范文一：!最优风险资产组合

第8章 最优风险资产组合

下面的数据可用于第 1至第8题: 一位养老基金经理正在考虑三种共同基金。第一种是

股票基金，第二种是长期政府债券与公司债

券基金，第三种是回报率为 8% 的以短期国库券为内容的货币市场基金。这些风险基金的概率分布如 下:

名 称期望收益率(% )标准差(% )

股票基金S)(20 30

债券基金B)(12 15

基金回报率之间的相关系数为0.10。

1. 两种风险基金的最小方差资产组合的投资比例是多少,这种资产组合回报率的期望值与标准差 各是多少,

2. 制表并画出这两种风险基金的投资机会集合，股票基金的投资比率从 0%到100%，按照20%的幅 度增长。

3. 从无风险回报率到机会集合曲线画一条切线，你的图表表现出来的最优资产组合的期

望收益与

标准差各是多少,

4. 计算出最优风险资产组合下每种资产的比率以及期望收益与标准差。

5. 最优资本配置线下的最优酬报与波动性比率是多少,

6. 投资者对他的资产组合的期望收益率要求为 14%，并且在最佳可行方案上是有效率的。

a. 投资者资产组合的标准差是多少,

b. 投资在短期国库券上的比率以及在其他两种风险基金上的投资比率是多少,

7. 如果投资者只用两种风险基金进行投资并且要求 14%的收益率，那么投资者资产组合中的投资 比率是怎样安排的,把现在的标准差与第 6题中的相比，投资者会得出什么结论,

8. 假设投资者面对同样的机会集合，但是不能够借款。投资者希望只由股票与债券构成

期望收益

率为24%的资产组合。合适的投资比率是多少,由此的标准差是多少,如果投资者被允许以无风险收 益率借款，那么投资者的标准差可以降低多少,

9. 股票提供的预期收益率为18%，其标准差为22%。黄金提供的预期收益率为10%，标准

差为30%。

a. 根据黄金在平均收益率和波动性上的明显劣势，有人会愿意持有它吗,如果有，请用图形表

示这样做的理由。

b. 由上面的数据，再假设黄金与股票的相关系数为 1，重新回答a问题。画图表示为什

么有人会 或不会在他的资产组合中持有黄金。这一系列有关期望收益率、标准差、

相关性的假设代表 了证券市场的均衡吗,

10. 假设证券市场有很多股票，股票 A与股票B的特性如下:

股票期望收益率(% )标准差(%)

A 10 5

B 15 10

相关系数 =-1假设投资者可以以无风险收益率 r贷款。则r的值为多少 (提示:设想建立股票 A与股票Bff

的无风险 资产组合),

11. 假设所有证券的期望收益率与标准差为已知 (包括无风险借贷利率)，这种情况下所有投资者将 会有同样的最优风险资产组合(正确还是错误,)。

12. 资产组合的标准差总是等于资产组合中资产的标准差的加权平均(正确或错误,)。

13. 假设投资者有一个项目:有 70%的可能在一年内让他的投资加倍， 30%可能让他的投资减半。 该投资收益率的标准差是多少,

14. 假设投资者有100万美元，在建立资产组合时有以下两个机会:

a. 无风险资产收益率为 12%/年。

b. 风险资产收益率为30%/年，标准差为40%。 如

果投资者资产组合的标准差为 30%，那么收益率是多

少,

下面的数据可用于第 15至第17题:

H&A公司为多经理管理的 W养老基金管理着 3 000 万美元的股票资产组合。 W养老基金的财务副 主管杰森?琼斯 (Jason Jones) 注意到H&A在W养老基金的六个股票经理人中持

有4年H&A公司管理的资产组合的表现明显优于标续保持着最优的记录。 在过去的5年中

准普尔 500指数，唯一业绩不佳的一 年带来的损失也是微不足道的。

H&A公司是一个“倒行逆施”的管理者。该公司尽量避免在对市场的时机预测上作任何努力，它 把精力主要放在对个股的选择上，而不是对行业好坏的评估上。

六位管理者之间没有明显一致的管理模式。除了 H&A之外，其余的五位经理共计管理着

由 150种

以上的个股组成的2.5亿美元的资产。

琼斯相信H&A可以在股票选择上表现出出众的能力，但是受投资的高度分散化的限制，达不到高 额的收益率。这几年来， H&A公司的资产组合一般包含 40~50 种股票，每种股票占基金的 2% ~3%。 H&A公司之所以在大多数年份里表现还不错的原因在于它每年都可以找到 10到20种获得高额收益率的 股票。

基于以上情况，琼斯向W养老基金委员会提出以下计划:

让我们把H&A公司管理的资产组合限制在 20种股票以内。 H&A公司会对其真正感兴趣的股票投入加倍 的精力，而取消其他股票的投资。如果没有这个新的限制， H&A公司就会像以前那样自由地管理资产组合。 基金委员会的大多数成员都同意琼斯的观点，他们认为 H&A公司确

实表现出了在股票选择上的卓 越能力。但是该建议与以前的实际操作相背离，几个委员对此提出了质疑。请根据上述情

况回答下列

问题。

15. a. 20 种股票的限制会增加还是减少资产组合的风险,请说明理由。

b. H&A公司有没有办法使股票数由 40种减少到20种，而同时又不会对风险造成很大

的影响, 请说明理由。

16. 一名委员在提及琼斯的建议时特别热心。他认为如果把股票数减少到 10种，H&A公

司的业绩将会更好。如果把股票减少到 20种被认为是有利的。试说明为什么减少到 10种反而不那么有利了(假设

W养老基金把H&A公司的资产组合与基金的其他资产组合分开考虑 )。

17. 另一名委员建议，与其把每种资产组合与其他的资产组合独立起来考虑，不如把

H&A公司管 理的资产组合的变动放到整个基金的角度上来考虑会更好。解释这一观点将对

委员会关于把 H&A公司 的股票减至10种还是20种的讨论产生什么影响。

下面的数据可以用于第18到第20题:

股票之间的相关系数如下: Corr(A，B),0.85;Corr(A，C),0.60;Corr(A，D),0.45。

的期望收益率为8%，标准差为20%。 每种股票

18. 如果投资者的全部资产现在由A股票组成，并且只被允许选取另一种股票组成资产

组合，投资 者将会选择(解释投资者的选择):

a. B b. C c. D d. 需要更多的信息

19. 第18题中的回答会使得投资者的风险承受能力更大还是更小,请解释。20. 假设投资者除了可以多投资一种股票外，还可以投资于短期国库券，短期国库券的

收益率为

8%。投资者对第18、第19题的答案会改变吗,

21. 下面哪一种资产组合不属于马克维茨描述的有效率边界,

选择资产组合期望收益(%)标准差(%)

a W 15 36

b X 12 15

c Z 5 7

d Y 9 21 26. A、B、C三种股票具有相同的期望收益率和方差，下表为三种股票收益之间的相

关系数。根 据这些相关系数，风险水平最低的资产组合为:

名称A B C

股票A+1.0

股票B+0.9 +1.0 股票C+0.1 -0.4 +1.0

a. 平均投资于A，B。 b. 平均投资于A，C。 c. 平均投资于B，C。 d. 全部投资于C。

27. A、B、C三种股票的统计数据如下表: 收益标准差

股 票 A B C

收益标准0.40 0.20 0.40

差 收益相关系数

A B C

1.00 0.90 0.50 1.00 0.10

1.00

股 票

A

B

C

仅从表中信息出发，在等量A和B的资产组合和等量B和C的资产组合中作出选择，并给出理由。 下表为第28、第29题中所需的年收益率(10年为基准):

(单位:%) 20 30 40 50 60 70 80 90 1987~ 名 称 ? ? 年代年代 年代 年代 年代 年代 年代 年代1996年 大公司股票 6.98 -1.25 9.11 19.41 7.84 5.90 17.60 7.64 15.30

小公司股票 -1.51 7.28 20.63 19.01 13.72 8.75 12.46 8.05 11.11

长期政府债券 1.57 4.60 3.59 0.26 1.14 6.63 11.50 6.79

9.31 中期政府债券 1.49 3.91 1.70 1.11 3.41 6.11

12.01 5.60 8.23 短期国库券 1.41 0.30

0.37 1.87 3.89 6.29 9.00 2.92 5.48 通货膨胀率

0.40 2.04 5.36 2.22 2.52 7.36 5.10 1.99 --

3.68 ? 1926~1929年。

? 1990~1996年。 资料

来源:表 5-2中的数据。

28. 将上表数据填入电子数据表，计算各类资产收益率和通胀率的序列相关系数，以及和各类资 产之间的相关系数。说明计算数据所揭示的内容。

29. 将表中的10年期收益率转化为年收益率，重复第28题中的计算和分析。

答案:

1. 机会集合的参数为

E(r)=20%，E(r)=12%， =30%， =15%， =0.10 SBSB

根据标准差和相关系数，我们可以推出协方差矩阵 [注意Cov(r，r)= ]:SBS B

债券股票

225 45 债券

45 900 股票

最小方差资产组合可由下列公式推出: 2 2 2 -Cov(B，-2Cov(B，S)]W(S)=[ MinB B

S)]/[ +S

=(22545)/(900+2252×45)=0.173 9--W(B)=0.826 1 Min

最小方差资产组合均值和标准差为:

E(r)=0.173 9 ×20+0.826 1×12=13.39% Min2 2 2 2 1/2 =[W +W +2WWCov(S，B)] Min SSBBSB 221/2 =[0.173 9×900+0.826 1×225+2×0.173 9 ×0.826 1 ×45]=13.92%2.

