段友38605
范文一：柯西不等式的几何意义
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柯西不等式的几何意义和推广
3. 柯西不等式的几何意义
柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要。数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释。
22222(1)二维形式 ()()()abcdacbd，，,，
y
Q(c,d)
P(a,b)
xO
图3-1
OP如图，可知线段，及的长度分别由下面的式子给出: OQPQ
222222OPabOQcdPQacbd,，,，,,，,,,()() ,OP表示与的夹角。由余弦定理，我们有 OQ
222PQOPOQOPOQ,，,,2cos,
acbd，OPOQPQ将，，的值代入，化简得到cos, ,2222abcd，,，
2()acbd，220cos1,,,而，故有 ,cos1,,2222()()abcd，，
22222于是 ()()()abcdacbd，，,，
这就是柯西不等式的二维形式。
2,cos1,,我们可以看到当且仅当，即当且仅当是零或平角，亦即当且仅当
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在同一条直线上是时等号成立。在这种情形，斜率之间必定存在一个等OPQ,,
abcd,,0式;换句话说，除非，我们们总有. ,cd
2222222(2)三维形式 ()()()aaabbbababab，，，，,，，123123112233
对于三维情形，设是不同于原点的两个点，PaaaQbbb(,,),(,,)O(0,0,0)123123
OP,则与之间的夹角的余弦有 OQ
ababab，，112233 cos,,222222aaabbb，，,，，123123
2又由，得到柯西不等式的三维形式: cos1,,
2222222 ()()()aaabbbababab，，，，,，，123123112233
当且仅当三点共线时，等号成立;此时只要这里的都不是零，bbb,,OPQ,,123
aaa312就有 ,,bbb123
4. 柯西不等式的推广
前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的，在复数范围内同样也有柯西
不等式成立。
定理:若aaaa,,,,(,,)和bbbb,,,,(,,,)是两个复数序列，则有 12n12n
2nnn22 ， abab,()(),,,kkkk,,,kkk111
b当且仅当数列和成比例时等式成立。 a
,证明:设是复数，有恒等式
nnnnn2222 ababababab,,,,,，,,,,,,()()2Re(),,,,,kkkkkkkkk,,,,,11111kkkkk
2nn
abab,,kkkknn22,k1k,1b,0,,若(其中)，则有 ,,,,,0aba,,nkkkn22,,kk11bb,k,kk,1,k1----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有----------------------------------------------
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由此推出了复数形式的柯西不等式。
除此之外，我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。
01,,x定理1:若和是实数列，且，则 aaa,,,,(,,)bbb,,,,(,,)1n1n
nnn222 ()(2)(2)abxabaxaabxbb，,，，,,,,,,kkijkijkij,,,,,,111kijkijkij
x,0当时，这个不等式即为柯西不等式。
定理2:若和是正数序列，且或aaa,,,,(,,)bbb,,,,(,,)12,,,zy1n1n
，则01,,,yz
nnnnnnn2222222,,,,yyyyzzzz ()()()()()()()abababababab,,,,,,,,,,kkkkkkkkkkkk,,,,,,,1111111kkkkkkk
这个不等式实际上是Holder不等式的推论。
我们知道，当数列a和b取任意项时，柯西不等式均成立。对于所考察,,,,nn
ab的数列和具有偶数项时，我们就可以加细柯西不等式。 ,,,,nn
定理:若且是实数列，则 aaaa,,,,(,,,)bbbb,,,,(,,,)122n122n
222nnnn2222 ()()()[()]abababab,,,,,,,,,kkkkkkkk221212,,,,kkkk1111
对于柯西不等式，除了这种数列形式之外，还存在积分形式的柯西不等式。
g定理:设和是在上的实可积函数，则 f[,]ab
bbb222(()())(())(())fxgxdxfxdxgxdx, ,,,aaa
g当且仅当和是线性相关函数时等式成立。 f
b2(()())0tfxgxdx，,证明:对任意实数, 有 t,a
bbb222tfxdxtfxgxdxgxdx()2()()()0，，,即 ,,,aaa
bbb222？,,,,,(2()())4(())(())0fxgxdxfxdxgxdx ,,,aaa
bbb222(()())(())(())fxgxdxfxdxgxdx,,即 ,,,aaa
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这个不等式也称为Schwarz不等式。
除了在积分上柯西不等式有这种应用之外，在概率中也有类似的柯西不等式形式。
222EEE,,,,,,定理:对任意随机变量和都有 .等式成立当且仅当,,
.这里是一个常数。 Pt,,,,1t,,00
2222证明:对任意实数，定义; utEttEtEE()()2,,,,，,,,,,,t
