矩阵在通信中的应用论文

范文一：矩阵在通信中的应用论文

矩阵理论(论文)

矩阵理论在通信领域的应用

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矩阵理论在通信领域的应用

【摘要】矩阵是数学的基本概念之一，也是线性代数的核心内容。矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。本文主要介绍矩阵在通过信领域的应用，如：在保密通信中，应用逆矩阵对通信的信息进行加密；在信息论中，利用矩阵理论计算信源熵、信道容量等；在信息论的信道编码中，利用监督矩阵，生成矩阵，对信道中的信息进行编码，利用错误图样对信道传输的信息进行纠正；此外，矩阵分析在MIMO技术这个模块中也有着很重要的应用，基本可以说矩阵分析是MIMO技术研究的基础。关键词：矩阵;保密通信;信道容量;信道编码;MIMO

1、引言

随着科技快速稳健的发展，通信技术也得到了飞速的发展，人们对通信的

要求也不断提高，不仅要求通信的实时性、有效性，还要求通信的保密性。而现实环境中，由于噪声的影响，常常使通信出现异常，这就要求人们对接收到的信号能够更好的实现检错纠错。此外，在频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)[1]技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的技术，该技术能够很好的解决频谱利用率的问题。然而对以上通信中存在的问题的分析和研究都需要用到矩阵理论的知识，本文把矩阵理论和其在通信领域的应用紧密结合，通过建立一些简单的分析模型，利用矩阵知识将通信领域很多复杂的计算和推导变得简单明了。

2、矩阵在通信领域中的应用

2.1 矩阵在保密通信中的应用[2]

保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵[3][4]所传递的明文消息进行加密(即密文消息)，然后再发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。

保密通信的加密原理：信息发送端首先根据密钥矩阵A的阶数（||A||=n）,将明文转换为n维数向量X,然后将X与A相乘得到密文Y,既Y=AX,再将Y发送,信息端接受到Y后,则利用密钥矩阵A-1（其中A与A-1互为可逆矩阵）与Y相乘,则会得到明文X,既:A-1Y =A- 1AX=X。

2.2 矩阵在信息论中的应用

在信息论中，将信源概率P(X)、信道转移概率P(Y|X)、信宿概率P(Y)写成矩阵的形式，从而将信源到信宿之间复杂的对应关系变得更简洁，写成矩阵关系即为：P(Y)=P(X)P[Y|X]。

此外，当将信息论中的关于信源熵H(X)、信道噪声熵H(Y|X)、平均互信息I(X;Y)、信道容量C等的繁琐的计算写成矩阵形式时，便可以用计算机来进行处理，这样便大大提高了计算速率。

2.3 矩阵在信道编码中的应用

在信道编码和保密通信中，利用矩阵实现对信道中传输信息和信源信息的编码，既降低了无线通信的误码率，也实现了通信的保密性。

在对信道传输的信息进行信道编码时，为了实现检错和纠错的能力，往往需要在原来经过编码的信源信息中添加部分冗余，而这些添加的冗余便作为监督位对每一组编码进行监督。含有监督码元的编码矩阵就构成监督矩阵H。在信道编码中，比较典型的便是汉明码（能够纠正一位错误，最小码距为3的编码效率高的线性分组码），下面简单介绍信道编码中的汉明码的编码步骤。

①构造满秩的(n-k)×n校验矩阵H。

Si=riH i=1,2,3,…..,2 Tk

其中，ri是第i个接收码字，1×n向量；si是第i个接收码字的误码标志，1×(n-k)向量；2n-k≥n+1;当ri=ci,取Si=riHT= ciH=0; ci是第i个发送码T

字，1×n向量。

②设满秩的k×n生成矩阵G。

G=[Ik×kG’k×(n-k)]

ci=xiG i=1,2,3,…..,2 k

其中，xi是第i个发送消息，1×k向量；由生成矩阵G与校验矩阵H之间GH=0求出G即可编码。可知，利用矩阵之后，编码变得简洁明了。

2.4 矩阵在MIMO中的应用

无线信道的一个重要特性就是存在衰落。MIMO[5]是多输入多输出系统，它能够将传统通信系统中存在的多径因素变成对用户通信性能有利的因素,提高系统抗衰落性能。从而极大增加系统容量，提高频谱利用率，改善无线链路的质量，成倍地提高业务传输速率。通信信道容量是信道进行无失真传输速率的上界，因此研究MIMO的信道容量具有巨大的指导意义。矩阵理论在通信的难点在于信道的处理，因此，矩阵理论与无线信道的研究是一个很好的切入点。在MIMO技术的研究中，对于MIMO信道的容量的研究具有着重大的意义。目前，MIMO技术的信道容量和空时编码，空时复用等技术都离不开矩阵理论的应用。

为了描述MIMO信道[7]，令发射天线数目为Nt，接受天线数目为Nr。当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的，这样在某特定时刻[6]Tm，发射的符号构成一个Nt×1的矢量X[t]，接受的符号构成一个Nr×1的矢量Y[t]，和一个信道矩阵H，三者的关系为：

Y[t]=HX[t]+N[t] (1)

其中，

N(t)=[n1,n2,,nNt]T (2)

表示高斯白噪声，方差为；H为Nr×Nt信道矩阵，即

?h11?H=????hNr1h1Nt????hNrNt?? (3)

其中，表示从发射天线i到接受天线j的信道系数。这样，式（1）可写为

y=∑hjixit+nt

jtj

i=1Nt (4)

式中，上标t表示在t时刻。

根据奇异值分解（SVD）理论，

Nr?Nt信道矩阵可以进行分解，得到

?E0?HHH=U??V=UDV

?00? (5)

E=diag(λ1,λ2,,λm) (6)

λi(i=1,2,,m)为矩阵H的全部非零奇异值。U和V分别是Nr?Nr和Nt?Nt的酉矩阵，满足UUH=INr，VVH=INt，其中INr和INt分别是Nr?Nr和Nt?Nt的单位阵。这样，式（1）变为

Y[t]=UDVHX[t]+N[t] (7)

对式（7）进行变换，有

UHY[t]=DVHX[t]+UHN[t] (8)

HHH'''Y[t]=UY[t]N[t]=UN[t]，则有 X[t]=VX[t]取，，

Y'[t]=DX'[t]+N'[t] (9)

于是我们得到一个与MIMO信道等效的表达形式，在这个等效的表达形式中，D为信道矩阵，原来的MIMO信道就等效地转化为m个平行的信道，每个信道的系数则为λi[1]。

下面应用矩阵理论对MIMO信道容量进行推导和计算。我们假设信道矩阵H在接收端已经完全已知，但是它是随机的，因此我们可以得到瞬时信道容量为： C(H)=max?(x)I(x,y)X （10）

其中，是在已知信道H的情况下输入x与输出y之间的互信息量，有： I(x,y)=H(y)-H(y|x)

其中，是y的信息熵（微分熵），定义：（11），其H(y)=-∑p(y)log2p(y)

中p(y)是y的概率（概率密度）。H（y）是y的差分嫡，H(y|x)是给定x条件下y的差分嫡，由于发送信号与噪声之间是独立的，因此有H(y|x)=H(n)[1]，所以上式可以重新写为：

I(x,y)=H(y)-H(n) （12）

由于噪声概率密度函数确定，所以H(n)为定值，当信道为加性高斯信道时，信源x服从高斯分布时此时接收信号y也服从高斯分布，根据信息论理论，此时I(x,y)取最大，即为信道容量。此时y和n的信息熵分别为： H(y)=log2det?πeRyy???bit2

11{} （13） 2H(n)=log2det?πeσInR?bit??2 {}（14）

所以我们可以得到信道瞬时交互信息I(x,y)，也即信息容量为： 12??C(H)=log2det?πeR/detπeσInR?yy????2

??HRxxHH?1???22??=log2?det?πeσInR(InR+)/detπeσInR???2?2σ??????{}

?HRxxHH1??=log2?det?InR+2σ2????????bit??? （15）

工程中一般定义信道容量为单位时间内平均互信息的最大值，故定义MIMO的信道容量： C=1C(H)T （16）

其中T为一个符号周期，根据采样定理，(1/T)≥2B，其中B为信号带宽，取(1/T)=2B，代入（16）式，得： ?HRxxHH??C=Blog2?det?InR+2σ????????bit/s??? （17）这便是MIMO的信道容量一般公式。

在得到MIMO信道容量一般公式后便是利用奇异值分解计算MIMO信道容量：对于MIMO无线信道，信道是极其复杂的，因此原始的信道矩阵也就显得复杂，不便于分析，而且一般矩阵不经过处理计算行列式很困难。这就自然想到在信源端对发射信号做某种预处理，使得经过预处理的信号经过的信道变得简单易分析，而且具体实现也变得简单。对于信道矩阵来说，对角矩阵是最简单的，所以自然

就想到把信道矩阵分解，利用矩阵理论中的奇异值分解可以达到这种目的。

由矩阵理论的相关知识易知，每个接收天线收到的信号矢量可以表示如下：

y=UDVHx+n （18）利用矩阵奇异值分解和相关的信息论知识易求得MIMO链路信道容量的计算公式为： C=B∑log2(1+

i=1rλiPT)bit/s2σnT （19）

由上式可以看出,MIMO链路的信道容量很大程度上取决于H的秩r。矩阵的秩越大，容量也越大。所以，MIMO正是利用无线信道的多径效应使相距超过半个波长的天线尽量不相关，从而使信道矩阵秩越大，进而在不增加带宽和发射功率的情况下增加系统容量。

