范文一：高中三角函数视频教学 新课程背景下高中三角函数教学中的问题及对策

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新课程背景下高中三角函数教学中的问题及对策

作者:郑敏惠

来源:《文理导航》2016年第02期

【摘 要】随着中国教育制度的不断改革，无论是教育的目的还是方式方法，都在为了让学生拥有更加合理更加有效的学习环境而做出改变。新课改背景下高中三角函数教学目标不再只是让学生具有能够很好运用数学公式计算的能力，更多的是重视学生在学习数学方面的兴趣，学生最终可以对于数学知识方法进行更好的运用。

【关键词】新课程;高中数学;三角函数

1

传统教学中对于三角函数教学方法基本是教师进行主导教学，同时以教师的教材为教学的基础，从而制定教学内容和实施教学方式，单方面的去教授给学生三角函数知识，而学生是以被动的形式在学习，显然，这是传统教学方式最大的弊端。当前，改变这一现状，建立以学生为中心的教学模式是当务之急。通过科学的多元化的教学模式，把探究性加入学生学习三角函数的知识中，在这一过程中培养学生的个性、实际运用能力和良好的学习态度，改善学生的厌学情绪的同时，减轻学生的学业压力。

一、当前三角函数教学中存在的问题

1.对学生课堂参与的重要性认识不足

在以往的高中三角函数课堂教学过程中，我们经常看到这样的一幕:教师在讲台上一个人讲课，而学生在静止的听课，教师主导着整堂课程教学的过程。学生习惯了被动地接受知识，而不是主动地探索知识。学生在课堂上没有主动地探究欲望和积极性，这就导致了学生的课堂学习效率不高。学生还是习惯了传统的学习方式，听教师讲课，习惯了灌输和被动学习。这主要是学生认识上的不足，学生没有认识到自己参与课堂的重要性，他们的思维并没有得到锻炼。离开教师和学校，很多学生的学习效率就会变得很低。部分教师之所以忽略了学生的课堂参与程度，一部分原因是教师自己对课堂纪律的严格管控，因此附带着整堂课程的教学都是在数学

2

教师的命令下开展，这是很多教师不能良好把握课堂纪律管理和灵活教学之间联系所造成的现象。

2.未对新教材的内容进行及时研究和对比更新

由于国家教育对于新课程教学目标不断落实，新教材中对于三角函数知识也讲述了很多，比如对于新教材中对于数学符号认识和使用问题，都是通过符号不断调整知识结构和内容编排顺序，从而不断提高教师教学水平。但很多教师没有意识到这种变化的根本意义，只是根据变

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3

范文二：高中三角函数有效教学初探

高中三角函数有效教学初探

摘 要:要想艺术生学好三角函数，需要及时复习，不断强化他们对

基本概念知识的理解与记忆，适当地进行反复练习，避免前学后忘。在学习过程中，慢慢地培养他们的复习意识，养成良好的复习习惯，从而让学生逐步学会学习。

关键词:夯实基础;一讲一练;互助成组;学会积累

中图分类号:G427 文献标识码:A

文章编号:1992-7711(2013)24-086-1

一、夯实基础，熟记公式

对于高一的新生，首先面临的是如何从初中数学跨度到高中数学中来，初中的数学题目，已知、结论以及答案大都是常数和定量。就如初中角的范围只局限在0?-360?之间，而高中一下子就将角的范围扩大到任意角，三角函数的内容一开始就很抽象，对艺术生来说，学好这章知识是有一定难度的，因此要想学好三角函数我就让学生先夯实好基础，熟记相关的公式，例如:1.熟记概念，包括任意角、振幅、周期、相位和初相等;2.熟记三角诱导公式，结合终边α上任意一点p(x，y)的坐标，确定各三角函数值在各象限的正负符号，理解诱导公式“奇变偶不变符号看象限”的规律;3.熟记正弦、余弦和正切的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性，以及结合它们的图像熟记对称轴和对称中心;4.熟记图像变换的规则，两种变法。