显然对一切，，因此二次方程或者没有实数根或者有一个重根，ut()0,ut()0,t
222所以，. ()0EEE,,,,,,,
222此外，方程有一个重根存在的充要条件是.tut()0,()0EEE,,,,,,,0
2这时.因此，. Pt{0}1,,,,,Et()0,,,,00
有了这个结论，对于解决一些复杂的概率题时会有所帮助。 5. 结论
总之，柯西不等式作为数学不等式中一个基础而且重要的不等式，对解题时起了举足轻重的作用。它将两数列中各项积的和与和的积巧妙得结合在一起，使许多问题得到了简化。对它的探究为我们今后能够更好得学习数学有着很大的意义。
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范文二：柯西不等式的几何解释及应用
2009年第1期 福建中学数学 1
高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考（五）
柯西不等式的几何解释及应用
潘灿丽 陈清华1
1 福建师范大学数学与计算机科学学院（350007） 2福建省南安国光中学（362321）
《普通高中课程标准实验教科书·数学（人教A ∠CAD
[1]
版）》选修系列4-5的“柯西不等式”，相对于原《全
(a +d )(b +c ) ab cd 日制普通高级中学数学教学大纲》是新增内容，课=?? c
222标课程对“柯西不等式”的要求，主要是“认识柯西不
等式的几种不同形式，理解它们的几何意义.”笔者从
对教材的研读中，体会到编者在编写过程中突出强
化简即知不等式成立. 调不等式及其证明的几何意义及背景，关注学生逻
几何解释5（从三角公式入手）如图，构造两个辑思维能力和分析解决问题能力的提高. 据此，在教
学过程中，教师应尽量理解和把握其几何背景及蕴直角三角形，则sin A =，co s A =，
含的数学思想，尽可能借助几何直观来证明一些不
等式，从中领悟数形结合思想在研究不等式中的作sin B cos B
用，真正做到学以致用，也借此加强学生的探究能
由sin(A +B ) =sin A cos B +
力，感受数学的美妙，提高数学素养. 然而，如何探
究是值得思考的问题. 本文以柯西不等式的几何解释
cos
A sin B 为例探究不等式的美妙证明方法.
≤1，化简即知不等式成立. 1. 从教材内容谈起
几何解释6（从解析几何入手）把不等式变形为定理1（二维柯西不等式）若a 、b 、c 、d 都是实
数，则(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2，当且仅当ad = ≤，不等式的左端可以看成点bc 时，等号成立.
(c ，d ) 到直线ax +by =0的距离，教材在给出二维形式的柯西不等式（定理1）后，(0，0) 与点(c ，d ) 可看成点从余弦定理与向量入手诠释了柯西不等式的几何解
0) 而直线ax +by =0过点(0，释1（定理2），又从三角形不等式入手探究了柯西
难证得不等式. 不等式的几何解释2（定理3）笔者认为，在教学过2.2三维柯西不等式的几何解释 程中，还可以从不同角度继续引导学生探究其几何
受上述方法启发，学生不难探究出三维柯西不解释.
2. 柯西不等式几何解释再探究
2.1二维柯西不等式的几何解释
由(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2，即|ac +bd |
1，2
等式(∑a i b i ) 2≤(∑a i 2)(
∑b i 2)
i =1
i =1
i =1
333
因此我们不妨把a 、b 、c 、d 看
作正数.
几何解释3（从
矩形面积入手）如图
构造矩形，易得
ac +bd =θ，故不等式成立.
几何解释4（从三角形面积入手）如图，构造 Rt ?ABC 和Rt ?ADE ，B 、A 、
E 在一条直线上，这两个三角形就拼成了一个直角梯形.
由S ?ACD =S 梯形BCDE ?S ?ABC ?S ?ADE 得，
的几何解释：如图，建立空间 直角坐标系，构造平面α：
a 1x +
a 2y +a 3z =0， 点P (b 1，b 2，b 3) 到平面α的 距离是d 1
O (0，0，0) 与点
P (b 1，b 2，b 3) 间的距离是d 2=O (0，0，0) 在平面α内. 显然平面α外一点P 到平面
α的距离d 1不大于P 点与平面内任意一点间的距离.
3.“柯西不等式几何解释”思想的应用
2 福建中学数学 2009年第1期
不等式的证明方法灵活多变，综合性强. 不少不等式的证明如果用常规的代数方法，要么无从下手、要么过程繁琐，但若针对题设条件展开联想与探究，进而构造与条件相适应的几何图形，赋予其“几何解释”，则往往可使问题迅速解决. 受上述几何图形构造方法的启发，笔者认为可将构造几何图形证明不等式分为以下几个方面.
3.1构造平面图形证明不等式
例1 已知a 、
b 、c 都是正数，求证：
1
时成立. n
这种证法在数学竞赛中也经常出现，如（第24届全苏奥林匹克竞赛试题）：
若正数a 、b 、c 、l 、m 、n 满足条件a +l =b +m 仅当a 1=a 2=... =a n =
=c +n =k ，求证：am
+bn +cl
例3 若m 、n 、p 都是正数，且m 2?p 2+n 2=0，m +n
. 求证：p 分析与探究：
（从三角公式入手）本题若用代数方法证明，则难以下手；若构造一个三角形，利用勾股定理，问题就迎刃而解了.
证明：如图构造直角三角形，则m =p sin A ，
分析与探究：（从三角形不等式入手）结论表述
三个被的内容跟“三角形两边之和大于第三边”相似，
开方数都可看作是运用余弦定理的结果. 原不等式中含有a 2+b 2+ab 的形式，据余弦定理：
c =a +b ?2ab cos C ，要得到a +b +
ab 的形式，只要C
=120°可以看成是以a 、b 为两边的长，且这两边的夹角为
120°的三角形的第三边的长，依此类推.
