范文一：应用弹塑性力学课后习题答案

附录Ⅱ 习题解答提示与参考答案

第二章 应力理论

2-1 ζn=ζ1l+ζ2m,

22

；式中l、m、n为斜截面外

法线的方向余弦。

2-2 p=111.5A；ζn=26A；ηn=108.5A

2-3 提示：平面Ax+By+Cz+D=0的外法线的方向余弦为：(式中i=1，2，3或A，B，C)

答案：

2-4 略

2-5 (a)ζ1=738.5；ζ2=600；ζ3=-338.5；ηmax=538.5； 应力单位为MPa。

(b) ζ1=700；ζ2=600；ζ3=-600；ηmax=650； 应力单位为MPa。

o

2-6 ζ1=3.732η0；ζ2=-0.268η0；α=15。 2-7

(材料力学解) 应力单位为MPa。

2-8 ζ1=107.3a；ζ2=44.1a；ζ3=-91.4a；

ζ1主方向：(±0.314，

0.900，

ζ2主方向：(±0.948，±0.282，±0.146)； ζ3主方向：(

2-9

0.048，±0.337，

2-10、2-11 略

2-12 (1)略；(2)ζ8=ζm=5.333MPa；η8=8.654MPa。 2-13 p8=59.5；ζ8=25.0a；η8=54.1a。 2-14

上式中S为静矩。材料力学解不满足平衡微分方程和边界条件。

(弹塑性力学解) 应力单位为MPa。

0.305)； 0.940)。

；ζ2=0；ζ3=-ζ1。

2-15

，Q为梁横截面上的剪力。提示：利用平衡微分方程求解。

2-16 ζ1=17.083×10Pa；ζ2=4.917×10Pa；ζ3=0,=4016′。 2-17 略 2-18

3

3

o

2-19 提示：将三个主方向的三组方向余弦分别两两一组代人式(2-12)证之。 2-20

2-21 在AA′上：ζx=-γy，ηxy=0； 在AB上：ηα，l3=0； 则应力分量满足关系式：

2-22

2-23

2-24 ηzx=-ζztanα；ζx=ζztanα。 2-25 在x=-ytanα处，

在x=ytanβ处:

2-26 A=0；B=-ρ1g；C=ρgcotβ-2ρ1gcotβ；

2-27 (1)ζ1=99.6A；ζ2=58.6A；ζ3=-138.2A；ηmax=118.9A。

(2)ζ1=99.6A；ζ2=58.6A；ζ3=-138.2A；ηmax=118.9A。

?2。

。

xy

=0，ζy=-γh； 在BB′上：l1=cosα，l2=-sin

2

。

。

3

。

(3)ζ1=300.0A；ζ2=220.7A；ζ3=79.3A；ηmax

=110.4A。

2-28

。

2-29 (1)这组应力分量函数是可能存在的。

(2)在x=h处：ζx=0，ηxy=q； 在x=0处：ζx=0，η

xy

=0；

在y=0处：；

第三章 变形的几何理论

3-1 (1)ε=2×10-3

；ε-3

-3

xy=10；εz=-1.5×10；

γ=3.67×10-3；γ×10-3；γ-3

xyyz=-2.5zx=-0.5×10。

(2)ε=-2×10-3

。

(3)γ=1.19×10-3

。 169

3-2 (1)u=(-2x-3y)10-3；v=(x+3y)10-3

；

ε-3-3-3

x=2×10；εy=3×10；γxy=-2×10。

(2)

(3)ε-3

1=3.19×10；ε-3

-3

2=-2.19×10；ε3=-2.19×10； ε1主应变方向余弦（±0.189,0.982,0）

3-3

3-4 εx=ε

0o

；εy=2ε

60o

+2ε

120o

-3ε

0o

；

；

3-5

。

3-6

；满足变形谐调条件。

3-7 (1)能满足变形谐调方程，该应变状态是可能存在的。

(2)应变分量不能满足全部变形谐调方程。因此，该应变状态是不可能存在的。 (3)该应变状态是可能存在的。 3-8 应变分量为：

(1)εx=a2；εy=a6；εz=0；γxy=a3+a5；γyz=0；γzx=0。 (2)εx=b2+2b4x+b5y；εy=b9+b11x+2b12y；εz=0；

γxy=(b3+b8)+(b5+2b10)x+(2b6+b11)y；γyz=0；γzx=0。

所得应变分量为常数或为z、Y线性函数，显然满足变形谐调条件。

3-9 εx=εy=εz=γ

xy

=0；。

3-10、3-11略

-3-3

3-12 (1)ε1=0；ε2=-2.764×10；ε3=-7.236×10；

(2)ε1(0，0，±l)；ε2(±0.53，

-3

(3)γ8=5.96×10。

-5

(4)I′1=-0.Ol；I′2=-2×10；l′3=0。 3-13 略 3-14

或为

式中u0、v0、ω0为物体的刚性平动分量；ωx、ωy、ωz为刚性转动分量。 3-15 应变分量满足变形谐调条件。位移分量为：

提示：位移边界条件为：(1)当x=y=0时，有u=v=0；(2)当x=y=0，z=l时，有ω=0。 170

4-1、4-2、4-3 略 4-4

4-5、4-6 略 4-7

0.86，O)；ε3(土0.86，±0．53，0)。

第四章 弹性变形·塑性变形·本构方程 。

。

4-8ε3=-9×10。

4-9 ζl=0；ζ2=-19.8MPa；ζ3=-60MPa。

—4-4

εl=3.76×10；ε2=0；ε3=-7.64×10。 4-10 ζθ=28MPa。 4-11 略

4

4-12 E=1.5×10MPa。

—4—5

4-13ζz=18MPa；εx=1.052×10；εy=4.33×10。

4-14 ζx=ζy=ζz=ηxy=0；ηyz=(1十K)GAx；ηxz=-(1+K)GAy。可以做弹性力学问题的可能解。 4-15 按Tresca条件，材料屈服；按Mises条件，材料不产生屈服；无变化。 4-16

。

-5

4-17 两种情况下，Mises条件与Tresca条件完全一样。 4-18

4-19

4-20

，η为扭转应力；

4-21 若采用Tresea条件，则三种情况相同，即

若采用Mises条件，则第一种情况下，

4-22 若采用Tresca条件，三者相同，即

若采用Mises条件，则情况一中

K1d

。

或为： 。 ；

，而第二、三种情况下，

。

；

，情况二、三中

。

4-23 (1)采用Tresca条件：；采用Mises条件：；

(2)采用Tresca条件： 171

4-24 (1)按Prandtl-Reuss理论：

；采用Mises条件：。

。

(2)按依留申理论： 4-25

。

4-26 提示：根据纯剪切计算出

和代换η=f(γ)的函数形式。

。

第五章 弹性与塑性力学的基本解法

5-1 ζx=-P；ζy=-μP；ζz=0；ηxy=ηyz=ηzx=0；显然，此钢板处于平面应力状态。上述应力分量满足问题的边界条件。 5-2 ω=Cz+D，C和D为待定常数。

5-3 虽然应力分量满足平衡微分方程，但是不满足以应力分量表示的变形谐调条件，因而它不是弹性力学问题的解。

5-4 提示：由边界条件可知，当端面上面力的分布和任一横截面内剪应力的分布相同时，所给应力分量才是精确解，当仅满足整体合成积分形式的边界条件时，只是圣文南意义的解。

第六章 平面问题直角坐标解答

6-1 满足双调和方程，其应力分量在x=l的边界上不完全满足边界条件，在其余边界上满足边界条件。

6-2 能。面力为：

6-3 能。

6-4 能。

。

。

。

6-5 ζx=-q(x-2ycotα)cotα；ζy=qy；η6-6 (1)略；(2)略；(3)

xy

=qycotα

。

6-7 ζx=pxcotα-2pycotα；ζy=-py；ηxy=-pycotα。

提示：设该问题有代数多项式解，用量纲分析法确定应力函数的幂次。 172

6-8 能。ζx=-12ay；ζy=12ax；η

2

2

xy

2

=0。

6-9 AB边界上：；

BO边界上：；

OC边界上：；

CA边界上：6-10

；

xy

应力函数为：ψ=-q(a-x)(b-y)；应力分量为：ζx=0；ζy=0；η=q。

6-11

。

6-12

。

6-13 能。

。

第七章 平面问题极坐标解答

7-l 略

7-2 (ζθ)max=4q；(ζθ)min=-4q。

7-3 7-4

。

7-5

提示：①取应力函数为ψ=rf(θ)(逆解法)；③用量纲分析或根据边界条件，设η与θ有关(半逆解法)。 7-6 略 7-7

173

7-8 ps=ζs。讨论：略。 7-9

。

。

2

rθ

只

。

，式中a、b分别为厚壁筒的内、外半径。

7-10

。

7-11

7-12

7-13

当α很小时，弹性力学结果与材料力学初等解趋于一致。7-14

第八章 空间轴对称问题

8-1 略 8-2

8-3

。

第九章 能量理论·变分解法

9-1

。

。

。

。

9-2 略

9-3 令，则得：

上式中V为杆件的体积。令，则得：

。

174 9-4

9-5 自由端处的挠度为9-6 略 9-7

。

附录Ⅰ 张量的概念·下标记号法·求和约定

Ⅰ-1(1)Aii=A11+A22+A33(i=1,2,3)

(2)Bijj=Bi11+Bi22+Bi33，也即：

(3)

(4)aiTij=a1T1j+a2T2j+a3T3j也即：

(5)aibjSij=a1b1S11+a1b2S12+a1b3S13+a2b1S21+a2b2S22+a2b3S23+a3b1S31+ a3b2S32+a3b3S33；式中i、j=1，2，3。

Ⅰ-2 (1)3；（2）3；（3）3；（4）δjk；(5)Ajk。

Ⅰ-3 (1)6；（2）0。 Ba

1Tj

范文二：工程力学课后答案

1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。与其它物体接触处的摩擦力均略去

(a) (b)

A

(d)

(e)

解： A

A

(a)

(b)

A

(d)

(e)

1-2 试画出以下各题中AB杆的受力图

a)

b)

c)

A

(c)

(c)

(d) 解：

B

FB

(a)

(b)

(c)

B

B

(e)

1-3 试画出以下各题中AB梁的受力图。 F

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

解：

D

(d)

(a) (b)

F W

(c)

FBx

(e)

1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。

(a) 拱ABCD；(b) 半拱AB部分；(c) 踏板AB；(d) 杠杆AB；(e) 方板ABCD；(f) 节点B。 解：

(a)

D

(b)

(c)

B

FD B

(d)

(e)

(f)

(a)

D

W

(b)

(c)

1-5 试画出以下各题中指定物体的受力图。

(a) 结点A，结点B；(b) 圆柱A和B及整体；(c) 半拱AB，半拱BC及整体；(d) 杠杆AB，切刀CEF及整体；(e) 秤杆AB，秤盘架BCD及整体。

(b)

(c)

e)

解：(a)

AT

F

C

(e)

FB

(d)

F

BC

(f)

W

(d)

FFBA

(b)

(c)

A C

(d)

’C

(e)

D

B

A

C

D

C’

2-2 杆AC、BC在C处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F1和F2作用在销钉C上，

F1=445 N，F2=535 N，不计杆重，试求两杆所受的力。

F1

解：(1) 取节点C为研究对象，画受力图，注意AC、BC都为二力杆，

(2) 列平衡方程：

F?Fy?0 F1??F

x

453

?FACsin60o?F2?0

?FAC

?0 F1??FBC?FACcos60o?0

5

?207 N FBC?164 N

AC与BC两杆均受拉。

2-3 水平力F作用在刚架的B点，如图所示。如不计刚架重量，试求支座A和D 处的约束

力。

解：(1) 取整体ABCD为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形：

(2)

F

FD

F A

D

FBC

?

FDAB12

?

FAAC

?

F22

?FD1

?

?FD?F FA?

F?1.12F

2-4 在简支梁AB的中点C作用一个倾斜45o的力F，力的大小等于20KN，如图所示。若

梁的自重不计，试求两支座的约束力。

解：(1) 研究AB，受力分析并画受力图：

(2) 画封闭的力三角形：

相似关系：

e

FA FBF

d

??CDE??cde ?

几何尺寸：

FCD

?

FBCE

?

FAED

CE?

12

BD?

12

CD ED???

2

求出约束反力：

FB?FA?

CECDEDCD

?F??F?

12

?20?10 kN20?10.4 kN ?18.4o

2

??45o?arctan

CECD

2-6 如图所示结构由两弯杆ABC和DE构成。构件重量不计，图中的长度单位为cm。已知

F=200 N，试求支座A和E的约束力。

解：(1) 取DE为研究对象，DE为二力杆；FD = FE

(2) 取ABC为研究对象，受力分析并画受力图；画封闭的力三角形：

F F

A

'FA?FD?FE?

12

F?

53

?166.7 N

2-7 在四连杆机构ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试

求平衡时力F1和F2的大小之间的关系。

解：（1）取铰链B为研究对象，AB、BC均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；

FBC

FAB FF1

FBC?1

(2) 取铰链C为研究对象，BC、CD均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；

C

FCD

FFCD

F2

FCB?F2cos30o?

由前二式可得：

2

2

FBC?FCB1??F1?

4

2

2

2?0.61F2 or F2?1.63F1

，

2-9 三根不计重量的杆AB，AC，AD在A点用铰链连接，各杆与水平面的夹角分别为450，

450和600，如图所示。试求在与OD平行的力F作用下，各杆所受的力。已知F=0.6 kN。

解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，AB、AC、AD均为二力杆，画受力图，得到一个空

间汇交力系； (2) 列平衡方程：

oo

F?0 F?cos45? F?cos45?0?xACAB

?F?F

解得：

y

?0 F?FADcos60o?0

?0 FADsin60o?FACsin45o?FABsin45o?0

z

FAD?2F?1.2 kN FAC?FAB?

AB、AC杆受拉，AD杆受压。

4

AD?0.735 kN

3-1 已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为l，梁重不计。求在图a，b，c三种情

况下，支座A和B的约束力

(a) (b)

(c)

解：(a) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

列平衡方程：

?M?0 FMB?l?M?0 FB?

l

?FA?FB?

Ml

(b) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

B

列平衡方程：

?M?0 FB?l?M?0 FMB?

l

?FM

A?FB?

l

(c) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

F

B

列平衡方程：

?M?0 FB?l?cos??M?0 FB?

?FA?FB?

Mlcos?

Mlcos?

3-2 在题图所示结构中二曲杆自重不计，曲杆AB上作用有主动力偶，其力偶矩为M，试求

A和C点处的约束力。

解：(1) 取BC为研究对象，受力分析，BC为二力杆，画受力图； F

C

FB?FC

(2) 取AB为研究对象，受力分析，A、B的约束力组成一个力偶，画受力图；

?M?0

2

FB'??

3a?a??M?0 FB'?Ma

?0.354

Ma

?FA?FC?0.354

3-3 齿轮箱的两个轴上作用的力偶如题图所示，它们的力偶矩的大小分别为M1=500 Nm，M2 =125 Nm。求两螺栓处的铅垂约束力。图中长度单位为cm。

解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，A、B的约束力组成一个力偶，画受力图；

(2) 列平衡方程：

?M?0 FB?l?M1?M2?0 FB?

?FA?FB?750 N

M1?M2

l

?

500?12550

?750 N

3-5 四连杆机构在图示位置平衡。已知OA=60cm，BC=40cm，作用BC上的力偶的力偶矩

大小为M2=1N.m，试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力FAB。各杆重量不计。

B

解：(1) 研究BC杆，受力分析，画受力图：

列平衡方程：

FB

?M?0 F

FB?

M2

B

?BCsin30o?M2?0?

10.4?sin30o

?5 N

BCsin30o

(2) 研究AB（二力杆），受力如图：

可知：

''

FA?FB?FB?5 N

(3) 研究OA杆，受力分析，画受力图：

列平衡方程：

FA

?M?0 ?F

A

?OA?M1?0

? M1?FA?OA?5?0.6?3 Nm

3-7 O1和O 2圆盘与水平轴AB固连，O1盘垂直z轴，O2盘垂直x轴，盘面上分别作用力偶

（F1，F’1），（F2，F’2）如题图所示。如两半径为r=20 cm, F1 =3 N, F2 =5 N,AB=80 cm,不计构件自重，试计算轴承A和B的约束力。

y

2

解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，A、B处x方向和y方向的约束力分别组成力偶，画

受力图。

(2) 列平衡方程：

?M

FBz?

x

?0 ?FBz?AB?F2?2r?0AB

?