学生记忆时一定要结合图像来加以理解，只有在记住了这些内容后才会在老师的引导下将前后的知识连贯起来，切不可死记硬背。对于三角函数的习题，刚开始时我要求艺术生从基础题入手，以课本上的习题为准，反复的练习，打好基础，再慢慢的找一些课外的习题，来帮助他们开拓思路，提高他们的解题能力。

二、记好笔记，一讲一练

高中数学的章节很多，每一节里又有好多的知识点和题型，老师在上课时不可能像在初中时那样将每个知识点都慢慢讲，直到让学生都掌握和理解好才讲下一个知识点。因为高中课程开设得多(有九门课学生同时学习)，学生集中学习数学的时间相对比初中要少，所以老师在上习题课时经常是讲两道、三道甚至更多的例题。对于艺术生而言，一堂课一下子要接受这么多的内容是有难度的，可能上一题他们还没掌握好，老师已经开始讲下一题了。为此我要求他们上数学课时认真记好笔记，特别是老师在课堂上重点拓展的知识，以及有价值的解题方法等都要详细记录下来，这样才能方便他们把课上没有理解的问题在课后能通过笔记及时补上和加深理解。

三、纠错成集，互助成组

高中数学比初中数学明显的在知识内容“量”上多了很多，但练习和消化的课时却相对减少了，这无疑又给艺术生学好数学增加了难度。为了提高学习效率，在新学期开始时，我就要求学生准备一本数学纠错本，把平时做错的或者容易出错的题目记录下来，有时间就经常翻翻，重新想想错题的解题思路，和正确的解题过程相比较，以便及时巩固，以防再犯错。

俗话说:“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩。”学生除了听老师讲，看老师做以外，还可以形成“互助组”相互学习。我常鼓励他们，形成“互助组”，当你遇到难题时就去寻求帮助，把别人做错的题目也拿来一起分析、一起讨论、一起找出正确的解题方法，这样大家对知识的掌握就会更牢固，一起得到提高。

四、反复巩固，学会积累

对于三角函数这章的学习，在上课前五分钟，我会检查他们的公式和概念的掌握情况，对于艺术班的学生，我还经常默写公式。平常上课时我试着引导学生对三角函数形成板块结构，使知识前后贯通。如表格化记忆三角函数的图像和性质，使知识结构一目了然;经常对习题进行分类，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一方法。例如三角函数中:求函数(1)f(x)=sin(2x-π6);(2)f(x)=3cos

);(3)f(x)=sin(-2x);(4)f(x)=cos(-2x)的单调区间、(x-π4

对称轴、对称中心和最值及对应的x的集合。对于这类题型，在解题前先观察x前的系数，如果是负的，就先使用诱导公式将x前的系数变成正的，接下去只要把小括号里的内容框起来看成一个整体，分别对应基础函数y=sinx和y=cosx相关的性质这类题目便可迎刃而解。还有对于三角函数中的“五点作图法”，对所给正弦或余弦函数的形式不管是简单还是复杂，只需方法同上将整体依次取值为0，π2，π，3π2，2π，就可建立方程依次解出横坐标x的值，然后通过列表描点就可画出对应的图像。要想艺术班的学生学好三角函数，还需要及时复习，不断强化他们对基本概念知识的理解与记忆，适当地进行反复练习，减少他们前学后忘。在学习过程

中，慢慢地培养他们的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而让艺术生逐步学会学习。

当然学好三角函数除了以上几点以外，教师平常还需注重批改作业，增加面批等等。针对我们三星学校的艺术生，高考录取在文化成绩这块分数线在逐年上升，对他们来说考上好的学校难度就越来越大。三角函数是高考考查的重点内容之一，让学生扎实基础，多做基础题，反复巩固，争取把考卷上相关的三角函数题尽量地多拿分就显得尤为重要，这也是我教数学的最终目的。

[参考文献]

[1]王尚志，张思明，胡凤娟，付丽.整体把握高中数学新课程中的三角函数与三角[J].中学数学教学参考，2008(15).

[2]李金莲.三角函数课程难度的定量分析比较[J]，2007(07).

