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范文一：四阶行列式的计算
四阶行列式的计算;
N 阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);
求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;
含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);
讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;
将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;
通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;
写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;
判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识
一、行列式
1.行列式的定义
用 n^2个元素 aij 组成的记号称为 n 阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有 n! 项,其中符号正负各半;
2.行列式的计算
一阶 |α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;
N 阶(n>=3)行列式的计算:降阶法
定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行 (列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为 0,利用定理展 开降阶。
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;
(2)行列式值为 0的几种情况:
Ⅰ 行列式某行(列)元素全为 0;
Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同;
Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例;
Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二.矩阵
1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);
2.矩阵的运算
(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;
(2)关于乘法的几个结论:
①矩阵乘法一般不满足交换律(若 AB =BA ,称 A 、 B 是可交换矩阵);
②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;
③若 A 、 B 为同阶方阵,则 |AB|=|A|*|B|;
④ |kA|=k^n|A|
3.矩阵的秩
(1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;
(2)秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论:
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; 阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数 (每行的第一个非零元 所在列,从此元开始往下全为 0的矩阵称为行阶梯阵)。
求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4.逆矩阵
(1)定义:A 、 B 为 n 阶方阵,若 AB =BA =I ,称 A 可逆, B 是 A 的逆矩阵(满足半边 也成立);
(2)性质:(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1), (A')^-1=(A^-1)'; (A B 的逆矩阵,你懂的 ) (注 意顺序)
(3)可逆的条件:
① |A|≠0; ② r(A)=n; ③ A->I;
(4)逆的求解
伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*; (A* A的伴随矩阵 ~) ②初等变换法(A:I) ->(施行初等变换 ) (I:A^-1) 5.用逆矩阵求解矩阵方程:
AX=B,则 X=(A^-1) B ;
XB=A,则 X=B(A^-1);
AXB=C,则 X=(A^-1)C(B^-1)
三、线性方程组
1.线性方程组解的判定
定理:
(1) r(A,b)≠r(A)无解;
(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;
(3)r(A,b)=r(A)
特别地:对齐次线性方程组 AX=0
(1) r(A)=n 只有零解;
(2) r(A)
再特别,若为方阵,
(1)|A|≠0只有零解
(2)|A|=0 有非零解
2.齐次线性方程组
(1)解的情况:
r(A)=n,(或系数行列式 D≠0)只有零解;
r(A)
X=c1α1+c2α2+…+Cn-r αn-r 。
(3)求解的方法和步骤:
①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵; ②写出对应同解方程组;
③移项,利用自由未知数表示所有未知数;
④表示出基础解系;
⑤写出通解。
3.非齐次线性方程组
(1)解的情况:
利用判定定理。
(2)解的结构:
X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-r αn-r 。
(3)无穷多组解的求解方法和步骤:
与齐次线性方程组相同。
(4)唯一解的解法:
有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。 四、向量组
1. N 维向量的定义
注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。
2.向量的运算:
(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);
(2)向量内积 α' β=a1b1+a2b2+… +anbn;
(3)向量长度
|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√ 根号 )
(4)向量单位化 (1/|α|)α;
(5)向量组的正交化(施密特方法)
设 α1, α 2, … , αn线性无关,则
β1=α1,
β2=α2-(α2’β1/β1’β) *β1,
β3=α3-(α3’β1/β1’β1) *β1-(α3’β2/β2’β2) *β2, ……… 。
3.线性组合
(1)定义 若 β=k1α1+k2α 2+… +knαn ,则称 β是向量组 α1, α 2, … , αn的一个线性组 合,或称 β可以用向量组 α1, α 2, … , αn的一个线性表示。
(2)判别方法 将向量组合成矩阵,记
A =(α1, α 2, … , αn) , B=(α1, α2, … , αn,β)
若 r (A)=r (B),则 β可以用向量组 α1, α 2, … , αn的一个线性表示;
若 r (A)≠r (B),则 β不可以用向量组 α1, α 2, … , αn的一个线性表示。
(3)求线性表示表达式的方法:
将矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。
4.向量组的线性相关性
(1)线性相关与线性无关的定义
设 k1α1+k2α2+…+knαn=0,
若 k1,k2,… , kn 不全为 0,称线性相关;
若 k1,k2,… , kn 全为 0,称线性无关。
(2)判别方法:
① r(α1, α 2, … , αn)<>
r(α1, α 2, … , αn)=n,线性无关。
②若有 n 个 n 维向量,可用行列式判别:
n 阶行列式 aij =0,线性相关(≠ 0无关) (行列式太不好打了 )
5.极大无关组与向量组的秩
(1)定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩
(2)求法 设 A =(α1, α 2, … , αn ) ,将 A 化为阶梯阵,则 A 的秩即为向量组的秩,而每 行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
五、矩阵的特征值和特征向量
1.定义 对方阵 A ,若存在非零向量 X 和数 λ使 AX =λX,则称 λ是矩阵 A 的特征值,向 量 X 称为矩阵 A 的对应于特征值 λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的求解:
求出特征方程 |λI-A|=0的根即为特征值, 将特征值 λ代入对应齐次线性方程组 (λI-A)X =0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。
3.重要结论:
(1) A 可逆的充要条件是 A 的特征值不等于 0;
(2) A 与 A 的转置矩阵 A' 有相同的特征值;
(3)不同特征值对应的特征向量线性无关。
六、矩阵的相似
1.定义 对同阶方阵 A 、 B ,若存在可逆矩阵 P ,使 P^-1AP=B,则称 A 与 B 相似。
2.求 A 与对角矩阵∧相似的方法与步骤(求 P 和∧):
求出所有特征值;
求出所有特征向量;
若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同,则 A 可对角化(否则不能对角化),将这 n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵 P ,依次将对应特征值构成对角阵即为 ∧。
3.求通过正交变换 Q 与实对称矩阵 A 相似的对角阵:
方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。
七、二次型
n
1.定义 n 元二次多项式 f(x1,x2,… , xn)=∑ a ij x i x j 称为二次型 , 若 a ij=0(i≠j) ,则称为二 交型的标准型。
i,j=1
2.二次型标准化:
配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵 Q , Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换。
