庸俗的水笔
范文一：大学数学概率统计概念定义归纳
一、随机事件及其概率
1. （基本概念）
随机事件定义（特点）：1. 试验可以在相同条件下重复进行； 2. 每次试验的可能
结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
3. 在一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
样本空间：随机试验的结果称为基本事件、样本或样本点。样本空间就是随机试
验所有可能的结果构成的集合，也就是由所有样本点构成的集合，通
常记为Ω
事件，事件发生与否，必然事件，不可能事件
事件（定义）：在试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机随机事件，简称事件。；；提要内容：随机试验中人们特别关注的具有某种共同特征的一些结果，从数学意义上讲，就是样本空间的子集。事件通常用大写英文字母表示。
在一次试验中，若试验结果ω∈A ，则称这次试验中事件A 发生了，否则称事件A 没有发生。
提示：事件是人们根据自己的喜爱定义的，而事件发生与否是与某次试验关联着的。
有两个特殊的事件：样本空间本身，每次试验一定发生，称为是必然事件；空集也是Ω的子集，也能称为事件，每次试验一定不会发生，称为不可能事件。
事件域：
我们希望随机试验所涉及的所有事件作为集合的运算所得到的结果还是事件，这就是所谓运算的封闭性。
随机试验的事件构成的集合类如果对最多经“可列无限多”次事件的运算的结果还是事件，则把这个集合类称为事件域。
约定随机试验的事件构成事件域，通常记为F 。
事件的概率
定义在事件域F 上的集函数P ，满足非负性、规范性、和可列可加性。
概率统计定义：随机事件A 发生的可能性大小，称为事件A 的概率。
概率公理化定义：设E 为随机试验，S 为它的样本空间，对于E 中的每一事件A ，
恰对应一个实数，记作P(A)，若它满足下列3个条件，则称P(A)
为事件A 的概率。
1. 非负性：0≤P(A) ≤1；2. 规范性：P(A)=1；
2. 可列可加性：设A1,A2, ….An ….. 是两两互不相容事件，则有
古典概型：设随机试验具有下面两个特性：1. 试验的样本空间只包含有限个元素；
2. 试验中每个基本事件发生的可能性相同。则称这种随机试验为等可
能概型或古典概型。
2. （基本理论）
事件的运算及运算定律
事件的三种基本运算：求和：和事件，两个事件A 和B 中至少有一个发生的事件。
记作A ∪B=（x|x∈A 或x ∈B ）或A+B
求积：积事件：事件A 与事件B 同时发生的事件，
记作A ∩B=（x|x∈A 且x ∈B ）或AB
求逆：对立事件，若A ∪B=S且AB=?，则事件A 与事件B
互为逆事件，事件A 域事件B 必有一个发生且只有一个发生。记为
事件的三种关系运算：相等：若A
包含：
互斥; 事件A 和事件B 不能同时发生，即AB=?。 事件的运算定律：交换律：A ∪B=B∪A,AB=BA
结合律：
分配律：
德摩根律： 易证等式
概率的运算性质：
3. （基本方法）：利用袋中摸球模型来为古典概型问题构造场景。球可以有不同
标号和不同颜色，摸球可分为有放回摸球和无放回摸球。
二、条件概率与事件的独立性
1. 基本概念
条件概率：设A,B 是两个事件，且P(A)＞0，则称P(B丨A)=
为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。
同理，当P(B)＞0时，也可类似地定义在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率：P(A丨B)=
事件的独立性
定义：设A,B 为两个事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A 与B 相
互独立
定理：设事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 这3对事件也相互
独立
事件类的独立性（略）
2. 基本理论
两个事件类是独立的可推出他们各自生成的事件域也是相互独立的。
由条件概率演绎出乘法公式：对任意两个事件A,B 若P(B)＞0，则有
P(AB)=P(B)P(A丨B)
类似地，若P(A)＞0，有P(AB)=P(A)P(B丨A)
全概率公式与贝叶斯公式及其推导 全概率公式：设事件B 1，B 2，... ，B n 为样本空间S 的一个完备事件组，则对任
意事件A ?S ，有
贝叶斯公式：设事件组B 1，B 2，...B n 为样本空间Ω的一个完备事件组，则对任意事件A ?Ω，当P(A)＞0，P(Bi ) ＞0时，有
3. 基本方法
利用全概率公式计算概率
利用全概率公式简化贝叶斯公式
三、随机变量及其分布
1. 基本概念
随机变量：设随机试验E 的样本空间为S=（e ），如果对于每个e ∈S ，都有一个
实数X(e)与它对应，则称S 上的实值单值函数X(e)为随机变量，记
作X=X(e).