股票(%)债券(%)预期收益率标准差

0.00 100.00 12.00 15.00 17.39 82.61 13.39 13.92 最小方差

20.00 80.00 13.60 13.94 40.00 60.00 15.20 15.70 45.16 54.84 15.61 16.54 切线资产组合

60.00 40.00 16.80 19.53 80.00 20.00 18.40 24.48 100.00 0.00 20.00 30.00 3.

投资机会集 CML 切点 风险资产 的有效边界

最小方差

E(r) 13.4% 13.9% 图形近似点:最小方差资产组合

15.6% 16.5% 切线资产组合

4. 最优风险资产组合中的股票的比例由下式给出: 2 2 2W={[E(r)-r] -[E(r)-r]Cov(B, S)}/{[E(r)-r] +[E(r)-r] -[E(r)-r+ SSfBBfSfBBfSSf

E(r)r] Cov( B, S)} -Bf

=[(208)225(128)45]/{(208)225+(128)900[208+128]45}=0.451 6 --------W=0.548 4 最优风险资产组合的均值和B

标准差为: E(r)=0.4516×20+0.548 4p

×12=15.61% 221/2=[0.451 6×900+0.548 4×225+2×0.451 6 ×0.548 4 ×45]=16.54% p

5. 最优资本配置线的酬报与波动性比率为

[E(r)-r]/ =(15.61-8)/16.54=0.460 1 pfp

6. a. 如果你要求你的资产组合的平均收益率为 14%，你可以从最优资本配置线上找到相应的标

准 差。资本配置线的公式为:

E(r)=r+{[E(r)r]/ } =8+0.460 1 - Cf pfpCC

令E(r)等于14%，可以求出最优资产组合的标准差为 13.04%。 C

b. 要求出投资于国库券的比例，我们记得整个资产组合的均值为 14%，是国库券利率和股票与

债券的最优组合 P的平均值。让y表示该资产组合的比例，在最优资本配置线上的任意资产组

合的均值为:

y)r+yE(r)=r+y[E(r)r]=8+y(15.618) E(r)=(l---Cfpfpf

令E(r)=14%，可求出:y=0.7884，1y=0.211 6，即国库券的比例。 要求出我们对每种基金-C

4乘以最优风险性资产组合中的股票和债券的 比例: 投资的比例，我们用 0.788

整个资产组合中股票的比例=0.788 4 ×0.451 6=0.356 0

整个资产组合中债券的比例=0.788 4 ×0.548 4=0.432 4

7. 仅用股票基金和债券基金来构造均值为 14%的资产组合，我们必须求出投资于股票基金的适

例w，而w=1w即投资于债券基金的比例。资产组合的均值为: 当 比-SBS

14=20w+12(1-w)=12+8w有:w=0.25SSS S2因此，投资比例分别为25%投资于股票，75%投资于债券。资产组合的标准差为: =(0.25×p21/2900+0.75×225+2×0.25×0.75×45)=14.13%。 与用国库券和最优资产组合构造的资产组合的

13.04%的标准差相比，这一结果是相当大的了。

8. 在没有机会借钱的情况下，你想构建一个均值为 24%的资产组合。因为这超过了股票的 20%的 均值，你必须卖空债券，债券的均值为 12%，使用卖空收入来买入额外的股票。在下图中的 Q点即是你 的风险性资产组合的图形表示。 无风险资产机会集 Q

P

标准差(%)

投资机会集

R Q CML

切点风险资产 的有效边界

最小方差

表示股票的比重， 1w表示债券的比重，则有: 点Q是均值为24%的股票/债券组合。用w-SS

24=20×w+12×(1-w)=12+8w SSs

w=1.50，1w=0.50 --SS

因此，你必须卖空等于你全部资金的 50%数量的债券，并将是你全部资金的 1.50倍的资金投资于 股票。该资产组合的标准差为: 221/2=[1.50×900+(-0.50)×225+2×(1.50)×(-0.50)×45]=44.87% Q

如果你允许以8%的无风险利率借钱，达到24%的目标的方法就是，将你的资金100% 地投资于最优 风险性资产组合，即在下图中，投资点从资本配置线上向外移动至右边的 P点，向上到R点。

R是最优资本配置线上的点，其均值为 2 4 %。使用最优资本配置线的公式可以求出相应的标

准

差: E(r)=8+0.460 1 =24 CC

令E(r)=24，有: =34.78%，这要比你不能以 8%的无风险利率借款情况下的标准差 44.87%要小CC

得多。

在最优资本配置线上的 R点的资产组合的组成是怎样的呢,在资本配置线上任意一资产组合的均 值为:

E(r)=r+y[E(r)-r] Cfpf

这里y是投资与最优风险性资产组合P的比例，r是该资产组合的均值，等于15.61%。 p

24=8+y(15.618) -

y=2.102 5

这意味着你在资产组合P中每投入1美元自有资金，你将再另外借入1.102 5美元，并将其也投入到 资产组合P中。

9. a.

最优CAL 股票

P

黄金

标准差(%) 即便看起来股票要优于黄金，黄金仍然是一种极富吸引力的资产，可以作为资产组合的一部分来持有。如果黄金和股票之间的相关性足够低，它将被作为资产组合—最优切线资产组合中的一个元 素持有。

b. 如果黄金与股票的相关系数为+1，则不持有黄金。最优的资本配置线将由国库券和股票构成。

因为股票和黄金的组合的风险 /收益集合将画出一条负斜率的直线 (见下图)，则股票资产组合

将优于它们。当然，这种情况不会永远持续下去。如果没有人想要黄金，则金价会下跌，它

的预期收益率就会上升，直至它成为一种富于吸引力的值得持有的资产。

股票

黄金

r f

标准差(%) 10. 因为A和B完全负相关，所以可以构建一个无风险的资产组合，它的收益率在均衡条件下等

于 无风险利率。要求出该资产组合的构成比例 (w投资于A，w=1w投资于B)，令标准差等于零。-ABA

由于 完全负相关，资产组合的标准差简化为

=Abs[ww] -pA AB B

0=5w10(1w) --AA

w=0.666 7 A

该无风险资产组合的预期收益率为:

E(r)=0.666 7×10+0.333 3×15=11.67%

因此，无风险利率也应该是11.67%。

11. 错。如果借款利率不等于贷款利率，则视个人的偏好而定 (也就是他们的无差异曲线)，借款者 和贷款者可能有不同的最优风险资产组合。

12. 错。资产组合的标准差等于各构成成分的标准差的加权平均值只有在所有资产都完全正相关 的特殊情况下才成立。否则，如资产组合的标准差公式所示，资产组合的标准差要小于其构成成分的 各资产的标准差的加权平均值。资产组合的方差则是协方差矩阵中各元素的加权和，权重为资产组合 中所占的比例。

13. 概率分布为 概率 收益率(%)

0.7 100

0.3 50 -

均值=0.7×100+0.3×(-50)=55% 方差=0.722×(100-55)+0.3×(-50-55)=472 5 标准差1/2=4 725 =68.74%

14. =30=y p

=40y y=0.75

E(r)=12+0.75(3012)=25.5% -p

15. a. 将资产组合限制在 20种股票而不是 40~50种股票将增加资产组合的风险，但是可能增加得

并不多。如果，例如， 50种股票都有相同的标准差 ，且两两之间的相关性都相同，即2相 关系数 相同(两两之间的协方差为 )，则一个等权数的资产组合的方差为 (见附录