3.二次型或对称矩阵的正定性:
(1)定义(略);
(2)正定的充要条件:
① A 为正定的充要条件是 A 的所有特征值都大于 0;
② A 为正定的充要条件是 A 的所有顺序主子式都大于 0;
范文二：[课程]四阶行列式的计算
四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等); 矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示; 将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵; 判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识
一、行列式
1(行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有n!项，其中符号正负各半; 2(行列式的计算
一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则;
N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法
定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比较简单的一行(列)，保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;
(2)行列式值为0的几种情况:
? 行列式某行(列)元素全为0;
? 行列式某行(列)的对应元素相同;
? 行列式某行(列)的元素对应成比例; ? 奇数阶的反对称行列式。
二(矩阵
1(矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);
2(矩阵的运算
(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果; (2)关于乘法的几个结论:
?矩阵乘法一般不满足交换律(若AB,BA，称A、B是可交换矩阵);
?矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在; ?若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|; ?|kA|=k^n|A|
3(矩阵的秩
(1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩; (2)秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论: 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。 求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4(逆矩阵
(1)定义:A、B为n阶方阵，若AB,BA,I，称A可逆，B是A的逆矩阵(满足半边
也成立);
(2)性质: (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)';(A B的逆矩阵，你懂的)(注
意顺序)
(3)可逆的条件:
? |A|?0; ?r(A)=n; ?A->I; (4)逆的求解
伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵~) ?初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A^-1) 5(用逆矩阵求解矩阵方程:
AX=B，则X=(A^-1)B;
XB=A，则X=B(A^-1);
AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)
三、线性方程组
1(线性方程组解的判定
定理:
(1) r(A,b)?r(A) 无解;
(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;
(3)r(A,b)=r(A)
(2) r(A)
再特别，若为方阵，
(1)|A|?0 只有零解
(2)|A|=0 有非零解
2(齐次线性方程组
(1)解的情况:
r(A)=n，(或系数行列式D?0)只有零解; r(A)
(2)解的结构:
X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
(3)求解的方法和步骤:
?将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵; ?写出对应同解方程组;
?移项，利用自由未知数表示所有未知数; ?表示出基础解系;
?写出通解。
3(非齐次线性方程组
(1)解的情况:
利用判定定理。
(2)解的结构:
X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
(3)无穷多组解的求解方法和步骤:
与齐次线性方程组相同。
(4)唯一解的解法:
有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。 四、向量组
1(N维向量的定义
注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。 2(向量的运算:
(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);
(2)向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn;
(3)向量长度
|α|=?α'α=?(a1^2+a2^2+…+an^2) (? 根号) (4)向量单位化 (1/|α|)α;
(5)向量组的正交化(施密特方法)
设α1，α 2，…，αn线性无关，则
β1=α1，
β2=α2-(α2’β1/β1’β)*β1，
β3=α3-(α3’β1/β1’β1)*β1-(α3’β2/β2’β2)*β2，………。 3(线性组合
(1)定义 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，则称β是向量组α1，α 2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。
(2)判别方法 将向量组合成矩阵，记
A,(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)
若 r (A)=r (B)，则β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示;
若 r (A)?r (B)，则β不可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。
(3)求线性表示表达式的方法:
将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。
4(向量组的线性相关性
(1)线性相关与线性无关的定义
设 k1α1+k2α2+…+knαn=0，
若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关;
若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。
(2)判别方法:
? r(α1，α 2，…，αn)
r(α1，α 2，…，αn)=n，线性无关。
?若有n个n维向量，可用行列式判别:
n阶行列式aij,0，线性相关(?0无关) (行列式太不好打了)
5(极大无关组与向量组的秩
(1)定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩
(2)求法 设A,(α1，α 2，…，αn)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
五、矩阵的特征值和特征向量
1(定义 对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX,λX，则称λ是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
2(特征值和特征向量的求解:
求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X,0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。
3(重要结论:
(1)A可逆的充要条件是A的特征值不等于0; (2)A与A的转置矩阵A'有相同的特征值;
(3)不同特征值对应的特征向量线性无关。
六、矩阵的相似
1(定义 对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称A与B相似。
2(求A与对角矩阵?相似的方法与步骤(求P和?): 求出所有特征值;
求出所有特征向量;
若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化(否则不能对角化)，将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为?。
3(求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵:
方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。
七、二次型
n
1(定义 n元二次多项式f(x1,x2,…，xn)=? aijxixj称为二次型,若aij=0(i?j)，则称为二交型的标准型。
i,j=1
2(二次型标准化:
配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q^-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。 3(二次型或对称矩阵的正定性:
(1)定义(略);
(2)正定的充要条件:
?A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0; ?A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;
范文三：四阶行列式展开 四阶行列式的一种展开法1
导读:就爱阅读网友为您分享以下“四阶行列式的一种展开法1”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!