3、分析总结

通过这次小论文，我发现矩阵分析这门数学课在本专业的很多领域中有很重要的应用。通过应用矩阵理论的相关知识，将保密通信、信息论、信道编码、MIMO链路中的许多繁琐而复杂的计算简化，并使其易于用计算机实现。在应用矩阵理论的相关知识解决通信中的问题时，首先应该搞清楚问题的背景，通过分析提出面临的问题，根据问题建立形象的几种模型；然后对比选择合适的模型进行研究；然后在提出解决方案，算法的计算，仿真，总结。

参考文献

1 KaiYu, B. Ottersten. Models for MIMO propagation channels-A review．Wileyjournal on Wireless Communication sand Mobile Computing，2002,V01.2,No.7:653～666．

2 熊小兵,可逆矩阵在保密通信中的应用[J].大学数学,2007,23(3):108～111 3 张新发.初等矩阵的关系及可逆矩阵的分解[J]．大学数学,2003,19(2):82～85 4 欧海文,戴宗铎.一个无重复生成所有可逆矩阵的算法[J]．数学杂志，1999，19(3):270～276

5 J.P.Kermoal, L.Schumacher, K.I.Pedersen, eta1.Astochastic MIMO radiochannel model with experimental validation．IEEE Journal

onSelected Areas in Communications，August 2002，V01．20，No．6：121l～1226

6 康桂华，无线MIMO信道的模型、容量、估计和算法研究：博士论文，浙江大学，2004

7 周华,杨大成,马敏. MIMO衰落信道的多用户分集性能分析[J]. 北京邮电大学学报,2004, 27(4):64268.

范文二：矩阵分析在通信中的应用

重庆邮电大学研究生堂下考试答卷

2011学年第 1学期

题目:

多输入多输出技术（MIMO）信道容量的分析

一、背景分析

频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的技术的提出很好地解决了这个问题。

多输入多输出(MIMO)技术能极大增加系统容量与改善无线链路质量的优点。通信信道容量是信道进行无失真传输速率的上界，因此研究MIMO的信道容量具有巨大的指导意义。但是对信道容量的推导分析是一个很复杂的过程，但是应用矩阵的知识进行分析能很好的解决这个问题，本文把矩阵理论知识与MIMO技术信道容量中的应用紧密结合，首先建立了MIMO信道模型，利用信息论理论和矩阵理论建立系统模型详细推导出MIMO信道容量,通过程序仿真反应实际情况，可以更直观正确的得出重要结论，这些结论的得出没有矩阵的知识是很难实现的。

二、问题的提出

基于MIMO的无线通信理论和传输技术显示了巨大的潜力和发展前景。MIMO技术的核心是空时信号处理，利用在空间中分布的多个天线将时间域和空间域结合起来进行信号处理，有效地利用了信道的随机衰落和多径传播来成倍的提高传输速率，改善传输质量和提高系统容量，能在不额外增加信号带宽的前提下带来无线通信性能上几个数量级的提高。目前对MIMO技术的应用主要集中在以空时编码(STC,Space-Time Codes)为典型的空间分集(diversity)和以BLAST(Bell LAyered Space-Time architecture)为典型的空间复用(multiplexing)两个方面。MIMO作为未来一代宽带无线通信系统的框架技术，是实现充分利用空间资源以提高频谱利用率的一个必然途径。

可问题是，MIMO系统大容量的实现和系统其它性能的提高以及MIMO系统中使用的各种信号处理算法的性能优劣都极大地依赖于MIMO信道的特性，特别是各个天线之间的相关性。最初对MIMO系统性能的研究与仿真通常都是在独立信道的假设下进行的，这与实际的MIMO信道大多数情况下具有一定的空间相关性是不太符合的。MIMO系统的性能在很大程度上会受到信道相关性的影响。因此，建立有效的能反映MIMO信道空间相关特性的MIMO信道模型以选择合适的处理算法并评估系统性能就变得相当重要。其中矩阵知识的应用，极大地简化的问题的分析难度，更加直观的反映出系统的特性。

三、模型的建立与分析１、探讨选择模型

过去的研究一般局限于用数学模型描述无线信道的时域衰落特征，重点在于建立存在于无线衰落信道中的散射体、折射体和绕射体的统计模型或几何模型，从而用于无线信道衰落分布的预测、估计和测量。针对大尺度衰落现象，研究学者们分别建立了相应的路径损耗模型、基于对数正态分布的阴影衰落模型；针对小尺度衰落现象，已经提出了Rayleigh、Ricean等分布来进行描述。研究中发现，存在于衰落信道中的散射体不仅影响信道衰落的时域特征，而且由于散射体的分布和位置的不同，导致在不同天线上的接收信号之间的空时相关特性，还反映出信道的空时衰落特征。从而基于散射体几何分布的建模方法、参数化统计建模和基于相关特征的建模方法被相继提出，大量的信道测量数据也被公布。人们逐渐发现在实际移动无线衰落信道中，最早用于描述散射体均匀分布的Clarke模型不再有效，围绕无线收发信机的散射体更多地呈现非均匀分布。已有的多数建模方法均假设了到达接收端的来波方向(AOA)、或离去发送端的去波方向(AOD)为均匀分布情形。实际上，在蜂窝移动无线通信环境中，存在大量的非均匀来波情形，比如狭窄的街道、地铁和室内情形。这些现象将会导致非均匀来波方向分布，从而影响不同天线上衰落的相关性。此外，在现有的蜂窝无线系统中，由于蜂窝微型化和小区扇形化，基站发送端的天线已由最初的全向辐射转为定向辐射，到达接收端的来波方向一般也呈非均匀分布。这些新特征急迫要求提出新的模型进行分析。

目前，在MIMO信道建模中多采用的是基于空时统计特性的建模方法。而其中的基于散射体地理特征的建模方法和空时相关统计特性的建模方法又是统计建模中较多采用的两种方法。这两种方法都有各自的优缺点：

(1)若基于散射体几何分布对MIMO衰落信道建模，则必须对散射体的分布进行合理的假设，并给出收发两端之间的距离、散射体的数目和尺寸以及散射体与收发两端的距离等一些可描述MIMO信道的二维几何参数。而过多的参数约束会增加建模的复杂度，同时，不同的环境下这些参数的值也不尽相同，因此，这种建模方法限制了具体的应用场合。 (2)若基于统计特性对MIMO无线衰落信道进行建模，需要给出描述离开角(AOD)、到达角(AOA)、水平方向角度功率谱(PAS)，电波的角度扩展(AS)等一系列参数的数学统计模型。这种方法能够较为全面的反映MIMO信道的衰落特性，特别是信道的空间衰落特性；而且目前已经有了对AOA、AOD、PAS、AS等参数在各种环境下的大量的测量值及其分布的数学描述。

根据上面的模型对比可发现，采用基于空时相关统计特性的建模方法建立MIMO无线衰落信道模型可以更好地进行MIMO信道容量的分析。

2、模型的主要参数和数学描述

基于空时相关特性的统计MIMO信道模型的主要参数包括：

(1)信道的功率与时延的分布、多普勒功率谱等表征信道时域和频域衰落特征的参数。 (2)每一可分辨径的空间特性参数：发射端信号的离开角(AOD)、接收端信号的到达角(AOA)、信号的水平方向角度功率谱(PAS)、角度扩展(AS)等。

(3)发射端和接收端天线的数目和天线阵列结构以及天线元之间的间距。在上述的参数中，发射端信号的AOD是指发送信号与发射天线元之间的夹角。

接收端信号的AOA是指接收信号与接收天线元之间的夹角。它们的取值范围在

[-π,π]区间，AOD和AOA在通常情况下服从均匀分布，在某些情况下并不服从均匀分布。

角度功率谱PAS是指信号的功率谱密度在角度上的分布。研究表明，PAS主要服从3种分布：均匀分布、截断高斯分布和截断拉普拉斯分布。此外，PAS也可能是一个升余弦函数甚至为一个整数。角度扩展AS是角度功率谱PAS的二阶中心矩的平方根，在[0,2π]之间分布。它反映了信号功率谱在角度上的色散程度。角度扩展越大，信道的空间相关性就越小，反之则相关性越大。天线的阵列结构是指天线的摆放方式，较普遍的阵列结构就是均匀线性阵列(ULA,Uniform Linear Array)，另外还有均匀圆形阵列(UCA,Uniform Circular Array)等其它阵列结构。天线元间距是指两个相邻天线元之间的距离，天线间距通常用载波的波长λ进行归一化。天线元间距越小则空间相关性就越大，反之则相关性越小。如图1所示，考虑发射端天线数为N，接收端天线数为M的两个均匀线性天线阵列(ULA)，假定天线为全向辐射天线。发射端天线阵列上的发射信号记为：

s(t)=[s1(t),s2(t), sN(t)] （3.1）

sn(t))表示第n个发射天线元上的发射信号，符号[?]表示矢量(或矩阵)的转置。同

样地，接收端天线阵列上的接收信号可以表示为：

y(t)=[y1(t),y2(t), yM(t)] （3.2）

描述连接发射端和接收端的宽带MIMO无线信道矩阵可以表示为： H(τ)=

∑Aσ(τ-τ

ll=1

) （3.3）

其中H(τ)∈C

M?N

，并且

?a(l)11

?(l)a21

Al=?

