红绿灯里的那个黄
范文一：参数方程复2
高二级文科数学科学案
第 10 周第 43课时 课题：参数方程复习课2
编写：李亚娟 编写时间：2012-3-19 使用时间：2012-4-11学案编号：38审核： ＿＿＿班＿＿＿组 姓名＿＿＿＿＿ 组评：＿＿＿＿＿ 师评：＿＿＿＿
学习目标：1，熟记直线，圆，椭圆，双曲线的参数方程及其它们参数的几何意义
2，用代数法，三角恒等式消参将参数方程化成普通方程
学习重点：会将参数方程化成普通方程 学习难点：参数方程与其他知识的整合 一：归纳本章知识点：
二：综合训练： 1．直线l 的参数方程为?
?x =a +t ?y =b +t
(t 为参数) ，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a , b ) 之间
的距离是（ ）A ．t 1 B．2t 1 C
1 D
1
1?
x =t +?
2．参数方程为?t (t 为参数) 表示的曲线是（ ）
?y =2?
A ．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
1?
x =1+t ?2?22
3．
直线?则AB 的中点坐标为（ ） (t 为参数) 和圆x +y =16交于A , B 两点，
?y =-??2
A ．(3,-3) B
．(3) C
．-3) D
．(3,
??x =t 为参数) 等价的普通方程为（ ） 5
．与参数方程为?
??y =A ．x +
2
y
2
4
=1 B．x +
2
y
2
4
=1(0≤x ≤1)
C ．x +
2
y
2
4
=1(0≤y ≤2) D．x +
2
y
2
4
2
=1(0≤x ≤1, 0≤y ≤2)
6．直线?
?x =-2+t ?y =1-t
(t 为参数) 被圆(x -3) +(y +1) =25所截得的弦长为（ ）
2
A
．40
三：直击高考：
14
C
7．（2010年高考重庆卷文科8）若直线y =x -b 与曲线?的公共点，则实数b 的取值范围为（ ） （A
）(2-
?x =2+cos θ, ?y =sin θ
（θ∈[0,2π) ）有两个不同
（B
）[2-
(2+
+∞) （D
）(2-
2+2+
（C
）(-∞, 2-
?x =cos α, 8．（2010年高考陕西卷文科15）（坐标系与参数方程选做题）参数方程?（α为参数）
y =1+sin α?
化成普通方程为
1?
?x =1-
9．曲线的参数方程是?t (t 为参数,t ≠0) ，则它的普通方程为 。
?y =1-t 2??x =3+at
(t 为参数) 过定点 。 10．直线?
?y =-1+4t
11．点P(x,y)是椭圆2x +3y =12上的一个动点，则x +2y 的最大值为 12．设y =tx (t 为参数) 则圆x +y -4y =0的参数方程为
x
2
2
2
22
13．点P 在椭圆
16
+
y
2
9
=1上，求点P 到直线3x -4y =24的最大距离和最小距离。
四，课堂小结： 五、我的收获： 六、我的疑惑;
范文二：复共线联立方程模型参数的修正间接岭估计.doc
复共线联立方程模型参数的修正间接岭估计
摘要 在结构方程恰好被识别时，研究了外生变量设计矩阵X复共线时联立方程模型的参数估计问题，提出了参数的一种修正间接岭估计方法，并证明了这种参数估计的良好统计性质，最后给出了在修正间接岭估计均方误差最小意义下岭参数的一种选择方法.
关键词 联立方程;参数估计;间接岭估计;岭参数
中图分类号O212文献标识码A
1引言
联立方程模型的参数估计问题是理论计量经济学的重要内容，Engle 和 Kroner [1]1995年提出在不考虑异方差扰动的条件下，用二阶段最小二乘(2SLS)和三阶段最小二乘(3SLS)估计模型的参数;Chuanming Gao
和Kajal Lahiri [2]于2001年又提出了双-k类估计; Emma M. Iglesias
和Garry D.A. Phillips[3] 2005年对2SLS、有限信息最大似然估计(LIML )和 3SLS 估计进行了理论和模拟研究;还有完全信息最大似然估计(FIML)和间接最小二乘估计(ILS)[4].在结构方程恰好识别时，间接最小二乘法(ILS估计)是估计结构方程参数的重要方法.但是当外生变量的设计矩阵出现复共线时，用间接最小二乘法估计的参数性质变得很差.本文提出一种参数的修正间接岭估计方法，首先推导出参数的估计公式，然后对它进行了修正，使其修正后的估计值具有良好的统计性质，并证明了这些性质.最后给出了在修正的岭估计均方误差最小意义下的一种
岭参数的选择方法.
2模型概述与符号表示
联立方程模型的结构方程的矩阵形式为
证毕
综合定理1，定理2，和参数间接最小二乘估计相比，修正的间接岭估计使估计参数的各分量缩小，并且使其均方误差缩小.
5岭参数的选择
考虑在估计参数的均方误差最小意义下来选择岭参数k，而这个均方误差是联立方程中所有方程的估计参数的均方误差，记作F(k).由定理2可知
k)最小的意义直接推导出岭参数k是比较困难的，为此，可 要在F(
以考虑利用均方误差F(k)的曲线[5](以岭参数k为横坐标，均方误差F(k)为纵坐标)，通过观察均方误差曲线，选择使F(k)最小的岭参数k(一般选择使F(k)取得极小值的最小的k或者使F(k)稳定的最小的k).不过在上式的F(k)中还含有未知的Var(Yi)=σ2iIn和各个方程的系数真值Qi，这可以用各方程系数的最小二乘估计il来代替Qi，再把计算出的il代入第i个方程求出2i 来代替σ2i.这样，上式F(k)的右边只有一个变量k了，就可以根据均方误差曲线按前面所说的方法来选择岭参数k.若il与Qi差异很大，可以考虑用参数的第一次岭估计(1)iak代入F(k)，用上述方法再次选择k，进行第二次岭估计，这样迭代下去，直到连续两次岭估计的差异很小，停止迭代，得到参数的岭估计.