四阶行列式的一种展开法正文
四阶行列式的一种展开法
笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。
四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体方法如下:
四阶行列式:
a11
D4
a21a31a41
a12a22a32a42
a13a23a33a43
1
a14a24a34a44
第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可
在前四列中作出两条对角线，然后在此七列中作出相应的平
行线，可得(图表一):
a11a12a21a31a41a42a13a43
a14 44
a11a12224142a13a23a33(图表一)
作乘积关系，可得如下八项:
a11a22a33a44,a12a23a34a41,a13a24a31a42,a14a21a32a43,a41a32a23a14,a42a33a24a11,a43a34a21a12,a44a31a22a13, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知
道，此八项的符号是正负相间的。
a11a12a21a31a41a42aa43
(图表二)
a44a11a12224142a13a23a3343
同前理可得如下八项:
a11a23a34a42,a13a24a32a41,a14a22a31a43,a12a21a33a44,a41a33a24a12,a43a34a22a11,a14a32a21a13,a42a31a23a14, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知
2
道，此八项的符号仍是正负相间的。
第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2
列变到第4列上去，第3列变到第2列上去，第4列变到第
3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次
的作法，可得图表三:
a21a313241a42a43a1444a11a12224142a13a23a33 1
四阶行列式的一种展开法正文
(图表三)
同前理可得如下八项:
a11a24a32a43,a14a22a33a41,a12a23a31a44,a13a21a34a42,a41a34a22a13,a44a32a23a11,a42a33a21a14,a43a31a24a12, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知
道，此八项的符号仍是正负相间的。
综合三次变形，其符号确定方法，可得四阶行列式的及展
开如下:
D4=a11a22a33a44-a12a23a34a41+a13a24a31a42-a14a21a32a43+a41a32a23a14-a42a33a24a11
+a43a34a21a12-a44a31a22a13+a11a23a34a42-a13a24a32a41+a14a22a31a43-a12a21a33a44
+a41a33a24a12-a43a34a22a11+a14a32a21a13-a42a31a23a14+a11a24a32a43-a14a22a33a41
3
+a12a23a31a44-a13a21a34a42+a41a34a22a13-a44a32a23a
11+a42a33a21a14-a43a31a24a12
四阶行列式的展开式共有24项，全如上面所述结论式。
下面将从三个方面进行证明。
证明:
一、前述展开四阶行列式的结论中的每一项，均由四阶行列式中的元素组成，而且四个元素取自不同的排列。由于每次排列的各列中，相邻4列始终没有相同的列，所以，组成每项的元素绝对不会相同。即满足行列式的展开项的特征。
二、由所作出的对角线关系可知，在每一次所得的乘积中，每一个元素只能有两条线经过，所以，一个元素只能在两个乘积中出现，共作三次图表。所以只能得六项含有该元素，在n阶行列式中，当首选某一个元素为某一展开项中的元素时，其余元素的选择只能从余下的n-1阶子式中去选择n-1个元素组成该项，方法有(n-1)!种。对于四阶行列式而言，且有(4-1)!=6种，所以该展开法符合上述原则。
三、按上述三次所作的展开项中，每一项的行标的排列应为1234或4321，此二排列的逆序数为0和6，均为偶数，所以每一项的符号全由列标排列的逆序数确定，第一次所得的第一项的列标为1234，其逆序数为零，所以，该项前应冠以正号。而第二项恰为将1234作一次向前的轮换而得的2341，由于是4个元素参与轮换，相当于作3次置换，逆序
4
数发生改变，并由前偶数变为现今的奇数，所以，第二项前应冠以负号。第三项又是对第二项的列标作一轮换而得到的列标，因此，就在该项前冠以正号，依此类推，前八项的符号为+,-,+,-,+,-,+,-,由于第二次与第二次所作的图表是在前一次的基础之上将234列作一轮换，而3个元素作一轮换相当于向前置换两次，逆序数的奇偶特性未发生改变，所以它们所得八项的符号仍与第一次一样为正负相间的。因此，展开式的第一项为正，第二项为负，第三项为正，第四项为负，依此下去，各项符号是正负相间的。
