玉臂匠
范文一：球的表面积和体积
球的表面积和体积
一、选择题(共 12小题;共 60分) 1. 一个球的表面积是 ,那么这个球的体积为
A.
B.
C.
D.
2.
一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 ,顶点都在同一个球面上, 则该球的体积为 A.
B.
C.
D.
3. 已知球 的半径为 , , , 三点在球 的球面上,球心 到平面
的距离为
,
,
, 则球
的表面积为
A.
B.
C.
D.
4. 已知球 的半径为 ,体积为 “
” 是
“
” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 三棱柱
的侧棱垂直于底面,且 , ,若该
三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
A.
B.
C.
D.
6. 平面 截球
的球面所得圆的半径为
,球心 到平面 的距离为
,则球 的表面积为 A.
B.
C.
D.
7. 已知 , 是球 的球面上两点,
,
为该球面上的动点.若三棱锥
体积的最大值为
,则球 的表面积为 A.
B.
C.
D.
8. 已知点 , , 都在半径为
的球面上,且 ,
,球心 到平面
的距离为 ,点
是线段
的中点,过点
作球
的截面,则截面面积的最小值为
B.
C. D.
9. 已知 , , 是球面上三点,且 ,
,
,球心 到平面
的距
A. B. C. D.
10. 如图所示,已知
所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直, ,
,
,则多面体
的外接球的表面积为
A. B. C. D.
11. 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都 为 直角三 角形的 三棱锥称 之为鳖 臑.若 三棱锥 为鳖 臑, ,
, ,三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上,则球
的表
面积为
A. B. C. D.
12. 四面体 中, , , , 则此四面体外接球的表面积为
A. B. C. D.
答案
第一部分 1. B
【解析】设球的半径为 ,则由
,解得
,所以这个球的体积为
.
2. D
【解析】六棱柱的对角线长为:
, 球的体积为:.
3. D
【解析】由余弦定理,得
.
设三角 外接圆半径为 ,由正弦定理有
,解得
.
所以 ,所以
,表面积为 .
4. A 【解析】因为
,所以
.
所以 “ ” 是 “
” 的充分不必要条件.
5. C
6. C
【解析】如图:
因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面,所以
,所以球 的表面积
.
7. C
【解析】
的面积为定值,当
垂直于平面
时,三棱锥 的体积取
得最大值. 由
得
.
从而球 的表面积
.
8. B 9. C 【解析】由题意 , , ,
因为 ,可知三角形 是直角三角形,
三角形的外心是 的中点,球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离,
设球的半径为 ,球心到 所在平面的距离为球半径的一半,
所以 ,
解得 ,
所以球的表面积为 .
10. C
【解析】将四棱锥补形成三棱柱,设球心
,底面重心 ,如下图所示:
则 为直角三角形, , ,所以 ,
所以多面体 的外接球的表面积为 .
11. C 12. A 【解析】通解
依题意,在 中, .在 中, .
在 中, , ,因此 是正三角形, .如图所示, 记三棱锥 的外接球球心为 ,半径为 ,取 的中点 ,连接 , , ,
,
则有 , ,
, ,
, , ,球心 在平面 上的射影是 正 的中心 ,连接 ,则 , ,
.在直角梯形
中, ,
,
,即
,解得
,因此三棱锥
的外接球的表面积等于
.
优解
依题意,在 中,
.在
中, .
在 中, , ,因此
是正三角形,
.取
的
中点
,连接
, ,则有
,
,
,
,
,
, ,如图
所示,以点 为原点,以
的方向分别为 轴, 轴,
轴的正方向建立空间直角
坐标系
,
则 , ,
, .设三棱锥
的外接球球心为
,则由
得
,由此解得
,
,
, ,因此三棱锥
的外接
球的表面积等于 .