6数值模拟
构建恰好识别的联立方程模型
用(12)对Y1，Y2进行估计，估计值如表1所示，从图1可以看出用间接最小二乘估计的模型拟合效果很好，拟合线几乎完全重合.
下面用修正的间接岭估计公式(7)重新对模型(11)进行估计首先利用模型参数的均方误差曲线F(k)选择岭参数k， 从图2的均方误差曲线F(k)可以看出，从k=0.1开始，F(k)下降的趋势平缓，参数的均方误差很小。不妨取岭参数k=0.1，用修正的间接岭估计方法(7)估计模型(11)，得模型中的参数分别为
从图3上观察第一个模型的拟合效果没有模型(12)的第一个模型拟合效果好难道修正的间接岭估计方法没有间接最小二乘估计方法优越吗,肯定不是，如果把模型(12)和模型(13)的参数与模型参数的真值进行比较就会发现，用修正的间接岭估计
的模型参数比用间接最小二乘估计估计的模型参数更接近模型参数的真实值，这一点在图2中也能清楚看到，参数间接最小二乘估计的均方误差远大于参数修正间接岭估计的均方误差.可见当联立方程模型外生变量的设计矩阵复共线时，参数的修正的间接岭估计优于参数间接最小二乘估计.
6结束语
从以上分析可以看出，文章对外生变量设计矩阵X复共线的联立方程模型在方程恰好识别时提出一种参数的修正间接岭估计方法，推导出了估计公式，并且这种参数估计是间接最小二乘估计的一种压缩估计，其均方误差也比间接最小二乘估计的均方误差小，通过数值模拟也验证了上述结
论，参数估计效果优于间接最小二乘估计.
参考文献
[1]Robert F ENGLE ， Kenneth F KRONER. Multivariate simultaneous generalised ARCH[J]. Econometric Theory，1995， 11
(1):122-150.
[2]Chuanming GAO， Kajal LAHIRI. A note on the double kclass estimator in simultaneous equations[J]. Journal of Econometrics，
2001， 108 (1):101-111.
[3]Garry D A PHILLIPS， Emma M IGLESIAS. Simultaneous equations and the validity of instrumental variables under conditionally heteroscedastic disturbances[M]. London :ESWC ， 2005.
[4]童恒庆.理论计量经济学[M] .北京:科技出版社，2005:373-403.
[5]童恒庆.经济回归模型及计算[M].湖北:科学技术出版社，1997.
范文三：带参数刚性常微分方程复特征值问题和应用
带参数刚性常微分方程复特征值问题和应用
顾丽珍, 杨晓峰, 唐 云
( 清华大学 数学科学系, 北京 100084)
摘 要: 研究圆 Co ue t te 系统的动力学特性, 其数学模型是 两个独立反向旋转的同轴圆筒间的流体, 随筒 一个2方程带参数的复特征值问题。 通过摄动 N av ie rS to k e s 的转动呈现不同的流动状态, 称此系统为圆Co u e t te 处理, 线性化和分离变量法等把它转化为一个带参数常微分 系统。近一个多世纪来, 各国科学家从理论和实验对 方程组的复特征值问题。提出了带参数刚性常微分方程复特 圆 系统流体的流动特性作了很多研究.Co u e t te 征值问题的数值方法, 特别是解决了其中常微分方程初值问 1, 2 等利用数值模拟的方法, 进行数 L an gfo rd 题其初始条件的正确提法。数值计算成功地算出了当外筒低
值计算并对实验结果进行分析。 在内外筒半径之比
分别为 0. 5, 0. 736, 0. 8 和 0. 883, 且中等转速情况( ) 速旋转 - 41时, 轴对称和非轴对称刚性系统 60< r="" e2="">< -="">
下, 他们提供了从 流转换时的 Co u e t te R eyno ld s 的失稳临界值; 验证和解释了内外筒直径比为 0. 691 时实
数, 波数和波速。 但没有给出外筒 数绝对 R eyno ld s 结 验呈现的第一次失稳是螺旋涡而并非 T ay lo r 的新现象; 值较小、零和较大时的双临界数值结果。1990 年中 ()() 果揭示了外筒低速 - 300 60< r="" e2="">< -="" 41和高速="" r="" e2?="" -="">
旋转时圆 Co ue t te 系统呈现的刚性特性。 3 , 国天津大学所做的圆 Co u e t te 系统的实验表明 关键词: 刚性常微分方程; 带参数复特征值问题; 2N av ie r
方程; 圆 系统;S to k e s Co ue t te 在内外筒半径之比为 0. 691, 筒长与筒间距之比为
17, 且外筒转速较小的情况下, 系统第一次失稳出 中图分类号: 241. 8O 现的是螺旋涡而并非像通常实验出现 涡的 T ay lo r
() 文章编号: 100020054 20011220005204 文献标识码: A 新现象, 螺旋涡流通常只有外筒转速较大时, 才作为
第一次失稳出现。
针对以上提出的两个问题, 本文研究了系统的 Com p lex e igen va lue problem w ith param e ter s 刚性特性和提出了求解刚性系统带参数常微分方程 f or st if f ord ina ry d if f eren t ia l equa t ion s 复特征值的数值方法。 GU L izhe n, YANG X ia ofe ng , TANG Yun
(D epar tm en t of M a thema t ica l Sc ien ce s, Ts in ghua Un iver s ity, 数学模型1 )Be ij in g 100084, Ch ina 描 述 圆 系 统 的 基 本 方 程 是 2Co u e t te N av ie r A bstrac t: T h is p ap e r stud ie s th e dynam ic p rop e r t ie s o f a c ircu la r 方程: S to k e s Co ue t te sy stem. It s m a th em a t ica l m o de l is a com p lex e igenva lue