证明：如图，
构造?ABC ，则AB =、
22222
n =p cos A ， A 为锐角. 所以
m +n p sin A +p cos A
== p p sin A +cos A =A +
BC =、
AC =，显然
AB +
BC
>AC ，故原不等式成立
.
事实上，还可以引导学生利用上图探究
<2(a +b="" +c="">
.
4
3.2构造空间图形证明不等式
111++=1，例4 若a 、b 、c ∈R +，
1+a 1+b 1+c
求证abc ≥8.
π
分析与探究：根据题设条件设a =tan 2α，b = tan 2β，c =tan 2γ，α、β、γ∈(0，则问题等价
2
π
>证明.
例2 已知a 、b 、c 都是正数，a ≥b ≥c 且
且cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1， 于：若α、β、γ∈(0，2
求证tan 2α?tan 2β?tan 2γ≥8.
由此构造长方体ABCD ?A 1BC CA ， 11D 1，设∠1B =α∠C 1AD =β，∠C 1AA 1=γ，
π
a +b +c ≤1，求证：a 2+3b 2+5c 2≤1.
分析与探究：（从面积入手）
本题单从代数的不等式性质去证明，学生很难找到解题的切入点. 因此可引导学生探究一下其几何解释. 如图，构造边长为a +b +c 的正方形，将正方形按图中的方
AB =x ，AD =y ，AA 1=z ，则
tan 2α?tan 2β?tan 2γ
B 1
C 1
1D 1
y 2+z 2z 2+x 2x 2+y 2
=??
x 2y 2z 2≥
C D
式进行分割，则a 2+3b 2+5c 2为图中阴影部分的面
积，从图中显然可得：
2yz 2zx 2xy
??=8 x 2y 2z 2
a 2+3b 2+5c 2≤(a +b +c ) 2≤1，
1
等号仅当a =b =c =时成立.
3
受图形的启发可进一步引导学生探究解题成果，易得本题的一种推广：设a i >0(i =1,2,3,... n ), a 1≥a 2≥... ≥a n 且∑a i ≤1，则∑(2i ?1) a i 2≤1，等号
i =1
i =1
n
n
当且仅当x =y =z 时取等号. 故abc ≥8，当且仅
当a =b =c 时取等号.
例3的求解过程表明，如果不等式或其条件中呈现出几何体的对角线、表面积、体积等关系时，可以思考构造几何体，充分利用其几何意义，直观形象地分析问题和解决问题.
3.3构造解析几何图形证明不等式
解析几何是沟通代数知识与几何知识的重要纽带，在不等式的证明中，根据题目的特点建立适当
2009年第1期 福建中学数学 3
的直角坐标系，利用相关解析几何知识，有时会使问题的解决过程变得通俗直观.
例5 已知a 、
b 、c 、
d
∈R +
，求证：
a +b +c +d ).
(a 2+b 2+ac ) 2+(a 2+b 2+bc ) 2
≥(a +b +c ) 2； 22
a +b
... a n 、b 1、 (4)（闵可夫斯基不等式）设a 1、a 2、、
4. 结束语
课程课标提倡探究性教学，探究性教学实际上是一种精心设计的教学活动. 以教材为本位，适当引导学生进行探究性活动，教会学生探究问题的方法，对激发学生的学习兴趣、培养学生的数学素养起着积极作用. 而从“柯西不等式几何解释”思想入手探究不等式的证明，用数形结合的思想解题，确实具有OA =
AB
，
形象直观、简捷明快的特点. 掌握这种方法的关键是
BC =
， CD
，
多类比、多联想，挖掘所给代数式的几何意义，充
OD a +b +c +d ). 显然有OA +AB +BC +CD ≥OD ，
分利用已知图形的几何性质. 这一思想方法是一个无
当且仅当A 、B 、C 在OD 上时取等号，所以，不等
尽的宝库，还有待于我们去探究挖掘.
式得证.