离散型随机变量及其分布律
离散型随机变量定义：随机变量X 的所有可能取值是有限个或可列无限多个时称
为X 为离散型随机变量
两点分布：设随机变量X 只可能取0和1两个值，则称其分布律为
适合：合格不合格，性别登记，发芽不发芽，下雨不下雨等只有两种结果的现象 二项分布：
泊松分布：设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2?, 且概率分布为
其中, λ＞0是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作X ～π(λ)
适合：电话交换台一定时间内收到的呼叫次数，一本书一页中印刷错误次数， 原子一定时间放射的粒子数，超市一定时间的顾客数。
连续型随机变量及其概率密度函数
定义：设F(x)是随机变量X 的分布函数，如果存在非负函数f(x)，使得对于任
意实数x 均有
则称X 为连续型随机变量，f(x)为X 的概率密度函数或密度函数。
均匀分布：设连续型随机变量X 的概率密度为
则称随机变量X 在区间(a,b)上服从均匀分布，记作X ～U(a,b)
指数分布：若随机变量X 具有概率密度
其中，θ＞0，为常数，则称X 服从参数为θ的指数分布
适合：常用于可靠性统计研究，如电子元件寿命，随机服务系统的服务时间等。 正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为
其中, μ和σ(σ＞0) 都是常数，则称X 服从参数为μ和σ的正态分
布或高斯分布
2.(基本理论）
分布函数的定义及性质
定义：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数F(x)=P(X≤x)(- ∞0有
这条性质称为“无记忆性”
3. （基本方法）：利用分布函数，分布律，密度函数计算概率；求随机变量的线
性函数的概率分布；利用标准正态分布表计算一般正态分布的
概率
四、随机变量的数字特征
1. 基本概念
数学期望
离散型随机变量的数学期望
定义：设离散型随机变量X 的概率分布为P(X=xk )=pk （k=1，2，... ），称
∑x k p k =x1p 1+x2p 2+...+xk p k +...为随机变量X 的数学期望，简称期望或均值，记作E(X)。
连续型随机变量的数学期望
定义：设X 是连续性随机变量，其密度函数为f(x)，若积分∫ xf(x)dx绝对收敛，
则称此积分∫xf(x)dx的值为X 的数学期望，即E(X)=∫ xf(x)dx
随机变量函数的数学期望
设g(x)为连续函数，Y=g(X)也是随机变量X 的函数
(1)若离散型随机变量X 的概率分布为P(X=xk )=pk (k=1,2,...) 则随机变量函数Y 的数学期望为E(Y)=E[g(X)]=∑g(xk )p k
(2)若连续性随机变量X 的概率密度为f(x)，则随机变量函数Y 的数学期望为 E(Y)=E[g(X)]=∫ g(x)f(x)dx
方差
定义：设X 是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，称E{[X-E(X)]2}为X 的方
差，记作D(X)，即D(X)= E{[X-E(X)]2}
2. 基本理论
数学期望的性质
1. E(C)=C(C为任意常数)
2. E(CX)=CE(X)
3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)
4. 若X,Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)
方差的性质
1. 设C 是常数，则D(C)=0
2. 若C 是常数，则D(CX)=C2D(X)
3. 设X 与Y 是两个随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2{[X-E(X)][Y-E(Y)]};若X 与Y 相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)
3. 基本方法
熟练计算所给出的概率分布的数学期望和方差
利用定义计算简单的随机变量函数的数学期望
五、多维随机变量
1. 基本概念
多维随机变量：一般来说，设E 是一个随机试验，它的样本空间是S=(e),设
X1=X1(e),X2=X2(e)?Xn=Xn(e)是定义在S 上的随机变量，由它
们构成的一个n 维向量(X1,X2?Xn) 叫做n 维随机向量或n 维随
机变量
二维随机变量联合分布函数、联合分布律、联合密度函数
二维随机变量联合分布函数：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x 和y ， 二元函数F(x,y)= 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或者称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
联合分布律：设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值是(Xi,Yi)(i,j=1,2?),
记P(X=Xi,Y=Yj)为Pij, 称为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，
或随机变量X 和Y 的联合分布律
性质：
联合密度密度函数：对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负 函数f(x,y)使对于任意的x,y 有
则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概 率密度或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度。
性质：
二维随机变量边缘分布函数、边缘分布律、边缘密度函数 边缘分布函数：
边缘分布律：设(X,Y)为二维离散型随机变量，分布律为P(X=Xi,Y=Yj)=Pij,由
边缘分布函数得X 和Y 的边缘分布律分别为
通常将X 和Y 的边缘分布律分别记为Pi. 和P.j ，于是
