范文一:初中奥数题目_勾股定理1
九年级数学竞赛专题 勾股定理
一、选择题
1.△ABC 周长是24,M 是AB 的中点MC=MA=5,·则△ABC 的面积是( )
A .12; B.16; C.24; D.30
2.如图1,在正方形ABCD 中,N 是CD 的中点,M 是AD 上异于D 的点,且∠NMB=∠MBC ,则AM :AB=( )
A .3311; B.; C.; D. 3632
3.如图3,P 为正方形ABCD 内一点,PA=PB=10,并且P 点到CD 边的距离也等于10,那么,正方形ABCD 的面积是( )
A .200; B.225; C.256; D.150+102
4.如图4,矩形ABCD 中,AB=20,BC=10,若在AB 、AC 上各
取一点N 、M ,使得BM+MN的值最小,这个最小值为( )
A .12; B.102; C.16; D.20
二、填空题 (4)
1. 如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC 边上有10个不同的点
P 1, P 2, P 10,记
M i =AP i 2+P i B ?P i C (i = 1,2,……,10),那么,
M 1+M 2+ +M 10=_________。
2. 如图,设∠MPN=20°,A 为OM 上一点,OA=43,D 为ON 上
一点,OD=83,C 为AM 上任一点,B 是OD 上任意一点,那
么折线ABCD 的长最小为__________。
3.如图,四边形ABCD 是直角梯形,且AB=BC=2AB,PA=1,PB=2,PC=3,那么梯形ABCD 的面积=__________。
24.若x + y = 12,那么x +4+y 2+9的最小值=___________。
5.已知一个直角三角形的边长都是整数,且周长的数值等于面积的数值,那么这个三角形的三边长分别为____________。
三、解答题
1.如图△ABC 三边长分别是BC=17,CA=18,AB=19,过△ABC 内的点P 向△ABC 三边分别作垂线PD ,PE ,PF ,且BD+CE+AF=27,求BD+BF的长度。
2.如图,在△ABC 中,AB=2,AC=, ∠A=∠BCD=45°,求BC 的长及△BDC 的面积。
3.设a,b,c,d 都是正数。 求证:a +c +d +2cd ++c >
4.如图,四边形ABCD 中, ∠ABC=135°,∠BCD=120°,AB=,BC=5-,CD=6,求AD 。
22222a 2+b 2+d 2+2ad
5.如图,正方形ABCD 内一点E ,E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为2+6,求此正方形的边长。
答案
一、选择题
1.C
2.A
3.B
4.C
5.C
解答:
1.∵MA=MB=MC=5, ∴∠ACB=90°
知周长是24,则AC+BC=14,AC +BC=10,
∴2AC ·BC=(AC+BC)-(AC+BC) = 14-10=4×24 ∴S ?ABC =222222221AC ?BC =24 2
2.如图,延长MN 交BC 的延长线于T ,设MB 的中点为O ,连TO ,则△BAM ∽△TOB
∴AM :MB=OB:BT
∴MB =2AM·BT (1)
令DN=1,CT=MD=k,则AM=2 – k
所以BM=2AB 2+AM 2=4+(2-k ) 2
2BT= 2 + k代入(1),得4 + (2 – k )= 2 (2 – k ) (2 + k ) 所以 k =
所以AM :AB=4 321:2 = 33
3.如图,过O 作EF ⊥AD 于E ,交BC 于F ;过O 作GH ⊥DC 于G ,交AB 于H
设CF=x,FB = y, AH = s, HB = x,
所以OG=x, DG = s
所以OF =OB- BF=OC-CF 即4- x= 3- y
所以x - y= 16 – 9 =7 (1)
同理有OH =1- s= 3- t
所以t - s= 3- 1= 8 (2)
又因为OH +HB=OB 即y + t= 9
(1)-(2)得(x+s) – (y+ t) = – 1222222222
2222222222222222222222222
所以OD 2=x2+ s2= (y2+ t2) – 1 = 9 – 1 = 8
所以OD=22
4.如图,过P 作EF ⊥AB 于E ,交CD 于F ,则PF ⊥CD
所以PF=PA=PB=10,E 为AB 中点
设PE = x,则AB=AD=10 + x
所以AE=11AB=(10 + x) 22
在Rt △PAE 中,PA 2=PE2+AE2
所以102= x2+ [1(10 + x )]2 所以x = 6 2
22所以正方形ABCD 面积=AB=(10 + 6) = 256
5.如图,作B 关于AC 的对称点B ,连A B,
则N 点关于AC 的对称点N 在A B上,
这时,B 到M 到N 的最小值等于B →M →N 的最小值,等于
B 到A B的距离BH ,连B 与A B和DC 的交点P ,
则S ?ABP =' ' ' ' ' ' ' ' 1×20×10=100, 2
由对称知识,∠PAC=∠BAC=∠PCA
所以PA=PC, 令PA=x,则PC=x,PD=20 – x,
在Rt △ADP 中,PA =PD+AD
所以 x = (20 – x ) + 10 所以 x = 12.5
因为S ?ABP =
所以BH =
二、填空题
1.40;
2.12;