2?20?5802?20?380

2rF2

z

?2.5 N FAz?FBz?2.5 N

?M

FBx?

AB的约束力：

?0 ?FBx?AB?F1?2r?02rF1AB

?

?1.5 N FAx?FBx?1.5 N

FA?

?

?8.5 N

FB?FA?8.5 N

3-8 在图示结构中，各构件的自重都不计，在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶，各尺寸

如图。求支座A的约束力。

解：(1) 取BC为研究对象，受力分析，画受力图；

?M?0 ?FMC?l?M?0 FC?

l

(2) 取DAC为研究对象，受力分析，画受力图； FF’C

D

画封闭的力三角形； FD

FA

’C

解得

FF'CA?

cos45o

?

4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。设力的单位为kN，力偶矩的单位为kN?m，长度

单位为m，分布载荷集度为kN/m。(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。 (b)

(e)

解：

(b)：(1) 整体受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

F

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

?F

x

?0: ?FAx?0.4?0

F

Ax?0.4 kN

?M

A

(F)?0: ?2?0.8?0.5?1.6?0.4?0.7?FB?2?0

FB?0.26 kN

?F

y

?0: FAy?2?0.5?FB?0

FAy?1.24 kN

约束力的方向如图所示。

(c)：(1) 研究AB杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

F

x

?M

B

(F)?0: ?FAy?3?3??2?dx?x?0

2

FAy?0.33 kN

?F

y

?0: FAy??2?dx?FBcos30o?0

2

FB?4.24 kN

?F

约束力的方向如图所示。

x

?0: FAx?FBsin30o?0

FAx?2.12 kN

(e)：(1) 研究CABD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

qx

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

?F

x

?0: FAx?0

?M

A

(F)?0: ?

0.8

20?dx?x?8?FB?1.6?20?2.4?0

0.8

FB?21 kN

?Fy?0: ??

约束力的方向如图所示。

20?dx?FAy?FB?20?0

FAy?15 kN

4-5 AB梁一端砌在墙内，在自由端装有滑轮用以匀速吊起重物D，设重物的重量为G，又

AB长为b，斜绳与铅垂线成?角，求固定端的约束力。

解：(1) 研究AB杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

F

(2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

x

?F

?F

y

x

?0: -FAx?Gsin??0

FAx?Gsin?

?0: FAy?G?Gcos??0

FAy?G(1?cos?)

?M

B

(F)?0: MA?FAy?b?G?R?G?R?0

MA?G(1?cos?)b

约束力的方向如图所示。

4-7 练钢炉的送料机由跑车A和可移动的桥B组成。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距

离为2 m，跑车与操作架、平臂OC以及料斗C相连，料斗每次装载物料重W=15 kN，平臂长OC=5 m。设跑车A，操作架D和所有附件总重为P。作用于操作架的轴线，问P至少应多大才能使料斗在满载时跑车不致翻倒？

解：(1) 研究跑车与操作架、平臂OC以及料斗C，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

C

(2) 选F点为矩心，列出平衡方程；

?M

(3) 不翻倒的条件；

F

(F)?0: -FE?2?P?1?W?4?0

P

FE??2W

2

FE?0?P?4W?60 kN

4-13 活动梯子置于光滑水平面上，并在铅垂面内，梯子两部分AC和AB各重为Q，重心在

A点，彼此用铰链A和绳子DE连接。一人重为P立于F处，试求绳子DE的拉力和B、C两点的约束力。

x

(2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

解：(1)：研究整体，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

l3l

M(F)?0: -Q?cos??Q?cos??P??2l?a?cos??FC?2lcos??0?

B

22

a??

FC?Q??1??P

2l??

?F

y

?0: FB?FC?2Q?P?0

a

FB?Q?P

2l

(3) 研究AB，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选A点为矩心，列出平衡方程；

l

M(F)?0: -F?lcos??Q?cos??FD?h?0?AB

2

alcos???

FD??Q?P?

l?2h?

4-15 在齿条送料机构中杠杆AB=500 mm，AC=100 mm，齿条受到水平阻力FQ的作用。已

知Q=5000 N，各零件自重不计，试求移动齿条时在点B的作用力F是多少？

解：(1) 研究齿条和插瓜(二力杆)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(2) 选x轴为投影轴，列出平衡方程；

Fx

?F

x

?0: -FAcos30o?FQ?0

FA?5773.5 N

(3) 研究杠杆AB，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选C点为矩心，列出平衡方程；

?M

C

'

(F)?0: FA?sin15o?AC?F?BC?0

F?373.6 N

4-16 由AC和CD构成的复合梁通过铰链C连接，它的支承和受力如题4-16图所示。已知

均布载荷集度q=10 kN/m，力偶M=40 kN?m，a=2 m，不计梁重，试求支座A、B、D的约束力和铰链C所受的力。

解：(1) 研究CD杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

q

(2) 选坐标系Cxy，列出平衡方程；

F?M

C

(F)?0: -?q?dx?x?M?FD?2a?0

a

FD?5 kN

?Fy?0: FC??q?dx?FD?0

a

FC?25 kN

(3) 研究ABC杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

x

(4) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

?MB(F)?0: FA?a??q?dx?x?FC'?a?0

a

FA?35 kN

?F

y

?0: ?FA??q?dx?FB?FC'?0

a

FB?80 kN

约束力的方向如图所示。

4-17 刚架ABC和刚架CD通过铰链C连接，并与地面通过铰链A、B、D连接，如题4-17

图所示，载荷如图，试求刚架的支座约束力(尺寸单位为m，力的单位为 kN，载荷集度单位为 kN/m)。 解：

(a)：(1) 研究CD杆，它是二力杆，又根据D点的约束性质，可知：FC=FD=0；

(2) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

=50

(a)

(b)

(3) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

?F

x

?0: ?FAx?100?0

FAx?100 kN

?M

5

A

(F)?0: ?100?6??1

q?dx?x?FB?6?0

FB?120 kN

?F5

y?0: ?FAy??1

q?dx?FB?0

FAy?80 kN

约束力的方向如图所示。

(b)：(1) 研究CD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； =50

(2) 选C点为矩心，列出平衡方程；

?MC(F)?0: ??3

q?dx?x?FD?3?0

FD?15 kN

(3) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； x

(4) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

?F

x

?0: FAx?50?0

FAx?50 kN

?M3

B(F)?0: ?FAy?6??0

q?dx?x?FD?3?50?3?0

FAy?25 kN

?F3

y?0: FAy??0

q?dx?FB?FD?0

FB?10 kN

约束力的方向如图所示。

4-18 由杆AB、BC和CE组成的支架和滑轮E支持着物体。物体重12 kN。D处亦为铰链连

接，尺寸如题4-18图所示。试求固定铰链支座A和滚动铰链支座B的约束力以及杆BC所受的力。 A

解：(1) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； x

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

?F

x

?0: FAx?W?0

FAx?12 kN

?M

A

(F)?0: FB?4?W??1.5?r??W??2?r??0

FB?10.5 kN

?F

y

?0: FAy?FB?W?0

FAy?1.5 kN

(3) 研究CE杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

F

CB

(4) 选D点为矩心，列出平衡方程；

?M

D

(F)?0: FCBsin??1.5?W??1.5?r??W?r?0

FCB?15 kN

约束力的方向如图所示。

4-19 起重构架如题4-19图所示，尺寸单位为mm。滑轮直径d=200 mm，钢丝绳的倾斜部

分平行于杆BE。吊起的载荷W=10 kN，其它重量不计，求固定铰链支座A、B的约束力。

W

解：(1) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

W (2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

?M

B

(F)?0: FAx?600?W?1200?0

FAx?20 kN

?F

x

?0: ?FAx?FBx?0

FBx?20 kN

?F

y

?0: ?FAy?FBy?W?0

(3) 研究ACD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选D点为矩心，列出平衡方程；

Dx

?M

D

(F)?0: FAy?800?FC?100?0

FAy?1.25 kN

(5) 将FAy代入到前面的平衡方程；

FBy?FAy?W?11.25 kN

约束力的方向如图所示。

4-20 AB、AC、DE三杆连接如题4-20图所示。DE杆上有一插销F套在AC杆的导槽内。求

在水平杆DE的E端有一铅垂力F作用时，AB杆上所受的力。设AD=DB，DF=FE，BC=DE，所有杆重均不计。

解：(1) 整体受力分析，根据三力平衡汇交定理，可知B点的约束力一定沿着BC方向；

(2) 研究DFE杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(3) 分别选F点和B点为矩心，列出平衡方程；

?M?M

F

(F)?0: ?F?EF?FDy?DE?0

FDy?F

B

(F)?0: ?F?ED?FDx?DB?0

FDx?2F

(4) 研究ADB杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(5) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

?M

A

(F)?0: F'

Dx?AD?FB?AB?0

FB?F

?F

x

?0: ?F'

Ax?FB?FDx?0

F

Ax?F

?F

y

?0: ?F?F'

AyDy?0

FAy?F

约束力的方向如图所示。

5-4 一重量W=1000 N的匀质薄板用止推轴承A、径向轴承B和绳索CE支持在水平面上，

可以绕水平轴AB转动，今在板上作用一力偶，其力偶矩为M，并设薄板平衡。已知a=3 m，b=4 m，h=5 m，M=2000 N?m，试求绳子的拉力和轴承A、B约束力。

解：(1) 研究匀质薄板，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

F

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；

?

M

z

(F)?0: M?FBy?4?0

FBy?500 N

?

Mx(F)?0: ?W?

a2?FC?2

?0

FC?707 N

?

Mby(F)?0: ?FBz?b?W?

2?FC?2

?0

FBz?0

?Fz?0: FBz?FAz?W?FC?

2

?0

FAz?500 N

?

Fx?0: FAx?FC?

FAx

4??0

25

?400 N

3??0

25

?Fy?0: ?FBy?FAy?FC?

FAy?800 N

约束力的方向如图所示。

5-5 作用于半径为120 mm的齿轮上的啮合力F推动皮带绕水平轴AB作匀速转动。已知皮

带紧边拉力为200 N，松边拉力为100 N，尺寸如题5-5图所示。试求力F的大小以及轴承A、B的约束力。(尺寸单位mm)。

解: (1) 研究整体，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；

?M

?M

x

z

(F)?0: ?Fcos20o?120??200?100??80?0

F?70.9 N

(F)?0: ?Fsin20o?100??200?100??250?FBy?350?0

FBy?207 N

?M

y

(F)?0: ?Fcos20o?100?FBx?350?0

FBx?19 N

?F

?F

x

?0: ?FAx?Fcos20o?FBx?0

FAx?47.6 N

y

?0: ?FAy?Fsin20o?FBy??100?200??0

FAy?68.8 N

约束力的方向如图所示。

5-6 某传动轴以A、B两轴承支承，圆柱直齿轮的节圆直径d=17.3 cm，压力角?=20o。在法

兰盘上作用一力偶矩M=1030 N?m的力偶，如轮轴自重和摩擦不计，求传动轴匀速转动时的啮合力F及A、B轴承的约束力(图中尺寸单位为cm)。

解: (1) 研究整体，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；

?My(F)?0: Fcos20o??M?M

?F

x

x

d

?M?0

2

F?12.67 kN

(F)?0: Fsin20o?22?FBz?33.2?0

FBz?2.87 kN

o

(F)?0: Fcos20?22?FBx?33.2?0z

FBx?7.89 kN

?0: FAx?Fcos20o?FBx?0

F?

z

?0: ?FAz?Fsin20o?FBz?0

FAx?4.02 kN FAz?1.46 kN

8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。

(a)

(c) (d)

解：(a)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

(2) 取1-1截面的左段；

N1 ?F

x

?0 F?FN1?0 FN1?F

(3) 取2-2截面的右段；

?F

x

?0 ?FN2?0 FN2?0

(4) 轴力最大值：

FNmax?F

(b)

(1) 求固定端的约束反力；

FR

?F

x

?0 ?F?2F?F

R

?0 FR?F

(2) 取1-1截面的左段；

FN1

?

F

x

?0 F?FN1?0 FN1?F

FN2

F

R

?F

x

?0 ?FN2?FR?0 FN2??FR??F

(4) 轴力最大值：

FNmax?F

(c)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；

(2) 取1-1截面的左段；

1

FN1

1 ?F

x

?0 2?FN1?0 FN1??2 kN

(3) 取2-2截面的左段；

N2

?F

x

?0 2?3?FN2?0 FN2?1 kN

(4) 取3-3截面的右段； FN3

?F

x

?0 3?FN3?0 FN3?3 kN

(5) 轴力最大值：

FNmax?3 kN

(d)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

FN

1

?F

x

?0 2?1?FN1?0 FN1?1 kN

(2) 取2-2截面的右段；

FN2

?F

x

?0 ?1?FN2?0 FN2??1 kN(5) 轴力最大值：

FNmax?1 kN

8-2 试画出8-1所示各杆的轴力图。 解：(a) F

(b)

F

F

(c) F

(d) F 1kN

8-5 图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷F1=50 kN与F2作用，AB与BC段的直径分别为

d1=20 mm和d2=30 mm ，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求载荷F2之值。

解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；

FN1?F1 FN2?F1?F2

(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；

?1?

FN1A1

?

50?1031

???0.0224

?159.2MPa

50?103?F2

?2????1?159.2MPa

1A22???0.034

FN2

?F2?62.5kN

8-6 题8-5图所示圆截面杆，已知载荷F1=200 kN，F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm，如

欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求BC段的直径。 解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；

FN1?F1 FN2?F1?F2

(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；

?1?

FN1A1

?

200?1031

???0.0424

?159.2MPa

(200?100)?103

?2????1?159.2MPa

1A22???d24

FN2

?d2?49.0 mm

8-7 图示木杆，承受轴向载荷F=10 kN作用，杆的横截面面积A=1000 mm2，粘接面的方位

角θ= 450，试计算该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。

粘接面

解：(1) 斜截面的应力：

????cos2??

FA

cos2??5 MPaF2A

????sin?cos??

(2) 画出斜截面上的应力

sin2??5 MPa

σθ

8-14 图示桁架，杆1与杆2的横截面均为圆形，直径分别为d1=30 mm与d2=20 mm，两杆

材料相同，许用应力[ζ]=160 MPa。该桁架在节点A处承受铅直方向的载荷F=80 kN作用，试校核桁架的强度。

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力；

FAB

(2) 列平衡方程

F?

?F

解得：

xy

?0 ?FABsin300?FACsin450?0?0 FABcos30?FACcos45?F?0

FAC?

F?41.4kN FAB?

?58.6kN

(2) 分别对两杆进行强度计算；

?AB??AC?

FABA1FACA2

?82.9MPa????

?131.8MPa????

所以桁架的强度足够。

8-15 图示桁架，杆1为圆截面钢杆，杆2为方截面木杆，在节点A处承受铅直方向的载荷

F作用，试确定钢杆的直径d与木杆截面的边宽b。已知载荷F=50 kN，钢的许用应力[ζS] =160 MPa，木的许用应力[ζW] =10 MPa。 F

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力； FAB

F

AC

FAC??70.7kN FAB?F?50kN

(2) 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；

?FAB

50?103

AB

?A????S??160MPa d?20.01

1mm

4?d2

?FAC70.7?103AC

?A?2

???W??10MPa b?84.1mm2b所以可以确定钢杆的直径为20 mm，木杆的边宽为84 mm。

8-16 题8-14所述桁架，试定载荷F的许用值[F]。

解：(1) 由8-14得到AB、AC两杆所受的力与载荷F的关系；

FAC?

FAB?

(2) 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；

?FABAB?

A?

?????160MPa F?154.5kN1

?d24

1

?AC?

FACA2

?

?d224

?????160MPa F?97.1kN

取[F]=97.1 kN。

8-18 图示阶梯形杆AC，F=10 kN，l1= l2=400 mm，A1=2A2=100 mm2，E=200GPa，试计算杆

AC的轴向变形△l。

F

A B

C

解：(1) 用截面法求AB、BC段的轴力；

FN1?F FN2??F

(2) 分段计算个杆的轴向变形；

?l??l1??l2? ??0.2 mm

FN1l1EA1

?