下面举例说明。
例1:计算四阶行列式:
2
四阶行列式的一种展开法正文
01D4
11
解:D4=-1+1-1+1-1+1-1-1-1=-3 例2:计算四阶行列式:
1011110111 10
73D4
55
展开图表如下:
6546373572 54
766337535655
5
(例题2图表一)
773732555554
(例题2图表二)
777635545446
(例题2图表三)
解:
D4=7 6 3 4-6 7 5 5+3 2 5 6-7 3 4 5+5 4 7 7-6 3 2 7
+5 5 3 6-4 5 5 3+7 7 5 6-3 2 4 5+7 5 5
5-6 3 3 4
+5 3 2 6-5 5 5 7+4 4 3 3-6 5 7 7+7 2 4
5-7 5 3 5
+6 7 5 4-3 3 5 6+5 5 5 3-4 4 7 7+6 3 3
7-5 5 2 6
=420-1056+180-420+980-252+450-300+1470-120+875-216+1
80-875+144 -1470+280-525+840-270+375-784+378-300 =-10
例3:计算四阶行列式:
3
四阶行列式的一种展开法正文
2～5433～475
6
D4
4～985～32～5～3
展开图表如下:
34～3734
～22524478～5353
～5～2(例题3图表一)
～～334
353235～4～9
(例题3图表二)
～2
～3
解:
(例题3图表三)
D4=2 (-4) 8 3-(-5) 7 5 (-3)+4 5 4 2-3 3 (-9) (-5)+(-3) (-9) 7 5
-2 8 5 2+(-5) 5 3 (-5)-3 4 (-4) 4+2 7 5 2-4
5 (-9) (-3)
+3 (-4) 4 (-5)-(-5) 3 8 3+(-3) 8 5 (-5)-(-5) 5 (-4) 2+3 (-9)3 4
-2 4 7 3+2 5 (-9) 5-3 (-4) 8 (-3)+(-5) 7 4 3
7
-4 3 5 2
+(-3) 5 (-4) 4-3 (-9) 7 2+2 8 3 3-5 4 5 (-5)
=-192-525+160-405+567-160+375+192+140-540+240+360+
600-200-324 -168-430-288-420-120+240+378+144+500 =4
通过以上三例说明，该展开式简单易学，在未学习行列式性质之前，也能计算四阶行列式并加以应用。此法容易记忆，很快地掌握四阶行列式的计算方法。今作此文，方便计算四阶行列式时，减少繁杂的运算，提高运算速度。但是五阶以上的行列式不能用此法，因为元素多，排列种数(全排列)增大，不可能用此简便的方法，将所给元素进行全排列。
2009年8月于水城
4
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8
范文四：共轭多烯H_ckel行列式的折半降阶解法
研究简报??
共轭多烯 Hückel 行列式的折半降阶解法
许锦泉
()泉州师范学院化学系 , 福建 泉州 362000
[ 中图分类号 O 623. 123 [ 文献标识码 B
0 引言
高阶的共轭链多烯与环多烯的 Hückel 行列式的普通展开解法 ———余子式法 ———用于阶 数 n > 4 时诚然繁不足取 , 故多借助于群论和图论等数学工具 , 却又不易普及. 本文仅使用 行列式代数 , 直接对共轭直链多烯的 Hückel 行列式推出一个一般降阶公式 , 从而引出两个 折半降阶公式 , 并导出共轭环多烯与链多烯的 Hückel 行列式关系 , 最后给出应用实例. 共轭直链多烯 Hcükel 行列式的降阶公式1
( ) 用 HMO 法处理含有 n 个共轭碳原子的一般共轭直链多烯分子 包括自由基和离子, 可以得到其 Hcükel 行列式方程 1 0 0 0 x ? 1 x 1 0 0 ?
x 0 1 0 0 ? D= = 0 n ? ? ? ? ?
? 1 0 0 0 x
x ? 0 0 0 1
3 3 (β ψψτ( )α ) β α ψψτ = ^Hd, i = j ?1式中 x = - E/ , = H= ^Hd为库仑积分,= Hππii i i ij i j ? ?
为交换积分 . 显然 D为 x 的 n 次多项式 , 通常 n ?4. 鉴于求解 D已成为纯数学问题 , 不 n n
妨规定 n = 0 、1 时 D都成立 , 即令 n
()1 D?1 0
()2 D? x 1 2 3 ( ) 当 n = 2 时 , D= x- 1 , n = 3 时 , D= x- 2 x , 对于一般共轭链多烯分子 n ?4, D的 2 3 n
展开便愈发麻烦.
若把 D按第一行展开 , 有 n
1 ? 1 0 0
x 0 0 0 ?