参考文献
受此证法的启发，可引导学生进一步探究其它
[1] 课程教材研究所编. 普通高中课程标准实验教科
类似不等式的证明，比如
书，数学选修4-5不等式选讲. 北京：人民教育出版
（1
）a 、b ∈
R ，求证
社，2007
3； [2] 朱华伟编. 奥数讲义(高二年级上). 杭州：浙江大学（2
）a 、b
∈
R ，求证
出版社，2007
[3] 亓桂青，张成旺. “柯西不等式与排序不等式”的 ≥1) ；
内容分析及教学建议. 高中数理化，2008（7），58－2
（3）a 、b 、c ∈R ，求证59
福建省教育厅重点课题《新课程背景下高考数学命题改革研究》研究成果（十三）
分析与探究：此题若用常规解法较为繁琐，但通过观察不等式两边的数量特征，联想到两点间的
距离公式，将使问题简单明了. 如
图，取A (a ，b ) 、B (a +b ，b +c ) 、
C (a +b +c ，b +c +d ) 、
D (a +
b +c +d ，a +b +c +d ) ，
所以
b
2、、... b n ∈R
，证明：
+
i =n 课标课程必考新增内容的考查研究
曾介平
福建省福鼎第一中学（355200）
课标教材新增的必考内容有：必修②立体几何算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算初步中的空间几何体的三视图；必修③的算法初步、科学的重要基础. 算法在教学和考查中，要使学生认概率中的几何概型；选修1-2中的框图；选修2-2导识到：算法思想是从问题解决出发给出程序性解法，
用算法解决问题的优越性在于“把质的困难转化为量数及其应用中的定积分的概念、推理与证明中的合
情推理、演绎推理；统计与概率中的回归分析. 这些的复杂”，再通过编程由计算机执行算法，进一步解内容的增加是数学知识实用价值的再次体现. 决“量的复杂”.算法是信息技术的基础，其思想非常
重要，但并不神秘，在解决数学问题中有着广泛的1. 考查意义的解析
应用，例如，运用消元法解二元一次方程组，求最学习三视图对进一步发展人的空间观念，增强
大公约数等过程就是算法. 所以算法的考查应分为三数学价值观认识起到一定的推动作用，三视图作为
认图和考查数据处理能力的载体，蕴含数形结合的个层次：认识、理解、应用. 思想方法，当然也是试题命制的良好素材. 几何概型进入教材主要是为了更广泛地满足随
范文三：【DOC】-柯西不等式的几何解释及应用
柯西不等式的几何解释及应用
2009年第1期 福建中学数学 1
高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考(五)
柯西不等式的几何解释及应用
潘灿丽 陈清华1
1 福建师范大学数学与计算机科学学院(350007) 2福建省南安国光中学(362321)
《普通高中课程标准实验教科书?数学(人教A?CAD
[1]版)》选修系列4-5的“柯西不等式”，相对于原《全
(a+d)(b+c)abcd日制普通高级中学数学教学大纲》是新增内容，课=?? c 222标课程对“柯西不等式”的要求，主要是“认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义.”笔者从
对教材的研读中，体会到编者在编写过程中突出强化简即知不等式成立. 调不等式及其证明的几何意义及背景，关注学生逻几何解释5(从三角公式入手)如图，构造两个辑思维能力和分析解决问题能力的提高.据此，在教
学过程中，教师应尽量理解和把握其几何背景及蕴直角三角形，则sinA=，cosA=，
含的数学思想，尽可能借助几何直观来证明一些不等式，从中领悟数形结合思想在研究不等式中的作sinBcosB
用，真正做到学以致用，也借此加强学生的探究能
由sin(A+B)=sinAcosB+
力，感受数学的美妙，提高数学素养.然而，如何探
究是值得思考的问题.本文以柯西不等式的几何解释
cos
AsinB为例探究不等式的美妙证明方法.
?1，化简即知不等式成立. 1.从教材内容谈起
几何解释6(从解析几何入手)把不等式变形为定理1(二维柯西不等式)若a、b、c、d都是实
数，则(a2+b2)(c2+d2)?(ac+bd)2，当且仅当ad= ?，不等式的左端可以看成点bc时，等号成立.
(c，d)到直线ax+by=0的距离，教材在给出二维形式的柯西不等式(定理1)后，(0，0)与点(c，d)可看成点从余弦定理与向量入手诠释了柯西不等式的几何解
0)而直线ax+by=0过点(0，释1(定理2)，又从三角形不等式入手探究了柯西
难证得不等式. 不等式的几何解释2(定理3)笔者认为，在教学过2.2三维柯西不等式的几何解释 程中，还可以从不同角度继续引导学生探究其几何
受上述方法启发，学生不难探究出三维柯西不解释.
2.柯西不等式几何解释再探究
2.1二维柯西不等式的几何解释
由(a2+b2)(c2+d2)?(ac+bd)2，即|ac+bd|
1，2 等式(?aibi)2?(?ai2)(
?bi2) i=1i=1i=1333
因此我们不妨把a、b、c、d看作正数. 几何解释3(从矩形面积入手)如图构造矩形，易得
ac+bd=θ，故不等式成立.
几何解释4(从三角形面积入手)如图，构造
Rt?ABC和Rt?ADE，B、A、
E在一条直线上，这
两个三角形就拼成了一个直角梯形.
由S?ACD=S梯形BCDE?S?ABC?S?ADE得， 的几何解释:如图，建立空间
直角坐标系，构造平面α: a1x+
a2y+a3z=0， 点P(b1，b2，b3)到平面α的 距离是d1
O(0，0，0)与点P(b1，b2，b3)间的距离是d2=O(0，0，0)在平面α内.显然平面α外一点P到平面α的距离d1不大于P点与平面内任意一点间的距离. 3.“柯西不等式几何解释”思想的应用
2 福建中学数学 2009年第1期
不等式的证明方法灵活多变，综合性强.不少不等式的证明如果用常规的代数方法，要么无从下手、要么过程繁琐，但若针对题设条件展开联想与探究，进而构造与条件相适应的几何图形，赋予其“几何解释”，则往往可使问题迅速解决.受上述几何图形构造方法的启发，笔者认为可将构造几何图形证明不等式分为以下几个方面.
