范文一：导数的概念及其运算

导数的概念及其运算 教学目标:

1、 知识与技能:

1) 了解导数概念的实际背景;

2) 理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和基本导数求解方法;

) 理解导数的几何意义; 3

4) 能进行简单的导数四则运算。

2、过程与方法:

先理解导数概念背景，培养观察问题的能力;再掌握定义和几何意义，培养转化

问题的能力;最后求切线方程及运算，培养解决问题的能力。

3、 情态及价值观;

让学生感受数学与生活之间的联系，体会数学的美，激发学生学习兴趣与主动性。

教学重点:

1、导数的求解方法和过程;

2、导数公式及运算法则的熟练运用。

教学难点:

1、 导数概念及其几何意义的理解;

2、数形结合思想的灵活运用。

教学课型:复习课(高三一轮)

教学课时:约1课时

教学过程:

一、情境引入:

我们生活中要解决的问题:

2St,，1若运动的汽车位移S与时间t的关系是，求: t()

(1)在(t，tt，,)时间内的平均速度, oo

(2)求在t,t时刻的瞬时速度, o

二、知识点回顾与疏理:

1、导数的概念:

xx,)、函数y=1在处的导数: f(x)0

b,xx,(a，b)a归纳:一般的，定义在区间(，)上的函数，，当无限趋近于0f(x)o

f(x，,x),f(x),yoo,x,x时，无限趋近于一个固定的常数A，则称f(x)在处可导，o,x,x

f'(x)|x,xf'(x)并称A为f(x)在处的导数，记作或;其中x,xooo

fxxfx()()，,,,yoo,f'(x)=。 olimlim,,xx,,,,00xx

fxxfx()()，,,,y,2)、导函数:= fx'()limlim,,xx,,,,xx00

2、导数的几何意义:

在处的导数(值)就是在点(，)处的切线斜率。 xx,xyf(x)f(x)000

在(，)处的切线方程为:y-=(x-)。 xyyf'(x)xo0000

3、基本初等函数的导数公式:

,,,1,,1) (C为常数) 2) (为常数) ,(C),0()xx,,

xxxx,,3) 3′) ()ln (01)aaaaa,,,，(e),e

111,,(lnx), 4) 4′)(logx)loge (01),,,,aa，且aaxxxlna

,, 5) 6) (sinx),cosx(cosx),,sinx

4、导数运算法则:

1) fxgxfxgx()()''()'(),,,,,

fxgxfxgxfxgx()()''()()()'(),，2) ,,

',,fxfxgxfxgx()'()()()'(),,,(()0)gx3) ,,2gxgx()(),,

三、例题选讲

2,x例1、在曲线上取一点P(1,2)及临近点Q(1+，2+)， ,yyxx,，

,y那么为 (考察平均变化率实际应用，为求导数做铺垫) ,x

1例2、利用导数的定义求函数fx(),在x=1处的导数。(导数定义的训练)

x

,x注意:分母的处理

2x例3、求曲线在点(2，)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积。 efxe(),

注意:导数的几何意义与数形结合应用

2例4、求y=x tan x 的导数。(导数公式及运算法则应用) ,cosx

注意:先化简，再求导

2例5、求抛物线 过点P(1,0)的切线方程。(其他特殊情况的处理与应用) yx,

注意:点P在抛物线上吗,

四、小结与作业

教学反思:

范文二：导数的概念及其运算

第四章 导数

第1讲 导数的概念及其运算

随堂演练巩固 x1.设y=,2esinx,则y′等于 xxA.,2ecosx B.,2esinx xxC.2esinx D.,2e(sinx+cosx) 答案:D

27x32.(2011届山东临沂高三测试)已知m<>

数m等于

A.,9 B.,3 C.3 D.9

答案:B

27272解析:由于f′(x)=3mx+,故f′(1)?,183m+?,18,由m<0得,mm27223m+?,183m+18m+27?03(m+3)?0,故m=,3.>

x，13.设曲线y=在点(3，2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于 x,1

1A.2 B. 2

1C., D.,2 2

答案:D

1,2解析:因为y′=，所以切线斜率k=y′|=,，而此切线与直线x=322(x,1)

1ax+y+1=0垂直，有k?(,a)=,1，因此a==,2. k24.若曲线f(x)=ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是

____________.

答案:(,?,0)

1解析:f′(x)=2ax+,x?(0,+?). x

?f(x)存在垂直于y轴的切线，

1?f′(x)=0有解，即2ax+=0在(0，+?)上有解, x

1?a=,. 22x

?a?(,?,0). 25.已知P(,1，1)，Q(2，4)是曲线y=x上的两点，则与直线PQ平行的曲线2y=x的切线方程是____________. 答案:4x,4y,1=0 2解析:y=x的导数为y′=2x.

village temples Central Office every day, carry out their duties. Correspondence relating to education by the Chief of the first section marked my draft statement. Worked after a few months, I've been buried in the official program, very rigid monotony of clerical career, flavourless. 1939 of 7 August between, County, and Secretary to I with to Office meeting, for Government established one years to work reported, for time rush, prior not for full prepared, had to in way by rank Ann Mr described one years to about people, and fiscal, and built, and taught, and insurance five aspects important matters, I accordingly detailed narrative finishing written, completed Wujiang Government established one years to of work report. Turn back and forth month Shan Road, apart from the Secretary, Mr rank foot disease immobility, bamboo car instead of walking outside, square foot (except for myself and 4 guards), the wuxing, peace, SI an, Guangde, doorway swing, Zhang Zhu to the destination--wearing Bu. At diwei to the important towns of troops is difficult to access, we have to change angles, Shan rugged trails, Sun and rain on the way, hardship exceptions, if the patriotic and passions of the war, than the successful completion of tasks. An old frail, rank, long-distance Lawton regrets, admirable! In November 1939, I was admitted to the Faculty of law, College of law and politics in Shanghai, but resigned from the post office, bid farewell to this short and memorable life. (J) the siazhen boat buried Japanese morning of October 18, 1937, siazhen sick to shun Tang Qiao-cutters, 1 from Nanxun town jiaxing to Japanese boats, caught dragging behind 3 small boats, loaded with military goods. Siazhen too late to escape, jumped ashore Japan catch up with the boat, forcing him to row a boat. Meanwhile caught the migrants village Zhang Shun. Siazhen was sick for a long time,