? D= xD-? ? ? n n - 1
1 ? x 0 0
x ? ( )0 0 1 n - 1
( ) 再把第二项中的一个 n - 1阶行列式按第一列展开得
( )DDD-DD.3 = D= xD- n n - 1 n - 2 1 n - 1 0 n - 2
( ) 进一步递推 , 有 D= x xD- DDDD- DD, - = n n - 2 n - 3n - 2 2 n - 2 1 n - 3
2 ( ) ) ( = x- DxDDD- DD,1xD-D- = n - 4n - 3 3 n - 3 2 n - 4 n - 3 n ( )归纳得 4 D= DD- DD n kn - k k - 1 n - k - 1
n , k ?N. 此 式 的 意 义 为 : 一 个 含 有 n 个 共 轭 碳 原 子 的 共 轭 直 链 多 烯 的 式中 n > k ?1 ,
Hcükel 行列式 D, 可以用共轭碳原子数比 n 小的 Hcükel 行列式 D、D、D、D n k n - k k - 1 n - k - 1来表示.
( ) 当 n 为偶数时 , 为共轭直链多烯分子 . 令 n = 2 k , 代入式 4得 ,
2 2 ()( ) ( = D + D D ) 5 D=D= D- D- D k k - 1 k k - 1 k k - 1 n 2 k 此式的意义为 : 一个含有偶数个共轭碳原子的共轭直链多烯分子的 Hcükel 行列式 D, 可以 2 k
( ) 表为共轭碳原子数不过其一半的 D与 D的平方差 或为两者之和与差的乘积. k k - 1
() 当 n 为奇数时 , 即共轭直链多烯自由基或离子. 令式 4中 n = 2 k - 1 , 便有
( )()D=D= DD- DD= DD- D6 n 2 k - 1 kk - 1 k - 1 k - 2 k - 1 k k - 2此式的意义为 : 一个含 奇 数 个 共 轭 碳 原 子 的 共 轭 直 链 多 烯 自 由 基 或 离 子 的 Hückel 行 列 式 D,可以表为共轭碳原子数为其一半左右的 D、D之差与 D的乘积. 2 k - 1 k k - 2k - 1
() () () () 式 4、5、6均可用于解决高阶的共轭直链多烯的 Hcükel 行列式. 式 4为一般
( ) () 降阶公式 ; 式 5、6为折半降阶公式 , 而且已取因式分解的形式 , 更显实用 . 实际应用
2 3 ( ) ()时可以连续使用任一公式 , 直至表成低阶易解的 D= x- 1 、D= x- 2 x 以及式 1、 2 2 3
等组成的多项式.
2 共轭环多烯与共轭链多烯的 Hcükel 行列式之间的关系
把含有 n 个共轭碳原子的共轭单环多烯的 Hcükel 行列式记为 D . 则由 HMO 法 , 当有 n ?
0 1 0 1 x ? 1 x 0 1 0 ?
0 1 x 0 0 ? = 0 D = n ?? ? ? ? ?
1 ? 0 0 0 x x ? 1 0 0 1
把 D 按第一行展开 , 有n ?
x 1 0 1 0 1 0 1 ? ?
x x 0 0 0 1 0 1 ? ? 1 + n ) ( x 0 1 + - 0 0 1 1D = xD-0 0 n n - 1 ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 ( )( )1 0 0 n - 1 1 0 0 n - 1 ? ? ( ) 便 都 得 到 相 应 的 D和 上再把第 2 、3 项 中 两 个 n - 1阶 行 列 式 各 自 按 第 1 列 展 开 , n - 2
( ) 下三角形行列式
x 1 ? ? 0 0 1 0
x 1 1 0 0 0 ? ? )( 1+ n - 1 1+ n ) )1 ( ( D D-+ 1= xD-- + - n n - 1 ?n - 2 ? ? ? ? ? ?
1 1 ? ? ( )( )0 0 0 0 n - 2 n - 2
) ( 1 + n - 1 1 + n ) ) ( ( ) ( 1D- 1- = xD - D + n - 2 n - 1 n - 2
) ( 2 n +1 1 + n 1 + n - 1n - 2 ) ( ) ( ) ( 1D[ -1- -1] 1? + -n - 2
n( )( ) D = D- D-( ) 7 并利用式 3, 即得 n - 12 ?n n - 2 [ 1 ] 这就是共轭单环多烯与直链多烯的 Hcükel 行列式关系. 把式 ( ) ( ) ( ) 4、 5、 6用于此公式
即可简便地求解高阶的共轭单环多烯的 Hcükel 行列式方程 .