范文三：高中三角函数

三角函数基本关系表

,

,

,

注 : ⑴对与以上高中数学三角函数公式我们务必要知道其推导思路,从而清晰地 “ 看出 ”

三角 函 数 之 间 的 联 系 , 了 解 三 角 函 数 公 式 的 变 化 形 式 . 如 这 个 三 角 函 数 公 式

等 .

从而可做到 :正用、逆用、变形用自如使用各公式 .

⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备 .

⑶三角函数恒等变形的基本策略。

① 常 值 代 换 :这 中 方 法 是 三 角 函 数 公 式 中 基 本 的 特 别 是 用 “1” 的 代 换 , 如 1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

② 项的分拆与 角的配凑。也 是三角函数 公式解 题比较常见的一种 方法如分拆项: ;

还有一种使用三角函数公式的解题策略就是 :配凑角 (常用角变换 ):、

、

、 、 等 .

③ 降次与升次。即三角函数中倍角公式降次与半角公式升次。

④ 化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 。

⑤ 引入辅助角。三角函数会经常看到这样的公式 asinθ+bcosθ=sin(θ+) ,这里 辅助角 所在象限由 a 、 b 的符号确定, 角的值由 tan =确定。

范文四：高中三角函数

三角函数

1.已知点 P (tan α, cos α)在第三象限,则角 α的终边在( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.设 a <0,角 α的终边经过点="" p="" (-3a="" ,="" 4a="" )="" ,那么="" sin="" α+2cos="" α的值等于(="" )="" a.="">

B. -25 C. 15 D. -1

5

3.已知 α, β均为锐角,且 sin α=

5cos β=310

,则 α+β的值为 ( ) A. π4 或 3π

4

B.

3π4 C. π

4

D.2kππ

4

(k ∈ Z )

4.若 cos(π+α) =-12, 3

2 π<><2π,则 sin(2π-α)="" 等于="" (="">

A. -

2

B.

32 C. 12

D. 2

5、函数 y= sin(2x+4

π

) 的一个增区间是 ( )

A. [-4

,

4

π

π

] B. [-8

,

83π

π] C. [-

0, 2

π

] D. [-

8

3,

8

ππ

]

6. 若 tan θ=3

1, π<><>

π, 则 sin θ·cos θ的值为 ( ) A 3

10

B 310

C

7. 得到函数 y=sin(2x-3

π

) 的图像,只需将 y=sin2x的图像 ( )

A. 向左移动

3

π

B. 向右移动 3

π

C. 向左移动

6

π

D. 向右移动

6

π

8. 函数 1) 4

(cos 22

--=π

x y 是 ( )

A .最小正周期为 π的奇函数 B. 最小正周期为 π的偶函数 C. 最小正周期为

2

π

的奇函数 D. 最小正周期为

2

π

的偶函数

9. ()?ω+=x A y sin 的图象的一段如图所示,它的解析式是( )

A . ??? ??+=322sin 32

πx y B . ??? ?

?

+=32sin 32πx y

C . ??? ??-=

32sin 32

πx y D . ???

?

?

+=42sin 32πx

y 10. 若函数 () (1) cos f x x x =+

, 02

x π

≤

,则 () f x 的最大值为 ( )

A . 1 B . 2

C 1

D 2

11.已知 sin α+cos α=1

3

, α∈ (0, π) ,那么 sin2α, cos2α的值分别为 ( )

A. 89 , 179

B. -89, 9 C. 89 ,-9

D. -89 ,±9

二、填空题

13、若角 θ的终边过点 (, 8) P a ,且 3cos 5

θ=-

,则 a =

.

14、 若 2

3) 4sin(

=

+απ

,则 =-) 4

cos(

απ

15、 =-

12

cos

312

sin π

π

16sin α+cos α

sin α-cos α

=2,则 sin αcos α的值是 _____________.

17、 满足 sin(x-4

π) ≥ 2

1的 x 的集合是 ____________________; 三、解答题

18、已知 cos(απ6 ) =1213 , π6<><>

2,求 cos α.

19、 (10分) 设 f (x)=cos2x +2

3

sinxcosx 的最大值为 M ,最小正周期为 T .