3.1构造平面图形证明不等式
例1 已知a、
b、c都是正数，求证:
1
时成立. n
这种证法在数学竞赛中也经常出现，如(第24届全苏奥林匹克竞赛试题):
若正数a、b、c、l、m、n满足条件a+l=b+m 仅当a1=a2=...=an=
=c+n=k，求证:am
+bn+cl
例3 若m、n、p都是正数，且m2?p2+n2=0，m+n
. 求证:p分析与探究:
(从三角公式入手)本题若用代数方法证明，则难以下手;若构造一个三角形，利用勾股定理，问题就迎刃而解了.
证明:如图构造直角三角形，则m=psinA，
分析与探究:(从三角形不等式入手)结论表述
三个被的内容跟“三角形两边之和大于第三边”相似，
开方数都可看作是运用余弦定理的结果. 原不等式中含有a2+b2+ab的形式，据余弦定理:
c=a+b?2abcosC，要得到a+b+
ab的形式，只要C
=120?可以看成是以a、b为两边的长，且这两边的夹角为
120?的三角形的第三边的长，依此类推.
证明:如图，
构造?ABC，则AB=、
22222
n=pcosA， A为锐角.所以
m+npsinA+pcosA
== ppsinA+cosA=A+
BC=、
AC=，显然
AB+
BC
>AC，故原不等式成立
.
事实上，还可以引导学生利用上图探究
<>
.
4
3.2构造空间图形证明不等式
111++=1，例4 若a、b、c?R+，
1+a1+b1+c
求证abc?8.
π
分析与探究:根据题设条件设a=tan2α，b= tan2β，c=tan2γ，α、
β、γ?(0，则问题等价
2
π
>证明.
例2 已知a、b、c都是正数，a?b?c且
且cos2α+cos2β+cos2γ=1， 于:若α、β、γ?(0，2
求证tan2α?tan2β?tan2γ?8.
由此构造长方体ABCD?A1BCCA， 11D1，设?1B=α?C1AD=β，
?C1AA1=γ，
π
a+b+c?1，求证:a2+3b2+5c2?1.
分析与探究:(从面积入手)
本题单从代数的不等式性质去证明，学生很难找到解题的切入点.因此可引导学生探究一下其几何解释.如图，构造边长为a+b+c的正方形，将正方形按图中的方
AB=x，AD=y，AA1=z，则
tan2α?tan2β?tan2γ
B1
C1
1D1
y2+z2z2+x2x2+y2
=??
x2y2z2?
CD
式进行分割，则a2+3b2+5c2为图中阴影部分的面
积，从图中显然可得:
2yz2zx2xy
??=8 x2y2z2
a2+3b2+5c2?(a+b+c)2?1，
1
等号仅当a=b=c=时成立.
3
受图形的启发可进一步引导学生探究解题成果，易得本题的一种推广:设ai>0(i=1,2,3,...n), a1?a2?...?an且?ai?1，则?(2i?1)ai2?1，
等号
i=1
i=1
n
n
当且仅当x=y=z时取等号.故abc?8，当且仅
当a=b=c时取等号.
例3的求解过程表明，如果不等式或其条件中呈现出几何体的对角线、表面积、体积等关系时，可以思考构造几何体，充分利用其几何意义，直观形象地分析问题和解决问题.
3.3构造解析几何图形证明不等式
解析几何是沟通代数知识与几何知识的重要纽带，在不等式的证明中，根据题目的特点建立适当
2009年第1期 福建中学数学 3
的直角坐标系，利用相关解析几何知识，有时会使问题的解决过程变得通俗直观.
例5 已知a、
b、c、
d
?R+
，求证:
a+b+c+d).
(a2+b2+ac)2+(a2+b2+bc)2
?(a+b+c)2; 22
a+b
...an、b1、 (4)(闵可夫斯基不等式)设a1、a2、、
4.结束语
课程课标提倡探究性教学，探究性教学实际上是一种精心设计的教学活动.以教材为本位，适当引导学生进行探究性活动，教会学生探究问题的方法，对激发学生的学习兴趣、培养学生的数学素养起着积极作用.而从“柯西不等式几何解释”思想入手探究不等式的证明，用数形结合的思想解题，确实具有OA=
AB
，
形象直观、简捷明快的特点.掌握这种方法的关键是
BC=
， CD
，
多类比、多联想，挖掘所给代数式的几何意义，充
ODa+b+c+d).显然有OA+AB+BC+CD?OD，
分利用已知图形的几何性质.这一思想方法是一个无
当且仅当A、B、C在OD上时取等号，所以，不等
尽的宝库，还有待于我们去探究挖掘.
式得证.
参考文献
受此证法的启发，可引导学生进一步探究其它
[1] 课程教材研究所编.普通高中课程标准实验教科
类似不等式的证明，比如
书，数学选修4-5不等式选讲.北京:人民教育出版
(1
)a、b?
R，求证
社，2007
3; [2] 朱华伟编.奥数讲义(高二年级上).杭州:浙江大学(2
)a、b
?