FN2l2EA2

?

10?103?400200?103?100

?

10?103?400200?103?50

AC杆缩短。

8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A处承受载荷F作用。从

试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4，试确定载荷F及其方位角θ之值。已知：A1=A2=200 mm2，E1=E2=200 GPa。

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力与θ的关系；

FAB

?F

?F

xy

?0 ?FABsin300?FACsin300?Fsin??0?0 FABcos300?FACcos300?Fcos??0F FAC?

FAB?

(2) 由胡克定律：

FAB??1A1?E?1A1?16 kN FAC??2A2?E?2A2?8 kN

代入前式得：

F?21.2kN ??10.9o

8-23 题8-15所述桁架，若杆AB与AC的横截面面积分别为A1=400 mm2与A2=8000 mm2，

杆AB的长度l=1.5 m，钢与木的弹性模量分别为ES=200 GPa、EW=10 GPa。试计算节点A的水平与铅直位移。 解：(1) 计算两杆的变形；

?l1??l2?

FABlESA1

?

50?103?1500200?103?400

3

?0.938 mm

FEWA2

?

70.7?10150010?10?8000

3

?1.875 mm

1杆伸长，2杆缩短。

(2) 画出节点A的协调位置并计算其位移；

水平位移：

△l1

A’

?A??l1?0.938 mm

铅直位移：

fA?A1A'??l2sin450?(?l2cos450??l1)tg450?3.58 mm

8-26 图示两端固定等截面直杆，横截面的面积为A，承受轴向载荷F作用，试计算杆内横

截面上的最大拉应力与最大压应力。 (b)

解：(1) 对直杆进行受力分析；

列平衡方程：

?F

x

?0 FA?F?F?FB?0

(2) 用截面法求出AB、BC、CD段的轴力；

FN1??FA FN2??FA?F FN3??FB

(3) 用变形协调条件，列出补充方程；

?lAB??lBC??lCD?0

代入胡克定律；

?lAB?

?

求出约束反力：

FN1lAB

EAFAl/3EA

?lBC?

FN2lBC

?

EA

(?FA?F)l/3

EA

?lCD?FBl/3EA

FN3lCDEA

? ?0

FA?FB?F/3

(4) 最大拉应力和最大压应力； ?l,max?

FN2A

?

2F3A

?y,max?

FN1A

??

F3A

8-27 图示结构，梁BD为刚体，杆1与杆2用同一种材料制成，横截面面积均为A=300 mm2，

许用应力[ζ]=160 MPa，载荷F=50 kN，试校核杆的强度。

解：(1) 对BD

FN1

?m

B

?0 FN1?a?FN2?2a?F?2a?

(2) 由变形协调关系，列补充方程；

?l2?2?l1

代之胡克定理，可得；

FN2lEA

解联立方程得：

?225

FN1lEA

FN2?2FN1

45

FN1?

(3) 强度计算；

F FN2?

F

?1??2?

FN1AFN2A

??

2?50?1035?3004?50?1035?300

?66.7 MPa?????160 MPa

?133.3 MPa?????160 MPa

所以杆的强度足够。 8-30 图示桁架，杆1、杆2与个杆3分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别为[ζ1] =80 MPa，

[ζ2] =60 MPa，[ζ3] =120 MPa，弹性模量分别为E1=160 GPa，E2=100 GPa，E3=200 GPa。若载荷F=160 kN，A1=A2 =2A3，试确定各杆的横截面面积。

解：(1) 对节点C进行受力分析，假设三杆均受拉； 画受力图； N3

FN1

列平衡方程；

F

?F?F

?l1?

xy

?0 ?FN1?FN2cos300?0?0 FN3?FN2sin30?F?0

FN1lcos300160?2A

(2) 根据胡克定律，列出各杆的绝对变形；

FN1l1E1A1FN3l3E3A3

? ?

?l2?

FN2l2E2A2

?

FN2l100?2A

?l3?

FN3lsin30200A

(3) 由变形协调关系，列补充方程； C2

△l

3

C’

?l0

)ctg300

3??l2sin30?(?l2cos30??l1

简化后得：

15FN1?32FN2?8FN3?0

联立平衡方程可得：

FN1??22.63kN FN2?26.13kN FN3?146.94kN

1杆实际受压，2杆和3杆受拉。 (4) 强度计算；

AFN1

1?

???283 mm AFN2

2?

?436 mm A3?

FN3

1?

??2?

??3?

?1225 mm综合以上条件，可得

A1?A2?2A3?2450 mm

8-31 图示木榫接头，F=50 kN，试求接头的剪切与挤压应力。

解：(1) 剪切实用计算公式：

??

FQA?

50?103s

100?100

?5 MPa

(2) 挤压实用计算公式：

?bs?

FbAb

?

50?10340?100

?12.5 MPa

8-32 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用，试确定轴销B的直径d。已知载荷F1=50 kN，F2=35.4

kN，许用切应力[η] =100 MPa，许用挤压应力[ζbs] =240 MPa。

D-D

2

解：(1) 对摇臂ABC进行受力分析，由三力平衡汇交定理可求固定铰支座B的约束反力；

FB?

?35.4 kN

(2) 考虑轴销B的剪切强度；

??

FQAS

?

FB1?d24

FbAb

???? d?15.0 mm

考虑轴销B的挤压强度；

?bs?

?

FBd?10

???bs? d?14.8 mm

(3) 综合轴销的剪切和挤压强度，取

d?15 mm

8-33 图示接头，承受轴向载荷F作用，试校核接头的强度。已知：载荷F=80 kN，板宽b=80

mm，板厚δ=10 mm，铆钉直径d=16 mm，许用应力[ζ]=160 MPa，许用切应力[η] =120 MPa，许用挤压应力[ζbs] =340 MPa。板件与铆钉的材料相等。

解：(1) 校核铆钉的剪切强度；

F1F??

QA?1?99.5 MPa?????120 MPa S

4

?d2(2) 校核铆钉的挤压强度；

1??FF

bbs

A??

?125 MPa???bs??340 MPa bd(3) 考虑板件的拉伸强度；

对板件受力分析，画板件的轴力图；

F

x

校核1-1截面的拉伸强度

3F

?F11?NA?b?2d)?

?125 MPa???? ?160 MPa 1(校核2-2截面的拉伸强度

?FN1F1?

A?

1

(b?d)?

?125 MPa???? ?160 MPa 所以，接头的强度足够。

10-1 试计算图示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。

(a)

解：(a)

(1) 取A+截面左段研究，其受力如图；

MA+

SA+

由平衡关系求内力

(b)

q

B

(d)

FSA??F MA??0

(2) 求C截面内力；

取C截面左段研究，其受力如图；

由平衡关系求内力

SC

MC

FSC?F MC?

(3) 求B-截面内力

截开B-截面，研究左段，其受力如图；

由平衡关系求内力

A

Fl2

SB

MB

FSB?F MB?Fl

(b)

(1) 求A、B处约束反力

RA?RB?

Me

l

(2) 求A+截面内力；

取A+截面左段研究，其受力如图；

e

M

A+

FSA???RA??

Mel

MA??Me

(3) 求C截面内力；

取C截面左段研究，其受力如图；

MC

FMeSC??RA??

l

MA??Me?RMeA?

l2

?

2

(4) 求B截面内力；

取B截面右段研究，其受力如图； M

B

RB

FMeSB??RB??

l

MB?0

(c)

(1) 求A、B处约束反力

B

RA?

Fba?b

RB?

Faa?b

(2) 求A+截面内力；

取A+截面左段研究，其受力如图； A R

MA+ SA+

FbFSA??RA?

a?b

MA??0

(3) 求C-

截面内力；

取C-截面左段研究，其受力如图； A M

C- R

SC-

FFbSC??RA?

a?b

MC??RA?a?

Faba?b

(4) 求C+

截面内力；

取C+截面右段研究，其受力如图；

B MC+

RB

FSC???RFaB??

a?b

MC??RB?b?

Faba?b

(5) 求B-截面内力；

取B-截面右段研究，其受力如图；

MB

RB

FFaSB???RB??

a?b

MB??0

(d)

(1) 求A+截面内力

取A+截面右段研究，其受力如图； q

MB

FSA??q?

l2

?

ql2

MA???q????

248

l3l

3ql2

(3) 求C-截面内力；

取C-截面右段研究，其受力如图；

M

q

B

FSC??q?

l2

?

ql

MC???q????

2248

ll

ql2

(4) 求C+截面内力；

取C+截面右段研究，其受力如图；

M

q B

FSC??q?

l2

?

ql2

MC???q????

248

ll

ql2

(5) 求B-截面内力；

取B-截面右段研究，其受力如图；

M

B

FSB??0 MB??0

10-2.试建立图示各梁的剪力与弯矩方程,并画剪力与弯矩图。

B A

解：(c)

(1) 求约束反力

B

q

RA?F RC?2F

(2) 列剪力方程与弯矩方程

FS1??F (0?x1?l/2) M1??Fx1 (0?x1?l/2) FS2?F (l/2?x1?l) M2??F?l?x2? (l/2?x1?l)

(3) 画剪力图与弯矩图 FS

x

M

x

(d) q

A

(1) 列剪力方程与弯矩方程

Fql

S?

4?qx?q(l

4?x) (0?x?l) Mqlq1?4x?2

x2 (0?x?l)

(2) 画剪力图与弯矩图

FS ql x

M

10-3 图示简支梁，载荷F可按四种方式作用于梁上，试分别画弯矩图，并从强度方面考虑，

指出何种加载方式最好。

解：各梁约束处的反力均为

F/2，弯矩图如下：

M M

M M

(d) 由各梁弯矩图知：(d)种加载方式使梁中的最大弯矩呈最小，故最大弯曲正应力最小，

从强度方面考虑，此种加载方式最佳。

10-5 图示各梁，试利用剪力、弯矩与载荷集度的关系画剪力与弯矩图。

q

B

(a) (b)

(c) (d)

q q

(e)

(f)

解：(a)

(1) 求约束力；

B

M

RB?F MB?2Fl

(2) 画剪力图和弯矩图；

FS

x

M

x (b)

(1) 求约束力；

MA

B

R

A?0 MA?0

(2) 画剪力图和弯矩图；

FS

x

M

x

(c)

(1) 求约束力；

q

RA?RB?

ql

4

(2) 画剪力图和弯矩图；

FS

x

M

x

(d)

(1) 求约束力；

R9ql5qlA?

8

RB?

8

(2) 画剪力图和弯矩图；

FS

x

M

x

范文三：工程力学课后答案

一、概念题（共2小题）

1.（5）

脆性材料试件受扭时，其断裂发生在与轴线约45度倾角的螺旋面，引起断裂的原因是：

A． 最大的剪应力；B．最小的剪应力；C．最大的正应力；A．最小的正应力。

正确答案：。 2.

(5)

偏心受压柱的荷载作用在截面核心之外的截面上，则中性轴的位置是在：

A． 截面外；B．截面内；C．与截面形心轴重合；D．与截面形心主轴

重合。 正确答案：

二、 填空题（共2小题）

1. (5)

平面一般力系的平衡方程是： 2.（5）

材料伸长率δ= ；δ大说明材料 性能好。

三、 计算题（共6小题）

1.（10）

如图所示，在均质梁AB上铺设有起重机轨道。起重机重50kN，其重心在铅垂线CD上，

重物的重量为P=10kN。尺寸如图，求起重机的伸臂和梁AB在同一铅垂面

内时，支座A和B 的反力。

2．（15）

图示一阶梯形截面杆，其弹性模量E=200Gpa，截面面积AⅠ=300mm2, AⅡ=250mm2, AⅢ=200mm2,作用力P1=40kN，P2=20kN，P3=10kN，P4=30kN。试求每段杆的内力、应力、应变、伸长及全杆的总伸长。

1

3．（10）

图示一汽车传动轴简图，转动时输入的力偶矩Me=2kN·M，轴由无缝钢管制成，外径D=90mm，内径d=84mm。已知许用应力[τ]=60Mpa，试对该轴作强度校核。（10分）

4.（15）

出图示梁的剪力图和弯矩图

5.（15）

图示梁的横截面上最大正应力和最大剪应力。已知L=2m, q=10kN/m，F=10KN，截面尺寸如图所示。

6．（15）

一矩形截面木质压杆，在xz平面内为两端固定，在xy平面内为下端固定上端自由。已知l=4m，b=120mm，h=200mm，木材的弹性模量E=10GPa，λp=59。问当压力F逐渐增大时，压杆将在哪个平面内失稳，并计算压杆的临界力。

z 2

范文四：工程力学课后答案

A

1-1

B (a)

(b)

A

(d)

(e)

解： A

A

(a)

(b)

A

(d)

(e)

1-2 试画出以下各题中AB杆的受力图

(a)

(b)

(c)

A

(c)

(c)

(d)

解：

B

FB

(a)

(b)

(c)

B

B

(e)

1-3 试画出以下各题中AB梁的受力图。 F

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

解：

(a)

D

(d)

(e)

FBx

(b)

(c)

F W

1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。

(a) 拱ABCD；(b) 半拱AB部分；(c) 踏板AB；(d) 杠杆AB；(e) 方板ABCD；(f) 节点B。 解：

(a)

D

(b)

(c)

B

FD B

(d)

(e)

(f)

(a)

D

W

(b)

(c)

1-5 试画出以下各题中指定物体的受力图。

(a) 结点A，结点B；(b) 圆柱A和B及整体；(c) 半拱AB，半拱BC及整体；(d) 杠杆AB，切刀CEF及整体；(e) 秤杆AB，秤盘架BCD及整体。

(b)

(c)

(e)

解：(a)

AT

F

C

FB

(d)

(e)

F

BC

(f)

W

(d)

FFBA

(b) FA

(c)

A C

(d)

’C

(e)

D

B

A

C

D

2-2 杆AC、BC在C处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F1和F2作用在销钉C上，

F1=445 N，F2=535 N，不计杆重，试求两杆所受的力。

F1

解：(1) 取节点C为研究对象，画受力图，注意AC、BC都为二力杆，

(2) 列平衡方程：

F4

F?0 F??FACsin60o?F2?0?y1

53

F?0 F??FBC?FACcos60o?0 ?x1

5

?FAC?207 N FBC?164 N

AC与BC两杆均受拉。

2-3 水平力F作用在刚架的B点，如图所示。如不计刚架重量，试求支座A和D 处的约束

力。

解：(1) 取整体ABCD为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形：

(2)

F

FD

F A

D

FFFFF

?D?A??D?1BCABAC2?FD?

1F FA??1.12F2

2-4 在简支梁AB的中点C作用一个倾斜45o的力F，力的大小等于20KN，如图所示。若

梁的自重不计，试求两支座的约束力。

解：(1) 研究AB，受力分析并画受力图：

(2) 画封闭的力三角形：

相似关系：

e

FA FBF

d

??CDE??cde ?

几何尺寸：

FFF

?B?A CDCEED

CE?

11BD?CD ED???22求出约束反力：

FB?FA?

CE1

?F??20?10 kN

2CD

ED?F?20?10.4 kN

CD

CE

??45o?arctan?18.4o

CD

2-6 如图所示结构由两弯杆ABC和DE构成。构件重量不计，图中的长度单位为cm。已知

F=200 N，试求支座A和E的约束力。

解：(1) 取DE为研究对象，DE为二力杆；FD = FE

(2) 取ABC为研究对象，受力分析并画受力图；画封闭的力三角形：

F F

A

'FA?FD?FE?

15

F??166.7 N 23

2-7 在四连杆机构ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试

求平衡时力F1和F2的大小之间的关系。

解：（1）取铰链B为研究对象，AB、BC均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；

FBC

FAB FF1

FBC1

(2) 取铰链C为研究对象，BC、CD均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；

C

FCD

FFCD

F2

FCB?F2cos30o?

由前二式可得：

2 FBC?FCB1??F1?

F22

F2?0.61F2 or F2?1.63F14

2-9 三根不计重量的杆AB，AC，AD在A点用铰链连接，各杆与水平面的夹角分别为450，

450和600，如图所示。试求在与OD平行的力F作用下，各杆所受的力。已知F=0.6 kN。

，

解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，AB、AC、AD均为二力杆，画受力图，得到一个空

间汇交力系； (2) 列平衡方程：

oo

F?0 F?cos45? F?cos45?0?xACAB

?F?F

解得：

y

?0 F?FADcos60o?0

?0 FADsin60o?FACsin45o?FABsin45o?0

z

FAD?2F?1.2 kN FAC?FAB?

