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范文一：简谐运动的合成实验
简谐运动的合成实验
一、 实验目的
1. 了解简谐运动的合成理论实现方法。
2. 观察实验现象，了解简谐运动的合成的特点。 3. 学会利用旋转适量法分析简谐运动。
二、 实验原理.
1. 两个同方向同频率简谐运动的合成：
若两个同方向的简谐运动，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别是?1和
?2，则它们的运动方程分别为x1=A1cos(ωt+?1),x2=A2cos(ωt +?2). 因为振动是同方向
的，所以这两个简谐运动在任何时候的合位移x 仍在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即 x=x1+x2.。
合位移也可以用旋转矢量法求出。如图1所示，两分振动的旋转矢量分别为A1和A2，开始时（t=0），它们与ox 轴的夹角分别为?1和?2，在ox 轴上的投影分别为x1及x2. 由平行四边形法则，可得和矢量A=A1+A2。由于A1、A2以相同的ω绕着o 点作逆时针旋转，它们的夹角（?2-?1）在旋转过程中保持不变，所以矢量A 的大小也保持不变，并以相同的角速度ω绕着o 点作逆时针旋转。从图1中可以看出，任意合矢量A 在ox 轴的投影x=x1+x2，因此和矢量A 即为合振动所对应的旋转矢量，而开始时矢量A 与ox 轴的夹角即为合振动的初相位?。由图可得合位移为x=Acos(ωt +?) 。这就表明合振动仍然是简谐运动，其合振幅为A=
A 1*A 1+A 2*A 2+2A 1A 2cos(?2-?1) 。合振动的初相位
)\A 1cos ?1+A 2cos ?2。
为tan ?=(A1sin?1+A 2sin ?2)
图1
2. 旋转矢量法：
从坐标原点O (平衡位置) 画一矢量 ，使它的模等于谐振动的振幅A ，并令t=0时A 与x 轴的夹角等于谐振动的初位相φ0，然后使A 以等于角频率ω的角速度在平上绕O 点作逆时针转动，这样作出的矢量称为旋转矢量。显然，旋转矢量 任一时刻在x 轴上的投影x=Acos(ωt+φ0) 就描述了一个谐振动。
当旋转矢量绕坐标原点旋转一周，表明谐振动完成了一个周期的运动。任意时刻旋转矢量与x 轴的夹角就是该时刻的位相。
如图2
所示：
三、 实验内容和步骤
1. 用信号发生器输出一方波频率为 ，接入示波器记录该波的振幅和并且默认初相为0。 2. 用信号输出与第一个波信号频率相同的波，重复1步骤，用示波器测出相位差，即为信号2的初相位。具体方法如下：将两波1) 观察双踪显示波形“交替”与“断续”两种显示方式的特点Y 1、Y 2均不加输入信号，输入耦合方式置“GND ”，扫速开关置扫速较低挡位（如0.5s ／div 挡）和扫速较高挡位（如5μS ／div 挡），把显示方式开关分别置“交替”和“断续”位置，观察两条扫描基线的显示特点，记录之。2) 用双踪显示测量两波形间相位差① 按图3连接实验电路， 将函数信号发生器的输出电压调至频率为1KHz ，幅值为2V 的正弦波，经RC 移相网络获得频率相同但相位不同的两路信号u i 和u R ，分别加到双踪示波器的Y 1和Y 2输入端。为便于稳定波形，比较两波形相位差，应使内触发信号取自被设定作为测量基准的一路信号。
图 3 两波形间相位差测量电路
② 把显示方式开关置“交替”挡位，将Y 1和Y 2输入耦合方式开关置“⊥”挡位，调节Y 1、Y 2的（
③将Y 1、Y 2 输入耦合方式开关置“AC ”挡位，调节触发电平、扫速开关及 Y1、Y 2 灵敏度开关位置，使在荧屏上显示出易于观察的两个相位不同的正弦波形u i 及u R ，如图4所示。根据两波形在水平方向差距X ，及信号周期X T ，则可求得两波形相位差。
图 4双踪示波器显示两相位不同的正弦波
θ=
X(div)
?3600
X T (div)
式中： XT —— 一周期所占格数
X—— 两波形在X 轴方向差距格数
记录两波形相位差于表。 表
为数读和计算方便，可适当调节扫速开关及微调旋钮，使波形一周期占整数格。 1、 两信号同时接入示波器，记录合振动的振幅和相位（重复2步骤计算合成相位）。
2、 理论验证：利用旋转矢量法计算信号x1和信号x2的合振动x 的振幅和相位，进
行比较，分析结论。
四、 注意事项
1. 实验时一定要保持两个信号频率相同。
2. 在读数时进行估读以尽量减小实验误差。
五、 思考题
1. 比较旋转矢量法与其他方法的好处？
2. 如果两个相互垂直的同频率的简谐运动合成，该如何解决？