边缘密度函数：
条件分布函数、条件分布律、条件密度函数
条件分布率：设(X,Y)为二维离散型随机变量，并且其联合分布律为
在已知Y=Yj的条件下，X 取值的条件分布是
在已知X=Xi的条件下，Y 取值的条件分布是
条件密度函数：设(X,Y)为连续型随机变量，并且其联合概率密度为f(x,y),若 对于固定的y ，有fy(y) ＞0, 则称 为在Y=y的条件下X 的条件概率密度，记作：
协方差与协方差矩阵
协方差：设(X,Y)为二维随机变量，若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，则称为其为
随机变量X 与Y 的协方差，记作Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E{[X-E(x)][Y-E(y)]}
矩：设X 是随机变量，若E(X^k)(k=1,2?) 存在，称它为X 的k 阶原点矩，简称
k 阶矩。若E{[X-E(X)] ^k}(k=2,3?) 存在，称它为X 的k 阶中心距
2基本理论(略)
3. 基本方法：由联合密度函数或联合分布律求边缘密度函数、边缘分布律、条件
密度函数、条件分布律；
利用分布律列表计算二维随机变量的边缘分布律、条件分布律、独
立性判定；
概率计算，利用全概率公式加积分变换求二维随机变量函数的概率
分布。
范文二：高考数学知识点总结：概率统计
一.算法，概率和统计
1.算法初步(约12课时)
(1)算法的含义、程序框图
①通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如，二元一次方程组求解等问题)，体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中(如，三元一次方程组求解等问题)，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
(2)基本算法语句
经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
3.概率(约8课时)
(1)在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，工程论文e-lunwen.com进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
(2)通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
(3)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
(4)了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率，初步体会几何概型的意义(参见例3)。
(5)通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
2.统计(约16课时)
(1)随机抽样
①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
(2)用样本估计总体
①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1)，体会他们各自的特点。
②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。
④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。
⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
(3)变量的相关性
①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
范文三：数学之统计与概率总结
题型 1 抽样方法
【例 1】 在 1000个有机会中奖的号码(编号为 000999
-)中,在公证部门监督下按照 随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码, 该抽样运用的抽样方法是 () A .简单随机抽样 B .系统抽样 C . 分层抽样 D .以上均不对
点评:关于 系统抽样要注意如下几个问题:(1) 系统抽样是将总体分成均衡几个部分, 然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本的一种抽样方 法. (2) 系统抽样的步骤:① 将总体中的个体随机编号;② 将编号分段;③ 在第一段中 用简单随机抽样确定起始的个体编号;④ 按事先研究的规则抽取样本. (3)适用范围:个体数较多的总体.
例 2、 某校共有学生 2000名, 各年级男、 女生人数如表. 已知在全校学生中随机抽取 1名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生, 则应 在三年级抽取的学生人数为()
A . 24B . 18C . 16D . 12
例 3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000人,并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图(如下图) .为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的 关系,要从这 10000人中再用分层抽样方法抽出 100人作进一步调查,则在
[)
2500,3500(元)月收入段应抽出
题型 2统计图表问题
例 4从某校高三年级随机抽取一个班,对该班 50名学生的高校招生体检表中视力情况 进行统计, 其结果的频率分布直方图如右图:若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9以上, 则该班学生中能报 A 专业的人数为
A . 10 B . 20 C . 8 D . 16例 5 某篮球运动员在一个赛季的 40场比赛中的得分的茎叶图如图所示, 则这组数据的 中位数是 ;众数是 .