3.' 2222221' PA ·BH 22S ?ABP 100?2==16 PA 12. 5153+2; 42
4.13;
5.6,8,10或5,12,13
解答:
1.如图,作AD ⊥BC 于D ,在Rt △ABD 和Rt △AP i D 中,AB 2=AD2+BD2
AP i 2=AD 2+P i D 2
所以AB -AP i =AD +BD -(AD +P i D ) 22222
=BD 2-P i D 2
=(BD +P i D )(BD -P i D )
=P i C ?P i B
所以AP i =P i C ?P i B =AB =4 所以M i =4
所以M 1+M 2+ +M 10=40
3. 如图,作A 关于ON 的对称点A ,D 关于OM 的对称点D ,
连结A B ,CD ,则A B=AB,
C D=CD,从而AB+BC+CD=AB+BC+CD≥A D
因为∠A ON=∠MON=∠MOD =20°,所以∠A OD =60°
又因为OA ' =OA=43,OD ' =OD=8,
所以OD =2OA
即△OD A 为直角三角形,且∠OA D =90°
' ' 所以A D =OD -OA ' 2' 222' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' =(83) 2-(43) 2=12
所以,折线ABCD 的长的最小值是12
3.如图,作PM ⊥AB 于M ,PN ⊥BC 于N ,
设AB = m, PM = x, PN = y,则
?x 2+y 2=4(1) ?22?x +(m -y ) =1(2)
?22(m -x ) +y =9(3) ?
由(2)、(3)分别得,
x 2+m 2-2my +y 2=1 (3)
y 2+m 2-2mx +x 2=9 (4)
m 2+3; 将(1)代入(4)得m -
2my +3=0?y =2m 2
m 2-5将(1)代入(5)得m -2mx -5=0?x =; 2m 2
把x,y 的表达式分别代入(1)得m -10m +17=0
因为m 2>0 所以m 2=5+22
所以 AB=m =
所以S ABCD =425+22, BC =5+22, AD =1153(AD +BC ) ?AB =+2 24215+22 2
4.如图,AB=12,AC=2,BD=3,且AB ⊥AC ,AB ⊥BD ,P 在AB 上且PA=x,PB=y,连PC ,PD ,
在Rt △CAP 和Rt △DBP 中
PC =AC 2+PA 2=x 2+4,
PD =BD +PB =22 y +92
如图,P 点在P 0位置时,PC+PD的值最小,为线段CD 的长度,而 22CD=(2+3) +12=13 2所以x +4+y 2+9的最小值为13。
5.设三边长为a,b,c ,其中c 是斜边,则有
?a 2+b 2=c 2(1) ??ab a +b +c =(3) ?2?
(2)代入(1)得a +b =(22ab ab -a -b ) 2 即(ab -4a -4b +8) =0 24
因为ab ≠0 所以ab – 4a – 4b + 8 = 0 所以a =4+8(a,b为正整数) b -4
所以b – 4 = 1,2,4,8,
所以b = 5,6,8,12;
a = 12,8,6,5;
c = 13,10,10,13,
所以,三边长为6,8,10或5,12,13
三、解答题
1.如图, 连结PA,PB ,PC ,设BD=x,CE=y,AF=z,
则DC=17-x,EA=18 – y,FB = 19 – z
在Rt △PBD 和Rt △PFB 中,有x +
PD =(19-z ) +PF 2222
同理有:
y 2+PE 2=(17-x ) 2+PD 2
z +PF =(18-y ) +PE
22222 将以上三式相加,得x +y +z =(17-x ) +(18-y ) +(19-z )
即17x + 18y + 19z = 487
又因为x + y + z = 27,
所以x = z – 1,
所以BD + BF = x + (19 – z ) = z – 1 + 19 – z = 18
2.如图,作CE ⊥AB 于E ,
则CE=AE=2222226AC = 22
64-6= 22
2所以BE=AB-AE=2 - 22又BC =CE +BE
22所以BC=CE +BE =7-26=6-1
再过D 作DF ⊥BC ,交CB 延长线于F ,并设DF=CF=x,
则BF= x – BC = x + 1 - 6
又Rt △DFB ∽Rt △CEB ,
所以DF :BF=CE:BE ,即x :(x + 1 - 6) = 64-6: 22
所以x = 3+26 2
所以S ?BCD =113+269+6BC ?DF =?(6-1) ?= 2224
4. 如图,构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形ABCD , 在Rt △ABE 中,BE=AE 2+AB 2
a 2+c 2+d 2+2cd 22所以BE=a +(c +d ) =
在Rt △BCF 中, 22BF=BC +CF =(a +b ) 2+d 2=a 2+b 2+d 2+2ab
22在R t△DEF 中,EF=DE +
DF =2+c 2
在△BEF 中,BE+EF>BF 即a +c +d +2cd +b +c >22222a 2+b 2+d 2+2ab
5. 如图,过A 作AE ∥BC 交CD 于E ,则∠1=45°,∠2=60°, 过B 作BF ⊥AE 于F ,作CG ⊥AE 于G ,
则Rt △ABF 为等腰直角三角形,BCFG 为矩形,
又因为AB=6,BC=5-,