范文二：球的表面积和体积
da-fa-888.com
1.3.2《球的表面积和体积》导学案 【使用说明及学法指导】
1(先自学课本，理解概念，完成导学提纲;
2(小组讨论，合作探究。
【学习目标】
1(能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题;
2(培养学生的空间思维能力和空间想象能力;
3(自主自发，极度热情，全力以赴。
【重点】球的表面积和体积公式的应用。
【难点】关于球的组合体的计算。
一、自主学习
(一)复习回顾
1(柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式,
2(球的截面的性质,
(二)导学提纲
看课本第27页,28页，解决下列问题:
1(球的表面积公式:____________________(
2(球的体积公式:_________________(
思路点拨:
关于球的组合体的计算，常过切(接)点作二者的公共轴截面图，将立体图形转化为平面图形研究。此外，
球的组合体问题还常用分割与补形的思想。
二、基础过关
例1((1)(05全国1)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为( ) ,
8,4,A)82, (B) (C)42, (D) (
24030(2)(05湖北文)木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的( )
3030A(60倍 B(60倍 C(120倍 D(120倍 例2(有3个球，一个切正方体各面，一个切正方体各棱，一个过正方体各顶点，分别求着3个球的表面
积之比和体积之比。
方法、规律总结:
OP(若从球例3的表面上一点出发的三条两两互相垂直的弦，其长度分别为，求证:PA,PB,PCa,b,c
1222R,a，b，c球的半径 2
vn4.org jz3.org
da-fa-888.com
方法、规律总结:
例4(已知正四面体ABCD的棱长为 6
(1)求该正四面体的外接球的表面积; (2)求该正四面体的内切球的体积。
方法、规律总结:
例5(有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少,
vn4.org jz3.org
da-fa-888.com
方法、规律总结:
三、拓展探究
例6(半径均为，且两两相切的4个球，分上、下两层放在水平桌面上，下面放3个，上面放1个，求R
上面一个球的球心到桌面的距离。
方法、规律总结:
四、变式训练
课本第28页1,3题
五、课堂小结
1(知识:
2(数学思想、方法:
3(能力:
六、课后巩固
1(课本第29页B组1题
2(课本第30页B组2题
vn4.org jz3.org
da-fa-888.com
3(课本第30页B组3题
vn4.org jz3.org
范文三：球的体积和表面积
球的体积和表面积
一. 教学目标
１． 知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分
割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
２． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝4πR3和面积公式Ｓ＝４3
πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。 ３． 情感与价值观
通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二. 教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三. 学法和教学用具
１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
２． 教学用具：投影仪
四. 教学设计
（一） 创设情景
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二） 探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：
第一步：分割
如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这
一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆
为些等分点，用片”厚度近似R，底面是“小圆片”的底面。 n
如图：
R?R3i?12[1?()] (i?1、２??n) 得Vi??
?ri??nnn2
第二步：求和
(1?2?Ｖ半球＝v1?v2?v3???vn??R[1?] 63
第三步：化为准确的和
当n→∞时， →0 （同学们讨论得出）
所以 Ｖ半球＝?R3(1?1?22)??R3 63
Ｖ球?得到定理：半径是Ｒ的球的体积4?R3 3
3练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
半径为R的球的表面积为 练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元）
（三） 典例分析
课本P47 例4和P29例5
（四） 巩固深化、反馈矫正
⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
（答案：33:1 ； 3 ：1）
⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm和400πcm，求球的表面积。 （答案：2500πcm）
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性
质求球的半径
222（五） 课堂小结
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。
（六） 评价设计
作业 P30 练习1、3 ，B（1）
范文四：球的体积和表面积
球的体积和表面积
一、知识要点：
21．半径为R的球的表面积为S?4?R；体积为V?43?R． 3
2．球的截面一定是圆，球的大圆是指经过球心的截面圆，球面距离是指球面上的两点在大圆上的劣弧的长度．
二、例题分析：
1．一种空心钢球的质量为142g,外径为5cm,求它的内径大小．（钢的密度为7.9g/cm3）
2．一个有底的半球的表面积为27?，求这个半球的半径．（R?3）
3．已知个倒置的正四棱锥形容器,它的底面边长与侧面的斜高都是6cm,将容器盛满水,再放入一个实心球,这时水面恰好与球上表面相切,问将球取出后四棱锥中水的体积是多少？ 124?6?3???(3)3?(36?43?)cm3) 33
4．圆台有一个半径为R的内切球，已知圆台的母线长为l，求圆台的表面积． (V水?解：设圆台的上、下底面半径分别为r,r/，则有l?r?r， /
S台侧??(r?r/)l??l2，又(r?r/)2?(r/?r)2?(2R)2,?rr/?R2.
S底??(r2?r/)?[(r?r/)2?2rr/]??(l2?2R2),?S表??l2??(l2?2R2)?2?(l2?R2).
三、练习：
1．若两个球的半径之比是1:2，则它们的表面积之比是 ，体积之比是 ．1:4,1:8
2．若球的半径为5，球心到它的一个截面的距离是3，则球的截面面积为．16?
3．一个棱长为2的正方体内接于球，则该球的表面积为 ．12?
4．将一个球的半径变为原来的2倍，则球的体积变为原来的 倍． 8
5．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为 ． 3
6．球的表面积扩大为原来的2倍，则它的体积扩大为原来的 倍．22
7．一个半球的全面积为Q,一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是Q 210
9
8．已知正方体外接球的体积是32?43,则正方体的棱长是 ． 33
9．已知三个球的体积之比为1:2:3，则它们的表面积之比为（ B ）
A．1:2:3 B．1：4： C．1：22：33 D．1：2：
10．若用与球心距离为1的平面去截球所得截面面积为?,则球的体积为（ D）
A． 32?882 B．? C． 82? D． 333
11．把一个半径为R的实心铁球熔化铸成两个小球（不计损耗），两个小球的半径之比为1:2，
则其中较小球的半径为 （ B）
1253A． R B．R D．R C． R 3533
12．设A,B,C,D是球面上的四点，且在同一平面内，AB?BC?CD?DA?3,球心到平面的距离是球的半径的一半，则该球的体积为（ A ）
A．86? B． 6? C．2? D．2?