例 5、 为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20位工人某天生产该产品 的数量.产品数量的分组区间为 [)45,55, [)[)[)55,65, 65,75, 75,85, [)85,95由此得到频率分布直方图如图,则这 20名工人中一天生产该产品数量在 [)55, 75 的人数是
题型 3 平均数、标准差(方差)的计算问题
例 6 、 从某项综合能力测试中抽取 100人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准 差为( )
A
B
. 5 C . 3 D . 85例 7. 若 数 据 123, , , , n
x x x x 的 平 均 数 5x =, 方 差 22σ=, 则 数 据 12331, 31, 31, , 31n x x x x ++++ 的平均 数为 ,方差为 例 8. 如图是 2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分 数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为
A . 84, 4.84 B . 84, 1.6 C . 85, 1.6 D . 85, 4
例 8、 从某地区 15000位老人中随机抽取 500人,其生活能否自理的情况如下表所示:
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 _____________人.
题型 4.线性回归分析
例 9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相
应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据
(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 y bx
a =+ ; (3)已知该厂技术改造前 100吨甲产品能耗为 90吨标准煤;试根据(2)求出的线性
回归方程,预测生产 100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤? 分析:本题中散点图好作,本题的关键是求 y 关于 x 的线性回归方程 y bx
a =+ ,它既 可以由给出的回归系数公式直接计算, 也可以遵循着最小二乘法的基本思想 ―― 即所求
的直线应使残差平方和最小,用求二元函数最值的方法解决.
解析 :(1)散点图如右
; (2) 方法一:设线性回归方程为 y bx a =+,则 222222222
(, ) (32.5) (43) (54) (64.5) 42(1814) (32.5) (43) (54) (64.5) f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-
∴ 793.54.52
b a b -==-时, (, ) f a b 取得最小值 2222(1.51) (0.50.5) (0.50.5) (1.51) b b b b -+-+-+-,
即 22250.5[(32) (1) ]572
b b b b -+-=-+,∴ 0.7, 0.35b a ==时 (), f a b 取得最小值. 所以线性回归方程为 0.70.35y x =+. 方法二:由系数公式可知, 2
66.544.53.566.5634.5, 3.5, 0.758644.5x y b -??-=====-? 93.50.70.352a =-?=,所以线性回归方程为 0.70.35y x =+. (3) 100x =时, 0.70.3570.35y x =+=,所以预测生产 100吨甲产品的生产能耗比技 术改造前降低 19.65吨标准煤.
点评:本题考查回归分析的基本思想. 求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回 归系数公式的推导过程,这里的另一个解决方法是对 (), f a b 我们再按 b 集项,即 ()()()()()2222
2, 86(36133) 2.5344.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-,而这个 时候, 当 13336172
a b -=时 (), f a b 有最小值, 结合上面解法中 3.54.5a b =-时 (), f a b 有最小值,组成方程组就可以解出 a , b 的值;方法二前提是正确地使用回归系数的计 算公式,一般考试中都会给出这个公式,但要注意各个量的计算;最后求出的 19.65是 指的平均值或者是估计值, 不是完全确定的值. 对于本题我们可以计算题目所给的数据
组的相关系数 0.9899r =, 相关指数 20.98R =. 这说明 x , y 具有很强的线性相关性,
说明解释变量对预报变量的贡献率是 98%,即耗煤量的 98%是来自生产量,只有约 2%来自其它因素, 这与我们的直观感觉是十分符合的 . 本题容易用错计算回归系数的 公式,或是把回归系数和回归常数弄颠倒了.
例 10. 为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现 对他前 7次考试的数学成绩 x 、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7次考试的成绩.
(2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115分, 请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性, 给 出该生在学习数学、物理上的合理建议.
分析 :成绩的稳定性用样本数据的方差判断, 由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程 解决. 解析 :(1) 12171788121001007x --+-++=+=;
69844161001007
y --+-+++=+=; 2994==1427S ∴数学 , 2250=7S ∴物理 , 从而 22
S S >数学 物理 ,所以物理成绩更稳定. (2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到
497??0.5, 1000.510050994
b a ===-?=, ∴线性回归方程为 0.550y x =+.当 115y =时, 130x =.
建议:进一步加强对数学的学习, 提高数学成绩的稳定性, 将有助于物理成绩的进一步 提高.