所以BF=AF=2AB=3,所以CG=BF=3, 2
CG=2,EG=所以CE=2
1CG=1
所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6
DE=CD-EC=6-2=4
过D 作DM ⊥AE 延长线于M
∠MED=180°-∠AED=180°-∠BCD=180°-120°=60°
所以EM=1DE=2,DM=DE=2 22
AM 2+DM 2=(6+2) 2+(2) 2=2 在Rt △AMD 中,AD=
5.如图,以A 为中心,将△ABE 旋转60°到△AMN ,连NB ,MB ,则
AE+EB+EC=AN+MN+EC
因为AE=AN,∠NAE=60°
所以AE=NE
所以AE+EB+EC=MN+NE+EC
当AE+EB+EC取最小值时,折线MNEC 成为线段,且MC=2+6,∠MBC=150°
在Rt △PMC 中,设BC=x,PM=x , PB =x 22
x +x ) 2 2所以(2+6) =() +(
所以x = 2, BC=2
2x 22
范文二:初中数学勾股定理应用经典题目
勾股定理应用
如图,在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B 点;当它靠在另一侧墙
(1)求两面墙之间距离CE 的大小;
(2)求点B 到地面的垂直距离BC 的大小..
有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.
如图
所示
的一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积
积.
如图,有一块四边形地ABCD ,∠B=90°,AB=3m,BC=4m,CD=5m,AD=6m,求该四边形地的面积.
如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A 点出发,沿北偏东60°方向走了5千米到达B 点,然后
再沿北偏西30°方向走了5千米到达目的地C 点.求A 、C 两点之间的距离.
底端将滑出多少米? 如图,一架长2.5m 的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时,梯底距墙底端0.7m ,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ,则梯
有一根长为80厘米的木棒,要放在长,宽,高分别是60厘米,40厘米,30厘米的木箱中,能放进去吗? 请说明理由.
如图,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如下数据:小丽在河岸边选取点A ,
在点A 的对岸选取一个参照点C ,测得∠CAD=30°;小丽沿岸向前走30m 选取点B ,并测得∠CBD=60°.
请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮小丽计算小河的宽度.
如图,在海上观察所A ,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻前往C 处
拦
截
.
若可疑船只的行驶速度为40km/h,则我边防海警船的速度为多少时,才能恰好在C 处将可疑船只截住
如图所示,甲、乙两船同时由港口A 出发开往海岛B ,甲船沿东北方向向海岛B 航行,其速度为15 海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C 港口接旅客,停留半小时 后再转向北偏东30°方向开往B 岛,其速度仍为20海里/小时.
(1)求港口A 到海岛B 的距离;
(2)B 岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?
8m 为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.
某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造,测得两直角边长为6m 、8m .现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分
(2010?拱墅区一模)如图,长方体的底面是边长为1cm 的正方形,高为3cm .
(1)如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ,请利用侧面展开图计算所用细线最 短需要多少cm ?
(2)如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ,那么所用细线最短需要
如图所示,圆柱形的玻璃容器,高18cm ,底面周长为24cm ,在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛,与 蜘蛛相对的圆柱形容
器
的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所 走的最短路径.
如图,在长方体上有一只蚂蚁从项点A 出发,要爬行到顶点B 去找食物,一只长方体的长、宽、高分别 为4、1、2,如果蚂蚁走的是最短路径,你能画出蚂蚁走的路线吗?
如图:为台球桌面矩形ABCD 示意图,AB=2m,AD=1.5m,E 为AD 边上任意一点,一球以E 点出发经三 边碰撞又回
到
E
点,(以E 到F 到G 到H 到E )不计球的大小,则球经过的线路长是.
