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范文一：[精华]钝角三角函数的定义
钝角三角函数的定义
大于直角(90?)小于平角(180?)的角叫做钝角，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角
形。
定义:有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
特点
1.钝角三角形的两条高在钝角三角形的外部，另一条在三角形内部。
2.钝角大于九十度且小于一百八十度。
3.钝角三角形中，作高是常做的辅助线。
4.钝角三角形中，两个锐角度数之和小于钝角度数。
5.内角和为180度，外角和为360度
钝角三角形有多少条高?
三条，任何三角形都有三条高。但是钝角三角形有两条高在三角形外面
CF是三角形ABC的三条高。如图，AD，BE，
3-2 三角形的外心 一、外心
(一)定義:三角形三邊中垂線之交點
(二)性質:
1.其位置可能在三角形的內部、外部或斜邊中點
(1)銳角三角形?內部
(2)直角三角形?斜邊中點
(3)鈍角三角形?外部
2.外心到三角形的三頂點等距離
3.三角形的外心就是三角形的外接圓圓心
，AOB,2，C,，BOC,2，A,，AOC,2，B 4.ABC是銳角三角形，則 ,
90:，BOC,360:,2，A 5.ABC是鈍角三角形且,，則 ,，A
例1:直角三角形ABC中，則(1)外心到三頂點之長度和=______， ，B,90:,AB,8,BC,6,
(2)ABC之外接圓面積=________。 ,
註:1.外心到三頂點等距
2.外心位置在直角三角形的斜邊中點
3.的外心即為外接圓的圓心 ,,
例2:一等腰三邊長為5、5、6，則其外接圓半徑=___________。 ,
，BOC,110:,例3:O是ABC之外心，若則__________。 ,，A,
(一)銳角? (二)鈍角? ,,
,,，BOC,2，A,,，BOC,360:,2，A 銳角 鈍角 ？？
，A,55:110:,360:,2，A ？
2，A,250:
，A,125:
例4:O是ABC之外心， ,
，A,80:，BOC,(1),ABC是銳角,，,ABC是銳角,，，________
，A,100:，BOC, (2),ABC是鈍角,，，________
例5:,ABC中，,ABC之外接圓半徑=__________。 ，B,30:,，C,28:,AC,6,
二、內心
(一)定義:三角形三內角分角線的交點
(二)性質:
1.位置:必在內部
2.內心到三邊等距離
(分角線上的點到所平分的角之兩邊等距離
) ID,IF,ID,IE,ID,IE,IF
3.的內心就是內切圓之圓心 ,,
(內切圓的半徑為內心到邊之距離)
4.ABI:BCI:ACI= ,,,AB:BC:AC
(高相同，均為r)
1 5.ABC之周長s，內切圓半徑r，則ABC= ,,rs2
1，BIC,180:,，1,，2 6. 証:，BIC,90:，，A2
1 ，AIB,90:，，C2
11= 180:,，ABC,，ACB22
1 ，AIC,90:，，B2
1= 180:,(，ABC，，ACB)2
1 =180:,(180:,，A)2
1 = 90:，，A2
，C,90: 7.若,ABC恰為直角三角形，，內切圓半徑r，則BC，AC,AB，2r
証: BC，AC
=y+r+x+r
=x+y+2r
AB，2r =
222 相關性質:1. AB,AC，BC
AB 2., AC，BC
2 例1.有一個,的花園面積120m，周長60m，欲再內部控一個圓形水池，則水池半徑
最大為_________m。
例2.ABC中，，I是內心， ,，B,90:,BC,7,AB,24
則1.ABC內切圓半徑=__________。 ,
2.ABC內切圓面積:ABC外接圓面積=___________。 ,,
3.ABI:BCI:ACI=__________。 ,,,