8A， 式8A-4):

2 22=(1/n) +[(n+1)/n] p

22比 小，但是第一项 第二项中 n的减少造成的影响可能相当小 (因为49/50接近于19/20，且

的字母系数为20而不是50。例如，如果 =45%且 =0.2，则50只股票的标准差为20.91%，当仅

有20只股票时，标准差将上升到 22.05%。如果预期收益率增长得足够多，这个增长是可以接

受的。

0种股票，以相当的分散性来控制风险的上升， b. H&A公司可以通过确保它在其资产组合中的 2

这要求在剩余的股票间维持一较低的相关性。例如，在 (a)部分中， =0.2，资产组合风险的 增

长是很小的。在实际中，这意味着 H&A公司需要将其资产组合分散到很多个行业上;仅 仅

集中在少数一些行业将会导致被囊括进来的股票间具有较高的相关性。

16. 由于分散化而减少风险的收益不是资产组合中证券数量的线形函数。相反，来自新增的分散化 的边际收益在你求最小分散化时是最重要的。将 H&A公司的投资限制在10种而不是20种，使得它的资 产组合增加的风险，要比从30种降为20种大得多。在我们的例子中，将股票数量限制在10种将使标准差 增加到23.81%。从20种股票变为10种股票导致的标准差1.76%的增长要大于从50种股票变为30种而导致 的1.14%的标准差的增长。

17. 这一点很有意义，因为委员会会考虑整个资产组合的波动性。因为 H&A公司的资产组合仅仅 是6个充分分散化的资产组合中的一个且小于平均值，集中于少数几种证券对于整个基金的影响是很 小的。因此，让它去做股票选择工作可能更有利。

18. c. 直觉上，我们注意到既然所有的股票都有相同的预期收益率和标准差，我们希望选择可

以 使风险最小的股票。即与股票A的相关性最小的股票。

更一般地说，我们注意到当所有的股票有相同的预期收益率时，对任一风险厌恶投资者的最优资 产组合是整个方差最小的资产组合 (G)。当限制在A和另一种股票之间时，目标即为找到包含 A的任意 两种股票组合的G，选择具有最小方差的那一个。两种股票， I和J，在G中的权重为: 2 2 2 w(I)=[ -Cov(I，J)]/[ -2Cov(I，J )]MinJ I J

+

w(J)=1w(I) 因为所有的标-MinMin

准差都等于20%， Cov(I，J)= I

=400 w(I)=w(J)=0.5 J MinMin

直觉的结果是有效组合边界定理的应用，也就是整体方差最小的资产组合与其他任何处于有效组 合边界上的资产的协方差都相同且等于它自身的方差 (否则，增加分散化将进一步减少方差 )。在这种 情况下，G(I，J)的标准差简化为: 1/2 (G)=[200(1+ (I，J)]Min

这使我们直接地推出了直觉的结果，即理想的加入股票是与 A的协方差最小的股票，也就是 D。 最优的资产组合比例是等比例地投资于 A和D，而标准差为17.03%。

19. 不变，至少只要他们不是风险偏好者。风险中性投资者不会在乎他们所持有的资产组合，因 为所有的资产组合的收益率都是8%。

20. 不变。当收益率为8%时，风险资产处在有效边界上。因此，最优资本配置线从无风险利率到

G。这里最好的G也具有最小的方差。和通常一样，最优的整体资产组合视风险厌恶程度而定。

21. d。资产组合Y是无效率的。因为另一种资产组合要优于它。例如，资产组合 X就有更高的预期 收益率和更低的标准差。

27. 我们不知道预期收益是多少，因此我们只考虑减少波动性。资产组合 C和A有相等的标准差， 但是组合C和组合B的协方差比组合A和组合B的协方差要小，因此由 C和B组成的资产组合的总体风险 要小于由A和B组成的资产组合。

28. 重新排表(将行变为列)，计算相关系数，得下表。

名义利率

年代 国库券 通胀 大公司 小公司 长期公司 长期政府 中期政府

股票 股票 债券 债券 债券

20 6.98% 1.51% 2.05% 1.57% 1.49% 1.41% 0.40% --30 1.25% 7.28% 6.95% 4.60% 3.91% 0.30% 2.04% --40 9.11% 20.63% 2.70% 3.59% 1.70% 0.37% 5.36% 50 19.41% 19.01% 1.02% 0.26% 1.11% 1.87% 2.22% 60 7.84% 13.72% 1.69% 1.14% 3.41% 3.89% 2.52% 70 5.90% 8.75% 6.21% 6.63% 6.11% 6.29% 7.36% 80 17.60% 12.46% 13.03% 11.50% 12.01% 9.00% 5.10% 90 7.64% 8.05% 6.58% 6.79% 5.60% 2.92% 1.99% 相关系数-0.091 0.37 0.29 0.47 0.43 0.55 0.15 例如:要计算多年来的名义利率和大公司股票收益的序列相关性，我们建立起以下两列:

年代各个10年(%)前10年(%)

30 1.25 6.98 -

40 9.11 1.25 -

50 19.41 9.11

60 7.84 19.41

70 5.90 7.84

80 17.60 5.90

90 7.64 17.60 使用电子表格的相关性方程求得序列相关性为 0.091。 -

注意每个相关系数都仅以 7个观测值为基础，因此我们不能真正得出统计上的确切结论。但

是， 从数字上看，除大公司股票 (标准普尔500)外，存在着持续的序列相关。这一结论在我们转入下

一题的 有关实际利率的讨论时会有所改变。

29. 实际利率表(利用10年平均名义利率减去 10年平均通胀率的近似值得出)为:

实际利

率 大公司小公司长期公司长期政府中期政府国库券年代 股票 股票 债券 债券 债券 20 7.37% 1.11% 2.45% 1.97% 1.89% 1.81% -

30 0.79% 9.31% 8.99% 6.64% 5.95% 2.34% 40 3.75% 15.27% 2.66% 1.77% 3.66% 4.99% ----50 17.19% 16.78% -1.20% -1.97% -1.11% -0.35% 60 5.33% 11.21% 0.83% 1.38% 0.89% 1.37% --

70 -1.46% 1.39% -1.15% -0.73% -1.25% -1.07% 80 12.50% 7.36% 7.94% 6.41% 6.91% 3.90% 90 5.65% 6.07% 4.59% 4.81% 3.62% 0.93% 相关系数 -0.29 0.00 0.21 -0.08 -0.18 -0.18 10年期名义收益率之间正的序列相关消失，且表现为实际利率的不相关。 10年期的序列 (尽管

对 于任何决定性的结论而言实在太短)表明实际利率在各个10年期之间是独立的。

范文二：最优风险资产的风险组合

最优风险资产的风险组合 8.1 分散化与资产组合风险

分散化（diversification）：投资者如果不是进行单一证券的投资，而是投资于由两种以上证券构成的投资组合。如果构成投资组合的证券不是完全正相关，那么投资组合就会降低风险，

在最充分分散条件下还保存的风险是市场风险（market risk）,它源于与市场有关的因素，这种风险亦称为系统风险（systematic risk）,或不可分散风险（nondiversifiable risk）。相反，那些可被分散化消除的风险被称为独特风险(unique risk)、特定公司风险(firm-specific risk)、非系统风险(nonsystematic risk)或可分散风险(diversifiable risk)

资产组合中股票的个数

8.2 两种风险资产的资产组合

两种资产的资产组合较易于分析，它们体现的原则与思考可以适用于多种资产的资产组合，我们将考察包括的资产组合，一个为只投资于长期债券的资产组合D，另一个专门投资于股权证券的股票基金E，两个共同基金的数据列表（8-1）如下：

债券 股权 标准差为σ（%） 12 20 协方差Cov(rD, rE) 72 相关系数ρ

DE

0.3

投资于债券基金的份额为wD ,剩下的部分为wE=1- wD 投资于股票基金，这一资产组合的投资收益rp 为： rp=wDrD,+ wErE

rD为债券基金收益率 rE为股权基金的收益率。 资产组合的期望收益：E(rp)=wDE(rD)+ wEE(rE) 两资产的资产组合的方差： σCov(rD,rE)