范文三:初中数学勾股定理应用经典题目
勾股定理应用
如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点(已知?BAC=60?,?DAE=45?,点D到地面的垂直距离DE=3 2(1)求两面墙之间距离CE的大小;
(2)求点B到地面的垂直距离BC的大小((
有一块土地形状如图所示,?B=?D=90?,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积(
如图所示的一块地,?ADC=90?,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积 积(
如图,有一块四边形地ABCD,?B=90?,AB=3m,BC=4m,CD=5m,AD=6m,求该四边形地的面积(
如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60?方向走了5千米到达B点,然后 再沿北偏西30?方向走了5千米到达目的地C点(求A、C两点之间的距离(
1
如图,一架长2.5m的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时,梯底距墙底端0.7m,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m,则梯子的底端将滑出多少米,
有一根长为80厘米的木棒,要放在长,宽,高分别是60厘米,40厘米,30厘米的木箱中,能放进去吗, 请说明理由(
如图,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如下数据:小丽在河岸边选取点A, 在点A的对岸选取一个参照点C,测得?CAD=30?;小丽沿岸向前走30m选取点B,并测得?CBD=60?( 请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮小丽计算小河的宽度(
如图,在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶(我边防海警即刻派船前往C处拦截(若可疑船只的行驶速度为40km/h,则我边防海警船的速度为多少时,才能恰好在C处将可疑船只截住,
2
如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行,其速度为15 海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,停留半小时 后再转向北偏东30?方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时(
(1)求港口A到海岛B的距离;
(2)B岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔,
某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造,测得两直角边长为6m、8m(现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形(求扩建后的等腰三角形花圃的周长(
(2010?拱墅区一模)如图,长方体的底面是边长为1cm 的正方形,高为3cm(
(1)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,请利用侧面展开图计算所用细线最 短需要多少cm,
(2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,那么所用细线最短需要
如图所示,圆柱形的玻璃容器,高18cm,底面周长为24cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛,与 蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所 走的最短路径(
3
如图,在长方体上有一只蚂蚁从项点A出发,要爬行到顶点B去找食物,一只长方体的长、宽、高分别 为4、1、2,如果蚂蚁走的是最短路径,你能画出蚂蚁走的路线吗,
如图:为台球桌面矩形ABCD示意图,AB=2m,AD=1.5m,E为AD边上任意一点,一球以E点出发经三 边碰撞又回到E点,(以E到F到G到H到E)不计球的大小,则球经过的线路长是(
4
范文四:五角心...初中奥数题目_勾股定理
九年级数学竞赛专题 勾股定理
一、选择题
1.△ ABC 周长是 24, M 是 AB 的中点 MC=MA=5,则△ ABC 的面积是( )
A . 12; B. 16; C. 24; D. 30
2.如图 1,在正方形 ABCD 中, N 是 CD 的中点, M 是 AD 上异于 D 的点,且∠ NMB=∠ MBC ,则 AM :AB=( )
A . 31; B. 3; C. 21; D. 6
3
(1) (2) (3)
3. 如图 2,已知 O 是矩形 ABCD 内一点,且 OA=1, OB=3, OC=4,那么 OD 的长为( ) A.2; B.2; C.23; D.3
4.如图 3, P 为正方形 ABCD 内一点, PA=PB=10,并且 P 点到 CD 边的距离也等于 10,那么, 正方形 ABCD 的面积是( )
A . 200; B. 225; C. 256; D. 150+102
5.如图 4,矩形 ABCD 中, AB=20, BC=10,若在 AB 、 AC 上各
取一点 N 、 M ,使得 BM+MN的值最小,这个最小值为( )
A . 12; B. 102; C. 16; D. 20
二、填空题 (4)
1. 如 图 , △ ABC 中 , AB=AC=2, BC 边 上 有 10个 不 同 的 点
1021, , P P P ,记
C P B P AP M i i i i ?+=2(i = 1, 2, … … , 10)
, 那 么 , 1021M M M +++ =_________。
2. 如图,设∠ MPN=20°, A 为 OM 上一点, OA=43, D 为 ON 上
一点, OD=8, C 为 AM 上任一点, B 是 OD 上任意一点,那
么折线 ABCD 的长最小为 __________。
3.如图,四边形 ABCD 是直角梯形,且 AB=BC=2AB, PA=1, PB=2, PC=3,那么梯形 ABCD 的 面积 =__________。
4.若 x + y = 12,那么 9422+++y x 的最小值 =___________。
5.已知一个直角三角形的边长都是整数,且周长的数值等于面积的数值,那么这个三角形 的三边长分别为 ____________。
三、解答题