p ro b lem fo r th e N av ie r2S to k e s equa t io n s w ith p a ram e te r s. T h e 9u 1 2 ) (=Μ u - u u - p , Θ 9 t p ro b lem can be t ran sfo rm ed to a com p lex e igenva lue p ro b lem o f ()1 ()com p lex OD E s o rd ina ry d iffe ren t ia l equa t io n s. N um e r ica l u = 0. m e tho d s w e re u sed to so lve th e p a ram e t r ic com p lex e igenva lue fo r 3 ) ( 其中: t?R, 为时间变量; r = r, Η, z ?R , 为空间 th e st iff OD E s. T he in it ia l co nd it io n w a s se lec ted fo r th e in it ia l va lue T p ro b lem o f th e OD E in th e num e r ica l so lu t io n. Som e b i2c r it ica l ( ) () 变量; u = u r , t= u , v , w , 为流体在 r 处 t 时刻 po in t s w e re succe ssfu lly com p u ted fo r th e low sp eed o u te r cy linde r 的速度向量; ( ) p = p r , t, 为流体在 r 处 t 时刻的压 ( ) - 41in a st iff sy stem. Som e new p h enom ena w h ich 60 < r="">< -2="" 力函数;="" 为流体的密度;="" 为流体的粘性系数。="" 流="" θμapp="" ea="" red="" in="" exp="" e="" r="" im="" en="" t="" s="" w="" ith="" rad="" ii="" ra="" t="" io="" 0.="" 691="" w="" e="" re="" ve="" r="" if="" ied="" and="">
体在内, 外筒壁边界处的速度与圆筒的速度相同。ana lyzed. T h e lo ca l st iffne ss o f the c ircu la r Co ue t te sy stem w a s ( fo und to o ccu r w h en the o u te r cy linde r ro ta te s a t low e r sp eed s - 60
)< 300.="" r="">< -="" 4)="" o="" r="" h="" igh="" e="" r="" sp="" eed="" s="" (r="" e?="" -="" 2="" 2收稿日期:="" 2000212221="" ()="" (="" )key="" words:="" st="" iff="" o="" rd="" ina="" ry="" d="" iffe="" ren="" t="" ia="" l="" equa="" t="" io="" n="" od="" e="" ;="" p="" a="" ram="" e="" t="" r="" ic="" 基金项目:="" 国家自然科学基金资助项目19990510="">
com p lex e igenva lue p ro b lem ; N av ie r2S to ke s equa t io n s; ( ) ( ) 作者简介: 顾丽珍19382, 女汉, 江苏, 教授。
c ircu la r Co u t te sy stem
清 华 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) ()2001, 41 12 6
() 将式 1量纲化为 1, 再用摄动理论将该模型线 e t te 系统中性稳定情况, 即 Ρ= 0 和 Ρ= iΞ 情况。 性化 。设 为内筒半径, 为外筒半径, = - 为 a b d ba 数值方法2 筒间距, = 为内外筒半径比, 内筒角速度,/Γa b 8 1 () 设 = 0, = 0, 这时问题 2变为:ΡΡm
8 2 为外筒角速度。 重新定义长度, 速度和时间的单( ) u ′= A r, Γ, Ρk , R e2 , R e1 u ,( ) 位把方程 1量纲化为 1, 把筒间距 作为长度单 d ()3 2 ( ) ( ) B u ra = B u rb = 0. 位, 内筒速率 作为速度单位, 比值 作为时 /a 8 1 d Μ
间单位。再定义 = /为内筒 , R e1 a 8 1 d ΜR eyno ld sR e2 其中: 6×6T 6( ) ?R , ?R , u = U , V ,W , X , Y , Z A = a 8 2 d Μ为外筒 R eyno ld s。进而研究量纲化为 1 / I 3 O Γ 1 6×6 且和线性化后偏微分方程的渐近稳定性。 为此, 将 a B = R, r = , rb = . ?1- Γ 1- Γ O O 3×3 , , 和 分离变量为 u v w p
) (i Ρz + ΡΗ+ Ρt 当给定 Γ 和 R e2 时, 对每一个 Ρk , 求解单参数 ) (i Ρ+ ΡΗ+ Ρtz k m k m ( ) U ( r) e , V re u = v = () 问题 3, ( ) 从而得 Π 得参数 R e1 和相应解向量 u r, i) (Ρ+ + ΡΗ + Ρt i Ρ+ ΡΗ+ Ρt z z k m k m 2 ( ) w = W re , P ( r) e , p = () 到Ρk , R e1 曲线, 其中最小的 R e1 就是待求的线性 其中: , 可能是复数, 为轴向波数, 为特征值Ρ Ρk Ρm( ) 失稳临界量。 对问题 3, 选用打靶法和拟牛顿法,为周向波数, 轴对称情况 = 0, 非轴对称情况 Ρm Ρm) 求出每个 每算出三组 ( , 用 1 Ρk 对应的 R e , Ρk , R e1 为正整数。 再将 从方程组中消去, 得到如下分离 p 一遍二次插值, 从而得到最小的 R e1 和对应的 Ρk c。 变量后的带参数一阶常微分方程组复特征值问题: ( ) 当用打靶法和拟法求解问题 3时, 相 N ew to n )(ΡkW U ′= - Ρm rV , i /- U r + / 应的初值问题是 V ′= - V r + /Y , ( ) u ′= A r, Γ, Ρ, R e, R eu ,k 2 1 W ′=()Z , 4 T T ) (( ) () s, 0, u r= 0, 0, 0, s, s, s=a 1 2 3 2 2 2 (( )ΡU + Ρr+ Ρ)U - /X ′= 2C rV + m k 6×6 6 T 3 ) (其中: 记初A ?R, u ?R, s = s1 , s2 , s3 ?R, 2 )(( )iΡm [ 2rV + /C rU , ( ) ( )值问题 4的解为 u r, R e1 , s 。打靶法就是选取合 ()2 2 2 (Y ′= )ΡV + 2Ρm /r+ Ρ V - 2D U + k () 适的初始向量, 使初值问题 4的解向量满足边值问 2 (iΡm - )( )rU + C rV 2/+ ( ) ( ) ( ) ( ) 题 3的右端边界条件 U rb = V rb = W rb = 0,