例3.ABC中，，I是內心，則ABI的面積=_________。,,AB,6,AC,8,BC,10
註:判斷銳角或鈍角三角形的方法: 2 2 2,，C ABC三邊長為a、b、c，若1.a+ b= c為直角 ,2 2 2 2.a+ b, cABC為銳角 ,,,2 2 2,，C 3.a+ b, c為鈍角
例4.ABC邊長為5、5、6，若其內心 I，外心O，則 ,IO,__________。
例5.直角三角形三邊長6,8,10，內心I，外心O，則 IO,__________。
例6.三角形三邊長10,10,16，內心I，外心O，則 IO,__________。
例7.直角,ABC中，若I為內心， ，B,90:,AC,6,BC,3,
，BIC, 則:(1)__________。
(2)內切圓面積=_____________。
(3) 內切圓半徑:外接圓半徑=___________。
三、重心(G)
(一)定義:三角形三邊中線之交點
(二)性質:
1.位置:必在內部
AG2BGCG,,, 2. 1GDGEGF
222 (或) AG,AD,BG,BE,CG,CF333
13.AFG=BFG=BDG=CDG=CEG=AEG=ABC ,,,,,,,6
1 (ABG=BCG=ACG=ABC) ,,,,3
(1.X+2Z=X+2Y
Y=Z ,
2.2X+Y=2Z+Y
X=Z ,
X=Y=Z ) ？
三角形的外心 一、外心
(一)定義:三角形三邊中垂線之交點
(二)性質:
1.其位置可能在三角形的內部、外部或斜邊中點
銳角三角形?內部 (1)
(2)直角三角形?斜邊中點
(3)鈍角三角形?外部
2.外心到三角形的三頂點等距離
3.三角形的外心就是三角形的外接圓圓心
，AOB,2，C,，BOC,2，A,，AOC,2，B 4.ABC是銳角三角形，則 ,
90:，BOC,360:,2，A 5.,ABC是鈍角三角形且，A,，則
例1:直角三角形ABC中，則(1)外心到三頂點之長度和=______， ，B,90:,AB,8,BC,6,
(2)ABC之外接圓面積=________。 ,
註:1.外心到三頂點等距
2.外心位置在直角三角形的斜邊中點
3.,的外心即為,外接圓的圓心
例2:一等腰,三邊長為5、5、6，則其外接圓半徑=___________。
，BOC,110:,例3:O是,ABC之外心，若則，A,__________。
(一)銳角,? (二)鈍角,?
,,，BOC,2，A,,，BOC,360:,2，A銳角 鈍角 ？？
，A,55:110:,360:,2，A ？
2，A,250:
，A,125:
例4:O是ABC之外心， ,
，A,80:，BOC,(1)ABC是銳角，ABC是銳角，，________ ,,,,
(2)ABC是鈍角，，A,100:，，BOC,________ ,,
例5:ABC中，ABC之外接圓半徑=__________。 ,,，B,30:,，C,28:,AC,6,
二、內心
(一)定義:三角形三內角分角線的交點
二)性質: (
1.位置:必在內部
2.內心到三邊等距離
(分角線上的點到所平分的角之兩邊等距離
) ID,IF,ID,IE,ID,IE,IF
的內心就是內切圓之圓心 3.,,
(內切圓的半徑為內心到邊之距離)
4.ABI:BCI:ACI= ,,,AB:BC:AC
(高相同，均為r)
1 5.ABC之周長s，內切圓半徑r，則ABC= ,,rs2
1，BIC,180:,，1,，2 6. 証:，BIC,90:，，A2
1 ，AIB,90:，，C2
11= 180:,，ABC,，ACB22
1 ，AIC,90:，，B2
1= 180:,(，ABC，，ACB)2
1 =180:,(180:,，A)2
1 = 90:，，A2
，C,90: 7.若,ABC恰為直角三角形，，內切圓半徑r，則BC，AC,AB，2r
証: BC，AC
=y+r+x+r
=x+y+2r
AB，2r =
222 相關性質:1. AB,AC，BC