R，求证
出版社，2007
[3] 亓桂青，张成旺. “柯西不等式与排序不等式”的 ?1);
内容分析及教学建议.高中数理化，2008(7)，58,2
(3)a、b、c?R，求证59
福建省教育厅重点课题《新课程背景下高考数学命题改革研究》研究成果(十三)
分析与探究:此题若用常规解法较为繁琐，但通过观察不等式两边的数量特征，联想到两点间的
距离公式，将使问题简单明了.如
图，取A(a，b)、B(a+b，b+c)、
C(a+b+c，b+c+d)、
D(a+
b+c+d，a+b+c+d)，
所以
b
2、、...bn?R
，证明:
+
i=n课标课程必考新增内容的考查研究
曾介平
福建省福鼎第一中学(355200)
课标教材新增的必考内容有:必修?立体几何算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算初步中的空间几何体的三视图;必修?的算法初步、科学的重要基础.算法在教学和考查中，要使学生认概率中的几何概型;选修1-2中的框图;选修2-2导识到:算法思想是从问题解决出发给出程序性解法，
用算法解决问题的优越性在于“把质的困难转化为量数及其应用中的定积分的概念、推理与证明中的合
情推理、演绎推理;统计与概率中的回归分析.这些的复杂”，再通过编程由计算机执行算法，进一步解内容的增加是数学知识实用价值的再次体现. 决“量的复杂”.算法是信息技术的基础，其思想非常
重要，但并不神秘，在解决数学问题中有着广泛的1.考查意义的解析
应用，例如，运用消元法解二元一次方程组，求最学习三视图对进一步发展人的空间观念，增强
大公约数等过程就是算法.所以算法的考查应分为三数学价值观认识起到一定的推动作用，三视图作为
认图和考查数据处理能力的载体，蕴含数形结合的个层次:认识、理解、应用. 思想方法，当然也是试题命制的良好素材. 几何概型进入教材主要是为了更广泛地满足随
范文四：柯西不等式
1
1
2. 1 二维形式的柯西不等式 一、学习目标
1、知识与技能:认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义; 2、过程与方法:会证明二维柯西不等式及向量形式;
3、情感、态度与价值观:体会代数不等关系与向量之间的联系,学会转化的思想。 二、学习重点与难点:会证明二维柯西不等式及三角不等式, 理解几何意义 . 三、学法指导:请阅读选修 4-5第 31页至 36页相应内容。 四、知识链接
1、 =++) )((2222d c b a 2、 =+2) (bd ac
3、 22222()() () a b c d ac bd ++-+ 五、学习过程
定理 1:(柯西不等式的代数形式)设 d c b a , , , 均为实数,则
22222) () )((bd ac d c b a +≥++,其中等号当且仅当 bc ad =时成立。
定理 2:(柯西不等式的向量形式)
设 α, β为平面上的两个向量,则 ||||||βαβα?≥?,其中等号当且仅当两个 向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
几何意义:设 α, β为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量,它们的终点分别为 A (b a , ) , B (d c , ) ,那么它们的数量积为 bd ac +=?βα,而 22||b a +=
α,
22||d c +=β,所以柯西不等式的几何意义就是:||||||βαβα?≥?,
例 1:已知 a,b 为实数,求证 2332244) () )((b a b a b a +≥++
2
2
例 2:求函数 x x y 215-+-=的最大值。
定理 3:(三角形不等式) 设 332211, , , , , y x y x y x 为任意实数,则:
231231232232221221) () () () () () (y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-
特殊地,设 1122, , , x y x y R ∈
≥ 六、达标检测
1. 证明 : (x2
+y4
)(a4
+b2
) ≥ (a2
x+by2)
2
2. 求函数 x x y -+-=645的最大值 .
3.设 a,b 是正实数, a+b=1,求证:41
1≥+b a
4. 已知 x+2y=1, 求 x 2
+y2的最小值 .
3
3
5.已知 122=+b a , 122=+y x ,求证:1||≤+by ax 。
6、已知:122=+b a , 222=+n m , 证明:22≤+≤-bn am 。
7、已知 63y 2x 22≤+,求证 2y x ≤+
8、已知 b , a 是正实数, +∈=+R x , x , 1b a 21,求证 212121x x ) ax bx )(bx ax (≥++
9.已知 b , a 是正实数,求 ) 2a
1
2b )(b 1a (++的最小值。
4
4
10.设 , 0q , p , x ) x (f >=且 1q p =+,求证 ) qx px (f ) x (qf ) x (pf 2121+≤+
11.求函数 cos2x 43sinx y ++=的最大值
12、求函数 x b x a x f cos sin ) (+?=在 ) 2
, 0(π
上的最大值 , 其中 a , b 为正常数.