()) (Ρk rW rX , /1/- 即满足方程2 2 2 )(() Z ′= ΡW + Ρr+ 2ΡW /1rZ - /- m k ) ( ) <( r="" e1="" ,="" s="C" u="" rb;="" r="" e1="" ,="" s="0," 3×6="" 3ρkx="" +="" iρm="" -="" ()(="" )]="" ρk="" v="" c="" rw="" +="" (="" )="" 其中:="" c="I" 3="" ,="" o="" 3×3="" ,="" <?r。上述方程是关="">
: 边界条件 于 R e1 和 s 的 4 个未知量的 3 个隐式方程组。 另加
( ) ( ) ( ) U ra = V ra = W ra = 0, 规 范 化 的 条 件: 一 个 使 s ‖ s ‖2 = 1, 即 s3 =
( ) ( ) ( ) U r=V r=W r=0, b b b 2 2 T δ δ T ) ) (() (s1 , s2 , s = s, s3 , 从而有 1- s+ s。令 s = 1 2 其中:
含 3 个未知量的 3 个隐式非线性方程组 () ra = Γ1- Γ, /δ() ()
在 m > 0 的情况下, 我们仍然关心中性稳定曲 Ρ) () ( = - /1+ > 0,D ΓR e1 R e2 Γ
它是() ( ) 线, 这时 Ρ= iΞ Ξ 为轴向波速, 将其代入 2, 2 (Γ ) () ()[ Γ/1- Γ] R e1 - ΓR e2 1- /( ) C r= - D + , 2 一个 6 维一阶带参数复常微分方程组特征值问题, r
需要同时求解参数 和复特征值 。为便于数值 R e1 iΞ 其 中: 为 内 筒数, 为 外 筒R eyno ld s R e1 R e2 研究和计算, 将方程组中的每个函数的实部和虚部 () R eyno ld s 数。式 2中的导数均为对 r 求导。当 Ρm = 分离, 使 6 维复方程组写成一个 12 维的一阶带参数 0 时, 流体的流动为轴对称; 当 > 0 时, 流体的流 Ρm 实常微方程组:
动为非轴对称。 ( ) v ′= A r, Γ, Ρ, R e; R e, Ξv ,k 21
至此, 对于给定的 , 和 , 描述圆 Ρm Ρk R e2 Co u2()6 ) ( ( ) B v ra = B v rb = 0, 系统的 2偏微分方程组复特征值 e t te N av ie rS to k e s
12×12 ) () ((() 其 中: v = R e U , Im U , 问题已化为具有参数 和特征值 = A ?R, R e V , 的复常微R e1 ΡiΞ
) () () () (() 分方程组特征值问题。我们特别感兴趣的是圆Co u2 Im V , R e W , Im W , R e X , ,Im X
带参数刚性常微分方程复特征值问题和应用 顾丽珍, 等: 7
T 12 ) ) () () () (Im Z ?R , R e Y , Im Y , R e Z , B = 这是一个含 6 个未知量的 6 阶隐式非线性方程组。
( ) I 6 O 对 于非线性方程组 9, N ew to n 法的计算公 12×12 ?R。 式是O O 6×6 ()() n () n n ()()J x ?x = -
) () () R e1 曲线, 其中最小的 R e1 就是 Ρm > 0 情况下的失 其中 J x 是
δ() 稳临界量。 对两点边值问题 6, 仍然选用打靶法和 )(9
()7 导数, 分别得 ,uR e u Ξ, v i 满足的初值问题: 1 T 12×12 12 T ′u. ( ) ()A u+A u ,= ReR eR euR era = O 6 , s 1 1 其中: ) 1 (A ?R, u ?R, s = s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 ? 1
6 ( ) ( )()R, 记初值问题 7的解为 u r; R e1 , Ξ, s 。选取合 10
T ( ) 适的初始向量 ?, 使初值问题 7的解向量满足 ′s O u = .A u Ξ + A Ξu , ( ) ()( ) u Ξ ra = O 6 , s Ξ11 () 边值问题 6的右端边界条件: T ′ )v ( ) (A s u , si /sq , 0 v i ra = O 6 , e i , , - = A v +i i i (( ) ) (( ) ) (( ) ) R e U r= Im U r= R e V r=b b b ()12 i = 1, 2, 3, 4. (( ) ) (( ) ) (( ) ) Im V rb = R e W rb = Im W rb = 0, 其中: A R e , A Ξ, A s 分别为 A 对 R e1 , Ξ, si 求偏导数; 1 i 即满足方程
O 6 为六阶零向量; ei 为四阶单位向量, 其第 i 个分 () ( ) ()R e1 , Ξ, s = C u rb; R e1 , Ξ, s = 0, 8 <( )(="" )="" 量为="" 1,="" 其余分量为="" 0。求解初值问题="" 10,="" 12,6×12="" 6="" )="" (="" 其中="" c="I" 6="" ,="" o="" 6×6="" ,="" <?r,="" 上述方程是关="" δ可得到="" 阵="" ()="" (,="" ,="" )="" j="" aco="" b="" i="" j="" x="J" r="" e1="" ξs。于="" ,="" ,="" 的="" 8="" 个未知量的="" 6="" 个隐式方程组。="" 除了="" r="" e1="" ξs="">
系统的刚性特性3 加一个使 规范化的条件之外, 还需再加一个条件。s
( 当外 筒 为 中 等 大 小 - 198. 68 <>
) - 73. 79时, 上述数值方法中, 若用 4 阶精度的单步 常微分方程复特征值问题
法或多步法求解初值问题这一步, 都可使整个算法 L u = Κu ,
顺利地求出双临界点。但当 的绝对值较小, 甚至 R e2 其中: L 是微分算子, Κ是复特征值, u 是相应的复
iΗ为 0 时, 计算极不稳定, 不能收敛到失稳临界量。 本 特征向量。 设= , 有 v e u
iΗiΗ文揭示了这时系统呈现的刚性现象, 且研制了适合 () L v = L e u = eΚu = Κv ,
于求解刚性常微分方程复特征值问题的算法, 从而 说明也是对应于 的特征向量, 特征向量不唯v Κ
获得了 的绝对值较小时系统失稳临界数据。 R e2 一。 为此, 指定某个特征向量的一个方向作为求解
考虑常系数线性系统 隐式
( ) 方程组 8的补充条件。 比如, 固定 , , 中任意 X Y Z dy ( ) ( ) =()A y t+
清 华 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) ()2001, 41 12 8