(Ⅰ ) 求 M 、 T ; (Ⅱ ) 求 f (x)在 [0 , π]上的单调递减区间。

20、 (10分) 已知函数 f (x ) =cox

2

. sin 2

sin

2

2

x x x +-

(Ⅰ ) 求函数 f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ ) 求 f (x)在 [2

π

-,

2

π

]上得最大值和取最大值时 x 的值。

范文五：高中三角函数

三、知识要点

(一)导数

1、导数的概念

(1)导数的定义

(Ⅰ)设函数 在点 及其附近有定义,当自变量 x 在 处有增量△ x (△ x 可

正 可 负 ) , 则 函 数 y 相 应 地 有 增

量 , 这 两 个 增 量 的

比 , 叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。

如果 时, 有极限,则说函数 在点 处可导,并把这个极限叫做

在点 处 的 导 数 (或 变 化 率 ) , 记

作 ,

即 。

(Ⅱ)如果函数 在开区间()内每一点都可导,则说 在开区间() 内可导, 此时, 对于开区间 () 内每一个确定的值 , 都对应着一个确定的导数 ,

这样在开区间()内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做 在开区间()

内 的 导 函 数 (简 称 导 数 ) , 记

作

或 ,

即 。

认知:

(Ⅰ)函数 的导数 是以 x 为自变量的函数,而函数 在点

处的导数

是一个数值; 在点 处的导数 是 的导函数 当 时 的函数值。

(Ⅱ)求函数 在点 处的导数的三部曲:

①求函数的增量 ;

②求平均变化率 ;

③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

(2)导数的几何意义:

函数 在点 处的导数 , 是曲线 在点 处的切线的斜 率。

(3)函数的可导与连续的关系

函数的可导与连续既有联系又有区别:

(Ⅰ)若函数 在点 处可导,则 在点 处连续;

若函数 在开区间()内可导,则 在开区间()内连续(可导一定连 续)。

事实上,若函数

在点

处可导,则有 此时,

记 ,则有 即 在点 处连续。

(Ⅱ)若函数 在点 处连续,但 在点 处不一定可导(连续不一定可导)。 反例:在点 处连续,但在点 处无导数。

事实上, 在点 处的增量

当 时,

,

;

当 时,

,

由此可知, 不存在,故 在点 处不可导。

2、求导公式与求导运算法则

(1)基本函数的导数(求导公式)

公式 1 常数的导数:(c 为常数),即常数的导数等于 0。 公式 2 幂函数的导数:。

公式 3 正弦函数的导数:。

公式 4 余弦函数的导数:

公式 5 对数函数的导数: (Ⅰ) ;

(Ⅱ)

公式 6 指数函数的导数: (Ⅰ) ;

(Ⅱ) 。

(2)可导函数四则运算的求导法则 设 为可导函数,则有

法则 1

;

法则 2

;

法则 3

。

3、复合函数的导数

(1)复合函数的求导法则

设 , 复合成以 x 为自变量的函数 , 则复合函数

对自变量 x 的导数 ,等于已知函数对中间变量 的导数 ,乘以中间变量 u 对自 变量 x 的导数 ,

即 。

引 申 :

设

, 复 合 成 函

数 , 则

有

(2)认知

(Ⅰ) 认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序, 即从外向内分析:首先由最外层 的主体函数结构设出 ,由第一层中间变量 的函数结构设出 ,由 第二层中间变量 的函数结构设出 ,由此一层一层分析,一直到最里层的 中间变量 为自变量 x 的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系 的简单函数的链条:

;

(Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路

①分解:分析所给函数的复合关系, 适当选定中间变量, 将所给函数“分解”为相互联系的 若干简单函数;

②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求; ③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数, 并作以适当化简或整理。

二、导数的应用

1、函数的单调性

(1)导数的符号与函数的单调性:

一 般地 , 设函

数 在 某 个 区间 内 可 导, 则

若 为 增 函数

;若 为减函数;若在某个区间内恒有 ,则在这一区间上为常函数。 (2)利用导数求函数单调性的步骤

(Ⅰ)确定函数 的定义域;