AB 2., AC，BC
2 例1.有一個的花園面積120m，周長60m，欲再內部控一個圓形水池，則水池半徑,
_________m。 最大為
例2.ABC中，，I是內心， ,，B,90:,BC,7,AB,24
則1.ABC內切圓半徑=__________。 ,
2.ABC內切圓面積:ABC外接圓面積=___________。 ,,
ABI:BCI:ACI=__________。 3.,,,
例3.ABC中，，I是內心，則ABI的面積=_________。,,AB,6,AC,8,BC,10
註:判斷銳角或鈍角三角形的方法: 2 2 2,，C ABC三邊長為a、b、c，若1.a+ b= c為直角 ,2 2 2 2.a+ b, cABC為銳角 ,,,2 2 2,，C 3.a+ b, c為鈍角
例4.ABC邊長為5、5、6，若其內心 I，外心O，則 ,IO,__________。
例5.直角三角形三邊長6,8,10，內心I，外心O，則 IO,__________。
例6.三角形三邊長10,10,16，內心I，外心O，則 IO,__________。
例7.直角ABC中，若I為內心， ,，B,90:,AC,6,BC,3,
，BIC, 則:(1)__________。
(2)內切圓面積=_____________。
(3) 內切圓半徑:外接圓半徑=___________。
三、重心(G)
(一)定義:三角形三邊中線之交點
(二)性質:
1.位置:必在內部
AG2BGCG,,, 2. 1GDGEGF
222 (或) AG,AD,BG,BE,CG,CF333
13.AFG=BFG=BDG=CDG=CEG=AEG=ABC ,,,,,,,6
1 (ABG=BCG=ACG=ABC) ,,,,3
(1.X+2Z=X+2Y
Y=Z ,
2.2X+Y=2Z+Y
X=Z ,
X=Y=Z ) ？
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范文二：钝角三角函数的定义
钝角三角函数的定义
大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形。
定义：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 特点
1.钝角三角形的两条高在钝角三角形的外部，另一条在三角形内部。 2.钝角大于九十度且小于一百八十度。 3.钝角三角形中，作高是常做的辅助线。
4.钝角三角形中，两个锐角度数之和小于钝角度数。
5.内角和为180度，外角和为360度
钝角三角形有多少条高?
三条，任何三角形都有三条高。但是钝角三角形有两条高在三角形外面 如图，AD，BE，CF是三角形ABC的三条高。
3-2
三角形的外心
一、外心 (一)定義：三角形三邊中垂線之交點 (二)性質： 1.其位置可能在三角形的內部、外部或斜邊中點 (1)銳角三角形─內部 (2)直角三角形─斜邊中點 (3)鈍角三角形─外部
2.外心到三角形的三頂點等距離
3.三角形的外心就是三角形的外接圓圓心
4.?ABC是銳角三角形，則?AOB?2?C,?BOC?2?A,?AOC?2?B 5.?ABC是鈍角三角形且?A＞90?，則?BOC?360??2?A
例1：直角三角形ABC中，?B?90?,AB?8,BC?6,則(1)外心到三頂點之長度和=______，
(2)?ABC之外接圓面積=________。
註：1.外心到三頂點等距
2.外心位置在直角三角形的斜邊中點 3.?的外心即為?外接圓的圓心
例2：一等腰?三邊長為5、5、6，則其外接圓半徑=___________。
例3：O是?ABC之外心，若?BOC?110?,則?A?__________。
(一)銳角?─
(二)鈍角?─
?銳角?,?BOC?2?A ??A?55?
?鈍角?,?BOC?360??2?A
110??360??2?A 2?A?250? ?A?125?