范文二：简谐运动的图像 人教版3
简谐运动的图象
【学习目标】
1(知道简谐运动的图象是弦函数曲线(
2(能根据图象的物理意义确定振动的振幅、周期和频率，能求出任一时刻质点的位移(
【基础知识概述】
1(何为简谐运动的图象
简谐运动与其他运动一样，我们都可以用图象来描述做简谐运动的物体其位移随时间的变化规律(简谐运动的位移——时间图象通常称为振动图象，也叫振动曲线(
2(振动图象的建立及特点
图象可以表示各种情况下物理量之间的关系(图象可以利用物理量间的函数关系直接画出来，也可以利用描点法，通过实验数据画出来(振动图象也可以用在振动物体上固定一个记录装置的办法画出(例如在弹簧振子的小球上安置一支记录用的笔P，在下面放一条白纸带(图9-3-1)，当小球振动时，沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，笔P就在纸带上画出一条振动曲线，纸带的运动应该是匀速的，这样，纸带运动的距离就可以代表时间(
以弹簧振子为例，不同时刻的位移是不同的，如图9-3-2所示，对应作出其位移(x)——时间(t)图象，如图9-3-3所示(
从以上分析可知，描述简谐运动的图象是一条正弦(或余弦)曲线(
作法:以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据数据选取合适的单位、标度(先描点，然后用平滑的曲线将各点连接起来(
图线的物理意义:反映了质点做简谐运动时，位移随时间变化的关系，即x,t关系(
注意:?振动图线不是质点的运动轨迹;
?质点的位移随时间的变化是不均匀的(
3(振动图象的应用
(1)可以确定振动物体在任一时刻的位移(如图9-3-4中，对应时刻的位移分别为( t、tx,，7cm，x,,5cm1212
(2)确定振动的振幅(图中最大位移的值就是振幅，如图9-3-4表示振动的振幅是10cm(
(3)确定振动的周期和频率(振动图象上一个完整的正弦(或余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期(
1由图9-3-4可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T,0.2s，频率( f,,5HzT
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(4)确定各时刻质点的振动方向，例如图9-3-4中的时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动;在时刻，tt13质点正向着平衡位置运动(
(5)比较不同时刻质点加速度的大小和方向(例如在图9-3-4中时刻质点位移为正，则加速度为负，时tatx1112刻为负，则加速度为正，又因为，所以( x|x|,|x|a,aa221212
(如何比较分析各时刻的回复力、加速度、速度、动能和势能等物理量的大小及它们的关系 4
分析的顺序为:
F,,kxF,ma加速度和速度方向之间的关系位移x,,,,,,回复力F,,,,,加速度a,,,,,,,,,,,,,,,
12E,mvk总能量守恒2速度v,,,,,,,动能E,,,,,,,势能Ekp
或者按下列顺序分析:
【经典例题精讲】
例1 一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图9-3-5(a)所示，它的振动图象如图9-3-5(b)所示，设向右为正方向，则OB,__________cm，第0.2s末质点的速度方向__________，加速度大小__________，第0.4 s末质点加速度方向是__________;第0.7s时，质点位置在__________区间，质点从O运动到B再到A需时间t,__________s，在4 s内完成__________次全振动(
分析:(1)从图象上看出振幅是5 cm，所以OB,5 cm(
(2)根据正方向的规定及振动图象知，质点从位置B开始计时，第0.2 s末，质点回到平衡位置O，向负方向运动，所以此时速度方向从O指向A，位移为0(由F,,kx可知F,0，所以加速度a,0(
(3)第0.4 s末质点到达A点，位移为负，回复力F应为正，此时加速度方向由A指向O(
(4)第0.7s时，位移为正，质点在OB之间(
3(5)从图线读出T,0.8s，则从O经B到A需时间( t,T,0.6s4
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4(6)由于T,0.8s，则4s内完成全振动( n,次,5次0.8