根据第六章式[6-5]得：ρDE=[Cov(r rD, rE)]/[ σD*σE] Cov(r rD, rE)= ρDE*σD*σ

所以：σ

当完全正相关时：ρDE=1 σσE）

2

2P

2

2

2

2

2

P

E

2P

=WDσD+ WEσE+2WDWE

2222

=WDσD+ WEσE+2WDWEρDE*σD*σE

=WDσD+ WEσE+2WDWE*σD*σE=（WDσD+ WE

2222

资产组合的标准差 σP =WDσD+ WEσ当完全负相关时：ρDE=-1 σσE）

2

2P

E

=WDσD- WEσE+2WDWE*σD*σE=（WDσD- WE

2222

资产组合的标准差σP =︱WDσD- WEσE︱

当完全负相关时：ρDE=-1 则WDσD- WEσE=0 因为 wE=1- wD 两式建立联立方程

得

运用表（8-1）中的债券与股票数据得：

E(rp)=wDE(rD)+ wEE(rE)= 8wD+ 13wE

σ

22P

=WDσD+ WEσE+2WDWEρDE*σD*σ

2

2

2

2222

E

=12 WD+ 20WE+2*12*20*0.3*WDWE =144 WD+400 WE+144 WDWE

20 18.03996 16.179 14.45545 12.9244 11.6619 10.7629 10.32279

10.4 10.98362

12

20

20

2

2

0 1

13

20 16.8 13.6 10.4 7.2 4 0.8 2.4 5.6 8.8 12

0.1 0.9 12.5 0.2 0.8

12

18.39565 19.2 16.87602 18.4 15.46609 17.6 14.19859 16.8 13.11488

16

0.3 0.7 11.5 0.4 0.6

11

0.5 0.5 10.5 0.6 0.4 0.7 0.3 0.8 0.2 0.9 0.1 1 0

10 9.5 9 8.5 8

12.26377 15.2 11.69615 14.4 11.45426 13.6 11.55855 12.8

12

12

图8-3中，当债券的投资比例从0-1（股权投资从1-0）时，资产组合的期望收益率从13%（股票的收益率）下降到8%（债券的收益率）

1.0 0 -1.0 债券

如果wD〉1， wE〈0时，此时的资产组合策略是做一股权基金空头，并把所得到的资金投入到债券基金。这将降低资产组合的期望收益率。如wD=2和wE=-1时，资产组合的期望收益率为 2*8+（-1）*13=3%

如果wD〈0， wE〉1时，此时的资产组合策略是做一债券基金空头，并把所得到的资金投入到股权基金。

如wD=-1和wE=2时，资产组合的期望收益率为 -1*8+2*13=16%

改变投资比例会影响资产组合的标准差。根据表（8-3），及

公式（8-5）和资产组合的相关系数分别假定为0.3及其它ρ计算出的不同权重下的标准差。下图显示了标准差和资产组合权重的关系。当ρ

DE=0.3

的实线，当股权投资比例从0增加到1时，

资产组合的标准差首先因分散投资而下降，但随后上升，因为资产组合中股权先是增加，然后全部投资于股权。

那种资产组合的标准差的最小水平时可接受的？通过计算机电子表格求得准确解

WMIN(D)=0.82 WMIN(E)=0.18 σ

MIN

=11.45%

股票基金权重 资产组合标准差是投资比例的函数

准差是投资比例的函数，这条线经过wD=1和wE=1两个（两点）非分散化的资

产组合。

当ρ=1时，标准差是组合中各资产标准差的简单加权平均值，直线连接非分散化下的全部是债券或全部是股票的资产组合，即wD=1或wE=1，表示资产组合中的资产完全正相关。

险就越低，最小的标准差为10.29%，低于组合中各个资产的标准差（见表8-1）。

WD=σE/（σD+ σE） =0.625 wE=σD/（σD+ σE）=0.375 σ

图8-5。对于任一对投资比例为wD，wE的资产，我们可以从图8-3得到期望收益率；从图8-4中得到标准差。

14

13

11

10 8 5

8-5 资产组合的期望收益是标准差的函数

MIN

=0

图8-5中的曲线；当ρ=-0.3时的资产组合机会集合（Portfolio opportunity

set）.我们称它为资产组合机会集合是因为它显示了有两种有关资产构造的所有资产组合的期望收益与标准差。其他线段显示的是在其他相关系数值下资产组合的机会集合

散化没有益处

得最大利益

供了一个完全对冲的机会，此时从分散化中可以获得最大的利益。并构造了一个零方差的资产组合

8.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置

上节内容主要讨论了如何在股票、债券市场进行资金配置，在此基础上，我们引入第三种选择—无风险的资产组合。对股票、债券与无风险货币市场证券之间的配置。

最优风险资产组合：两种风险资产和一种无风险资产

根据表8-1 第一条可能的资本配置线通过最小方差的资产组合A,（债券与股票）即由WMIN(D)=0.82 WMIN(E)=0.18 组成 σ

MIN

=11.45%。资产组合A期望

收益率为：0.82*8+0.18*13=8.9% 由于国库券利率为5%，报酬与波动性比率（REWARD-TO-VARIABILITY RATIO）, 资本配置线(CAL),表示投资者的所有可行的风险收益组合。它的斜率S，等于选择资产组合每增加一单位标准差上升的期望收益，即资本配置线的斜率为：

SA=[E(rA)-rf]/ σA=(8.9-5)/11.5=0.34 第二条可能的资本配置线通过最小方差的资产组合B,即由WMIN(D)=0.7 WMIN(E)=0.3 组成σ

MIN

=11.7%。资产组合B期望收益率为：

0.7*8+0.3*13=9.5% 由于国库券利率为5%，报酬与波动性比例（REWARD-TO-VARIABILITY RATIO）,即资本配置线的斜率为：

SA=[E(rB)-rf]/ σB=(9.5-5)/11.7=0.38 对图8-6 可理解为，由两条资本配置线，求得的望收益率与最小方差，在其相关系数值下资产组合的机会集合中，在图中找到A,B两点；我们让资本配置线变动，最终使它的斜率与投资机会集合的斜率一致，从而，获得具有最高的、可行的报酬与波动性比率的资本配置线。相切的资产组合P（见图8-7）就是加入

国库券的最优风险资产组合。E(rp)=11%，σP=14.2%

14

13

11

10 8 5

8-6 债务与股权基金的机会集合和两条可行的资本配置线

18

11 8

4 0

8-7 最优资本配置线的债务与股权基金的机会集合

与最优风险资产组合

如何解决两种风险资产和一种无风险资产的组合问题的通用方法：

在这种情况下，关键是推导出关于最优组合各项资产权重，从而使确定最优化资产组合

思路：找出权重wD和wE，以使资本配置线的斜率最大即Sp=[E(rP)-rf]/σp

对于包含两种风险资产的资产组合P，它的期望收益和标准差为

E(rp)=wDE(rD)+ wEE(rE) σ

σE

σP = WDσD+ WEσE+2 wD wE Cov(rD,

rE)

=122

20WE+2*12*20*0.3*WDWE

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

=Wσ+ WσP DDEE+2WDWEρDE*σD*

WD2+

=144 WD+400 W+2*72 WDWE

wD+wE=1

在共有两种风险资产的条件下，最优风险资产组合（optimal risky portfolio）P 的权重可表示如下：（对以上方程联立求得） Max Sp=[E(rp)-rf]/ σp

MaxSp?

E(rp)?rf

2

2

E

p

因为?Wi?1，则有，

?

wDE(rD)?(1?wD)?rf

222[wD?D?(1?wD)2?E?2wD(1?wD)Cov(rD,rE)]

用wD对Sp 求导 wE，令导数位零：，解wD

2

[E(rD)?rf]?E?[E(rE?rf)]Cov(rD,rE)

22

[E(rD)?rf]?E?[E(rE)?rf]?D?[E(rD)?E(rE)?2rf]Cov(rD,rE)

wD?

wE=1-wD

把数带进去得：wD=0.4 wE=0.6

从而，求得： E(rp)=wDE(rD)+ wEE(rE)=11%

σP =（WDσD+ WEσE+2WDWEρDE*σD*σE）

=14.2%

这个最优风险资产组合的资本配置线的斜率为：Sp=0.42 该斜率大于任一可能的其它资产组合的斜率。因此它是最优风险资产组合的资本配置线的斜率。

在第七章中，在给定最优风险资产组合和有这个资产组合与国库券产生的资产配置线下，我们找到了一个最优的完整资产组合。我们以构造了一个最优风险资产组合P，如果我们用一个个人的投资风险厌恶程度A来计算投资于完整资产组合的风险部分的