点评:《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出 “ ① 会作两个有关联变量的数据的散点 图,会利用散点图认识变量间的相关关系.② 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线 性回归方程系数公式建立线性回归方程 ” . 2007年广东就以解答题的方式考查了这个问 题,在复习备考时不可掉一轻心.
题型 5 古典概型与几何概型计算问题
例 11 、 一个骰子连续投 2次,点数和为 4的概率 .
分析 :枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后, 根据古典概型的计算 公式计算.
解析 :点数和为 4,即 ()()()1, 3, 2, 2, 3,1,基本事件的总数是 36,故这个概率是 31369
=.或是数形结合处理. 点评 :古典概型的计算是一个基础性的考点, 高考中除了以解答题的方式重点考查概率 的综合性问题外,也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算.
例 12. 如图,边长为 2的正方形内有一内切圆.在图形上随机投掷一个点,则该点落 到圆内的概率是
A . 4π B . 4π C . 44
π- D . π
分析 :就是圆的面积和正方形面积的比值.
解析:根据几何概型的计算公式,这个概率值是 4
π,答案 A . 点评:高考对几何概型的考查一般有两个方面, 一是以选择题、 填空题的方式有针对性 地考查,二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查.
例 13. 现有 8名奥运会志愿者,其中志愿者 123A A A , , 通晓日语, 123B B B , , 通晓俄 语, 12C C , 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1名,组 成一个
小组.
(1)求 1A 被选中的概率;
(2)求 1B 和 1C 不全被选中的概率.
分析 :枚举的方法找出基本事件的总数, 结合着随机事件、对立事件的概率,用古典概 型的计算公式解决.
解析:(1)从 8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1名,其一切可能的结果组成的基 本事件空间
Ω={111112121() () () A B C A B C A B C , , ,
, , , , , , 122131() () A B C A B C , , , , , , 132() A B C , , , 211212221() () () A B C A B C A B C , , , , , , , , , 222() A B C , , , 231() A B C , , , 232() A B C , , , 311312321() () () A B C A B C A B C , , , , , , , , , 322331332() () () A B C A B C A B C , , , , , , , , }
由 18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的 发生是等可能的.
用 M 表示 “ 1A 恰被选中 ” 这一事件,则
M ={111112121() () () A B C A B C A B C , , , , , , , , ,
122131132() () () A B C A B C A B C , , , , , , , , }
事件 M 由 6个基本事件组成,因而 61() 183P M =
=. (2)用 N 表示 “ 11B C , 不全被选中 ” 这一事件,则其对立事件 N 表示 “ 11B C , 全被选 中 ” 这一事件, 由于 N ={1
11211311() () () A B C A B C A B C , , , , , , , , },事件 N 有 3个基本事件组成, 所以 31() 186P N ==,由对立事件的概率公式得 15() 1() 166
P N P N =-=-=. 点评 :本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识,考查分类讨论、 “ 正难则反 ” 等数学思想方法,考查分析问题解决问题的能力.
题型 6 离散型随机变量的分布、期望与方差
例 17. 在一个盒子中,放有标号分别为 1, 2, 3的三张卡片,现从这个盒子中,有放 .. 回 .
地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,记 x y x -+-=2ξ. (1)求随机变量 ξ的最大值,并求事件 “ ξ取得最大值 ” 的概率;
(2)求随机变量 ξ的分布列和数学期望.
分析 :根据对随机变量 ξ的规定, 结合 , x y 的取值确定随机变量可以取那些值, 然后根 据其取这些值的意义,分别计算其概率.
解析 :(1) x 、 y 可能的取值为 1、 2、 3, 12≤-∴x , 2≤-x y ,
3≤∴ξ,且当 3, 1==y x 或 1, 3==y x 时, 3=ξ.因此,随机变量 ξ的最大值为 3 .
有放回抽两张卡片的所有情况有 933=?种, 9
2) 3(=
=∴ξP . (2) ξ的所有取值为 3, 2, 1, 0. 0=ξ 时,只有 2, 2==y x 这一种情况,
1=ξ时,有 1, 1==y x 或 1, 2==y x 或 3, 2==y x 或 3, 3==y x 四种情况, 2=ξ时,有 2, 1==y x 或 2, 3==y x 两种情况.