AB、AC杆受拉，AD杆受压。

FAD?0.735 kN 4

3-1 已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为l，梁重不计。求在图a，b，c三种情

况下，支座A和B的约束力

(a) (b)

(c)

解：(a) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

列平衡方程：

?M?0 FMB?l?M?0 FB?

l

?FM

A?FB?

l

(b) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

B

列平衡方程：

?M?0 FB?l?M?0 FMB?

l

?F?

M

A?FBl

(c) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

F

B

列平衡方程：

?M?0 FB?l?cos??M?0 FB?

M

?FA?FB?

lcos?

Mlcos?

3-2 在题图所示结构中二曲杆自重不计，曲杆AB上作用有主动力偶，其力偶矩为M，试求

A和C点处的约束力。

解：(1) 取BC为研究对象，受力分析，BC为二力杆，画受力图； F

C

FB?FC

(2) 取AB为研究对象，受力分析，A、B的约束力组成一个力偶，画受力图；

'M'

FB??

3a?a??M?0 FB??0.3542a M

?FA?FC?0.354

a

?M?0

3-3 齿轮箱的两个轴上作用的力偶如题图所示，它们的力偶矩的大小分别为M1=500 Nm，

M2 =125 Nm。求两螺栓处的铅垂约束力。图中长度单位为cm。

解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，A、B的约束力组成一个力偶，画受力图；

(2) 列平衡方程：

?M?0 FB?l?M1?M2?0 FB?

?FA?FB?750 N

M1?M2500?125

??750 N

l50

3-5 四连杆机构在图示位置平衡。已知OA=60cm，BC=40cm，作用BC上的力偶的力偶矩

大小为M2=1N.m，试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力FAB。各杆重量不计。

B

解：(1) 研究BC杆，受力分析，画受力图：

列平衡方程：

FB

?M?0 F

B

?BCsin30o?M2?0

M21

FB???5 Noo

0.4?sin30BCsin30

(2) 研究AB（二力杆），受力如图：

可知：

''

FA?FB?FB?5 N

(3) 研究OA杆，受力分析，画受力图：

列平衡方程：

FA

?M?0 ?F

A

?OA?M1?0

? M1?FA?OA?5?0.6?3 Nm

3-7 O1和O 2圆盘与水平轴AB固连，O1盘垂直z轴，O2盘垂直x轴，盘面上分别作用力偶

（F1，F’1），（F2，F’2）如题图所示。如两半径为r=20 cm, F1 =3 N, F2 =5 N,AB=80 cm,不计构件自重，试计算轴承A和B的约束力。

y

2

解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，A、B处x方向和y方向的约束力分别组成力偶，画

受力图。

(2) 列平衡方程：

?M

FBz?

x

?0 ?FBz?AB?F2?2r?0

2rF22?20?5

??2.5 N FAz?FBz?2.5 N

80AB

?Mz?0 ?FBx?AB?F1?2r?0FBx?

AB的约束力：

2rF12?20?3

??1.5 N FAx?FBx?1.5 N

80AB

FA?

?

?8.5 N

FB?FA?8.5 N

3-8 在图示结构中，各构件的自重都不计，在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶，各尺寸

如图。求支座A的约束力。

解：(1) 取BC为研究对象，受力分析，画受力图；

?M?0 ?FMC?l?M?0 FC?

l

(2) 取DAC为研究对象，受力分析，画受力图； FF’C

D

画封闭的力三角形； FD

FA

’C

解得

F?F'Ccos45o?A

4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。设力的单位为kN，力偶矩的单位为kN?m，长度

单位为m，分布载荷集度为kN/m。(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。 (b)

(e)

解：

(b)：(1) 整体受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

F

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

?F

x

?0: ?FAx?0.4?0

F

Ax?0.4 kN

?M

A

(F)?0: ?2?0.8?0.5?1.6?0.4?0.7?FB?2?0

FB?0.26 kN

?F

y

?0: FAy?2?0.5?FB?0

FAy?1.24 kN

约束力的方向如图所示。

(c)：(1) 研究AB杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

F

x

?M

B

(F)?0: ?FAy?3?3??2?dx?x?0

2

FAy?0.33 kN

?F

y

?0: FAy??2?dx?FBcos30o?0

2

FB?4.24 kN

?F

约束力的方向如图所示。

x

?0: FAx?FBsin30o?0

FAx?2.12 kN

(e)：(1) 研究CABD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

qx

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

?F

?M

0.8

A

x

?0: FAx?0

(F)?0: ?20?dx?x?8?FB?1.6?20?2.4?0

FB?21 kN

?Fy?0: ??20?dx?FAy?FB?20?0

0.8

FAy?15 kN

约束力的方向如图所示。

4-5 AB梁一端砌在墙内，在自由端装有滑轮用以匀速吊起重物D，设重物的重量为G，又

AB长为b，斜绳与铅垂线成?角，求固定端的约束力。

解：(1) 研究AB杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

F

(2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

x

?F

?F

?M

B

x

?0: -FAx?Gsin??0

FAx?Gsin?

y

?0: FAy?G?Gcos??0

FAy?G(1?cos?)

(F)?0: MA?FAy?b?G?R?G?R?0

MA?G(1?cos?)b

约束力的方向如图所示。

4-7 练钢炉的送料机由跑车A和可移动的桥B组成。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距

离为2 m，跑车与操作架、平臂OC以及料斗C相连，料斗每次装载物料重W=15 kN，平臂长OC=5 m。设跑车A，操作架D和所有附件总重为P。作用于操作架的轴线，问P至少应多大才能使料斗在满载时跑车不致翻倒？

解：(1) 研究跑车与操作架、平臂OC以及料斗C，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

C

(2) 选F点为矩心，列出平衡方程；

?M

(3) 不翻倒的条件；

F

(F)?0: -FE?2?P?1?W?4?0

P

FE??2W

2

FE?0?P?4W?60 kN

4-13 活动梯子置于光滑水平面上，并在铅垂面内，梯子两部分AC和AB各重为Q，重心在

A点，彼此用铰链A和绳子DE连接。一人重为P立于F处，试求绳子DE的拉力和B、C两点的约束力。

x

(2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

解：(1)：研究整体，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

l3l

M(F)?0: -Q?cos??Q?cos??P??2l?a?cos??FC?2lcos??0?

B

22

a??

FC?Q??1??P

?2l?

?F

y

?0: FB?FC?2Q?P?0

a

FB?Q?P

2l

(3) 研究AB，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选A点为矩心，列出平衡方程；

l

M(F)?0: -F?lcos??Q?cos??FD?h?0?AB

2

alcos???

FD??Q?P?

l?2h?

4-15 在齿条送料机构中杠杆AB=500 mm，AC=100 mm，齿条受到水平阻力FQ的作用。已

知Q=5000 N，各零件自重不计，试求移动齿条时在点B的作用力F是多少？

解：(1) 研究齿条和插瓜(二力杆)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(2) 选x轴为投影轴，列出平衡方程；

Fx

?F

x

?0: -FAcos30o?FQ?0

FA?5773.5 N

(3) 研究杠杆AB，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选C点为矩心，列出平衡方程；

?M

C

'

(F)?0: FA?sin15o?AC?F?BC?0

F?373.6 N

4-16 由AC和CD构成的复合梁通过铰链C连接，它的支承和受力如题4-16图所示。已知

均布载荷集度q=10 kN/m，力偶M=40 kN?m，a=2 m，不计梁重，试求支座A、B、D的约束力和铰链C所受的力。

解：(1) 研究CD杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

q

(2) 选坐标系Cxy，列出平衡方程；

F?M

C

(F)?0: -?q?dx?x?M?FD?2a?0

a

FD?5 kN

?Fy?0: FC??q?dx?FD?0

a

FC?25 kN

(3) 研究ABC杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

x

(4) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

?MB(F)?0: FA?a??q?dx?x?FC'?a?0

a

FA?35 kN

?F

y

?0: ?FA??q?dx?FB?FC'?0

a

FB?80 kN

约束力的方向如图所示。

4-17 刚架ABC和刚架CD通过铰链C连接，并与地面通过铰链A、B、D连接，如题4-17

图所示，载荷如图，试求刚架的支座约束力(尺寸单位为m，力的单位为 kN，载荷集度单位为 kN/m)。 解：

(a)：(1) 研究CD杆，它是二力杆，又根据D点的约束性质，可知：FC=FD=0；

(2) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

=50

(a)

(b)

(3) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

?F

x

?0: ?FAx?100?0

FAx?100 kN

?M

(F)?0: ?100?6??5

A

1

q?dx?x?FB?6?0

FB?120 kN

?F5

y?0: ?FAy??1

q?dx?FB?0

FAy?80 kN

约束力的方向如图所示。

(b)：(1) 研究CD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； =50

(2) 选C点为矩心，列出平衡方程；

?MC(F)?0: ??3

q?dx?x?FD?3?0

FD?15 kN

(3) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； x

(4) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

?F

x

?0: FAx?50?0

FAx?50 kN

?M3

B(F)?0: ?FAy?6??0

q?dx?x?FD?3?50?3?0

FAy?25 kN

?F3

y?0: FAy??0

q?dx?FB?FD?0

FB?10 kN

约束力的方向如图所示。

4-18 由杆AB、BC和CE组成的支架和滑轮E支持着物体。物体重12 kN。D处亦为铰链连

接，尺寸如题4-18图所示。试求固定铰链支座A和滚动铰链支座B的约束力以及杆BC所受的力。 A

解：(1) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； x

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

?F

x

?0: FAx?W?0

FAx?12 kN

?M

A

(F)?0: FB?4?W??1.5?r??W??2?r??0

FB?10.5 kN

?F

y

?0: FAy?FB?W?0

F

Ay?1.5 kN

(3) 研究CE杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

F

CB

(4) 选D点为矩心，列出平衡方程；

?M

D

(F)?0: FCBsin??1.5?W??1.5?r??W?r?0

FCB?15 kN

约束力的方向如图所示。

4-19 起重构架如题4-19图所示，尺寸单位为mm。滑轮直径d=200 mm，钢丝绳的倾斜部

分平行于杆BE。吊起的载荷W=10 kN，其它重量不计，求固定铰链支座A、B的约束力。

W

解：(1) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

W (2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

?M

B

(F)?0: FAx?600?W?1200?0

FAx?20 kN

?F

x

?0: ?FAx?FBx?0

FBx?20 kN

?F

y

?0: ?FAy?FBy?W?0

Dx

(3) 研究ACD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选D点为矩心，列出平衡方程；

?M

D

(F)?0: FAy?800?FC?100?0

FAy?1.25 kN

(5) 将FAy代入到前面的平衡方程；

FBy?FAy?W?11.25 kN

约束力的方向如图所示。

4-20 AB、AC、DE三杆连接如题4-20图所示。DE杆上有一插销F套在AC杆的导槽内。求

在水平杆DE的E端有一铅垂力F作用时，AB杆上所受的力。设AD=DB，DF=FE，BC=DE，所有杆重均不计。

解：(1) 整体受力分析，根据三力平衡汇交定理，可知B点的约束力一定沿着BC方向；

(2) 研究DFE杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(3) 分别选F点和B点为矩心，列出平衡方程；

?M?M

F

(F)?0: ?F?EF?FDy?DE?0

FDy?F

B

(F)?0: ?F?ED?FDx?DB?0

FDx?2F

(4) 研究ADB杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(5) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

?M

A

(F)?0: F'

Dx??FB??0

FB?F

?F

x

?0: ?F'

Ax?FB?FDx?0

F

Ax?F

?F

y

?0: ?F?F'

AyDy?0

FAy?F

约束力的方向如图所示。

5-4 一重量W=1000 N的匀质薄板用止推轴承A、径向轴承B和绳索CE支持在水平面上，

可以绕水平轴AB转动，今在板上作用一力偶，其力偶矩为M，并设薄板平衡。已知a=3 m，b=4 m，h=5 m，M=2000 N?m，试求绳子的拉力和轴承A、B约束力。

解：(1) 研究匀质薄板，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

F

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；

?

Mz

(F)?0: M?F

By

?4?0

FBy?500 N

?

Mx(F)?0: ?W?a2?FC

?2

?0 FC?707 N

?

My(F)?0: ?FBz?b?W?b2?FC

?0 FBz?0

?Fz?0: FBz?FAz?W?FC?

2

?0

FAz?500 N

?

Fx?0: FAx?FC4?0

5

FAx?400 N

?Fy?0: ?FBy?FAy?FC FAy?800 N

约束力的方向如图所示。

3?0

5

5-5 作用于半径为120 mm的齿轮上的啮合力F推动皮带绕水平轴AB作匀速转动。已知皮

带紧边拉力为200 N，松边拉力为100 N，尺寸如题5-5图所示。试求力F的大小以及轴承A、B的约束力。(尺寸单位mm)。

解: (1) 研究整体，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；

z

?M(F)?0: ?Fcos20

?M

x

o

?120??200?100??80?0

F?70.9 N

(F)?0: ?Fsin20o?100??200?100??250?FBy?350?0

FBy?207 N

?M

y

(F)?0: ?Fcos20o?100?FBx?350?0

FBx?19 N

?F

x

?0: ?FAx?Fcos20o?FBx?0

FAx?47.6 N

?F

y

?0: ?FAy?Fsin20o?FBy??100?200??0

FAy?68.8 N

约束力的方向如图所示。

5-6 某传动轴以A、B两轴承支承，圆柱直齿轮的节圆直径d=17.3 cm，压力角?=20o。在法

兰盘上作用一力偶矩M=1030 N?m的力偶，如轮轴自重和摩擦不计，求传动轴匀速转动时的啮合力F及A、B轴承的约束力(图中尺寸单位为cm)。

解: (1) 研究整体，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；

?My(F)?0: Fcos20o?

?M

x

d

?M?0

2

F?12.67 kN

(F)?0: Fsin20o?22?FBz?33.2?0

FBz?2.87 kN

?M(F)?0: Fcos20

z

o

?22?FBx?33.2?0

FBx?7.89 kN

?F

x

?0: FAx?Fcos20o?FBx?0

FAx?4.02 kN

F?

z

?0: ?FAz?Fsin20o?FBz?0

FAz?1.46 kN

8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。

(a)

(c) (d)

解：(a)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

(2) 取1-1截面的左段；

N1 ?F

x

?0 F?FN1?0 FN1?F

(3) 取2-2截面的右段；

?F

x

?0 ?FN2?0 FN2?0

(4) 轴力最大值：

FNmax?F

(b)

(1) 求固定端的约束反力；

FR

?F

x

?0 ?F?2F?FR?0 FR?F

(2) 取1-1截面的左段；

FN1

?

F

x

?0 F?FN1?0 FN1?F

FN2

F

R

?F

x

?0 ?FN2?FR?0 FN2??FR??F

(4) 轴力最大值：

FNmax?F

(c)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；

(2) 取1-1截面的左段；

1

FN1

1 ?F

x

?0 2?FN1?0 FN1??2 kN

(3) 取2-2截面的左段；

N2

?F

x

?0 2?3?FN2?0 FN2?1 kN

(4) 取3-3截面的右段； FN3

?F

x

?0 3?FN3?0 FN3?3 kN

(5) 轴力最大值：

FNmax?3 kN

(d)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

FN

1

?F

x

?0 2?1?FN1?0 FN1?1 kN

(2) 取2-2截面的右段；

FN2

?F

x

?0 ?1?FN2?0 FN2??1 kN(5) 轴力最大值：

FNmax?1 kN

8-2 试画出8-1所示各杆的轴力图。 解：(a) F

(b)

F

F

(c) F

(d) F 1kN

8-5 图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷F1=50 kN与F2作用，AB与BC段的直径分别为

d1=20 mm和d2=30 mm ，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求载荷F2之值。

解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；

FN1?F1 FN2?F1?F2

(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；

FN150?103

?1???159.2MPa

A1

???0.0224FN250?103?F2

?2????1?159.2MPa

1A22???0.034

?F2?62.5kN

8-6 题8-5图所示圆截面杆，已知载荷F1=200 kN，F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm，如

欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求BC段的直径。 解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；

FN1?F1 FN2?F1?F2

(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；

FN1200?103

?1???159.2MPa

1A1

???0.0424FN2(200?100)?103

?2????1?159.2MPa

A22???d24

?d2?49.0 mm

8-7 图示木杆，承受轴向载荷F=10 kN作用，杆的横截面面积A=1000 mm2，粘接面的方位

角θ= 450，试计算该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。

粘接面

解：(1) 斜截面的应力：

F

cos2??5 MPaA

F

????sin?cos??sin2??5 MPa

2A

????cos2??

