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范文一：二元一次方程的整数解
初中数学竞赛辅导资料(10)
二元一次方程的整数解
练习10
1， 求下列方程的整数解
?公式法:x+7y=4, 5x-11y=3 ?整除法:3x+10y=1, 11x+3y=4
2, 求方程的正整数解:?5x+7y=87, ?5x+3y=110 3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材,
1， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁
数。
2， 下列方程中没有整数解的是哪几个,答:,,,,,,,,(填编号)
? 4x，2y=11, ?10x-5y=70, ?9x+3y=111,
?18x-9y=98, ?91x-13y=169, ?120x+121y=324. 6, 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分,
7( 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解:
y= 1 4 ,2
1,7y x= ,3
答案:
x,4x,4，7k,,1. 公式法?由特解得通解(k为整数) ,,y,0y,0,k,,
x,5x,5,11k,, ?由特解得通解(为k整数) ,,y,2y,2,5k,,
x,10k,3,1,10y1,y 整除法??x==-3y,……?通解是(k为整数) ,33y,1,3k,
x,3k,1,?通解是(k为整数) ,y,5,11k,
x,2x,9x,16x,22，3k,,,,222. ? ? ,…… ,k,0,,,,y,11y,6y,1y,0,5k3,,,,
甲,19甲,5甲,10甲,15甲,20甲,25,,,,,,3. 有6种截法 ,,,,,,乙,5乙,34乙,28乙,22乙,16乙,10,,,,,,
4. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.(略)
范文二：二元一次方程的整数解
11. 二元一次方程的整数解 作者德化一中 颜墀策
甲 内容提要
1. 二元一次方程整数解存在的条件：
在系数a 、b 、c 都是整数的方程ax+by=c(简称整系数方程) 中，如果a 、b 的最大公约数能整除c, 那么方程有整数解. 即：
若（a ，b ）|c ，则方程ax+by=c有整数解. 显然当a 、b 互质时，方程一定有整数解. 例如：方程3x+5y=1, 5x－2y=7, 9x+3y=6都有整数解.
返过来也成立. 即：若(a,b)不能整除c 时，方程ax+by=c没有整数解.
例如：方程9x+3y=10和 4x－2y=1都没有整数解.
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，但2不能整除1.
一般地，我们在正整数集合里研究公约数，所以（a ，b ）中的a 、b 实为它们的绝对值.
2. 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个.
我们常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解），k 叫做参变数.
通常可用以下两种方法求得它的通解.
方法一. 整除法：如 求方程5x+11y=1的整数解.
1?11y 1?y ?10y 1?y ==?2y ， (1) 555
1?y 设， 则 y=1－5k ， (2) =k (k 是整数）5解：x=
把（2）代入（1）得 x=k－2(1－5k)=11k－2.
∴原方程所有的整数解是??x =11k ?2，（k 是整数）
?y =1?5k .
?x =x 0, 方法二. 公式法：设ax+by=c有一个整数解? =. y y 0?
则它的通解是：??x =x 0+bk , （x 0,y 0可用观察法求得）.
?y =y 0?ak .
3. 求二元一次方程的正整数解：
?x >0，方法一. 先求出整数解的通解，再解不等式组?确定k 值. y >0. ?
方法二. 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数（如x=c ?by ），求这个未知数的a
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取值范围，再用观察法直接写出正整数解.
乙 例题
例1. 求方程5x －9y=18整数解的通解.
解法一：x=
设18+9y 15+10y +3?y 3?y . ==3+2y +5553?y ，则y=3－5k, 代入得x=9－9k . =k （k 为整数）5
∴原方程整数解是??x =9?9k , （k 为整数）. ?y =3?5k .
?x =0, y =?2. ?解法二：当x=o时，y=－2，即方程有一个整数解?
?x =0?9k , ∴它的通解是?（k 为整数） y =?2?5k . ?
从以上可知，整数解的通解的表达方式不是唯一的.
例2. 求方程5x+6y=100的正整数解.