? ?(l)??aM1

a(l)12a(l)22 a(l)M1

a(l)1N?

a(l)2N?

? ?(l)

aMN??M?N

为描述收发两端天线阵列在时延τl下的复信道传输系数矩阵，hmn表示从第n个发

射天线到第m个接收天线之间的复传输系数。L表示可分辩径的数目。

S(t)

Y(t)

天线元个数N

散射介质

天线元个数M

图1 MIMO信道的数据模型

发射信号矢量s(t)和接收信号矢量y(t)之间的关系可以表示为(不包括噪声)

y(t)=H(τ)s(t-τ)dτ （3.4）或者

s(t)=?HT(τ)y(t-τ)dτ

（3.5）

假定在远场区有很少的空间独立的主要反射体，一个主要反射体有一个主要路径，此

路径含有大量的引入波，这些波是由接收机和发射机附近的本地散射体的结构引起的，它们相对时延很小，接收机不能分离出来，即为不可分辨径。由于角度扩展不为零，所以将导致空时衰落。由于发射机和接收机附近的散射体的作用，将产生许多具有微小时延的不可分辨径，使得角度扩展不为零。假设第p个可分辨径的AOA和AOD分别为φp和φp，是反映关于天线阵列和主要反射体位置的量；把发送阵列、接收阵列视线方位角定义成

φ0Tx和φ0Rx，则接收端第个可分辨径的角度扩展σp(φpRx)为

σp(φp

式中，φpl

1L-11L-1Rx2Rx2

)=φpl)∑(φpl)-(L∑Ll=0l=0 （3.6）

表示第p个可分辨径中的第l个不可分辨径对应的到达角度；L标示不

可分辨径的数目。对于发端的角度扩展σp(φp)同理可得。设接收天线在发送天线的远场区内，可以假设接收天线的信号是平面波。第r根接收天线的接收信号相对于第1根接收天线的附加时延为?p,r

式中，d

?p,r=

(r-1)dRxsinφp

（3.7）

是相邻天线间的距离。对应第r根接收天线的接收信号相对于第1根接收

天线的附加相移Φr,p为

RxRxRx

Φr,p=Φr(φp)=2π?p,r

λ （3.8）

接收端均匀线性阵列的传播响应向量ap可以表示为

-jΦ

?-jΦ1R,xpMRx-1,p?=?1,e e??? （3.9）

同样的可得发送端均匀线性阵列的传播响应向量ap可以表示为

Tx-jΦTx-1?-jΦ1?Tx,p

ap=?1,e eM,p?

?? （3.10）

第m根发送天线的发送信号相对于第1根发送天线的附加时延?p,m为

Tx(m-1)dTxsinφp

?Txp,m=

（3.11）

因此，相对应的附加相移Φm,p就是

RxΦTsm,p=2π?p,r

λ （3.12）

考虑到判决时间有限，不是所有信号的到达反射波都能分离开来。假设移动台或散射

体发生运动，每一个本地散射体的路径长度发生变化，产生时变复衰落，对于给定速率v，最大频率偏移为fd。第p个可分辨径的第m个发送天线和第r个接收天线之间的空时衰

落系数βp,m,r(t)为：

βp,m,r(t)=

∑a

l=0

L-1

(φ)ar(φTx

plRxpl

)vple

j2πfdcos(φTpl)

=vp,m,r(t)e

jφp,m,r(t)

（3.13）

每一个到达路径经历的衰减为νp,l，假定νp,l是由随机过程产生，且σν=1。通常在仿真时认为AOD均匀分布在0～2π，这样可以得到经典功率谱。在固定m和r的情况下，

而在固定时间t时，不同的m和r对应的νp,m,rνp,m,r和φp,m,r表征着时间域的衰落特性；

和φp,m,r则反映阵列的空间特性，其相关性由两个阵列传播响应矢量am(φp,l)和ar(φp,l)决定。记第p个空间主散射体产生的可分辨多径的时延τp，且一般假设它们之间的独立过程互相独立。不同的传播环境对应不同的φp,l分布。

有上述分析可以知道：当本地散射体较少时，由于发射机周围本地散射体的作用，在

主反射体和接收机之间的距离相对较大时，接收天线到达角的角度扩展较小，此时接收端仅仅引起时间衰落，而无空间衰落；而当接收天线周围的本地散射体较多时，造成较大的角度扩展，此时接收端产生空时衰落。

3、相关性矩阵

MIMO信道中发射端和接收端天线之间的相关的程度就是相关性,相关系数ρ在数学上定义为：

TxTxTr

ρ=a,b=

(Ea-E[a])(Eb-E[b)

Eab*-E[a]Eb*

[]

（3.14）

其中，符号,?表示求相关系数，符号(?)表示复数共轭。根据a和b的性质的不

同，可以定义3种不同的相关系数：复数相关系数、包络相关系数和功率相关系数。考虑

两个复数变量x和y：

复数相关系数ρc，此时a=x,b=y：

ρc=x,y （3.15）包络相关系数ρe，此时a=x,b=y：

ρe=x,y （3.16）

功率相关系数ρp，此时a=x,b=y：

ρp=x,y

（3.17）

限于测量设备等因素，以前对信道相关系数的探讨更多的集中于包络相关系数和功率相关系数。然而，对于MIMO信道建模来说，复数相关系数包含了能反映信道特性的较全面的信息——幅度和相位，具有更好的性能。对于Rayleigh衰落信道，复数相关系数ρc定义式和功率相关系数的定义式有如下关系：

ρp=ρc （3.18）为了保持信道模型的简单性，假设信道的传输系数a即a

(l)

服从零均值的复高斯分布，

(l)

的模amn服从Rayleigh分布。并对该统计MIMO信道模型进一步作出如下假设：

（1）同一多径下传输系数的平均功率相等 Pl=Ea

(l)

2mn

}

对所有n∈[ 1,2, N]∧m∈[1,2, M] （3.19）

（2）信道为广义平稳非相关散射信道,不同的多径下(或者不同的时延下)的信道传输

系数不相关

(

l1)

,a(l2)mn=0 当 l1≠l2 （3.20）

上式中的符号a,b表示求a和b之间的相关系数；

（3）接收天线衰落的两个系数的相关性与发射天线是哪一个无关；同样，两个发射天线之间的相关性与接收天线是哪一个也没有关系。定义接收端第m1根天线和第m2根天

线之间的相关系数为：

ρm1m2=am1n,am2n （3.21）

上式间接地使用了上述的第3个假设，即接收端天线的相关系数与发射端的天线无关。只要发射端的天线间距并不太大，而且每根天线具有相同的辐射模式，这个假设就是合理的。因为从这些天线上发射出去的电磁波照射到接收端周围相同的散射体上，在接收端会产生相同的PAS，也会产生相同的空间相关函数。同理，定义发射端第n1根天线和第

n2根天线之间的相关系数为：

ρn1n2=amn1,amn2 （3.22）

由（3.21）和式（3.22），分别定义接收端和发射端的两个对称相关矩阵RRX和RTX为：

?ρ11?RXρ=?21? ?RX??ρM1

ρ12RXρ22 RXρM2

RRX

? ρ1RXM

ρ2RXM? （3.23） ?

RX? ρMM??M?M

?ρ11?TXρ21?R= TX

? ?TX??ρN1

ρ12TXρ22 TXρN2

? ρ1TXN

TX? ρ2N?

(3.24)

TX? ρNN??N?N

但是，仅有发射端的空间相关矩阵和接收端的空间相关矩阵并不能为产生矩阵Hl提供足够的信息。因此，需要确定连接两组不同天线之间的任意两个传输系数的空间相关性。

为此，定义

ρn2 m22=am1n1,am1n2 （3.25）

在上述第3个假设的条件下，从理论上可以证明，式（3.20）与下式等价：

nmRXTX

ρnm=ρnnρmm

112

（3.26）

根据式（3.26），MIMO信道的整体相关矩阵可以表示为发射端相关矩阵与接收端相关[17]

矩阵的Kronecker乘积：

RMIMO=RTX?RRX (3.27) 上式中，符号?表示矩阵的Kronecker乘积运算。

在对信道的空间相关性进行建模时，按照式（3.27）对RTX和RRX作矩阵的Kronecker乘积，得到MIMO信道的整体相关矩阵RMIMO，然后对RMIMO作相应的矩阵分解，从而得到MIMO信道的空间相关矩阵。

角度功率谱PAS主要有3种分布：均匀分布、高斯分布和拉普拉斯分布。讨论将基于上述3种分布的PAS，给出天线元之间的相关系数与天线的归一化间距之间的函数关系。在讨论中，仍然假设天线为全向天线，天线阵列结构为ULA，并且电波以波簇(cluster)的形式传播，每一波簇都具有相同的PAS谱。

(1)均匀分布PAS

多簇的均匀分布PAS的表达式为：

PASu(φ)=∑Qu,k{ε[φ-(φ0,k-?φk)]-ε[φ-(φ0,k+?φk)]}

k=1

（3.28）

其中，ε(φ)为单位阶跃函数，Nc为波簇的数目，φ0为平均到达角AOA，?φ为AOA的变化范围。考虑到潜在的功率不平衡波簇，可以推出归一化常数Qu,k使得PASu(φ)满足概率分布函数的要求：