(2) 画出斜截面上的应力

σθ

8-14 图示桁架，杆1与杆2的横截面均为圆形，直径分别为d1=30 mm与d2=20 mm，两杆

材料相同，许用应力[ζ]=160 MPa。该桁架在节点A处承受铅直方向的载荷F=80 kN作用，试校核桁架的强度。

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力；

FAB

(2) 列平衡方程

F?

?F

解得：

xy

?0 ?FABsin300?FACsin450?0?0 FABcos30?FACcos45?F?0

FAC?

F?41.4kN FAB??58.6kN FAB

?82.9MPa????A1

FAC

?131.8MPa????A2

(2) 分别对两杆进行强度计算；

?AB??AC?

所以桁架的强度足够。

8-15 图示桁架，杆1为圆截面钢杆，杆2为方截面木杆，在节点A处承受铅直方向的载荷

F作用，试确定钢杆的直径d与木杆截面的边宽b。已知载荷F=50 kN，钢的许用应力[ζS] =160 MPa，木的许用应力[ζW] =10 MPa。 F

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力； FAB

F

AC

FAC??70.7kN FAB?F?50kN

(2) 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；

?FABA?50?103AB

?1

???S??160MPa d?20.0mm

4?d2

?FACAC

A?70.7?103?b

2

???W??10MPa b?84.1mm2所以可以确定钢杆的直径为20 mm，木杆的边宽为84 mm。

8-16 题8-14所述桁架，试定载荷F的许用值[F]。

解：(1) 由8-14得到AB、AC两杆所受的力与载荷F的关系；

FAC?

FAB? (2) 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；

?AB

AB?

FA??????160MPa F?154.5kN1

4

?d21

?AC?

FAC

?A2

?????160MPa F?97.1kN 2?d24

取[F]=97.1 kN。

8-18 图示阶梯形杆AC，F=10 kN，l1= l2=400 mm，A1=2A2=100 mm2，E=200GPa，试计算杆

AC的轴向变形△l。

F

A B

C

解：(1) 用截面法求AB、BC段的轴力；

FN1?F FN2??F

(2) 分段计算个杆的轴向变形；

FN1l1FN2l210?103?40010?103?400

?l??l1??l2????

EA1EA2200?103?100200?103?50

??0.2 mm

AC杆缩短。

8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A处承受载荷F作用。从

试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4，试确定载荷F及其方位角θ之值。已知：A1=A2=200 mm2，E1=E2=200 GPa。

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力与θ的关系；

FAB

?F

?F

xy

?0 ?FABsin300?FACsin300?Fsin??0?0 FABcos300?FACcos300?Fcos??0 FAC?

FAB?

(2) 由胡克定律：

FAB??1A1?E?1A1?16 kN FAC??2A2?E?2A2?8 kN

代入前式得：

F?21.2kN ??10.9o

8-23 题8-15所述桁架，若杆AB与AC的横截面面积分别为A1=400 mm2与A2=8000 mm2，

杆AB的长度l=1.5 m，钢与木的弹性模量分别为ES=200 GPa、EW=10 GPa。试计算节点A的水平与铅直位移。 解：(1) 计算两杆的变形；

FABl50?103?1500?l1???0.938 mm

ESA1200?103?400?l2?

??1.875 mm

W2

1杆伸长，2杆缩短。

(2) 画出节点A的协调位置并计算其位移；

水平位移：

△l1

A’

?A??l1?0.938 mm

铅直位移：

fA?A1A'??l2sin450?(?l2cos450??l1)tg450?3.58 mm

8-26 图示两端固定等截面直杆，横截面的面积为A，承受轴向载荷F作用，试计算杆内横

截面上的最大拉应力与最大压应力。 (b)

解：(1) 对直杆进行受力分析；

列平衡方程：

?F

x

?0 FA?F?F?FB?0

(2) 用截面法求出AB、BC、CD段的轴力；

FN1??FA FN2??FA?F FN3??FB

(3) 用变形协调条件，列出补充方程；

?lAB??lBC??lCD?0

代入胡克定律；

?lAB?

FlFlFN1lAB

?lBC?N2BC ?lCD?N3CD

EAEAEA

FAl/3(?FA?F)l/3FBl/3? ? ? ?0EAEAEA

求出约束反力：

FA?FB?F/3

(4) 最大拉应力和最大压应力； ?l,max?

FN22FFF

? ?y,max?N1?? A3AA3A

8-27 图示结构，梁BD为刚体，杆1与杆2用同一种材料制成，横截面面积均为A=300 mm2，

许用应力[ζ]=160 MPa，载荷F=50 kN，试校核杆的强度。

解：(1) 对BD

FN1

?m

B

?0 FN1?a?FN2?2a?F?2a?

(2) 由变形协调关系，列补充方程；

?l2?2?l1

代之胡克定理，可得；

FN2lFl

?2N1 FN2?2FN1 EAEA

解联立方程得：

FN1?

(3) 强度计算；

24

F FN2?F 55

FN12?50?103

?1???66.7 MPa?????160 MPa

A5?300

3

F4?50?10?2?N2??133.3 MPa?????160 MPa

A5?300

所以杆的强度足够。

8-30 图示桁架，杆1、杆2与个杆3分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别为[ζ1] =80 MPa，

[ζ2] =60 MPa，[ζ3] =120 MPa，弹性模量分别为E1=160 GPa，E2=100 GPa，E3=200 GPa。若载荷F=160 kN，A1=A2 =2A3，试确定各杆的横截面面积。

解：(1) 对节点C进行受力分析，假设三杆均受拉； 画受力图； N3

FN1

列平衡方程；

F

?F?F

xy

?0 ?FN1?FN2cos300?0?0 FN3?FN2sin30?F?0

(2) 根据胡克定律，列出各杆的绝对变形；

FN1l1FN1lcos300FlFN2l?l1? ? ?l2?N22?

E1A1160?2AE2A2100?2A?l3?

FN3l3FN3lsin30

? E3A3200A

(3) 由变形协调关系，列补充方程； C2

△l

3

C’

?l03??l2sin300?(?l2cos300??l1)ctg30

简化后得：

15FN1?32FN2?8FN3?0

联立平衡方程可得：

FN1??22.63kN FN2?26.13kN FN3?146.94kN

1杆实际受压，2杆和3杆受拉。 (4) 强度计算；

AFN1

1?

??283 mm AFN2

2?

436 mm AF3?

1??2N3

??1225 mm3综合以上条件，可得

A1?A2?2A3?2450 mm

8-31 图示木榫接头，F=50 kN，试求接头的剪切与挤压应力。

解：(1) 剪切实用计算公式：

??FQ

A?50?103

100

?5 MPa

s100?(2) 挤压实用计算公式：

Fb50?103

?bs???12.5 MPa

Ab40?100

8-32 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用，试确定轴销B的直径d。已知载荷F1=50 kN，F2=35.4

kN，许用切应力[η] =100 MPa，许用挤压应力[ζbs] =240 MPa。

D-D

2

解：(1) 对摇臂ABC进行受力分析，由三力平衡汇交定理可求固定铰支座B的约束反力；

FB??35.4 kN

(2) 考虑轴销B的剪切强度；

FB

FQ??????? d?15.0 mm

AS1?d2

4

考虑轴销B的挤压强度；

?bs?

FbF

?B???bs? d?14.8 mm Abd?10d?15 mm

(3) 综合轴销的剪切和挤压强度，取

8-33 图示接头，承受轴向载荷F作用，试校核接头的强度。已知：载荷F=80 kN，板宽b=80

mm，板厚δ=10 mm，铆钉直径d=16 mm，许用应力[ζ]=160 MPa，许用切应力[η] =120 MPa，许用挤压应力[ζbs] =340 MPa。板件与铆钉的材料相等。

解：(1) 校核铆钉的剪切强度；

1FF??Q

A??99.5 MPa?????120 MPa

S

4

?d2(2) 校核铆钉的挤压强度；

1?FF?bbsA??

?125 MPa???bs??340 MPa

bd(3) 考虑板件的拉伸强度；

对板件受力分析，画板件的轴力图；

F

x

校核1-1截面的拉伸强度

3F

?F11?NA?b?2d)?

?125 MPa???? ?160 MPa 1(校核2-2截面的拉伸强度

?11?

FNA?F

?d)?

?125 MPa???? ?160 MPa 1(b 所以，接头的强度足够。

10-1 试计算图示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。

A

(a)

解：(a)

(1) 取A+截面左段研究，其受力如图；

MA+

SA+

由平衡关系求内力

(b)

q

B

(d)

FSA??F MA??0

(2) 求C截面内力；

取C截面左段研究，其受力如图；

由平衡关系求内力

SC

MC

FSC?F MC?

(3) 求B-截面内力

截开B-截面，研究左段，其受力如图；

由平衡关系求内力

A

Fl 2

SB

MB

FSB?F MB?Fl

(b)

(1) 求A、B处约束反力

RA?RB?

Me

l

(2) 求A+截面内力；

取A+截面左段研究，其受力如图；

e

M

A+

FSA???RA??

Me

l

MA??Me (3) 求C截面内力；

取C截面左段研究，其受力如图；

MC

FMeSC??RA??

l MlM

A??Me?RA?2?e2

(4) 求B截面内力；

取B截面右段研究，其受力如图； M

B

RB

FMe

SB??RB??

l

MB?0 (c)

(1) 求A、B处约束反力

B

RA?

FbFa

RB? a?ba?b

(2) 求A+截面内力；

取A+截面左段研究，其受力如图； A R

MA+ SA+

Fb

FSA??RA?

a?b

MA??0 (3) 求C-截面内力；

取C-截面左段研究，其受力如图； A M

C- R

SC-

FSC??RA?

Fba?b Ma?Fab

C??RA?a?b

(4) 求C+截面内力；

取C+截面右段研究，其受力如图；

B MC+

RB

FSC???RFaB??

a?b M?RFab

C?B?b?a?b

(5) 求B-截面内力；

取B-截面右段研究，其受力如图；

MB

RB

FFa

SB???RB??

a?b

MB??0 (d)

(1) 求A+截面内力

取A+截面右段研究，其受力如图； q

MB

FSA?

lqll3l3ql2

?q?? MA???q????

22248

(3) 求C-截面内力；

取C-截面右段研究，其受力如图；

M

q

B

FSC?

lqlllql2

?q?? MC???q????

22248

(4) 求C+截面内力；

取C+截面右段研究，其受力如图；

M

q B

FSC?

lqlllql2

?q?? MC???q????

22248

(5) 求B-截面内力；

取B-截面右段研究，其受力如图；

M

B

FSB??0 MB??0

10-2.试建立图示各梁的剪力与弯矩方程,并画剪力与弯矩图。

B A

解：(c)

(1) 求约束反力

B

q

RA?F RC?2F

(2) 列剪力方程与弯矩方程

FS1??F (0?x1?l/2) M1??Fx1 (0?x1?l/2)

FS2?F (l/2?x1?l) M2??F?l?x2? (l/2?x1?l)

(3) 画剪力图与弯矩图 FS

x

M

x

(d) q

A

(1) 列剪力方程与弯矩方程

FS?

ql4?qx?q(l

4?x) (0?x?l) Mql4?q

1?x2

x2 (0?x?l)

(2) 画剪力图与弯矩图

FS ql x

M

10-3 图示简支梁，载荷F可按四种方式作用于梁上，试分别画弯矩图，并从强度方面考虑，

指出何种加载方式最好。

解：各梁约束处的反力均为

F/2，弯矩图如下：

M M

M M

(d) 由各梁弯矩图知：(d)种加载方式使梁中的最大弯矩呈最小，故最大弯曲正应力最小，

从强度方面考虑，此种加载方式最佳。

10-5 图示各梁，试利用剪力、弯矩与载荷集度的关系画剪力与弯矩图。

q

B

(a) (b)

(c) (d)

q q

(e)

(f)

解：(a)

(1) 求约束力；

B

RB?F MB?2Fl

(2) 画剪力图和弯矩图；

FS

x

M

x (b)

(1) 求约束力；

MA

B

R

A?0 MA?0

(2) 画剪力图和弯矩图；

FS

x

M

x

(c)

(1) 求约束力；

q

RA?RB?

ql 4

(2) 画剪力图和弯矩图；

FS

x

M

x

(d)

(1) 求约束力；

R9qlA?

8 R5ql

B?8

(2) 画剪力图和弯矩图；

FS

x

M

x

范文五：工程力学课后答案

工程力学习题答案第一章静力学基础知识

思考题：1.×;2.√;3.√;4.√;5.×;6.×;7.√;8.√

习题一

1．根据三力汇交定理，画出下面各图中A点的约束反力方向。

解：（a）杆AB在A、B、C三处受力作用。由于力p和RB的作用线交于点O。如图（a）所示，根据三力平衡汇交定理，可以判断支座A点的约束反力必沿通过A、O两点的连线。

?????

?????

（b）同上。由于力p和RB的作用线

交于O点，根据三力平衡汇交定理，可判断A点的约束反力方向如下图（b）所示。

??

解：（a）取杆AB为研究对象，杆除受力p外，

???

在B处受绳索作用的拉力TB，在A和E两处还受

????????

光滑接触面约束。约束力NA和NE的方向分别

????

沿其接触表面的公法线，并指向杆。其中力NE与

杆垂直，

2．不计杆重，画出下列各图中AB杆的受力图。

????

力NA通过半圆槽的圆心O。

AB杆受力图见下图（a）。

(b)由于不计杆重，曲杆BC只在两端受铰销B和C对它作用的约束力RB和RC，故曲杆BC是二力构件或二力体，此两力的作用线必须通过B、C两点的连线，且RB=-RC。研究杆AB，杆在A、B两点受到约束反力

RA和RBC，以及力偶m的作用而平衡。根据力偶的性质，RA和RBC必组成一力偶。

(c)先对球进行受力分析。球除受主动力W作用外，

????在D、E两处还受光滑支承面对球的约束反力ND、????

NE的作用，这三个力的作用线应交于球心。取

AB杆为研究对象，杆在D、B、A三处受力作用。

??????????

杆在D处受球对它的作用力ND，显然ND与

?????????????

ND是互为作用力和反作用力，故 ND′=?ND。

??????????

杆在B处受绳索作用的拉力TB。由于TB和 ND′

的作用线交于点O，如下图所示。根据三力平衡汇交定理，可以判断支座A对杆的约束反力必沿通过A、O两点的连线。

??????

(d)由于不计杆重，杆AB在A、C两处受绳索作用的拉力TA和TC，

??????????

在B点受到支座反力NB。TA和TC相交于O点，

根据三力平衡汇交定理，

????

可以判断NB必沿通过

B、O两点的连线。

见图(d).

3．画出下列各图中各物体和构件的受力图。图中未画重力的重量不计，所有接触均不计摩擦。解：图中指定物体和构件的受力图分别如下。

(a)

（b

）

(c)

(

d

)

(e)

(f)

(

g)

(h)

(i)

工程力学习题答案第二章力系的简化与平衡

思考题：1.√;2.×;3.×;4.×;5.√;6.×;7.×;8.×;9.√.

习题二

1．平面力系由三个力和两个力偶组成，它们的大小和作用位置如图示，长度单位为cm，求此力系向O点简化的结果，并确定其合力位置。

???

解：设该力系主矢为R′，其在两坐标轴上的投影分别为Rx、Ry。由合力投影定理有：

角Rx=

y

∑x=1.5?3=-1.5kN

R=∑

y=?2kN

R′==2.5kNsinα=∑y/R′=?0.8；cosα=∑x/R′=?0.6

ii

2

i

i

α≈

53°（合力或主矢与x轴所夹锐角）

由合力矩定理可求出主矩：

??