例4：O是?ABC之外心，
(1)?ABC是銳角?，?ABC是銳角?，?A?80?，?BOC?________
例5：?ABC中，?B?30?,?C?28?,AC?6,?ABC之外接圓半徑
(2)?ABC是鈍角?，?A?100?，?BOC?________
=__________。 二、內心
(一)定義：三角形三內角分角線的交點 (二)性質：
1.位置：必在內部 2.內心到三邊等距離
(分角線上的點到所平分的角之兩邊等距離
ID?IF?ID?IE?ID?IE?IF)
3.?的內心就是?內切圓之圓心
(內切圓的半徑為內心到邊之距離)
4.?ABI:?BCI:?ACI=AB:BC:AC
(高相同，均為r)
1
5.?ABC之周長s，內切圓半徑r，則?ABC=rs
2
?B
1
6.?BIC?90???A
2
?1???1?I?2 8C0
証：
1
?AIB?90???C
2
11
=180???ABC??ACB
22
1
?AIC?90???B
2
1
=180??(?ABC??ACB)
2
1
=180??(180???A)
2
1
=90???A
2
7.若?ABC恰為直角三角形，?C?90?，內切圓半徑r，則
相關性質：1.AB?AC?BC
2.AC?BC＞AB
2
2
2
証：BC?AC
=y+r+x+r =x+y+2r =AB?2r
例1.有一個?的花園面積120m2，周長60m，欲再內部控一個圓形水池，則水池半徑
最大為_________m。 例2.?ABC中，?B?90?,BC?7,AB?24，I是內心， 則1.?ABC內切圓半徑=__________。 2.?ABC內切圓面積：?ABC外接圓面積=___________。
3.?ABI：?BCI：?ACI=__________。
例3.?ABC中，AB?6,AC?8,BC?10，I是內心，則?ABI=_________。
註：判斷銳角或鈍角三角形的方法：
?ABC三邊長為a、b、c，若1.a2 + b2 = c2??C為直角
2.a2 + b2 ＞ c2??ABC為銳角?
3.a2 + b2 90?，則?BOC?360??2?A
例1：直角三角形ABC中，?B?90?,AB?8,BC?6,則(1)外心到三頂點之長度和=______，
(2)?ABC之外接圓面積=________。
註：1.外心到三頂點等距
2.外心位置在直角三角形的斜邊中點 3.?的外心即為?外接圓的圓心
例2：一等腰?三邊長為5、5、6，則其外接圓半徑=___________。
例3：O是?ABC之外心，若?BOC?110?,則?A?__________。
(一)銳角?─
(二)鈍角?─
?銳角?,?BOC?2?A ?鈍角?,?BOC?360??2?A
110??360??2?A
??A?55?
例4：O是?ABC之外心，
(1)?ABC是銳角?，?ABC是銳角?，?A?80?，?BOC?________
例5：?ABC中，?B?30?,?C?28?,AC?6,?ABC之外接圓半徑
(2)?ABC是鈍角?，?A?100?，?BOC?________
2?A?250?
?A?125?
=__________。 二、內心
(一)定義：三角形三內角分角線的交點 (二)性質：
1.位置：必在內部 2.內心到三邊等距離
(分角線上的點到所平分的角之兩邊等距離
ID?IF?ID?IE?ID?IE?IF)
3.?的內心就是?內切圓之圓心
(內切圓的半徑為內心到邊之距離)
4.?ABI:?BCI:?ACI=AB:BC:AC
(高相同，均為r)
1
5.?ABC之周長s，內切圓半徑r，則?ABC=rs
21
6.?BIC?90???A
2
?1???1?I?2 8C0
?B
証：
1
?AIB?90???C
2
11
=180???ABC??ACB
22
1
?AIC?90???B
2
1
=180??(?ABC??ACB)
2
1
=180??(180???A)
2
1
=90???A
2
7.若?ABC恰為直角三角形，?C?90?，內切圓半徑r，則
相關性質：1.AB?AC?BC
2.AC?BC＞AB
2
2
2
証：BC?AC
=y+r+x+r =x+y+2r =AB?2r
例1.有一個?的花園面積120m2，周長60m，欲再內部控一個圓形水池，則水池半徑
最大為_________m。 例2.?ABC中，?B?90?,BC?7,AB?24，I是內心， 則1.?ABC內切圓半徑=__________。 2.?ABC內切圓面積：?ABC外接圓面積=___________。
3.?ABI：?BCI：?ACI=__________。
例3.?ABC中，AB?6,AC?8,BC?10，I是內心，則?ABI的面積=_________。
註：判斷銳角或鈍角三角形的方法：
?ABC三邊長為a、b、c，若1.a2 + b2 = c2??C為直角
2.a2 + b2 ＞ c2
??ABC為銳角?
