贫僧法号撸无神
范文一：信号与系统教程---------第二版
，，2令g(t),f(t,t),T[g(t)],tg(t),tf(t,t),, T(t,t),y(t,t),y(t,t),0df0f0f0(t,t)f(t,t)令g(t),f(t,t)T[g(t)],g(,t),f(,t,t)。 (3)，， T(t,t),0000f0
， y(t,t)y(t,t),f(,t，t)f0f00
1.2.已知某系统输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t),f(t)判断该系统是否为线性时不变系统,解:设T为系统运算子，则y(t)可以表示为y(t),T[f(t)],f(t),不失一般性，设f(t),f(t)，f(t)12T[f(t)],f(t),y(t),T[f(t)],f(t)，f(t),y(t),显然其不相等，即为非线性时不变系统。11112
tdf(t)'2(2):[y(t)]，y(t),f(t)1.3判断下列方程所表示系统的性 (1):y(t),，f(x)dx,0dt
''''y(t)，2y(t)，3y(t),f(t)，f(t,2)(3):(4): y"(t)，2ty'(t)，2y(t),3f(t)
线性 非线性时不变 线性时不变 线性时变
1.4。试证明方程y'(t)+ay(t)=f(t)所描述的系统为线性系统。
证明:不失一般性，设输入有两个分量，且f(t)?y(t),f(t)?y(t) 则有y'(t)+ay(t)=f(t)，1122111
dy'(t)+ay(t)=f(t) 相加得y'+ay(t)+y(t)+ay(t)=f(t)+f(t) 即[y(t)+y(t)]+a[y(t)+y(t)] 222112'2121212dt
=f(t)+f(t)可见f(t)+f(t)?y(t)+y(t)即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。 121212
1.5。证明1.4满足时不变性。
dy(t,t)0证明 将方程中的t换为t-t,t为常数。即y'(t-t)+ay(t-t)=f(t-t) 由链导发则，有 ,00000dt
dy(t,t)dy(t,t)dy(t,t)d(t,t)d(t,t)00000,,又因t为常数，故从而所以有 ,10d(tt)dtdtd(t,t),dt00dy(t,t)0即满足时不变性f(t-t)?y(t-t) ，ay(t,t),f(t,t)0000dt
1.6.试一般性地证明线性时不变系统具有微分特性。
y(t),y(t,t)f(t),f(t,,t)0,证明 设f(t)?y(t),则f(t-Δt)?y(t-Δt)又因为所以 ,t,tlimlimf(t),f(t,,t)y(t),f(t,t)0,既有 f'(t),y'(t),t,0,t,0,t,t
-t1.7 若有线性时不变系统的方程为y'(t)+ay(t)=f(t)在非零f(t)作用下其响应y(t)=1-e,试求方程y'(t)+ay(t)=2f(t)+f'(t)的响应。
-t-t解:因为f(t)?y(t)=1-e,又线性关系，则2f(t)?2y(t)=2(1-e) 又线性系统的微分特性，有
-t-t-t-t f'(t)?y'(t)=e 故响应 2f(t)+f'(t)?y(t)=2(1-e)+e=2-e
1
计算:
2.1设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。
(a) f( t ) = 2,( t ,1 ) , 2,( t ,2 )
(b) f( t ) = sin,t[,( t ) , ,( t ,6 )]
2-2 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。 解(a) f( t ) = ,( t ) , 2,( t ,1 ) + ,( t ,2 )
(b) f( t ) = ,( t ) + 2,( t ,T ) + 3,( t ,2T )
2-5 设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f, ( t )的表达式，对(b)写出f, ( t )的表达式，并分
别画出它们的波形。
解 (a)
1 ,0,t,22
f, ( t ) = ,( t , 2 )， t = 2
,2,( t , 4 )， t = 4
(b) f, ( t ) = 2,( t ) , 2,( t , 1 )
, 2,( t , 3 ) + 2,( t , 4 )
2.6.化简下列信号:()()(3)(3)(3);()()sin()()afttftbtttt,,,,,,,,，,,
,2t()22;()coscettdttt,,,，，，，，，，，,,,,
2
0,π，,3t2-7 试计算下列结果。(1) t,( t , 1 ) (2) (3) e,(,t)dt (4) cos(,t,),(t)dt,,00,,3,,2t2 (5)t,( t , 1 )dt (6)(7) t(t,1)dt,tttdt，,,32,,,d，，，，，，,,,,,,,,,,,1
,,ππ1解 (1) t,( t , 1 ) = ,( t , 1 ) (2)cos()()dcos()()d ,t,,tt,,,tt,,,00,,332000,,，，，,t,t33e,(,t)dt,e,(t)dt,,(t)dt,1 (4) (3)t(t,1)dt,(t,1)dt,1,,,,,,,000,,,,,,,,,(5) t,( t , 1 )dt=,( t , 1 )dt=1 (6)=0 (7)=2 ,t，，,,,,,,
3-1 如图2-1所示系统，试以u( t )为输出列出其微分方程。 C
解 由图示，有
tudu1CC又故 iC,，i,(u,u)dtLSCL,0RdtL
,u1C,,从而得 (u,u),，CuSCCLR
111,,, u(t)，u(t)，u(t),u(t)CCCSRCLCLC
,,,3-3 设有二阶系统方程y(t)，4y(t)，4y(t),0在某起始状态下的0起始值为 +
,y(0),1,y(0),2试求零输入响应。 ，，
,2t2y(t),(A，At)e解 由特征方程, + 4, + 4 =0得 , = , = ,2则零输入响应形式为 12zi12
,2ty(t),(1，4t)e,t,0由于y( 0 ) = A = 1 ,2A + A= 2所以A= 4故有 zi+112 2 zi3-4 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和u，对(b)求冲激响应u和i，并画出它们LCC的波形。
解 由图(a)有
didiR1即当u( t ) = ,( t )，则冲激响应 L,u(t),Ri，i,u(t)SSSdtLLdtRR,t,tdiR1LLh(t),i(t),e,,(t)h(t),u(t),L,,(t),e,,(t)则电压冲激响应 LLdtL
3
对于图(b)RC电路，有方程
duu11CC,即当i = ,( t )时，则 C,i,u，u,iSCCSSdtRRCCtt,,du11CRCRCh(t),u(t),e,,(t)i,C,,(t),e,,(t)同时，电流 CCCdtRC
,,3-5 设有一阶系统方程试求其冲激响应h( t )和阶跃响应s( t )。 y(t)，3y(t),f(t)，f(t)
,3tx(t),e,,(t)解 因方程的特征根 = ,3，故有当h( t ) = ( t )时，则冲激响应 ,,1
,3t,h(t),x(t),,[(t)，,(t)],,(t),2e,,(t)阶跃响应 1
t1,3t s(t),h(,)d,,(1，2e),(t),03
3.6,()LTIft系统的冲激响应如图(a)若输入信号如图(b)所示三角波，求零状态响应,
1本题用图形扫描计算卷积即ythtfttdt()()()0(0),,(01),,,,,,,,,,0121t ，,,,，,,,ddtddt(2),(23),(2),(12),,,,,,,,,,,,,2101t,
211112222tttt,,，,84,0,,,,,,，,,，(2),(34),0,(4)0,,12,12dttttt,,,2t,2222
,,,,3.10()()3()2()5()7()算子法求下列系统的冲激响应。htytytytftft(a)，，,，
''''()223bytytytftft，，,，，，，，，，，，，，
5p723，2解:(a)系统的算子方程从而(32)()(57)()H(p)ppytpft，，,，,,，2p3212，，，，ppp
23,,tt22,23)()pft，，从而htteetbppyt()()()23,0()(21)()(,，,，,，，,pp，，12
2p31212，,,tt,H(p)()()2,0,,，,，,，,从而【】httteet222p211111，，，，，，ppppp()()
,t3-11 试求下列卷积。(a) ,( t + 3 ) * ,( t , 5 ) (b) ,( t ) * 2 (c) te,,( t ) * ,, ( t )
,解 (a) 按定义,( t + 3 ) * ,( t , 5 ) = 考虑到, < ,3时，,(="" ,="" +="" 3="" )="">
t,5, > t ,5时，,( t ,, , 5 ) = 0，故,( t + 3 ) * ,( t , 5 ) = d,t,2,t,2,,,3
,t,t,t,t (b) 由( t )的特点，故( t ) * 2 = 2 (c) te,( t ) * ( t ) = [te( t )] = ( e , te)( t ) ,,,,,,,,3-12 对图示信号，求f( t ) * f( t )。 12
解 (a)先借用阶跃信号表示f( t )和f( t )， 12
即f( t ) = 2( t ) , 2( t , 1 ) ,,1
f( t ) = ,( t ) , ,( t , 2 ) 2
故
4
f( t ) * f( t ) = [2,( t ) , 2,( t , 1 )] * [,( t ) , ,( t , 2 )] 12
因为
t,( t ) * ,( t ) = = t,( t )故有 1d,,0
f( t ) * f( t ) = 2t,( t ) , 2( t , 1 ),( t , 1 ) ,2( t , 2 ),( t , 2 ) + 2( t , 3 ),( t , 3 ) 12
(b)根据, ( t )的特点，则f( t ) * f( t ) = f( t ) *[, ( t ) + , ( t , 2 ) + , ( t + 2 )]= f( t ) + f( t , 2 ) 12111
+ f( t + 2 ) 1
,2t,(1,e),(t),,(t),,(t)3-13 试求下列卷积。(a)
d,3t,t,,(b) 解(a)因为，故 ,(t),,(t),,(t),,(t)e,(t),[e,(t)]dt
,2t,2t,2t,(1,e,)(t),,(t),,(t),(1,e),(t),,(t),(1,e),(t)
,te,(t),,(t)(b)因为，故
d,,,,333tttt, ,,,,,ttttt,,,,,e()[e()]e()()()3etd
,,,,3-14 设有二阶系统方程试求零状态响应 y(t)，3y(t)，2y(t),4,(t)
2解 因系统的特征方程为, + 3, + 2 =0解得特征根, = ,1， , = ,2 12
,,tt,t,2t12x(t),e,e,(e,e),(t)故特征函数 2
,t,2t,2t,t,,y(t),,4(t),x(t),4,(t),(e,e),(t)(8e,4e),(t)零状态响应= 2
h(t),,(t,1),h(t),,(t)3-15 如图系统，已知试求系统的冲激响应h( t )。 12
解 由图关系，有
xtftfthtttttt()()()()()()(1)()(1),,,,,,,,,,,,,,, 1
h(t),y(t),x(t),h(t),[,(t),,(t,1)],,(t),,(t),,(t,1)所以冲激响应 2
即该系统输出一个方波。
3-16 如图系统，已知R = R =1,，L = 1H，C = 1F。试求冲激响应u( t )。 12C解 由KCL和KVL，可得电路方程为
111RCRR222,,,,，，，，,，,,Cuuutt()()()() CCCRLLRLRRL1111
,,,,u，2u，2u,,(t)，,(t)代入数据得 CCC
λtλt11,特征根, = ,1 , j1故冲激响应u( t )为 u(t),(e,e)*[,(t)，,(t)]1,2CC
,t,t,t,e(cost,sint),,(t)，esint,,(t),,ecos()Vtt, 3-19 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f( t ) = ,( t )时，全响应y( t ) = 1
,3t,3t3e,,( t );当输入f( t ) = ,,( t )时，全响应y( t ) = e,,( t )，试求该系统的冲激响应h( t )。 2
5
,3t解 因为零状态响应,( t ) , s( t )，,,( t ) , ,s( t )故有y( t ) = y( t ) + s( t ) = 3e,,( t ) 1zi
,3t,3t,3ty( t ) = y( t ) , s( t ) = e,,( t )从而有y( t ) , y( t ) = 2s( t ) = 2e,,( t )即s( t ) = e,,( t ) 2zi12
,3t故冲激响应h( t ) = s, ( t ) = ,( t ) , 3e,,( t )
tsin2例4.7设有时间信号，试求其频谱函数F(w).解:这里f (t)为偶函数，且可以ft(),,t
表示
,2w,,f(t),Sa(2t),f(t),F(w),考虑到g(t),Sa(),F(t),2f(,w),,2 ,w4tsin2t,,,,则:Sa(),2g(,w),,4,4Sa(),2g(w),即,g(w),F(w),44,22t4-1 求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。 解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为
TT11AAtA系数()dd f(t),t,,,afttt0,,002TTTTT，，TT,tntsinA22A21,,,,0 a,f(t)cosn,tdt,t,cosn,tdtn1122,,00n,TTT,,10，，T，，TT,tcosnt2AA2A2A1,,,,, b,f(t)sinn,tdt,t,sinn,tdtn1122,,00n,nπTTT,,10，，所以三角级数为 ,AAf(t),,sinn,t ,12nπn1,
,2t,at4-3 试求下列信号的频谱函数。(1) (2) f(t),ef(t),esin,t,,(t)00,,114j2j2j,tt,tt,t,,,,,，,解 (1) F(),f(t)edt,eedt，eedt,2,,,0,,,,2,,j2，j,4，,
,,1jj,,,ttjj,,t,at,,t00F(),f(t)edt,e,(e,e)edt,(2) ,,0,,2j
,，，1111jj,t,,t(j)(j),a,,t,a,,t00,[e,e,e,e]dt ,,,,,02j2j,(,j)j,(,j,)j,，,，，00，，
,,2j100,,, 22222j,(，,j)，,(,，j,)，,00
4-4 求题3-4图示信号的傅里叶变换。
解 (a)因为
t ,t,,,f( t ) =
为奇函数，故 0,t,,
,t22 F(,),,j2sin,tdt,,j[sin,,,,,cos,,],j[cos,,,Sa(,,)]2,0,,,,
(b) f( t )为奇函数，故
6
,24,,2,[cos,1],jsin() F(,),,j2(,1)sin,tdt,,,0j2,,4-8 设f( t )为调制信号，其频谱F( )如题图4-7所示，cost为高频载波，则广播发射的,,0调幅信号x( t )可表示为x( t ) = A[ 1 + m f( t )] cos,t试求x( t )的频谱，并大致画出其图形。 0
F(解 因为调幅信号x( t ) = Acos,t + mA f( t )cos,t 00
) ,故其变换
mA X,(),πA,[,(,,)，,,(，,)]，[F(,,,)，F(,，,)]00002
式中，F(, )为f( t )的频谱。x( t )的频谱图如图p4-7所示。 X(,
)
4-10 试求信号f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t的傅里叶变换。 解 因为1 , 2,,(,) 2cost , 2,[,(, , 1) + ,(, + 1) ] 3cos3t , 3,[,(, , 3) + ,(, + 3) ]
故有F(, ) = 2,[,(,) + ,(, , 1) + ,(, + 1) ] + 3,[,(, , 3) + ,(, + 3) ]
4-11 对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为
,,2证 因为 F(),ASa(),,2
tA(1,),t,, ,f( t ) =
0，| t | > ,
则
,t2A4A,,,,22 F(,),2A(1,)cos,tdt,(1,cos,,)sin(),ASa(),,2,2022,,,,,4-11 试利用傅里叶变换的性质，求题图所示信号f( t )的频谱函数。解由于f( t )的A = 2，, = 2，故21
其变换
,,22根据尺度特性有 F(,),A,Sa(),4Sa(,)12
7
tt2再由调制定理得 f(),2F(2,),8Sa(2,)f(t),f()cosπt,F(,)2121122
12222,4Sa(2,,2π)，4Sa(2,，2π) F,(),[8Sa(2,,2π)，8Sa(2,，2π)]2222,,sin(2)sin(2) ,，22(,,π)(,，π)
4-15 如题4-1图示RC系统，输入为方波u( t )，试用卷积定理求响应u( t )。 12解 因为RC电路的频率响应为
1,H(j), j,，1
而响应u( t ) = u( t ) * h( t ) 21
1,j,,U(),(1,e)故由卷积定理，得U(, ) = U(, ) * H( j, )而已知，故211,j
11,j,,t,(t,1),U(),,(1,e)u(t),(1,e),(t),[1,e],(t,1)反变换得 22,,j，1j
4,jw3He,(),4-16 设系统的频率特性为用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。，j2,
,,23T，，,1解 冲激响应，故而阶跃响应频域函数应为 htFHt()[()]4e(3),,,,,,
1414,jw3,jw3SFtHe,,,，,,，,e,,,,,,,()[()]()[π()]2π() ，，jj2jj2,,,,
22,,23t,jw3，，，，,，,,,estt()21e(3),2π()(),,,,所以阶跃响应 ，，，jj2,,
4.19设系统频域特性为由对称性，且用g(w)表示频域门函数，则:
,j2w. H(w),e,w,6;0,w,6,若系统输入f(t),sin4t/t,cos6t,求系统响应y(t)sin4t,,,,,4Sa(4t),g(w),cos6t,[(w，6)，(w,6)],由频域卷积定理有8t
,,g(w)8,,,F(w),,[(w，6)，(w,6)],[g(w，6)，g(w,6)]，由卷积定理有88,22
,,,j2w,j2wY(w),F(w)H(w),[g(w，6)，g(w,6)]g(w)e,[g(w，4)，g(w,4)]e88124422
sin[2(t,2)]取反变换，有y(t),cos[4(t,2)]t,2
4-22 题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入f(t)的频谱和频率特性H( j, )、H( j, )如图所示，试画出x(t)和y(t)的频谱图。 12
F(
,)
8
解 由调制定理知
1而x(t)的频谱 ,,,，，,,,,,,,ftfttFFF()()cos()[()()]1C1CC2
X(,),F(,),H(j,)又因为 11
1所以 f(t),x(t)cos,t,F,(),[X(,，,)，X(,,,)]2C2CC2F1Y(,),F(,),H(j,) 22(,
) 它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设, > ,。 C2X(
,)
F2
(,
)
Y( ,)
4-23 一滤波器的频率特性如图所示，当输入为所示的f( t )信号时，求相应的输出y( t )。
解 因为输入f( t )为周期冲激信号，故
12π所以f( t )的频谱 F,,1,,,,2πn1TT,,
F,(),2πF,,(,n,),2π,(,,2nπ) ,,n1nn,,,,,,
当n = 0，,1，,2时，对应H( j, )才有输出，故Y(, ) = F(, ) H( j, )= 2,[2,(,) + ,(, , 2,) +
( + 2,)]反变换得y( t ) = 2( 1 + cos2,t ) ,,
4-24 如题4-9图所示系统，设输入信号f(t)的频谱F(, )和系统特性H( j, )、H( j, )均给12定，试画出y(t)的频谱。
(jH(jHF(21f(t),f(t)cos50t解 设，故由调制定理，得 1,) ,) ,) 1f(t),F(,),H(,),F(,)从而 F(,),[F(,，50)，F(,,50)]221112
f(t),f(t)cos30t它仅在| , | = ( 30 ~ 50 )内有值。再设则有 32
1即F( )是F( )的再频移。进而得响应的频谱为 ,,F(,),[F(,，30)，F(,,30)]323222
Y(,),F(,),H(j,)其结果仅截取,20 < ,="">< 20的部分。以上过程的频谱变化如图所示。="">
9
4.27设信号f(t)的频谱F(, )如图(a)所示， (F1
,) 当该信号通过图(b)系统后，证明y(t)恢复为f(t)。
j2F((F2t ,1 ) ,,)
F(证明 因为 3
,) j2,t1f(t)e,F(,,2,) 11
故通过高通滤波器后，频谱F(, )为 1
Y(F,(),H(j,)F(,,2,),F(,,2,) 111,) 所以输出
y(t),Y(,),F(,,2,，2,),F(,) 11
即y(t)包含了f(t)的全部信息F(, )，故恢复了f(t)。
4-26 如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H( j, )。
t解 由图可知输出 y(t),[f(t),f(t,t)]dt0,0,()F,j,t0,(),(1,e)Y取上式的傅氏变换，得 ,j
故频率特性
,Y()1,j,t0,H(j),,(1,e) F,,()j
sin100,t4.29(),?设信号其带宽为多少,若对其取样，最低取样频率ftf,s100t,
wt,,奈奎斯特间隔解:由对称性有T?()(),()2().gtSaSagw,,,,,,,s22
gw()200,令由频域门函数可得,,,200,S(100)(),100,atgww 200m,,,,,100
1fhzffhzTsms,,,,,,50,2100.1/100()10msmsfs
4.30()3,()6设带限信号的最高频率为带限信号最高为，试求ftkhzftkhz12
下列信号的最小取样频率解因()(2);()()()()()3,aftbftftaftfkhz,,m1121
故故对于由频域卷积定理，其ftfkhzfkhzbftft(2)6,12()()(),,,, ms112
最高频率变为故9,22918khzffkhzkhz,,，,sm
KKss12Fs(),Fs(),,，例 设求f ( t )。解其中 (1)(2)ss，，(1)(2)11ssss，，，，
10
,12 所以则KsFs,，,,(1)()1KsFs,，,(2)()2Fs(),，12s,,s,,12ss，，11
,,tt2ft()e2e,,，
ss，，211例设求解:配方法求反变换F()().()sftFs,,，222ssss，，，，，，22(1)1(1)1
,sw，,,,,tt ewtewtcos,sin,,,所以2222()()swsw，，，，,,
,,,:tttftewtewtett()cossin2cos(45)0,，,,,，
KKs，321112例设，求。解其中FsFsKsFs()f ( t )()(1)(),,，,，1122s,,1(1)(1)1sss，，， d21,,tt,,，,,，,，,2(3)1()()2ee,0KsFsfttt则既122s,,1d(1)1sss，，
KKKKs,21311122例设求解令FsFsFs()f ( t )()(),,，，，,1332ssssss(1)(1)(1)(1)，，，，
ssds,,,222,,3 (1)()32sFsKKK，,,,,,,则111213,,ssdss,,1s,,1s,,2123ds,,,2,,,ttt,,，，,,2()e2e22,0既ftttet,,222dss,,1s,,
,3t,,,,例设有方程求。5.13()3()2()e(0)1,(0)2,()ytytytyyyt，，,,,,,
12,解取拉氏变换得[()(0)(0)]3[()(0)]2()sYssyysYsyYs,,，,，,,,,s，3 2KKKss864.540.5，，,312既YsYs()(),,，，,，，(1)(2)(3)123123sssssssss，，，，，，，，，
,,23tt,,1t,，,40.50eet所以ytLYse,,()4.5，，，，,,
,,,,,例设有二阶系统方程输ytytytftftyy()3()2()()4()(0)1,(0)2，，,，,,,,
2,入试求零输入响应，零状态响应和全响应。解取拉氏变换得fttsYs,,[()，，，，
s，4,,,，,，,，,syysYsyYssFsYsFs(0)(0)]3[()(0)]2()(4)()()()得,,,2ss，，32
,s，4(3)(0)(0)syy，，,,YsFs()(),，,代入初始状态和得Fss1，，22sss(32)，，ss32，，
22,,tt,，,,，,对上式两项分别去反变换得yteetyt()(23)()()zszi2ss，，32
22,,,,tttt22(0)()()()2(0)eetytytyteet,,,，,,,,全响应zizs
例5.18:如图所示电路系统，已知C= 1 F，L= 1/2 H，R1= 0.2 Ω，R2= 1Ω, uc(0-)= 0，
iL(0-)=2 A，试求电感电压uL(t)。
11
u(0)11,,c,解域模型如图，用网孔分析法sRIsRIsRIs，，,,,,()()0()111211,,sCss,,
11,,，，，,,，,,,，()()(0)00.2()0.2()0.2()RRsLIsLiIsIsIs既122121L,,,ss,,
，2(6)s(1.20.5)()10()()()(0)，,,,,,,sIsIsUssLIsLi解得从而22LLL,2ss，，712
89,,s12,,43tt,,,,,故uteeVt()89(0)，，L2sss，，，1243s，7
例。5.16如图所示电路系统，t?0时电路已处于稳态。设R1= 4 Ω，R2= 2Ω, L=1 H，C=1
F，试求t?0时的响应。 ut，，C
R622解得起始状态，，域,,,,，,iAAuUVVs(0)1(0)62LCs,,，，，4242RR12
,，,，,12(2)(2)1ss,, 电路列网孔方程既，，,,,,,,RsLIsIs()1()2,,222，，，，sCsssss21(1)(1),,
u(0),11,,,,ttttC,，,,,,，,，取反变换又得itteeUsIsuttee()()()()2Cc，ssCs1
5-1 求下列函数的单边拉氏变换。
,3t,t,2t,(t)，e(1) (2) (3) (4) 2,eecostsin23cos2tt，
,21s，2tst,,F(s),(2,e)edt,,,解 (1) ,0ss，1s(s，1)
,13tst,,F(s),[(t)，e]edt,1，(2) ,,0,s，3
,,12jj2tsttttst,,,,,(3) F(s),(ecost)edt,(e，e)e,edt,,002
,,,111s，2st,,,(4)=,，,Fsttedt()(sin23cos2),，2,,,02s，2,js，2，j(s，2)，1,,
12
,,,,23，s111311= ,，,,,,,2s，4222222jsjsjsjsj,，,，,,,,
5-2 求下列题5-2图示各信号的拉氏变换。 ff121 1 f(t),,(t),,(t,t)解 (a) 因为 10( t ( t 11st,0而ttt ,(),，,(,),et0t ss( 0) ) b1tttst,0f(t),[(t),(t,t)],(t),(t,t)故ft(b) 因为,,,, (),(1,e)001) ttts000
t1t11,st0(t),又因为, ,(t,t),(，)e 022ttsstst0000
11111,st,st,st000f(t),,(，)e 故有,(1,e),e2222ssststst000
,,tt,5.3求下列拉氏变换()()()();()()()[1()]aftttetbftttet,，,,，,,,,
11,t ,解:所以应为()(),()()()()()1atstetFssbfttt,,,，,,,,,22(1)(1)ss，，
111111,,tt，,,,,,,,,，ttetttttet()()()1,()()F(s)而所以,,,,,23232ssssssss(1)(1)，，
5-5 利用微积分性质，求题5-3所示信号的拉氏变换。 解 先对f( t )求导，则
,f(t),,(t),2,(t,1)，2,(t,3),,(t,4)
1,s,3s,4sFs故对应的变换 (),(1,2e，2e,e)1s
34,s,s,sF(s)1,2e，2e,e1F(s),,所以 2ss
s，1F(s),5-9 用部分分式法求下列象函数的拉氏反变换。(1) 2s，5s，6
13
212s，s，24F(s),F(s),(2)(3)(4)(5) F(s),222s(s，1)s(s，2)s，3s，2
kks，1s，112F(s),,,，解(1) k,(s，2)F(s),,112s,,2(s，2)(s，3)s，2s，3s，5s，6
,12,2t,3tf(t),(,e，2e),(t)故有所以 F(s),，k,(s，3)F(s),22s,,3s，2s，3
22s，s，2ABs，CF(s),,，可得 (2)A,sF(s),222s,0s(s，1)ss，1
21222又可得B = 0，C = 1 F(s),，2s，s，2,As，A，Bs，Cs2ss，1
所以 f(t),(2，sint),(t)
kk1112F(s),,,，(3) k,(s，1)F(s),112s,,1(s，1)(s，2)s，1s，2s，3s，2
1,1,t,2tf(t),(e,e),(t)故有F(s),，故 k,(s，2)F(s),,12s,,2s，1s，2
kkk411112F(s),,，，(4) 故 k,sF(s),1122s,0ss，2s(s，2)(s，2)
4dd422k,(s，2)F(s),,,2k,[(s，2)F(s)],(),,1 1112s,,2ssssdds,,2s,,2s,,2
1,12,2t,2tF(s),，,f(t),(1,e,2te),(t)故有所以 2ss，2(s，2)
,,,,5-12 设系统微分方程为 y(t)，4y(t)，3y(t),2f(t)，f(t)
,2t,y(0),1,y(0),1,f(t),e,,(t)已知。试用s域方法求零输入响应和零状态响应。 ,,
解对系统方程取拉氏变换得
2,sY(s),sy(0),y(0)，4sY(s),4y(0)，3Y(s),2sF(s)，F(s)从而 ,,,
,1sy(0)，y(0)，4y(0)2s，1,,,由于F(s), Y(s),，,F(s)22s，2s，4s，3s，4s，3
s，s，521Ys,，故 ()22s，s，s，s，s，43(2)(43),,,,,,,,,,,,,,
Ys()Ys()zizs
7515,t,3t,t,2t,3t求反变换得 y(t),e,ey(t),,e，3e,ezizs2222
,t,2t,3ty(t),3e，3e,5e,t,0全响应为
,,,y(t)，5y(t)，6y(t),3f(t)5-13 设某LTI系统的微分方程为求其冲激响应和阶跃响应。
33H(s),,解 对方程取拉氏变换，得系统函数当f( t ) = ,( t )时，2(s，2)(s，3)s，5s，6
14
3,2t,3tY(s),H(s),h(t),3e,3e,t,0F( s ) =1，得从而 (s，2)(s，3)
1310.5,1.51Y(s),H(s),当f( t ) = ,( t )时，，得 F(s),,，，ss(s，2)(s，3)sss，2s，3
,2t,3ty(t),s(t),0.5,1.5e，e,t,0故得
f(t)=(t) ,
15-18 如题5-10图所示电路，已知U = 28V，L = 4H，C = F，R = 12,，R = R =2,。S1234当t = 0时S断开，设开关断开前电路已稳定，求t , 0后响应u( t )。 C
UUSS(0),,2Au(0),,R,4V解 初始状态在t = 0i时求得 ,L,C,2R，RR，R1212对于图(b)S域模型，列出关于U( s )的节点方程，即 C
28，824(s，5s，7)73s，81s1sU(s),,,(，，)U(s),，1解得 CC22s(s，4s，4)s(s，2)12，4s4412，4s
,2t可得 u(t),7,2(t，1.5)e(t,0)C
5.1900(),()如图所示系统时开关打开，试求后电压。解:由题可得起始状态ttutit,,02
100U(s)-(30)，0U(s)0siAi(0)10,(0)0;0,,，,用节点法有12,,2s153s10，，
40(7.5)12(7.5)6020306010ss，，UsUs()()1212,，,,，，,，，最后分解为00ssssssss(5)5555，，，，，
100，30642,5ts,etV,(6010)()]I(s)，,，,，电流从而有utt()[12(),，02ssss52555，，，
,5ti(t),(4，2e),(t)A 2
例6-9 设有反馈控制系统如图所示，为使系统稳定，试确定K的取值范围。
15
s
，，(s1)(s2)解:由图可得系统函数,,H(s)Ks，1(1)(2)ss，，
s按二阶系统稳定条件，，,,,3K0,k32sKs，，，(3)2
6-1 已知某系统函数H( s )的零、极点分布如题6-3图所示，若冲激响应的初值h(0) = 2，+
求系统函数H( s )，并求出h( t )。
Hs0H(s),解 由图示零、极点分布，应有 2,,32,,(s，1)，,,2,,
2sH(s),又因为故有进一步可表示为 h(0),limsH(s),H(0),2，2s,,,,32,,(s，1)，,,2,,
，，
,,
,,s11，所以 H(s)2,,,,22,,,,33,,22,,,,(s，1)，(s，1)，,,,,,,22,,,,，，
3
2(s，1)22 ,,,，2223,,,,3322,,,,(s，1)，(s，1)，,,,,22,,,,
323,t htttt,,,()2e(cossin),0223
6-3 某系统函数H( s )的零、极点分布如题6-4图所示，且H = 5，试写出H( s )的表达式。 0解 从图可知系统的零点为z = 0，z = ,2，z = ,3极点为S = ,1， 1231S = ,2 , j2故系统函数 ，232N(s)s(s，2)(s，3)5s(s，5s，6),H(s),H,,5, 02(s，1)(s，4s，8)D(s)(s，1)(s，2，j2)(s，2,j2)
h(t),,(t,1),h(t),,(t),,(t,2)6-4 在题6-1图示系统中，已知，试求系统函数H( s )ab
和冲激响应h( t )，并画出其波形。
y(t),f(t),h(t)，f(t)解 因为 1a
故
Y(s),F(s)H(s)，F(s),[1，H(s)]F(s)Y(s),Y(s)H(s),H(s)而 1aa1ab
11,s,2s,s,s,2sHsHs其中所以 (),e,(),(1,e)Y(s),(1，e)e,(1,e),F(s)abss
16
,s,2s,sYs()(1，e)(1,e),e1,s,2s,3s,4sHs(),,故 ,(e，e,e,e)Fss()s所以冲激响应 h(t),,(t,1)，,(t,2),,(t,3),,(t,4)
)的波形如图p6-1所示。 h( t
5(s，1)6-5 设系统函数H(s),试画出其S域模拟框图。 s(s，2)(s，5)
,2,35(s，1)5s，55s，5sH(s),,,解 H( s )可改写为 32,1,2s(s，2)(s，5)s，7s，10s1，7s，10s
从而得模拟图
如图p6-5所示。
U(s)2H(s),6-7 试画出题6-2图所示网络的系统函数的波特图。 U(s)1
解 (a) 由图可得系统函数
sRC，10.5s，12H(s),, s(R，R)C，1s，112
1可见其超前环节， ,,,2rad/s10.5
,,1rad/s滞后环节， 2
故得波特图如图p6-2(a)所示。
(b) 由图可得系统函数
,RRs，1221H(s),,, RR，Rs,，11122R，2sRC，11
0.5(s，1),,RC,,,(R//R)CH(s),故 其中112120.5s，1从而得波特图如图p6-2(b)所示。
17
,,,,6.11LTI()5()6()2()(),H(s)设有因果系统的微分方程为试求系统函数和冲击ytytytftft，，,，
响应(试画出系统的模拟图，(h(t);b)(d)c)画出其零，极点图;判断系统稳定性;(e)若稳定求
2其系统频域特性。解:对方程取拉氏变换得，故系统函数()(56)()(21)()H(s)assYssFs，，,，,
,,12 2ss，2s135，,,,23tt(35)()H(s),，,eet,(b)模拟图可由画出,，,可得ht()2,,12156，，sss5623，，，，sss
(c)零极点为:极点系统极点都在左半开平面，故系统稳定，sssd,,,,,,1/2,2,3;()012
2()1jw，(e)频率特性为:Hw(),2()5()6jwjw，，