设切点为M(x,y)，则y′|=2x. 000x,x0

4,1?PQ的斜率k==1,又切线平行于PQ， 2，1

1?k=y′|=2x=1.?x=. 00x,x02

11?切点M(，). 24

11?切线方程为y,=x,,即4x,4y,1=0. 42

课后作业夯基

1.下列求导运算正确的是

11A.(x+)′=1+ 2xx

1B.(logx)′= 2xln2xxC.(3)′=3?loge 32D.(xcosx)′=,2xsinx

答案:B

11xx解析:(x+)′=1,;(3)′=3ln3; 2xx22(xcosx)′=2xcosx,xsinx. 322.若曲线C:y=x,2ax+2ax上任一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整

数a的值等于

A.,2 B.0 C.1 D.,1 答案:C

32解析:y′=3x,4ax+2a>0,由Δ<>

?a=1. 23.若点P是曲线y=x,lnx上任意一点，则点P到直线y=x,2的最小距离为

2A.1 B.

23C. D. 2

答案:B 22解析:过点P作y=x,2的平行线，且与曲线y=x,lnx相切，设P(x,x,00

1lnx),则k=y′|=2x,, 00x,x0x0

11?2x,=1.?x=1或x=,(舍去). 0002x0

village temples Central Office every day, carry out their duties. Correspondence relating to education by the Chief of the first section marked my draft statement. Worked after a few months, I've been buried in the official program, very rigid monotony of clerical career, flavourless. 1939 of 7 August between, County, and Secretary to I with to Office meeting, for Government established one years to work reported, for time rush, prior not for full prepared, had to in way by rank Ann Mr described one years to about people, and fiscal, and built, and taught, and insurance five aspects important matters, I accordingly detailed narrative finishing written, completed Wujiang Government established one years to of work report. Turn back and forth month Shan Road, apart from the Secretary, Mr rank foot disease immobility, bamboo car instead of walking outside, square foot (except for myself and 4 guards), the wuxing, peace, SI an, Guangde, doorway swing, Zhang Zhu to the destination--wearing Bu. At diwei to the important towns of troops is difficult to access, we have to change angles, Shan rugged trails, Sun and rain on the way, hardship exceptions, if the patriotic and passions of the war, than the successful completion of tasks. An old frail, rank, long-distance Lawton regrets, admirable! In November 1939, I was admitted to the Faculty of law, College of law and politics in Shanghai, but resigned from the post office, bid farewell to this short and memorable life. (J) the siazhen boat buried Japanese morning of October 18, 1937, siazhen sick to shun Tang Qiao-cutters, 1 from Nanxun town jiaxing to Japanese boats, caught dragging behind 3 small boats, loaded with military goods. Siazhen too late to escape, jumped ashore Japan catch up with the boat, forcing him to row a boat. Meanwhile caught the migrants village Zhang Shun. Siazhen was sick for a long time,

|1,1,2|?P(1,1).?d==. 21，1

4.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是

答案:B 2解析:设二次函数为y=ax+b(a<0,b>0),则y′=2ax,

又?a<0，故选b.>

115325.曲线y=x+x在点T(1，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 326

4949A. B. 1836

4949C. D. 72144

答案:D

7解析:易知点T为切点，由f′(1)=2,知切线方程为y=2x,,其在两坐标轴6

7717的截距分别为，,，故直线与两坐标轴围成的三角形面积S=×× 126212749|,|=. 6144

13326.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s=t,t+2t,那32

么速度为零的时刻是

A.0秒

B.1秒末

C.2秒末

D.1秒末和2秒末

答案:D

1332解析:?s=t,t+2t, 322?v=s′(t)=t,3t+2, 2令v=0得t,3t+2=0,解得t=1,t=2. 12

7.已知曲线C:y=lnx,4x与直线x=1交于一点P，那么曲线C在点P处的

切线方程是____________.

答案:3x+y+1=0

1解析:由题可解得P(1，,4)，则由y′=,4可得曲线C在P处的切线斜x

率为k=y′|=,3,故切线方程为y,(,4)=,3(x,1)，即3x+y+1=0. x=1

8.已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，则k的最大值为____________.

village temples Central Office every day, carry out their duties. Correspondence relating to education by the Chief of the first section marked my draft statement. Worked after a few months, I've been buried in the official program, very rigid monotony of clerical career, flavourless. 1939 of 7 August between, County, and Secretary to I with to Office meeting, for Government established one years to work reported, for time rush, prior not for full prepared, had to in way by rank Ann Mr described one years to about people, and fiscal, and built, and taught, and insurance five aspects important matters, I accordingly detailed narrative finishing written, completed Wujiang Government established one years to of work report. Turn back and forth month Shan Road, apart from the Secretary, Mr rank foot disease immobility, bamboo car instead of walking outside, square foot (except for myself and 4 guards), the wuxing, peace, SI an, Guangde, doorway swing, Zhang Zhu to the destination--wearing Bu. At diwei to the important towns of troops is difficult to access, we have to change angles, Shan rugged trails, Sun and rain on the way, hardship exceptions, if the patriotic and passions of the war, than the successful completion of tasks. An old frail, rank, long-distance Lawton regrets, admirable! In November 1939, I was admitted to the Faculty of law, College of law and politics in Shanghai, but resigned from the post office, bid farewell to this short and memorable life. (J) the siazhen boat buried Japanese morning of October 18, 1937, siazhen sick to shun Tang Qiao-cutters, 1 from Nanxun town jiaxing to Japanese boats, caught dragging behind 3 small boats, loaded with military goods. Siazhen too late to escape, jumped ashore Japan catch up with the boat, forcing him to row a boat. Meanwhile caught the migrants village Zhang Shun. Siazhen was sick for a long time,