七、小结 八、课后反思
5
5
2. 2 一般形式的柯西不等式、排序不等式及无理不等式 一、学习目标
1、知识与技能:理解一般形式的柯西不等式、排序不等式及无理不等式; 2、过程与方法:运用柯西不等式、排序不等式及无理不等式解决某些问题; 3、情感、态度与价值观:由 2个变量间的关系推广到 n 个变量间的关系,学会拓展。 二、学习重点与难点:一般形式的柯西不等式、排序不等式及无理不等式的理解 三、学法指导:请阅读选修 4-5第 37页至 44页相应内容。 四、知识链接
设 d c b a , , , 均为实数,则 22222) () )((bd ac d c b a +≥++,其中等号当且仅当
bc ad =时成立。
五、学习过程:
(一)一般形式的柯西不等式 定理 4:(柯西不等式的推广形式) :设 n 为大于 1的自然数, i i b a , (=i 1, 2,…,
n )为任意实数,则:
21
1
2
1
2) (∑∑∑===≥n
i i i n
i i
n i i b a b
a , 其中等号当且仅当
n
n a b a b a b === 22
11时成立(当 0=i a 时,约定 0=i b , =i 1, 2,…, n )
。 证明:构造二次函数:2222211) () () () (n n b x a b x a b x a x f -++-+-= 即构造了一个二次函数:∑∑∑===+-=n
i i n i i i n
i i
b x b a x a
x f 1
2
1
2
1
2) (2) (
) ( 由于对任意实数 x , 0) (≥x f 恒成立,则其 0≤?, 即:0) )((4) (
41
2
1
2
2
1
≤-=?∑∑∑===n
i i n
i i n
i i i b a b a ,
即:) )(() (1
2
1
2
2
1
∑∑∑===≤n
i i n
i i n
i i i b a b a , 等号当且仅当 02211=-==-=-n n b x a b x a b x a , 即等号当且仅当
n
n a b a b a b === 22
11时成立 (当 0=i a 时 , 约定 0=i b , =i 1,2, … , n ) 。 如果 i a (n i ≤≤1)全为 0,结论显然成立。 例 1、 已知 c b a , , 均为正数,且 1=++c b a ,求证:91
11≥++c
b a 。
6
6
例 2、 已知 1a , 2a ,…, n a 为实数,求证:211
2
) (1∑∑==≥n
i i n
i i a n a 。
例 3、设 x , y , z 为正实数,且 x+y+z=10,求 z
9
y 1x 4++的最小值。
(二)排序不等式
1、基本概念:
一般地,设有两组数:1a ≤ 2a ≤ 3a , 1b ≤ 2b ≤ 3b ,我们考察这两组数两两对 应之积的和,利用排列组合的知识,我们知道共有 6个不同的和数,它们是:
对 应 关 系 和 备 注
(1a , 2a , 3a ) (1b , 2b , 3b )
3322111b a b a b a S ++=
同序和 (1a , 2a , 3a ) (1b , 3b , 2b )
2332112b a b a b a S ++=
乱序和 (1a , 2a , 3a ) (2b , 1b , 3b )
3312213b a b a b a S ++=
乱序和 (1a , 2a , 3a ) (2b , 3b , 1b )
1332214b a b a b a S ++=
乱序和 (1a , 2a , 3a ) (3b , 1b , 2b )
2312315b a b a b a S ++=
乱序和 (1a , 2a , 3a ) (3b , 2b , 1b )
1322316b a b a b a S ++=
反序和
根据上面的猜想,在这 6个不同的和数中,应有结论:
同序和 332211b a b a b a ++最大,反序和 132231b a b a b a ++最小。
7
7
2、对引例的验证:
对 应 关 系
和 备 注
(1, 2, 3) (25, 30, 45)
2203322111=++=b a b a b a S
同序和 (1, 2, 3) (25, 45, 30)
2052332112=++=b a b a b a S
乱序和 (1, 2, 3) (30, 25, 45)
2153312213=++=b a b a b a S
乱序和 (1, 2, 3) (30, 45, 25)
1951332214=++=b a b a b a S
乱序和 (1, 2, 3) (45, 25, 30)
1852312315=++=b a b a b a S
乱序和 (1, 2, 3) (45, 30, 25)
1801322316=++=b a b a b a S
反序和 3、类似的问题:
5个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这 5个人的水桶需要的时间 分别是 4分钟, 8分钟, 6分钟, 10分钟, 5分钟。那么如何安排这 5个人接水的顺 序,才能使他们等待的总时间最少?
4、排序不等式的一般情形:
一般地,设有两组实数:1a , 2a , 3a ,…, n a 与 1b , 2b , 3b ,…, n b ,且它 们满足:1a ≤ 2a ≤ 3a ≤…≤ n a , 1b ≤ 2b ≤ 3b ≤…≤ n b ,
若 1c , 2c , 3c ,…, n c 是 1b , 2b , 3b ,…, n b 的任意一个排列,则和数
n n c a c a c a +++ 2211在 1a , 2a , 3a ,…, n a 与 1b , 2b , 3b ,…, n b 同序时最
大,反序时最小,即:
112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n +++≥+++≥+++- , 等号当且仅当 n a a a === 21或 n b b b === 21时成立。
例 4、已知 c b a , , 为正数,求证:
abc c
b a a c c b b a ≥++++2
22222。
例 5、设 1a , 2a , 3a ,…, n a 为正数,求证:
n n n n a a a a a a a a a
a a +++≥++++- 211
2
21322221。
8
8
(三)无理不等式 ①、
??
???>??
??≥≥?>) () (0) (0) () () (x g x f x g x f x g x f 定义域 型
②、
??
?≥<>
??>≥≥?>0) (0) ()]([) (0) (0
) () () (2x f x g x g x f x f x g x g x f 或 型 ③、
??