M0=∑M0(Fi)=3×0.3×103?1500×0.2?100?80?2000×0.5=?580N.m

合力大小为：R=R'=2.5kN，方向α位置：d=M0′/R=

2．

≈

53°如图所示。

580

=0.232m=23.2cm，位于O点的右侧。2500

?

火箭沿与水平面成β=25角的方向作匀速直线运动，如图所示。火箭的推力F1=100kN与运动方向成θ=5角。如火箭重P=200kN，求空气动力F2和它与飞行方向的交角γ。解：火箭在空中飞行时，若只研究它的运行轨道问题，可将火箭作为质点处理。这时画出其受力和坐标轴x、y如下图所示，可列出平衡方程。

?

∑y=0

；F2?Gcos(θ+β)=0

?

（G应为P）

故空气动力F2=Gcos30=173kN

由图示关系可得空气动力F2与飞行方向的交角为γ=90+α=95。3．如图所示，移动式起重机不计平衡锤的重为P=500kN，其重心在离右轨1.5m处。起重机的起重量为P1=250kN，突臂伸出离右轨10m。跑车本身重量略去不计，欲使跑车满载或空载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重量P2以及平衡锤到左轨的最大距离x。

解：起重机整体受力如图。满载时要使起重机

?

?

（α应为Υ）

??

不发翻倒，需同时满足FNA≥0和∑MB(F)=0，

P2(x+3)?3FNA?1.5P?10P1=0

解得：P2(x+3)≥3250

（1）

空载时，要使起重机不翻倒，需同时满足

??

M(∑AF)=0，

P2x?3FNB?4.5P=0和FNB≥0

解得：P2x≤2250

（2）

由（1）、（2）两式得：P2≥333.3kN，x≤6.75m即：P2min=333.3kN，xmax=6.75m

4．梁AB的支承和荷载如图，CB⊥AB，梁的自重不计。则其支座B的反力RB大小为多少？解：梁受力如图所示：

??

由∑MA(F)=0得：

(?4×2×1+10?401?404+RBsin30?×4=0（40应为4）=-8+10-2√2–8√2+2RBRB=5√2–1=6.07kN（-4×2×1+10-40.sin45°×1-40.cos45°×4+RBsin30°×4=0）

RB=5√2–1=6.07kN

解得；(RB=?1=69.7kN)

5．起重机构架如图示，尺寸单位为cm，滑轮直径为d=20cm，钢丝绳的倾斜部分平行于BE杆，吊起的荷载Q=10kN，其它重量不计。求固定铰链支座A、B的反力。

解：先研究杆AD如图(a)

(下面第一种解法是弯路,请看第二种解法)

(a)

(b)

(解法1)由几何关系可知：tanα=

??

由∑MA(F)=0，YDi800+Qsinα(800?CD)=0

3310，sinα=，CD=45sinα

∑Y=0，Y

A

+Qsinα+YD=0

解得：YD=?5.875kN，YA=?0.125kN再研究整体，受力如图(b),由

∑Y=0，Y+Y?Q=0

∑X=0，X+X=0

??

∑M(F)=0，Xi600?Q(800+300+10)=0

A

BA

B

A

B

解得：YB=10.125kN，XA=?18.5kN，XB=18.5kN

(解法2)

解：（1）取整体为研究对象，画受力图，列平衡方程

∑Yi=0，YA+YB–Q=0

YA+YB=Q=10kN（1）

∑Xi=0，XA+XB=0（2）

∑MD=0，XB.6-YA.8-YB.8–Q.3.1=0

XB=111/6=18.5kN

代入(2)式,得XA=-18.5kN取ACD杆为研究对象,画受力图∑MD=0,-YA×8–Q×0.1=0

YA=-10×0.1/8=-0.125kN

代入（1），得Y=-Y+10=10.125kN

6．平面桁架的支座和荷载如图所示，求杆1，2和3的内力。解：用截面法，取CDF部分，受力如图(b),

由

∑X=0

，?F3=0

??2

，M(F)=0?aF?aF2=0∑D

32

解得：F3=0，F2=?F（压）

3

再研究接点C，受力如图（c）

??aa

有∑MF(F)=0，F1i?F2i=0

23

解得：F1=?

(g为×号

F1.a/2–F2.a/3=0)

4

F（压）9

7．梁的支座及荷载如图所示，求支座的约束力。解：(a)AB梁受力如图(a)所示。

∑Y=0，F?qb?F+F

AY

NB

=0

(注意:式中的“g”是“×”号，以下同)

??b

，M(F)=0Fi2b?M?Fb+qbi=0∑ANB

2

解得：FAX=0，FAY=

FM5

?+qb，22b4

FNB=

FM1+?qb22b4

AX

（b）AB梁受力如图(b)所示。由

∑X=0，F

=0

1

，Y=0?+?FFqi3b+FNB=0∑AY

2

??1

，Fbqi3bib+FNBi2b=0?MF()=0∑A

2

3313

解得：FAY=F+qb，FNB=?F+qb

2424

(c)先研究BC梁，如图(c1)所示。

???

由

∑MB(F)=0，FNCi6cos30?20×6×3=0

（应为sin30°）

∑X=0，F∑Y=0，F

BX

?FNCsin60?=0?20×6?FNCcos60?=0

BY

解得：FNC=120kN，FBX=kN，FBY=60kN再研究AB梁.受力如图(c2)所示。由

∑X=0,F?F′=0∑Y=0,F?F′=0

??

∑M(F)=0,M?3F′?40=0

AX

BX

AY

BY

A

A

BY

解得:FAX=104kN,FAY=60kN,MA=220kΝim(d)先研究CD梁,受力如图(d1)。由

∑X=0,F=0

∑Y=0,F+F?

2.5×2=0

??

∑M(F)=0,?4F?5+2.5×2×

3=CXND

CY

D

CY

解得:FCY=2.5kN,FCX=0,

FND=2.5kN

再研究ABC梁,受力如图(d2由

′,X=0?=0FF∑AXCX

??,?+×?M(F)=02F51∑BAY∑Y=0,F

AY

+FNB?2.5×2?5?FCY′=0

?

解得:FAX=0,FAY=?2.5kN,FNB=15kN

8.图示夹钳夹住钢管,已知钳口张角为20,F=F1。问钢管与夹钳间的静摩擦因数至少应为多少才夹得住而不至滑落?（应为F=F’）

解:取钢管为研究对象,设管、钳摩擦力为F1、F1’,受力如图.列出平衡方程:

∑X=0

①

，F1cos10+F1cos10?N1cos80?N1cos80=0

'

'

'

?'??'?

根据结构的对称性及F=F知:F1=F1,N1=N1钢管处于临界状态时:F1≤fN1,F1≤fN1

'

'

②

③

cos80?

联立可解得:f≥=0.176?

cos10

既钢管与夹钳的静摩擦因数至少应为0.176才夹得住而不至滑落。

(解法2):由考虑摩擦时物体平衡条件与主动力大小无关,而与其方向有关(见课本P61:(4)自锁现象),且当物体处于将要滑动的临界状态时

Fmax=fN=tanfmN,fm=10°即

f=tanfm=tan10°=0.176

9.尖劈起重装置如图所示。尖劈A的顶角为α,B块受力F1作用。A块与B块之间的静摩擦因数为。如不计A块与B块的重量，求能保持平衡的力F2范围。f（有滚珠处摩擦力忽略不计）

(a)

解：当F2较小时，B块有沿尖劈向下滑动趋势，此时B块及尖劈A受力如图（a）。

对滑块B有：

∑Y=0，

?F1+N1cosα+Fmaxsinα=0

①③

处于临界状态时Fmax=fN1

②

将②代入①可得：N1=对于尖劈A：

F1

cosα+fsinα

2

∑X=0，?F

'

+N1'cosα+Fmaxcosα=0

既：?F2+N1sinα?fN1cosα=0联立③④可解得：F2min=

④

sinα?fcosαtanα?f

F1=F1

cosα+fsinα1+ftanα

再求F2的最大值，此时B块有沿尖劈向上滑动趋势，受力如图(b)。用上述同样的办法可求得：

F2max=

tanα+f

F1

1?ftanα

因此，使系统保持平衡的力F2范围为：

tanα?ftanα+f

F1≤F2≤F1

1+ftanα1?ftanα

10．杆子的一端A用球铰链固定在地面上，杆子受到30kN的水平力的作用，用两根钢索拉住，使杆保持在铅直位置，求钢索的拉力FT1、FT2和A点的约束力。

解：研究竖直杆子，受力如图示。

??

由∑MX(Fi)=0，30×4?9FT2cosαsinβ=0

??

∑MY(Fi)=0，?6FT1+FT2cosαcosβ=0

①②③④

∑X=0，Fcosαcosβ+X?F=0∑Y=0，Y+Fcosαsinβ?30=0∑Z=0，?Fsinα+Z=0

T2

A

T1

A

T2T2

A

⑤

由三角关系知：cosα=

=

0.486，sinα==0.874⑥

sinβ=0.6，cosβ=0.8

将⑥代入①得：FT2=45.8kN

将FT2=45.8kN代入②可得：FT1=26.7kN将FT1，FT2分别代入③、④、⑤可得：

XA=8.90kN，YA=16.67kN，ZA=40.00kN

???

既FNA=8.90i+16.67j+40.00k（kN）

11．图示长方形均质薄板重P=200Ν，用球铰链A和蝶铰链B固定在墙上，并用绳子CE维持在水平位置。求绳子拉力及支承约束力。（提示：由于间隙，蝶铰链约束相当于轴心为y轴的轴承，只有两个约束力分量。）

解：研究板，受力如图。设CD=a，BC=b

???b?

由∑MY(F)=0，pi?bFTsin30=0

2

???

，∑MX(F)=0

a

aFTsin30??pi+FBZa=0

2???

∑MZ(F)=0，?aFBX=0

∑X=0

FAX+FBX?FTcoa30?sin30?=0

，

∑Y=0，F∑Z=0，F

AYAZ

?FTcoa30?cos30?=0?P+FTsin30?+FBZ=0

解得：FT=200Ν，FBZ=FBX=0，

FAX=86.6Ν，FAY=150Ν，FAZ=100Ν。

12．作用于齿轮上的齿合力F推动胶带轮绕水平轴AB作匀速转动。已知胶带紧边的拉力为200N，松边的拉力为100N，尺寸如图所示。求力F的大小和轴承A、B的约束力。

解：整体受力如图所示，由

??

∑MZ(Fi)=0，?Fcos20?×120+200×80?100×80=0

??M(∑YFi)=0?Fsin20?×100+FBX×350+100×250+200×250=0???

，()=0?cos20×100?FBY×350=0MFF∑Xi

可得：F=70.9Ν

可得：FBX=?207Ν

可得：FBY=?19.1Ν

∑X=0，F∑Y=0，F

AX

+FBX+100+200?Fsin20?=0+FBY+Fcos20?=0

可得：FAX=?68.4Ν

AY

可得：FAY=?47.6Ν

13.匀质杆AB长L，杆重P，A端用球铰固连于水平面上，B端靠在铅直墙壁上，如图所示。已知A点到墙的距离OA=a，杆的B端与墙面间的静滑动摩擦因数为f，试用最简单的方法求杆将要滑下时的临角角度a。

解：设AB杆处于临界状态，受力如图，由

∑X=0，F??

∑M(F)=0

Z

i

AX

?FScosα=0

，

?aFAX+Fα=0

式中，FS=

fsFNB解得：tanα=

14．已知木材与钢的静滑动摩擦因数为fs=0.6，动滑轮摩擦因数为fd=0.4，求自卸货车车厢提升多大角度时，才能使重的木箱开始发生滑动？

解：取木材为研究对象，受力如图所示由

∑X=0，F?psinθ=0∑Y=0，N?pcosθ=0

S

（1）（2）

式中FS=?SN

联立（1）、（2）、（3）可得：

（3）

tanθ=fS=0.6，θ=arctan0.6=31?

15．在图示匀质板中，已知：L=5cm，R=5cm。试求图示平面图形的形心。（提示：半圆形的Ⅰ：?A1=

12

×2L×3L=3L2，x1=?L，y1=L23

2

Ⅱ.?A2=2L×4L=8L，x2=L，y2=2LⅢ.?A3=

π24R

，y3=LR，x3=2L+

23π

π

A=?A1+?A2+?A3=3L2+8L2+R2

2

由形心公式（2-33）得：

22π24L22

3L(?L)+8LiL+Li(2L+?Aixi=3.9cmxc==

A3L2+8L2+R22π24L22

382(2)LiL+LiL+LiL+?Aiyiyc===8.18cm

A3L2+8L2+R22

(L=R)（g应为×号）

16.房屋建筑中，为隔壁而采用的空心三角形楼梯踏步如图所示，求其横截面的形心位置。解：用负面积法

三角形：?A1=

122

×28×20=280，x1=×28，y1=×20233

圆形：?A2=?16π，x2=20，y2=14

A=A1+A2=280-16

p

2

280××28?16π×20

形心：xc==18.4cm280?16π2

280××20?16π×14

=13.2cmyc=

280?16π

工程力学习题答案

第七章

思考题

1．内力是由于构件受到外力后，其内部各部分之间相对位置发生改变而产生的。（对）2.若杆件截面性状及尺寸一定，则载荷越大，横截面上的应力越大。(对)3.在相同载荷作用下，杆件材料越软，则横截面上的应力越低。(错)4.对于各向同性材料，同一点在不同方向上的应力相等。(错)5.若杆件的总变形为零，则杆内的应力必须等于零。(错)

6.若杆件在某个方向的应力等于零，则该方向的应变也必定为零。(错)

7.在轴向拉伸杆中，若一横截面的位移大于另一横截面的位移，则其应力也必是前者大于后者。(错)8.对于静不定结构，各杆内力的大小与材料的弹性模量E杆的横截面面积A有关，而静定结构，各杆内力的大小与EA无关。(对)习题七

（1）绘轴力1.图示阶梯杆，P1=2kN、P2=3kN，d1=12mm、d2=8mm，l=500mm。试求：图；（2）最大正应力。

解：（1）取1-1截面右段：N1=P1+P2=5kN

取2-2截面右段：N2=P2=3kN(2)σ1=

N1Ni4

=12A1πd1

5×103×4

=44.2MPa=2

π×12

N2N2i43×103×4 σ2====59.7 MPa22

A2πd2π×8

∴σmax=59.7MPa

2.钢杆受力P=400kN，已知拉杆材料的许用应力[s]=100MPa，横截面为矩形，如

b=2a,试确定a、b的尺寸。

解：根据强度条件，应有

σ=

PP

=≤[σ]Aaib

将b=2a代入上式，解得

=44.72mm=a≥

由b=2a，得

b≥89.44mm

所以，截面尺寸为b≥89.44mm，a≥44.72mm。

3.图示为钢制阶梯形直杆，材料比例极限sp=200MPa，许用应力[s]=160MPa，各段截面面积分别为：（1）求直杆的总变形；（2）校核该杆的强度。A1=A3=400mm2，A2=200mm2，E=200GN/m2。

解：首先根据已知条件，求各段内力

N3=80+30?50=60kNN2=30?50=?20kN

N1=30kN

根据内力求各段应力

N360×103

Pa=150MPaσ3==?6

A3400×10N2?20×103

Pa=?100MPa=σ2=?6

A2200×10N130×103

Pa=75MPa=σ1=?6

A1400×10

（1）因为σ1,σ2,σ3均小于材料比利极限σP，所以用虎克定律求总变形

△L=∑=

σiLi1

=[σ1L1+σ2L2+σ3L3]Ei=1E

3

1666?m=0.125mm75×10×1?100×10×2?150×10×1?9??200×10

2

（2）因为σ1

4.图示AB杆在B、C两点分别受集中力作用，已知杆长2l=20cm,横截面积A=2cm，材料的比例极限

sp=210MPa，屈服极限sp=260MPa，弹性模量E=200GPa,受力后AB杆的总伸长为0.9mm，求AC、

BC段的应变。

解：首先求各段内力

NBC=60kNNAC=?40kN

根据内力求各段应力

σBC

NBC60×103

===300MPa>σP

A2×10?4σAC

NAC?40×103===?200MPa

A2×10

因为AC段在弹性变形范围内，可用虎克定律求应变

εAC

σAC?200×106

=?0.001==9

E200×10

△LBC△L?εACiLAC

（eAC=DLAC/LAC）=

LBCLBC

因为BC段超过弹性范围，应该用定义求应变

εBC=

0.9×10?3+0.001×10×10?2

==0.01?2

10×10

5.图示为二杆所组成的杆系，AB为钢杆，其截面面积为A1=600mm，钢的许用应力sp=140MPa；

2

BC为木杆，截面面积A2=30?103mm2，其许用拉应力[st]=8MPa，许用压应力[sc]=3.5MPa。求最

大许可载荷P。

解：B铰链的受力如图所示

∑X=0

∑Y=0

解上式得

-NAB+NBCcosθ=0

-

P+NBCsinθ=0

NAB=Pictgθ

NBC=P/sinθ

根据强度条件，求许用荷载

AB杆：

得

NAB

≤[σ]A1P1ictgθ

≤[σ]A1

?66

P1≤A1i[σ]itgθ=600×10×140×10×

2.2

=132kN1.4

BC杆受压，用[σC]校核强度

NBCP2

=≤[σC]A2sinθiA2

得

P2≤[σC]i

A2isinθ=3.5×106×30×103×10?6=88.6kN3

所以系统最大许可载荷

2

P=88.6kN

2

6.图示结构中，梁AB的变形及重量可忽略不计。杆①、②的横截面积均为400mm，材料的弹性模量均为200GN/m。已知：L=2m,l1=1.5m,l2=1m,为使梁AB在加载后仍保持水平，载荷P的作用点C与点A的距离x应为多少？

解：对AB杆进行受力分析

∑M∑M

BA

=0=0

?N1iL+Pi(L?x)=0

?Px+N2iL=0

解上二式得：

N1=

P(L?x)L

N2=

PxL

欲使加载后AB保持水平，应有△l1=△l2

N1l1Nl

=△l2=22

EAEA

P(L?x)il1P(2?x)i1.5Pixi1

得：==

L22

解得：x=1.2m△l1=

7.