6-12 如题6-6图所示为二阶有源带通系统的模型，设R = 1,，C = 1F， K = 3，试求系统
U(s)2函数。 H(s),U(s)1
解 对于电路的S域模型，可列节点方程
U(s)U(s)U(s)U(s)U(s)U(s),,1a2aab ，,，1RRR
sC
U(s)U(s)3s2bH(s),,sC(UU) 代入数据后，可得 ,,ab2U(s)s，s，2R1
U(s),KU(s) 2b
3s，1s，1H(s),H(s),6-14 试判定下列系统的稳定性。(1) (2) 232s，8s，6s，4s,3s，2
2s，4H(s),(3) 2(s，1)(s，4s，3)
解 (1) 因H( s )分母多项式各项系数均为正，故稳定。(2) 因H( s )分母多项式有负系数，
2s，42s，4H(s),,故不稳定。(3) 因 2(s，1)(s，1)(s，3)(s，1)(s，4s，3)
其极点均在左半平面，故系统稳定。
6-15 如题6-9图所示系统，试判定
其稳定性。解 由图可得系统函数
18
101,2s，4s(s，1)(s，4)H(s),,因为aa = 20，aa = 10，故满足 120332101s，5s，4s，101，,s(s，1)(s，4)
aa > aa故系统稳定。 1203
6-16 如题6-10图示反馈系统，为使其稳定，试确定K值。
解 该系统的H( s )为
s，K1,s，Ks(s，1)s，2H(s),, 32s，K1s，3s，3s，K1，,s(s，1)s，2
> 0，再由aa > aa考虑，应满足K < 9，故当0="">< k="">< 9时稳定。="" 从必要条件考虑，应当k="">
sss，，12，，，，，，，，系统函数Hs,，，112，,，，Kssss，，，，，，，，
ss,,2ssKssK，，，，，，1232，，，，
若当既系统稳定20,2,，,,,KK
9.1如图所示电路，试列出其状态方程
19
范文二：信号与系统第二版 燕庆明
(2)令g (t ) =f (t -t 0), T [g (t )]=tg (t ) =tf (t -t d ) , T f (t -t 0) ≠y f (t -t 0) ∞, y f (t -t 0) =
(t -t 0) f (t -t 0) 。 (3)令g (t ) =f (t -t 0) ，T [g (t )]=g (-t ) =f (-t -t 0) ，T f (t -t 0) ≠
y f (t -t 0) ，y f (t -t 0) =f (-t +t 0)
1. 2. 已知某系统输入f (t ) 与输出y (t ) 的关系为y (t ) =f (t ) 判断该系统是否为线性时不变系统？解:设T 为系统运算子，则y (t ) 可以表示为y (t ) =T [f (t )]=f (t ) , 不失一般性，设f (t ) =f 1(t ) +f 2(t ) T [f 1(t )]=f 1(t ) =y 1(t ), T [f (t )]=f 1(t ) +f 2(t ) =y (t ), 显然其不相等，即为非线性时不变系统。
df (t ) t
+?f (x ) dx (2) :[y ' (t )]2+y (t ) =f (t ) 1.3判断下列方程所表示系统的性(1) :y (t ) =
0dt
（3）：y ' ' (t ) +2y ' (t ) +3y (t ) =f ' (t ) +f (t -2) （4）：y " (t ) +2ty ' (t ) +2y (t ) =3f (t ) 线性 非线性时不变 线性时不变 线性时变
1.4。试证明方程y'(t)+ay(t)=f(t)所描述的系统为线性系统。
证明：不失一般性，设输入有两个分量，且f 1(t)→y 1(t),f2(t)→y 2(t) 则有y 1'(t)+ay1(t)=f1（t) ，y 2'(t)+ay2(t)=f2(t) 相加得y 1'+ay1(t)+y2' (t)+ay2(t)=f1(t)+f2(t) 即
d
[y1(t)+y2(t)]+a[y1(t)+y2(t)] dt
=f1(t)+f2(t）可见f 1(t)+f2(t)→y 1(t)+y2(t)即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。 1.5。证明1.4满足时不变性。
证明 将方程中的t 换为t-t 0,t 0为常数。即y'(t-t0)+ay(t-t0)=f(t-t0) 由链导发则，有
dy (t -t 0)
= dt
d (t -t 0) dy (t -t 0) d (t -t 0) dy (t -t 0) dy (t -t 0)
=1从而又因t 0为常数，故所以有 ?=dt d (t -t 0) dt dt d (t -t 0)
dy (t -t 0)
+ay (t -t 0) =f (t -t 0) 即满足时不变性f(t-t0) →y(t-t0) dt
1.6. 试一般性地证明线性时不变系统具有微分特性。 证明 设f(t)→y(t),则f(t-Δt) →y(t-Δt) 又因为
y (t ) -y (t -t 0) f (t ) -f (t -?t ) →所以
?t ?t
lim f (t ) -f (t -?t ) lim y (t ) -f (t -t 0)
既有 f ' (t ) →y ' (t ) →
?t →0?t →0?t ?t
1.7 若有线性时不变系统的方程为y'(t)+ay(t)=f(t)在非零f(t)作用下其响应y(t)=1-e-t , 试求方程y'(t)+ay(t)=2f(t)+f'(t)的响应。
解：因为f(t)→y(t)=1-e-t , 又线性关系，则2f(t)→2y(t)=2(1-e-t ) 又线性系统的微分特性，有 f'(t)→y'(t)=e-t 故响应 2f(t)+f'(t)→y(t)=2(1-e-t )+e-t =2-e-t
计算：
2.1设有如下函数f ( t )，试分别画出它们的波形。 (a) f ( t ) = 2ε( t -1 ) - 2ε( t -2 ) (b) f ( t ) = sinπt [ε( t ) - ε( t -6 )]
2-2 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。 解(a) f ( t ) = ε( t ) - 2ε( t -1 ) + ε( t -2 ) (b) f ( t ) = ε( t ) + 2ε( t -T ) + 3ε( t -2T )
2-5 设有题2-6图示信号f ( t )，对(a)写出f ' ( t )的表达式，对(b)写出f " ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。 解 (a)
1, 2
0≤t ≤2
f ' ( t ) = δ( t - 2 )， t = 2 -2δ( t - 4 )， t = 4 (b) f " ( t ) = 2δ( t ) - 2δ( t - 1 ) - 2δ( t - 3 ) + 2δ( t - 4 )
2.6. 化简下列信号：(a ) f (t ) δ(t -3) =f (3)δ(t -3); (b ) δ(t ) +sin t ?δ(t ) =δ(t ) (c ) 2e -2t δ(t )=2δ(t ); (d ) cos t ?δ(t )=δ(t )
π
2-7 试计算下列结果。(1) t δ( t - 1 ) (2) ?cos(ωt -) δ(t ) d t (3)
0-
3
∞
?
0+
0-
e -3t δ(-t ) d t (4)
?
∞
-∞
t δ(t -1) d t (5)?
∞
-∞
t δ( t - 1 )dt (6)
?(t
-1
2
2
+t )δ(t -3)dt (7) 2?δ(τ)d τ
-∞
t
∞ππ1
cos(ωt -) δ(t ) d t =cos(-) δ(t ) d t =解 (1) t δ( t - 1 ) = δ( t - 1 ) (2)? ?0-0-
332∞∞0+0+0+
-3t -3t
(3)?e δ(-t ) d t =?e δ(t ) d t =?δ(t ) d t =1 (4) ?t δ(t -1) d t =?δ(t -1) d t =1
∞
0-0-0-
-∞-∞
(5)
?
∞
-∞
t δ( t - 1 )dt=
?
∞
-∞
δ( t - 1 )dt=1 (6)=0 (7)=2ε
(t )
3-1 如图2-1所示系统，试以u C ( t )为输出列出其微分方程。 解 由图示，有
u C d u 1t
+C C 又i L =?(u S -u C ) d t 故
L 0R d t
u '1
''从而得 (u S -u C ) =C +C u C
L R
111''(t ) +'(t ) +u C u C u C (t ) =u S (t )
RC LC LC i L =
3-3 设有二阶系统方程y ''(t ) +4y '(t ) +4y (t ) =0在某起始状态下的0+起始值为
y (0+) =1, y '(0+) =2试求零输入响应。
解 由特征方程λ2 + 4λ + 4 =0得 λ1 = λ2 = -2则零输入响应形式为y zi (t ) =(A 1+A 2t ) e 由于y zi ( 0+ ) = A 1 = 1 -2A 1 + A 2 = 2所以A 2 = 4故有y zi (t ) =(1+4t ) e
-2t
-2t
, t ≥0
3-4 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i 和u L ，对(b)求冲激响应u C 和i C ，并画出它们的波形。
解 由图(a)有
d i d i R 1
=u S (t ) -Ri 即+i =u S (
t ) 当u S ( t ) = δ( t )，则冲激响应 d t d t L L
R R 1-L t d i R -L t
h (t ) =i (t ) =e ?ε(t ) 则电压冲激响应h (t ) =u L (t ) =L =δ(t ) -e ?ε(t )
L d t L L
对于图(b)RC 电路，有方程
C
d u C u 11
'+=i S -C 即u C u C =i S 当i S = δ( t )时，则
d t R RC C
t t
d u C 1-RC 1-RC
h (t ) =u C (t ) =e ?ε(t ) 同时，电流i C =C =δ(t ) -e ?ε(t )
d t RC C
3-5 设有一阶系统方程y '(t ) +3y (t ) =f '(t ) +f (t ) 试求其冲激响应h ( t )和阶跃响应s ( t )。 解 因方程的特征根λ = -3，故有x 1(t ) =e -3t ?ε(t ) 当h ( t ) = δ( t )时，则冲激响应
h (t ) =x 1(t ) *[δ'(t ) +δ(t )]=δ(t ) -2e -3t ?ε(t ) 阶跃响应
t 1
s (t ) =?h (τ) d τ=(1+2e -3t ) ε(t )
03
3.6LTI 系统的冲激响应如图(a), 若输入信号f (t ) 如图（b) 所示三角波，求零状态响应？本题用图形扫描计算卷积即y (t ) =h (t ) *f (t ) =0(t <0), ?τd="" τ,(0≤t="">
01
?
1
t -22
τd τ+?(2-τ) d τ,(2≤t ≤3), ?τd τ+?(2-τ) d τ,(1≤t ≤2),
1
1
21t
12121212(2-τ) d τ,(3≤t ≤4),0,(t >4) =0, t , -1+2t -t , -1+2t -t ,8-4t +t ,0?t -2
2222
3.10算子法求下列系统的冲激响应h (t ) 。(a)y ''(t ) +3y '(t ) +2y (t ) =5f '(t ) +7f (t ) (b ) y '' (t )+2y ' (t )+y (t )=2f ' (t )+3f (t )
解：(a)系统的算子方程(p 2+3p +2) y (t ) =(5p +7) f (t ) 从而H(p)=从而h (t ) =(
5p +723
=+
p 2+3p +2p +1p +2
23+) δ(t ) =2e -t +3e -2t , t ≥0(b )(p 2+2p +1) y (t ) =(2p +3) f (t ) ，p +1p +22p +31212
H(p)=2=+从而h (t ) =【+】δ(t ) =te -t +2e -t , t ≥022
p +2p +1（p +1）p +1（p +1）p +1
3-11 试求下列卷积。(a) ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) (b) δ( t ) * 2 (c) t e -t ?ε( t ) * δ' ( t ) 解 (a) 按定义ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =
?
∞
-∞
ε( τ + 3 ) = 0；ε(τ+3) ε(t -τ-5) d τ考虑到τ <>
τ > t -5时，ε( t -τ - 5 ) = 0，故ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =
?
t -5
-3
d τ=t -2, t >2
(b) 由δ( t )的特点，故δ( t ) * 2 = 2 (c) t e -t ?ε( t ) * δ' ( t ) = [t e -t ε( t )]' = ( e-t - t e -t ) ε( t ) 3-12 对图示信号，求f 1( t ) * f 2( t )。
解 (a)先借用阶跃信号表示f 1( t )和f 2( t )， 即f 1( t ) = 2ε( t ) - 2ε( t - 1 ) f 2( t ) = ε( t ) - ε( t - 2 ) 故
f 1( t ) * f 2( t ) = [2ε( t ) - 2ε( t - 1 )] * [ε( t ) - ε( t - 2 )] 因为
t
ε( t ) * ε( t ) =
?
1d τ= tε( t )故有
f 1( t ) * f 2( t ) = 2t ε( t ) - 2( t - 1 )ε( t - 1 ) -2( t - 2 )ε( t - 2 ) + 2( t - 3 )ε( t - 3 )
(b)根据δ ( t )的特点，则f 1( t ) * f 2( t ) = f1( t ) *[δ ( t ) + δ ( t - 2 ) + δ ( t + 2 )]= f 1( t ) + f 1( t - 2 ) + f 1( t + 2 )
3-13 试求下列卷积。(a) (1-e -2t ) ε(t ) *δ'(t ) *ε(t ) (b) e
-3t
ε(t ) *
d -t
[e δ(t )]解(a)因为δ'(t ) *ε(t ) =ε'(t ) =δ(t ) ，故 d t
(1-e -2t ) ε(t ) *δ'(t ) *ε(t ) =(1-e -2t ) ε(t ) *δ(t ) =(1-e -2t ) ε(t )
(b)因为e -t δ(t ) =δ(t ) ，故
e -3t ε(t ) *
d -t
[eδ(t )]=e -3t ε(t ) *δ'(t ) =δ(t ) -3e -3t d t
3-14 设有二阶系统方程y ''(t ) +3y '(t ) +2y (t ) =4δ'(t ) 试求零状态响应 解 因系统的特征方程为λ2 + 3λ + 2 =0解得特征根λ1 = -1， λ2 = -2 故特征函数x 2(t ) =e
λ1t
*e λ2t =(e -t *e -2t ) ε(t )
-t
-2t
零状态响应y (t ) =4δ'(t ) *x 2(t ) =4δ'(t ) *(e *e
) ε(t ) = (8e -2t -4e -t ) ε(t )
3-15 如图系统，已知h 1(t ) =δ(t -1), h 2(t ) =ε(t ) 试求系统的冲激响应h ( t )。
解 由图关系，有
x (t ) =f (t ) -f (t ) *h 1(t ) =δ(t ) -δ(t ) *δ(t -1) =δ(t ) -δ(t -1)
所以冲激响应h (t ) =y (t ) =x (t ) *h 2(t ) =[δ(t ) -δ(t -1)]*ε(t ) =ε(t ) -ε(t -1) 即该系统输出一个方波。
3-16 如图系统，已知R 1 = R2 =1Ω，L = 1H，C = 1F。试求冲激响应u C ( t )。 解 由KCL 和KVL ，可得电路方程为
''+(Cu C
R 1R 2C 1R 1
'+(+2) u C =δ'(t ) +2δ(t ) +) u C
R 1L L R 1L R 1R 1L
λt
λt
''+2u C '+2u C =δ'(t ) +δ(t ) 代入数据得u C
特征根λ1,2 = -1 ± j1故冲激响应u C ( t )为u C (t ) =(e 1*e 1) *[δ'(t ) +δ(t )]
=e -t (cost -sin t ) ?ε(t ) +e -t sin t ?ε(t ) =e -t cos t ?ε(t )V
3-19 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f ( t ) = ε( t ) 时，全响应y 1( t ) = 3e -3t ?ε( t )；当输入f ( t ) = -ε( t )时，全响应y 2( t ) = e-3t ?ε( t )，试求该系统的冲激响应h ( t )。
解 因为零状态响应ε( t ) → s ( t )，-ε( t ) → -s ( t )故有y 1( t ) = yzi ( t ) + s( t ) = 3e-3t ?ε( t ) y 2( t ) = yzi ( t ) - s( t ) = e-3t ?ε( t )从而有y 1( t ) - y 2( t ) = 2s ( t ) = 2e-3t ?ε( t )即s ( t ) = e-3t ?ε( t ) 故冲激响应h ( t ) = s ' ( t ) = δ( t ) - 3e-3t ?ε( t ) 例4.7设有时间信号f (t ) =表示
sin 2t
，试求其频谱函数F(w).解：这里f (t)为偶函数，且可以πt
w τ
), F (t ) ?2πf (-w )
π2
w τ4t sin 2t
则：τSa () ?2πg τ(-w ), τ=4, 4Sa () ?2πg 4(w ), 即?g 4(w ) =F (w )
22πt f (t ) =
2
Sa (2t ), f (t ) ?F (w ), 考虑到g τ(t ) ?τSa (
4-1 求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。 解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为
A 1T 1T At A t 系数a 0=?f (t ) d t =?d t = T T 0T 0T 2T
?T T 22A 2A t sin n ω1t ?
a n =?f (t ) cos n ω1t d t =2?t ?cos n ω1t d t =2??=0
00T T T ?n ω10?