2

2

2

2

1/2

最优比例。

一个风险厌恶相关系数A=4的投资者，他在资产组合P中的投资头寸为

y?E(rp)?rf

20.01?A?P?11?5?0.7439 0.01?4?14.22

因此，投资者将74。39%的财产投资于资产组合P, 25.61%的资产投资于国库券。资产组合P中包括40%的债券，债券所占比例Wd=0.4*0.7439=29.76%;股票权重We=0.6*0.7439=44.63%

范文三：第8章最优风险资产组合

第8章 最优风险资产组合

A. 多项选择题

难度等级：E =简单；M =中等；D =偏难。

8.1 市场风险也可解释为___。( E )

a. 系统风险，可分散化的风险

b. 系统风险，不可分散化的风险

c. 个别风险，不可分散化的风险

d. 个别风险，可分散化的风险

e. 以上各项均不准确

8.2 贝塔是用以测度_____。( E )

a. 公司特殊的风险

b. 可分散化的风险

c. 市场风险

d. 个别风险

e. 以上各项均不准确

8.3 可分散化的风险是指____。( E )

a. 公司特殊的风险

b. 贝塔

c. 系统风险

d. 市场风险

e. 以上各项均不准确

8.4 有风险资产组合的方差是_____。( M )

a. 组合中各个证券方差的加权和

b. 组合中各个证券方差的和

c. 组合中各个证券方差和协方差的加权和

d. 组合中各个证券协方差的加权和

e. 以上各项均不准确

8.5 当其他条件相同，分散化投资在那种情况下最有效？( M )

a. 组成证券的收益不相关

b. 组成证券的收益正相关

c. 组成证券的收益很高

d. 组成证券的收益负相关

e. b和c

8.6 风险资产的有效边界是______。( M )

a. 在最小方差资产组合之上的投资机会

b. 代表最高的收益/方差比的投资机会

c. 具有最小标准差的投资机会

d. 具有零标准差的投资机会

e. a和b 都正确

8.7 根据一种无风险资产和N 种有风险资产作出的资本市场线是____。a. 连接无风险利率和风险资产组合最小方差两点的线

b. 连接无风险利率和有效边界上预期收益最高的风险资产组合的线

c. 通过无风险利率那点和风险资产组合有效边界相切的线 ( M )

d. 通过无风险利率的水平线

e. 以上各项均不准确

8.8 假设有两种收益完全负相关的证券组成的资产组合，那么最小方差资产组合的标准差为一个_____的常数。( D )

a. 大于零

b. 等于零

c. 等于两种证券标准差的和

d. 等于1

e. 以上各项均不准确

8.9 考虑两种有风险证券组成资产组合的方差，下列哪种说法是正确的？( M ) a. 证券的相关系数越高，资产组合的方差减小得越多

b. 证券的相关系数与资产组合的方差直接相关

c. 资产组合方差减小的程度依赖于证券的相关性

d. a和b

e. a和c

8.10 N 种风险证券组合的有效组合______。( M )

a. 由收益率最高的证券组成，不考虑它们的标准差

b. 对给定风险水平有最高的预期收益率

c. 由最低标准差的证券组成，不考虑它们的收益率

d. 有最高风险和收益率

e. 无法确定

8 . 11 从资本市场线上选择资产组合，下列哪些说法正确？( M )

a. 风险厌恶程度低的投资者将比一般风险厌恶者较多投资于无风险资产，较少投资于风险资产的最优组合

b. 风险厌恶程度高的投资者将比一般风险厌恶者较多投资于无风险资产，较少投资于风险资产的最优组合

c. 投资者选择能使他们的期望效用最大的投资组合

d. a和c

e. b和c

使用下列信息回答第1 2 ~ 1 8题。

股票A 和股票B 的概率分布如下：

8.12 A 股票的期望收益率为____，B 股票的期望收益率为_____。( E ) a. 13.2%，9%

b. 14%，10%

c. 13.2%，7.7%

d. 7.7%，13.2%

e. 以上各项均不准确

8.13 A 股票的标准差为____，B 股票的标准差为____。( M )

a. 1.5%，1.9%

b. 2.5%，1.1%

c. 3.2%，2.0%

d. 1.5%，1.1%

e. 以上各项均不准确

8.14 A 股票和B 股票的协方差是多少？( D )

a. 0.46

b. 0.60

c. 0.58

d. 1.20

e. 以上各项均不准确

8.15 如果你将投资的4 0%购买股票A ，60%用于购买股票B ，那么这个资产组合的期望收益率为_____，它的标准差将是____。( M )

a. 9.9%，3%

b. 9.9%，1.1%

c. 11%，1.1%

d. 11%，3%

e. 以上各项均不准确

8.16 假设有最小方差资产组合G ，股票A 和股票B 在资产组合G 中的权重分别为多少？( D )

a. 0.40，0.60

b. 0.66，0.34

c. 0.34，0.66

d. 0.76，0.24

e. 0.24，0.76

8.17 假设有最小方差资产组合G ，则它的期望收益率和标准差分别为多少？ ( M )

a. 10%，1.05%

b. 9%，2%

c. 10%，3%

d. 9%，1.05%

e. 以上各项均不准确

8.18 以下资产组合哪些在有效边界上？( D )

a. 20%股票A ，80%股票B

b. 15%股票A ，85%股票B

c. 26%股票A ，74%股票B

d. 10%股票A ，90%股票B

e. a和b 都在有效边界上使用以下信息回答第1 9 ~ 2 1题。

考虑两种完全负相关的风险证券A 和B 。A 的期望收益率为10%，标准差为16%。B 的期望收益率为8%，标准差为12%。

8.19 股票A 和股票B 在最小方差资产组合中的权重分别为多少？ ( M ) a. 0.24，0.76

b. 0.50，0.50

c. 0.57，0.43

d. 0.43，0.57

e. 0.76，0.24

8.20 用这两种证券组合成的无风险投资组合的收益率将为____。( D ) a. 8.5%

b. 9.0%

c. 8.9%

d. 9.9%

e. 以上各项均不准确

8.21 以下投资组合哪些是最有效的？ ( D )

a. 45%投入A ，55%投入B

b. 65%投入A ，35%投入B

c. 35%投入A ，65%投入B

d. a和b 同样有效

e. a和c 同样有效

8.22 一位投资者希望构造一个资产组合，并且资产组合的位置在资本配置线上最优风险资产组合的右边，那么______。( M )

a. 以无风险利率贷出部分资金，剩余资金投入最优风险资产组合

b. 以无风险利率借入部分资金，剩余资金投入最优风险资产组合

c. 只投资风险资产第二部分资产组合理论d. 不可能有这样的资产组合

e. 以上各项均不准确

8.23 按照马克维茨的描述，下面的资产组合中哪个不会落在有效边界上？( M

)

a. 只有资产组合W 不会落在有效边界上

b. 只有资产组合X 不会落在有效边界上

c. 只有资产组合Y 不会落在有效边界上

d. 只有资产组合Z 不会落在有效边界上

e. 无法判断

8.24 马克维茨的资产组合理论最主要的内容是_____。( M )

a. 系统风险可消除

b. 资产组合分散风险的作用

c. 非系统风险的识别

d. 以提高收益为目的的积极的资产组合管理

e. 以上各项均不准确

8.25 马克维茨提出的有效边界理论中，风险的测度是通过_____进行的。( M ) a. 个别风险

b. 收益的标准差

c. 再投资风险

d. 贝塔

e. 以上各项均不准确

8.26 用来测度两项风险资产的收益是否同向变动的统计量是_____。( M ) a. 方差

b. 标准差

c. 协方差

d. 相关系数

e. c和d

8.27 某只股票的非系统风险______。( M )

a. 在一个成长中的市场中会较高

b. 是由这家公司特有的因素决定的

c. 依赖于市场变动率

d. 不能通过分散化消除

e. 以上各项均不准确

8.28 有关资产组合分散化，下面哪些论断是正确的？( M )

a. 正确的分散化投资可以减少或消除系统风险

b. 只有在资产组合中有10 ~ 15只以上证券时，分散化投资降低风险的效果才比较明显

c. 因为分散化投资降低了资产组合整体风险，它必然也会减少组合的收益率 d. 一般来说，当更多的股票加入资产组合中时，整体风险降低的速度会越来越慢 e. 以上各项均不准确