3.a2 + b2 90?，則∠BOC =360?-2∠A
例1：直角三角形ABC 中，∠B =90?, AB =8, BC =6, 則(1)外心到三頂點之長度和=______，
(2)?ABC 之外接圓面積=________。
註：1. 外心到三頂點等距
2.外心位置在直角三角形的斜邊中點 3.?的外心即為?外接圓的圓心
例2：一等腰?三邊長為5、5、6，則其外接圓半徑=___________。
例3：O 是?ABC 之外心，若∠BOC =110?, 則∠A =__________。
例4：O 是?ABC 之外心，
(一) 銳角?─
(二) 鈍角?─
銳角?, ∠BOC =2∠A ∴∠A =55?
鈍角?, ∠BOC =360?-2∠A
110?=360?-2∠A 2∠A =250? ∠A =125?
(1)?ABC 是銳角?，?ABC 是銳角?，∠A =80?，∠BOC =________
例5：?ABC 中，∠B =30?, ∠C =28?, AC =6, ?ABC 之外接圓半徑
(2)?ABC 是鈍角?，∠A =100?，∠BOC =________
=__________。 二、內心
(一) 定義：三角形三內角分角線的交點 (二) 性質：
1. 位置：必在內部 2. 內心到三邊等距離
(分角線上的點到所平分的角之兩邊等距離
ID =IF ∧ID =IE ?ID =IE =IF )
3. ?的內心就是?內切圓之圓心
(內切圓的半徑為內心到邊之距離)
4. ?ABI:?BCI:?ACI=AB :BC :AC
(高相同，均為r)
1
5. ?ABC 之周長s ，內切圓半徑r ，則?ABC=rs
21
6. ∠BIC =90?+∠A
2
=1?-∠1-I ∠2 8C 0
∠B
証：
1
∠AIB =90?+∠C
2
11
=180?-∠ABC -∠ACB
22
1
∠AIC =90?+∠B
2
1
=180?-(∠ABC +∠ACB )
2
1
=180?-(180?-∠A )
2
1
=90?+∠A
2
7. 若?ABC 恰為直角三角形，∠C =90?，內切圓半徑r ，則
例1. 有一個?的花園面積120m 2，周長60m ，欲再內部控一個圓形水池，則水池半徑
最大為_________m。
証：BC +AC
=y+r+x+r =x+y+2r =AB +2r
相關性質：1. AB =AC +BC
2. AC +BC ＞AB
222
例2. ?ABC 中，∠B =90?, BC =7, AB =24，I 是內心， 則1. ?ABC 內切圓半徑=__________。 2. ?ABC 內切圓面積：?ABC 外接圓面積=___________。
3. ?ABI ：?BCI ：?ACI=__________。
例3. ?ABC 中，AB =6, AC =8, BC =10，I 是內心，則?ABI 的面積=_________。
註：判斷銳角或鈍角三角形的方法：
?ABC 三邊長為a 、b 、c ，若1.a 2 + b2 = c2?∠C 為直角
2.a2 + b2 ＞ c2??ABC 為銳角?
3.a2 + b2 90?，則∠BOC =360?-2∠A
例1：直角三角形ABC 中，∠B =90?, AB =8, BC =6, 則(1)外心到三頂點之長度和=______，
(2)?ABC 之外接圓面積=________。
註：1. 外心到三頂點等距
2.外心位置在直角三角形的斜邊中點 3.?的外心即為?外接圓的圓心
例2：一等腰?三邊長為5、5、6，則其外接圓半徑=___________。
例3：O 是?ABC 之外心，若∠BOC =110?, 則∠A =__________。
(一) 銳角?─
(二) 鈍角?─
銳角?, ∠BOC =2∠A 鈍角?, ∠BOC =360?-2∠A
110?=360?-2∠A
∴∠A =55?
2∠A =250? ∠A =125?