??T
2A T 2A T 2A ?t cos n ω1t ?A b n =f (t ) sin n ωt d t =t ?sin n ωt d t ?? ==-112??200T T n πT ?n ω10?
??f (t ) =
所以三角级数为
A ∞A
f (t ) =-∑sin n ω1t
2n =1n π
4-3 试求下列信号的频谱函数。(1) f (t ) =e 解 (1)F (ω) =(2) F (ω) =
-2t
(2) f (t ) =e -at sin ω0t ?ε(t )
?
∞
-∞
f (t ) e
-j ωt
d t =?e e
-∞∞
2t -j ωt
d t +?e -2t e -j ωt d t =
∞
114
+=
2-j ω2+j ω4+ω2
?
∞
-∞
f (t ) e
-j ωt
=
1∞j ω0t (-a -j ω) t
[e?e 2j ?0
1j ω0t
(e-e -j ω0t )e -j ωt d t
02j
?1?11
-e -j ω0t ?e (-a -j ω) t ]dt =?-?
2j ?(α+j ω) -j ω0(α+j ω) +j ω0?d t =?e -at ?
=
2j ω0ω01
?=2222
2j (α+j ω) +ω0(α+j ω) +ω0
4-4 求题3-4图示信号的傅里叶变换。 解 (a)因为
,
τ0,
t
t <>
t >τ为奇函数，故
t
sin ωt d t =-j
2
F (ω) =-j 2?
τ
ττω
2
[sinωτ-ωτcos ωτ]=j [cosωτ-Sa (ωτ)] 2
ω
(b) f( t )为奇函数，故
τ
F (ω) =-j 2?(-1) sin ωt d t =
24ωτ[cosωτ-1]=j sin 2() j ωω2
4-8 设f ( t ) 为调制信号，其频谱F ( ω ) 如题图4-7所示，cos ω0t 为高频载波，则广播发射的调幅信号x ( t ) 可表示为x ( t ) = A [ 1 + m f( t )] cosω0t 试求x ( t ) 的频谱，并大致画出其图形。 解 因为调幅信号x ( t ) = A cos ω0t + mA f( t )cos ω0t 故其变换
F (
X (ω) =πA [δ(ω-ω0) +δ(ω+ω0)]+
mA
[F (ω-ω0) +F (ω+ω0)] 2
式中，F (ω ) 为f ( t ) 的频谱。x ( t ) 的频谱图如图
p4-7X 所示。(ω
4-10 试求信号f ( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t 的傅里叶变换。
解 因为1 ? 2πδ(ω) 2cos t ? 2π[δ(ω - 1) + δ(ω + 1) ] 3cos3t ? 3π[δ(ω - 3) + δ(ω + 3) ] 故有F (ω ) = 2π[δ(ω) + δ(ω - 1) + δ(ω + 1) ] + 3π[δ(ω - 3) + δ(ω + 3) ]
4-11 对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为
F (ω) =A τSa 2(
ωτ
t
) 证 因为
A (1-),
τ 0，| t | > τ 则
τ
t <>
t 2A 4A ωτωτ
F (ω) =2?A (1-) cos ωt d t =2(1-cos ωτ) =2sin 2() =A τSa 2()
0τ22ωτωτ
4-11 试利用傅里叶变换的性质，求题图所示信号f 2( t ) 的频谱函数。解由于f 1( t ) 的A = 2，τ = 2，故其变换
F 1(ω) =A τSa 2(
ωτ
2
) =4Sa 2(ω) 根据尺度特性有
t t
f 1() ?2F 1(2ω) =8Sa 2(2ω) 再由调制定理得f 2(t ) =f 1() cos πt ?F 2(ω) 22
1
F 2(ω) =[8Sa 2(2ω-2π) +8Sa 2(2ω+2π)]=4S a 2(2ω-2π) +4S a 2(2ω+2π)
22
sin (2ω) sin 2(2ω)
=+22
(ω-π) (ω+π)
4-15 如题4-1图示RC 系统，输入为方波u 1( t ) ，试用卷积定理求响应u 2( t ) 。 解 因为RC 电路的频率响应为
H (j ω) =
1
j ω+1
1
(1-e -j ω) ，故j ω
而响应u 2( t ) = u 1( t ) * h ( t )
故由卷积定理，得U 2(ω ) = U 1(ω ) * H ( j ω ) 而已知U 1(ω) =
U 2(ω) =
11
?(1-e -j ω) 反变换得u 2(t ) =(1-e -t ) ε(t ) -[1-e -(t -1) ]ε(t -1) j ω+1j ω
4
e -j 3w 用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。j ω+2
-2(T -3)
4-16 设系统的频率特性为H (ω) =
解 冲激响应，故h (t ) =F -1[H (ω)]=4e ?ε(t -3) 而阶跃响应频域函数应为
S (ω) =F [ε(t )]?H (ω) =[πδ(ω) +=2πδ(ω) +(
1414]?e -j 3w =2πδ(ω) +?e -j 3w j ωj ω+2j ωj ω+2
22-2(t -3)??ε(t -3) 1-e -) e -j 3w 所以阶跃响应s (t ) =2???j ωj ω+2
4.19设系统频域特性为由对称性，且用g(w)表示频域门函数，则：
H (w ) =e -j 2w , w <6; 0,="" w="">6, 若系统输f 入(t ) =s i n 4t /t ?c o 6s t , 求系统响y 应(t ) .
sin 4t
=4Sa (4t ) ?πg 8(w ), cos 6t ?π[δ(w +6) +δ(w -6)],由频域卷积定理有t
πg (w ) πF (w ) =8*π[δ(w +6) +δ(w -6)]=[g 8(w +6) +g 8(w -6)]，由卷积定理有
2π22
sin[2(t -2)]
取反变换，有y (t ) =cos[4(t -2)]
t -2Y (w ) =F (w ) H (w ) =
π
[g 8(w +6) +g 8(w -6)]g 12(w ) e -j 2w =
π
2
[g 4(w +4) +g 4(w -4)]e -j 2w
4-22 题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入f (t ) 的频谱和频率特性H 1( jω ) 、H 2( jω ) 如图所示，试画出x (t ) 和y (t ) 的频谱图。
F (
解 由调制定理知
1
f 1(t ) =f (t )cos ωC t ?F 1(ω) =[F (ω+ωC ) +F (ω-ωC )]而x (t ) 的频谱
2
X (ω) =F 1(ω) ?H 1(j ω) 又因为
1
f 2(t ) =x (t ) cos ωC t ?F 2(ω) =[X (ω+ωC ) +X (ω-ωC )]所以
2
Y (ω) =F 2(ω) ?H 2(j ω)
它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设ωC > ω2。
F 1
X (
F
Y
(
4-23 一滤波器的频率特性如图所示，当输入为所示的f ( t ) 信号时，求相应的输出y ( t ) 。 解 因为输入f ( t ) 为周期冲激信号，故
F n =
1=1, T
ω1=
∞
2π
=2π所以f ( t ) 的频谱 T
∞n =-∞
F (ω) =2π∑F n δ(ω-n ω1) =2π∑δ(ω-2n π)
当n = 0，±1，±2时，对应H ( jω ) 才有输出，故Y (ω ) = F (ω ) H ( jω )= 2π[2δ(ω) + δ(ω - 2π) +
n =-∞
δ(ω + 2π)]反变换得y ( t ) = 2( 1 + cos2πt )
4-24 如题4-9图所示系统，设输入信号f (t ) 的频谱F (ω ) 和系统特性H 1( jω ) 、H 2( jω ) 均给定，试画出y (t ) 的频谱。
F (
解 设f 1(t ) =f (t ) cos 50t ，故由调制定理，得
H (j
H (j
1
F 1(ω) =[F (ω+50) +F (ω-50)]从而f 2(t ) ?F 2(ω) =H 1(ω) ?F 1(ω)
2
它仅在| ω | = ( 30 ~ 50 )内有值。再设f 3(t ) =f 2(t ) cos 30t 则有
1
F 3(ω) =[F 2(ω+30) +F 2(ω-30)]即F 3(ω )是F 2(ω )的再频移。进而得响应的频谱为
2
以上过程的频谱变化如图所示。 Y (ω) =F 3(ω) ?H 2(j ω) 其结果仅截取-20 < ω=""><>
4.27设信号f (t ) 的频谱F (ω ) 如图(a)所示， 当该信号通过图(b)系统后，证明y (t ) 恢复为f (t ) 。
证明 因为
F (
j2
F 1(
F 2(
F 3(
f (t ) e j 2ω1t ?F 1(ω-2ω1)
故通过高通滤波器后，频谱F 1(ω )为
F 1(ω) =H (j ω) F (ω-2ω1) =F (ω-2ω1)
所以输出
Y (
y (t ) ?Y (ω) =F (ω-2ω1+2ω1) =F (ω)
即y (t ) 包含了f (t ) 的全部信息F (ω )，故恢复了f (t ) 。
4-26 如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H( jω )。 解 由图可知输出y (t ) =
?[f (t ) -f (t -t
t
取上式的傅氏变换，得Y (ω) =故频率特性
F (ω)
(1-e -j ωt 0) j ω
)]d t
H (j ω) =
Y (ω) 1
=(1-e -j ωt 0) F (ω) j ω
sin100πt
, 其带宽为多少？若对其取样，最低取样频率f s ?
100πt
w ττt
奈奎斯特间隔T s ? 解：由对称性有g τ(t ) ?τSa (), τSa () ?2πg τ(w ).
22
g (w )
令τ=200π,S a (100πt ) ?200π由频域门函数g 200π(w ), 可得w m =100π,
100
1
f m =50hz , f s =2f m =100hz . T s ==1/100(s ) =10ms
f s 4.29设信号f (t ) =
4.30设带限信号f 1(t ) 的最高频率为3khz , 带限信号f 2(t ) 最高为6khz ，试求下列信号的最小取样频率(a ) f 1(2t );(b ) f 1(t ) f 2(t ) 解(a ) 因f 1(t ) ≥f m =3khz , 故f 1(2t ) ≥f m =6khz , 故f s =12khz (b ) 对于f 1(t ) f 2(t ), 由频域卷积定理，其 最高频率变为9khz , 故f s =2f m =2?9khz =18khz
例 设F (s ) =
K K s s
求f ( t )。解F (s ) ==1+2其中
(s +1)(s +2) (s +1)(s +2) s +1s +1
K 1=(s +1) F (s ) s =-1=-1 K 2=(s +2) F (s =-) 2=所2以F (s ) =f (t ) =-e -t +
2e -2t
例设F(s ) =
-12
+则s +1s +1
s +2s +11
求f (t ). 解：配方法求反变换F (s ) =+
s 2+2s +2(s +1) 2+1(s +1) 2+1
s +αw -αt
e -αt cos wt ?, e sin wt ?, 所以
(s +α) 2+w 2(s +α) 2+w 2f (t ) =e -t cos wt +e -t sin wt =-t cos(t -45?) ，t ≥0
例设F (s ) =
K 11K 12s +32
，求f ( t )。解F (s ) =+其中K =(s +1) F (s ) s =-11122
(s +1) (s +1) s +1
d 21-t -t
=2K 12=(s +3) s =-1=1则F (s ) =+既f (t ) =2t e +e , t ≥02
d s (s +1) s +1例设F (s ) =
K 13K 11K 12K 2s -2
求f ( t )解F (s ) =+++令F 1(s ) =332
s (s +1) (s +1) (s +1) (s +1) s s -2s -2d ?s -2?
则K 11==3K 12= =2K 13=s s s =-1ds ?s ??s =-1
t ≥0
(s +1) 3F (s ) =
1d 2?s -2?32-t -t -t =2既f (t ) =t e +2t e +2e -2, ?2 2ds ?s ?s =-12
例5.13设有方程y ''(t ) +3y '(t ) +2y (t ) =e -3t y (0-) =1, y '(0-) =2, 求y (t ) 。1
s +3
K 3K 1K 2s 2+8s +64.5-40.5
既Y (s ) =Y (s ) =++=++
(s +1)(s +2)(s +3) s +1s +2s +3s +1s +2s +3解取拉氏变换得[s 2Y (s ) -sy (0-) -y '(0-)]+3[sY (s ) -y (0-)]+2Y (s ) =所以y (t )=L -1[Y (s ) ]=4.5e -t -4e -2t +0.5e -3t
(t ≥0)
例设有二阶系统方程y ''(t ) +3y '(t ) +2y (t ) =f '(t ) +4f (t ) y (0-) =1, y '(0-) =2输入f (t )=ε(t ), 试求零输入响应，零状态响应和全响应。解取拉氏变换得[s 2Y (s ) s +4
F (s ) 2
s +3s +2
(s +3) y (0-) +y '(0-) s +4
+代入初始状态和F (s )=s 得Y (s ) =F (s )
s 2+3s +2s (s 2+3s +2) 2+2对上式两项分别去反变换得y zs (t ) =(2-3e -t +e -2t ) ε(t ) y zi (t ) =s +3s +2
2e -t -2e -2t (t ≥0) 全响应y (t ) =y zi (t ) +y zs (t ) =2-e -t -e -2t (t ≥0) -sy (0-) -y '(0-)]+3[sY (s ) -y (0-)]+2Y (s ) =(s +4) F (s ) 得Y (s ) =
例5.18：如图所示电路系统，已知C= 1 F，L= 1/2 H，R1= 0.2 Ω，R2= 1Ω, uc(0-)= 0，iL(0-)=2 A，试求电感电压uL(t)。
u (0) 1?1?
解s 域模型如图，用网孔分析法 +R 1?I 1(s ) +c --R 1I 2(s ) -=0-R 1I 1(s )
s s ?sC ?
1?1?
+(R 1+R 2+sL ) I 2(s ) -Li L (0-) =0既 0.2+?I 1(s ) -0.2I 2(s ) =-0.2I 1(s ) +
s ?s ? 2(s +6)
(1.2+0.5s ) I 2(s ) -1=0解得I 2(s ) =2从而U L (s ) =sLI L (s ) -Li L (0-) =
s +7s +12
-s -1289-4t -3t
=-故u (t ) =8e -9e V (t ≥0) ()L 2
s +7s +12s +4s +3
例。5.16如图所示电路系统，t ≤0时电路已处于稳态。设R1= 4 Ω，R2= 2Ω, L=1 H ，C=1 F ，试求t ≥0时的响应u C (t )。
解得起始状态i L (0-) =
R 262
A =1A ，u C (0-) =U s =?6V =2V ，s 域4+2R 1+R 24+2
1?2-(s +2) -(s +2) -1?
电路列网孔方程 R 2+sL +I (s ) =-1-既I (s ) ===?222
sC s s +2s +1(s +1) (s +1) ??
u (0) -11
+取反变换i (t ) =-te -t -e -t 又U C (s ) =I (s ) +C -得u c (t ) =te -t +2e -t s +1sC s
5-1 求下列函数的单边拉氏变换。 (1) 2-e (2) 解 (1) F (s ) =
-t
δ(t ) +e -3t (3) e -2t cos t (4)sin 2t +3cos 2t
(2-e -t ) e -st d t =
21s +2
-= ?0
s s +1s (s +1)
∞1-3t -st
(2) F (s ) =?[δ(t ) +e ]e d t =1+
0-
s +3
∞∞1-2t -st j t -j t -2t -st
(3) F (s ) =?(ecos t ) e d t =?(e+e ) e ?e d t
002
∞
1?11?s +2
?= +=2?2 ?s +2-j s +2+j ?(s +2) +1
(4)
F (s ) =?(sin2t +3cos 2t ) e -st dt
∞
=
1?11?3?11?2+3s
-+- ? ?=s 2+4
2j ?s -2j s +2j ?2?s -2j s +2j ?