8.29 最优资产组合____。( M )

a. 是无差异曲线和资本配置线的切点

b. 是投资机会中收益方差比最高的那点

c. 是投资机会与资本配置线的切点

d. 是无差异曲线上收益方差比最高的那点

e. 以上各项均不准确

8.30 对一个两只股票的资产组合，它们之间的相关系数是多少为最好？( D ) a. +1.00

b. +0.50

c. 0.00

d.-1.00

e. 以上各项均不准确

8.31 对一个两只股票的最小方差资产组合，两只股票的相关系数大于-1.00，____。( D )

a. 标准差大的股票权重高

b. 标准差大的股票权重低

c. 两只股票权重相等

d. 是无风险的

e. 收益率将为零

8.32 CAPM模型最简单的形式中______。( M )

a. 假设借贷利率相等

b. 禁止借入资金

c. 假设借款利率高于贷款利率

d. 用无风险利率代替借贷利率

e. a和d

8.33 为更接近现实生活，C A P M模型只需要_____。( M )

a. 引入不同的借款和贷款利率

b. 允许对非系统风险定价

c. 假设投资者不会利用保证金

d. a、b

e. a、c

8.34 近年来，为使投资者投资美国蓝筹股的资产组合达到风险分散最大化，出现的投资工具有_____。( M )

a. 欧洲蓝筹股

b. 欧洲小公司

c. 黄金股票

d. a 、b

e. a、c

8.35 根据布林森( B r i n s o n )、辛格( S i n g e r )和毕鲍尔( B e e b o w e r )在1991年作的研究， 90%以上的资产收益率来自____。( M ) a. 证券选择

b. 资产配置

c. 好的管理

d. 市场时机选择

e. 以上各项均不准确

8.36 下面哪个不是系统风险的来源？ ( E )

a. 经济周期

b. 利率

c. 人事变动

d. 通货膨胀率

e. 汇率

8.37 如果由两只风险证券组成的最小方差资产组合风险为零，那么这两只证券之间的相关系数为______。( M )

a. 0

b. 1.0

c. 0.5

d. -1.0

e. 要看它们的标准差

8.38 证券X 期望收益率为1 2%，标准差为20%。证券Y 期望收益率为15%，标准差为2 7%。如果两只证券的相关系数为0.7，它们的协方差是多少？( M ) a. 0.038

b. 0.070

c. 0.018

d. 0.013

e. 0.054

8.39 如果两只证券正相关，但不是完全正相关，那么它们组成的资产组合____。( M )

a. 的标准差要大于单个证券标准差的加权值

b. 的标准差要小于单个证券标准差的加权值

c. 的标准差要等于单个证券标准差的加权值

e. 的标准差等于两只证券的协方差

f. e. 以上各项均不准确

8.40 由两只证券组合成的所有可能的资产组合，它们的期望收益率和标准差组成的直线是_____。( E )

a. 风险收益替代线

b. 资本配置线

c. 有效边界

d. 资产组合集

e. 证券市场线

8.41 假设无风险利率为6%，最优风险资产组合的期望收益率为1 4%，标准差为2 2%，资本配置线的斜率是多少？( M )

a. 0.64

b. 0.14

c. 0.08

d. 0.33

e. 0.36

B. 讨论/简要回答问题

难度等级：E =简单；M =中等；D =偏难。

1. 理论上讲，一个资产组合的标准差可以降到什么程度？具体说明在实际中，一个资产组合的标准差可以降到这个程度吗？请具体解释。( M )

2. 解释应用分离理论和效用理论，投资者怎样构造自己风险承受能力范围内的有效资产组合？( M )

3. 应该怎样理解CAPM 模型中对风险-收益线形关系的描述是不现实的；支持线形关系的假设条件是否可以放松，使这个模型更加接近现实。( M )

范文四：3第三讲最优风险资产组合

第三讲

最优风险资产组合

投资决策

?投资决策可以看做为自上而下的过程

?资本配置：风险资产与无风险资产之间的资本配置?资产配置：各类风险资产间的配置

?证券选择：每类资产内部的证券选择

分散化与组合风险

?市场风险

?系统性风险或不可分散风险

?公司特有风险

?可分散风险或非系统风险

组合风险关于股票数量的函数

组合分散化：应用纽约证券交易所股票数据

协方差和相关性

?投资组合的风险取决于投资组合中各资产收益率的相关性协方差和相关系数提供了衡量两种资产收益变化的方式?

两个资产构成的资产组合: 收益与方差?组合的收益率

rp?wDrD?wErE

?组合的期望收益

E(rp)?wDE(rD)?wEE(rE)?组合的方差

??w??w??2wDwECov(rD,rE)2

p2D2D2E2E

协方差与相关系数

?协方差

Cov(rD,rE)??DE?D?E?相关系数：可能的值

?1.0????1.0

?如果ρ= + 1.0，资产间完全正相关如果ρ= -1.0，资产间完全负相关?

相关系数?当ρDE= +1，不受相关性影响?当?p?wD?D?wE?EDE= -1，可完全对冲

?2?(w2pD?D?wE?E)wD?D?wE?E?0w?D??D??w?E

D

E???1?wD

D??Eρ

组合方差的计算

组合期望收益关于投资比例的函数

组合标准差关于投资比例的函数

最小方差组合

?最小方差组合由具有最小标准差的风险资产组成，这一组合的风险最低

?当相关系数小于+1时，资产组合的标准差可能小于任何单个组合资产

?当相关系数是-1时，最小方差组合的标准差是0

组合期望收益关于标准差的函数

相关效应

?资产相关性越小，分散化就更有效，组合风险也就越低随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性也在增大??如果r = +1.0，不会分散任何风险

如果r = 0，σP可能低于任何一个资产的标准差如果r = -1.0，可以出现完全对冲的情况??

债券和股票基金的投资可行集和两条资本配置线

夏普比率

?使资本组合P的资本配置线的斜率最大化斜率的目标方程是?

SP?

?E(rP)?rf?P这个斜率就是夏普比率

计算最优风险组合P

?对于两个风险资产的组合P，期望收益和标准差为

E(rp)?wDE(rD)?wEE(rE)

?p?(w??w??2wDwECov(rD,rE))?2D2D2E2E1/2需解以下问题

maxSP?wi

?E(rP)?rf最优风险组合的解?Ps..t2

2

D?w?1iE(R)??E(R)Cov(R,R)wD?2E(RD)?E?E(RE)??(E(RD)?E(RE))Cov(RD,RE)

wE?1?wD

债券和股票基金的投资可行集、最优资本配置线和最优风险资产组合

决定最优组合

最优组合的成分

构造整个组合的步骤

?确定所有证券的特征（期望收益率、方差、协方差）建立风险资产组合

??计算最优风险组合P

在此基础上计算组合P的期望收益和标准差?

?在风险资产和无风险资产之间配置资金?计算投资风险资产组合P的比例

计算整个组合中各资产的比例?

马科维茨资产组合选择模型

?证券选择（多个风险资产和一个无风险资产的情况）?第一步，确定风险资产的最小方差边界?第二步，确定无风险资产下的最优风险资产组合?第三步，确定最优风险资产组合和无风险资产一定比例的最终组合

风险组合组合边界

?马科维茨资产组合选择模型是组合管理的第一步：确认有效的组合集，即风险资产有效边界

?任意风险组合的期望收益和方差，都可以通过计算下式得到

E(rp)??wiE(ri)

i?1

nn????wiwjCov(ri,rj)2

P

i?1j?1

?n核心原理：对于任意期望收益率水平，我们只关注风险最低的组合。对于任意风险水平，我们只关注期望收益率最高的组合

风险资产的最小方差边界

马科维茨模型

nn

min1

2??wiwjCov(ri,rj)

i?1j?1

n

s..t?wiE(ri)?E(rp)

i?1

?n

wi?1

i?1

?方差前面的系数1/2只是为了计算方便而已，它使得最后得出的结果更加整齐

马科维茨模型（续）

?构造拉格朗日函数

nn1nn

L???wiwjCov(ri,rj)??(?wiE(ri)?E(rp))??(?wi?1)2i?1j?1i?1i?1?然后对每个变量wi求导，并令导数值等于0

?wCov(r,r)??E(r)???0(i?1,2,???,n)jiji

j?1

nn?wE(r)?E(r)iip

i?1

n?w?1i

i?1

风险资产有效边界和最优资本配置线

最优组合

有效集组合与资本配置线

资本配置和分离特性

?分离特性阐明组合决策问题可以分为两个独立的步骤?决定最优风险资产组合，这是完全技术性的工作。给定所有证券的数据，最优风险组合对所有客户都是一样的

?整个投资组合在无风险资产和最优风险资产组合之间的配置，取决于个人偏好。这里客户是决策者

?不同风险厌恶程度的投资者会满足于两个共同基金构成的市场?一个基金在货币市场进行无风险投资

一个持有资产配置线与有效边界切点的最优风险资产组合P?