例2 一个质点做简谐运动的图象如图9-3-6所示，下述正确的是( )(
A(质点振动频率为4Hz B(在10 s内质点经过的路程是20cm
C(在5 s末，速度为零，加速度最大 D(在t,1.5 s和t,4.5 s两时刻质点的位移大小相等
1分析:由振动图象可直接得到周期为T,4s(振动频率，故选项A是错误的(一个周期内，简谐运f,,0.25HzT
动的质点经过的路程是4A,8cm，10s为2.5个周期，质点经过的路程是20cm，选项B是正确的(在5 s末，质点位移最大为2 cm，此时加速度最大，速度为零，选项C是正确的(在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相等，选项D也正确(
答案:B、C、D(
评注:应记住，简谐运动的质点，经过一个周期位移不变(相对于平衡位置)，但经过的路程是振幅的4倍(在某时刻对应的位移应根据正弦函数的特点求解(
例3 图9-3-7为某一质点的振动图象，由图可知，在两时刻，质点速度与加速度t和t|x|,|x|v、va、a12121212的关系为( )(
A(，方向相同 B(，方向相反 C(，方向相同 D(，方向相反 v,vv,va,aa,a12121212
分析:在时刻，质点向下向平衡位置运动，在时刻质点向下远离平衡位置运动，故速度方向相同，由ttv与v1212于，所以，A对;在时刻，质点离开平衡位置的位移方向相反，因而回复力方向相反，加速度|x|,|x|v,vt和t121212
方向相反，但，时刻回复力大于时刻回复力，故，D对( |x|,|x|tta,a121212
答案:A、D(
评注:处理振动图象问题一定要把图象还原为质点的实际振动过程来分析，图象不是振动物体的运动轨迹(
例4 (2003?江苏高考)一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4cm，振子的平衡位置位于x轴上的0点(图9-3-8中的a、b、c、d为四个不同的振动状态:黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向(图9-3-9给出的????四条振动图线，可用于表示振子的振动图象( )(
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A(若规定状态a时t,0，则图象为? B(若规定状态b时t,0，则图象为? C(若规定状态c时t,0，则图象为? D(若规定状态d时t,0，则图象为? 分析:振子在状态a时t,0，此时的位移为3cm，且向规定的正方向运动，故选项A正确(振子在状态b时t,0，此时的位移为2cm，且向规定的负方向运动，图中初始位移不对(振子在状态c时t,0，此时的位移为,2cm，且向规定的负方向运动，图中运动方向不对(振子在状态d时t,0，此时的位移为,4cm，速度为零，故选项D正确( 答案:A、D(
【规律总结】
可以从简谐运动图象上直接读出的物理量有:振幅A、周期T、某时刻的位移x及质点的运动方向( 质点运动方向的判断方法是:该时刻的位移与相邻的下一个时刻的位移进行比较，由位移关系可判定速度方向( 简谐运动的图象直接反映了位移随时间的变化规律，它又间接反映了回复力、加速度、速度随时间的变化规律( 【同步达纲练习】
1(物体做简谐运动，其图象如图9-3-10所示，在时刻和时刻，物体的( )( tt12
A(回复力相同 B(位移相同 C(速率相同 D(加速度相同 2(如图9-3-11所示，下列说法正确的是( )(
A(振动图象是从平衡位置开始计时的 B(2s末速度为负方向，加速度最大 C(3s末，质点速度为零，加速度为正的最大值 D(5s末速度为最大值，而加速度为零
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3T3(图9-3-12为某一质点做简谐运动的图象，试画出再经过的振动图线( 4
(如图9-3-13所示，A、B为某一质点的振动范围(若取向右为正，试画出以振子向右经过平衡位置时为零时刻4
的振动图象((已知振动周期T,0.8s)
参考答案
【同步达纲练习】1(C 2(AC 3(略 4(略
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6
范文三：简谐运动的图象3
第三节 简谐运动的图象
●本节教材分析
本节讲述简谐运动的图象，在现代生产、生活中，图象的运用随处可见，无论学生 将来从事何种工作，掌握最基本的应用图象的知识，都是必要的.