3 应用实例
() 1 , 3 2丁二烯 , n = 4. 应用式 5立即得
) 1 - x= 0 , 2 2 ) ( ) ) ( ( ( D= D+ DD- D= x- 1 + xx- 4 2 12 1( ) 即可解出 : x= - 1 -) ( ) ) ( ( 5/ 2 , x= 1 -5/ 2 , x= - 1 +5/ 2 , x= 1 + 5/ 2 . 1 42 3
( ) 3 2戊二烯基 或离子, ( ) 1 , n = 5. 应用式 6得
2 2 ( ) ( ) ( )D= DD- D= x x- 1x- 3 = 0. 5 2 3 1
() 1 , 3 , 5 - 己三烯 , n = 6. 应用式 5得
2 3 2 3 ) 2 x - x+ 1= 0. ) ( ) ) ( ( ( D= D+ DD- D= x- 2 x + x- 1x- 6 3 23 2
1 , ( ( ) ) () 3 , 5 - 庚三烯基 或离子, n = 7. 应用式 6、4得
2 2 2 2 ] = 0. ( ) ( ) ( ) D= DD- D= x x- 2[ x- 2- 7 3 4 2
( ) () 1 , 3 , 5 , 7 - 辛四烯 , n = 8. 应用式 5、4得
) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( D= D+ 1D- D+ 1D- ( 1D- D- 1= 0 .D= D+ DD- 31 3 1 1 3 1 8 4 34
( ) ( ) ()1 , 3 , 5 , 7 - 壬四烯基 或离子, n = 9. 应用式 6、4 得
2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) D= DD- D= DD+ DD- DD- 3 D+ 4= 0. 9 4 5 31 2 12 12 1
( ) () 1 , 3 - 环丁二烯 , n = 4. 应用式 7、4得
2 2 2 ( ) ( ) ( ) D = D- D- 2 = DD - 1- 2 D + 1= xx- 4= 0. ? 4 2 1 2 2
( ) ( ) ( ) 1 , 3 - 环戊二烯基 或离子, n = 5. 应用式 7、4得
3 ( ) ( ) ( ) D = D- D+ 2 = x + 2[ x - 2x- x+ 1 ] = 0 . ? 5 3
( ) () 苯 , n = 6. 应用式 7、5得
2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( D = D- D- 2 = D- 2 D+ D- 2 = x- 1x- 4= 0. ? 6 4 3 2 1
( ) () () 1 , 3 , 5 , 7 - 环辛四烯 , n = 8 , 应用式 7、5、4得
2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) D = D- D- 2 = D- 2 D+ D- 2 = xx- 2x- 4= 0 . ? 8 6 4 3 2
[ 参 考 文 献 ]
[1 ] 许锦泉 . 共轭环多烯与链多烯的 Hcükel 行列式关系 ———兼对 《物质结构》中同一公式提出修正 J .
() () 泉州师专学报 自然科学版, 1988 , 2: 51254.
The Sol utions of Reduced Order by Half to Hückel
Determinant in Conjugated Polyene
XU J in2quan ()Dept . of chemistry , Quanzhou Normal College of Fujian , Quanzhou 362000 , China
Abstract : Based on the Hcükel determinant of conjugated chain polyene , an ordinary formula of reduced order is infered directly only by the use of determinant algebra . Two half - reduced order formulae are deduced thereby. As a result , the relationship of Hückel determinant between the conjugated ring polyene and conjugated chain polyene is clarified. Examples are offered also .
Key words : conjugated polyene ; Hückel determinant ; formulae of reduced order by half
范文五：行列式计算中的降阶算法研究
:1009 - 2269 2005 03 - 0043 - 05
Ξ
行列式计算中的降阶算法研究
张建建
()洛阳工业高等专科学校 计算机系 , 河南 洛阳 471003
摘要 : 利用矩阵分块 、矩阵乘积等方法导出一系列行列式降阶定理 , 将高阶转化为低阶进而进行
- 1 计算. 该计算方法对计算某一类型的行列式特别是特征多项式时尤为方便. 针对 D + CA B 和
λ型的行列式 , 给出了相应的结论和例证. E- AB n
关 键 词 : 行列式 ;降阶算法 ;降阶定理 中图分类号 : 文献标识码 : A O 151 . 22
行列式起源于解线性方程组 , 但其应用早已超出解线性方程组的范围. 在许多测量的数据处理 、数据 分析中都运用到了行列式 , 如 :天气预报 、河流水利监测 、深基坑工程等 , 所以行列式已成为现代科学的重 要工具之一.
( ) 行列式计算的基本方法非常多 , 包括定义法 、化三角形法 、按行 列展开法 、全一行法 、拉普拉斯展开 法 、利用已知公式等. 在此基础上一些数学研究者还对这些方法进行了扩充 , 如 :递推法 、数学归纳法 、加边 [1 ] 法 、拆项法 、线性因式分解法 、乘积法 、导数法 、积分法 、代数方程组法等. 下面将进一步说明利用手工计 算行列式的必要性 , 并补充一种新的行之有效的方法.
