必有:~即~?成等比数列设公比为~则~代入?~即~即。证二:???~?~且?非零~?。四、课后作业:课本P125习题3410,2,~11~《精讲精练》P126智能达标训练
文章
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