5-2 求下列题5-2图示各信号的拉氏变换。 解 (a) 因为f 1(t ) =ε(t ) -ε(t -t 0) 而ε(t ) →，ε(t -t 0) →故f 1(t ) →又因为
1
f
t
(
t
1s 1-st 0
e s
1t t t
(1-e -st 0) (b) 因为f (t ) =[ε(t ) -ε(t -t 0)]=ε(t ) -ε(t -t 0) s t 0t 0t 0
t 1t 11
ε(t ) →2 ε(t -t 0) →(+2) e -s t 0 t 0s s t 0s t 0t 0
11111-s t 0-s t 0-s t 0
-(+) e =(1-e ) -e 222
s s t 0s s t 0s t 0
故有f 2(t ) →
5.3求下列拉氏变换(a ) f (t ) =δ'(t ) +te -t ε(t );(b ) f (t ) =t ε(t ) *[1+e -t ε(t )]解：(a ) δ'(t ) ?s , te -t ε(t ) ?
11 所以F (s ) =s +(b ) 应为f (t ) =t ε(t ) *122
(s +1) (s +1) 111111
+t ε(t ) *e -t ε(t ) 而t ε(t ) *1?2?=3, t ε(t ) *e -t ε(t ) ?2所以F(s)=3+2
s s s s (s +1) s s (s +1)
5-5 利用微积分性质，求题5-3所示信号的拉氏变换。 解 先对f ( t ) 求导，则
f '(t ) =ε(t ) -2ε(t -1) +2ε(t -3) -ε(t -4) 1-s -3s -4s
故对应的变换F 1(s ) =(1-2e +2e -e )
s
F 1(s ) 1-2e -s +2e -3s -e -4s
=所以F (s ) = s s 2
5-9 用部分分式法求下列象函数的拉氏反变换。(1) F (s ) =
s +1
s 2+5s +6
142s 2+s +2
F (s ) =F (s ) =(2)F (s ) =(3)(4)(5)
s (s +2) 2s 2+3s +2s (s 2+1)
解
(1)
F (s ) =
k 1k 2s +1s +1
==+
s 2+5s +6(s +2)(s +3) s +2s +3
k 1=(s +2) F (s ) s =-2=-1
k 2=(s +3) F (s ) s =-3=2故有F (s ) =
-12
+所以f (t ) =(-e -2t +2e -3t ) ε(t ) s +2s +3
2s 2+s +2A Bs +C
(2)F (s ) =可得A =s F (s ) s =0=2 =+2
s s +1s (s 2+1)
222
又2s +s +2=As +A +Bs +Cs 可得B = 0，C = 1 F (s ) =
21+2 s s +1
所以f (t ) =(2+sin t ) ε(t )
k 1k 211
k 1=(s +1) F (s ) s =-1=1 ==+2
s +3s +2(s +1)(s +2) s +1s +2
1-1+故f (t ) =(e -t -e -2t ) ε(t ) k 2=(s +2) F (s ) s =-2=-1故有F (s ) =
s +1s +2
k 1k 11k 124
=++(4) F (s ) =故k 1=s F (s ) s =0=1
s (s +2) 2s (s +2) 2s +2
4d d 4
k 11=(s +2) 2F (s ) s =-2==-2 k 12=[(s +2) 2F (s =() =-1
s s =-2d s d s s s =-2s =-2
(3) F (s ) =故有F (s ) =
1-12-2t -2t
+-所以f (t ) =(1-e -2t e ) ε(t ) 2s s +2(s +2)
5-12 设系统微分方程为y ''(t ) +4y '(t ) +3y (t ) =2f '(t ) +f (t ) 已知y (0-) =1, y '(0-) =1, f (t ) =e 解对系统方程取拉氏变换得
-2t
?ε(t ) 。试用s 域方法求零输入响应和零状态响应。
s 2Y (s ) -sy (0-) -y '(0-) +4sY (s ) -4y (0-) +3Y (s ) =2sF (s ) +F (s ) 从而
sy (0-) +y '(0-) +4y (0-) 2s +11Y (s ) =+?F (s ) F (s ) =由于
s +2s 2+4s +3s 2+4s +3
故Y (s ) =
s +52s +1
+22
s + 4s +3(s +2)(s +4s +3) Y zi (s ) Y zs (s )
7-t 5-3t 15
e -e y zs (t ) =-e -t +3e -2t -e -3t 2222
-2t
求反变换得y zi (t ) =
-t
全响应为y (t ) =3e +3e
-5e -3t ,
t ≥0
5-13 设某LTI 系统的微分方程为y ''(t ) +5y '(t ) +6y (t ) =3f (t ) 求其冲激响应和阶跃响应。 解 对方程取拉氏变换，得系统函数H (s ) =
33
=当f ( t ) = δ( t )时，
s 2+5s +6(s +2)(s +3)
F ( s ) =1，得Y (s ) =H (s ) =当f ( t ) = ε( t )时，F (s ) =
3
从而h (t ) =3e -2t -3e -3t ,
(s +2)(s +3)
t ≥0
10. 5-1. 5113
=++，得Y (s ) =H (s ) =
s s s +2s +3s s (s +2)(s +3)
故得y (t ) =s (t ) =0. 5-1. 5e -2t +e -3t ,
t ≥0
f(t)=ε(t)
5-18 如题5-10图所示电路，已知U S = 28V，L = 4H，C =
1
F ，R 1 = 12Ω，R 2 = R 3 =2Ω。4
当t = 0时S 断开，设开关断开前电路已稳定，求t ≥ 0后响应u C ( t )。
解 初始状态在t = 0-时求得i L (0-) =
U S U S
=
2A u C (0-) =?R 2=4V
R 1+R 2R 1+R 2
对于图(b)S域模型，列出关于U C ( s ) 的节点方程，即
28
+8
4(s 2+5s +7) 73s +81s 1 =-(++) U C (s ) =+1解得U C (s ) =22s (s +4s +4) s (s +2) 12+4s 4412+4s
可得u C (t ) =7-2(t +1. 5) e -2t
(t ≥0)
U 0(s)-(
5.19如图所示系统t =0时开关打开，试求t ≥0后电压u 0(t ), i 2(t ) 。解：由题可得起始状态100
+30)
U 0(s)i 1(0-) =10A , i 2(0-) =0; 用节点法有+=02s +153s +10
40(s +7.5) 12(s +7.5) 6020306010
U 0(s ) =+最后分解为U 0(s ) =-+12+=12++
s (s +5) s +5s s +5s +5s s +5
100
+30
642-5t 从而有u 0(t ) =[12δ(t ) +(60+10e ) ε(t )]V 电流I 2(s)=+=+
5s +25s +5s s +5
i 2(t ) =(4+2e -5t ) ε(t ) A
例6-9 设有反馈控制系统如图所示，为使系统稳定，试确定K 的取值范围。
s
(s+1)(s+2)
解：由图可得系统函数H(s)==Ks
1+s
按二阶系统稳定条件，3+K >0,k
>-3
s 2+(3+K ) s +2
6-1 已知某系统函数H ( s )的零、极点分布如题6-3图所示，若冲激响应的初值h (0+) = 2，求系统函数H ( s )，并求出h ( t )。 解 由图示零、极点分布，应有H (s ) =
H 0s ?3?
?(s +1) 2+ 2???
2
又因为h (0+) =lim sH (s ) =H (0) =2故有H (s ) =
s →∞
2s ?3?
?(s +1) + 2???
2
2
进一步可表示为
??
????s +11
H (s ) =2?-所以 22?
?3?????22 ? ?(s +1) +(s +1) +? 2? 2????????3
2(s +1) 2=-??2 22
?3??3?22
? ?(s +1) + (s +1) + 2? 2?????
h (t ) =2e -t ), t ≥0 6-3 某系统函数H ( s )的零、极点分布如题6-4图所示，且H 0 = 5，试写出H ( s )的表达式。 解 从图可知系统的零点为z 1 = 0，z 2 = -2，z 3 = -3极点为S 1 = -1， S 2，3 = -2 ± j2故系统函数
N (s ) s (s +2)(s +3) 5s (s 2+5s +6)
H (s ) =H 0?=5? =
D (s ) (s +1)(s +2+j 2)(s +2-j 2) (s +1)(s 2+4s +8)
6-4 在题6-1图示系统中，已知h a (t ) =δ(t -1), h b (t ) =ε(t ) -ε(t -2) ，试求系统函数H ( s )和冲激响应h ( t )，并画出其波形。 解 因为y 1(t ) =f (t ) *h a (t ) +f (t ) 故
Y 1(s ) =F (s ) H a (s ) +F (s ) =[1+H a (s )]F (s ) 而Y (s ) =Y 1(s ) H a (s ) ?H b (s )
1-s -2s -s -s 1-2s
其中H a (s ) =e , H b (s ) =(1-e ) 所以Y (s ) =(1+e ) e ?(1-e ) ?F (s )
s s
Y (s ) (1+e -s )(1-e -2s ) ?e -s 1-s
=(e +e -2s -e -3s -e -4s ) 故H (s ) ==
s F (s ) s
所以冲激响应h (t ) =ε(t -1) +ε(t -2) -ε(t -3) -ε(t -4) h ( t )的波形如图p6-1所示。
6-5 设系统函数H (s ) =
5(s +1)
试画出其S 域模拟框图。
s (s +2)(s +5)
5s -2+5s -35(s +1) 5s +5
==3解 H ( s ) 可改写为H (s ) = -1-22
s (s
+2)(s +5) s +7s +10s 1+7s +10s
从而得模拟图 如图p6-5所示。
6-7 试画出题6-2图所示网络的系统函数H (s ) =
解 (a) 由图可得系统函数
U 2(s )
的波特图。 U 1(s )
sR 2C +10. 5s +1
=
s (R 1+R 2) C +1s +1
1
=2rad /s ， 可见其超前环节ω1=0. 5H (s ) =
滞后环节ω2=1rad /s ， 故得波特图如图p6-2(a)所示。 (b) 由图可得系统函数
H (s ) =
R 2+
R 21
sR 1C +1
=
R 2s τ+1
?1
R 1+R 2s τ2+1
0. 5(s +1)
0. 5s +1
其中τ1=R 1C , τ2=(R 1//R 2) C 故H (s ) =
从而得波特图如图p6-2(b)所示。
6.11设有LTI 因果系统的微分方程为y ''(t ) +5y '(t ) +6y (t ) =2f '(t ) +f (t ), 试求系统函数H(s)和冲击响应h(t);（b) 试画出系统的模拟图，（c) 画出其零，极点图；(d)判断系统稳定性；(e)若稳定求其系统频域特性。解：(a ) 对方程取拉氏变换得，(s 2+5s +6) Y (s ) =(2s +1) F (s ) 故系统函数H(s)=2s +1-352s -1+s -2-2t -3t
=+可得h (t ) =(-3e +5e ) ε(t ) (b)模拟图可由画出H(s)=
s 2+5s +6s +2s +31+5s -1+6s -2(c)零极点为：s 0=-1/2, 极点s 1=-2, s 2=-3;(d ) 系统极点都在左半开平面，故系统稳定，（e) 频率特性为：
H (w ) =
2(jw ) +1(jw ) 2+5(jw ) +6
6-12 如题6-6图所示为二阶有源带通系统的模型，设R = 1Ω，C = 1F， K = 3，试求系统函数H (s ) =
解 对于电路的S 域模型，可列节点方程
U 2(s )
。 U 1(s )
U 1(s ) -U a (s ) U 2(s ) -U a (s ) U a (s ) U b (s )
+=+
R R R sC
U (s ) U (s ) 3s
sC (U a -U b ) =b 代入数据后，可得H (s ) =2 =2
R U 1(s ) s +s +2U 2(s ) =KU b (s )
3s +1s +1
H (s ) =(2)
s 2+8s +6s 3+4s 2-3s +2
6-14 试判定下列系统的稳定性。(1) H (s ) =(3) H (s ) =
2s +4
2
(s +1)(s +4s +3)
2s +42s +4
= 2
(s +1)(s +4s +3) (s +1)(s +1)(s +3)
解 (1) 因H ( s )分母多项式各项系数均为正，故稳定。(2) 因H ( s )分母多项式有负系数，故不稳定。(3) 因H (s ) =
其极点均在左半平面，故系统稳定。 6-15 如题6-9图所示系统，试判定 其稳定性。解 由图可得系统函数
101?
2s +4s (s +1)(s +4)
H (s ) ==3因为a 1a 2 = 20，a 0a 3 = 10，故满足 2
s +5s +4s +101+?
s (s +1)(s +4)
a 1a 2 > a 0a 3故系统稳定。
6-16 如题6-10图示反馈系统，为使其稳定，试确定K 值。 解 该系统的H ( s )为
s +K 1
?
s +K s (s +1) s +2
H (s ) ==3 2
s +K 1s +3s +3s +K 1+?
s (s +1) s +2
从必要条件考虑，应当K > 0，再由a 1a 2 > a 0a 3考虑，应满足K < 9，故当0="">< k=""><>
s ?(s +1)(s +2)?系统函数H (s )=
1+K s ?s ??s +1s +2??=
s s =2
s +1s +2+K s +3s +2+K
若当2+K >0, 既K >-2, 系统稳定
9.1如图所示电路，试列出其状态方程
范文三：信号与系统教程
第一课 什么是卷积 卷积有什么用 什么是傅利叶变换 什么是拉普拉斯变换
引子
很多朋友和我一样，工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后毕业了。 先说" 卷积有什么用" 这个问题。(有人抢答，" 卷积" 是为了学习" 信号与系统" 这门课的后续章节而存在的。我大吼一声，把他拖出去枪毙！) 讲一个故事: 张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过" 信号与系统" 这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。 然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒) 信号的时候(有信号发生器)="" ，该产品输出什么样的波形。张三照做了，花了一个波形图。="" "很好！"="" 经理说。然后经理给了张三一叠a4纸:="" "="" 这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！"="" 这下张三懵了，他在心理想"="" 上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?"="" 于是上帝出现了:="" "张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"="" 。="" 上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！"="" 张三照办了，"="" 然后呢?"="" 上帝又说，"="" 对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。"="" 张三领悟了:"="" 哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?"="" 上帝说:"叫卷积！"="" 从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在a4纸上做微积分就是提交任务了！----------------------------------------="" 张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。="" 经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说:="" "="" 看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明，而且，它连续不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你="" 来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！"="" 张三摆摆手:"输入信号是无限时长的，难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗?"="" 经理怒了:"反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！"="" 张三心想:"这次输入信号连公式都给出出来，一个很混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办呢?"="" 及时地，上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来"="" "宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。"="" "我给你一个数学函数f="" ，时间域无限的输入信号在f="" 域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f="" 域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了"="" "同时，时间域的卷积在f="" 域是简单的相乘关系，我可以证明给你看看"="" "计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！"="" 张三谢过了上帝，保住了他的工作。后来他知道了，f="" 域的变换有一个名字，叫做傅利叶，什么什么...="" ...----------------------------------------="" 再后来，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三开始学拉普拉斯了......="" 后记:="" 不是我们学的不好，是因为教材不好，老师讲的也不好。="" 很欣赏google="" 的面试题:="" 用3句话像老太太讲清楚什么是数据库。这样的命题非常好，因为没有深入的理解一个命题，没有仔细的思考一个东西的设计哲学，我们就会陷入细节的泥沼:="" 背公式，数学推导，积分，做题；而没有时间来回答"="" 为什么要这样"="" 。做大学老师的做不到"="" 把厚书读薄"="" 这一点，讲不出哲学层面的道理，一味背书和翻讲="" ppt="" ，做着枯燥的数学证明，然后责怪"="" 现在的学生一代不如一代"="">
第二课 到底什么是频率 什么是系统?