PAS?π

(φ)dφ=

∑

Ncφ0,k+?φk

k=1φ0,k-?

u,k

dφ=1

（3.29）

由上式可得

令D=2πd

2∑Qu,k?φ=1

k=1

（3.30）

λ，其中，d为天线元之间的间距，λ为载波波长，dλ为天线元之间

的归一化间距。可以推出两根全向天线接收到的复基带信号的实部与虚部之间的互相关系

函数：

RXX(D)=?cos(Dsinφ)PAS(φ)dφ

-π

（3.31）

虚部与虚部之间的互相关函数与上式相同。另一方面，实部与虚部之间的互相关函数

定义为：

RXY(D)=?sin(Dsinφ)PAS(φ)dφ

-π

(3.32)

将均匀分布PAS的表达式代入RXX(D)的表达式（2.31），得到：

RXX,U(D)=J0(D)+4∑Qu,k∑

k=1

J2m(D)

cos(2mφ0,k)sin(2m?φk)2mm=1 （3.33）

∞

其中，Jm(?)为m阶第一类贝塞尔函数。同样地，将PAS的表达式代入到式（3.32），得到：

RXY,U(D)=4∑Qu,k∑

k=1

m=0

Nc∞

J(2m+1)(D)2m+1

sin[(2m+1)φ0,k]sin[(2m+1)?φ]

（3.34）

(2)高斯分布PAS

高斯分布PAS的表达式为：

PASG(φ)=∑

k=1

QG,k2πσG,k

?(φ-φ0)2?

exp?-ε[φ-(φ0,k-?φk)]-ε[φ-(φ0,k+?φk)]}?{2

2σG,k??（3.35）

同样可以推出其归一化常数QG,k应该满足：

∑QG,kerf(

k=1

?φk

)=12G,k

（3.36）

其中，erf(?)为复数的误差函数。将PASG(φ)的表达式代入（3.31）和（3.32），可以得到高斯分布PAS下的复基带信号的实部与虚部的两个互相关函数分别为：

RXX,G(D)=J0(D)+∑QG,k∑J2m(D)cos(2mφ0,k)exp(-2m2σ2G,k)

k=1

m=1

Nc∞

???φ?????φkk ? Re?erf-jm2σG,k-erf--jm2σG,k??

2σ? ??2σG,k?G,k????? （3.37） ?

和

1??

RXX,G(D)=J0(D)+∑QG,k∑J(2m+1)(D)sin((2m+1)φ0,k)exp(-2 m+?σ2G,k)

2??k=1m=1 ???φ?????φk1??k ? Re?erf-j m+?2σG,k-erf--jm2σG,k??

2? ??2?2G,k??G,k?????（3.38） ?

其中，Re[x]表示取x的实部。 (3)拉普拉斯分布PAS

拉普拉斯分布的PAS谱被认为是与城区和农村地区的信道测量结果吻合得最好的一

种分布。其表达式为：

Nc∞

PASL(φ)=∑

l=1

QL,k2σL,k

?2-φ0exp?-

σL,k??

ε[φ-(φ0,k-?φk)]-ε[φ-(φ0,k+?φk)]}?{??（3.39）

其归一化条件由下式给出：

?2?φk

Q[1-exp-∑L,k σL,kk=1?

Nc?

?]=1?? （3.40）

拉普拉斯分布PAS下的复基带信号的两个互相关函数分别为：

RXX,L(D)=J0(D)+4∑

k=1

QL,k2σL,k

J2m(D)

∑2m=1

()+(2m)2

∞

σL,k

cos(2mφ0,k)?+exp-2m2σ2G,k

??σL,k

(

)??

??2

2msin(2m?φ)-cos(2m?φ)?kk?

σ??L,k? ?（3.41）

RXY,L(D)=4∑

k=1

QL,kL,k

m=0

∑

(

∞

J(2m+1)(D)2

和

σL,k

)2+(2m+1)2

sin[(2m+1)φ0,k]?

?2??σL,k

?2?φk

-exp - σ

L,k?

??????

??2??

()()()2m+1sin[2m+1?φ]+cos[2m+1?φ]?kk?

σL,k??? (3.42) ?

由表达式，可以定义复数相关系数ρc(D)和功率相关系数ρ

(D)的表达式如下：

ρ(D)=RXX(D)+jRXY(D)

(3.43)

(D)=

RXX(D)+jRXY(D)

(3.44)

可见一般复数相关系数的性能要优于功率相关系数，因为后者失去了前者的相位信息。

四、软件计算

MIMO信道模型的描述以及上一小节对仿真思路与方法的讨论，可知MIMO信道矩阵产生的方法是：按照上一章所描述的方法产生MIMO信道接收和发送端的相关矩阵RRX和

RTX，再按照式RMIMO=RTX?RRX产生的MIMO信道的整体相关矩阵。由RMIMO进行相

应的矩阵分解得到一个对称映射矩阵C，C就是MIMO信道的空间相关形成矩阵

即：RMIMO=CCT (4.1) 如果使用的是复数相关矩阵，则应该对RMIMO作矩阵的平方根分解。再按照仿真单入单出信道的方法产生信道的衰落系数h，即h为经过相应的多普勒功率谱成形后的零均值、单位方差的I.I.D复高斯变量，h反映了MIMO信道的时频衰落特性。

最后，按照下式计算MIMO信道抽头的系数矩阵： vec(Al)=Al=

PlCa (4.2)

其中，vec(?)表示把一个M?N的矩阵排成一个1?MN的矢量；

AMN?1=[a11,a21, aM1,a12, aMN]即为MIMO信道的衰落系数；Pl为第l个可分辨径

的功率；aMN?1=[a1,a2, aMN]。综合上面的讨论，MIMO相关衰落的产生过程如图4.2

所示。

图2 MIMO信道中相关衰落的产生

1、信道矩阵的matlab计算

为了产生带有相关性MIMO信道的信道冲激响应。设置：输入参数：Nr接收天线阵元的个数；Nt发送天线阵元的个数；t时间变量。输出参数：Mimo_channel MIMO信道的信道冲激响应矩阵。

function f=mimo_channel(Nr, Nt,t) s=35; % mm=O;

fd=5.56; rand('state',0); for i=1 :Nt*Nr for l=1:1 h1=0; h2=0;

for k=l:s-1

sita(k)=2*pi*rand; h1 =

h1+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*sin(pi*k/(s-1))*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1))*t+sita(k));

h2 =

h2+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*cos(pi*k/(s-1))*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1))*t+sita(k));

end

sita(s)=rand;

h1=h1+1/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2))*cos(2*pi*fd*t+sita(s)); h2=h2+l/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2))*cos(2*pi*fd*t+sita(s)); h(i,1)=h1 +j*h2; end end h

corrR=mimo_corr(30,0,0.5,Nr)%;correlation at Rx d--0.51anbuda corrT=mimo_corr(5,0,5,Nt)%; correlation at Tx d--51anbuda corrRT=kron(corrR,corrT)%;

hr=transpose(chol(corrRT)); h=hr*h; for p=1:Nr for q=1:Nt

hh(p,q)=h(Nr*(q-1)+p); end end f=hh;

2、信道相关性的matlab计算

由模型可以知道通过波束到达角、角度扩展、天线之间的间隔和天线个数，计算出发送端和接收端的相关矩阵。设置：输入参数：anglespread 散射体的角度扩展，表示接收端和发射端散射体的分布情况。angle 平均到达角，每个入射波和离去波的到达角的均值。d 天线间隔与波长的比，假设天线是均匀阵列。M 天线阵元数，表示接收端和发射端天线阵元的个数。输出参数：mimo_corr发送端或接收端任意两个天线之间的相关系数矩阵。 function f=mimo_corr(anglespread,angle,d,M) L=1000;

anglespread1=720; c=0;

% clear i; p=zeros(1,L); fai=zeros(1,L); fai1=zeros(1,L); FAI=zeros(1,L); matrix1=zeros(M,1); matrix2=zeros(1,M);

correlation1 =zeros(M,M); correlation2=zeros(M,M); correlation=zeros(M,M);

for m=1:L

fai1(1,m)=angle-anglespread1+2*anglespread1*m/L;

fai(1,m)=2*pi*(angle-anglespread1+2*anglespread1*m/L)/360;

FAI(1,m)=d*sin(fai(1,m)); end

for m= 1:L p(1,m)=

1/(anglespread*sqrt(2))*exp(-sqrt(2)*abs(fai1(1,m)-angle)/anglespread)*2*anglespread1/L; end

for m=1:L

c=p(1,m)+c; end c;

for m= 1:L for n= 1:M

matrix1(n,1)=exp(i*FAI(m)*2*pi*(n-1)); end

matrix2=matrix1';

correlation1 =matrix1 *matrix2*p(1,m); correlation2=correlation1+correlation2; end

for m=1:M

for n=1:M

correlation(m,n)=abs(correlation2(m,n))/c; end end

f=correlation;

五、结果分析

通过对模型进行仿真的设计思路、方法和仿真处理的流程，可以对该信道模型进行了相应的计算机仿真，得出了信道矩阵和和信道的相关相矩阵，并对这些结果进行了分析。我们选择选择典型的城区环境，天线结构为均匀线性阵列，发送端的天线数（NT）为2根，接收端的天线数为（NR）为4根，角度功率谱（PAS）的类型为拉普拉斯分布。当接收端和发送端的天线间距分别为5λ和0.5λ，角度扩展分别为5度和30度，AOA和AOD都为0时，得出的信道矩阵为

- 0.6312i 0.2437 - 1.7423i?? -0.1165

? -1.2869? + 0.5607i 0.9332 + 0.0951i??? -0.8906? - 0.7958i -0.0382 - 0.8215i?? 0.4617 - 0.3044i -0.5978 + 0.2466i??