1答案: e

解析:从函数图象知在直线y=kx与曲线y=lnx相切时，k取最大值，y′=

1111(lnx)′==k,x=(k?0),切线方程为y,ln=k(x,)，又切线过原点(0，0)，xkkk

1代入方程解得lnk=,1,k=. e

13229.下列图象中，有一个是函数f(x)=x+ax+(a,1)x+1(a?R,a?0)的导函数3

f′(x)的图象，则f(,1)=____________.

1答案:, 322解析:?f′(x)=x+2ax+(a,1),

?导函数y=f′(x)的图象开口向上.

又?a?0，其图象必为第三张图.

(0)=0,且,a>0, 由图象特征知f′

?a=,1.

11故f(,1)=,,1+1=,. 33

10.求下列函数的导数.

12xx(1)y=xcosx,sinx;(2)y=xe;(3)y=(+1)(,1).

x

解:(1)?y=xcosx,sinx,

?y′=cosx,xsinx,cosx=,xsinx. 2xx2x2x(2)?y=xe,?y′=2xe+xe=(2x+x)e.

11,11,x22x(3)?y==,=x,x, xx

31,,1122?y′=,x,x. 22

311.已知函数f(x)=x,3x及y=f(x)上一点P(1，,2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程; (2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程. 32解:(1)由f(x)=x,3x,得f′(x)=3x,3，过点P且以P(1，,2)为切点的直线

的斜率f′(1)=0,?所求直线方程为y=,2; 2(2)设过P(1，,2)的直线l与y=f(x)切于另一点(x,y),则f′(x)=3x,3. 0000又直线过(x,y),P(1,,2), 00

village temples Central Office every day, carry out their duties. Correspondence relating to education by the Chief of the first section marked my draft statement. Worked after a few months, I've been buried in the official program, very rigid monotony of clerical career, flavourless. 1939 of 7 August between, County, and Secretary to I with to Office meeting, for Government established one years to work reported, for time rush, prior not for full prepared, had to in way by rank Ann Mr described one years to about people, and fiscal, and built, and taught, and insurance five aspects important matters, I accordingly detailed narrative finishing written, completed Wujiang Government established one years to of work report. Turn back and forth month Shan Road, apart from the Secretary, Mr rank foot disease immobility, bamboo car instead of walking outside, square foot (except for myself and 4 guards), the wuxing, peace, SI an, Guangde, doorway swing, Zhang Zhu to the destination--wearing Bu. At diwei to the important towns of troops is difficult to access, we have to change angles, Shan rugged trails, Sun and rain on the way, hardship exceptions, if the patriotic and passions of the war, than the successful completion of tasks. An old frail, rank, long-distance Lawton regrets, admirable! In November 1939, I was admitted to the Faculty of law, College of law and politics in Shanghai, but resigned from the post office, bid farewell to this short and memorable life. (J) the siazhen boat buried Japanese morning of October 18, 1937, siazhen sick to shun Tang Qiao-cutters, 1 from Nanxun town jiaxing to Japanese boats, caught dragging behind 3 small boats, loaded with military goods. Siazhen too late to escape, jumped ashore Japan catch up with the boat, forcing him to row a boat. Meanwhile caught the migrants village Zhang Shun. Siazhen was sick for a long time,

3x,3x，2y,(,2)000故其斜率可表示为=, x,1x,100

3x,3x，2200又=3x,3, 0x,10

32即x,3x+2=3(x,1)(x,1), 0000

1解得x=1(舍)或x=,, 002

19故所求直线的斜率为k=3×(,1)=,, 44

9?y,(,2)=,(x,1),即9x+4y,1=0. 4

village temples Central Office every day, carry out their duties. Correspondence relating to education by the Chief of the first section marked my draft statement. Worked after a few months, I've been buried in the official program, very rigid monotony of clerical career, flavourless. 1939 of 7 August between, County, and Secretary to I with to Office meeting, for Government established one years to work reported, for time rush, prior not for full prepared, had to in way by rank Ann Mr described one years to about people, and fiscal, and built, and taught, and insurance five aspects important matters, I accordingly detailed narrative finishing written, completed Wujiang Government established one years to of work report. Turn back and forth month Shan Road, apart from the Secretary, Mr rank foot disease immobility, bamboo car instead of walking outside, square foot (except for myself and 4 guards), the wuxing, peace, SI an, Guangde, doorway swing, Zhang Zhu to the destination--wearing Bu. At diwei to the important towns of troops is difficult to access, we have to change angles, Shan rugged trails, Sun and rain on the way, hardship exceptions, if the patriotic and passions of the war, than the successful completion of tasks. An old frail, rank, long-distance Lawton regrets, admirable! In November 1939, I was admitted to the Faculty of law, College of law and politics in Shanghai, but resigned from the post office, bid farewell to this short and memorable life. (J) the siazhen boat buried Japanese morning of October 18, 1937, siazhen sick to shun Tang Qiao-cutters, 1 from Nanxun town jiaxing to Japanese boats, caught dragging behind 3 small boats, loaded with military goods. Siazhen too late to escape, jumped ashore Japan catch up with the boat, forcing him to row a boat. Meanwhile caught the migrants village Zhang Shun. Siazhen was sick for a long time,