其中对应于特征值实部为绝对值很大负数的解, 称 = 0. 691。对于给定的 R e2 值, 再设定 Ρk , R e1 , Ρm 和
为快瞬态解; 对应于特征值实部为绝对值很小负数 , 那么系数矩阵是随 变化的矩阵函数。对于 值Ξ A r
的解, 称为慢瞬态解。 每个 , 为常数矩阵, 相应有一个刚性比。 图 1 显 rA
( ) 13 中, 如果 线 性 系 统 A 的 特 征 值 的 实 部 示了 = 55, 60, 65, 300 系统的刚性性质。 从图看 R e2
) () (m , 刚性比 g = , R e Κj < αj="" 小的正数,="" j="1," 2,="" 出,="" 刚性比最大可达到="4" 000μ="" 10,="" 且刚性比很大="">
() ) (m ax R e Κj m in R e Κj μ 1, 相对于 A 的绝 /处, 即图形突起处, 很窄。对于不同的, 刚性比很R e2 1?j ?m 1?j ?m
大的区间位置还不同。要取足够的空间点, 才能捕捉 对值最大的负实部特征值, 问题的解变化是缓慢的,
到图形的突起部分, 才能发现系统的刚性性质。数值 则称此系统为刚性系统。
试验揭示了系统在外筒 较小或较大时, 系统呈 R e2 () () 系统 4和7均为齐次线性系统。取文3 的实 现刚性。 验工况来研究系统的刚性特性。 取内外筒半径比 Γ
图 1 系统的刚性性质
用第 2 节中所述的求解带参数刚性常微分方程 = 0. 691 物理实验出现的新现象。 Γ复特征值问题的数值方法时, 对于其中刚性常微分
) ( 方程初值问题, 适合选择 稳定的或 稳定的A A Α
4 或刚性稳定的数值方法稳定的梯形, 本文选用A
( ) ( ) 公 式分别计算常微分方程组初值问题 7, 10, ( ) () 11和 12, 成功地解决了外筒 数绝对值 R eno ld s
较小情况下, 刚性圆 系统的失稳临界量计 Co u e t te
算问题。 计算结果见图 2。
( ) 由图 2 可见, 当外筒转速小- 60??- 52R e2
时, 确实出现了 = 0 的比 = 1 的大的Ρm R e1 Ρm R e1 图 2 失稳临界量 事 实。这与天津大学物理实验中, 第一次失稳出现
螺旋涡而非 涡的实验结果相一致, 且的是 T ay lo r
()下转第 15 页 解释了
强旋转流场中的激波捕捉 聂先虎, 等: 15
波后压强分布不能和离心力场取得平衡, 在径向上
会出现指向内半径的流动, 它使中心处的气体密度
()上接第 8 页 有很大的升高。 - 1 图 3 给出了气体在 400 情况下支臂 U F 6 ms 4 结束语
附近的密度分布情况。 轴对称 系统是一个六阶实常微分方程 Co u e t te
组单特征值问题, 采用打靶法和求解非线性方程组
的拟 法, 容易求得其反映动力学特性的失 N ew to n
稳临界值。 而非轴对称 系统是一个六阶复 Co u e t te
常微分方程组带参数特征值问题, 用打靶法时, 常微
分方程组初始值的确定是个关键, 本文给出了初始
条件的正确提法且提出了带参数刚性常微分方程复
特征值问题的数值方法。 应用于圆 系统中Co u e t te
稳定的梯形隐式法确能解典型刚性问题时, 证明A
决常规方法无法解决的问题, SDLM M 法也是A 稳
定的, 比梯形法精度高。 数值试验揭示了外筒低速
()()- 旋转时, 300. 和高速 R e2? - 41 60< r="" e2="">< -="">
系统呈现的刚性特性。 成功地算出了当外筒低速旋
() 转- 60<>< -="" 52时,="" 轴对称和非轴对称刚性系="" r="" e2="" 图="" 3="" 支臂附近的密度分布="">
统的失稳临界值。 计算结果验证和解释了内外筒直
径比为 0. 691 时实验呈现的第一次失稳是螺旋涡而
并非 的新现象。对于- 52??0 和 ?T ay lo r R e2 R e2 结束语4
- 200 的轴对称和非轴对称刚性系统, 还需寻找更 本文采用二阶的 格式对离心机内部的强 TV D
旋转流场做了具体的研究, 计算中很好的捕捉到了 有效的数值方法, 有待进一步研究。 取料支臂前方的激波, 解释了这一区域的流动状况。
在旋转流场中的流动状况是和均匀流场中的流 动是
不一样的。在旋转流场中, 障碍物正前方形成正 激()参考文献 Ref eren ce s 波, 激波强度随着速度提高而增强。在没有障碍物 的
1 ] L angfo rd W F , T agg R , Ko ste lich E J , e t a l. P r im a ry 地方, 激波有两种变化, 在高密度区域将形成斜激 in stab ilit ie s and b ic r it ica lity in f low be tw een co un te r2ro ta t ing 波, 随着速度的提高, 斜激波的倾斜角变大, 激波强 ( ) cy linde r s J . P h y s F lu id s, 1988, 31 4: 776 785. 度会有所下降; 在低密度的区域, 由于存在质量通 2 ] Go lub it sk y M , L angfo rd W F. P a t te rn fo rm a t io n and 量从高密度区域向低密度区域流动, 这一部分气体 b istab ility in f low be tw een co un te r2 ro ta t ingcy linde r s J . 的密度有很大的升高, 虽然这一部分气体的密度升 P hy sica l D , 1988, 32: 362 392. 高的很大, 但在这一部分中的气体绝对密度还是很 王浩. 新参数下圆 Co ue t te 系统中流体流动性质的实验研究 3 ]
D . 天津: 天津大学, 1996. 低的。
W A N G H ao. E xp e r im en ta l S tudy in th e P rop e r t ie s o f F lu id
F low in th e C ircu la r Co ue t te Sy stem w ith N ew P a ram e te r s
( )D . T ian jin: T ian jin U n ive r sity, 1996. in C h ine se