试校核图示联接销钉的剪切强度。已知P=100kN，销钉直径d=30mm，材料的许用剪应力

[t]=60MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉？

解：（1）剪切面上的剪力。校核销钉剪切强度

Q=

P

2

QPi4100×103×4τ====70.7MPa>[τ]22?6

A2πd2×π×30×10

所以销钉强度不合格。（2）根据强度条件

τ=

QPi4

≤[τ]=2

A2πd

所以

8．

=d≥

=32.57mm

木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，h=4.5cm。

p=40kN。试求接头的剪应力和挤压应力。

解：作用在接头上的剪力Q=P，剪切面积为bh

P40×103

接头的剪切应力为τ==Pa=0.952MPa?4

bh12×35×10

作用在接头上的挤压力和挤压面积分别为P和bc，接头的挤压应力为

P40×10?3

Pa==7.41MPaσj==?4

bc12×4.5×10

2

9.由五根钢杆组成的杆系如图所示。各杆横截面积均为500mm，E=200GPa。设沿对角线AC方向作用一对20kN的力，试求A、C两点的距离改变。

解：A铰链受力如图所示，

由平衡条件

∑Y=0

解上式得

N1?Pcos45°=0Psin45°?N2=0N1=

,N2=P=10√2kN由于结构对称，故有N3=N4=10√2kN

=N1=

P=10√2kNB铰链受力如图，由平衡条件

∑X=0

解得

N5cos45°?N1=0N5=P=20kN

3

3

-4

DL1=N1.a/EA=10√2×10.a/200×10×500=√2×10.a

⊿L5=20×10=2√2.×10.a

⊿LAC=2√(a+⊿L1)-(√2.a/2-⊿L5/2)-√2a=6.83×10.a

=2√(a+√2×10a)-(√2a/2-√2×10a)-√2.a=(2√1+2√2×10+2×10-1/2+2×10-2×10-√2)a=(2√0.5+2×(√2+1)×10-√2)a=(2√0.5+0.0004828-√2)a=(2×0.70744809–1.414213562).a=(1.41489618-1.414213562）.a=0.0006826.a=6.83×10a

N12ia杆系的总变形能为U=4×2EA=

应用卡氏定理，A、C两点的距离改变为

-4

-4

-4

-8

-4

-8

-4

2

-4

2

2

2

-4

-4

3

?UPa20×103aδA==(2+=(2i

?PEA200×109×500×10?6=0.683×10?3a

10.厚度为10mm的两块钢板，用四个直径为12mm的铆钉搭接，若在上、下各作用拉力P=20kN，如图

示，试求：（1）铆钉的剪应力；（2）钢板的挤压应力；（3）绘出上板的轴力图。

解：（1）铆钉的剪应力

由题分析可得，每个铆钉剪切面上的剪力为

P

4

QPi420×103

所以τ====44.23MPa

A4iπd2π×122×10?6

（2）钢板的挤压应力

σj=

PjAj

=

P4itd

20×103

=41.67MPa=?6

4×10×12×10

（3）上板的轴力图

11．求图示结构中杆1、2的轴力。已知EA、P、h，且两杆的EA相同。解：物块A受力如图

∑X=0

P?N1?N2icos30°=0

⊿L2=⊿L1cos30°即

①

由图可知系统变形协调关系为

N2iL2N1iL1

=cos30°EAEA

代入上式

②

将L2=

2h，L1=得：N2=

3

N14

将②式代入①式，解得

N1=0.606PN2=0.455P

工程力学习题答案

第八章

判断题：

1.传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩也越大。(错)

2.扭矩是指杆件受扭时横截面上的内力偶矩，扭矩仅与杆件所收的外力偶矩有关，而与杆件的材料和横截面的形状大小无关。(对)

3圆截面杆扭转时的平面假设，仅在线弹性范围内成立。(错)

4.一钢轴和一橡皮轴，两轴直径相同，受力相同，若两轴均处于弹性范围，则其横截面上的剪应力也相同。(对)

5.铸铁圆杆在扭转和轴向拉伸时，都将在最大拉应力作用面发生断裂。(错)

6.木纹平行于杆轴的木质圆杆，扭转时沿横截面与沿纵截面剪断的可能性是相同的。(错)7.受扭圆轴横截面之间绕杆轴转动的相对位移，其值等于圆轴表面各点的剪应变。(错)

习题八

1．直杆受扭转力偶作用如图所示，作扭矩图并写出|T|

max

轴的扭转

2．直径D=50mm的圆轴，受到扭矩T=2.15kN.m的作用。试求在距离轴心10mm处的剪应力，并求轴横截面上的最大剪应力。

TiρTiρi322.15×103×10×10?3×32

解：τρ====35MPa（单位：44?12

IPπiDπ×50×10

Nm.m/m）

截面上的最大剪应力为：τmax

4

T2.15×103×163

MPa（单位：Nm/m）===87.6

WPπ×0.053

3．功率为150kw，转速为15.4r/s的电动机轴如图所示，轴外伸端装有带轮，试对轴进行强度校核。已知：[τ]=30MPa，

d1=135mm，d2=90mm，d3=75mm,d4=70mm,d5=65mm

。

解：外力偶矩m=9550

N150=9550=1550N.mn15.4×60

由题可知，d4为危险截面。所以τmax=

T1550i161550×16

==23MPa

所以满足强度要求。

4.传动轴的转速n=8.3r/s，主动轮1的输入功率N1=368kw，从动轮2、3分别输出功率N2=147kw、（1）试按强度条件与刚度条件求AB段的直N3=221kw。已知[t]=70MPa，[q]=1?/m，G=80GN/m2。径d1，（2）如AB段与BC段选用同一直径d，试确定d的大小。（3）按经济观点，各轮应如何安排更为合理？

解：首先计算外力偶矩

N1368=9550=7057N.mn8.3×60N147

m2=95502=9550=2819N.m

n8.3×60

m3=4238N.mm1=9550

所以AB段扭矩

TAB=m1=7057N.mTBC=m3=4238N.m

BC段扭矩

(1)根据强度条件

τAB=

TAB16iTAB

=≤[τ]3WPπd1

可确定轴AB段的直径

d1≥由刚度条件

=

=80mm

θ

AB

=

TAB18032TAB180≤[θ]×=×

Gπd4πGIPπ

可确定轴AB的直径：

d1≥

2

（N/m°）°mm（单位：Nm/Nm/（=84.7=

(2)因为TAB>TBC，所以若AB和BC选用同一直径，轴的直径取d=85mm

（3）主动轮放在两从动轮之间，可减小最大扭矩值、减小轴的横截面积，经济合理。

5．实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器连在一起，已知轴的转速n=1.67r/s，传递功率N=7.4kW，材料的

[t]=40MPa，试选择实心轴的直径d1和内外径比值为1/2的空心轴的外径D2。

解：轴所传递的扭矩为

T=9550

N7.4

=9550×=705N.mn1.67×60

由实心轴强度条件：

τmax=

T16T

≤[τ]=3

Wρπid1

==44.8mm

=

可得实心圆轴的直径为

d1≥

空心圆轴的外径为：

D2≥

=45.7mm（参考例8-2，用Wp=πD3（1-α4）/16）

6．机床变速箱第Ⅱ轴如图所示，轴所传递的功率为N=5.5kW,转速n=200r/min，材料为45钢，

[t]=40MPa，试按强度条件设计轴的直径。

解：轴所传递的扭矩为

T=9549

N5.5=9549n200

=263N.m

由圆轴扭转的强度条件

τmax=

16iT≤τT

[]=

πid3Wρ

可得轴的直径为

d≥

=

=32.2mm

2

取轴径为d=33mm

7.某机床主轴箱的一传动轴，传递外力偶矩T=5.4N.m，若材料的许用剪应力[t]=30MPa，G=80GN/m,

[q]=0.5?/m，试计算轴的直径。

解：由圆轴扭转的强度条件

τmax=

16iTT=≤[τ]Wρπid13

==9.7mm

可得轴的直径为

d1≥

由圆轴刚度条件

d2≥

=

32T180

≤[θ]Gπd24π

可确定圆轴直径

==16.7mm所以取直径d≥16.7mm

8．驾驶盘的直径?=520mm，加在盘上的力P=300N，盘下面竖轴的材料许用应力[（1）当t]=60MPa。竖轴为实心轴时，试设计轴的直径；（2）如采用空心轴，且a=较实心轴和竖心轴的重量。

解：方向盘传递的力偶矩

d

（3）比=0.8，试设计轴的内外直径；

D

m=P?=300×520×10?3=156N.m

（1）由实心轴强度条件

τmax=

T16T=≤[τ]3Wρπd

得轴的直径：

d≥

==23.6mm

3

(2)空心轴的外径为：

（公式：τmax=T/WP≤[τ],Wp=πD

（1-α4）

/16)

D≥

==28.2mm

d=Diα=28.2×0.8=22.6mm

W实A实d2实

（3）===1.96

W空A空D2空?d2空

9.图示圆杆两端固定，试求AB、BC段的扭矩与杆内最大切应力。

解：由外力偶的作用，A、C两点对圆杆作用的外力偶分别为mA,mC。所以TAB=?mA由平衡条件有：由变形协调关系，

TBC=mCmA+mC=m

①

BC

?

AB

=?

根据θ=?/L，?=TL/GIp

得

?mAiLmCi2L

+=0GIρGIρ

得到

mA=2mC

②（由

将②代入①得：TAB=mA=

22

m=×30=20kN.m33

TBC=

m1

=×30=10kN.m33

杆内最大切应力位于AB段取

τmax

TAB20×103×1640====12.73MPa3WPπ×0.2π

工程力学习题答案

第九章

判断题：

1.梁发生平面弯曲时，梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。（对）2.最大弯矩必定发生在剪力为零的横截面上。（错）

3梁上某一横截面上的剪力值等于截面一侧横向力的代数和。而与外力偶无关；其弯矩值等于截面一侧外力对截面形心力矩的代数和。（对）

4.两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图也不一定相同。（错）

5.纯弯曲时，梁变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。（错，P201图9-15）6.平面弯曲时，中性轴垂至于载荷作用面。（对）

7.若梁上某一横截面上弯矩为零，则该截面的转角和挠度必也为零。（错）

8.若梁上某一段内各截面上的弯矩均等于零，则该段梁的挠曲线必定是一直线段。（对）

9.两梁的横截面、支承条件以及承受载荷均相同，而材料不同，则两梁的挠曲线方程相同。（错E不同）10.不论载荷怎样变化，简支梁的最大挠度可以用梁的中点挠度来代表。（错）

习题九

1．设P、q、M0、l、a均为已知，如图所示试列出各题的剪力方程和弯矩方程式，绘出Q、M图并出

梁的弯曲

Qmax值和M

（a）解：AB段：

max

值。

Q(x)=?PM(x)=?Px(L≤x≤2L)

(0≤x≤L)(0≤x≤L)

BC段：Q(x)=?P

M(x)=2PL?PxQmax=P

（b）解：AB段

(L≤x≤2L)=PL

ML

2

max

Q(x)=?qx

(0≤x≤

1

M(x)=?qx2

2L

(0≤x≤)

2

BC段

9

Q(x)=?qx+qL

8

L3L(≤x≤)22

199

M(x)=?qx2+qLx?qL2

2816

L3L(≤x≤)22

5qL1

Qmax=Mmax=qL2

88

2．绘出图示各梁的剪力图和弯矩图，求出Q和M，

max并用微分关系对图形进行校核。（a）解：根据平衡方程求支反力

R16

A=

3kN，R26B=3

kN做剪力图，弯矩图

Qmax=203kN，M

=64max

9

kN.m（b）解：根据平衡条件球求支反力

RpA=

23RpB=

3

做剪力图、弯矩图

Qmax=

2p3

Mmax=pa

max

3．（a）∑MB=0,-RA.4a-qa2+q.2a.a=0,RA=qa/4(b)∑MB=0，qa×5a/2–RA.2a+qa.a+qa.a/2=0

RB=7qa/4

QA=qa/4,QB=QC–q.2a=qa/4-2qa=-7qa/4

RA=2qa,RB=qa

(a)MA=0,MD=0+qa/4×a=qa2/4ME=MD+qa2=5qa2/4MC=ME+qa/4×a=3qa2/2

(b)MA=0,MB=MA+0.5(0-qa).a=-qa2/2,MC=MB+qa.a=-qa2/2+qa2=qa2/2MD=MC+0.5.(0–qa).a=qa2/2–qa2/2=0

值。

顶点MF=MC+0.5(qa/4+0)×(2a×1/8)=49qa2/32

4.

已知图示各梁的载荷P、q，M和尺寸。（1）作剪力图和弯矩图；（2）确定Qmax值和|M解（a）

max

（a

(d)∑MB=0,-RA.a+qa/2×3a/4=0

,RA=3qa/8，RB=qa/8，QA=3qa/8，

QC=3qa/8-q.a/2=-

qa/8，MA=0，MF=0+0.5.（3qa/8+0）.3a/8=9qa2/128MC=MF–0.5.q.a/8.a/8=qa2/16

MB=MC–qa/8

×a/2=0

(e)Qmax=

7p2

Mmax

=

5pa2

（g）|Q|max

=qa|M|max=qa2/2

2

QA=RA=qa/2,QB=qa/2,QC=QA–q.a=-qa/2;MACAMF=MA+0.5×(qa/2+0)×a/2=qa2/8;

5.设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。(a)

MA=0,MB=0+3×2=6,MC=6-1×2=4,MF=4+0.5×(1+0)=4.5,MD=4.5+0.5×(0-3)×3=0

(b)

MB=0+0.5×(-10+0)=-2.5MC=0+0.5×(10+0)=2.5

6.矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m,

b2

=,q=10kN/m,[σ]=10MPa,试确定此梁横截面尺寸。h3

解：梁的最大弯矩发生在固定端截面上，

Mmax=

121

ql=( 1042)=80knm22

3

梁的强度条件s=m=80′10?[s]

wbh26

26 801063 680?10333

将b=h代入上式得￡[s]，h3(m6

32 1010h×h232

所以h=416mm，b=h=277mm

3

7．简支梁承受布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且D1=40mm,试分别计算它们的最大正压力。并问空心圆截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？

解：因空心圆与实心圆面积相等，所以

d23=,D25

π2π

D1=(D22?d22)44

34D12=D22?d22=D22?(D2)2=(D2)2

55

将D1=40mm代入上式，得：

D2=50mm，d2=30mm

均布荷载作用下的简支梁，最大弯矩产生在梁跨度中间截面上

Mmax

ql22×103×22===1kN.m88

Mmax32Mmax32×103====159MPa33

π(0.04)w1πD1M

=max=w2πD23

32

Mmax32×103

=93.6MPa=

?d24?π(0.05)3?1?(3)4?1()?????5??D?2?