例4：O 是?ABC 之外心，
(1)?ABC 是銳角?，?ABC 是銳角?，∠A =80?，∠BOC =________
例5：?ABC 中，∠B =30?, ∠C =28?, AC =6, ?ABC 之外接圓半徑
(2)?ABC 是鈍角?，∠A =100?，∠BOC =________
=__________。 二、內心
(一) 定義：三角形三內角分角線的交點 (二) 性質：
1. 位置：必在內部 2. 內心到三邊等距離
(分角線上的點到所平分的角之兩邊等距離
ID =IF ∧ID =IE ?ID =IE =IF )
3. ?的內心就是?內切圓之圓心
(內切圓的半徑為內心到邊之距離)
4. ?ABI:?BCI:?ACI=AB :BC :AC
(高相同，均為r)
1
5. ?ABC 之周長s ，內切圓半徑r ，則?ABC=rs
21
6. ∠BIC =90?+∠A
2
=1?-∠1-I ∠2 8C 0
∠B
証：
1
∠AIB =90?+∠C
2
11
=180?-∠ABC -∠ACB
22
∠AIC =90?+1
2
∠B
=180?-1
2
(∠ABC +∠ACB )
=180?-1
2(180?-∠A )
=90?+1
2
∠A
7. 若?ABC 恰為直角三角形，∠C =90?，內切圓半徑r ，則
証：BC +AC =y+r+x+r =x+y+2r
=AB +2r
相關性質：1. AB 2=AC 2+BC 2
2. AC +BC ＞AB
例1. 有一個?的花園面積120m 2，周長60m ，欲再內部控一個圓形水池，則水池半徑
最大為_________m。 例2. ?ABC 中，∠B =90?, BC =7, AB =24，I 是內心，
則1. ?ABC 內切圓半徑=__________。
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例3. ?ABC 中，AB =6, AC =8, BC =10，I 是內心，則?ABI 的面積
3. ?ABI ：?BCI ：?ACI=__________。
=_________。
註：判斷銳角或鈍角三角形的方法：
三、重心(G)
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?ABC 三邊長為a 、b 、c ，若1.a 2 + b2 = c2?∠C 為直角
2.a2 + b2 ＞ c2??ABC 為銳角? 3.a2 + b2 ＜ c2?∠C 為鈍角
例4. ?ABC 邊長為5、5、6，若其內心 I，外心O ，則IO =__________ 。
例5. 直角三角形三邊長6,8,10，內心I ，外心O ，則IO =__________ 。
例6. 三角形三邊長10,10,16，內心I ，外心O ，則IO =__________ 。
例7. 直角?ABC 中，∠B =90?, AC =6, BC =3, 若I 為內心，
則：(1)∠BIC =__________。
(2)內切圓面積=_____________。
(3) 內切圓半徑：外接圓半徑=___________。
(二) 性質：
1. 位置：必在內部 2.
AG 2BG CG
===
1GD GE GF
222
AD , BG =BE , CG =CF ) 333
(或AG =
3. ?AFG=?BFG=?BDG=?CDG=?CEG=?AEG=
1
?ABC) 3
1
?ABC 6
(?ABG=?BCG=?ACG=
(1.X+2Z=X+2Y
?Y=Z
2.2X+Y=2Z+Y
?X=Z
∴X=Y=Z )
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范文五：[整理版]钝角三角函数的定义
钝角三角函数的定义
大于直角(90?)小于平角(180?)的角叫做钝角，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形。
定义:有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
特点
1.钝角三角形的两条高在钝角三角形的外部，另一条在三角形内部。
2.钝角大于九十度且小于一百八十度。
3.钝角三角形中，作高是常做的辅助线。
4.钝角三角形中，两个锐角度数之和小于钝角度数。
5.内角和为180度，外角和为360度
钝角三角形有多少条高? 三条，任何三角形都有三条高。但是钝角三角形有两条高在三角形外面 如图，AD，BE，CF是三角形ABC的三条高。
3-2 三角形的外心 一、外心
定義:三角形三邊中垂線之交點 (一)
(二)性質:
1.其位置可能在三角形的內部、外部或斜邊中點
(1)銳角三角形?內部
(2)直角三角形?斜邊中點
(3)鈍角三角形?外部
2.外心到三角形的三頂點等距離
3.三角形的外心就是三角形的外接圓圓心
4.ABC是銳角三角形，則,，AOB,2，C,，BOC,2，A,，AOC,2，B
90:，BOC,360:,2，A 5.ABC是鈍角三角形且,，則,，A
例1:直角三角形ABC中，則(1)外心到三頂點之，B,90:,AB,8,BC,6,長度和=______，
(2)ABC之外接圓面積=________。 ,
註:1.外心到三頂點等距
2.外心位置在直角三角形的斜邊中點
,, 3.的外心即為外接圓的圓心
,例2:一等腰三邊長為5、5、6，則其外接圓半徑=___________。
,，A,例3:O是ABC之外心，若則__________。，BOC,110:,
,, (一)銳角? (二)鈍角?
