磨人的小表砸
范文一：积分与求导公式大全
一、导数的四则运算法则
,,,uuvuv,,,,,,,,,uvuv,,, uvuvuv,， ,，，，，,,2vv,,二、基本导数公式
,,,1,,c,0sincosxx,? ? ? xx,,，，，，
22,,,cossinxx,,tansecxx,cotcscxx,,? ? ? ，，，，，，
,,secsectanxxx,,csccsccotxxx,,,? ? ，，，，
1,lnx,，，,,xxxx? ? ? ee,aaa,ln，，，，x
111,x,,,log? ? ? arcsinx,arccosx,,，，，，，，a22xaln1,x1,x
1,11,,,arctanx,arccotx,,? ??? x,x,1，，，，，，，，221，x1，x2x
三、高阶导数的运算法则
n，，nn，，，，，，uxvxuxvx,,,,1, ，，，，，，，，，，
n，，n，，cuxcux,，，,2, ，，，，，，
n，，n，，nuaxbauaxb，,，，，,3, ，，，，，，
nn，，,nk，，kk(),4, ，，uxvxcuxvx,,，，，，，，，，,n，，k,0
四、基本初等函数的n阶导数公式
n，，n,1, xn,!，，
n，，，，axbnaxb,2, eae,,，，
n，，xxn(3) aaa,ln，，
n，，,,,n(4) sinsinaxbaaxbn，,，，,，，，，,,，，2,,
n，，,,,n(5) coscosaxbaaxbn，,，，,，，，，,,，，2,,
n，，n1!an,n,,,,1(6) ，，,,，1naxb，,,axb，，，
nan,,1!n，，，，,1n(7) ln1axb，,, ，，，，，，n，，axb，，，
五、微分公式与微分运算法则 dc,0? ，，
,,,1dxxdx,,? ，，
dxxdxsincos,? ，，
dxxdxcossin,,? ，，
2dxxdxtansec,? ，，
2dxxdxcotcsc,,? ，，
? dxxxdxsecsectan,,，，
? dxxxdxcsccsccot,,,，，
xx? deedx,，，
xx? daaadx,ln，，
1? dxdxln,，，x
1x?ddx, log，，axaln
1? dxdxarcsin,，，21,x
1? dxdxarccos,,，，21,x
1? dxdxarctan,，，21，x
1? dxdxarccot,,，，21，x
六、微分运算法则
duvdudv,,,dcucdu,? ? ，，，，
uvduudv,,,duvvduudv,，? ? d,，，,,2vv,,
七、基本积分公式
kdxkxc,，? ,
,，1x,xdxc?,， ,1,，
dx? ,，lnxc,x
xax? adxc,，,lna
xx? edxec,，,
? cossinxdxxc,，,
? sincosxdxxc,,，,
12? dxxdxxc,,，sectan2,,cosx
12? ,,,，csccotxdxxc2,,sinx
1? dxxc,，arctan2,1，x
1? dxxc,，arcsin,21,x
tanlncosxdxxc,,，cotlnsinxdxxc,，,,
seclnsectanxdxxxc,，，csclncsccotxdxxxc,,，,,
11x11xa,dxc,，arctan dxc,，ln22,22,axaa，xaaxa,，2
1x122 dxc,，arcsindxxxac,，,，ln,,2222aax,xa,
八、下列常用凑微分公式
积分型 换元公式
1uaxb,， faxbdxfaxbdaxb，,，，，，，，，，,,a
1,,,,,1, ,fxxdxfxdx，，，，，， ux,,,,
1 fxdxfxdxlnlnln,,ux,ln ，，，，，，,,x
xxxxx feedxfede,,，，，，，， ue,,,
1xxxxx faadxfada,,，，，，，， ua,,,aln
fxxdxfxdxsincossinsin,,，，，，，，ux,sin ,,
ux,cos fxxdxfxdxcossincoscos,,,，，，，，，,,
ux,tan 2 fxxdxfxdxtansectantan,,，，，，，，,,
ux,cot 2 fxxdxfxdxcotcsccotcot,,，，，，，，,,
1 fxdxftaxdtaxarctanarcnarcn,,，，，，，， 2,,1，x
ux,arctan
ux,arcsin 1 fxdxfxdxarcsinarcsinarcsin,,，，，，，，,,2 1,x
九、分部积分法公式
naxnaxux,dvedx,xedx?形如,令, ,
nndvxdx,sinux,xxdxsin形如令, ,
nndvxdx,cosux,xxdxcos形如令, ,
nnux,arctan?形如,令, dvxdx,xxdxarctan,
nnux,ln形如,令, dvxdx,xxdxln,
axaxax?形如,令均可。 exdxsinexdxcosuexx,,sin,cos,,
范文二：求导公式
一、 一、 反函数的导数
法则5（反函数的求导法则）如果函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 内单调连续, 且在该区间内
-1
f ' (x ) x =f (y ) 在相应区间内也处处可导, 即处处有不等于0的导数，那么它的反函数
[f -1(y )]'存在，并且
[f -1(y )]'=
1
f ' (x )
f ' (x ) =
也可写为
1[f -1(y )]'
dy 1=dx dx
dy 或
这个等式还可以简单地说成反函数的导数等于原来函数的导数的倒数.