( ) 4 ] 李庆扬. 常微分方程数值解法 刚性问题和边值问题M . ()参考文献 Ref eren ce s 北京: 高等教育出版社, 1991.1 ] TA KU YA M a t suda, N A O K I T am u ra, KE ISU KE Saw ada. L I Q ingyang. N um e r ica l So lu t io n o f O rd ina ry D iffe ren t ia l T h ree2d im en sio na l num e r ica l sim u la t io n o f f low s p a st scoop s () E qua t io n S t iff P ro b lem and Bo und ry P ro b lem M . in a ga s cen t r ifuge J . J F lu id M ech , 1987, 201: 203 221. ( )B e ijing: H igh e r E duca t io n P re ss, 1991. in C h ine se 2 ] Ro e P L. A pp ro x im a te R iem ann so lve r s, p a ram e te r vec to r s, 奥特加 J M , 莱因博特W C. 多元非线性方程组迭代解法 5 ] and d iffe rence schem e s J . C om p u t P h y s, 1981, 43: 357 M . 北京: 科学出版社, 1970.372. O r tega J M , R he inbo ld t W C. Ite ra t ive So lu t io n o f N o n linea r 3 ] Yee H C. U pw ind and symm e t r ic sho ck 2cap tu r ing sch em e s E qua t io n in Seve ra l V a r iab le s M . B e ijing: A cadem ic R . N A SA T ech n ica l M em o randum , 89464. 1987205. ( )P re ss, 1970. in C h ine se
范文四：参数方程
{{参数方程 }}
在给定的平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x , y )都是某个变数 t 的函 数 x=f(t),y=φ(t)—⑴;且对于 t 的每一个允许值, 由方程组⑴所确定的点 m(x, y )都在这条 曲线上,那么方程组⑴称为这条曲线的参数方程,联系 x 、 y 之间关系的变数称为参变数, 简称参数。
第十七章 不等式选讲
{{不等式的性质和绝对值不等式}}
(1)解绝对值不等式的基本思想
解绝对值不等式的基本思想是去绝对值,常采用的方法是讨论符号或平方,例如:
(i )
22 0, ||; a x a a x a x a ><><><若>
(ii ) |() |() () () (); f x g x g x f x g x <>
(iii ) |() |() () () () (); f x g x f x g x f x g x >?><>
(2)注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题
||||||||||||;||||||||||||
a b a b a b a b a b a b
-≤+≤+-≤-≤+,并指出等号成立的条件。 {{不等式的证明}}
一.比较法(作差比较,作商比较)
例 1.已知 x<><0,求证 (x2+y2)(x-y)="">(x2-y2)(x+y).
证明:∵ (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y)>0
∴ (x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
例 2.已知 a>b>c,求证 a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.
证明:∵ (a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)
=a2(b-c)+a(c2-b2)+bc(b-c)
=(b-c)(a2-ac-ab+bc)
=(b-c)[a(a-c)-b(a-c)]
=(a-b)(a-c)(b-c)>0
∴ a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.
例 3.已知 a , b>0, a ≠ b ,求证 aabb>abba.
证明:
b a a
b
b
a
a
b
b
a
) b a ( b
a
b
a
b
a --
-=
=
.
当 a>b>0时, a-b>0,
1
b
a
>
∴上式 >1;
当 b>a>0时, a-b<0,>
1
b
a
∴上式 >1;
∴ aabb>abba.
(注意:作差法,比较差与 0的大小;作商法,比较商与 1的大小. )
二.综合法
例 4.已知 a , b , c>0,求证 c b a c ab b ca a bc ++≥++. 证明:∵ c 2b ca a bc 2b ca a bc =?≥+, 同理 a 2c ab b ca ≥+,
b 2a bc c ab ≥+, ∴ ) c b a (2) c ab b ca a bc (
2++≥++, 即 c b a c ab b ca a bc ++≥++.
例 5.已知 a , b , c>0, a+b+c=1,求证 8) 1c 1)(1b 1)(1a 1(≥---. 证明:) 1c 1)(1b 1)(1a 1(--- =
c c 1b b 1a a 1-?-?- =
c b a b c a a c b +?+?+ c 2b ac 2a bc 2??≥
=8
三.分析法
例 6.已知 a ≥ 3,求证 32a 1a a ---≤--. 证明:要证原式,只需证 2a 13a a -+-≤
-+, 即证 22) 21a () 3a (-+-≤-+
即证
) 2a )(1a (23a 2) 3a (a 23a 2--+-≤-+- 即证 ) 2a )(1a () 3a (a --≤-
即证 a2-3a ≤ a2-3a+2
即证 0≤ 2
因为上式成立,所以原式也成立.
四.换元法
例 7.已知 0<><1, a="" ,="" b="">0,求证 2
2
2) b a (x 1b x a +≥-+.
证明:方法一 . 令 x=sin2α,则 1-x=cos2α.
x 1b x a 2
2-+
=a2csc2α+b2sec2α
=a2(1+cot2α)+b2(1+tan2α)
=a2+b2+a2cot2α+b2tan2α
≥ a2+b2+2acotα·btan α
=(a+b)2
方法二 . 2
22222222) (1) 1()]1()[1(1b a x x b x x a b a x x x b x a x b x a +≥-+-++=-+-+=-+.
五.放缩法
例 8.已知 a , b , c , d>0,求证 2c a d d b d c c a c b b d b a a 1<>
. 证明:c a d d b d c c a c b b d b a a +++
++++++++ >1
b c a d d a b d c c d a c b b c d b a a =+++++++++++++++;
c a d d b d c c a c b b d b a a +++++++++++ <>
c d d d c c a b b b a a =+++++++.