銳角 鈍角,,，BOC,2，A,,，BOC,360:,2，A？？
，A,55:110:,360:,2，A ？
2，A,250:
，A,125:
,例4:O是ABC之外心，
，A,80:，BOC,(1)ABC是銳角，ABC是銳角，，________,,,,
，A,100:，BOC, (2)ABC是鈍角，，________ ,,
例5:ABC中，ABC之外接圓半徑,,，B,30:,，C,28:,AC,6,=__________。
二、內心
(一)定義:三角形三內角分角線的交點
(二)性質:
1.位置:必在內部
2.內心到三邊等距離
(分角線上的點到所平分的角之兩邊等距離
ID,IF,ID,IE,ID,IE,IF )
,, 3.的內心就是內切圓之圓心
(內切圓的半徑為內心到邊之距離)
,,,AB:BC:AC 4.ABI:BCI:ACI=
(高相同，均為r)
1,,rs 5.ABC之周長s，內切圓半徑r，則ABC= 2
1，BIC,90:，，A 6. 証:2
，BIC,180:,，1,，2
1 ，AIB,90:，，C2
11= 180:,，ABC,，ACB22
1 ，AIC,90:，，B2
1= 180:,(，ABC，，ACB)2
1= 180:,(180:,，A)2
190:，，A =2
，C,90: 7.若,ABC恰為直角三角形，，內切圓半徑r，則
BC，AC,AB，2r
BC，AC 証:
=y+r+x+r
=x+y+2r
= AB，2r
222 相關性質:1. AB,AC，BC
AC，BC 2.,AB
2, 例1.有一個的花園面積120m，周長60m，欲再內部控一個圓形水池，則水池半徑
最大為_________m。
例2.ABC中，，I是內心， ,，B,90:,BC,7,AB,24
則1.ABC內切圓半徑=__________。 ,
2.ABC內切圓面積:ABC外接圓面積=___________。,,
3.ABI:BCI:ACI=__________。 ,,,
例3.,,ABC中，，I是內心，則ABI的面積AB,6,AC,8,BC,10
=_________。
註:判斷銳角或鈍角三角形的方法:
2 2 2,，C, ABC三邊長為a、b、c，若1.a+ b= c為直角
2 2 2,, 2.a+ b, cABC為銳角,
2 2 2,，C 3.a+ b, c為鈍角
, 例4.ABC邊長為5、5、6，若其內心 I，外心O，則IO,__________。
例5.直角三角形三邊長6,8,10，內心I，外心O，則IO,__________。
例6.三角形三邊長10,10,16，內心I，外心O，則IO,__________。
例7.直角,ABC中，若I為內心，，B,90:,AC,6,BC,3,
，BIC, 則:(1)__________。
(2)內切圓面積=_____________。
(3) 內切圓半徑:外接圓半徑=___________。
三、重心(G)
(一)定義:三角形三邊中線之交點
(二)性質:
1.位置:必在內部
AG2BGCG,,, 2. 1GDGEGF
222AG,AD,BG,BE,CG,CF (或) 333
1,,,,,,,3.AFG=BFG=BDG=CDG=CEG=AEG=ABC 6
1 (ABG=BCG=ACG=ABC) ,,,,3
(1.X+2Z=X+2Y
Y=Z,
2.2X+Y=2Z+Y
X=Z,
X=Y=Z )？
三角形的外心 一、外心
(一)定義:三角形三邊中垂線之交點
(二)性質:
1.其位置可能在三角形的內部、外部或斜邊中點
(1)銳角三角形?內部
(2)直角三角形?斜邊中點
(3)鈍角三角形?外部
2.外心到三角形的三頂點等距離
3.三角形的外心就是三角形的外接圓圓心
,，AOB,2，C,，BOC,2，A,，AOC,2，B 4.ABC是銳角三角形，則
90:，BOC,360:,2，A 5.ABC是鈍角三角形且,，則,，A
例1:直角三角形ABC中，則(1)外心到三頂點之，B,90:,AB,8,BC,6,長度和=______，