1.如图△ ABC 三边长分别是 BC=17, CA=18, AB=19,过△ ABC 内的点 P 向△ ABC 三边分别作 垂线 PD , PE , PF ,且 BD+CE+AF=27,求 BD+BF的长度。
2.如图,在△ ABC 中, AB=2, AC=, ∠ A=∠ BCD=45°,求 BC 的长及△ BDC 的面积。
3.设 a,b,c,d 都是正数。 求证:ad d b a c b cd d c a 2222222222+++>
+++++
4.如图,四边形 ABCD 中, ∠ ABC=135°,∠ BCD=120°, AB=6, BC=5-, CD=6,求 AD 。
5.如图,正方形 ABCD 内一点 E , E 到 A 、 B 、 C 三点的距离之和的最小值为 2+,求此 正方形的边长。
答案
一、选择题
1. C
2. A
3. B
4. C
5. C
解答:
1.∵ MA=MB=MC=5, ∴∠ ACB=90°
知周长是 24,则 AC+BC=14, AC 2+BC2=102,
∴ 2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2) = 142-102=4×24 ∴ 242
1=?=?BC AC S ABC 2.如图,延长 MN 交 BC 的延长线于 T ,设 MB 的中点为 O ,连 TO ,则△ BAM ∽△ TOB
∴ AM :MB=OB:BT
∴ MB 2=2AM·BT (1)
令 DN=1, CT=MD=k,则 AM=2 – k
所以 BM=222) 2(4k AM AB -+=+
BT= 2 + k代入(1) ,得 4 + (2 – k )2= 2 (2 – k ) (2 + k ) 所以 k =
34 所以 AM :AB=32:2 = 3
1 3.如图,过 O 作 EF ⊥ AD 于 E ,交 BC 于 F ;过 O 作 GH ⊥ DC 于 G ,交 AB 于 H
设 CF=x, FB = y, AH = s, HB = x,
所以 OG=x, DG = s
所以 OF 2=OB2- BF2=OC2-CF 2 即 42- x2= 32- y2
所以 x 2- y2= 16 – 9 =7 (1)
同理有 OH 2=12- s2= 32- t2
所以 t 2- s2= 32- 12= 8 (2)
又因为 OH 2+HB2=OB2 即 y 2+ t2= 9
(1) -(2)得 (x2+s2) – (y2+ t2) = – 1
22222 所以 OD 2=x2+ s2= (y2+ t2) – 1 = 9 – 1 = 8
所以 OD=22
4.如图,过 P 作 EF ⊥ AB 于 E ,交 CD 于 F ,则 PF ⊥ CD
所以 PF=PA=PB=10, E 为 AB 中点
设 PE = x,则 AB=AD=10 + x
所以 AE=21AB=2
1(10 + x) 在 Rt △ PAE 中, PA 2=PE2+AE2
所以 102= x2+ [2
1(10 + x )]2 所以 x = 6 所以正方形 ABCD 面积 =AB2=(10 + 6)2 = 256
5.如图,作 B 关于 AC 的对称点 B ' ,连 A B' ,
则 N 点关于 AC 的对称点 N ' 在 A B' 上,
这时, B 到 M 到 N 的最小值等于 B → M → N ' 的最小值,等于
B 到 A B' 的距离 BH ' ,连 B 与 A B' 和 DC 的交点 P ,
则 ABP S ?=2
1×20×10=100, 由对称知识,∠ PAC=∠ BAC=∠ PCA
所以 PA=PC, 令 PA=x,则 PC=x, PD=20 – x,
在 Rt △ ADP 中, PA 2=PD2+AD2
所以 x2 = (20 – x )2 + 102 所以 x = 12.5
因为 ABP S ?=
21PA ·BH ' 所以 BH ' =
165. 1221002=?=?PA S ABP 二、填空题
1. 40;
2. 12;
3. 22
3415+; 4. 13;
5. 6, 8, 10或 5, 12, 13
解答:
1.如图,作 AD ⊥ BC 于 D ,在 Rt △ ABD 和 Rt △ AP i D 中, AB 2=AD2+BD2
222D P AD AP i i +=
所以 22222) (D P AD BD AD AP AB i i +-+=-
B
P C P D P BD D P BD D P BD i i i i i ?=-+=-=) )((2
2
所以 422==?=AB B P C P AP i i i 所以 4=i M
所以 401021=+++M M M
3. 如图,作 A 关于 ON 的对称点 A ' , D 关于 OM 的对称点 D ' ,
连结 A ' B , CD ' ,则 A ' B=AB,
C ' D=CD,从而 AB+BC+CD=A' B+BC+CD' ≥ A ' D '
因为∠ A ' ON=∠ MON=∠ MOD ' =20°,所以∠ A ' OD ' =60°
又因为 OA ' =OA=4, OD ' =OD=8,
所以 OD ' =2OA'
即△ OD ' A ' 为直角三角形,且∠ OA ' D ' =90°
所以 A ' D ' =12) 4() 8(222' 2' =-=-OA OD
所以,折线 ABCD 的长的最小值是 12
3.如图,作 PM ⊥ AB 于 M , PN ⊥ BC 于 N ,
设 AB = m, PM = x, PN = y,则
??
???=+-=-+=+) 3(9) () 2(1) () 1(4222222y x m y m x y x
由(2) 、 (3)分别得,
12222=+-+y my m x (3)
92222=+-+x mx m y (4)
将(1)代入(4)得 ; 2303222
m m y my m +=?=+- 将(1)代入(5)得 ; 2505222
m m x mx m -=?=--
把 x,y 的表达式分别代入(1)得 0171024=+-m m
因为 m 2>0 所以 m 2=5+22
所以 AB=22521, 225, 225+=+=+=
AD BC m 所以 22
3415) (21+=?+=AB BC AD S ABCD
4.如图, AB=12, AC=2, BD=3,且 AB ⊥ AC , AB ⊥ BD , P 在 AB 上且 PA=x, PB=y,连 PC , PD ,
在 Rt △ CAP 和 Rt △ DBP 中
9,
42
22222+=+=+=+=y PB BD PD x PA AC PC 如图, P 点在 0P 位置时, PC+PD的值最小,为线段 CD 的长度,而 CD=1312) 32(22=++ 所以 9422+++y x 的最小值为 13。
5.设三边长为 a,b,c ,其中 c 是斜边,则有
??