发送端的相关矩阵为：

0.2210?? 1.0000

?? 1.0000? 0.2210?

接收端的相关矩阵为：

1.0000 0.4229 0.1565 0.0622? ?

? 0.4229? 1.0000 0.4229 0.1565??? 0.1565? 0.4229 1.0000 0.4229?? 0.0622 0.1565 0.4229 1.0000??

信道的空间相关矩阵为：

1.0000 0.2210 0.4229 0.0935 0.1565 0.0346 0.0622 0.0137? ?

? 0.2210? 1.0000 0.0935 0.4229 0.0346 0.1565 0.0137 0.0622 ??? 0.4229? 0.0935 1.0000 0.2210 0.4229 0.0935 0.1565 0.0346 ?? 0.0935 0.4229 0.2210 1.0000 0.0935 0.4229 0.0346 0.1565?? ? 0.1565? 0.0346 0.4229 0.0935 1.0000 0.2210 0.4229 0.0935?? 0.0346 0.1565 0.0935 0.4229 0.2210 1.0000 0.0935 0.4229??? 0.0622? 0.0137 0.1565 0.0346 0.4229 0.0935 1.0000 0.2210? ?

0.0622 0.0346 0.1565 0.0935 0.4229 0.2210 1.0000??? 0.0137?

维持其它的参数不变，改变信道的参数可以看到各参数对MIMO信道特性的影响，将

发射和接收端的天线间距分别变为6λ和1.5λ，从仿真得到的矩阵中可以看到，随着天线间距离d的增大，信道的相关性是减小的。

发送端的相关矩阵为：

1.0000 0.1679? ?? 0.1679? 1.0000??

接收端的相关矩阵为：

信道的空间相关矩阵为

1.0000 0.0622 0.0326 0.0017? ?? 0.0622? 1.0000 0.0622 0.0326??? 0.0326? 0.0622 1.0000 0.0622?? 0.0017 0.0326 0.0622 1.0000??

1.0000 0.1679 0.0622 0.0104 0.0326 0.0055 0.0017 0.0003? ?

? ? 0.1679 1.0000 0.0104 0.0622 0.0055 0.0326 0.0003 0.0017??? ? 0.0104 1.0000 0.1679 0.0622 0.0104 0.0326 0.0055 0.0622?? 0.0104 0.0622 0.1679 1.0000 0.0104 0.0622 0.0055 0.0326??? 0.0326? 0.0055 0.0622 0.0104 1.0000 0.1679 0.0622 0.0104?? 0.0055 0.0326 0.0104 0.0622 0.1679 1.0000 0.0104 0.0622??? 0.0017? 0.0003 0.0326 0.0055 0.0622 0.0104 1.0000 0.1679?? 0.0003 0.0017 0.0055 0.0326 0.0104 0.0622 0.1679 1.0000????

下面的矩阵是其它参数不变，角度扩展变为40度时的信道的相关性矩阵，将这几个矩阵与本节中最前面的矩阵比较，可以看到：相关系数随着角度扩展的增大而下降。

发送端的相关矩阵为：

1.0000 0.0290? ?? 0.0290? 1.0000??

接收端的相关矩阵为：

1.0000 0.2524 0.1243 0.0070? ?? 0.2524? 1.0000 0.2524 0.1243??? 0.1243? 0.2524 1.0000 0.2524?? 0.0070 0.1243 0.2524 1.0000??

信道的空间相关矩阵为：

1.0000 0.0290 0.2524 0.0073 0.1243 0.0036 0.0070 0.0002? ?

? 0.0290? 1.0000 0.0073 0.2524 0.0036 0.1243 0.0002 0.0070 ??? 0.2524? 0.0073 1.0000 0.0290 0.2524 0.0073 0.1243 0.0036 ?? 0.0073 0.2524 0.0290 1.0000 0.0073 0.2524 0.0036 0.1243?? ? 0.1243? 0.0036 0.2524 0.0073 1.0000 0.0290 0.2524 0.0073?? 0.0036 0.1243 0.0073 0.2524 0.0290 1.0000 0.0073 0.2524??? 0.0070? 0.0002 0.1243 0.0036 0.2524 0.0073 1.0000 0.0290?? 0.0002 0.0070 0.0036 0.1243 0.0073 0.2524 0.0290 1.0000????

图3直观地反映了角度扩展和天线间的距离对相关性的影响：

图3 不同角度扩展时天线间距与相关系数的关系

从图3中可以看到，角度扩展一定时，相关系数随着天线间的距离的增大而减小；而当天线间距一定时，相关系数随着角度扩展的增大而减小。角度扩展比较小时，相关系数随天线间距增大而缓慢的减小，角度扩展比较大时，在很小的天线间距（小于1）时相关系数随天线间距增大而迅速的减小，天线间距大于1时，相关系数的变化比较平缓。

四、总结分析

通过这次小论文，我发现矩阵分析这门数学课在本专业的很多领域中有很重要的应用，在研究MIMO的信道容量的研究中发现对信道容量的推导分析是一个很复杂的过程，但是应用矩阵的知识进行分析能很好的解决这个问题，对于MIMO无线信道的建模来说，无论采用哪种建模方法，首先应该能够准确地反映实际MIMO无线衰落信道的时域和频域的衰落统计特征，其次，还应该能够比较准确地描述引入了多天线阵列后的信道空域衰落统计特性，特别是信道的空间相关性。本文在对无线信道的特性的研究以及现有的信道模型总结的基础上，根据发射端和接收端天线的拓扑结构、天线间距、发射信号的离开角与角度扩展、接收信号的到达角与角度扩展、角度功率谱、多普勒功率谱和多径分量的功率时延分布，建立了MIMO无线信道模型，该MIMO信道模型可以看成是SISO信道模型的一个推广，可以作为研究MIMO无线通信系统的一个通用的空时信道模型。相关性是MIMO无线信道的一个很重要的特性，本章从相关矩阵和相关系数两方面分析了MIMO信道的相关性，根据接收信号的三种角度功率谱（均匀分布、高斯分布和拉普拉斯分布），详细讨论了信道相关系数的计算方法。

在用数学知识推到分析问题时，我发现必须学会应用科学的方法进行分析。在对MIMO技术信道容量进行分析的时候，首先你应该搞清楚问题的背景，通过分析提出面临的问题，根据问题建立形象的几种模型；然后对比选择合适的模型进行研究；然后在提出解决方案，算法的计算，仿真，总结。有些问题应该灵活处理，在具体实现MIMO容量时，有时不得

不在性能和复杂性之间进行“折中”。如何使“折中”恰当好处是一个值得深入探讨的问题，具体工程问题具体分析。这些收获在以后进行别的课题研究中也适用。

范文三：可逆矩阵在通信中的应用

前言 ................................................................................................................................ 3 一. 逆矩阵在通信方面的应用背景.................................................................................. 3 二.基于加密技术的保密通信模型 ................................................................................... 4 三.应用举例 .................................................................................................................... 4

前言

矩阵是数学的基本概念之一。作为线性代数的核心内容，矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。可逆矩阵是矩阵理论中一个很重要的概念，在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E(或AB=E、BA=E任满足一个)，其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆矩阵，记作A-1。可逆矩阵在通信中的典型应用就是在保密通信中。

保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵对所传递的明文消息进行保密措施后( 即密文消息) 发给接收方, 而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。

一. 逆矩阵在通信方面的应用背景

当人们刚刚开始通信的时候，为了保证秘密信息不被轻易盗取，人们意识到必须寻找一种方法去保护他们的通信内容。古代罗马的军队运用一种所谓的恺撒密码进行通信，其原理是利用26个字母的轮换。他用D表示a，用F表示c等，也就是说密文字母相对明文字母向相反方向平移3位即可得到明文。当然，诸如此类的密码都是很容易破译的。随着，现代科学和技术的发展，在因特网上快速增长的电子数据处理和电子商务应用，以及不断出现的国际恐怖事件。人们越来越意识到加密技术的重要性。所以，就出现了用逆矩阵加密密码的需要，并不断的发展。

二.基于加密技术的保密通信模型

秘钥

密文串明文串加密盒

(发送方)

秘钥

(接收方)

三.应用举例

同学张三给李四发来一封密信，它是一个三阶方阵

207210 135

231 318 135

244 161 175

假设秘钥矩阵是

4 3 7

9 0 10

0 7 6

问张三发送的密信内容是什么,并说明两人的关系。

解:

假设密信的内容矩阵为X

4 3 7 207 210 135

9 0 10 X= 231 318 135

0 7 6 244 161 175

或

4 3 7 207 210 135 X 9 0 10 = 231 318 135

0 7 6 244 161 175

即

-1

4 3 7 207 210 135

X= 9 0 10 231 318 135

0 7 6 244 161 175

或

-1

207 210 135 4 3 7

X=231 318 135 9 0 10

244 161 175 0 7 6

综上所得

9 12 15

X= 22 5 25

15 21 0

由表

空格 A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

可知，张三发送的密文的内容是:I LOVE YOU。

范文四：可逆矩阵在通信中的应用

可逆矩阵在通信中的应用

2011110285王强

1综述

矩阵理论是工科线性代数中的一个重要内容,而逆矩阵是其非常重要并且是较难理解的一部分内容,然而在许多线性代数教科书中逆矩阵相关知识点的应用几乎未涉及到,以至于很多学习矩阵论的人错误地认为所学东西没有多大用处。为了使学习的人对所学逆矩阵有具体地,形象地认识,而不只是停留在抽象的概念,结论的机械记忆上,为了能使逆矩阵的本质掌握起来更简单。

本文介绍可逆矩阵在保密通信中应用。

2信息安全

2.1信息安全简介

信息安全，简称信安，意为保护信息及信息系统免受未经授权的进入、使用、披露、破坏、修改、检视、记录及销毁。政府、军队、公司、金融机构、医院、私人企业积累了大量的有关他们的雇员、顾客、产品、研究、金融数据的机密信息。绝大多数此类的信息现在被收集、产生、存储在电子计算机内，并通过网络传送到别的计算机。

万一诸如一家企业的顾客、财政状况、新产品线的机密信息落入了其竞争对手的掌握，这种安全性的丧失可能会导致经济上的损失、法律诉讼甚至该企业的破产。保护机密的信息是商业上的需求，并且在许多情况中也是道德和法律上的需求。对于个人来说，信息安全对于其个人隐私具有重大的影响，但这在不同的文化中的看法差异相当大。

信息安全的领域在最近这些年经历了巨大的成长和进化。有很多方式进入这一领域，并将之作为一项事业。它提供了许多专门的研究领域，包括:安全的网络和公共基础设施、安全的应用软件和数据库、安全测试、信息系统评估、企业安全规划以及数字取证技术等等。自从人类有了书写文字之后，国家首脑和军队指挥官就已经明白，使用一些技巧来保证通信的机密以及获知其是否被篡改是非常有必要的。

恺撒被认为在公元前50年发明了凯撒密码，它被用来防止秘密的消息落入错误的人手中时被读取。

第二次世界大战使得信息安全研究取得了许多进展，并且标志着其开始成为一门专业的学问。 20世纪末以及21世纪初见证了通信、计算机硬件和软件以及数据加密领域的巨大发展。小巧、功能强大、价格低廉的计算设备使得对电子数据的加工处理能为小公司和家庭用户所负担和掌握。这些计算机很快被通常称为因特网或者万维网的网络连接起来。在因特网上快速增长的电子数据处理和电子商务应用，以及不断出现的国际恐怖主义事件，增加了对更好地保护计算机及其存储、加工和传输的信息的需求。计算机安全、信息安全、以及信息保障等学科，是和许多专业的组织一起出现的。他们都持有共同的目标，即确保信息系统的安全和可靠。2.2信息安全的重要性

信息作为一种资源，它的普遍性、共享性、增值性、可处理性和多效用性，使其对于人类具有特别重要的意义。信息安全的实质就是要保护信息系统或信息网络中的信息资源免受各种类型的威胁、干扰和破坏，即保证信息的安全性。根据国际标准化组织的定义，信息安全性的含义主要是指信息的完整性、可用性、保密性和可靠性。信息安全是任何国家、政府、部门、行业都必须十分重视的问题，是一个不容忽视的国家安全战略。但是，对于不同的部门和行业来说，其对信息安全的要求和重点却是有区别的。

我国的改革开放带来了各方面信息量的急剧增加，并要求大容量、高效率地传输这些信息。为了适应这一形势，通信技术发生了前所未有的爆炸性发展。目前，除有线通信外，短波、超短波、微波、卫星等无线电通信也正在越来越广泛地应用。与此同时，国外敌对势力为了窃取我国的政治、军事、经济、科学技术等方面的秘密信息，运用侦察台、侦察船、侦察机、

卫星等手段，形成固定与移动、远距离与近距离、空中与地面相结合的立体侦察网，截取我国通信传输中的信息。

从文献中了解一个社会的内幕，早已是司空见惯的事情。在20世纪后50年中，从社会所属计算机中了解一个社会的内幕，正变得越来越容易。不管是机构还是个人，正把日益繁多的事情托付给计算机来完成，敏感信息正经过脆弱的通信线路在计算机系统之间传送，专用信息在计算机内存储或在计算机之间传送，电子银行业务使财务账目可通过通信线路查阅，执法部门从计算机中了解罪犯的前科，医生们用计算机管理病历，所有这一切，最重要的问题是不能在对非法(非授权)获取(访问)不加防范的条件下传输信息。

传输信息的方式很多，有局域计算机网、互联网和分布式数据库，有蜂窝式无线、分组交换式无线、卫星电视会议、电子邮件及其它各种传输技术。信息在存储、处理和交换过程中，都存在泄密或被截收、窃听、窜改和伪造的可能性。不难看出，单一的保密措施已很难保证通信和信息的安全，必须综合应用各种保密措施，即通过技术的、管理的、行政的手段，实现信源、信号、信息三个环节的保护，藉以达到秘密信息安全的目的。

3保密通信

保密通信作为实现信息安全的有效手段是当今信息时代的一个非常重要的课题,在数据通信中的传统的保密方法是采用通信双方协定的密钥字(定期或不定期变换)，在通信开始时先验证对方身份。传输的信号也是经过加密的。

在数据加密法中最有代表性的是美国“数据加密标准”(DES)DES算法本身是公开的知识，但是各厂家生产的设备具体加密方式都各不相同。DES加密方法是用56位密钥字加上8位校验成为64位码字，密钥的变化范围有256种，对明文加密时采用分组移位操作。经过加密任何人企图截取信息用随机试验去解某一密钥事实上是办不到的。DES加密设备是一个插件，装入通信双方终端即构成保密通信，使用者并不知道所用密钥内容。当该保密系统工作时，由一随机数字发生器产生密钥，存储在一个电气可消失的存储器内，任何非法的人打开该单元或误用则密钥自动消失。

但是尽管算法复杂，由于设备设计标准化，加密本身也存在标准化问题，既是标准化就有失密可能。同时还存在密钥管理问题，通信双方要有相同密钥，一旦密钥丢失或泄露，或双方失去信任发生争执，就影响通信保密难于解决。所以还需要开发能验证身份的更有效的加密技术。

1976年美国人M.E.Hellman提出了一种公开密钥理论，其基本要领是给每一用户分配一对密钥，其中一个是只有使用者本人掌握秘密密钥，另一个是可以公开的密钥，两个密钥通过算法结成一定的关系。公开密钥只用于加密密钥通过算法结成一定的关系。公开密钥只用于加密，秘密密钥只用于解密，因而要想从一个密钥导出另一个密钥事实上是不可能的，即从数字观点来看，函数是单向的，而且只有惟一的解。这一方法的特点是把经过加密的报文发送出去而无需双方进行密钥互换、分配或同步。

1978年L.Rivest、A.Shamir和L.Adleman三人合作在Hellman理论基础上提出了称为RSA法的新的数字签名验证法，可以确证对方用户身份。他们认为，数字签名可以由公开密钥系统产生出来，其前提是公开密钥和秘密密钥是互逆的，就是说，假使一个明文报文是用某个秘密密钥“解密”的，则公开密钥“加密”就可以将报文恢复为明文格式。

图3.1基于加密技术的保密通信模型

4可逆矩阵在通信中的应用

而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵对所传递的明文消息进行保密措施后(即密文消息)发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。 4.1加密算法

设有矩阵方程C=AB,其中B为明文矩阵,A为加密矩阵,用加密矩阵与明文矩阵的乘积来对所发送消息实施了加密,得到密文矩阵C。如果A为可逆矩阵,则方程有唯一解B=A?1C,其中A?1为A的逆矩阵。

例如:发送的明文是“sendmoney”,则首先可将明文用9个整数构成的矩阵来表示: B=521871081023

假设进行加密的矩阵A为:

A=122513232

则密文矩阵C为:

C=313780832969546750

所以发送的信息为:31,80,54,37,83,67,29,69,50。4.2解密算法

解密时,采用下面矩阵乘法:B=A?1C

例如:针对上面的加密矩阵A,因A可逆,可得:

A?1

=1?1201

?1?411

故明文矩阵为:

B=A?1

C=5218710

81023

4.3加密矩阵的生成

初等矩阵都是可逆的,而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。因此,通信中可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密编码矩阵。它的生成方法如下:从单位矩阵出发,反复运用第一类和第三类初等变换矩阵去乘它,而其中的乘数k必须取整数。这样得到矩阵将满足A=

范文五：可逆矩阵在通信中的应用

可逆矩阵及其在保密通信中的应用

摘要本文在可逆矩阵的定义、性质及求法的基础上，讨论了判断可逆矩阵的方法、分块可逆矩阵的求法以及可逆矩阵的一类求法，并通过实例给出了具体应用.介绍了保密通信及可逆矩阵在其中的应用.