91) 0(==∴ξP , 94) 1(==ξP , 9
2) 2(==ξP . 则随机变量 ξ的分布列为:
因此,数学期望 993929190=?+?+?+?=ξE . 点评 :有放回的 “ 取卡片、 取球 ” 之类的问题, 其基本事件的总数要由分步乘法计数原理 解决,这是一类重要的概率模型.
题型 7 正态分布
例 19. 设随机变量 ξ服从正态分布 (2,9)N , 若 (1) (1) P c P c ξξ>+=<-, 则="" c="(" )a="" .="">
B . 2 C . 3 D . 4
分析 :根据正态密度曲线的对称性解决.
解析:B 根据正态密度曲线的对称性, 即直线 1x c =+与直线 1x c =-关于直线 2x =对称,故 1122
c c ++-=,即 2c =. 点评:本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识. 例 20、 设两个正态分布 2111()(0) N μσσ>, 和 2222()(0) N μσσ>, 的密度函数图像如
图所示.则有
A . 1212, μμσσ< b="" .="" 1212,=""><>
C . 1212, μμσσ>< d="" .="" 1212,="" μμσσ="">
>
分析 :根据正态密度曲线的性质解决.
解析:A 根据正态分布 ) , (2σμN 函数的性质:正态分布曲线是一条关于 μ=x 对称, 在 μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线; σ越大,曲线的最高点越底且弯曲较平缓; 反过来, σ越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡峭,选 A .
点评:考试大纲对正态分布的要求是 “ 利用实际问题直方图,了解正态分布曲线的特点 及曲线所表示的意义 ” ,这个考点多次出现在高考试卷中.
一、选择题
1.从某鱼池中捕得 120条鱼,做了记号之后,再放回池中,经过适当的时间后,再从池中
捕得 100条鱼,若其中有记号的鱼为 10条,试估计鱼池中共有鱼的条数( )
A . 1000 B . 1200 C . 130 D . 1300
2.已知 x 与 y 之间的一组数据:
则 y 与 x 的线性回归方程为 y a bx =+必过点( )
A . ()2,2 B . ()1.5,0 C . ()1,2 D . ()1.5,4
3.从 2007名学生中选取 50名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单 随机抽样从 2007人中剔除 7人, 剩下的 2000人再按系统抽样的方法抽取, 则每人入选的概 率 ( )
A .不全相等 B .均不相等
C .都相等,且为 200750 D .都相等,且为 401
4.根据某医疗研究所的调查,某地区居民血型的分布为:O 型 50%, A 型 15%, B 型 30%,
AB 型 5%.现有一血液为 A 型病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输 血的概率为 ( )
A . 15% B . 20% C . 45% D . 65%
5. 4张奖券中只有 1张能中奖,现分别由 4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有
抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 ( )
A . 1
4
B .
1
3
C .
1
2
D . 1
6.有如下四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望中奖,他应选 择的游戏盘是 ()
(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系;
(2)如果某家庭年收入为 9万元,预测其年饮食支出.
范文四：【DOC】-高考数学知识点总结：概率统计
高考数学知识点总结:概率统计
一.算法，概率和统计
1.算法初步(约12课时)
(1)算法的含义、程序框图
?通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如，二元一次方程组求解等问题)，体会算法的思想，了解算法的含义。
?通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中(如，三元一次方程组求解等问题)，理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环。
(2)基本算法语句
经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
3.概率(约8课时)
(1)在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，工程论文e-lunwen.com进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
(2)通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
(3)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
(4)了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率，初步体会几何概型的意义(参见例3)。
(5)通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
2.统计(约16课时)
(1)随机抽样
?能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
?结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
?在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
?能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
(2)用样本估计总体
?通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1)，体会他们各自的特点。
?通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
?能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。
?在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
?会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。
?形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
(3)变量的相关性
?通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
?经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
范文五：大学概率统计题目
一品英才，助你成才之《概率论与数理统计》
1. 设P （A ）=0.4,P(AUB)=0.7,当A 、B 相互独立时，P （B ）=0.5 解：由于
P（AB ）= P（A ）P （B ） 可得P （B ）=0.5 （书本P8性质6，P22定义1.7）
2. 设A 、B 为两个互不相容P(AUB)=P（A ）+P（B ）-P （AB ）的事件，P （A ）=0.8 P(B)=0.1,则P(AUB)=0.9
解：由于A 、B 为两个互不相容的事件，即A 、B 互斥，则P （AB ）=0 故P(AUB)=P（A ）+P（B ）-P （AB ）=0.9
3. 设A 与B 是两个事件，P （AB ）=0.32 P(A)=0.4,则解：P(B|A)表示事件A 发生的条件下，B 发生的概率，由公式P(B|A)= P (A ) =P (A ) P (A ) 可得 （书本P15定义1.5，P17乘法定理1.1）
则a= 1/5 E（X ）=3 E(2X+3)=9 D(X)=6/5 解：因为P(-3)+P(3)+P(5)=a+a+3a=1, 故a=1/5
E (X ) =∑x k p k =-3*a+3*a+5*3a=3(书本p88定义4.1)
K =1∞
P (AB )
和 P (A )
由期望的性质可知 E(2X+3) =2E（X ）+3=9（书本P93定理4.2） D (X ) =∑[x k -E (X ) ]P K =E (X 2) -[E (X )]=6/5
2
K =1∞
2
(书本P97定义4.2) 5. 已知随机变量X 的概率密度为
f (x ) =
+∞
{
a (x 2-x ) 0
(1≤x ≤2)
其它
2
?