例1 求指数函数y =a (a >0且a ≠1) 的导数.
x
解 y =a (a >0且a ≠1) 是x =log a y (a >0且a ≠1) 的反函数, 函数x =log a y 在
x
区间(0, +∞) 内单调连续, 且x ' y ≠0, 因此根据反函数的求导法则, 可得
y ' x =
1=x ' y
1
=y ln a 1
x
y ln a 而y =a ,
x
所以 y ' x =a ln a
x x
(a )' =a ln a 即
特别地, 当a =e 时, 有 (e )' =e
这表明, 以e 为底的指数函数的导数就是它本身, 这是以e 为底的指数函数的一个重要特性.
2
x x
2
y =() x +x 3
3例2 求函数+的导数. 222-1
y ' =() x ln +x 3
333解 222-=() x ln +x 3
333
12
例3 推导幂函数y =x （其中α为任意实数）的求导公式. 解 利用对数的性质, 我们将函数写成指数形式
α
y =x α=e αln x
则由复合函数的求导法则, 有
y ' =e αln x ?(αln x )' =x α?
α
x
=αx α-1
例4 求函数y =arcsin x 的导数 解 当-1
y =arcsin x (-1
的反函数是
x =sin y (-
π
2
π
2
)
而
(siny )' =cos y >0 (-
π
2
π
2
)
22cos y =-sin y =-x >0
y ' =(arcsinx )' =
所以
11
= (-1
2(siny )' -x
(-1
(arcsinx )' =
即 同样可证：
1-x
2
(arccosx )' =-
(arctanx )' =
1-x
2
(-1
1
1+x 2 (-∞
1
(arc cot x )' =-2
1+x (-∞
例5 求函数y =arcsin 3x 的导数
2
y ' =
解
1-(3x 2) 2
?(3x 2)' =
6x -9x 4
例6 求函数
y =arctan
1
x 的导数
11x 21y ' =?()' =?(-)
12x 1+x 2x 2
1+()
x 解
12
=1+x -
二、基本初等函数求导公式表
下面我们分别列表给出基本初等函数的求导公式和函数的求导法则
例7 求下列函数的导数: (1)
y =e cos x ; (2) y =arctan x 2;
2
(3) y =log 2(3x -1) ; (4) y =-x +ln(cosx ) .
解 (1) y '=(e
cos x
) '=e cos x ?(cosx ) '
cos x cos x =e ?(-sin x ) =-e sin x
y '=(arctanx 2)' =
(2)
12x 2
?(x )' =
1+(x 2) 21+x 4
(3)
y '=[log2(3x -1) ]'=
3
(3x -1) ln 2
2
1
?(3x -1) '
(3x -1) ln 2
=
(4) y '=(-x ) '+[ln(cosx ) ]'
=
12-x 2
-2x 2-x 2
x -x
2
?(1-x 2) '+sin x cos x
1
?(cosx ) 'cos x
=
-
=-
-tan x
例8 一物体的运动方程为的速度.
s =
b 1-at (at +e ) t =
2a 时a 2（其中a 和b 为常数），求物体在
解 因为
s =
b -at
(at +e ) 2a
b -at
(at +e ) ]'a 2
所以
v =s '=[=
b -at ?(at +e ) '2
a
b
=2[a +e -at ?(-at ) ']
a
当
=
b b -at -at
(a -ae ) =(1-e ) 2
a a
t =
1
2a 时，得
1
-a ?b
v =(1-e 2a )
a
-b b 1=(1-e 2) =(1-)
a a
1
范文三：求导公式
1(C)＇=0 ○2(x) ＇=u x ○
x x x x
3(a) ＇=alna ○4(e) ＇= e ○
x
5(loga) ＇= 1○
x ln a 11 67?1?＇=－○(lnx)＇= ○ ?x x 2?x ?