?职业投资管理更有效率且成本更低

资本配置和分离特性（续）

?在实际中，不同的投资经理对证券估计的数据是不一样的，因此得到不同的有效边界，提供不同的“最优组合”

?这种偏差来自于证券分析的差异。如果证券分析质量很差，那么被动的市场指数基金生成的资本配置线都会优于用低质量证券分析生成的资本配置线（垃圾进-垃圾出）

?最优化技术是组合构造问题中最容易的部分，基金经理间真正的竞争在于证券分析精确性上的角逐

分散化的威力

?因为

2

P????wiwjCov(ri,rj)

i?1j?1

?nn如果定义平均方差和平均协方差为

12???ini?1

nn1Cov?Cov(ri,rj)??n(n?1)j?1i?12j?i

?n可以得出组合的方差

12n?1Cov???nn2

P

相关性和无相关性的证券等权重构造组合的风险减少

风险集合、风险共享与长期投资风险

?分散化意味着把投资预算分散到各类资产中以降低投资组合的风险

?有人提出时间上的分散化想法，这样平均收益率反映了不同投资期限的收益，类比得出“时间分散化”的概念，长期投资比短期投资更安全

?这一对“分散化”的概念拓展有意义吗？

风险集合和保险原理

?风险集合：将互不相关的风险项目聚合在一起来降低风险应用到保险行业，风险集合为销售风险不相关的保单，即众所周知的保险原理?

?传统理念认定风险集合降低风险，并成为保险行业风险管理的背后推动力

?但是，增加一个独立的赌局怎么会降低整个风险敞口呢？

风险集合

?假设一个富有的投资者沃伦，持有10亿美元的组合P，其中风险资产组合A的比例为y，无风险资产为1-y

?A的风险溢价为R，标准差为σ

则P的风险溢价RP=yR，标准差σP=yσ，夏普比率SP=R/σ沃伦发现另一个风险资产组合B和A具有相同的风险溢价和标准差，且A和B相关系数为0，于是他认为可以通过分散化来降低风险，决定持有B，且与A的头寸相同??

?这一策略是纯粹的风险机会。整个组合Z构成如下：A比例为y，B比例为y，无风险资产比例为1-2y

风险集合（续）

RZ?yR?yR?(1?2y)0?2yR（RP的2倍）

（σP2的2倍）

（σP的1.41倍）

（SP的1.41倍）??y??y??0?2y??Z???2Z222222SZ?RZ/?Z?2yR/??/?

?好消息是Z

倍，坏消息是标准差也增长倍

当n

倍这一简单分析说明，单纯的风险集合带来了机会，但同时因为增加了风险投资的规模，风险机会并不降低总体风险??

保险原理

?保险原理：风险增长速度低于不相关保单数量的增长速度，风险集合的获利能力（夏普比率）才能增长，但这并不足以降低风险

?这可能会限制大型保险公司持续增长的组合潜在的规模效应，可以把分析中的资产看做保单。每一笔保单要求保险公司设置保证金弥补或有损失，保险公司投资这些资金直至有索赔发生?卖出更多的保险意味着增加风险投资的头寸，当投资于更多收益不相关的资产时，夏普比率升高，但是因为风险资产比例上升，整体风险也会上升

保险原理（续）

?保险原理解释为“风险集合后损失的概率会降低”，从数学上是正确的，因为夏普比率上升，但是将损失概率的降低和总风险的降低混为一谈却是错误的

风险共享

?风险共享：随着风险资产增加到资产组合中, 一部分资产需要被卖掉以保持固定的投资比例

?考虑组合V，构成如下：A和B的比例均为y/2，无风险资产比例仍为1-y

风险共享（续）

风险共享（续）

?风险共享和风险集合构成了保险行业的关键核心

投资于多种风险资产，但是风险资产比例保持不变，这才是真正的分散化?

?当n种资产时，组合的标准差为

y

?/，夏普比率为/?

长期投资

?第一年收益和第二年收益无关

短期投资决策：第一年投资于风险组合，第二年投资于无风险组合?

?长期投资决策：投资于一项两年期的风险组合

?长期投资决策的风险更大

卖出一部分两年期的风险组合来降低风险

“时间分散化”并不是真正的分散化??

作业?第7章，习题：第12题?第7章，考题：第1~4题CFA

范文五：投资学之最优风险资产组合理论

投资学

Investments

3 最优风险资产组合 （Portfolio Theory）

? 3.1 风险资产的效用评价

? 3.2 风险资产与无风险资产的投资组合 ? 3.3 两项风险资产的投资组合

?3.1 风险资产的效用评价

3.1.1 均值——方差准则

利用均值——方差准则评估投资

E (r ) ? E (r ) 与 ? ( r ) ? ? ( r ) 如果： 至少有一个能够在任何条件下都成立

A B

A

B

则：投资组合A优于投资组合B

在均值——方差准则无法直接判定的情况下 可借助效用价值的计算方法画出无差异曲线

?3.1 风险资产的效用评价

3.1.2 风险容忍度

?3.1 风险资产的效用评价

3.1.3 风险资产的效用价值

测量风险厌恶系数A： A>0 风险厌恶 A=0 风险中性 A

2 设定效用函数： U ? E (r ) ? 1/ 2 A? （这是美国业界用的较多一个经验公式）

根据效用函数，资产的期望收益越高，U分值越高；资产的波动性越大，U分值越小。

?3.1 风险资产的效用评价

3.1.3 风险资产的效用价值

U ? E (r ) ? 1/ 2 A? 2

可供选择的风险资产组合（无风险资产收益率5%） 组合 风险溢价（%） 期望收益（%） 标准差（%） 2 7 5 低风险（L） 4 9 10 中等风险（M） 8 13 20 高风险（H）

利用效用价值评估投资：若有三个投资者，其风险厌恶系数分别为2，3.5和5

风险厌恶系数

2 3.5 5

L组合的U 0.0675 0.065625 0.06375

M组合的U 0.08 0.0725 0.065

H组合的U 0.09 0.06 0.03

因为无风险资产的效用值与收益率是相同的，所以，投资者选择风险资产组合的前提是：

投资组合的收益率大于无风险收益率，然后再从可选资产组合中选择U分值最大。

?3.1 风险资产的效用评价

3.1.3 风险资产的效用价值

利用无差异曲线(indifference curve)评估投资 在均值——方差准则无法直接判定的情况下 可借助前面效用价值的计算方法画出无差异曲线

?3.2 风险资产与无风险资产的投资组合

3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）

假定有：风险资产组合P（股票，长期债券等），无风险资产组 合F（短期国债，1年期银行存单等）。 理性的投资者一般会构建投资组合：C ? ? P ? (1 ? ? ) F 对于风险资产组合P有： rP 无风险资产组合F有： rf

E (rP )

?P

rC ? ? rP ? (1 ? ? )rf 记组合C的收益为rC 则：

E (rC ) ? ? E (rP ) ? (1 ? ? )rf ? rf ? ? ( E(rP ) ? rf ) 两边同取期望：

结论很明确：无风险资产组合用来保底，风险资产组合用来谋 求风险溢价。

?3.2 风险资产与无风险资产的投资组合

3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）

注意：

? C ? ?? P

所以：E (rC ) ? rf ?

( E (rP ) ? rf ) ?C ( E (rP ) ? rf ) ? rf ? ?C ?P ?P

显然，这是整个组合C的有关于均值——方差的函数

对应该函数的曲线称为资本配置线（capital allocation line,CAL） 截距为 rf 斜率为

( E (rP ) ? rf )

这样，给定?不同的值，可给出该投资者所有可能的投资组合。

?P

（斜率其实就是夏普比率）

?3.2 风险资产与无风险资产的投资组合

3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）

例：已知， E (rP ) ? 15% ? P ? 22%

rf ? 7%

求CAL

E (rC ) ? 7% ?