解：方程5x+6y=100可化为 x=
设100?6y y =20?y ?，……(1) 55y =k (k为整数) ，则y=5k.…(2) 5
把（2）代入（1）得x=20－6k ，
∵??x >0，?20?6k >0，20, ∴k 的整数解是1，2，3. 即? 解得0＜k ?x =8, ?x =2, ?x =14, ∴原方程的正整数解是?或?或? y =10; y =15; y =5. ??? 例3. 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买这两种书各几本？ 解：设 甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x+5y=38（x 、y 都是正整数）. ?x =1, ?x =1+5k , ∵?是一个整数解， ∴它的通解是 ?（k 为整数） y =7. y =7?3k . ?? ∵x 、y 都是正整数，得不等式组??1+5k >0, 17 解得? 30 ∴整数k=0，1，2. 把k=0，1，2代入通解，得 原方程所有的正整数解??x =1, ?x =6, ?x =11, 或?或? ?y =7; ?y =4; ?y =1. 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本. 例4. 一项工程，甲单独完成需要a 天，乙单独完成需要b 天，a 、b 都是正整数，现在乙先工作3天后，甲、乙再共同工作1天恰好完工，则a+b的值等于＿＿或＿＿. （2000年希望杯邀请赛初二试题） 41+=1，去分母，得4a+b=ab, ab－b=4a，(a－1)b=4a, b a 4a (4a ?4) +44即 b=， =4+=a ?1a ?1a ?1答：10或9. 依题意，得 ∵a 、b 都是正整数，∴只有当a=2，3，5时，b 分别等于8，6，5等式成立. 丙 练习11 1. 求下列方程的整数解： ①公式法： x+7y=4， 5x －11y=3； ②整除法： 3x+10y=1， 11x+3y=4. 2. 求方程的正整数解：①5x+7y=87； ②5x+3y=110. 3. 一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种 毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？ 4. 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，这三人各几岁？ 5. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿. （填编号） ①4x ＋2y=11, ②10x －5y=70, ③9x+3y=111, ④18x －9y=98, ⑤91x －13y=169, ⑥120x+121y=324. 6. 一张试巻有20道选择题，选对的每题得5分，选错时每题反扣2分，不答则得0分， 小军同学得48分，他最多做对几题？ 7. 8. 总面值3角的三种硬币共17枚，问其中1分、2分、5分三种硬币各几枚？ 9. 已知m 是整数且－60＜m<－30，关于x, y="" 的二元一次方程组="" ??2x="" ?3y="?5，有整数??3x" ?7y="m"> 解，则m=＿＿，x 2+y=____. (2002年希望杯邀请赛初一试题) 10. 若a 、b 都是正整数且143a+500b=2001,求a+b的值. （2001年北京市初二数学竞赛题） 31 1、二元一次方程 x+y=5的正整数解有 ______________. 解答: ∵ x+y=5,∴ y=5-x ,又∵ x , y 均为正整数, ∴ x 为小于 5的正整数.当 x=1时, y=4;当 x=2时, y=3; 当 x=3, y=2;当 x=4时, y=1. ∴ x+y=5的正整数解为 12344 321x x x x y y y y ====????????====???? 2、方程 2x+y=5的正整数解是 ___ ___。 解答:? ??==???==12, 31y x y x 3、方程 82=+y x 的正整数解的个数是( ) A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 解答: 4、方程 2x+y=9在正整数范围内的解有( ) A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 解答: 5、把面值为 1元的纸币换为 1角或 5角的硬币,则换法共有 _____种. 初中数学竞赛专题选讲 二元一次方程的整数解 一、内容提要 1， 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中， 若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果(a,b)|c 则方程ax+by=c有整数解 显然a,b互质时一定有整数解。 例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ?(9，3),3，而3不能整除10;(4，2),2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法: 若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。 方法一，整除法:求方程5x+11y=1的整数解 1,y,10y1,y1,11y= (1) , 解:x=,,2y555 1,y 设,k(k是整数)，则y=1-5k (2) , 5 把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2 x,11k,2,?