这一篇，我展开的说一下傅立叶变换F 。注意，傅立叶变换的名字F 可以表示频率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因为它只是一个概念模 型，为了解决计算的问题而构造出来的(例如时域无限长的输入信号，怎么得到输出信号) 。我们把傅立叶变换看一个C 语言的函数，信号的输出输出问题看为IO 的问题，然后任何难以求解的x->y的问题都可以用x->f(x)->f-1(x)->y来得到。
1. 到底什么是频率? 一个基本的假设: 任何信息都具有频率方面的特性，音频信号的声音高低，光的频谱，电子震荡的周期，等等，我们抽象出一个件谐振动的概念，数学名称就叫做频率。想象在x-y 平面上有一个原子围绕原点做半径为1匀速圆周运动，把x 轴想象成时间，那么该圆周运动在y 轴上的投影就是一个sin(t)的波形。相信中学生都能理解这 个。 那么，不同的频率模型其实就对应了不同的圆周运动速度。圆周运动的速度越快，sin(t)的波形越窄。频率的缩放有两种模式(a) 老式的收音机都是用磁带作为音乐介质的，当我们快放的时候，我们会感觉歌唱的声音变得怪怪的，调子很高，那是因为" 圆周运动" 的速度增倍了，每一个声音分量的sin(t)输出变成了sin(nt)。(b) 在CD/计算机上面快放或满放感觉歌手快唱或者慢唱，不会出现音调变高的现象：因为快放的时候采用了时域采样的方法，
丢弃了一些波形，但是承载了信息的输出波形不会有宽窄的变化；满放时相反，时域信号填充拉长就可以了。
2. F变换得到的结果有负数/复数部分，有什么物理意义吗? 解释: F变换是个数学工具，不具有直接的物理意义，负数/复数的存在只是为了计算的完整性。
3. 信号与系统这们课的基本主旨是什么? 对于通信和电子类的学生来说，很多情况下我们的工作是设计或者OSI 七层模型当中的物理层技术，这种技术的复杂性首先在于你必须确立传输介质的电气特性， 通常不同传输介质对于不同频率段的信号有不同的处理能力。以太网线处理基带信号，广域网光线传出高频调制信号，移动通信，2G 和3G 分别需要有不同的载频 特性。那么这些介质(空气，电线，光纤等) 对于某种频率的输入是否能够在传输了一定的距离之后得到基本不变的输入呢? 那么我们就要建立介质的频率相应数学模型。同时，知道了介质的频率特性，如何设计在它上面传输的信号才能大到理论上的最大传输速率?----这就是信号与 系统这们课带领我们进入的一个世界。 当然，信号与系统的应用不止这些，和香农的信息理论挂钩，它还可以用于信息处理(声音，图像) ，模式识别，智能控制等领域。如果说，计算机专业的课程是数 据表达的逻辑模型，那么信号与系统建立的就是更底层的，代表了某种物理意义的数学模型。数据结构的知识能解决逻辑信息的编码和纠错，而信号的知识能帮我们 设计出码流的物理载体(如果接受到的信号波形是混乱的，那我依据什么来判断这个是1还是0? 逻辑上的纠错就失去了意义) 。在工业控制领域，计算机的应用前提是各种数模转换，那么各种物理现象产生的连续模拟信号(温度，电阻，大小，压力，速度等) 如何被一个特定设备转换为有意义的数字信号，首先我们就要设计一个可用的数学转换模型。
4. 如何设计系统? 设计物理上的系统函数(连续的或离散的状态) ，有输入，有输出，而中间的处理过程和具体的物理实现相关，不是这们课关心的重点(电子电路设计?) 。信号与 系统归根到底就是为了特定的需求来设计一个系统函数。设计出系统函数的前提是把输入和输出都用函数来表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一个复杂 的信号分解为若干个简单的信号累加，具体的过程就是一大堆微积分的东西，具体的数学运算不是这门课的中心思想。 那么系统有那些种类呢?(a) 按功能分类: 调制解调(信号抽样和重构) ，叠加，滤波，功放，相位调整，信号时钟同步，负反馈锁相环，以及若干子系统组成的一个更为复杂的系统----你可以画出系统 流程图，是不是很接近编写程序的逻辑流程图? 确实在符号的空间里它们没有区别。还有就是离散状态的数字信号处理(后续课程) 。(b) 按系统类别划分，无状态系统，有限状态机，线性系统等。而物理层的连续系统函数，是一种复杂的线性系统。
5. 最好的教材? 符号系统的核心是集合论，不是微积分，没有集合论构造出来的系统，实现用到的微积分便毫无意义----你甚至不知道运算了半天到底是要作什么。以计算机的观点来学习信号与系统，最好的教材之一就是<>， 作者是UC Berkeley 的Edward A.Lee and Pravin Varaiya----先定义再实现，符合人类的思维习惯。国内的教材通篇都是数学推导，就是不肯说这些推导是为了什么目的来做的，用来得到什么，建设什 么，防止什么；不去从认识论和需求上讨论，通篇都是看不出目的的方法论，本末倒置了。
第三课 抽样定理是干什么的
1. 举个例子，打电话的时候，电话机发出的信号是PAM 脉冲调幅，在电话线路上传的不是话音，而是话音通过信道编码转换后的脉冲序列，在收端恢复语音波形。那么对于连续的说话人语音信号，如何转化成为一些列脉冲才能保证基本不失真，可以传输呢? 很明显，我们想到的就是取样，每隔M 毫秒对话音采样一次看看电信号振幅，把振幅转换为脉冲编码，传输出去，在收端按某种规则重新生成语言。 那么，问题来了，每M 毫秒采样一次，M 多小是足够的? 在收端怎么才能恢复语言波形呢? 对于第一个问题，我们考虑，语音信号是个时间频率信号(所以对应的F 变换就表示时间频率) 把语音信号分解为若干个不同频率的单音混合体(周期函数的复利叶 级数展开，非周期的区间函数，可以看成补齐以后的周期信号展开，效果一样) ，对于最高频率的信号分量，如果抽样方式能否保证恢复这个分量，那么其他的低频 率分量也就能通过抽样的方式使得信息得以保存。如果人的声音高频限制在3000Hz ，那么高频分量我们看成sin(3000t)，这个sin 函数要通过抽 样保存信息，可以看为:
对于一个周期，波峰采样一次，波谷采样一次，也就是采样频率是最高频率分量的2倍(奈奎斯特抽样定理) ，我们就可以通过采样信号无损的表示原始的模拟连续信号。这两个信号一一对应，互相等价。 对于第二个问题，在收端，怎么从脉冲序列(梳装波形) 恢复模拟的连续信号呢? 首先，我们已经肯定了在频率域上面的脉冲序列已经包含了全部信息，但是原始信息只在某一个频率以下存在，怎么做? 我们让输入脉冲信号I 通过一个设备X ，输出信号为原始的语音O ，那么I(*)X=O，这里(*)表示卷积。时域的特性不好分析，那么在频率域 F(I)*F(X)=F(O)相乘关系，这下就很明显了，只要F(X)是一个理想的，低通滤波器就可以了(在F 域画出来就是一个方框) ，它在时间域是一个 钟型函数(由于包含时间轴的负数部分，所以实际中不存在) ，做出这样的一个信号处理设备，我们就可以通过输入的脉冲序列得到几乎理想的原始的语音。在实际 应用中，我们的抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点，3k 赫兹的语音信号，抽样标准是8k 赫兹。
2. 再举一个例子，对于数字图像，抽样定理对应于图片的分辨率----抽样密度越大，图片的分辨率越高，也就越清晰。如果我们的抽样频率不够，信息就会发生混 叠----网上有一幅图片，近视眼戴眼镜看到的是爱因斯坦，摘掉眼睛看到的是梦露----因为不带眼睛，分辨率不够(抽样频率太低) ，高频分量失真被混入 了低频分量，才造成了一个视觉陷阱。在这里，图像的F 变化，对应的是空间频率。 话说回来了，直接在信道上传原始语音信号不好吗? 模拟信号没有抗干扰能力，没有纠错能力，抽样得到的信号，有了数字特性，传输性能更佳。
什么信号不能理想抽样? 时域有跳变，频域无穷宽，例如方波信号。如果用有限带宽的抽样信号表示它，相当于复利叶级数取了部分和，而这个部分和在恢复原始信号的时候，在不可导的点上面会有毛刺，也叫吉布斯现象。
3. 为什么傅立叶想出了这么一个级数来? 这个源于西方哲学和科学的基本思想: 正交分析方法。例如研究一个立体形状，我们使用x,y,z 三个互相正交的轴: 任何一个轴在其他轴上面的投影都是0。这样的话，一个物体的3视图就可以完全表达它的形状。同理，信号怎么分解和分析呢? 用互相正交的三角函数分量的无限和：这就是傅立叶的贡献。
入门第四课 傅立叶变换的复数 小波
说的广义一点，" 复数" 是一个" 概念" ，不是一种客观存在。 什么是" 概念"? 一张纸有几个面? 两个，这里" 面" 是一个概念，一个主观对客观存在的认知，就像" 大" 和" 小" 的概念一样，只对人的意识有意义，对客观存在本身没有意义(康德: 纯粹理性的批判) 。把纸条的两边转一下相连接，变成" 莫比乌斯圈" ，这个纸条就只剩下一个" 面" 了。概念是对客观世界的加工，反映到意识中的东西。
数的概念是这样被推广的: 什么数x 使得x^2=-1? 实数轴显然不行，(-1)*(-1)=1。那么如果存在一个抽象空间，它既包括真实世界的实数，也能包括想象出来的x^2=-1，那么我们称这个想象空间 为" 复数域" 。那么实数的运算法则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1? +-符号在复数域里面代表方向，-1就是" 向后，转!" 这样的命令，一个1在圆周运动180度以后变成了-1，这里，直线的数轴和圆周旋转，在复数的空间 里面被统一了。
因此，(-1)*(-1)=1可以解释为" 向后转"+"向后转"=回到原地。那么复数域如何表示x^2=-1呢? 很简单，" 向左转" ，" 向左转" 两次相当于" 向后转" 。由于单轴的实数域(直线) 不包含这样的元素，所以复数域必须由两个正交的数轴表示--平面。很明 显，我们可以得到复数域乘法的一个特性，就是结果的绝对值为两个复数绝对值相乘，旋转的角度=两个复数的旋转
角度相加。高中时代我们就学习了迪莫弗定理。 为什么有这样的乘法性质? 不是因为复数域恰好具有这样的乘法性质(性质决定认识) ，而是发明复数域的人就是根据这样的需求去弄出了这么一个复数域(认识决定性质) ，是一种主观唯心 主义的研究方法。为了构造x^2=-1，我们必须考虑把乘法看为两个元素构成的集合: 乘积和角度旋转。
因为三角函数可以看为圆周运动的一种投影，所以，在复数域，三角函数和乘法运算(指数) 被统一了。我们从实数域的傅立叶级数展开入手，立刻可以得到形式更 简单的，复数域的，和实数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简单，所以研究起来方便----虽然自然界不存在复数，但是由于和实数域的级数一一 对应，我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。 那么傅立叶变换，那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分，就是先微分，再积分，傅立叶级数已经作了无限微分了，对应无数个离散的频率分量冲击信号的和。 傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题，想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无穷大，各频率分量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷) 。那么我们看到傅立叶级数，每个分量常数的求解过程，积分的区间就是从T 变成了正负无 穷大。而由于每个频率分量的常数无穷小，那么让每个分量都去除以f ，就得到有值的数----所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理，各个频率分 量之间无限的接近，因为f 很小，级数中的f ，2f ，3f 之间几乎是挨着的，最后挨到了一起，和卷积一样，这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分 式：傅立叶级数变成了傅立叶变换。注意有个概念的变化：离散的频率，每个频率都有一个" 权" 值，而连续的F 域，每个频率的加权值都是无穷小(面积=0)， 只有一个频率范围内的" 频谱" 才对应一定的能量积分。频率点变成了频谱的线。 因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数，是复数频率域上面的可以画出图像的东西? 那个根号2Pai 又是什么? 它只是为了保证正变换反变换回来以后，信号不变。我们可以让正变换除以2，让反变换除以Pi ，怎么都行。慢点，怎么有" 负数" 的部分，还是那句话，是数轴 的方向对应复数轴的旋转，或者对应三角函数的相位分量，这样说就很好理解了。有什么好处? 我们忽略相位，只研究" 振幅" 因素，就能看到实数频率域内的频率特性了。 我们从实数(三角函数分解)->复数(e和Pi)->复数变换(F)->复数反变换(F-1)->复数(取幅度分量)-> 实数，看起来很复杂，但是这个工具使得，单从实数域无法解决的频率分析问题，变得可以解决了。两者之间的关系是: 傅立叶级数中的频率幅度分量是a1-an,b1-bn ，这些离散的数表示频率特性，每个数都是积分的结果。而傅立叶变换的结果是一个连续函数: 对于f 域每个取值点a1-aN(N=无穷) ，它的值都是原始的时域函数和一个三角函数(表示成了复数) 积分的结果----这个求解和级数的表示形式是一样 的。不过是把N 个离散的积分式子统一为了一个通用的，连续的积分式子。 复频域，大家都说画不出来，但是我来画一下！因为不是一个图能够表示清楚的。我用纯中文来说:
1. 画一个x,y 轴组成的平面，以原点为中心画一个圆(r=1)。再画一条竖直线: (直线方程x=2)，把它看成是一块挡板。
2. 想象，有一个原子，从(1,0)点出发，沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动。想象太阳光从x 轴的复数方向射向x 轴的正数方向，那么这个原子运动在挡板(x=2)上面的投影，就是一个简协震动。
3. 再修改一下，x=2对应的不是一个挡板，而是一个打印机的出纸口，那么，原子运动的过程就在白纸上画下了一条连续的sin(t)曲线! 上面3条说明了什么呢? 三角函数和圆周运动是一一对应的。如果我想要sin(t+x)，或者cos(t)这种形式，我只需要让原子的起始位置改变一下就可以了：也就是级坐标的向量，半径不变，相位改变。
傅立叶级数的实数展开形式，每一个频率分量都表示为AnCos(nt)+BnSin(nt)，我们可以证明，这个式子可以变成 sqr(An^2+Bn^2)sin(nt+x)这样的单个三角函数形式，那么：实数值对(An,Bn)，就对应了二维平面上面的一个点，相位x 对应这个 点的相位。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了，因此实数频率唯一对应某个复数频率，我们就可以用复数来方便的研究实数的运算：把三角运算变成指数 和乘法加法运算。
-------------------------------------------------------------------------
但是，F 变换仍然是有限制的(输入函数的表示必须满足狄义赫立条件等) ，为了更广泛的使用" 域" 变换的思想来表示一种" 广义" 的频率信息，我们就发明出了 拉普拉斯变换，它的连续形式对应F 变换，离散形式就成了Z 变换。离散信号呢? 离散周期函数的F 级数，项数有限，离散非周期函数(看为周期延拓以后仍然是离散周期函数) ，离散F 级数，仍然项数有限。离散的F 变换，很容易理解---- 连续信号通过一个周期采样滤波器，也就是频率域和一堆脉冲相乘。时域取样对应频域周期延拓。为什么? 反过来容易理解了，时域的周期延拓对应频率域的一堆脉冲。
两者的区别：FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 LT[f(t)]=从零到正无穷对
[f(t)exp(-st)]积分 (由于实际应用，通常只做单边Laplace 变换，即积分从零开始) 具体地，在Fourier 积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt 显然是为一纯虚数；而在laplace 变换中，所乘因子为 exp(-st)，其中s 为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier 变换中的jwt ，而D 则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法 作Fourier 变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。 而Z 变换，简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列) 的Laplace 变换，可由抽样信号的Laplace 变换导出。ZT[f(n)]=从n 为负无穷到正 无穷对[f(n)Z^(-n)]求和。Z 域的物理意义: 由于值被离散了，所以输入输出的过程和花费的物理时间已经没有了必然的关系(t只对连续信号有意义) ，所以频域的考察变得及其简单起来，我们把 (1,-1,1,-1,1,-1)这样的基本序列看成是数字频率最高的序列，他的数字频率是1Hz(数字角频率2Pi) ，其他的数字序列频率都是N 分之 1Hz ，频率分解的结果就是0-2Pi 角频率当中的若干个值的集合，也是一堆离散的数。由于时频都是离散的，所以在做变换的时候，不需要写出冲击函数的因 子 离散傅立叶变换到快速傅立叶变换----由于离散傅立叶变换的次数是O(N^2)，于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换，变换的计算复杂度就下降到了O(NlogN)，再把计算的结果累加O(N)，这就大大降低了计算复杂度。