关键词矩阵理论;可逆矩阵;保密通信;伴随矩阵;性质

0 引言

随着科学技术的不断进步，矩阵理论已成为众多高科技邻域不可或缺的组成部分.而逆矩阵是其非常重要并且是较难理解的一部分内容，但在许多线性代数教科书中逆矩阵相关知识点却零零散散，而且忽略了其重要实际应用，以至于让很多人错误地认为逆矩阵没有多大用处.为了能具体地、形象地认识逆矩阵，将抽象的知识具体的表现出来，掌握其本质，更能简单的运用到实际当中.在我们学过的高等代数教材中对可逆矩阵给出了明确的定义，但未对可逆矩阵的求解方法详细的介绍，本文主要讨论可逆矩阵的求解方法及其在保密通信中的应用. 1 可逆矩阵

nn定义1 在线性代数中，对于任意一个阶方阵，如果有阶方阵，使AB

ABBAE=,En得，其中为阶单位矩阵，则称是可逆的，且是的逆矩阵，ABA

,1A记作.

若方阵的逆矩阵存在，则称为非奇异方阵或可逆矩阵. AA

1.2 可逆矩阵的性质

,,11,1AAA,A性质1 若是可逆的，则也可逆，且. A，，

,1,,11ABBA,AB 性质2 若、是两个同阶可逆矩阵，则也可逆，且. ，，AB

,1TT,1TAAA, 性质3 若可逆矩阵的转置矩阵为，则. A，，，，

,1,1AA,性质4 若是可逆矩阵，则有. A

1.3 可逆矩阵的判定

designate a person responsible for periodically repaired, if significant quality problems, whether it's design or construction reasons, are required at the first meeting to study and propose solutions; 5) post through re-examination on the basis to resolve all remaining issues, well prepared for formal acceptance. 9, officially accepted: 1) the letter of acceptance issued by the Chief Engineer, project manager, and submitted it to the construction completion data; 2) by the employer organization design, supervision and quality supervision stations, construction and other construction units work together to check the quality and acceptance of views put forward, assessed quality rating; 3) Unit checked and confirmed after the completion of works comply with the standards and requirements, issue a certificate of completion to the construction unit, construction and design, quality supervision station, the engineer, civil engineering and other units to sign the certificates of completion; 4) signed a final acceptance certificate and construction unit, and according to the contract provisions of settlement procedures, unless indicated in the contract by the contractor of the warranty work, economic and legal responsibilities of each party are able to remove; 5) get the files transfer and project procedures. 10 quality tracking, maintenance plan is an important part of our quality assurance system, the company sold products and installation works are carried out by the after-sales service obligations. In particular, we developed a departmental duties and quality guarantee measures, as follows: 1) visited customers and product usage information. 2) collect customer feedback, product information, customer reports, complaints. 3) based on customer comments and respond promptly to complaints, to the site to identify the cause analysis, engineering quality problems and fill in the data form. 4) record type, the location, cause, and complete solutions. 5) identify reasons to propose solutions and,

定理1 初等变换不改变矩阵的可逆性.

E证明设经过一次初等行变换得到，那么存在一个初等矩阵，使得AB

EAB,.由于初等矩阵可逆，当可逆时，也可逆，即可逆。另一方面，EAAB,1,1，当可逆时，可逆，即可逆.对列变换的情形可类似的证明. AEB,EBBA

1.4 几个充要条件

AI,定理2 可逆,. An

,,APP？定理3 可逆，是初等矩阵. PA1si

I证明设可逆，则的等价标准形为，即 AAn

PPPQQQ,,,,,,,？？PPPAQQQI？？,存在初等矩阵使得， 12s1,2ts211,2tn

,,,,,,111111于是 APPPIQQQ,？？12s21nt

,,,,,,111111 ,PPPQQQ？？12s21t

可表示成一些初等矩阵的乘积. 故A

I定理4 可逆只经过行初等变化为. ,An

证明因为A可逆存在 ,

,,,111s初等矩阵使得经过次初PPP,,,？APPP,？PPPAE？,,,A12s12ss21

E等变换化成.

nBABAB,定理5 设,是两个阶矩阵，则. A

n推论1 设AAA,,,？都是阶矩阵，则 12s

AAAAAA,,,？？,. 1212ss

A,0定理6 可逆. ,A

,1,1AAAE,证明必要性设可逆，则存在使得由定理5得 A

,,11AAAAE,,,1A,0所以.

PPPQQQ,,,,,,,？？A,0充分性若，由定理2，存在 12s1,2tPPPAQQQI？？,使得 s211,2tn

,,,,,,111111于是 APPPIQQQ,？？12s21nt

,,,,,,111111 ,PPPQQQ？？12s21t

故可逆. A

1.5逆矩阵的求法

1.5.1初等变换法

,1原理设 ppAEppEA？？,,,ss11

,1则. ppAEppAppEA？？？,,E,,,，，，，，，sss111

223,,

,,,1例1 设，判定是否可逆，若可逆，求. AA,,110A,,,,,121,,

解因为所以可逆 A,0A

,,223100

,,rr,212AE,,,,,,110010，， rr,,,32

,,,121001,,

,,043120,rr，23,,4rr,13110010,,,,, rr,,,12rr,23,,011011,,

,,101021

,,rr，13011011,,,, rr，,,231，，r，,3,,001164,,,,,

,,100143,,

,,,1010153,,EA，， ,,

,,001164,,,

故

143,,,,

,,,1A,,153. ,,

,,,164,,

1.5.2伴随矩阵法

定义2 设是矩阵 Aij

aa？,,111n

,,A,？？？ ,,

,,aa？nnn1,,

中元素a的代数余子式，矩阵 ij

AA？,,111n

,,*A,？？？ ,,

,,AA？mmn1,,

A称为的伴随矩阵.

1.5.3求逆矩阵的公式

1,1***AA, (牢记). AAAAAE,,A

123,,

,,,1A,221AA 设例2 判定是否可逆，若可逆，求. ,,,,343,,

AAAA,,,,2,3,2解因为，所以可逆。又, A,2111213

AAAAAA,,,,,,,,,6,6,2,4,5,2 所以 212223313233

132,,,264,,,,,1135,,,1*,,AA,,,,,,,3653 ,,A222,,,,222,,,,,111,,,

132,,,

,,35,1,,A,,,3所以 . 22,,

,,111,,,

1.6可逆分块矩阵的逆矩阵

1.6.1缺角阵的逆矩阵

mn,LaplaceAB,设分别是阶可逆矩阵，则有定理知阶分块矩阵 mn，

A0,,D, ,,0B,,

XX,,1112,1,1是可逆矩阵，得到进行相同的分块，令由于 D,D,,XX2122,,

E0XXA0,,,,,,m1112,1,,DD ,,,,,,0EXX0Bn,,2122,,,,根据分块矩阵的乘法计算出左端，并比较等式两边，得

AX=E(1),11m

,AX=0(2),12, CX+BX=0(3)1121,

,CX+BX=E(4),1222n

,,11有(1)、(2)式得 XAXA,,,,001112

,1代入(4)式得 XB,22

,1,,11,所以代入(3)式得BXCXCA,,,,XBCA,,211121

,1,,A0,1D,所以 . ,,,,,111,BCAB,,

1.6.2利用分块矩阵的知识可得下列公式设A，B可逆.

,1,1A0,,A0,,,公式1 . ,,,,,,,111CB,BCAB,,,,

,1,,,111A0,,AACB,,,,公式2 . ,,,,,1CB0B,,,,

,1,,,1110A,,AACB,,,,公式3 . ,,,,,1BC0B,,,,

,1,1CA,,0B,,,公式4 . ,,,,,,,111B0AACB,,,,,

1.6.2 准对角矩阵的逆矩阵

,1,1,,AA,,11,,,,？？,. ,,,,,1,,,,AA,,ss,,1.6.3 反对角矩阵的逆矩阵

,1,1,,AA,,1s,,,,？？, ,,,,,1,,,,AA,,s1,,Ais,1,2,,？其中可逆，. i

1.7 一类矩阵方阵的简便解法 AXB,A解(可逆)的简便方法

行,1ABIAB,,,,,，，. ，，XAB,解的简便方法

AI,,,,列,,,. ,,,,,1BBA,,,,

10111,,,,,

,,,,11110,,XX例3 求. ,,,,,,,,,11001,,,,

解

1011110111,,,,,,

rr1，，,,,,,，，211111001021,,,,,,,,rr， ,,,,31,,,,,,1100101112,,,,

1011110020,,,,,,

rr1，，,,,,,rr，，，1332,,,,,,,,,,,0102101021r1，, ，，,,,,2,,,,0011100111,,,,

所以

,20,,

,,X21,,. ,,,,11,,

2 保密通信

2.1 密码起源

当人们刚刚开始通信的时候，为了保证秘密信息不被轻易窃取，人们意识到必须寻找一种方法去保护他们的通信内容. 古代罗马的军队运用一种所谓的恺撒密码进行通信，其原理是利用26个字母的轮换.它用表示,用表示等DFac等，也就是说密文字母相对明文字母平移3位.收信人只需要按通常的字母顺序将密文字母向相反方向平移3位即可以得到明文.当然，诸如此类的密码都是很容易破译的.

当代信息技术的发展，人们意识到加密技术的重要性.密码被政府、军队、公司、金融机构等诸多领域广泛使用.随着电子商务、电子政务等领域的迅猛发展使得海量秘密信息需要在保密状态下进行交流，而加密技术使通过诸如计算机网络等公共通信平台传递大量信息而不被窃取成为可能.自此，保密通信领域渐渐走进公众的日常生活.比如安全的网络和公共基础设施、安全的应用软件和数据库、安全测试、信息系统评估、企业安全规划以及数字取证技术等等.