为了让学生更好地理解振动图象的实质，教材采用了用闪光照相的方法描绘振动的图象，这样处理是为了避免学生将振动图象中一质点的振动情况和下一章将要学习的波动图象中不同质点的振动情况相混淆.
同时，为了开阔学生的视野，教材注重了给学生介绍振动图象应用的实例，以加强学生的应用意识.
本节的知识点包括：描绘简谐运动的图象，振动图象的意义，复杂的非简谐运动可以分解成若干频率和振幅不同的简谐运动。
●教学目标
一、知识目标
1.知道振动图象的物理意义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线.
2.能根据图象知道简谐运动的振幅、周期和频率.
二、能力目标
1.通过利用频闪照片读数、列表、绘图，从而得到简谐运动的位移随时间的变化规律，提高学生运用数学工具解决物理问题的能力.
2.通过利用图象得到的信息，例如判断物体的位移、速度、加速度等物理量的大小与方向的变化规律，培养学生的抽象思维能力.
三、德育目标
1.通过列表法、绘图法得到简谐运动的图象，培养学生认真、严谨、实事求是的科学态度.
2.进一步使学生掌握解决物理问题的两种方法：公式法和图象法.
3.通过图象教学，培养学生的审美能力.
●教学重点
1.简谐运动图象的物理意义和特点.
2.运用简谐运动的图象解决有关位移、周期、频率、加速度、回复力等问题.
●教学难点
1.用描点法描绘出简谐运动的图象.
2.运用简谐运动的图象求解实际问题.
●教学方法
1.关于简谐运动图象的描绘：采用学生读图、列表、描点的方法进行.
2.关于据简谐运动的图象比较各时刻的位移、速度、加速度和回复力的大小和方向的教学采用学生分组讨论，学生归纳方法，教师点拨的形式进行.
●教学用具
自制投影片、CAI课件
●教学过程
首先用投影片出示本节课的学习目标
1.理解简谐运动图象的意义.
2.能够利用简谐运动图象解决相关问题.
学习目标完成过程：
一、导入新课
1.问题：前边我们分别用公式和图象研究了匀速直线运动和匀变速直线运动，那么：①
在匀速直线运动中，设开始计时的那一时刻速度为零，则它的位移图象是一条什么样的线?
②在匀变速直线运动中，同样没开始计时的那一时刻位移为零，则它的位移图象应是一条什么线?
学生答：①匀速直线运动的位移图象是一条过原点的直线.
②匀变速直线运动的位移图象是一条过原点的抛物线.
2.导入：上节课，我们学习了简谐运动，我们知道，简谐运动的位移随时间在做周期性变化，那么如果用图象来表示这个关系，简谐运动的图象形状又如何呢?板书课题：简谐运动
的图象.
二、新课教学
(一)简谐运动的图象
1.用多媒体展示一张心电图，给学生介绍医院里用心电图仪描出心电图象，通过观察心电图以了解测试者心跳是否有节律的工作过程.
2.类比说明：要研究简谐运动，我们也可以设法把振子在各个时刻的运动情况记录下来， 得到一张“运动图”，那么同学们思考一下，我们用什么方法可以描绘出简谐运动的图象呢？
3.学生看书，讨论得到描绘简谐运动图象的方案.
4.学生代表回答得到的方案
方案一：在物体运动的过程中，用频闪照相，对频闪照片分析、列表，并用描点法得到简谐运动的图象.
方案二：用一个纸做的锥摆，内盛沙子，让沙摆摆动，同时让沙摆往前移，沙子即显示出摆的振动图象.
方案三：同样做一个盛沙的锥摆，让其摆动.同时在下边拉动一块木板，则摆中漏下的沙子就显示出振动的图象.
方案四：拿半个易拉罐制成的水摆，底部中央刺一小孔，水中滴墨汁，铺有白纸的长木板，让水摆摆动，同时在实验台上匀速地拖动铺有白纸的长木板，墨水就在白纸上显示出振动图线.
方案五：在水平弹簧振子的小球上安置一支记录用的笔，在下面放一条白纸带，当小球振动时，沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，笔就在纸带上画出一条振动图线.
5.教师：同学们通过讨论，得到了不同的描绘方法，下边我们用其中的二种方案来具体描绘简谐运动的图象.