(15% ? 7%) 8 ? C ? 7% ? ? C 22% 22

斜率S：在给定条件下，标准差每增加一单位，所增加的期望收益

?3.2 风险资产与无风险资产的投资组合

3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）

(15% ? 7%) 8 E (rC ) ? 7% ? ? C ? 7% ? ? C 22% 22

投资者会寻求选择风险资产的最优配置 ? 以达到效用最大化 根据 U ? E(r ) ?1/ 2 A? 2 可以计算不同风险资产配置 ? 的效用值

风险厌恶系数A 4 风险资产配置比例γ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 无风险收益率 0.07 组合C的预期收益 0.07 0.078 0.086 0.094 0.102 0.11 0.118 0.126 0.134 0.142 0.15 风险资产期望收益 组合C的标准差 0 0.022 0.044 0.066 0.088 0.11 0.132 0.154 0.176 0.198 0.22 0.15 风险资产的标准差 0.22 组合C的效用值 0.07 0.077032 0.082128 0.085288 0.086512 0.0858 0.083152 0.078568 0.072048 0.063592 0.0532

?3.2 风险资产与无风险资产的投资组合

3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）

风险厌恶系数A 4 风险资产配置比例γ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

无风险收益率 0.07 组合C的预期收益 0.07 0.078 0.086 0.094 0.102 0.11 0.118 0.126 0.134 0.142 0.15

风险资产期望收益 组合C的标准差 0 0.022 0.044 0.066 0.088 0.11 0.132 0.154 0.176 0.198 0.22

0.15

风险资产的标准差 0.22 组合C的效用值 0.07 0.077032 0.082128 0.085288 0.086512 0.0858 0.083152 0.078568 0.072048 0.063592 0.0532

风险资产比例γ

显然，随着风险资产配置比例的增加 ，组合C的期望收益在增加，但同时 其波动率也在增加；对于风险系数为 4的投资而言，其效用值有一个先增 加后减少的变动趋势，即存在最优风 险资产配置比例。

效用值U

?3.2 风险资产与无风险资产的投资组合

3.2.2 最优风险资产配置比例的精确解

MaxU ? E (rC ) ? 1/ 2 A? C 2

?

? rf ? ? ( E (rP ) ? rf ) ? 1/ 2 A(?? P ) 2

上式存在最优解的条件为一阶导数等于0

E (rP ) ? rf ? ? ? A? P 2 ? 0

? ?

?

E (rP ) ? rf A? P 2

?3.2 风险资产与无风险资产的投资组合

3.2.2 最优风险资产配置比例的精确解

对于组合C，风险厌恶系数为4的投资者的最优风险资产比例： E (rP ) ? rf ? ? ? A? P 2

?? ?

0.15 ? 0.07 0.08 ? ? 0.413 2 4 ? 0.22 0.1936

此时：

E (rC ) ? rf ? ? ( E (rP ) ? rf ) ? 0.07 ? 0

.41? (0.15 ? 0.07) ? 0.1028

? C ? ?? P ? 0.41? 0.22 ? 0.0902

?3.3 两项风险资产的投资组合

3.3.1 风险的类型

不可分散风险：对所有资产都存在影响的风险，如商业周期、 通货膨胀、利率、汇率等，又称为市场风险或系统性风险。 可分散风险：只影响某个具体资产的风险，如管理层变动、合 同纠纷等，又称为公司特有风险或非系统风险。 当风险均来自于公司层面时，分散化可以降低该类风险，特别地 ，当所有风险来源都相互独立时，通过资产组合可将该类风险降 低到可忽视水平。

?3.3 两项风险资产的投资组合

3.3.2 分散原理

因为： ? ( X ) ? cov( X , X ) ? E ?? X ? E (X)?? X ? E (X)?? 2 所以： ? P ? wD wD cov(rD , rD ) ? wE wE cov(rE , rE ) ? 2wD wE cov(rD , rE )

2

cov(rD , rE ) ? cov(rE , rD ) 因为所有协方差矩阵是关于对角线对称的： 这保证了上述计算的正确性，并可扩大到任意多个资产组合。

?3.3 两项风险资产的投资组合

3.3.2 分散原理

rP (i) ? wD rD (i) ? wE rE (i) 投资组合的收益率：

E (rP ) ? wD E (rD ) ? wE E (rE ) 投资组合的期望收益率：

投资组合收益率的方差：

? 2 P ? w2 D? 2 D ? w2 E? 2 E ? 2wD wE cov(rD , rE )

? 2 P ? w2 D? 2 D ? w2 E? 2 E ? 2wD wE? D? E corr (rD , rE )

?3.3 两项风险资产的投资组合

3.3.2 分散原理

? 2 P ? w2 D? 2 D ? w2 E? 2 E ? 2wD wE? D? E corr (rD , rE )

corr (rD , rE ) ? 1

corr (rD , rE ) ? 0

corr (rD , rE ) ? ?1

? P ? (wD? D ? wE? E )2 ? wD? D ? wE? E

? P ? w2 D? 2 D ? w2 E? 2 E

? P ? (wD? D ? wE? E )2 ? wD? D ? wE? E

可见：当相关系数从-1到1变化时，资产组合的风险是递增；即 除非相关系数等于1，否则资产组合的风险始终低于单独投资这 两种资产的加权平均——资产组合可降低投资风险。

?3.3 两项风险资产的投资组合

3.3.2 分散原理

完全对冲头寸

corr (rD , rE ) ? ?1

? P ? (wD? D ? wE? E )2 ? wD? D ? wE? E

令 wD? D ? wE? E ? wD? D ? ? E ? wD? E ? 0 解得： wD ?

?E ?D ??E

wE ?

?D ?D ??E

此时，组合风险降为0。

?3.3 两项风险资产的投资组合

3.3.3 最小方差组合

最小方差组合：相关系数不为-1时，如何求最小方差组合？ ? 2 P ? w2 D? 2 D ? w2 E? 2 E ? 2wD wE cov(rD , rE ) 投资组合收益率的方差： 代入： wE ? 1 ? wD 同样利用导数为零求解最小方差组合：

? 2 E ? cov(rD , rE ) wmin ( D) ? 2 ? D ? ? 2 E ? 2cov(rD , rE )

?3.3 两项风险资产的投资组合

3.3.3 最小方差组合

E (rP ) ? wD E (rD ) ? wE E (rE )

? 2 P ? w2 D? 2 D ? w2 E? 2 E ? 2wD wE? D? E corr (rD , rE )

? 2 E ? cov(rD , rE ) wmin ( D) ? 2 ? D

? ? 2 E ? 2cov(rD , rE )

?3.3 两项风险资产的投资组合

3.3.3 最小方差组合

从图中可以看出，当相关系数不为1时， 资产组合最小标准差都低于不进行资产组合 时的标准差

?3.3 两项风险资产的投资组合

3.3.3 最小方差组合

作出不同相关系数对应的均值—标准差图 有效组合：既定收益风险最小或既定风险收益 最大原则建立起来的组合；由此形成的轨迹为 有效边界。

?3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论

投资决策的两个选择依据： 给定风险水平下收益最大 给定收益水平下风险最小 如何得知预期风险和收益：历史的平均收益率、标准差和分布

如何计算投资组合的预期风险和收益：

E (rP ) ? wD E (rD ) ? wE E (rE )

? 2 P ? w2 D? 2 D ? w2 E? 2 E ? 2wD wE? D? D corr (rD , rE )

?3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论

Markowitz理论的核心：计算出风险和收益、判断投资的好坏

即使只有两种证券，考虑不同的资本配置比例，也会有无数组合

因此，投资决策的关键在于：选择有效资产组合的边界 或者说 给定风险水平下所有收益最大的资产组合的集合

?3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论

Markowitz理论的核心：选择有效资产组合的边界

?3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论

现在解决另一个问题： A、B、C三点如何选择？

这个答案将取决于不同投资者的风险态度和效用水平。 不同的风险偏好下进行投资应以预期效用水平最大化为准则。

?3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论

给定某投资者（从而其风险厌恶 水平和无差异曲线随之确定）。

就该投资者而言，D是最优选择。

无差异曲线：

存在无数组（有无数个投资者） 每组又存在无数条 （同一投资者的不同效用值）

?3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论

?

风险分散图示

? 2 P ? w2 D? 2 D ? w2 E? 2 E ? 2wD wE? D? D corr (rD , rE )

2 2 2 2 当 n ? ? 时， w D? D ? w E? E ? 0

结论可证明，称其非系统风险或可分散风险

2wD wE? D? E corr (rD , rE )

非系统性风险 总风险

系统性风险

0

5

10

15

20

则无法通过增加资产数 量分散掉，为系统风险 或不可分散风险或市场 n风险

资产数量与资产组合风险的关系

?3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论

系统风险： 2wD wE? D? E corr (rD , rE ) 2 2 2 2 w ? ? w ? 非系统风险： D D E E Markowitz认为某个资产组合的收益可表示为：Ri ? ?i ? ?i Rm ? ? i

?i

?i Rm

——无风险收益

——市场风险补偿 ——特有风险补偿

i

?i

2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? i i m ? 对上式求方差：

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