范文三：导数的概念及其运算

导数的概念及其运算

导数的概念及其运算

一、选择题

13321.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s,t,t，2t，那么速度为零的时刻是 32

( )

A.0秒 B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末

12.[理]已知y,sin2x，sinx，则y′是 ( ) 2

A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数

2 [文]y,xcosx的导数是 ( )

22A.y′,2xcosx，xsinx B.y′,2xcosx,xsinx

2C.y,2xcosx D.y′,,xsinx

3.(2010?福州模拟)函数y,f(x)的图象在点x,5处的切线方程是y,,x，8，则f(5)，f′(5)等于

( )

1A.1 B.2 C.0 D. 2

，n1*4.设曲线y,x(n?N)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x则x?x?…?x等于( ) n12n11nA. B. C. D.1 nn，1n，1

f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x),g′(x)，则f(x)与g(x) 5.

满足 ( ) A.f(x),g(x) B.f(x),g(x),0

C.f(x),g(x)为常数函数 D.f(x)，g(x)为常数函数

26.若点P是曲线y,x,lnx上任意一点，则点P到直线y,x,2的最小距离为 ( )

2A.1 B.2 C. D.3 2

二、填空题

3x27.设点P是曲线y,,3x,3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方,x3

程是 .

ππ8.(2009?湖北高考)已知函数f(x),f′()cosx，sinx，则f()的值为 . 44

ππ*9.已知f(x),sinx，cosx，记f(x),f′(x)，f(x),f′(x)，…，f(x),f′(x)(n?N，n?2)，则f()，f(),12132nn11222

π，…，f(), . 20092

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导数的概念及其运算

三、解答题

10.求下列函数的导数:

14532 (1)y,x,x，3x，2; 53

3(2)y,(3x,4x)(2x，1);

x(3)y,. 21,x，x

解:

12311.已知曲线y,x,1与y,1，x在x,x处的切线互相垂直，求x的值. 006

b12.设函数f(x),ax,，曲线y,f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x,4y,12,0. x

(1)求f(x)的解析式;

(2)证明:曲线y,f(x)上任一点处的切线与直线x,0和直线y,x所围成的三角形面积为定值，并求

此定值.

解:

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导数的概念及其运算

导数的概念及其运算

一、选择题

133221解析:?s,t,t，2t～?v,s′(t),t,3t，2～ 32

2令v,0得～t,3t，2,0～t,1或t,2.答案:D 12

2.[理] 答案:B

11922解析:?y′,cos2x?2，cosx,cos2x，cosx ,2cosx,1，cosx,2(cosx，),. 248

192又当x?R时～cosx?[,1,1]～函数y′,2(cosx，),是既有最大值又有最小值的偶函数. 48

2 [文]解析:y′,2xcosx,xsinx.答案:B

3.解析:因f(5),,5，8,3～f′(5),,1～故f(5)，f′(5),2.答案:B

nn4.解析:y′,(n，1)x～曲线在点(1,1)处的切线方程为y,1,(n，1)(x,1)～令y,0～得x,.则nn，1

12n1x?x?…?x,??…?,.答案:B 12n23n，1n，1

5.解析:由f′(x),g′(x)～得f′(x),g′(x),0～即[f(x),g(x)]′,0～所以f(x),g(x),C(C为常数).

答案:C

26.解析:过点P作y,x,2的平行直线～且与曲线y,x,lnx相切.

12设P(x～x,lnx)则有k,y′|x,x,2x,. 00000x0

|1,1,2|11?2x,,1～?x,1或x,,(舍去)～?P(1,1)～?d,,2.答案:B 000x201，1

二、填空题

227.解析:设切线的斜率为k～则k,f′(x),x,2x,3,(x,1),4.当x,1时～k有最小值 ,4.又f (1)

2020,,～所以切线方程为y，,,4(x,1)～即12x，3y，8,0.答案:12x，3y，8,0 33

ππ8.(解析:?f(x),f′()cosx，sinx～?f′(x),,f′()sinx，cosx～ 44

ππ22π1π22?f′(),,f′()×，～?f′(),,2,1.故f(),(2,1)×，,1.答案:1 442244221，2

9.解析:f(x),f′(x),cosx,sinx～ 21

f(x),(cosx,sinx)′,,sinx,cosx～ 3

f(x),,cosx，sinx～f(x),sinx，cosx～ 45

以此类推～可得出f(x),f(x) ，nn4

又?f(x)，f(x)，f(x)，f(x),0～ 1234

ππππ?f()，f()，…，f(),f(),1.答案:1 12200912222

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导数的概念及其运算 三、解答题

145324210.解:(1)y′,(x)′,(x)′，(3x)′，(2)′,x,4x，6x. 35

343232(2)法一:?y,(3x,4x)(2x，1),6x，3x,8x,4x～?y′,24x，9x,16x,4.

3323法二:y′,(3x,4x)′(2x，1)，(3x,4x)(2x，1)′,(9x,4)(2x，1)，(3x,4x)?2

32,24x，9x,16x,4.

2222x′(1,x，x),x(1,x，x)′),x(,1，2x)(1,x，x1,x(3)y′,,,. 222222(1,x，x)(1,x，x)(1,x，x)

111211.解:对于y,x,1～有y′,x～k,y′|x,x,x, 100633

3223对于y,1，x～有y′,3x～k,y′|x,x,3x.又kk,,1～则x,,1～x,,1. 200120012.