实心圆截面梁的最大应力

σmax

空心圆截面最大应力

′σmax

空心圆截面梁比实心圆截面梁的最大正应力减少了

′σmax?σmax159?93.6

==41.1%

σmax159

8．T字形截面梁的截面尺寸如图所示，若梁危险截面承受在铅垂对称平面的正弯矩M=30kNm,试求：（1）截面上的最大拉应力和压应力；（2）证明截面上拉应力和等于压应力之和，而其组成的合力矩等于截面的弯矩。

解：（1）计算T字形截面对形心轴的惯性矩

33

IZ=50×150+50×150×502+150×50+50×150×502

1212

=5312.5×104mm4

最大拉应力发生在截面最下边缘

σtmax

Miy130×103×75×10?3===42.35MPa

Iz5312.5×104×10?12Miy230×103×125×10?3===70.59MPa

Iz5312.5×104×10?12

最大压应力发生在截面最上边缘

σcmax

（2）证明：①中性轴上侧压力之和为（拉、压力公式：Fc=

∫

y1

My/Iz×b1dy）

FC=∫

0.125

MiyMi0.050.125M

0.05idy=ydy=i3.90625×10?4

∫0IZIZIZ

2

-4

=M/IZ[（1/2）×0.125-0]=M/IZ0.05×0.5×0.015625=M/Iz×3.91×10

中性轴下侧拉力之和为

Nm

Ft=∫==

0.025

0.075MiyMiy

i0.05dy+∫0.15idy

0.025IZIZ

0.075M?0.025

0.05ydy+0.15ydy?∫∫?0.025?0?IZ?

M

3.90625i10?4IZ

所以截面上拉力之和等于压力之和。

∴Fc=Ft

0.125

②截面上合力矩为

∫

22

0.125My0.075MyMy2

i0.05idy+∫dy+∫0.15dy

00.025IIzIzz

=

M

0.05i10?9i1062500Iz

0.05i10?9i1062500=Mi=M4?12

5312.5i10i10

所以合力矩等于截面上的弯矩。

9.T形截面的铸铁悬臂梁及其承载情况如图示，材料的许用拉应力[σt]=40MPa，许用压应力

[σc]=80MPa，试求梁的许可载荷[p]

解：梁的弯矩图如图，弯矩的两个极值分别为

μ1=0.8P,MA=2P×1.4-P×2=0.8P

μ2=0.6P,MC=-0.6P

截面对形心轴的惯性矩为

(Iz=bh/12+Ah1,h1腹=153.6–100=53.6mm,h1翼=200-153.6+25=71.4mm)

32

?50×2003?150×5032

+50×200×53.6++50×150×71.42?mm4Iz=?

12?

12=10180cm

4

根据弯曲正应力强度条件

σmax

M

=ymax≤[σ],M≤[σ].Iz/ymax

Iz

由A截面的强度要求确定许可荷载。由抗拉强度要求得(A截面下缘拉应力最大)

1[σt]Iz140×106×10180×10?8

N=52.8KN（y1=200-153.6+50=96.4mmP≤×=×?2

0.8y10.89.64×10

=9.64×10–2m)

由抗压强度要求得(A截面上缘压应力最大)

1[σc]Iz180×106×10180×10?8-1

NKN(y=153.6mm=1.536×10.)P≤=××=662?2

0.8y20.815.36×10

由C截面的强度要求确定许可载荷：由抗拉强度得：(C截面上缘拉应力最大)

1[σt]Iz140×106×10180×10?8

N=44.1KNP≤×=×

0.6y20.615.36×10?2

显然C截面的压应力大于拉应力，不必进行计算。许用载荷为

P≤44.1KN

10．矩形截面的变截面梁AB如图示，梁的宽度为b,高度为2h（CD段）和h(AC、DB段许用应力为[σ]，为使截面C、E、D上的最大应力均等于[σ]，加强部分的长度2a应取多少？

解：由题意可得C,D,E截面的弯矩值

RA=RB=P/2

MC=MD=ME=

PL

i22

σmax=

MWZ

MCME

=WZ1WZ2

PL(?a)22

截面上最大应力值为

欲使截面C,D,E上最大应力相等，则有

即

PLPL(?a)=2bh(2h)266

解得

2a=

3L4

11．直径d=7.５cm圆截面钢梁承受载荷如图示,钢的弹性摸量E=200GPa,试求梁内最大正应力,AB段变形后的曲率半径和跨度中点C的挠度。

解：梁弯矩图如图所示

RA=RB=P，Mmax=10×0.4=4kNm

梁内最大正应力

σ=Mmax4×103max

W=

×32

z

π×7.53×10?6=96.58MPa

AB段为线弯曲，变形后曲率半径

=EI109×π×7.54×z200×M=10?8

ρ4×103×

64

跨度中点C的挠度。

yC=ρ?=77.4=3.6mm

12.筒化后的电动机轴受载及尺寸如图所示，E=200GN/m2

,定子与转子间的间隙δ=0.35mm，试校核刚度。

解：电动机轴惯性矩

πd4π×1304I×10?12

64=64

=1.4×107mm4Z=C点的挠度

)+ypl35gl4

yc=yc(pc(q)=?48EI?

384EI

（查表9-11⑤、⑦中ymax）

=?n

?3.5×103×135×1.035×103×14?200×109×1.4×107×10?12??48?384??

=?0.0308mm

因为yc=0.0308

13．用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。

解：（a）查表9-1②、④

查表9-1②挠度方程，将x=c=ι/2代入y=-Px2（3c–x）/6EI，得：yA1=-Pι/24EI，查表9-1④将x=

3

ι/2代入挠度方程；得：yA2=-m（ι/2）2/2EI=-Pι/8EI

3

2

将c=ι/2代入②，得θB=-P（ι/2）2/2EI=-Pι/8EI

pl2mlpl2

，QB2=?QB1=QA=?=?8EIEIEI

由叠加原理有

pl3

yA=yA1+yA2=-Pι/24EI-Pι/8EI=?

6EI

3

3

9pl2

QB=QB1+QB2=?

8EI

（b）由图查表9-1⑦，将x=

ι

/2代入挠度方程和转角方程，得：

当q满布整梁时x=ι/2处的挠度（当q不满布时，应乘以长度比值）。

5ql4

yA1=fA1=

384EI

5ql4

所以，yA=1/2?yA1=(↓)

768EI

由表9-1⑦，用

ι/2代换转角公式中的ι，得当q满布时ι/2处的转角，

2ql3

，所以QB1=

384EI1ql3

QB=QB1=(↗)

2384EI

(Q应为θ)

工程力学习题答案

第十章组合变形

1.已知单元体应力状态如图示（应力单位为ΜΡα），试求：（1）指定斜截面上的正应力和剪应力；（2）主应力的大小、主平面位置；（3）在单元体上画出平面位置和主应力方向；（4）最大剪应力.

解：（1）α=30斜截面上的应力：

°

30+5030?50

+cos(2×30°)?(?22

=52.3ΜΡα

30?50 τα=sin(2×30°)?20cos(2×302

=?18.7ΜΡα σα=

（2）主应力和主平面

σmax=

30+50+2=62.36ΜΡα

30+50?2=17.64ΜΡα

2×(?20)

tg2α°=?=?2

30?50 α°=?31.72°

（3）图

σmin=

σ1=62.36ΜΡα

σ2=17.64ΜΡα

（4）τmax=

=22.36Mpa2.图示起重机的最大起重吊重量为P=40kN，横梁AC由两根18号槽钢组成，材料为Q235，许用应力[σ]=120Mpa，试校核横梁的强度。

，平解：（1）外力分析：取AC为研究对象，受力如图，小车位于AC中点（此时梁的弯矩最大）衡条件

∑MC(F)=0:

NABsin30°×3.5?P×1.75=0NAB=P=40kN∑FY=0:

YC+NABsin30°?P=0YC=

P

=20kN2∑FX=0:

XC=NABcos30°=34.64kN

（2）内力分析：见轴力图，弯矩图。AC梁为压，弯组合变形，危险截面位于AC中点。

Mmax=20×1.75（=YC=35kN.m

（3）应力分析

18号槽钢(P388)

WZ=2×152.2cm3 A=29.29×2cm2

′′=34.64×ΜΡα σmax=σ′+σmax

(σ拉+α弯max=N/A+Mmax/wz，二应力均为拉应力)

（4）强度分析：

?σ121?120

==8.3×10?3=0.83%

120?为什么小车位于AC的中点时AC杆的弯矩最大：

（1）由截面法可知：小车左侧剪力为YC＞0，右侧为YC-P＜0，故小车P的作用点为弯矩图直线升、降区间的转折点，该截面弯矩最大。求小车位于距C端为x截面上的弯矩：由∑MA=0，P×(L-x)-YC.L=0,得YC=(L-x)P/L

由YC对小车作用点之矩:M=YC?x=(L-x)P/L?x=-Px/L+Px，当M’=-2Px/L+P=0时,即x=L/2时,弯矩M值最大.

3.手摇式提升机如图示，已知轴的直径d=30mm,材料为Q235钢，[σ]=80Mpa，试按第三强度理论求最大起重载荷Q。

解：（1）轴的外力

2

Q向轴简化为Q—弯曲

力偶Mn=200Q=T—扭转（2）内力—见图危险截面位中点：

Mn=200QMmax=

（

T=200Q）

QL4Q×600==150Q（Nmm）

4

轴发生弯曲与扭转组合变形（3）强度计算：

σxd3

=

Z

（Mn

应为T）

=≤[σ]Q≤

3=860N

∴最大起重载为860N.

4.图示的钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮C直径为dc=300mm,其上作用着铅直切向力P1=5kN，齿轮D的直径为dD=150mm,其上作用着水平切向力P2=10kN。若[σ]=100Mpa，试用第四强度理论求轴的直径。

解：（1）外力分析，

将P1，P2向AB

m=P1?

=750KN.mm

dc=52（2）内力分析：

在mMZ:MC1=

34

=562.5KN.mm

1

MD2=×562.5

3=187.5KN.mm

My:MD1=

3

4

=1125KN.mm

1

MC2=×3

=375KN.mm

M:MC==676.1KN.mm

MD==1140.5KN.mm

(3)强度运算：

σxd4

≤[σ]=

Z

d≥=51.8mm

5．已知应力状态如图所示（应力单位为：MPa）。

（1）分别用图解法和解析法求（a）、(b)中指定斜截面上的应力；

（2）用图解法求（c）、（d）、（e）、（f）上主应力的大小与方向，在单元体上画出主平面的位置，求最大剪应力。

（1）（a）解析法解：

σα=

50+3050?30

+22

=45MPa

50?30τα=sin60°=2

解析法求解：

σ45°=

5050

+cos90°?22

=5MPa50

τ45°=sin90°+2=25MPa

（2）图解法：

??????σ1=OA=50ΜΡa

???????σ3=OB=?50τmax=OD1=50主平面位置????

σ1=OA=55MPa

????

σ3=OB=?35?????

τmax=CD1=452α0=27

?

????

σ1=OA=45????

σ3=OB=?45????

τmax=OD=45

2α0=27?

6.图示一钢质圆杆，直径D=200mm,已知A点在与水平线60方向上的正应变ε60?=4.1×10，试求载荷P。已知E=210GN/m,μ=0.28。

2

??4

σσε=σ=nm,μ=0.28，试求圆轴表面上任一点在与母线成α=30方向上的正应变。

解：（1）绕A应力状态如图：

?

2

2.5×103×103

σ60?τ=?

π×603

=?58.9ΜΡα

（2）σ30?=?τsin2×30

?

=58.9sin60?=51ΜΡα

?

σ?60?=?τsin?2×(?60)???

=?51ΜΡα

（3）ε30?=

1

[σ30?μσ?60]E

51?0.28×(?51)==0.311×10?3

3

210×10

8．薄壁圆筒扭转一拉伸试验的示意图如图所示。若P=20kN,m=600N.m,且d=50mm,δ=2mm,

。

解：（1）绕A点取单元体，应力为：

20×103P20×103

σ

====63.66ΜΡAπdδπ×50×2

τ=

600×10Mn

==70.63ΜΡα22

2πγδ2×π×26×2

3

（2）σ

?60?=

σσ

+cos(?120?)+τsin(?22

1

=×63.66+70.63sin(?120?)4

=?45.5ΜΡα

σ

τ?60?=sin(?120?)?70.63cos(?120?)

2=8.1ΜΡα

（3）

σmax=σmin=

σ63.66==109.3ΜΡα22σ63.66?==?45.6ΜΡα22σ3=-45.6ΜΡα

σ1=109.3ΜΡα

tg2α0=?

2τ2×(?70.63)=?=2.22σ63.66

2α0=65.74?α0=32.87?

Zy-第十章组合变形补充习题解答

图10-12

10-1若在正方形横截面短柱的中间开一槽，使横截面面积减少为原横截面面积的一半，如图10-13

所示。试问开槽后的最大正应力为不开槽时最大正应力的几倍?

图10-13

解：（1）开槽前为单向压缩状态则

σmax1=

?N?PP

==A(2a)24a2

（2）开槽后中间段受力与轴线平行为压缩与弯曲的组合变形则

σmax2

a

?NM?P|=8P=|?|=|?AWZ(2a)212aa24a2

6

P

(=-P/2a.a–p.0.5a/2a.a/6=2p/a

2

)

（3）最大应力比值为

σmax2σmax1

8P2

==8倍。

4a2

10-2小型铆钉机座如图10-14所示，材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30MPa，许

σc］=80MPa。I—I截面的惯性矩I=3789cm用压应力［

作用。试校核I—I

截面的强度。

4

，在冲打铆钉时，受力P=20kN

图

10-14

解：（1）分析铆钉机座受力，由于外力与立柱轴线平行，故其发生拉弯组合变形（2）由于材料抗拉压性能不同，需校核拉压强度

NMyt20×10320×103×(400+87.5)σt=+=+=22.5+2.67=25.2MPa

AIZ(100+200)×253789×10

(第2个分子应×87.5)

MycN200×103×(400+87.5)×(225?87.5)20×103

σc=?=?

IZA3789×104(100+200)×25=22.5+2.67=32.7MPa

(第一个分子应为20×10,结果|-35.38+2.67|=32.7MPa)

所以强度足够。

10-3如图10-15所示电动机带动皮带轮转动。已知电动机功率P=12kW，转速n=900r/min，带轮直径D=200mm，重量G=600N，皮带紧边拉力与松边拉力之比为T：t=2，AB轴为直径d=45mm，材料为45号钢，许用应力［σ］=120MPa。试按第四强度理论校核该

轴的强度。

3

图10-15

解：（1）计算拉力T,t，由轴的平衡条件知

pD

=(T?t)n212D9549×=t

9002t=1273N

T=2t=2546N9549×

（2）

计算轴危险截面的扭矩和弯矩

T=(T?t)

D

=127Nm211

M=FL=(T+t+G)×0.8

44

1

=(1273+2546+600)×0.84

=884Nm

（3）由第四强度理论

σxd==

Z=100MPa

所以该轴强度足够。

10-4如图10-16所示圆截面杆受载荷P和m的作用。已知:P=0.5kN，m=1.2kN·m，圆杆材料为45号钢，［σ］=120MPa。力P的剪切作用略去不计，试按第三强度理论确定圆杆直径

d。

图10-16

解：（1）计算危险截面的扭矩和弯矩

T=m=1.2KNm

Mmax=pl=0.5×103×0.9=

450Nm

(2)由第三强度理论

WZ≥=

d≥

π×12032

d≥47.5mm

3

取d=48mm

10-5如图10-17所示拐轴在C处受铅垂力P作用。已知，P=3.2kN。轴的材料为45号钢，许用应力［σ］=160MPa。试用第三强度理论校核AB

轴的强度。

图10-17

(1)计算危险截面的扭矩和弯矩

M=p×140=3.2×140×103

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