在因特网上快速增长的电子数据处理和电子商务应用，以及不断出现的国际恐怖主义事件，增加了对更好地保护计算机及其存储、加工和传输的信息的需求.计算机安全、信息安全、以及信息保障等学科，是和许多专业的组织一起出现的.他们都持有共同的目标，即确保信息系统的安全和可靠.

2.2密码系统

一般的，一个密码系统由明文空间、密码空间、密钥空间、加密算法和解密

M算法组成.待加密的信息称为明文，明文的全体构成的集合称为明文空间.用

CK表示明文空间，用表示明文.用表示密文空间，表示密文.用表示密钥空mc

k间，表示密钥.密码设计中，密钥一般是随机序列.所谓密码方案是指对加密变换的具体规则的确切描述，这种描述包括对明文进行加密时所使用的加密算法，以及对密码进行还原时所使用解密算法.

传统的保密通信的模式可表示为

密码分析

密文Em，，明文mM,明文空间加密空间,,,,,,,,,,, 解密变换明文

MCKED,,,, 定义3 一个用于加密、解密的密码体制(系统)是一个五组，，，其中

M (1)称为明文空间，是所有可能的明文构成的集合;

C (2)称为密文空间，是所有可能的密文构成的集合;

K(3)称为密钥空间，是所有可能的密钥构成的集合;

(4)ED,分别表示加密算法集和解密算法集.

kK,eE,dD,它们满足，对于每一个都存在一个加密算法和一个解密算法,kkdesignate a person responsible for periodically repaired, if significant quality problems, whether it's design or construction reasons, are required at the first meeting to study and propose solutions; 5) post through re-examination on the basis to resolve all remaining issues, well prepared for formal acceptance. 9, officially accepted: 1) the letter of acceptance issued by the Chief Engineer, project manager, and submitted it to the construction completion data; 2) by the employer organization design, supervision and quality supervision stations, construction and other construction units work together to check the quality and acceptance of views put forward, assessed quality rating; 3) Unit checked and confirmed after the completion of works comply with the standards and requirements, issue a certificate of completion to the construction unit, construction and design, quality supervision station, the engineer, civil engineering and other units to sign the certificates of completion; 4) signed a final acceptance certificate and construction unit, and according to the contract provisions of settlement procedures, unless indicated in the contract by the contractor of the warranty work, economic and legal responsibilities of each party are able to remove; 5) get the files transfer and project procedures. 10 quality tracking, maintenance plan is an important part of our quality assurance system, the company sold products and installation works are carried out by the after-sales service obligations. In particular, we developed a departmental duties and quality guarantee measures, as follows: 1) visited customers and product usage information. 2) collect customer feedback, product information, customer reports, complaints. 3) based on customer comments and respond promptly to complaints, to the site to identify the cause analysis, engineering quality problems and fill in the data form. 4) record type, the location, cause, and complete solutions. 5) identify reasons to propose solutions and,

mM,使得对于任意的，都有成立. demm,，，，，kk

3 可逆矩阵在通信中的应用

3.1 加密算法

CKM, ,其中为明文矩阵, 为加密矩阵,用加密矩阵与设有矩阵方程MK

C明文矩阵的乘积来对所发送消息实施了加密,得到密文矩阵.如果为可逆矩K

,1,1阵,则方程有唯一解 ,其中为K的逆矩阵. MKC,K

例4 发送的明文是“ send money”.

解首先可将明文用9个整数构成的矩阵来表示:

52110,,

,,M,878 ,,,,1029,,

K假设进行加密的矩阵为:

121,,

,,K,253 ,,,,232,,

则密文矩阵C为:

313729,,

,,C,808369 ,,,,546750,,

所以发送的信息为:31,80,54,37,83,67,29,69,50.

3.2 解密算法

解密时,采用下面矩阵乘法

,1MKC, .

K例5 针对上面的加密矩阵

K解因可逆,可得:

111,,,

,,,1K,,201 ,,,,,411,,

故明文矩阵为:

52110,,

,,,1MKC,,878. ,,,,1023,,

3.2 加密矩阵的生成

初等矩阵都是可逆的,而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的.因此,通信中可以

考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密编码矩阵.它的生成方法如下:

从单位矩阵出发,反复运用第一类和第三类初等变换矩阵去乘它,而其中的

,1乘数必须取整数.这样得到矩阵将满足而也将具有整数元素. KA,,1A

3.3 应用实例

例6 小王的朋友给小王发来一封密信,它是一个三阶方阵

207210135,,

,,231318135 ,,,,244161175,,

他们约定:消息的每一个英文字母用一个整数来表示:

abyz,,,,1,2,,25,26？？

约定好的加密矩阵，既密钥矩阵是

437,,

,,9010 ,,,,076,,

试求小王的朋友发送的密信内容.

X解试求密信的内容,先假设密信内容矩阵为

437207210135,,,,

,,,,9010231318135X, ,,,,,,,,076244161175,,,,

437207210135,,,,

,,,,X9010231318135,或 ,,,,,,,,076244161175,,,,

,1437207210135,,,,

,,,,,X9010231318135既 ,,,,,,,,076244161175,,,,

,1207210135437,,,,

,,,,,X2313181359010或 ,,,,,,,,244161175076,,,,

用MATLAB来求解,易得

91215,,

,,X,9010 ,,,,076,,

由英文字母与整数之间的对应关系即得密信内容为“I LOVE YOU”.

3.4 明文矩阵的选择

,1,1如果明文矩阵为方阵,则当为可逆矩阵时有或 , MMKMC,KCM,

,1其中为的逆矩阵.因此,如果窃密者以某种方式窃取到一对明文和相应的MM

密文,碰巧其中的明文矩阵可逆,那么窃密者可以轻而易举地破解密文.因此, 在实际应用时, 明文矩阵不要采用方阵.另外,在实际应用中,明文并不能总是恰好可以分成整数矩阵,出现这种情况时需要补充一些数据,补充的数据可以是有意义的,也可以是无意义的.有时,我们可以利用这些附加数据来达到某种特殊的效果,比如数据的完整性检验等.

3.5 加密矩阵的选择

CKM,Ci设,根据矩阵乘法的定义, 乘积矩阵中第行第列的元素等Cjij

i于矩阵K中第行的所有元素与矩阵M中第列的对应元素之积的累加和.因此, j

利用可逆矩阵来实现保密通信的另一个问题是, 如果加密矩阵选择得不好, 密文矩阵的元素长度会急剧膨胀.为了避免出现这种情况，K加密矩阵最好满足以下条件:

CM对任意的明文矩阵,密文矩阵中的每一个元素的长度都不超过明文矩M阵中对应位置上的元素的长度，或者退而求其次;

CMM对任意的明文矩阵，密文矩阵中所有元素的总长度不超过明文矩阵中所有元素的总长度.

如果能找到一个加密矩阵,使得对任意的明文矩阵,密文矩阵中所有元素的总长度在一个比较理想的程度上小于明文矩阵中所有元素的总长度,那么这时的加密算法同时也是一种较好的压缩算法.

3.6算法优化

nnmKM设加密矩阵为阶矩阵,明文矩阵为行列矩阵, 利用向量的有关

iCCin,1,2,,？？知识, 密文矩阵的第行可以表示为，，i

CKMKMKM,，，，？？ iiiinn1122

iKKjn,1,2,,？？jM其中为矩阵的第行第列位置上的元素,而则为矩阵，，ijn

nM的第行.

显然, 密文矩阵的每一个行向量都是明文矩阵的所有行向量的一种线性组合, 其组合系数正好是加密矩阵的相应行上的所有元素.根据矩阵乘法的定义直接计

mn,1mn算密文矩阵时, 计算密文矩阵的每行元素需要做次乘法和次加法,，，

nn,1计算密文矩阵的每个元素需要做次乘法和次加法,因此计算整个密文矩阵

2mnm1nn,总共需要次乘法和次加法. ，，

4 总结

可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算，是矩阵的一种重要运算，在解决矩阵问题起着重要的作用.因而掌握可逆矩阵的求法，在解决实际问题时选择适当的方法，往往可以起到事半功倍的效果.本文首先从可逆矩阵入手给出了可逆矩阵的概念，并讨论了可逆矩阵的性质，其次对可逆矩阵的性质进行了讨论并得出了一些定理，并且举出了相应的例题.最后给出了可逆矩阵在通信中的应用，使的学习的人对可逆矩阵有了更进一步的认识.对于其它方面的应用，未进一步进行做讨论，有待进一步探讨.

致谢在此谨向任天胜老师致以诚挚的谢意.

参考文献

[1] 刘剑平, 施劲松主编. 线性代数[M]. 上海:华东理工大学出版社，2011. [2] 熊小兵. 可逆矩阵在保密通信中的应用[J]. 大学数学, 2007,23(3). [3] 徐仲主编. 高等代数(北大第三版)导教?导练?导考[M]. 西安:西北工业大学出版社，2006.

[4] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组主编. 高等代数[M]. 北京:高等教育出版社，2003.9(2012.3重印).

[5] 华中科技大学数学系. 线性代数(第2版)[M]. 北京: 高等教育出版社，2003. [6] 蓝以中. 高等代数简明教程(上册)[M]. 北京: 北京大学出版社，2002. 7] 张新发. 初等矩阵的关系及可逆矩阵的分解[J]. 大学数学，2003，19(2). [

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