???<>≥?<2)]([)>
) (0) () () (x g x f x g x f x g x f 型 例 6、解不等式 x x x 34232
->-+- 例 7、解不等式 24622
+<+-x x="">
六、达标检测
1、设 +∈R z y x , , , 且 x+2y+3z=36,求 z
y x 3
21++的最小值.
2、求证:da cd bc ab d c b a +++≥+++2
222。
3、已知 a , b , c 为正实数,且 a 2
+2b2
+3c2
=6, 求 a+b+c的最大值
七、小结 八、课后反思
范文五：柯西不等式
课题:柯西不等式
课时:第1课时
教学目的:
(1)让学生了解柯西的主要贡献,贯穿数学史教育;
(2)通过柯西不等式的证明，渗透函数思想;
(3)加深学生对初、高等数学的有机联系;
(4)学生通过对二维柯西不等式的再认识，理解二维柯西不等式与中
学数学有关内容的联系。
教学手段:计算机辅助教学
教学方法:问题教学法
教学过程:
一、由两个简单实例引出的猜想
1、两个简单实例
22222a,b,c,d,R(1)设，有; (a，b)(c，d),(ac，bd)
111222*(a，a，a)(，，),9(2)设a，a，a,R，有。 123123222aaa123
结构特征:两组数“乘积和的平方不大于平方和的乘积”。
2、猜想
给定两组实数:，， a，a，？，ab，b，？，b12n12n
nnn222(ab),(a),(b)是否有(*)成立呢, ,,,iiii,,11,1iii
3、猜想的证明
分析:从(*)结构上分析，若两边同乘以4，有
nnn222(2ab),4ab,0， ,,,iiiii,1i,1i,1
1
2,,b,4ac类似于一元二次函数的判别式，故可构造一元二次函数
来证明。
nnn222f(x),(a)x，(2ab)x，b证明: ,,,iiii,1,1,1iii
(1)若全为0，则结论显然成立; ai
n2a,0f(x)(2)若不全为0，则，为首项系数大于0的a,iii,1
n2f(x),(ax,b),0f(x)一元二次函数，并且，故的判别式 ,iii,1
nnn222,,(2ab),4ab,0，即 ,,,iiiii,1i,1i,1
nnn222(ab),(a),(b) ,,,iiii,,11,1iii
显然，当且仅当时等号成立。 a,kb(i,1，2，？，n)ii
二、柯西不等式
1、定理(柯西不等式)
给定两组实数
; a，a，？，a12n
b，b，？，b12n
nnn222(ab),(a),(b)有，(*) ,,,iiii,,11,1iii等号当且仅当时成立。 a,kb(i,1，2，？，n)ii
2、柯西主要贡献简介
2
柯西(Cauchy)，法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家。他奠定了数学分析的理论基础。很多定理都冠有柯西的名字，如以前学过的柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程。
3、定理另证
n,,2a分析2:注意到是维向量模的平方; a,,a,a，a，？，an,i12ni,1
n,,2b,,是维向量b,b，b，？，b模的平方; nb,i12ni,1
n,,2(ab)而恰好是向量内积的平方，因此可以借助于我们a与b,iii,1
在空间解析几何的向量内积的知识加以解决。
,另证:构造维向量 ,,a,a，a，？，an12n
,
,,b,b，b，？，b维向量 n12n
nnn,,2,,22222a,ab,b(a,b),(ab)则;; ,,,iiiii,1,1i,1i
,,,,2,,,,222(a,b),[a,b,cos，(a,b)],a,b由，即
nnn222(ab),(a),(b) ,,,iiii,,11,1iii
,,,,b显然，当，即与共线， acos，(a,b),1
亦即等号当且仅当时成立。 a,kb(i,1，2，？，n)ii
三、柯西不等式的积分形式
f(x)g(x)[a,b]设与都在可积，
3
2bbb22，，则， f(x)g(x)dx,f(x)dx,g(x)dx,,,,,aaa，，
f(x),t,g(x)等号当且仅当时成立。
结论:柯西积分不等式是柯西不等式的推广。 四、二维柯西不等式的认识
中学数学主要是在二维平面和三维空间中讨论问题，为了应用柯西不等式解决中学数学中的具体问题。我们有必要对柯西不等式的低维形式——二维柯西不等式进行再认识。
二维柯西不等式
22222 (ac，bd),(a，b)(c，d)
等号当且仅当时成立。 ad,bc
请大家思考除了将二维柯西不等式看成一元二次函数的判别式和向量的模两种认识以外，是否有其他的认识呢,下面请大家按以前的研究性学习小组进行研究。如果在研究过程中有问题，可以参考我给出的提示语。
提示语:可以根据变形后的结构特征进行联想～
22222 (ac，bd),(a，b)(c，d)
2222 ,ac，bd,a，b,c，d
ac，bd22 ,,c，d22a，b
ac，bd ,,12222a，b,c，d
五、小结
如果一个定理跟很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要。而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系。它的重要性是不容置疑的～
六、作业
4
将小组对二维柯西不等式的再认识研究结果，递交一篇数学作文。
5
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