则a=6/5 p ?1 x
?
6
?f (s ) dx =1∴?a (x 2-x ) dx =1?a =3?1
15?= 解： -∞
2?5
(x 2-x ) (1≤x ≤2) ?65
故X 的密度函数为f (x ) =?0(其他)
?
2332x -x (1≤x ≤2) ?5
所以X 的分布函数为F (X ) =?f (x ) =?05(其他)
?
3?31?
故P ?1 x ?=F () -F (1) =
2?25?
1
6. 设X ~N (2, 32) ，则X )=1
3
解：由题可知E(X)=2,D(X)=3
11
由期望和方差的性质可知E （-2X+1）=-2E(X)+1=-3 D(X )=() 2D(X)=1
33
(书本P93,P99)
7. 设X ~N (1，3) ，Y ~P (3)，且X 、Y 相互独立，则D （2X+Y）=13/9
(3-1) 21
= 解：由题可知X ~N (1，3) 为均匀分布，D(X)=
123
Y ~P (3)为指数分部，D(Y)= （书本P110表4-15，重点）
11
= 故D （2X+Y）=4D(X)+D(Y)=13/9 329
2
8. 设X 1，X 2，X 3 是来自总体N( 0,1) 的样本，则X 12+X 2+X 32=χ2(3)
（书本P131，卡方分布）
9. 设X ~N （0,1），Y:χ2(3) , 且X 、Y 相互独立，则 （书本P132，t 分布）
u 1=10. 设X 1，（u ，1）的样本，X 2是正态总体X ~N
2111
X 1+X 2，u 2=X 1+X 2，3332
X
=t（3） /3
u 3=X 1，均为u 的估计量，则这些估计量中的无偏估计量为：u 1, u 3最有效的估计量是：u 1 解：
由于样本与总体服从同样的分布X ~N (u , 1),
212121
?1) =E (X 1+X 2) =E (X ) +E (X ) =u +u =u 所以有E (u
333333
?3) =u 同理，E (u ?u 1，u 3均为u 的无偏估计量?1) D (u ?3), ∴u 1更有效 D (u
（书本P144，估计量的评价标准之无偏性&有效性）
11. 保险公司把被保险的人划分为3类：①谨慎的，②一般的，③冒失的，统计资料显示上述三种人在一年内的事故发生概率分别为：0.05， 0.15， 0.30，如果谨慎的被保险人占30%，一般的占50%，冒失的占20%，求被保险人一年内发生事故的概率。 解： 事件A （谨慎的），事件A （一般的）事件A （冒失的）；B 为（发生事故）123
由题可知P (B A 1) =0. 05P (B A 2) =0. 15P (B A 3) =0. 30
P (A 1) =0. 3P (A 2) =0. 5P (A 1) =0. 2
n
故由全概率公式可得：P (B ) =∑p (A i ) P (B A i ) i =1
n P (A i B ) =p (A ) ∑i P (A i ) i =1
n =∑p (A i B )
i =1
=
（书本P18定理1-2，P19定理1.3，重点）
12. 若随机变量X ~N （3, 42），求：①p {1≤x ≤7},
p {x ≤3}
②确定a 的值，使得p {x a }=p {x a }
2
的各种分布解： (1) 由于随机变量X ~N (3, 4) 服从的分布非我们已学
X -3
所以先转化为标准正态分布?即~N (0, 1)
4 ?1-3X -37-3??1X -3?