7解:(1)方程7x,4y,12,0可化为y,x,3. 4

b1,2,a,,,a,1,,1b3,22当x,2时～y,.又f′(x),a，～于是 故f(x),x,. 解得2,,2xx773,b,,,a，,,,,44

33(2)设P(x～y)为曲线上任一点～由y′,1，～知曲线在点P(x～y)处的切线方程为y,y,(1，)(x2200000xx0

33,x)～即y,(x,),(1，)(x,x). 2000xx00

66令x,0～得y,,～从而得切线与直线x,0的交点坐标为(0～,), xx00

令y,x～得y,x,2x～从而得切线与直线y,x的交点坐标为(2x2x). 00,0

16所以点P(x～y)处的切线与直线x,0～y,x所围成的三角形面积为|,||2x|,6. 0002x0故曲线y,f(x)上任一点处的切线与直线x,0～y,x所围成的三角形面积为定值～此定值为6.

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范文四：导数的概念及其运算

第一课时 导数的概念及其运算

1、会用导数的定义求简单函数的导数。

2、正确运用导数的运算法则求多项式函数的导数。

432

例２：已知曲线Ｃ：y=ax+bx+cx+dx+e过点Ａ（０，－1）且关于y 轴对称，若C 在

1、导数的概念及运算法则。

1、根据函数式的特征，灵活运用相关公式对原函数式变形，求出导数或导函数。

1、（1）若函数f (x ) =x n

n

(n ∈N *) ，则f ' (x ) =x n -1； （2）若常数函数f (x ) =0, 则f ' (x 0) =0;

（3）若函数f (x ) =(-x ) n

(n ∈N *

) ，则f ' (x ) =n (-x ) n -1

；

（4）若函数f (x ) =x

，则f ' (0) =0。

以上命题正确的是__________________

2、（1）函数y =x 3

-(1-2x ) 2

的导函数为_______________；

（2）y =x 3(x -3)(x +3) 的导函数为_____________；

3、若P (1, 1), Q (1-?x , 1-?y )(?x ≠0) 是曲线y=x2的两点，则割线PQ 的斜率为_____。y=x3－3x 在点P 处的切线l 过点（0，16），则l 的方程________。 例1 ：已知函数f(x)=x5

－5ax 2

+5x+a且f ' (a ) ≤0, f (0) >0，求f(x)的解析式。

x=1处的切线方程2x+y－2=0，求曲线C 的方程。

例3：O 是原点，直线l 过抛物线C ：y=x2

上一点P ，直线l ' 与C 相切于点P ，别与y 轴、C 的准线相交于点Q 、R ，且⊥, PM =

1

2

（1）求点M 的轨迹方程；

（2）设l 的方向向量为，试说明使得∥点P 是否存在。

l 、l ' 分

班级_______学号__________姓名_________

1、 求导f(x)=(x－

122112

3) (x+3x+9

) :____________ 2、 若函数y =mx 2m -n 的导数为y '=4x 3, 则m=__________,n=__________

3、 若曲线y=x 4

42

+x过点P 的切线垂直于直线y=-3x ，则这条切线的方程_______

4、 设曲线y=－x 3

+3x2

－3x 2

－2x+10的切线的倾斜角为α，则α的取值范围_______

5、 已知曲线y=x3－2x 2

+x在点P 1、P 2处的切线斜率都为1，则P 1P 2在x 轴的射影长为（ ）A

1

3

B

12

C

2 43

D

3

6、已知使f(x)=x3

+ax2

－4a 的导数为0的x 的值也使f(x)的值为0，求a 的值。

7、(1)f(x)=2ax3

+3bx2

+2abx(a>0，b>0)且f ' (1) ≤14, 求ab=1时，f(x)的解析式。 （2）已知曲线y=ax4

+bx3

+cx+1关于点（0，1）对称，且在点（1，0）处的切线斜率为1，求a 、b 、c 。

8、已知函数f(x)=x 5ax 2

5-3

+(a +3) x +a 2，且对任意x ∈R ，f ' (x ) ≥0，求a 的范围。

9、(选做题)

A 、B 是曲线y=x3

－ax 上不同的两点，且过A 、B 两点的切线都与直线AB 垂直。 （1）证明A 、B 两点关于原点对称 （2）证明|a|≥

第二课时 导数的应用（一）

1、理解运用导数的知识判断函数的单调性方法。 2、掌握运用导数的知识求函数的极值与最值的方法。

1、讨论含参数的函数的单调性。

2、理解极值、最值的概念，解决实际问题。 1、f(x)=x4－2x 2

+1的单调增区间为________，单调减区间为________。

2、若函数f(x)=x3

+ax－2在区间（1+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围（ ） A （3，+∞） B [－3，+∞） C （－3，+∞） D （－∞，－3）

3、已知函数y=f(x)在x=1处的导数为f ' (1) ，若f(1)为函数的极值，则（ ） A f ' (1) >0

B f ' (1) <>

C f ' (1) ≠0

D f ' (1) =0

4、函数y=x3

－3x 2

－9x+5在[－4，4]上的最大值为________。 5、函数y =

13x 3-a +122

x +ax 在（1，2

）内是减函数，且在（2，+∞）内是增函数，则a=_____。

例1：已知f(x)=ax3

+cx+d(a≠0) 是R 上奇函数，当x=1时，f(x)取得极值－2。 （1）求f(x)的单调区间和极大值 （2）证明对任意x 1、x 2∈（－1，1），不等式|f（x 1）－f(x2)|<>

例2：已知1≤t ≤3，=k +t 2, =(t -k ) +(t 2-4t +1) 且⊥, ||=2, ||=1,

和的夹角为600，求k 的取值范围。

例3：一自来水厂的蓄水池中原有水650吨，一天24小时在向水池中注水的同时，蓄水池又向居民供水，若x 小时内向居民的总供水量为24024x 吨，问当每小时向水池注水120吨，一天中何时蓄水池中水量最少。