x xlnx
8(x ) ＇=1 ○9(x) ＇=e○
2x
u
u-1
10(sinx)＇=cosx ○11(cosx)＇=－sinx ○
22
12(tanx)＇=secx ○13(cotx)＇=－csc x ○
○
14(secx)＇=secx tanx ○
15(cscs)＇=－cscx cotx ○
16(arcsinx)＇=1 -x 2
○
17(arccosx)＇=－1 -x 2
○
18(arctanx)＇=1
1+x 2
○
19(arccotx)＇=－1
1+
x 2
)
x lim
f (x ) -f (x 0→x 0
x -x =f ' (x 0)
f (x 0+?x ) -f (x 0)
?lim
x →0
?x
=f ' (x 0)
=csc x 1
c o s x =s e c x 1
t a n x
=c o x t tanx=sin x cotx=cos x cos x sin
x
sin 2x+cos2
x=1
1+tanx=sec2x 1+cot2x=csc2x
sin 2x=1-cos 2x cos 2x=1+cos 2x 2
2
sin2x=2sinx cosx
cos2x=cos2x －sin 2x tan2x=2tan x 1-tan 2x
○
1sinx=x ○2tanx=x ○
3arcsinx=x ○4arctanx=x ○
5ln(1+x)=x ○6 1－cosx=1/2x 2
○7 e
x
－1=x ○
8(1+x)a
－1 = ax
=kx+c dx =a x
ln a +c
=ln|x|+c
=tanx+c cotx +c
c ]
b 2a
) 2 1dx =b -a
x=a sint dx=a cost dt
a 2-x 2=a cost
x=a tant dx=a sect dt
2
则：a 2-x 2= a sect x 2-a 2：令x=a sect
dx=a sect tant dt x 2-a 2=a tant
对= 邻
=
斜斜
= =
对= 邻
邻对斜= 斜 邻对
在闭区[a,b]上要连续；2. 在开区间(a,b)上要可导；3. 区间端点的函数值要相等
f ' (x 0) =0 f(a)=f(b)，结论：
1. 闭区间上连续；2. 开区间上可导，结论：f ' (ε) =
f (b ) -f (a )
b -a
1. 在闭区上连续；2找异号：（把端点的值代入函数中）；结论，至少有一实根 上边改变，紧贴x ：
?π(x ) dx +?π(y ) dx
a
a
b
2
b
2
2. 上边无改变，不紧贴x ：
?
b
a
π(x ) 2dx -?π(y ) 2dx
a
b
3. 上边无改变，紧贴x ：
1
?
b
a
π(x ) 2dx
=0 log a=1
a
lne=1 ln1=0 ln0为无穷 lne=2 lnx 2 2ln =x （ln x ）＇=[(lnx)]＇=2lnx.1/x e =a （e ）＇=0 e
lna
-2
ln(x-2)
2
=x-2 e
-lnx
=x
-1
范文四：求导公式
基本求导法则与导数公式
１. 基本初等函数的导数公式和求导法则
基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式
' (1) (C ) =0 ' (3) (sinx ) =cos x
2
'(tanx ) =sec x (5)
μμ-1
'(x ) =μx (2)
' (4) (cosx ) =-sin x
2'(cotx ) =-csc x (6)
(7)
(secx ) '=sec x tan x
(8)
(cscx ) '=-csc x cot x
x x
'(a ) =a ln a (9) x x
'(e) =e (10)
(11)
(loga x ) '=
1
x ln a
(lnx ) '=
(12)
1x ，
(arcsinx ) '=
(13)
1-x 2
11+x 2
(14)
(arccosx ) '=-
1-x 2
11+x 2
(arctanx ) '=
(15)
(arccotx ) '=-
(16)
函数的和、差、积、商的求导法则
设
u =u (x ) ，v =v (x ) 都可导，则
(u ±v ) '=u '±v ' (uv ) '=u 'v +u v '
(Cu ) '=C u '（C 是常数）
（1） （2）
（3）
'
?u ?u 'v -u v ' ?=2v v ?? （4）
反函数求导法则 若函数
x =?(y ) 在某区间I y 内可导、单调且?'(y ) ≠0，则它的反函数y =f (x ) 在对应
I 区间x 内也可导，且
dy 1=1dx f '(x ) =
dy ?'(y ) 或
复合函数求导法则
设y =f (u ) ，而u =?(x ) 且f (u ) 及?(x ) 都可导，则复合函数y =f [?(x )]的导数为
dy dy du
=?'(x ) dx du dx 或y '=f '(u )
上述表中所列公式与法则是求导运算的依据，请读者熟记．
２. 双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式：
范文五：求导公式