再说一个高级话题: 小波。在实际的工程应用中，前面所说的这些变换大部分都已经被小波变换代替了。
什么是小波？先说什么是波：傅立叶级数里面的分量，sin/cos函数就是波，sin(t)/cos(t)经过幅度的放缩和频率的收紧，变成了一系列的波 的求和，一致收敛于原始函数。注意傅立叶级数求和的收敛性是对于整个数轴而言的，严格的。不过前面我们说了，实际应用FFT 的时候，我们只需要关注部分信 号的傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了，那么对于函数的部分分量，我们只需要保证这个用来充当砖块的" 波函数" ，在某个区间(用窗函数来滤波) 内符合 那几个可积分和收敛的定义就可以了，因此傅立叶变换的" 波" 因子，就可以不使用三角函数，而是使用一系列从某些基本函数构造出来的函数族，只要这个基本函 数符合那些收敛和正交的条件就可以了。怎么构造这样的基本函数呢？sin(t)被加了方形窗以后，映射到频域是一堆无穷的散列脉冲，所以不能再用三角函数 了。我们要得到频率域收敛性好的函数族，能覆盖频率域的低端部分。说的远一点，如果是取数字信号的小波变换，那么基础小波要保证数字角频率是最大的 2Pi 。利用小波进行离频谱分析的方法，不是像傅立叶级数那样求出所有的频率分量，也不是向傅立叶变换那样看频谱特性，而是做某种滤波，看看在某种数字角 频率的波峰值大概是多少。可以根据实际需要得到如干个数字序列。 我们采用(0,f),(f,2f),(2f,4f)这样的倍频关系来考察函数族的频率特性，那么对应的时间波
形就是倍数扩展(且包含调制---所以才有频 谱搬移) 的一系列函数族。频域是窗函数的基本函数，时域就是钟形函数。当然其他类型的小波，虽然频率域不是窗函数，但是仍然可用：因为小波积分求出来的变 换，是一个值，例如(0,f)里包含的总能量值，(f,2f)里面包含的总能量值。所以即使频域的分割不是用长方形而是其他的图形，对于结果来说影响不 大。同时，这个频率域的值，它的分辨率密度和时域小波基函数的时间分辨率是冲突的(时域紧频域宽，时域宽频域紧) ，所以设计的时候受到海森堡测不准原理的 制约。Jpeg2000压缩就是小波：因为时频都是局部的，变换结果是数值点而不是向量，所以，计算复杂度从FFT 的O(NlgN)下降到了O(N)，性 能非常好。 用中文说了这么多，基本的思想已经表达清楚了，为了" 研究方便" ，从实数傅立叶级数展开，到创造了复数域的傅立叶级数展开，再到傅立叶变换，再扩展到拉式变换，再为了时频都离散的情况简化为Z 变换，全部都用一根主线联系起来了
范文四：信号与系统教程
9.1线性系统的状态方程
9.1.1( 状态变量与状态方程
为了说明状态变量与和状态方程的概念，首先来研究图9-1所示的二阶电网络。图中u为电压源。由于电容电流和电感电压分别为 s
duc,,it=C cdt
dil,,ut=L ldt
则由KCLhe KVL可列出如下方程
duucc,=i?l,dRt2 di,lL=u?Ri?U,slLcdt,
整理可得
d11uc=?U+icLdCRCt2 ,d1R1il1=?U?i+UcLs dLLLt
若指定个电感电压u为输出，则由方程 L
u=?u?Ri+u LclLs
式(9-3)形式的一阶微分方程称为状态方程，其中u(t), i(t)称为状cL态变量;式(9-4)是以输入信号和状态变量表示的代数方程，它称为输出方程。
方程式(9-3)和(9-4)表明，如果电路在t=t时刻的状态u(t)和 i(t)为0cL已知，那么根据t?t时给定的输入u(t)就可以唯一的确定方程组式0s
(9-3)的解u(t)和 i(t)。再由所得的状态变量和t?t时的输入，就cL0
可以确定t?t时的输出。 0
一般而言，连续动态系统在某一时刻t的状态，是描述该系统所必0
,,,,须的最少的一组数xt,xt,…,x(t),根据这组数和t?t时给定1020n00的输入就可以唯一的确定在t>t的任意时刻的状态。状态变量0
,,,,xt,xt,…,x(t)，是描述状态随时间变化的一组变量，它们在1020n0
t时的值就组成了系统在该时刻的状态。状态变量方程简称状态方程，0
它是用状态变量和激励(有时为零)表示的一组独立的一阶微分方程;而输出方程是用状态变量和激励(优势还可能有激励的某些函数)表示的袋鼠方程。通常将系统的状态方程和输出方程总称为动态方程。在电路系统中，一般取独立电容上电压和电感中电流为状态变量。 下面以图9-2所示的二姐电路为例，进一步说明直观列写状态方程的方法。
选择u(t)和 i(t)为状态变量，对 包含电感的回路，有KVL，有 cL
diL,,,,?ut+ut=0 csdt
对于节点a，由KCL，有
d111ucC=?u?i+i cLsdRCCCt
整理可得
d111uc,C=?u?i+icLs,dRCCCt d11i,l=u(t)?u(t),csdLLt,
写成矩阵形式为
du111c?0?(t)uidtRCCcCs ,,=,,,, ,,,+,11diui(t)lsL00?LLdt
状态变量
111?0?x(t)(t)u1cRCCC,,xt=,, ,=,,, A=,,, B=,11x(t)i(t)2L00?LL
T ,,,,ft=i u ss
则上式可写为
,,,X=Axt+Bf(t)
,式中，X表示状态变量的一阶导数，x(t)称为状态变量，A称为状态变量的系数矩阵，对线性时不变系统，A和B为常数矩阵。式(9-5)为有外加输入系统的状态方程的标准形式。
由上可知，状态方程式一组一阶微分方程，只要知道其实状态，就可以求取u(t)和 i(t)，随之该电路的其他量也可以确定。因此u(t)cLc和 i(t)是该电路中最少的一组状态变量。对于一般的电路，直观列写L
状态方程的步骤如下:
第一步:选择独立的电容上电压和电感中电流为状态变量。 第二步:对于电容相连的节点列写KCL方程，对包含电感的回路列写KVL方程。
第三部:消去非状态变量，整理成标准形式的状态方程
,, x,=Axt+Bf(t)
式中，Bf(t)是与外加信号有关的项，B为常数矩阵。 例9-1对于图9-3(a)所示电路，试写出其状态方程，并以u为输出R写出输出方程。
解 首先选择电容上电压和电感上电流为状态变量，即
T ,,,xt=u u i] c1c2L
画出与电路相对于的图，如图9-3(b)所示。对于C和C支路相连的12节点分别列出KCL方程，即
du?uuc1sc1C++=0 1iLdRt
duc2+i+i=0 CLL2dt
对电感所在的回路列写KVL方程，即
diLL?u?u+u=0 c2c1sdt
整理可得状态方程
du1uuc1c1s,=[?+?i]LCdRRt1,,du1c2 =[?i?i] LsdC,t2
,di1L,,,=u+u?uc1c2s,dLt
写出矩阵形式为
111duc1，，，，?0??0，，CRCCRdt11,,,,u,,c1u1du1,,,,sc2,,u,+, =,,c200?0?,,,,isdtCC,,2i2L,,,,di,,111L,,,,0?0，，，，，，dtLLL
即有标准形式
,,,,x,=Axt+Bft
输出方程
,,,,,,ut=ut?ut rsc1
对于一般系统，如果已知其模拟框图，也可以写出它们的状态方程。例如图9-4所示的三种简单例子，只要把每个积分器的输出变量设为状态变量，即可容易地写出状态方程和输出方程。
对于图9-4(a)所示的反馈积分放大环节，设积分器输出为状态变量x，则有状态方程
,,x,=ax+bft
对于图9-4(b)所示的两级反馈环节级联情况，有状态方程
,x=?ax+x1112 , ,,,x=?a2+ft2x2
xx,1?a1011,,,,,,+,,ft ,=,xx,0?a2122
输出方程为
,,yt=x 1
对于图9-4(c)所示的两级反馈环节并联情况，有状态方程
,=?3x+2f(t)x11 , ,,x,=?2x+2ft22
即
xx,1?3121,,,,+,,ft ,=,,,xx,0?2222
输出方程
,,yt=x?x 12
9.1.2 动态方程的一般形式
利用状态，状态变量，状态方程和输出方程的概念，我们研究系统一般情况。
,,,, 设线性系统的n个状态变量为xt,xt,…,x(t),系统的p个输12n
,,,,入为ft,ft,…,f(t),则系统的状态方程可一般的写为 12n
dx1,=ax+?+ax+bf+bf+?+bf1111nn1111221ppdt,,dx2 x+?+ax+bf+bf+?+bf=a 2112nn2112222ppdt,……
,dx,n=ax+?+ax+bf+bf+?+bfn11nnnn11n22npp,dt
式中，各系数a和b是由系统参数决定的系数，对于线性时不变系统，ijij
它们都是常数;对于线性时变系统，它们是时间的函数。
把上述方程组些微矩阵形式为
a… aaxx,b… bbf11 12 1n 1111 12 1n 1，，，，，，，，，，aa… axx,bb… bf21 22 2n 2221 22 2n 2,,,,,,,,,,.....,,,,,,,,,,= + .....,,,,,,,,,,
.....,,,,,,,,,,
ax，a… a，，，，bx,，，b… b，，，fn1 n2 nn nnn1 n2 nn n可简记为矩阵方程
,,,,x,=Axt+Bft 式中
T,,x,t=[x, x,… x,] 12n
Tx(t)=[x x… x] 12n
Tf(t)=[f f… f] 12n
分别是状态变量的倒数，状态变量和激励组成的列矩阵。
aa… a11 12 1n
，，aa… a21 22 2n ,,.,,A= .,,
.,,
，aa… a，n1 n2 nn
bb… b11 12 1n ，，bb… b21 22 2n ,,.,,B= .,,
.,,
，bb… b，n1 n2 nn 分别是系数矩阵，其中A是n*n阶方阵。
,,,, 如果网络有q个输出yt,yt,…,y(t),那么，它们中的每一个都12q
是由状态变量和激励表示的代数方程。其矩阵形式为
c… cd… dcdyxf11 12 1n 11 12 1p 111，，，，，，，，，，cc… cyxf21 22 2n dd… d22221 22 2p ,,,,,,,,,,.....,,,,,,,,,,= + .....,,,,,,,,,,....,.,,,,,,,,,
cc… c，y，，x，，，fdd… dq1 q2 qn nn，，，，pq1 q2 qp 上式可简记为
,,,,,,yt=Cxt+Dft 式中，系数矩阵
cc… c11 12 1n ，，cc… c21 22 2n ,,.,,C= .,,
.,,
cc… c，，q1 q2 qn
dd… d11 12 1p ，，dd… d21 22 2p ,,.,,D= .,,
.,,
dd… d，，q1 q2 qp
上述系数矩阵，对于线性时不变系统，它们都是常数矩阵。式(9-7)和式(9-8)分别是状态方程和输出方程的一般形式。
由于x(t)可看做是n维空间的向量称为状态向量，故状态变量分析也常称为状态空间分析。
应用状态空方程和输出方程的概念，可以研究许多复杂的工程问题。如倒立振子的运动，机器人双脚的行走，飞机和火箭的升空等。图9-5是火箭升空控制的示意图。其中x,x,x和x为状态变量。 1234
9.2 状态方程的解
9.2.1 状态方程的时域求解
这里研究状态方程在时间域的求解方法。有状态方程的一半形式
,,x,=Axt+Bf(t)
可改写为
,,x,?Axt=Bf(t) 它与一阶电路的微分方程
′,,,,,,yt?ayt=bft 相似。将a换为A，则状态方程的解可写为
,,,,,,,?,,,,,x(t)=,,0+,,,,,, ,
0
或者表示为
AtAt,,,,,,xt=ex0+e?Bft
At式中，x(0)为其实状态，以后设状态连续，不分0_和0。式中，e是+一矩阵指数函数，通常称为状态转移矩阵函数。观察上式可知，为求
Atx(t)，关键是设法求出e。
At 在时间域中求解e并非易事。为了突出应用，我们将在后面介绍
较简便的s域求解法。
一般情况下，设动态系统为
,,,,,,x,t=Axt+Bft 可以证明
At,,,,,,yt=Ce?Bft+Dft 系统的冲击响应矩阵为
At,,,,ht=CeB+Dδt
,,式中，δt为对角阵。
对于给定的状态方程，一种比较方便的方法是借助计算机用逐次逼
近法或者龙格-库塔法等求解。下面署名逐次逼近法。 设状态方程
,,,,,,,xt=axt+bft
将x(t)展开泰勒级数并取一次项近似，得
dx(0),,,, x?t=x0+.?t. dt
dx(?t),,,, x2?t=x?t+.?t. dt
……………
dx(k?t),,x[(k+1)?t]=xk?t+.?t dt
又因为在k?t时状态方程变为
,,,, xk?t=axk?t+bf(k?t) 将式(9-14)带入式(9-13)，得
,,,,,,,, xk+1?t=axk?t+axk?t?t+Bf(k?t) ?t. 把上式推广于矩阵形式的状态方程，得
,,,,,,,, xk+1?t=Axk?t+Axk?t?t+Bf(k?t) ?t. 上式为逐次逼近法的一半公式，当步长?t走足够小时，求解结果非常接近真实解。
9.2.2 状态方程的s域求解
拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的有力工具，现用于求解状态方程。
由函数矩阵积分的定义，状态向量x(t)的拉氏变换为 简记为
,,,,,,Xs=?xt
同样地，输入和输出向量的拉式变化简记做
,,,,,,Fs=?xt
,,,,,,Ys=?yt
根据拉氏变换的积分性质?
,,dxt,,,,,,?=sXs?x0 dt
应用于状态方程
,,,,,,x,t=Axt+Bft
则有变换
,,,,,,,,sXs?x0=AXs+BFs 即
,,,,,,,,sXs?AXs=x0+BFs 利用单位矩阵I，又可以写为
,,,,,,,,sI?AXs=x0+BFs
?1,,将上式两端前乘以sI?A，得
?1?1?1,,,,,,,,,,,,,,,,,,Xs=sI?Ax0+BFs=sI?Ax0+sI?ABFs 上式是状态向量x(t)的拉氏变换。由此可知，其第一项的反变换是状态向量的零输入解，第二项的反变换是状态向量的零状态解。
对照式(9-9，且考到x(0)是常数矩阵，应有
At?1?1?1?1,,,,,,,,,,,,,,ex0=φsI?Ax0=φsI?Ax0 于是的状态转移矩阵
,,adjsI?AAt?1?1?1,,,,,,e=φsI?A=φ ,,detsI?A
At上式给我们提供了另一种求e的方法。
为了方便，我们定义分解矩阵
At?1,,,,,,?s=φe=sI?A 于是式(9-17)可写为
,,,,,,,,,,Xs=?sx0+?sBFs 对于输出方程
,,,,,,yt=Cxt+Dft 取拉式变换，得
,,,,,,Ys=CXs+DFs 将式(9-20)带入上式，可得
,,,,,,,,,,,,Ys=C?sx0+C?sB+DFs 有上式可知，零状态响应的拉氏变换
,,,,,,,, Ys=C?sB+DFs=H(s)F(s) zs
式中，系统函数矩阵
,,,,Hs=C?sB+D 它是一个q*p阶矩阵(q是输出书，p是输入数)。由此可得
,,,, ?ht=H(s)
例9-2 如有矩阵
?10A=,, 0?2
At试用s域方法求状态转移矩阵e。
解 由已知矩阵A可得
s+10,,sI?A=,, 0s+2
1s+20?1(sI?A)=,, ,,0s+2s+1(s+2)
1
0s+1=,, 1
0s+2因此
?t0eAt?1?1,,,,e=φsI?A=,, ?2t0e例9-3 设有系统状态方程和输出方程分别为
x(t)(t)(t)xf1201111,,=,,,,+,,,, ,,,,,,xtxtft0?110222
y(t)(t)(t)xf1110111,,=,,,,+,,,, ,,,,,,ytxtft0?110222其起始状态
x(0)11,,=,, ,,x0?12
输入向量
ε(t)f(t)1,,=,, ,,,,ζtft
试求状态变量x(t)和响应y(t). 解 由状态方程和输出方程知系数矩阵
1201A=,,，B=,, 0?110
1110 C=,,，D=,, 0?110所以
s?1?2sI?A=,, 0s+1
,,,,,,detsI?A=s?1s+1
s+12,,adjsI?A=,, 0s?1
故分解矩阵
,,adjsI?A?1,,,,?s=sI?A= ,,detsI?A
12，，,,s?1s+1(s?1),,= 1,,0，，s+1又输入向量的变换
1ε(t),,Fs=φ,,=,, s,,ζt1故得状态向量的象函数
,,,,,,,,,,Xs=?sx0+?sBFs
2s+s+21，，
,,ss?1(s+1),,s+1=,,+ ,,11,,?s+1，,,，ss+1取拉式反变换，得
?tt?tx(t)1e+e?22e,,xt=,,=,,+,, ?t?t,,xt?e1?e2
而又可以得输出向量的像函数矩阵
,,,,,,,,,,,,Ys=C?sx0+C?sB+DFs
20
s?11,+,, =,1
s+1s+1取反变换，的输出
ty(t)02e1 ,,=,,+,, (t?0) ?t?ty(t)ee2
例9-4 设有二姐电路系统的状态方程和输出方程分别为
duc
uucs?3101dt,,+,,,, ,=,,,iidiL20s?21L
dt
uuuccs1000,,=,,,,+,,,, uiiL?10L10s试求其系统函数矩阵H(s).