行列式的基本概念及计算机求值算法的缺陷 1 [ 2 ] 行列式的定义通常有 3 种:
def def def ) 1递规定义 :即由 2 级 3 级 n 级.
aaa 111213 def aaaaaa 222321232122 aaa如 : 21 22 23 a= a- + a. 121113 aaaaaa32 33 31 33 31 32 aaa31 32 33 n ×n ) PP 的映射定义. 2函数定义 :由
) 3结构性定义 :
aaa11 12 1 n aaa21 22 2 n τ( ) j j j 1 2 n ) ( 1a= -a a 1 j 2 j nj ?n1 2 j j j 1 2 n
aaann n1 n2
τ( 其中 : 表示对所有 n 级排列求和 ;jj) j的逆序数. j表示排列 jj n 1 2n1 2 ?j j j 1 2 n
一般参考书上多采用第 3 种 ———结构性定义 , 然而在应用计算机对行列式进行编程计算时并不
Ξ 收稿日期 :2005 - 04 - 05 () 作者简介 :张建建1980 - ,男 ,河南洛阳人 ,助教.
兰 州 工 业 高 等 专 科 学 校 学 报 12 卷 第 ?44 ?
是采用定义来编程. 按照定义 3 展开的行列式是由 n !项乘积的代数和组成 , 随着 n 的增大 , n !是一个非常 庞大的数 , 如 3 阶行列式有 3 ! = 6 项 , 4 阶行列式有 4 ! = 24 项 , , 10 阶行列式有 10 ! = 3 628 800 项 ,
到 1 000 !时已远非几亿亿所能形容 , 计算机运算速度虽快 , 对这样的数也束手无策. 因而在采用计算机编
( ) ( ) ) ( ) ( 程时均采用化上 或下三角形的方法 , 这时所要做的运算次数为 n n - 1+ n - 1n - 2+ + 2 ×
3 + 2 n - 3n[2 ] ) . 即使 n 比较大 , 所做的运算次数相对来说也不是很大. 如 n = 10 时 , 运算次( 1 + n - 1 = 3
3 3 2 ×1 000 - + 3 1 0003 10 + 2 ×10 - = 339 ; n = 1 000 时 , 运算次数为= 333 333 999 , 这些数据的处数为3 3
理对计算机而言也就是眨眼之间.
有了电脑计算行列式的方法 , 为什么还要研究行列式的手工计算呢 ?事实上 , 计算机编程计算行列式 并非完美无缺. 因为计算机无法直接处理分数 , 从而可能出现形式上的不一致 , 如用实型数表示分数 ; 手算
1 [3 ] 结果为 30 , 输出结果为 30 . 000 000 00 ; 手算结果为 , 输出结果为 0. 333 333 33. 可能产生误差 , 特别是当3
运算次数比较多时 , 这个误差可能就很大甚至是错误的.
所以正如电脑无法代替人脑一样 , 进一步研究行列式的手工计算方法是有必要的 , 特别是对有规律的 行列式 , 下面将在前人的基础上利用矩阵分块 、矩阵乘积 、逆矩阵等给出行列式一种行之有效的算法.
行列式的降阶算法 2
( ) 命题 1 第一降阶定理
A A B B - 1 , 且 A 非奇异 , 则 = | A | | D - CA B | . 为方阵 设C D C D
E A B 0 B A 证明 = . - 1 - 1 C CA D E D - CA B 0
B A - 1 两边取行列式即得D - CA B | . = | A | | C D
推论 1 设 A 是 m 阶非奇异矩阵 , D 是 n 阶矩阵 , B , C 分别是 m ×n 和 n ×m 矩阵 , 则有
A B 1 - 1 | D - CA B | = . | A | C D
A B 推论 2 设 A , B , C , D 均为 n 阶矩阵 , 且 A 非奇异 , AC CA , 则 = = AD - CB . C D
A B - 1 - 1 - 1 证明 = A D - CA B = A D - CA B = AD - A CA B = 由命题 1 , C D
- 1 AD - CAA B = AD - CB .
( ) 命题 2 第一降阶定理的另一形式
A B A B - 1 若方阵中 D 非奇异 , 则 = D A - B D C . C D C D
( ) 命题 3 第二降阶定理
设 A , D 分别是 m 阶和 n 阶非奇异矩阵 , B , C 分别是 m ×n 与 n ×m 矩阵 , 则
|D | - 1 - 1 CA B | | A - B D C | . = | D - | A |
A B A B - 1 - 1 证明 CA B , 由命题 2 , D - 由命题 1 , = D A - B D C , = A C D C D - 1 - 1 故A D - CA B = D A - B D C .
第 3 期 张建建 :行列式计算中的降阶算法研究 ?45 ?