原方程所有的整数解是(k是整数) ,y,1,5k, 方法二，公式法: x,x，bk,xx,,00设ax+by=c有整数解则通解是(x,y可用观察法) 00,,y,yy,y,ak00,, 3， 求二元一次方程的正整数解: ? 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ? 用观察法直接写出。 二、例题 例1求方程5x,9y=18整数解的能通解 18，9y15，10y，3,y3,y,,3，2y，解x= 555 1 3,y设(k为整数)，y=3,5k, 代入得x=9,9k ,k5 x,9,9k, ?原方程整数解是 (k为整数) ,y,3,5k, 又解:当x=o时，y=,2， x,0,9yx,0,,?方程有一个整数解它的通解是(k为整数) ,,y,,2,5ky,,2,, 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例2，求方程5x+6y=100的正整数解 100,6yy,20,y,解:x=(1)， 55 y 设(k为整数)，则y=5k,(2) ,k5 把(2)代入(1)得x=20-6k， 20,6k,0x,0,,? 解不等式组 ,,y,05k,0,, 20得0,k<,k的整数解是1，2，3，> x,8x,2x,14,,,?正整数解是 ,,,y,10y,15y,5,,, 例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本, 解:设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得 3x+5y=38 (x,y都是正整数) x,1,?x,1时，y=7，?是一个整数解 ,y,7, x,1，5k,?通解是(k为整数) ,y,7,3k, 1，5k,0,17,,k,解不等式组得解集是 ?整数k=0，1，2 ,537,3k,0, 2 x,1x,6x,11,,,把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解 ,,,y,7y,4y,1,,, 答:甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。 三、练习 1， 求下列方程的整数解 ?公式法:x+7y=4, 5x-11y=3 ?整除法:3x+10y=1, 11x+3y=4 2, 求方程的正整数解:?5x+7y=87, ?5x+3y=110 3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材, 4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97， 求兄弟三人的岁数。 5， 下列方程中没有整数解的是哪几个,答:,,,,,,,,(填编号) ? 4x，2y=11, ?10x-5y=70, ?9x+3y=111, ?18x-9y=98, ?91x-13y=169, ?120x+121y=324. 6, 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分, 7( 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解: y= 1 4 ,2 1,7y x= ,3 练习题参考答案 x,4x,4，7k,,得通解(k为整数) 1. 公式法?由特解,,y,0y,0,k,, x,5x,5,11k,, ?由特解得通解(为k整数) ,,y,2y,2,5k,, x,10k,3,1,10y1,y 整除法??x==-3y,……?通解是(k为整数) ,33y,1,3k, 3 x,3k,1,?通解是(k为整数) ,y,5,11k, x,2x,9x,16x,22，3k,,,,222. ? ? ,…… ,k,0,,,,y,11y,6y,13y,0,5k,,,, 甲,19甲,5甲,10甲,15甲,20甲,25,,,,,,3. 有6种截法 ,,,,,,乙,5乙,34乙,28乙,22乙,16乙,10,,,,,, 4. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.(略) 4 二元一次方程的整数解 湖北省麻城市张家畈镇中学 张正学 我们知道,二元一次方程有的没有整数解,如 3x+3y=1,有的有无数整数解,当方程 ax+by=c(a、 b 、 c 为整数 ) 中 a 、 b 的最大公约数整除 c 时,原方程有整数解,那么怎样求二 元一次方程的整数时呢?下面以方程 3x-4y=1为例和大家谈谈。原方程变形为:x= 3 1 4 y , x=···3, 7, 11, 15··· ···2, 5, 8, 11··· 可知 x , y 的值均呈等差递增,为了表示全部的整数解(通解) ,我们可以任意选定一个解 . 如 x=3 y=2 , 正是因为整数解中 x 、 y 的值呈等差变化,由变化规律可以直接写出通解 x=3+4t y=2+3t (t 为整数) (加号表示递增, t 的系数的绝对值表示等差) ,当 t 每取一个整 数时, 就对应方程的一个整数解, 并且方程的全部整数解都包括其中, 当然方程的通解也可 为 x=11+4t x=7+4t y=8+3t (t为整数) , 也可为 y=5+3t (t为整数) 。有兴趣的同学可以试求方程: 2x+5y=3的整数解 . 转载请注明出处范文大全网 » 二元一次方程的整数解范文三：01 二元一次方程的整数解
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