例 9.求证 ) N n (, 2) 2n (n ) 1n (n 3222) 1n (n +∈+<><+ .="" 证明:)="" 1n="" (n="" 322+++?+?="">n n 221?++?+?
=1+2+… +n
=2)
1n (n +;
) 1n (n 322+++?+? <2) 1n="" (n="" 232221++++++="))]1n" (32()="" n="" 21[(21++++++++="]2)" 3n="" (n="" 2)="" 1n="" (n="" [21+++="">
2n (n +.
练 1.已知 x , y>0,求证 y 1y x 1x y x 1y x ++
+<>
练 2.求证 n
2n 1
1
211n <>
≤ .
练 3.求证 2n 131211222<>
.
六.反证法
例 10.已知 p3+q3=2,求证 p+q≤ 2.
证明:假设 p+q>2,
则 (p+q)3>23,
即 p3+3p2q+3pq2+q3>8,
即 p2q+pq2>2,
即 p2q+pq2>p3+q3,
即 pq(p+q)>(p+q)(p2-pq+q2),
即 pq>p2-pq+q2,
即 p2 +q2<2pq,与 p2="" +q2="">2pq矛盾,所以 p+q≤ 2.
例 11.已知 f(x)=x2+px+q,求证
⑴ f(3)+f(1)-2f(2)=2;
⑵ |f(1)|, |f(2)|, |f(3)|中至少有一个不小于 0. 5.
证明:⑴ f(3)+f(1)-2f(2)=(9+3p+q)+(1+p+q)-2(4+2p+q)=2;
⑵假设 |f(1)|, |f(2)|, |f(3)|<0.>
则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<>
而 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>|f(1)-2f(2)+f(3)|=2,矛盾.
所以 |f(1)|, |f(2)|, |f(3)|中至少有一个不小于 0. 5.
七.判别式法
例 12.已知 a , b , c , d ∈ R ,求证 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2.
证明:当 a=b=0时,上式显然成立;
当 a , b 不全为 0时,
因为关于 x 的不等式 (ax-c)2+(bx-d)2≥ 0恒成立,
即 (a2+b2)x2-2(ac+bd)x+(c2+d2)≥ 0恒成立,
由△≤ 0,即得 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2.
综上所述 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2.
八.构造向量
例 13.已知 a , b , c , d ∈ R ,求证 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2. 证明:设向量 =(a, b) , =(c, d) .
≤, ∴ |ac+bd|≤ 2222d c b a +?+,
平方即得 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2.
九.构造函数
例 14.已知△ ABC 的三边长是 a , b , c ,且 m>0,求证 m c c m b b m a a +>
+++.
证明:令函数 f(x)=). 0x (, m x x >+
由 f(x)=, m x m 1m
x m m x +-=+-+知 f(x)在 (0, +∞ ) 上是增函数. ∵ a+b>c
∴ f(a+b)>f(c) ∴ m c c ) c (f ) b a (f m b a b a m b a b m b a a m b b m a a +=>+=+++=+++++>+++, 得 证.
例 15.已知 b>a>e,求证 ab>ba. 证明:令 ) e x (, x x ln ) x (f >=
,
0x x ln 1) x (f 2' <-=>
∴ f(x)在 (e, +∞ ) 上是减函数.
∵ b>a>e,
∴ f(b)<>
即
a a ln b b ln , ∴ alnb 参数方程精讲精练 一、直线的参数方程 ??? ?? 1. 2. 3. 二、圆的参数方程 ??? ?? 三、椭圆的参数方程 ??? ?? ??x =?1. （2016营口模拟）直线l 的参数方程是??y =?? 程为ρ=cos(θ+2（t 为参数），圆C 的极坐标方 +π 4) ， （1）求圆心C 的直角坐标； （2）判断直线l 与圆C 的位置关系. ?x =3-??22. （2010福建）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是?（t 为参数）, ?y =??2 在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ=θ， （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设圆C 与直线l 相交于A , B 两点，若点P 的坐标为，求PA +PB . ?x =4cos θ3. （2015沈阳一模）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是?（θ为参数）, y =4sin θ? 直线l 经过点P (1,2) , 倾斜角为α=π 6， （1）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与圆C 相交于A , B 两点，求PA ?PB 的值。 4. （2012长春联考）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方1?x =+t cos α2cos θ?程为?（t 为参数, 0<><π）, 曲线c="" 的极坐标方程是ρ="，" 22sin="" θ??y="t" sin=""> （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于A , B 两点，当α变化时，求AB 的最小值。 ?x =-1-3t 2t 为参数)与双曲线(y -2)-x 2=1相交于A , B 两点，P 点坐标为5. 已知直线l ：?(?y =2+4t (-1,2) . （1）PA PB 的值； （2）弦长AB ; （3）弦AB 的中点M 与P 间的距离. ?x =2+t x 2y 2 C :+=16. （2014全国1卷）已知曲线，直线l :?（t 为参数）, 49y =2-2t ? （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上的任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值和最小值。 7. （2014全国2卷）在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，θ∈?0, （1）求C 的参数方程； （2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l :y =+2垂直，根据（1）中得到的参数方程，确定点D 坐标。 ?π?， ??2? 8. （2015山西质监）在极坐标系中，曲线C 的方程是ρ=23πR (22, ) . ，点21+2sin θ4 （1）以极点为原点，极轴为x 正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标； （2）设P 为曲线C 上的动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标. 9. （2012全国卷）已知曲线C 1的参数方程为??x =2cos ?（?为参数）, 以O 为极点，x 轴y =3sin ?? 正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A , B , C , D 依顺时针次序排列，点A 的极坐标为(2, （1）求点A , B , C , D 的直角坐标； （2）设P 为C 1上任意一点，求PA +PB +PC +PD 的取值范围。 2222π3) ， ??x =α10. （2013长春第二次调研）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???y =sin α （α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 2的极坐标方程为 πρsin(θ+) = 4 （1）分别写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标。 11. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直 1?x =2-t ?2?线l 的参数方程是?（t 为参数）， ?y =1??（1）写出直线l 与曲线C 在直角坐标系下的方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换??X =x ' ' 得到曲线C , 设曲线C 上任意一点为M (x 0, y 0) ，求?Y =2y 0+ 1y 0的取值范围。 2 ??x =?2（为参数）12. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是?，以O 为极点，t ?y =??2 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ， （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的1，再将所得的曲线向左平移1个单位，得到2 曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值。 