班级_______学号__________姓名_________

1、y =

1

x 4-4x 2+5

在区间（(-2, 2）内的单调性是________

2、y=x4

－4x 3

+1的极值是________

3、y=x4

－32x+9在定义域R 内的最小值为_________

4、若a<>

－5ax 在x=______处时取极小值________，在x=_______上时取极大值_______

5、y=－x 3+mx2

+1(m≠0) 在（0，2）内的极大值为最大值，则m 的取值范围是______

6、已知函数f(x)=x3

+ax2

+bx+c，在x=－

2

3

与x=1时f(x)都取得极值 （1）求a 、b 的值

（２）若对x ∈［－１，２］时，f(x)<>

值成立，求c 的取值范围

7、已知二次函数f(x)当x=

1

2

时有极值，函数图象过点（0，－1）点，且在该点处的切线与直线x －y=0垂直

（1）求f(x)的解析式

（2）若g(x)=xf(x)，求g(x)的单调递减区间

（3）设h(x)=(x+a)f(x)，若对任意a ∈[－1，1]，h(x)在（－∞，m ）和(n,+∞) 上都是增函数，求m 与n 的取值范围。

8、某制药厂为了获得较大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，当

投入广告费为t(百万元) 时（0≤t ≤5）销售额约为－t 2

+5t（百万元）（注：收益=销售额－投入），若该厂准备投入3百万元，用于广告促销和技术改造，经预测，当投入技术改造费为x(百万元) ，销售额增加约为-13

x 3

+x 2+3x (百万元) ，请设计一个资金分配方案，使该厂由此获得的收益最大。

第三课时 导数的应用（二）

导数与函数知识相结的综合运用，掌握用导数求函数的最大值、最小值问题，能利用函数的单调性证明或解不等式。

1、三次函数y=x3

－3bx+3b在[1，2]内恒成正值的充要条件（ ）

A 1≤b ≤2

B b≤0 C 1≤b ≤2 D b

94

2、y=x3

+3x2

+6x－10切线中，斜率最小的切线方程是_______

3、直线y=a与函数f(x)=x3

－3x 的图象有三个不同的公共点，则a 的取值范围是______

4、当正数k ∈_______时，函数f(x)=kx3+3(k－1)x 2－

k 2

+1在（0，4）上是减函数。 例1：已知函数f(x)=－x 3+ax2

+b(a、b ∈k)

（1）要使f(x)在(0、1) 上单调递增，求a 的取值范围 （2）当a>0时，若函数满足y 极小值=1，y 极大值=

31

27

，试求y=f(x)的解析式 （3）当x ∈[0，1]时，y=f(x)图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，求0≤θ≤π

4

时，a 的取值范围

例2：设抛物线C 22

1：y=x－2x+2与C 2：y=－x +ax+b在它们同一个交点处的切线互相垂直。 （1）求a 、b 之间的关系

（2）若a>0，b>0，求ab 的最大值

例3：f(x)=ax3

+bx2

+cx（a>0）的图象关于原点对称，A (α, f (α) ),B (β, f (β) )分别为函

数的极大值点和极小值点，且|AB|=2，f(α) －f(β)= β－α. (1) 求b 的值 （2）求f(x)的解析式

（3）求曲线y=f(x)与x 2－y 2

=0的交点, 并根据图形结构特点找出区间E=[m、n]使E={f(x)|x∈E}

班级_______学号__________姓名_________

1、f(x)=ax3+bx2

+cx+d(a>0)，则f(x)为增函数的充要条件（ ）

A b2－4ac>0 B b>0,c>0 C b=0,c>0 D b2

－3ac<0 2、设y="f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相导实根且f" '="" (x="" )="2x" +2，则y="">

3、若曲线C ：y=x3－2ax 2

+2ax上任意点处的切线的倾角都是锐角，那以整数a 的值等于_____。

4、已知f(x)=x3－x 2

+cx+d，若存在x 1、x 2，使a<><><>

f ' (x 1) =f ' (x 2) =0,f(a)>f(x2) ，f(b)>f(x1) ，则f(x)在区间[a、b]上的最大值与最小值

分别是（ ）

A f(a),f(x1) B f(b),f(x2)

C f(a),f(b)

D f(x1),f(x2)

5、已知a 为实数，f(x)=（x 2

－4）(x－a)

(1)求导数f ' (x )

(2)求f ' (-1) =0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值 （3）若f(x)在（－∞，－2]和[2，+∞）上都是递增的，求a 的范围

6、已知f(x)=ax5－bx 3

+c在x=±1处有极大值为4，极小值为0，求a 、b 、c 的值

7、f(x)=ax3+bx2

+cx+d是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点，若B 坐标（2，0），且f(x)在[－1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上具有相反的单调性

（1）求C 的值

（2）在函数图象上是否存在一点M(x0,y 0) ，使得f(x)在点M 的切线斜率为3b （3）求|AC|的取值范围

范文五：导数的概念及其运算

周练 导数的概念及其运算 2012-6-15

1.一个物体的运动方程为 21t t s +-=其中 s 的单位是米 , t 的单位是秒 , 那么物体在 3秒末

的瞬时速度是 米 /秒 .

2. 曲线 324y x x =-+在点 (13) , 处的切线的倾斜角为 .

3.曲线 13-=x y 在 1=x 处的切线方程为 ___________.

4.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 3:103C y x x =-+上,且在第二象限内,已知

曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 .

5. . 设 () 2sin f x x x =-,若 0() 0f x '=且 0(0,) x π∈,则 0x = 6. 函数 x x x x f cos sin ) (+=的导数是 _______.