???=++=+) 3(2) 1(222ab c b a c b a (2)代入(1)得 222) 2(b a ab b a --=+ 即 0) 844(4
=+--b a ab ab 因为 ab ≠ 0 所以 ab – 4a – 4b + 8 = 0 所以 4
84-+=b a (a,b为正整数 ) 所以 b – 4 = 1, 2, 4, 8,
所以 b = 5, 6, 8, 12;
a = 12, 8, 6, 5;
c = 13, 10, 10, 13,
所以,三边长为 6, 8, 10或 5, 12, 13
三、解答题
1.如图 , 连结 PA,PB , PC ,设 BD=x, CE=y, AF=z,
则 DC=17-x, EA=18 – y, FB = 19 – z
在 Rt △ PBD 和 Rt △ PFB 中,有 2
222) 19(PF z PD x +-=+
同理有:
22222
222) 18() 17(PE y PF z PD x PE y +-=++-=+
将以上三式相加,得 222222) 19() 18() 17(z y x z y x -+-+-=++ 即 17x + 18y + 19z = 487
又因为 x + y + z = 27,
所以 x = z – 1,
所以 BD + BF = x + (19 – z ) = z – 1 + 19 – z = 18
2.如图,作 CE ⊥ AB 于 E ,
则 CE=AE=2
622=AC 所以 BE=AB-AE=2 - 2
6426-= 又 222BE CE BC +=
所以 BC=1662722-=-=+BE CE
再过 D 作 DF ⊥ BC ,交 CB 延长线于 F ,并设 DF=CF=x,
则 BF= x – BC = x + 1 - 6
又 Rt △ DFB ∽ Rt △ CEB ,
所以 DF :BF=CE:BE ,即 x :(x + 1 - ) = 264:26- 所以 x = 2
623+ 所以 4692623) 16(2121+=+?-?=?=
?DF BC S BCD 4. 如图,构造一个边长为 (a + b)、 (c + d)的矩形 ABCD , 在 Rt △ ABE 中, BE=22AB AE +
所以 BE=cd d c a d c a 2) (22222+++=
++ 在 Rt △ BCF 中, BF=ab d b a d b a CF BC 2) (2222222+++=++=+
在 R t△ DEF 中, EF=2222c b DF DE +=+
在△ BEF 中,
BE+EF>BF
即 ab d b a c b cd d c a 2222222222+++>+++++
5. 如图,过 A 作 AE ∥ BC 交 CD 于 E ,则∠ 1=45°,∠ 2=60°, 过 B 作 BF ⊥ AE 于 F ,作 CG ⊥ AE 于 G ,
则 Rt △ ABF 为等腰直角三角形, BCFG 为矩形,
又因为 AB=, BC=5-,
所以 BF=AF=2
2AB=,所以 CG=BF=, 所以 CE=32
CG=2, EG=31CG=1
所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6
DE=CD-EC=6-2=4
过 D 作 DM ⊥ AE 延长线于 M
∠ MED=180°-∠ AED=180°-∠ BCD=180°-120°=60°
所以 EM=21DE=2, DM=2
3DE=23 在 Rt △ AMD 中, AD=
2) 2() 26(2222=++=+DM AM 5.如图,以 A 为中心,将△ ABE 旋转 60°到△ AMN ,连 NB , MB ,则
AE+EB+EC=AN+MN+EC
因为 AE=AN,∠ NAE=60°
所以 AE=NE
所以 AE+EB+EC=MN+NE+EC
当 AE+EB+EC取最小值时,折线 MNEC 成为线段,且 MC=62+,∠ MBC=150°
在 Rt △ PMC 中,设 BC=x, PM=x PB x 2
, 2= 所以 22
2) 2(
) 2() 62(x x x ++=+ 所以 x = 2, BC=2
范文五:五角心初中奥数题目_勾股定理
九年级级级级级 勾股定理数学
一、级级级
1,?ABC周级是24~M是AB的中点MC=MA=5~级?ABC的面级是; ,A,12; B,16; C,24; D,30
2,如级1~在正方形ABCD中~N是CD的中点~M是AD上于异D的点~且?NMB=?MBC~级AM,AB=; ,3113
A,; B,; C,; D,3236
(1) (2) (3)
3. 如级2~已知O是矩形ABCD一点~且内OA=1~OB=3~OC=4~那级OD的级级; ,
A.2; B.2; C.2; D.332
4,如级3~P级正方形ABCD一点~内PA=PB=10~且并P点到CD级的距也等于离10~那级~正方形ABCD的面级是; ,
A,200; B,225; C,256; D,150+102
5,如级4~矩形ABCD中~AB=20~BC=10~若在AB、AC上各取一点N、M~使得BM+MN的级最小~级最小级级;个