参数方程巩固测试卷 1. （2015南宁二模）已知直线l :??x =m +t cos α（t 为参数, α≠k π, k ∈ Z ）经过椭圆?y =t sin α ??x =2cos ?C :?（?为参数）的左焦点F ， ??y =? （1）求m 的值； （2）设直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，求FA ?FB 的最小值。 2. （2016大连模拟）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是??x =5cos θ（θ为参数）, ?y =5sin θ 直线l 经过点P (3,2) , 倾斜角为α=π 3， （1）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与圆C 相交于A , B 两点，求PA ?PB 的值。 3. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， ?x =t +m ??2直线l 的参数方程是?（t 为参数）, ?y =1t ??2 （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设点P (m ,0) ，若直线l 与曲线C 交于A , B 两点，且PA ?PB =1, 求实数m 的值。 4. （2012豫西五校联考）在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C :ρsin 2θ=2a cos θ(a >0) ，过点P (-2, -4) 的直线l 的参数方程是??x =-2???y =-4+??（为参数）, 直线l 与曲线C 相交于M , N 两点， t 2 （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若PM , MN , PN 成等比数列，求a 的值。 15. 平面直角坐标系中，过点P (，) 且倾斜角α的直线l 的参数方程为2 ?x =1+t cos α?(t 为参数) . ?1y =+t sin α??2 （1）当α=45 时，求直线l 的极坐标方程； x 2 （2）直线l 与椭圆+y 2=1相交于A , B ，求PA ?PB 的取值范围. 2 6. （2015石家庄一模）已知曲线C 1的参数方程为???x =2cos θ（θ为参数）, 以O 为极点，??y =θ x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 2的极坐标方程是ρ=2， （1）分别写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）已知M , N 分别为曲线C 1的上、下顶点，点P 为曲线C 2上任意一点，求PM +PN 的最大值。 7. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆C 1，直线C 2的 极坐标方程分别为ρ=4sin θ, ρcos(θ- （1）求C 1与C 2交点的极坐标； （2）设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为π4) = ?x =t 3+a ?，求a , b 的值。 ?b 3（t ∈R 为参数）?y =t +1?2 8. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设曲线C 的参 ?π?x =cos θ数方程是?（θ为参数），直线l 的极坐标方程是ρsin(θ-) =2， 6??y =θ （1）分别写出曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离。 9. （2009全国3）已知曲线C 1:??x =-4+cos t ?x =8cos θ（t 为参数），C 2:?（θ为参数）， ?y =3+sin t ?y =3sin θ （1）化C 1, C 2的方程为普通方程，并说明它们分别是什么方程； （2）若C 1上的点P 对应的参数t =π，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线2 ?x =3+2t （t 为参数）距离的最小值。 C 3:??y =-2+t 10. （2012沈阳四校联考）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1:x 2+y 2=1，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程是ρ(2cosθ-sin θ) =6， （1）将曲线C 1上的所有点的横坐标、 2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数过程； （2）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值。 11. （2014辽宁）将圆x +y =1上每个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的两倍，得到曲线C ， （1）写出C 的参数方程； 22 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极（2）设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1, P 2, 以 坐标系，求过线段PP 12的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程。 ?x =3cos θC 12. （2016安庆模拟）已知曲线的参数方程是?（θ为参数），在同一平面直y =2sin θ? 1?X =x ??3角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换?得到曲线C 1, 1?Y =y ??2 （1）求曲线C 1的普通方程； （2）若点A 在曲线C 1上，点B (3,0)，当点A 在曲线C 1上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程。 ?x =t cos α13. （2015全国2）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1:?（t 为参数，且t ≠0），其y =t sin α? 中0≤α<π，在以o 为极点，x="" 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c="" 2:ρ="2sin"> , C 3:ρ=θ， （1）求C 2与C 3交点的直角坐标； （2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值。 14. （2010全国卷）已知直线C 1:? 数）， （1）当α=?x =1+t cos α?x =cos θ（t 为参数），圆C 2:?（θ为参y =t sin αy =sin θ??π 3时，求C 1与C 2的交点坐标； （2）过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 15. （2013全国2）已知动点P , Q 都在曲线C :??x =2cos t （t 为参数）上，对应参数分别?y =2sin t 为t =α与t =2α（0<><2π），m 为pq=""> （1）求M 的轨迹的参数方程； （2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。 16. （2011辽宁）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是??x =cos ?（?为参数），y =sin ?? 曲线C 2的参数方程是??x =a cos ?（a >b >0, ?为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为?y =b sin ? 极轴的极坐标系中，射线l :θ=α与C 1, C 2各有一个交点，当α=0时，这两个交点之间的距离是2，当α=π 2时，这两个交点重合， （1）分别说明C 1, C 2是什么曲线； （2）设当α=π 4时，l 与C 1, C 2的交点分别为A 1, B 1, 当α=-π 4时，l 与C 1, C 2的交点分别 为A 2, B 2, 求四边形A 1A 2B 2B 1的面积。 17. （2013全国1）已知曲线C 1的参数方程是??x =4+5cos t （t 为参数），以坐标原点为y =5+5sin t ? 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2sin θ， （1）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （2）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ<> ??x =t 18. （2015南昌一模）已知曲线C 的参数方程是?（t 为参数）, ??y =t （1）若曲线C 在(1,1)处的切线为l ，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，求出l 的参数方程； （2）若点A 的极坐标为π 4) ，且当参数t ∈[0, π]时，过点A 的直线m 与曲线C 有两 个不同的交点，试求直线m 斜率的取值范围. 范文五：参数方程