①用CAI课件展示：气垫导轨上的弹簧振子的振动情况.
②用多媒体把课本上的三张频闪照片显示出来.并说明三张照片反映的运动情形. 甲图是振子静止在平衡位置时的照片. 乙图是振子被拉到左侧距平衡位置２０ｍｍ处放手后，在向右运动的
丙图是振子在接下来的1周期内的照片.21周期内的频闪照片. 2
③前边我们已经知道对于频闪照片：是每隔相等的时间，给物体照一次相，我们假设相邻两次闪光的时间间隔为ｔ0，则照片上记录的是每隔时间ｔ0振子所在的位置.
④学生了解上述情况后，列表、读数，把对应于不同时刻的位置记录下来.
⑤用实物投影仪抽查学生的读数记录情况.
学生代表(一)
第一个
第二个
1周期 周期
第一个1周期：
第二个周期：
学生答：两组所列表格均正确，之所以出现位移正负差异，是由于他们所选定的位移正方向的不同而产生的；在第一组的表格中是以振子在平衡位置右方时的位移为正，在左方时位移为负得到的；而第二组正好相反，是以振子在平衡位置左方时位移为正，在右方时位移为负得到的.
⑦现在我们以纵轴表示位移ｘ，横轴表示时间ｔ，建立平面直角坐标系，先在坐标平面上描点，再用平滑的曲线将各点连接起来，看能得到一条什么图线.
⑧学生画完后，抽查并在实物投影仪上展示：
学生代表(三)绘制的图线：如左图
学生代表(四)绘制的图线：如右图
⑨学生总结：简谐运动的图象是余弦曲线.
⑩阅读课文P164，问：我们描绘出的简谐
运动的图象是余弦曲线，课本上为什么说是正弦
或余弦曲线呢?
学生讨论后回答：由于我们所选的计时起点
不同，得到的简谐运动的图象有可能是正弦曲
线，还有可能是余弦曲线，当以物体运动到平衡位置时作为计时的起点，得到的是正弦曲线；当以物体运动到振幅处开始计时，得到的是余弦曲线.
6.总结并板书
①简谐运动的位移——时间图象通常称为振动图象.
②所有简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线.
7.分组实验
①每一组拿一个水平弹簧振子，小球下安装有一段铅笔芯，在下面放一条纸带，当小球振动时，沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，笔就在纸带上画出一条振动曲线.
②让学生在做实验时思考：为什么纸带拉动时必须是匀速的?
③实验结束后总结：
ａ.由实验得到：在纸上描绘出的振动图象是正弦或余弦曲线.
ｂ.只有纸带是匀速运动的，我们才能把等距离段划分为等时间段，这样纸带运动的距离就可以代表时间
(二)简谐振动图象的应用
1.用投影片出示一幅简谐运动的图象(如右图)
2.由图中可以直接得到哪些信息?
学生答：
①任意时刻ｔ对平衡位置的位移；
②振动的周期T；
③振动的振幅A；
④任意时刻回复力和加速度的方向；
⑤任意时刻的速度方向.
3.抽学生代表回答如何找周期、振幅及如何判定回复力、加速度和速度的方向? 学生答：
正弦或余弦图象的最大值为振幅.
相邻两个最大值或最小值之间的时间间隔为周期.
回复力和加速度的方向总指向平衡位置.
判定速度的方向的方法有：
ａ.某时刻的振动图象的斜率大于0，速度方向与规定的正方向一致；斜率小于0，速度的方向与规定的正方向相反.
ｂ.将某一时刻的位移与相邻的下一时刻的位移比较.如果位移增大，振动质点将远离平衡位置；反之将靠近平衡位置.
(三)非简谐运动的振动图象
1.用多媒体展示心电图，地震仪绘制的曲线等.
2.学生概括图线的特点：得到它们都不是简谐运动的图线.
3.问：我们学的是简谐运动的图象，而一般物体的振动都是非简谐运动，那么我们应该怎样来研究非简谐运动呢?
4.同学们阅读课文后，回答：
一切非简谐运动，都可以看作是由若干个振幅和频率不同的简谐运动合成的.
5.用多媒体展示课本图9～10的合成情况.
三、巩固练习
1.某质点做简谐运动的图象如右图所示，质点的振幅和频率应为_______.