7.已知函数 () cos ln f x x x π=+,则 '() 2

f π

=

8. 已知 P 点在曲线 F :x x y -=3上, 且曲线 F 在点 P 处的切线与直线 02=+y x 垂直,

则点 P 的坐标为 .

9. 设函数 3

() 3(0) f x x ax b a =-+≠若曲线 () y f x =在点 (2,(2))f 处与直线 8y =相切,

则 ab 的值为 。

10. 设 P 为曲线 2:1C y x x =-+上一点 , 曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [1,3]-,

则点 P 纵坐标的取值范围是 ________. 11. 求下列函数的导数:

(1) y =x x sin 12-; (2) y =x

1·cos x ; (3)y =2

31x x -+.

12. 已知直线 1l 为曲线 22-+=x x y 在点 (0,2) -处的切线, 2l 为该曲线的另一条切线,且

21l l ⊥ (Ⅰ)求直线 2l 的方程; (Ⅱ)求由直线 1l , 2l 和 x 轴所围成的三角形的面积。

周练 导数的应用(一)

1.函数 32() 15336f x x x x =--+的单调减区间为 2. 函 数 339y x x =-+的 极 小 值 是

3. 函数 93) (23--+=x ax x x f ,已知 ) (x f 在 3-=x 时取到极值,则 =a 4. 函数 () ln f x x x =的单调递减区间是 。

5. 已知 1) 6() (23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 6. 奇函数 32() f x ax bx cx =++在 1x =处有极值,则 3a b c ++的值为

7. 已知 m 是实数,函数 ()()2f x x x m =-,若 ()11f '-=-,则函数 ()f x 的单调减区间 是 .

8. 若函数 y =x 3+x 2+mx +1是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是 。 9. 函数 2sin y x x =-在 (0,) π上的单调递增区间为

10. 若函数 3222y x mx m x =+-, 当 1

3

x =时 , 函数取得极大值 , 则 m 的值为 11. 若函数 b bx x x f 36) (3+-=在 (0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是 。

12. 设函数 3() 2f x x ax =+-在区间 (1,) +∞上是增函数, 则实数 a 的取值范围是 。 13. 已知函数 f (x ) 的导数 f ′ (x ) =a (x +1) ·(x -a ) ,若 f (x ) 在 x =a 处取到极大值,则 a 的取值

范围是 ____________.

14.已知函数 ()bx ax x x f --=233,其中 b a , 为实数 .

(1)若 ()x f 在 1=x 处取得的极值为 2,求 b a , 的值;

(2)若 ()x f 在区间 []2, 1-上为减函数,且 a b 9=,求 a 的取值范围 .

15. 已知函数 x a x x f ln 2

1) (2

-=

) (R a ∈ (1)若函数 ) (x f 在 2=x 处的切线方程为 b x y +=,求 b a , 的值; (2)若函数 ) (x f 在 ) , 1(+∞为增函数,求 a 的取值范围。

导数的概念及其运算参考答案

1. 答案:5

解析:() 21, (3)2315s t t s ''=-=?-=。

2. 答案:45°

解析:由 3224' 32y x x y x =-+?=-,∴在 (13) , 处的切线斜率 2

3121k =?-=,∴倾 斜角为 45°.

3. 答案: 33y x =-

解析:321' 3y x y x =-?=,∴切线的斜率为 3,又∵切线过点(1, 0) , ∴切线方程为 33y x =-.

4. 答案:(-2, 15)

解析: 考查导数的几何意义和计算能力。

231022y x x '=-=?=±,又点 P 在第二象限内, 2x ∴=-

点 P 的坐标为(-2, 15) 5 . 答案:

3

π

解析: () 12cos f x x '=-, 0() 0f x '=,即 01cos 2x =

,又 0(0,) x π∈, 03

x π=。 6. 答案:x x cos

解析:'() sin cos sin cos f x x x x x x x =+-=。

7. 答案:1

解析:() sin f x x x '=-+ , () sin 1f '∴=-+=。

8. 答案:(-1,0)或(1,0)

解析:23121, (1,0) y x x P '=-=?=±∴±。 9. 答案:96

解 析 :2

() 33f x x a '=- , 且 曲 线 () y f x =在 点 (2, (2) ) f 处

与 直 线 8y =相 切 , (2)1230f a '∴=-=且 (2)868f a b =-+=,解得 4a =, 24b =, 96ab =。 10. 答案:3

[,3]4

解析:∵切线的斜率 k ∈ [1,3]-,设切点为 P (x 0, y 0) , 21y x '=-,于是 00|21x x y x ='=-,

所以 01213x -≤-≤,即 002x ≤≤, 2

2

00001

31() 2

4y x x x =-+=-+

,当 01

2

x =时, 0min 3() 4y =,当 02x =时, 0max () 3y =。点 P 纵坐标的取值范围为 3

[,3]4

。

11. 解: (1)y ′=(x x sin 12-)′ 2

22)

(sin) )(sin1(sin ) 1(x x x x x '

--'-= x

x

x x x 2

2sin cos ) 1(sin 2---=. (2)y ′=(

x 1·cos x )′=(x 1)′cos x +x

1 (cosx )′ .