(Ⅱ)求导数 ;

(Ⅲ)令 ,解出相应的 x 的范围

当 时, 在相应区间上为增函数;当 时 在相应区间上为减 函数。

(3)强调与认知

(Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域 D ,并且解决问题的过程中

始终立足于定义域 D 。若由不等式 确定的 x 的取值集合为 A ,由 确定的 x 的取值范围为 B ,则应用 ;

(Ⅱ)在某一区间内 (或 )是函数 在这一区间上为增(或减) 函数的充分(不必要)条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对 函数划分单调区间时, 除去确定 的根之外, 还要注意在定义域内的不连续点和不可导 点,它们也可能是增、减区间的分界点。

举例:

(1) 是 R 上的可导函数,也是 R 上的单调函数,但是当 x=0时, 。

(2) 在点 x=0处连续,点 x=0处不可导,但 在(-∞, 0)内递减,在(0, +∞)内递增。

2、函数的极值

(1)函数的极值的定义

设函数 在点 附近有定义,如果对 附近的所有点,都有

,则说

是函数 的一个极大值,记作 ;

如果对 附近的所有点,都有 ,则说 是函数 的一个极小值, 记作 。

极大值与极小值统称极值

认知:由函数的极值定义可知:

(Ⅰ)函数的极值点 是区间 内部的点, 并且函数的极值只有在区间内的连续点处 取得;

(Ⅱ) 极值是一个局部性概念; 一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值, 并且在 某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值;

(Ⅲ)当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时,函数 在 内的

极大值点,极小值点交替出现。

(2)函数的极值的判定

设函数 可导,且在点 处连续,判定 是极大(小)值的方法是

(Ⅰ)如果在点 附近的左侧 ,右侧 ,则 为极大值; (Ⅱ)如果在点 附近的左侧 ,右侧 ,则 为极小值; 注意:导数为 0的不一定是极值点,我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。

(3)探求函数极值的步骤:

(Ⅰ)求导数 ;

(Ⅱ)求方程 的实根及 不存在的点;

考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号:若左正右负, 则

在这一点取得极大值,若左负右正,则 在这一点取得极小值。

3、函数的最大值与最小值

(1)定理

若函数 在闭区间上连续,则 在 上必有最大值和最小值; 在开区间

内连续的函数 不一定有最大值与最小值。

认知:

(Ⅰ)函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性概念:最大值是函数在整个定义区间 上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

(Ⅱ)函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的(具有相对性),极值只能 在区间内点取得; 函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的 (具有绝对性) , 最大(小)值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值。

(Ⅲ)若 在开区间 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值 即为最大(小)值。

(2)探求步骤:

设函数 在 上连续,在 内可导,则探求函数 在 上的最大值 与最小值的步骤如下:

( I )求 在 内的极值;

( II )求 在定义区间端点处的函数值 , ;

( III )将 的各极值与 , 比较,其中最大者为所求最大值,最小者为 所求最小值。

引申:若函数 在 上连续,则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。 对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化:

( I )求出 的导数为 0的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);

( II ) 计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值, 从中获得所求 最大值与最小值。

(3)最值理论的应用

解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为:

( I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的 函数关系;

( II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;

( III )检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如 果所得函数在区间内只有一个点 满足 ,并且 在点 处有极大(小)值, 而所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。

四、经典例题

例 1、 设函数 在点 处可导,且 ,试求

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) (为常数)。

解:注意到

当 )

(1) ; (2

)

=A+A=2A

(3)令 ,则当 时 ,

∴

(4)

点评:注意 的本质,在这一定义中,自变量 x 在 处 的增量 的形式是多种多样的,但是,不论 选择哪一种形式,相应的 也必须选择相 应的形式,这种步调的一致是求值成功的保障。

若自变量 x 在 处的增量为 ,则相应的 ,

于是有 ;

若令 ,则又有

例 2、

(1)已知 ,求 ;

(2)已知 ,求

解:

(1)令 ,则 ,且当 时, 。

注意到这里

∴

(2)∵

∴

①

注意到 ,

∴由已知得 ② ∴由①、②得

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