A.2 cm，0.5 Hz B.－2 cm，0.25Ｈｚ
C.2 cm，0.25 Ｈｚ D.－2 cm，４Ｈｚ
2.某物体始终在做简谐运动，某时刻开始计时，得到的振
动图象如图所示，则：
A.该振动的振幅是_______，周期是________.
-2B.若振动所在的直线向右规定为离开平衡位置位移的正方向，那么1.5×10 s时刻的
物体的运动方向是________，加速度的方向是_________.
-2C.物体在2.5×10 ｓ时刻，动能正在_______，动量
的大小正在_______(填“增大”或“减小”)
-2D.计时开始前２×１０ｓ时刻，物体的位移大小为
_______，速度方向_______，加速度大小________.
－２Ｅ.０～10×10 ｓ时间内物体________次速度与
零时刻的速度相同(即运动状态相同
).
Ｆ.０～10×10 ｓ时间内物体_______次速度与1.5×10 ｓ时刻的速度相同.
－２Ｇ.若将１×10 ｓ时刻取做零时刻，并将原来规定的正方向规定为负方向，画出振动
的图象.
参考答案：
-21.Ｃ ２.Ａ： ２ｃｍ，４×１０ｓ；B：向左，向左 Ｃ：逐渐增大，增大；Ｄ：0，
向左，0；Ｅ：２；Ｆ：２ Ｇ：
－２－２
四、小结
本节课我们学习了简谐运动图象的物理意义：
1.从图象上我们可以知道振动物体任一时刻的位移.
2.从振动图象上还可以知道振幅和周期.
3.从振动图象上还可以知道某时刻振子的运动情况.
总之，懂得从振动图象上准确地获取运动物体的有关信息，对我们学习机械波以及电磁振荡与电磁波都是十分重要的.
五、作业
(一)P167 练习三 (1)、(2)、(3)
(二)1.如图所示的是某质点的振动图象，对于这个质点在ｔ1
和ｔ3两个时刻，下列哪个选项正确______.
A.速度不同 B.位移不同 C.加速度不同 D.回复力不同
2.一个质点做简谐运动的振动图象如图所示，则下列关于质点在ｔ1时刻的叙述，正确的是
A.速度为正，加速度为负，回复力为负
B.速度为正，加速度为正，回复力为正
C.速度为负，加速度为负，回复力为正
D.速度为负，加速度为正，回复力为负
3.某质点的振动图象如图所示，由图象可以看出，该质点
的周期为________ｓ，０～４ ｓ内质点通过的路程是
________ ｍ，６ｓ末的位移是_________ ｃｍ.
4.由图给出的振动图象可知：这个振动物体在________
ｓ末负向速度最大；在_____ｓ末正向加速度最大；在_______ ｓ
末负向位移最大，4.5ｓ时振子在向________方向运动.
5.甲、乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上的振动的
情况：
①甲开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动，已知经１ｓ后振子第一次回到平衡位置，振子的振幅为5 ｃｍ，设平衡位置的上方为正方向，试画出甲观察到的弹簧振子的振动图象，要求时间轴上每格代表0.5 ｓ.
②乙在甲观察3.5 ｓ后开始观察并计时，试画出乙观察到的弹簧振子的振动图象. 参考答案：1.Ａ ２.Ｂ ３.８；０.０８；－４ 4.1，2，２，负 5.略
六、板书设计
简
图象
谐
运物理意义：振动物体的位移随时间变化的规律
动从图象上直接看出的振动情况有：
的①任意时刻对平衡位置的位移，或由振动位移判定对应的时刻.
图②振动周期T，振幅A
象③任意时刻回复力和加速度的方向
④任意时刻的速度方向
应用——心电图、地震监测仪等
七、素质能力训练
1.如图所示为质点P在０～4 ｓ内的振动图象，
下列叙述正确的是
A.再过１ｓ，该质点的位移是正的最大 B.再过１ｓ，该质点的速度方向向上
C.再过１ｓ，该质点的加速度方向向上 D.再过１ｓ，该质点加速度最大
2.图甲为单摆的振动图象，图乙为单摆做简谐运动的实际情况图，试在图乙中标出ｔ时刻摆球所在的实际位置及振动方向.