,
A,12; B,10; C,16; D,20 2
二、空级 填 (4),如级~?ABC中~AB=AC=2~BC级上有10不同的点个1
P,P,,P~级1210
2;i = 1~2~……~10,~那级~ M=AP+PB?PCiiii
M+M+,+M=_________。1210
,如级~级?MPN=20?~A级OM上一点~OA=4~D级ON23
上一点~OD=8~C级AM上任一点~B是OD上任意一3
点~那级折级ABCD的级最小级__________。
- 1 -
3,如级~四级形ABCD是直角梯形~且AB=BC=2AB~PA=1~PB=2~PC=3~那级梯形
ABCD的面级=__________。
224,若x + y = 12~那级的最小级=___________。x+4+y+9
5,已知一直角三角形的级级都是整~且周级的级等于面级的级~那级级三角形的三级级分个数数数个
级级____________。
三、解答级
1,如级?ABC三级级分级是BC=17~CA=18~AB=19~级?ABC的点内P向?ABC三级分级作垂级PD~PE~PF~且BD+CE+AF=27~求BD+BF的级度。2,如级~在?ABC中~AB=2~AC=~ ?A=?BCD=45?~求BC的级及?BDC的面级。3
3,级a,b,c,d都是正。数
- 2 -
22222222求级,a+c+d+2cd+b+c>a+b+d+2ad
4,如级~四级形ABCD中~ ?ABC=135?~?BCD=120?~AB=~BC=5-63~CD=6~求AD。
5,如级~正方形ABCD一点内E~E到A、B、C三点的距之和的最小级级离~求此正2+6方形的级级。
答案
一、级级级
1,C
- 3 -
2,A
3,B
4,C
5,C
解答,
1,?MA=MB=MC=5~ ??ACB=90?
222知周级是24~级AC+BC=14~AC+BC=10~
22222?2AC?BC=(AC+BC)-(AC+BC) = 14-10=4×24
1?S=AC?BC=24?ABC2
2,如级~延级MN交BC的延级级于T~级MB的中点级O~级TO~级?BAM??TOB
?AM,MB=OB,BT
2?MB=2AM?BT ;1,
令DN=1~CT=MD=k~级AM=2 k –
222所以BM=AB+AM=4+(2?k)
4
2BT= 2 + k代入;1,~得4 + (2 k )–= 2 (2 k ) (2 + k ) –所以 k = 312
所以AM,AB=,2 = 33
3,如级~级O作EF?AD于E~交BC于F~级O作GH?DC于G~交AB于H
级CF=x~FB = y, AH = s, HB = x,
所以OG=x, DG = s
222222所以OF=OB- BF=OC-CF 即4- x222= 3- y
22所以x- y= 16 9 =7 –;1,
22222同理有OH=1- s= 3- t
2222所以t- s= 3- 1= 8 ;2,
22222又因级OH+HB=OB 即y+ t= 9
222222222;1,-;2,得(x+s) (y–+ t) = 1–
22222所以OD=x+ s= (y+ t) 1 = 9 1 = 8––
所以OD=22
4,如级~级P作EF?AB于E~交CD于F~级PF?CD
所以PF=PA=PB=10~E级AB中点
级PE = x~级AB=AD=10 + x11
所以AE=AB=(10 + x)22
222在Rt?PAE中~PA=PE+AE1
222所以10= x+ [(10 + x )] 所以x = 62
22所以正方形ABCD面级=AB=(10 + 6) = 256
''5,如级~作B级于AC的级点称B~级A B~
''级N点级于AC的级点称N在A B上~
'级级~B到M到N的最小级等于B?M?N的最小级~等
- 4 -
'''于B到A B的距离BH~级B与A B和DC的交点P~1
级=×20×10=100~S?ABP2
由级知级~?称PAC=?BAC=?PCA
所以PA=PC~ 令PA=x~级PC=x~PD=20 x–~
222在Rt?ADP中~PA=PD+AD
222所以 x = (20 x )– + 10 所以 x = 12.51
'因级=PA?BHS?ABP2
S×21002?ABP'所以BH===16PA12.5
二、空级填
1,40~
2,12~
1533,~+242
4,13~
5,6~8~10或5~12~13
解答,
2221,如级~作AD?BC于D~在Rt?ABD和Rt?APD中~AB=AD+BDi
222AP=AD+PDii
22222所以AB?AP=AD+BD?(AD+PD)ii
=?BDPD22i
=+?BDPDBDPDii ()()
=PC?PBii
22M=4所以 所以AP=PC?PB=AB=4iiii
M+M+,+M=40所以1210
''~D级于OM的级点称D~ ,如级~作A级于ON的级点称A3
'''级级AB~CD~级AB=AB~
'''CD=CD~而从AB+BC+CD=AB+BC+CD?A''D
'''因级?AON=?MON=?MOD=20?~所以?A
'OD=60?