13．木星的体积约为地球体积的30倍，则它的表面积约是地球表面积的（ C）
A．60倍 B． 30倍 C． 120倍 D．倍
14．有一个倒放着的轴截面为正?的圆锥形容器，内盛有高为h的水，放入一个铁球后，水面恰好与球面相切，求球的半径．
解：设球半径为r,放球以后水的高度为H，则H?r?r?3r. 0sin30
因球的体积等于两个有水部分的圆锥的体积之差，且两个水面的半径等于相应高的3, 3所以有143113?r??(?3r)2?3r??(h)2h,解得r?h. 3333315
15．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与此正方体的各条棱都相切，第三个球过此正方体各顶点，求这三个球的表面积之比． 1:2:3
16．如图，在四边形ABCD中，?DAB?900,?ADC?1350,AB?5,CD?22,AD?2, 求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
C
D
A B
解：旋转所得几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的几何体，
圆台上底半径r?2,圆锥的高h?2,圆台母线长l?(5?2)2?(2?2)2?5. 则S表??(5?2)?5???52???2?2?(60?42)?;
11148V??(22?52?2?5)?4???22?2??. 333
范文五：球的表面积和体积
池州华佑高级实验中学人本跨界大课堂数学学道
班级 高一( )班 姓名 组名 日期: 课题, 球的表面积和体积 设计者: 杜建设 自研课(时段: 晚自习 时间: 10 分钟 ) 1、旧知链接: (1)球的定义
(2)如何画出球的半径 ，球的三视图是什么。
2、新知自研: 必修2课本第27到28页的所有内容
展示课(时段: 正课 时间: 60 分钟 )
学习目标(1min): 1、掌握球的表面积公式，并会求出球的半径。 2、牢记球的体积公式 。
二、【定向导学?互动展示?当堂反馈】
展示提升环节 自研自探环节 合作探究环节 总结归纳环节 质疑评价环节 课 堂 元 素 随堂笔记 自 学 指 导 互 动 策 略 展 示 方 案 (成果记录?知识生成?同步演练 ) ( 内容?学法?时间 ) (内容?形式?时间) (内容?方式?时间)
【学法指导】 展示单元一: ?两人小对子: 1.在初中我们就学习了圆，并且知道圆的一些 等级评定 , 方案预设1: 相互交流自研成性质，你能说出来吗, 导 一个球的表面积是S， 果，并用红笔给出【同类演练】 学 现将此球的表面积缩等级评定. 1、一个正方体的长为a，它的 一 小到原来的一半，则 里面有一个内切球，外面有一, 它的半径缩小到原来 ?四人互助组: 公式个外接球，请问内切球和外接2.我们都知道一个球可以看成是由无数个圆构的多少,若将一个体按照学法指导中的推导成，那么由圆的一些特征我们能推导出球的一球的半径之比是多少, 积为V的球扩大到提示，请问若是知些特征吗, 与 2V，则它的半径扩大 道了球的表面积能例题 到原来的多少, 否知道球的体积, 导析 如果知道球中最大(39 的一个圆的半径，min) 3.球的表面积公式:S= 那么能否知道球的 体积公式:V= 表面积呢,力争人方案预设2: 有公式我们可以看出，只要知道了球的 人过关. 一个球的半径是R，那 我们就可以求出球的表面积和体积。 2、球的表面积和他的内接正么它的正视图的面积 ?八人共同体: 是多少,若一个球的方体的表面积之比是 【自我探究】将一个球的半径扩大n倍，那么小组结合自研成果正视图的直观图中平,它的体积和表面积分别扩大多少倍,(设原半准备好老师下达的x行于轴的线段长,径为R) y展示任务，做好展为a，平行于轴的 示准备. 线段长b，那么这个球 (6min) 的表面积和体积能否
(10min) 求出。 四人互助组: (23min) 自主研读右侧同类演练: ?互查互检组内成 , 员演练成果及自行1.先利用1分钟时间理清同类演练解题思路, 导 修正. 2.抽起小黑板～尝试自主完成同类演练, 学 注意:,1,仿照例题的解题步骤～规范解题格二 ?观察大黑板展演式, 成果，组长快速查, 2,2,圆的面积公式:S= 找问题并指导其纠,r同步正; 2演练 球的表面积公式:S= 4,r (20?交流新思路、新4min) 3r 球的体积公式:V=, 解法、新拓展. 3(6min)
(5min)
训练课(时段:晚自习 ， 时间: 30分钟)
“日日清巩固达标训练题” 自评: 师评:
基础题:
1、两个球的体积之比为8:27，那么这两个球的表面积之比为 2、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a，求球的体积。
发展题:
3、将一个球的表面积扩大n倍，那么它的体积扩大了多少倍,
提高提:
225,cm8,cm4、在球内有相距1cm的两个平行截面(同侧)，截面面积分别为和，求球的表面积和体积,
培辅课(时段:大自习 附培辅单)
1、今晚你需要培辅吗,(需要，不需要)
2、效果描述:
反思课
1、病题诊所:
2、精题入库:
【教师寄语】新课堂,我展示,我快乐,我成功………今天你展示了吗,,,