2sin 2cos sin 12cos sin 1

cos 21sin 1

cos ) (3

23

2

1x x x x x x x x

x x

x

x x x x x x +-=--=--=-'=--

(3) y′=(231x x

-+)′=2

222) 3() 3)(1() 3() 1(x x x x x -'-+--'+ 2

22222)

3(3

2) 3() 2)(1(3x x x x x x x -++=--+--=. 12. 解:(1) 1() 21, (0)1, 1, f x x f k ''=+=∴=

21l l ⊥, 21, k =-22222() 211, 1, 2, :3. f x x x y l y x '=+=-=-=-∴=--

(2) 112125:2, , ), , 2

l y x l l l l x =--1

与 的交点 (-分别与 轴交 (2,0),(-3,0).2

5255. 24

??=1S=2

导数的应用(一)参考答案

1. 答案:(1,11)

-考 解析: 考查利用导数判断函数的单调性。

2() 330333(11)(1) f x x x x x '=--=-+,

由 (11)(1) 0x x -+<得单调减区间为 (1,11)="" -。亦可填写闭区间或半开半闭区间。="" 2.="">

解析:()

()()'

'

3

2

3933311y x x x x x =-+=-=-+

当 (), 1x ∈-∞-时, ' 0y >,函 数 339y x x =-+递 增 ; 当 ()1,1x ∈-时, ' 0y <,函 数="" 339y="" x="" x="-+递" 减="" ;="" 当="" ()1,="" x="" ∈+∞时,="" '="" 0y="">,函 数 339y x x =-+递 增 ; 当 1x =时 , 7y =极小值

3. 答案:4

解析:2() 323f x x ax '=+- , ) (x f 在 3-=x 时取到极值, (3) 27630f a '∴-=--=, 解得 4a =。

4. 答案:1(0,]e

解析:

1() ln ln 1f x x x x x '=+?=+ , 由 () 0f x '<, 得="" l="" n="" 1x=""><-, 又="" 0x="">, 1

0x e

∴<>

5. 答案:63>-

解析:) 6(23) (' 2

+++=a ax x x f ,要使 ) (x f 有极大值和极小值, 只需 0) (' =x f 有两个 不同的根即可。即:0) 6(3442

>+?-a a ,解得:63>-

【应用提升】 1. 答案:0

解析:由奇函数知, 0b =, 2() 32, (1)0f x ax bx c f ''=++= , 320, 030a b c b a b c ∴++==∴++= 又 。 2. 答案: 4(,0) 3

-

解析:()2

32f x x mx '=-,由 ()11f '-=-,得 321m +=-,解得 2m =-。

令 ()2

340f x x x '=+<,解得>

03

x -

<>

3. 答案:[)1, +∞, 1, 3?

?-∞- ??

?; 1,13??-????

解析:2() 362f x x ax b '=-+,

362013

21a b a b -+=??-+=-? ∴11

, 32a b ==- 。

2() 321f x x x '=--,增区间 [)1, +∞, 1, 3??-∞- ??

? , 减区间 1,13

??-????

。

4. 答案:[1

3,+∞ )

解析:若函数 y =x 3+x 2+mx +1是 R 上的单调函数,只需 y ′ =3x 2+2x +m ≥ 0恒成立,即

4120m ?=-≤, 1

3

m ≥。

5. 答案:(, ) 3

π

π

解析:=') (x f 0cos 21>-x , 21cos

x π

π<, 所以函数="" 2sin="" y="" x="" x="-单调递增区间为">

, ) 3

π

π。

【达标演练】

1. 答案:1

解析:2

2

34(3)() y x mx m x m x m '=-+=--,由题意得, 13

1

|

(1)() 3x y m m ='==--, 解得 1m =或 13m =

。当 13

m =时 , 11

(3)() 33y x x '=--,

当 1193x <时 ,="" 0y=""><; 当="" 13x="">时 , 0y '>, 当 13

x =时 , 函数取得极小值, 不符合题意; 当 1m =时 , (31)(1) y x x '=--,当 13x <时 ,="" 0y="" '="">;当 113x <时 ,="" 0y=""><,当>

3

x =

时 , 函数取得极大值,符合题意。

2. 答案:??

?

??21. 0

解析:'

2

() 36f x x b =-, 0b >, 令 '

() 0f x =

,得 x =∵ f (x ) 在 (0,1)

内有极小值,∴ 01<. ∴="">

b

。 3. 答案:) , 3[+∞-

解析:' 2() 3f x x a =+, 因为函数 () f x 在区间 (1,) +∞上是增函数, 所以 ' 2() 30f x x a =+≥ 即 2

3a x ≥-对 (1,) x ∈+∞时恒成立,又因为 2

33t x =-<-,所以 3a="">

5. 答案:(1,0) -

解析: 结合二次函数图象知,

当 a >0或 a <-1时,在 x="a">

当-1

6. 答案:5(, ) 66

ππ

解析:' 12sin 0y x =-<,即 1sin="" 2x="">,又 (0,) x π∈,所以 566

x ππ<,故所求单调递 减区间为="">

, ) 66

ππ

。

11.解:(1) ()01='f 且 ()21=f ,即 ??

?=--=--2

31063b a b a ,解得 . 5, 34

-==b a

(2) ()a ax x b ax x x f 963632

2

--=--=' ,又 ()x f 在 []2, 1-上为减函数,

()x f '∴0≤对 []2, 1-∈x 恒成立,即 09632≤--a ax x 对 []2, 1-∈x 恒成立 .

∴()01≤-'f 且 f ()02≤,即 1731

0912120963≥???

?

??≥≥????≤--≤-+a a a a a a a ,

∴a 的取值范围是 . 1≥a 【例 3】 解:(1)因为:x

a

x x f -

=') ( ) 0(>x ,又 ) (x f 在 2=x 处的切线方程为 b x y +=,

所以 ??

???=-+=-12222ln 2a b a 解得:, 2=a 2ln 2-=b 。 (2)若函数 ) (x f 在 ) , 1(+∞上为增函数 , 则 0) (≥-='x

a

x x f 在 ) , 1(+∞上恒成立,

即:2

x a ≤在 ) , 1(+∞上恒成立。所以有 1≤a 。

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