解 由方程知
?31A=,, ?20
故
s+3?1sI?A=,, 2s
s1,,adjsI?A=,, ?2s+3
s+3?12,,,,,,detsI?A=,,=s+3s+2=s+1s+2 2s
故分解矩阵
,,adjsI?A?1,,,,?s=sI?A= ,,detsI?A
s1
，，,,,,s+1(s+2)s+1(s+2),,= ?2s+3,,
,,,,，s+1(s+2)s+1(s+2)，
,,把?s和系数矩阵C，D，B代入式(9-28)，得系统函数矩阵
,,,,Hs=C?sB+D
s1
，，,,,,s+1(s+2)s+1(s+2)100100,,=,,,,+,, ?2s+3?102010,,
,,,,，s+1(s+2)s+1(s+2)，
2s
，，,,,,s+1(s+2)s+1(s+2),,= 2?s,,1?,,,,，s+1(s+2)s+1(s+2)，取上式的反变换可得冲击响矩阵。
以上讨论重点在求解的概念和分析过程。实际中已有简单的计算机
分析方法，这里不在叙述。
下面介绍状态轨迹的概念。
选取两个状态变量x和x构成一个状态平面，从初始状态起到12
,,,,t???期间，[xt,x(t)], [xt,x(t)],…对应该平面的各点，11211222连接这些点的轨迹称为状态轨迹。
例如，设有状态方程
1
0duuccC,,=,,,, ii1RLLdt??LL
,,当R=1,L=1,C=1F, u=2 V, i0=2A,并取?t=0.01s，在t=0~3s中求cL
解，其状态轨迹如图9-6所示。
9.4 离散系统的状态变量分析
线性离散时间系统可以用输入-输出发分析，也可以用状态变量发分析。用输入-输出法分析时，描述系统的是n阶差分方程;用状态变量分析时，则是一阶线性差分方程组。
9.4.1 离散系统的状态方程
对于线性时不变离散系统，与连续系统相似，也可以表示为规范的状态方程形式。其状态方程和输出方程都是离散的状态变量和输入序列的线性组合。状态方程的一半形式为
,,xn+1=ax(n)+?+ax(n)+bf(n)+bf(n)+?+bf(n)11111mm1111221pp,,,xn+1=ax(n)+?+ax(n)+bf(n)+bf(n)+?+bf(n)22112mm2112222pp ………,
,,xn+1=ax(n)+?+ax(n)+bf(n)+bf(n)+?+bf(n),mm11mmmm11m22mmp若有q个输出，则输出方程的一般形式为
,,yn+1=cx(n)+?+cx(n)+df(n)+df(n)+?+df(n)1111mm1111221pp,,,yn+1=cx(n)+?+cx(n)+df(n)+df(n)+?+df(n)22112mm2112222pp ………,
,,yn+1=cx(n)+?+cx(n)+df(n)+df(n)+?+df(n),mq11qmmq11q22qpp写成矩阵形式，分别为
,,,,,,xn+1=Axn+Bfn
,,,,,,yn=Cxn+Dfn
式中
T,,,,,,xn=[xn xn… x(n)] 12m
T,,,,,,fn=[fn fn… f(n)] 12p
T,,,,,,yn=[yn yn… y(n)] 12q
各系数矩阵
a… aab… bb11 12 1n 11 12 1n ，，，，aa… abb… b21 22 2n 21 22 2n ,,,,..,,,,A= ，B= ..,,,,
.,.,,,
aa… a，，bb… b，，n1 n2 nn n1 n2 nn
cc… cd… dd11 12 1n 11 12 1p ，，，，cc… c21 22 2n dd… d21 22 2p ,,,,..,,,,C= ，D= ..,,,,.,.,,,
cc… c，，dd… dq1 q2 qn ，，q1 q2 qp
9.4.2 离散状态方程的时域求解
求解离散状态方程的简单方法之一是所谓的迭代法(递推法)。例
如，对于状态方程
1
0,,,,xnxn1121,,,,=,,,,+,,fn 1 1,,,,xnxn022 44
设起始状态
x(0)01,,=,, x(0)02
输入序列为
,,,,fn=δn
令n=0时，有
1
0x(1)01112,,,,=,,,,+,,1=,, 1 1x(1)0002 44
令n=1时，有
11
0x(2)11122,,,,=,,,,+,,0=,, 1 11x(2)002 444令n=2时，有
111
0x(3)11224,,,,=,,,,+,,0=,, 1 113x(3)02 44416依次类推，如此不断进行，就可以求的状态变量的解,,,,,,,,x1,x1，x(1)，….; x1,x1，x(1),….。但这种方法很难得123123
到闭式解。
对于一般状态方程，可以证明
,?1
nn?1?k,,,,,,xn=Ax0+,ABfn
,=0
输出方程的解
,?1
nn?1?k,,,,,,,,yn=CAx0+,CABfk+Dfn
,=0
值得注意的是。式(9-32)和式(9-33)中的零输入解的n?0;零状
,?1
态响应中,(.)的n?1;输入序列f(.)为n?0。
,=0
9.4.3 状态昂藏的z域求解法
对于LTI离散系统的状态方程
,,,,,,xn+1=Axn+Bfn 设状态变量矩阵x(n)和输入序列矩阵f(n)的z变换分别为
,,Xz=,[x(n)]
,,Fz=,[f(n)]
对式(9-34)取z变换，得
,,,,,,,,zXz?zx0=AXz+BFz 也可以写为
,,,,,,,,zI?AXz=zx0+BFz
?1,,上式两端前乘以zI?A，得
?1?1,,,,,,,,,,Xz=zI?Azx0+zI?ABFz 取上式的z反变换，可得x(n)其中第一项的反变换为零输入解，第二
项的反变换为零状态解。比较可知，状态转移矩阵
n?1?1,,,,A=,zI?Az
n这又提供了一种求A的方法。
对于输出输出方程
,,,,,,yn=Cxn+Dfn 对其z变换，得
,,,,,,Yz=CXz+DFz 把X(z)代入，有
?1?1,,,,,,,,,,,,Yz=CzI?Azx0+CzI?ABFz+DFz
?1?1,,,,,,,,,,= CzI?Azx0+CzI?AB+DFz
?1,,,,,,,,=CzI?Azx0+HzFz
式中，第一项为零输入响应的象函数，第二项为零状态响应的象函数。
其中
?1,,,,Hz=CzI?AB+D 为系统函数矩阵。
例9-5 设矩阵
5 ?6A=,, 1 0
n试用z域方法求A。
解 特征矩阵
1 05 ?6z?5 ?6zI?A=z,,?,,=,, 0 11 0?1 z
它的逆矩阵
adj(zI?A)1z ?6?1(zI?A)==,, 21 z?5det?(zI?A)z?5z+6
z?6
22z?5z+6z?5z+6=,, 1z?5
22z?5z+6z?5z+6
n?1?1,,,,A=,sI?Az
?6z
22?5z+6z?5z+6z?1=,,, 1z?5
22z?5z+6z?5z+6故有
n+1n+1nn3?2 ?6(3)+6(2)nA=,, nnnn3?2 ?2(3)+3(2)
9.5 MATLAB方法用于状态变量分析
9.5.1 状态方程的解
例 9-6 已知RLC并联电路的状态方程为
di1L=ucdtL , du11c?u=?iLcdtcRC
,,,,设初始值i0=1A, u0=1V,在下列情况下求解i和u，并画出LcLci?u平面的状态轨道。 Lc
(a) R=0.4,L=0.1 H,C=0.1F; (b) R=5/6,L0.1 H,C=0.1F。
解ex.m:
R=input(‘电阻R=’); %以交互方式输入电阻R的值
L=input(‘电感L=’); %以交互方式输入电感L的值
C=input(‘电容C=’); %以交互方式输入电容C的值
A=[0 1/L;-1/C -1/(R*C)]; %状态矩阵A
Syms t; %符号变量t
F=expm(A*t); %计算exp(A*t)
X0=[1;1]; %电流和电业的初始值i(0)和u(0)
X=F*x0 %求解电流i和电压u T=0:0.02:2
′′I=subs(X(1,:),t, t)
Subplot(1,3,1),plot(t,I); %绘制i(t)的曲线
Title(‘i(t)的曲线‘);
Grid on;axis aquare;
′′U=subs(X(2,:), t, t);
Subplot(1,3,2),plot(t,U); 绘制u(t)的曲线 Title(‘u(t)的曲线’);
Grid on;axis square;
Subplot(1,3,3),plot(I,U); %绘制i(t)-u(t)的状态轨道 Title(‘i(t)-u(t)的状态轨道’);
Xlabel(‘i(t)’);ylabel(‘u(t)’);
Grid on;axis square;
(a) 电阻R=0.4,电感L=0.1，电容C=0.1
X=[-exp(-20*t)+2*exp(-5*t)] [-exp(-5*t)+2*exp(-20*t)] 即
?20t?5t?5t?20t,,,,,,,,,,it=?e+2eεt,ut=(?e+2e)εt Lc
(b) 电阻R=5/6电感L=0.1电容C=0.1
X=[exp(-6*t)*cos(8*t)+2*exp(-6*t)*sin(8*t)]
[-2*exp(-6*t)*sin(8*t)+exp(-6*t)*cos(8*t)]
即
?6t,,,,,,it=ecos8t+2sin8tεt,u(t) Lc
?6t,,=e(?2sin8t+cos8t)εt
例9-7 设有状态方程
xx,(t)f1120111,,+,,,,=,,,, xx,f(t)0?121022
xy(t)(t)f1111011,,+,,,,=,,,, xy(t)f(t)0?120022
x(t)11,,=,, x(t)?12
,,,,,,,,ft=εt,ft=δt 12
,,,,试求xt和x(t)，yt和y(t)，打印个曲线。 1212
解ex.m
A=[1 2;0 -1];
B=[0 1;1 ;0;
C=[1 1;0 -1];
D=[1 0;1 0];
X0=[1 -1];
T=0:dt:2;
F(:,1)=oned(length(t),1); %f1(t)=u(t)
F(:,2)=[1,zeros(length(t)-1,1)]; %f2(t)=dirac(t)
Sys=ss(A,B,C,D); %状态方程模型 [y t0 x]=lsim(sys,f,t,x0); %求解状态方程 Subplot(2,2,1),plot(t,x(:,2)); %绘制x1(t) Xlable(‘t’),ylabel(‘x1(t)’);
Subplot(2,2,2),plot(t,x(:,2)); %绘制x2(t) Xlable(‘t’),ylabel(‘x2(t)’);
Subplot(2,2,3),plot(t,x(:,2)); %绘制y1(t) Xlable(‘t’),ylabel(‘y1(t)’);
Subplot(2,2,4),plot(t,x(:,2)); %绘制y2(t) Xlable(‘t’),ylabel(‘y1(t)’);
运行结果如图9-12所示。
例9-8设有状态方程(洛伦兹LORenz方程
x,=?ax+ay
y,=ρx?y?xz,)
z,=xy?βz
当a=0, β=8/3, ρ=28 时出现混沌。
设x(0)=3,y(0)=3.5,z(0)=4.2.求x(t),y(t),z(t)波形，并画出y-x像平面，x-z
像平面和z-x-y三维图形轨迹。
解ex.m:
T_final=60; %时间的终点 X0=[3;3.5;4.2]; %x(0)=3,y(0)3.5,
[t,x]=ode45(‘lorenzeq’,[0:0.02:t_final,x0]) %求解洛伦兹方程 Subplot(2,3,1),plot(t,x(:,1)); %绘制x(t)的波形 Axis tight;title(‘x(t)的波形’);
Subplot(2,3,2),plot(t,x(:,2)); %绘制y(t)的波形 Axis tight;title(‘y(t)的波形’);
Subplot(2,3,3),plot(t,x(:,3)); %绘制z(t)的波形 Axis tight;title(‘z(t)的波形’);
Subplot(2,3,4),plot(x(:,2),x(:,1)); %绘制y-x像平面
Title(‘y-x像平面’);
Subplot(2,3,5),plot(x(:,1),x(:,3)); %绘制x-z像平面 Title(‘x-z像平面’);
Subplot(2,3,6),plot(x(:,3),x(:,1)，x(:,2)); %绘制x-z像平面 Title(‘y-x像平面’);
运行结果如图所示。
9.5.2系统函数矩阵的计算
为确定系统函数H(s),可用函数ss2tf,其调用方式为
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,k) 其中，k表示由函数ss2tf计算的与第k个输相应的系统函数。Num表示H(s)的第k列的m个元素的分子多项式，den表示H(s)公共的分母多项式。
;例9-9设有系统的状态方程和输出方程的系数矩阵分别问A,B,C,D,
求系统函数矩阵H(s)。
解 设
2301 A=,,，B=,, 0?110
1110C=,,，D=,, 0?110
则程序如下:
A=[2 3;0 -1];
B=[0 1;1 0]
C=[1 1;0 -1];
D=[1 0;1 0]
[B1,A1]=ss2tf( A,B,C,D,1);
[B2,A2]=ss2tf(A,B,C,D,2);
输出
Num1=
1 0 -1
1 -2 0
Den1=
1 -1 -2
Num2=
0 1 1
0 0 0
Den2=
1 -1 -2
则矩阵H(s)为
21s?1s+1,,Hs=,, 22s?s?2s?2s0
s+11
s?2s?2=,, s
0s+1练习题
设有状态方程
x,x101001
xx,,,+,,f(t) ,=,,,200012
xx,?12?19?8313
TY(t)=[10 4 0][ x x x] 123
求阶跃响应y(t).
范文五：《信号与系统》北邮版视频教程
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http://lib.verycd.com/2006/03/31/0000096752.html1.源比较稳定,用电驴下,VERYCD上还有好多资料.2.操作系统要求WIN2000/XP,其它系统会有问题.3.校园网等内网可能下不了.4.用的教材是郑君里的.[ 本帖最后由 chenrh0303 于 2006-4-7 11:42 AM 编辑 ]
中文名称:信号与系统(上)版本:北邮版视频教程发行时间:2005年地区:大陆语言:普通话简介: 信号与系统是通信和电子信息类专业的核心基础课，其中的概念和分析方法广泛应用于通信、自动控制、信号与信息处理、电路与系统等领域。 本课程针对网络课程的特点，采用了图、文、声、像、动画等多媒体技术，使内容生动活泼，易于理解。课程以网络技术为支持，以学生自学为主，结合教师答疑，学生讨论等形式使该课程体现出交互性、开放性、自主性、协作性等特点。 本课程从概念上可以区分为信号分解和系统分析两部分，但二者又是密切相关的，根据连续信号分解为不同的基本信号，对应推导出线性系统的分析方法分别为:时域分析、频域 分析和复频域分析;离散信号分解和系统分析也是类似的过程。 本课程采用先连续后离散的布局安排知识，可先集中精力学好连续信号与系统分析的内容，再通过类比理解离散信号与系统分析的概念。状态分析方法也结合两大块给出，从而建立完整的信号与系统的概念。 本课程除了大纲要求的主要内容外，还给出了随机信号通过线性系统分析，离散傅立叶变换、FFT等内容以扩展知识面。 欢迎大家学习信号与系统网络课程，欢迎大家多提宝贵意见，以促进我国的现代化远程教育。参考教材:本书是1981年出版的《信号与系统》的修订版。本版与第一版的结构层次大体相同，仍然是研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本概念和基本分析方法，从时间域到变换域，从连续到离散，从输入输出描述到状态空间描述，以通信和控制工程作为主要应用背景，注重实例分析。与第一版相比，全书作了较大幅度更新，以适应当代信息科学与技术发展的最新需要。上册共6章，包括绪论、连续时间系统的时域分析、傅里叶变换、拉普拉斯变换、滤波、调制、抽样信号的矢量空间分析。本书是普通高等教育\"九五\"国家级重点教材，可作为高等院校工科或理科信号与系统类型课程的教材，也可供科研与工程技术人员自学参考。关于1和2视频文件的说明:1和2因为录制的原因,没有课件显示,只包含音频部分,从头至尾只有老师的画面显示,故打包时已经去除。如需要可另行下载:第一章下载地址第二章下载地址
回复 #1 chenrh0303 的帖子我的怎么不好下载呢
我怎么不可以下载呢,为什么,
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好不好用?
谢谢 有劳
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十分感谢楼主
chenrh0303 发表于 2006-4-7 11:35 中文名称:信号与系统(上)版本:北邮版视频教程发行时间:2005年
号帖子 定一下
谢谢
灰常感谢。看看再说～
为什么内网下不了啊
楼主强大，好东西。下来看看。
chenrh0303 发表于 2006-4-7 11:35 中文名称:信号与系统(上)版本:北邮版视频教程发行时间:2005年
需要回复才能看见,
谢谢～怎么下不了啊
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