- 1 | D | - 1 A 非奇异 , A ?0 , 则 D - CA B 又因| A - B D C | . = | A |
| D | - 1 - 1 推论 第二降阶定理在应用时通常变形为 D + CA B | A + B D C | . = | A | [2 ] 例 1 = 1.证明实镜象阵 E- 2 u u的行列式等于′ - 1 , 其中 u 是 n 维列向量 , 且 uu′ n 析 D | |- 1 - 1 此题应用第二降阶定理 D - CA B = A - B D C | . | | A |
| E| - 1 n - 1 )2 u Eu| ′ = ) 解 | E- 2 u u|′ 2 uu′ 1. (( 1 uE′u= 2 n 1 - 1 - 1 = | E- = - n | E| 1 ) 例 2 , n, 计算 ( 设 a?0 k k = 1 , 2 , 1 + a1 1 1 1 2 2 2 + a2 2
3 3 3 3 + aD = 3
n n n n + a n aa1 1 1 1 1
aa 2 2 2 22解 D = + = + ω ω
n n n aa nn
a 1 a 2 - 1 a 1 ω 1 1 a a2 2 2 n- 1 ))(( 11E1 1 1 + 1 1 = = 1 | E|1 ω n n a n
1
2 n 1 2 2 1 n 1 + + + + a1 + = a= aanaan 1 21 2 aaaaaan 1 2 1 2 n
n n n i 1 + ai ?? ai = 1 i i = 1
n - m [ 2 ] λ λλλ命题 4 设 A , B 分别是 n ×m 和 m ×n 矩阵 ,?0 , 则 | E- BA | AB | = | E- m n
λ| E| n - 1 - 1 λλ) (λ()λλ(λ) (λ) E- B EA 证 由第二降阶定理 | E- AB | = | E- AEB | = m n= n m n λ| E| m n - m λλ| E- BA | . m
例 3 计算
cb 1 n1 + cbcb 1 1 1 2
1 + cbcb cb 2 1 2 22 nD =
1 + cb nncbcb n1n2
解 由命题 4
兰 州 工 业 高 等 专 科 学 校 学 报 12 卷 第 ?46 ?
C 1 n C 2- 1 )( b= 1 + bc.Eb D = E+ b n1 1n 2ii ? i = 1
C n
n
例 4 已知 a= 0 , 求实 n 阶对称矩阵 A 的 n 个特征值 , 其中i ?i = 1
2 a+ 1 aa+ 1aa+ 1 11 2 1 n 2 aa+ 1 a+ 1 aa+ 1 2 1 22 n A =
2 aa+ 1aa+ 1a+ 1 n 1 n 2 n
a1 1
a1 aaa1 2 2 n- 1 解 Eλλ| E- A | E- = 2 = n n 1 1 1
a1 n
1 a1 aaaa1 12n2n - 2 λλ= E- 2 1 1 1
1 a n
n 2 n aλ - 0 i ? n - 2 2 n - 2 λi = 1 λ λ(λ )- a= - n . i ?i = 1 λ 0 n -
n 2 ( ) 则A 的特征值为 0 n - 2 重, n 和 a.i ?i = 1
结论 4
- 1 从以上 几 个 例 子 中 可 以 看 出 , 补 充 的 这 种 方 法 主 要 适 用 于 能 写 成 形 式 | D + CA B | 或
λ( ) ( ) | E- AB | , 并且 m < n比较小的行列式="" m="" 和="" n="" 的含义见命题="" 3="" 、命题="" 4.="" 特别是在计算特征多项式="" n="">
λ| E - A | 时应用这种方法可以大大简化计算.
参考文献 :
钱吉林. 高等代数题解精粹M. 北京 :中央民族大学出版社 ,2002 . 1 北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数M. 北京 :高等教育出版社 ,1983 . 2 () 陈培军. 元素为整数或分数的行列式的计算机求值算法J . 高等数学研究 ,2003 , 4:55 . 3
The Study of Reduced - order in Determinant Computation
ZHAN G J ian - jian
( )The Computer Department of Luoyang Technology College ,Luoyang 471003 ,China
第 3 期 张建建 :行列式计算中的降阶算法研究 ?47 ? Abstract : In this paper , a series of reduced - order theories are deduced by block - matrix and product - matrix ,
which can be used to make the determinant change from the higher - order to lower one so as to be calculated. The
method is particularly convenient to calculate a certain type determinant especially characteristic polynomial . For the
- 1 λdeterminant of | D + CA B | and|E- AB | ,the relevant conclusion and illustration are given in this paper . n
Key words : determinant ;arithmetic ;reduced - order theorem
()上接 31 页
() 傅金祥 ,李彤岩. 我国城镇供水水质安全面临的问题与保障对策J . 给水排水 ,2003 , 1:35,39. 2 孔繁涛 ,郭新潮. 西安市二次供水造成水质污染的原因分析及管理对策EB/ OL . http :/ / www. water - plant . com ,2004 3 - 09 - 30/ 2005 - 04 - 20.
李良训. 市政管道工程M . 北京 :中国建筑工业出版社 ,1998. 4
Problem and Sol ution to the Secondary Water - supply
LU Xue - li
( )The Vocational School of Lanzhou City Construction ,Lanzhou 730046 ,China
Abstract : This article issues the solution of solving water tank’s water quality from water tank’s design , management ,
material and so on.
Key words : water quality in water tank ; secondary water supply ; defending solution