(2)ABC之外接圓面積=________。 ,
註:1.外心到三頂點等距
2.外心位置在直角三角形的斜邊中點
3.,,的外心即為外接圓的圓心
,例2:一等腰三邊長為5、5、6，則其外接圓半徑=___________。
,，A,O是例3:ABC之外心，若則__________。，BOC,110:,
,,(一)銳角? (二)鈍角? 銳角 鈍角,,，BOC,2，A,,，BOC,360:,2，A？？
，A,55:110:,360:,2，A ？
2，A,250:
，A,125:
,例4:O是ABC之外心，
，A,80:，BOC,,,,,(1)ABC是銳角，ABC是銳角，，________
，A,100:，BOC, (2)ABC是鈍角，，________ ,,
例5:ABC中，ABC之外接圓半徑,,，B,30:,，C,28:,AC,6,=__________。
二、內心
(一)定義:三角形三內角分角線的交點
(二)性質:
1.位置:必在內部
2.內心到三邊等距離
(分角線上的點到所平分的角之兩邊等距離
ID,IF,ID,IE,ID,IE,IF )
,, 3.的內心就是內切圓之圓心
(內切圓的半徑為內心到邊之距離)
,,,AB:BC:AC 4.ABI:BCI:ACI=
(高相同，均為r)
1,,rs 5.ABC之周長s，內切圓半徑r，則ABC= 2
1，BIC,90:，，A 6. 証:2
，BIC,180:,，1,，2
1，AIB,90:，，C 2
11180:,，ABC,，ACB= 22
1 ，AIC,90:，，B2
1= 180:,(，ABC，，ACB)2
1= 180:,(180:,，A)2
1 =90:，，A2
，C,90: 7.若ABC恰為直角三角形，，內切圓半徑r，則,
BC，AC,AB，2r
証: BC，AC
=y+r+x+r
=x+y+2r
= AB，2r
222 相關性質:1. AB,AC，BC
AC，BC 2., AB
2, 例1.有一個的花園面積120m，周長60m，欲再內部控一個圓形水池，則
水池半徑
最大為_________m。
, 例2.ABC中，，I是內心， ，B,90:,BC,7,AB,24
, 則1.ABC內切圓半徑=__________。
2.ABC內切圓面積:ABC外接圓面積=___________。,,
3.ABI:BCI:ACI=__________。 ,,,
例3.ABC中，，I是內心，則ABI的面積,,AB,6,AC,8,BC,10
=_________。
註:判斷銳角或鈍角三角形的方法:
2 2 2,，C, ABC三邊長為a、b、c，若1.a+ b= c為直角
2 2 2,, 2.a+ b, cABC為銳角,
22 2 ,，C為鈍角 3.a+ b, c
, 例4.ABC邊長為5、5、6，若其內心 I，外心O，則IO,__________。
例5.直角三角形三邊長6,8,10，內心I，外心O，則IO,__________。
例6.三角形三邊長10,10,16，內心I，外心O，則IO,__________。
, 例7.直角ABC中，若I為內心，，B,90:,AC,6,BC,3,
，BIC, 則:(1)__________。
(2)內切圓面積=_____________。
(3) 內切圓半徑:外接圓半徑=___________。
三、重心(G)
(一)定義:三角形三邊中線之交點
(二)性質:
1.位置:必在內部
AG2BGCG,,, 2. 1GDGEGF
222 (或AG,AD,BG,BE,CG,CF) 333
13.AFG=BFG=BDG=CDG=CEG=AEG=ABC ,,,,,,,6
1 (,ABG=,BCG=,ACG=,ABC) 3
(1.X+2Z=X+2Y
Y=Z,
2.2X+Y=2Z+Y
X=Z,
X=Y=Z )？
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