''又因级OA=OA=4~OD=OD=8~33
''所以OD=2OA
''''即?ODA级直角三角形~且?OAD=90?
''所以AD=
- 5 -
'2'222OD?OA=(83)?(43)=12
所以~折级ABCD的级的最小级是123,如级~作PM?AB于M~PN?BC于N~级AB = m, PM = x, PN = y~级22:xy4(1+)=
,22x(m)+y1(2)?=,
,22(m)x?y9(3)+=:
由;2,、;3,分级得~
222 ;3,x+m?2my+y=1
222 ;4,y+m?2mx+x=9
2m3+2将;1,代入;4,得mmyy230;?+=?=m2
2m5?2将;1,代入;5,得mmxx250;??=?=m2
42把x,y的表式分级代入;达1,得m?10m+17=0
22因级m>0 所以m=5+22
1所以 AB=m=5+22,BC=5+22,AD=5+222
1153所以S=(AD+BC)?AB=+2ABCD2424,如级~AB=12~AC=2~BD=3~且AB?AC~AB?BD~P在AB上且PA=x~PB=y~级
PC~PD~
在Rt?CAP和Rt?DBP中
=+=+222PCACPAx4,
222PD=BD+PB=y+9
P如级~P点在位置级~PC+PD的级最小~级级段CD的级度~而0
22CD=(2+3)+12=13
22所以的最小级级13。x+4+y+9
5,级三级级级a,b,c~其中c是斜级~级有
- 6 -
222:abc(1+)=
,
,ab
abc(3)++=,
2:
abab222;2,代入;1,得 即a+b=(?a?b)(ab?4a?4b+8)=024因级ab?0 所以ab 4a 4b + 8 = 0––
8=+a4所以(a,b级正整数)b?4
所以b 4 = 1–~2~4~8~
所以b = 5~6~8~12~
a = 12~8~6~5~
c = 13~10~10~13~
所以~三级级级6~8~10或5~12~13三、解答级
1,如级,级级PA,PB~PC~级BD=x~CE=y~AF=z~
级DC=17-x~EA=18 y–~FB = 19 z–
在Rt?PBD和Rt?PFB中~有
2222x+PD=(19?z)+PF
同理有,
2222+=?+yPE(17x)PD
2222z+PF=(18?y)+PE
222222将以上三式相加~得x+y+z=(17?x)+(18?y)+(19?z)
即17x + 18y + 19z = 487又因级x + y + z = 27~所以x = z 1,–
所以BD + BF = x + (19 z ) = z 1 + 19 z = 18–––
2,如级~作CE?AB于E~
26级CE=AE=AC=22
646?所以BE=AB-AE=2 - =22
222又BC=CE+BE
22所以BC=CE+BE=7?26=6?1再级D作DF?BC~交CB延级级于F~级并DF=CF=x~级BF= x BC = x + 1 - –6
又Rt?DFB?Rt?CEB~
646?所以DF,BF=CE,BE~即x,(x + 1 - ) = :622
- 7 -
326+所以x = 2
1132696++所以(61)SBCDF=?=×?×=?BCD2224,如级~造一级级级构个(a + b)、(c + d)的矩形ABCD~4
22在Rt?ABE中~BE=AE+AB
22222所以BE=a+(c+d)=a+c+d+2cd在Rt?BCF中~
2222222BF=BC+CF=(a+b)+d=a+b+d+2ab
2222在R t?DEF中~EF=DE+DF=b+c在?BEF中~BE+EF>BF
22222222即a+c+d+2cd+b+c>a+b+d+2ab5,如级~级A作AE?BC交CD于E~级?1=45?~?2=60?~
级B作BF?AE于F~作CG?AE于G~
级Rt?ABF级等腰直角三角形~BCFG级矩形~又因级AB=~BC=5-~63
2所以BF=AF=AB=~所以CG=BF=332
~
12
所以CE=CG=2~EG=CG=133
所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4
级D作DM?AE延级级于M
?MED=180?-?AED=180?-?BCD=180?-120?=60?13
所以EM=DE=2~DM=DE=2322
2222在Rt?AMD中~AD=AM+DM=(6+2)+(23)=219
5,如级~以A级中心~?将ABE旋级60?到?AMN~级NB~MB~级
AE+EB+EC=AN+MN+EC
因级AE=AN~?NAE=60?
所以AE=NE
所以AE+EB+EC=MN+NE+EC
当AE+EB+EC取最小级级~折级MNEC成级级段~且MC=~?MBC=150?2+6
x3在Rt?PMC中~级BC=x~PM=,PB=x22
- 8 -
x3222所以(2+6)=()+(x+x)22
所以x = 2, BC=2
- 9 -
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