1. y=c(c为常数) y'=0 2. y=x^n y'=nx^(n-1) 3. y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4. y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5. y=sinx y'=cosx 6. y=cosx y'=-sinx 7. y=tanx y'=1/cos^2x 8. y=cotx y'=-1/sin^2x 9. y=arcsinx y'=1/√1-x^2 10. y=arccosx y'=-1/√1-x^2 11. y=arctanx y'=1/1+x^2 12. y=arccotx y'=-1/1+x^2
1、a 是一个常数，对数的真数，比如ln5 5就是真数 2、log 对数 lognm 这里的n 是指底数，m 是指真数， 当底数为10时，简写成lgm
当底数为e （e = 2.718281828459）是一个常数 数学中成为超越数 经常要用到）时，简写成lnm
3、sin ，cos ，tan ，sec ，cot ，csc 分别为三角函数 分别表示正弦、余弦、正切、正割、余切、余割。
正弦余弦是一对，正切余切是一对，正割余割是一对 这六个是最基本的三角函数
4、arc 是指的反三角函数 比如反正弦Sin30°=0.5 则arcsin0.5=30°（角度制）=π/6（弧度制） 反正切 反余弦 反余切等等都是同一道理
四、基本求导法则与导数公式
１. 基本初等函数的导数公式和求导法则
基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：
基本初等函数求导公式
(1) (3)
(C ) '=0
(2) (4)
(x ) '=μx
μμ-1
(sinx ) '=cos x (cosx ) '=-sin x
'
(5) (tanx ) =sec
2
x '
(6) (cotx ) =-csc x
2
'' (7) (secx ) =sec x tan x (8) (cscx ) =-csc x cot x '
(9) (a ) =a ln a
x
x
(10) (12)
(14)
(e) '=e
x x
1x ，
1-x
2
(11) (13)
(log
a
x ) '=
1x ln a
1-x
2
(lnx ) '=
(arcsinx ) '=(arccosx ) '=-
(arctanx ) '=
11+x
2
(arccot x ) '=-
11+x
2
(15)
(16)
函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ) ，v =v (x ) 都可导，则
'''
（1） (u ±v ) =u ±v
（3）
''
（2） (Cu ) =C u （C
'
是常数）
(uv ) '=u 'v +u v '
u 'v -u v '?u ?
?=2v v （4） ??
反函数求导法则
I y x =?(y ) ?'(y ) ≠0，则
若函数在某区间内可导、单调且
I x y =f (x ) 它的反函数在对应区间内也可导，且
dy
f '(x ) =
1
dx
=
1dx dy
?'(y )
或
复合函数求导法则
u 设y =f (u ) ，而
=?(x ) 且f (u ) 及?(x ) 都可导，则
复合函数
y =f [?(x )]的导数为
dy dx
dy du du dx 或
=
２. 双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式：
1．(u
±v ) '=u '±v '.
2．(uv )' =u ' v +uv ' , (cu )' =cu ' (c 为常数).
.
''u u ' v -uv ' 1v ' ????
, ?=-2
3． ?=2
v v ?v ??v ?
dy
4．反函数导数dx
=
1dx dy
dy
5．复合函数导数
=
dy du
?
du dx
dx
基本初等函数导数公式 1．(c ) '=0(c 为常数). 2．(x ) '=ax
α
α-1
(α为常数).
3．(sinx ) '=cos x , (cosx ) '=-sin x .
'2??(tanx ) '=sec x , (cot x )=-csc 2x ,
?4．??(secx ) '=sec x tan x , (cscx ) '=-csc x cot x
.
x x x
''5．(a ) =a ln a , (e ) =e .
x
6．(log
a
x ) '=
1x ln a
, (lnx ) '=
1x
.
罗尔定理
设函数f(x）在闭区间[a,b]上连续（其中a 不等于b ），在开区间（a,b ）上可
导， 且f(a)=f(b），那么至少存在一点ξ∈（a 、b ），使得 f'（ξ）=0。
罗尔定理的三个已知条件的意义：
⒈f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；
⒉f(x）在内（a,b ）可导表明曲线y=f(x）在每一点处有切线存在； ⒊f(a)=f(b）表明曲线的割线（直线AB ）平行于x 轴
罗尔定理的结论的直几何意义是：在（a,b ）内至少能找到一点ξ，使f' （ξ）=0，表明
曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB ，与x 轴平行