{}故P 1≤X ≤7=P ≤≤=P ≤1????-≤ 44?4?4?2?
11??
=Φ(1) -Φ(-) =Φ(1) -?1-Φ() ?=0. 5328
22??
1 (查表可知Φ(1) =0. 8413，Φ() =0. 6915) 2
同理可得P {X ≤3}=0. 5
(2) 由于标准正态分布的图像是关于y 轴对称，
a -3
所以=0, ?a =3
4 故a =3时，P {a x }=P {a ≥x }
（书本P50, 此题很大程度会是考试原题）
13. 设总体X 的密度函数为f (x , θ), X 1, X 2, X 3...... X n 为其样本，求θ的矩法估计量和极大似然估计量。
θe -x θ(x ≥0) θx θ-1(0 x 1)
(1) f (x , θ) =0(2) f (x , θ) =(x 0) 0(其他)
解 (1) 矩法估计
A 1=. 由u 1=A 1, 及
+∞+∞1-x θ u =E (X ) =xf (x , θ) dx =x (θe ) dx =1
-∞0θ
1 ?=1有=，得θ
θ
似然估计 n
n n θ ∑x i
-x i θn
f (x 1, θ) =θe =θe i =1
L (θ) =
i =1i =1
n
θ∑x i
d ln L (θ) d ln θn e i =1
方程两边同时取对数并==0
d θd θ
解得θ?=n =1
n
∑x i
i =1
(2) 矩法估计
A 1=. 由u 1=A 1, 及
u =E (X ) =+∞xf (x , θ) dx =+∞x (θx θ-1) dx =θ
1
-∞0θ+1
θ ?=1-有=，得θ
θ+1 似然估计 n n n
θ-1θ-1n L (θ) =f (x 1, θ) =θx =θx i
i =1i =1i =1
n
θ-1n
d ln θx i
d ln L (θ) i =1
方程两边同时取对数并==0 d θd θ n n
θ-1n
x i =n ln θ+(θ-1) ln x i ln θi =1i =1
n n n
n n (n ln θ+ln(θ-1) x i ) '=+ln x i =+ln x i
θθi =1i =1i =1
{{
??
∏∏
??
∏∏∏
∏
∏∏
∏∏
i
∑
n
θ
+∑ln x i =0
i =1
n
?=-?θ
n
∑ln x
i =1
n
14. 设总体X ~N （u , 0. 42），X 1, X 2, X 3...... X 16是总体的一个抽取样本的观测值，已知
=10.12，求u 的置信度为0.95的置信区间。
解：
σσ 由题可知σ2=0. 42，故u -Z a , +Z a ）n n 22
查表可知Z a =1. 96，代入数据求得置信区间为：（9. 924, 10. 316）
2
（书本P147-P150，P151表7-4，区间估计是必考题）
15. 已知某种小麦的叶片密度X ~N （u , σ2），在喷晒一种农药后再抽取5张叶片测得它们的宽度为;1.32；1.55, ；1.36；1.40；1.44 （1）求该样本的均值和方差
（2）求总体均值u 的置信度为0.95的置信区间 （3）求总体方差σ2的置信度为0.95的置信区间 解：
1
(1) =(1. 32+1. 55+1. 36+1. 40+1. 44) =1. 414
5
15122
S =(x -) =0. 030849=0.00771225∑i
5-1i =14(2) 由第一问可知S =S 2, σ未知，统计量T =
X -μ
~t (0, 1) S /n
2
?±
S
t a (n -1) ）n 2
查表可知t 0. 05(n -1) =2. 7764(3) 由题可知统计量为χ=
2
代入数据求得μ的置信度为95%的置信区间为（1. 3652356，1. 462764, ）S ~χ(n -1)
2
2
(n -1)
σ2
(n -1) S 2(n -1) S 2
?2, ）
χa (n -1) χ2a (n -1)
2
1-2
2
查表可得：χa (n -1) =11. 143
2
χ2a (n -1) =0. 484
1-2
代入数据求得σ2置信度为95%的置信区间为（0. 0027685，0. 0637376）
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