3.如图所示是一单摆的振动图象，在ｔ1、ｔ2时刻相同的物
理量是
A.位移 B.速度 C.加速度 D.势能
4.一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如
图所示，以某一时刻作计时点(ｔ为零)，经1周期，振子具有4
正方向最大的加速度，那么在下述几个振动图象中，能正确反映
振子振动情况的是(以向右为正方向)
5.如图甲是演示简谐运动图象的装置，当盛沙漏斗下漏出的沙下的木板N被匀速地拉出
时，从摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲
线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直
线OO1代表时间轴.
图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的
曲线，若板Ｎ1和板Ｎ2拉动的速度ｖ1和ｖ2的关
系为ｖ2＝２ｖ1，则板Ｎ1、Ｎ2上曲线所代表的
振动周期Ｔ1和Ｔ2的关系为
A.Ｔ2＝Ｔ1 B.Ｔ2＝２Ｔ1
C.Ｔ2＝４T1 D.Ｔ2＝1Ｔ1 4
6.如图所示是一个质点的振动图象，据图象回答下列问题：
①振动的振幅；
②振动的频率；
③在ｔ＝０.１ ｓ，０.３ ｓ，０.５ ｓ，０.７ ｓ
时质点的振动方向；
④质点速度首次具有最大负值的时刻和位置；
⑤质点运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；
⑥在０.６ ｓ到０.８ ｓ这段时间内质点的运动情况.
7.一质点做简谐运动，其位移ｘ与时间ｔ的关系曲线如图所示，由图可知
A.质点振动的频率为０.２５ Ｈｚ
B.质点的振幅为２ ｃｍ
C.ｔ＝３ ｓ时，质点的速度最大
D.ｔ＝４ ｓ时，质点所受的合力为零
8.一质点做简谐运动，其位移ｘ随时间ｔ的关系曲线如
图所示，由图可知，在ｔ＝４ ｓ时，质点的速度和加速度分别为
A. 速度为正的最大值，加速度为零
B.速度为负的最大值，加速度为零
C.速度为零，加速度为正的最大值
D.速度为零，加速度为负的最大值
参考答案：
1. ＡＤ ２.原图中的C点即是对应位置
3.ＢＤ ４.Ｄ ５.Ｄ 提示：由二曲线可知，在相同的时间ｔ1内，Ｎ2上的曲线显示单摆2完成了2次全振动，但由于ｖ2＝２ｖ1，实际上单摆2完成了四次全振动.
6.①５ｃｍ ②ｆ＝１.２５Ｈｚ ③ｔ＝０.１ｓ，０.７ｓ时，质点的振动方向向上，ｔ＝０.３ｓ，０.５ｓ时，质点的振动方向下；④ｔ＝０.４ｓ时，首次具有速度的最大的负值，此时质点在平衡位置处；⑤ｔ＝０.２ｓ时，首次具有加速度的最大负值，此时质点在正的最大位移处；⑥在０.６～０.８ｓ这段时间内，质点做加速运动.
7.ＡＢＣ ８.Ｄ
范文四：同方向简谐运动的合成研究
通气空泡的形态特性研究
蔡卫军，钱建平，杨飚，尹韶平
(西安精密机械研究所，陕西西安 ) 710075
摘要:通气空泡的形态直接影响水下航行体的航行性能，文章采用数值分析方法对二维典型平头型航行体在不同通气孔位置、通气流量、通气角度条件下通气空泡超空泡的形成，以及有侧壁干扰作用下的通气空泡形态进 /
行分析。研究结果表明:上述各通气参数的合理配置对稳定超空泡的形成至关重要，且必须对洞壁影响下的试验 结果进行修正。
关键词:通气空泡;洞壁干扰;超空泡
中图分类号: 文献标识码: O35A
Mor phological char acter istics of ventilated cavities
CAI Wei- jun , QIAN Jian- ping , YANG Biao , YIN Shao- ping
’’(Xian Precision Machinery Research Institute, Xian 710075, China)
: Abstr actFlow characteristics of underwater vehicles are directly related to its cavity profile,which is af-fect by many factors. In this paper, ventilated and super- cavities around a typical two- dimensional blunt- type model are analyzed at different ventilated locations, flow- rate and angle conditions.The lateral wall in- terference is also performed. The results indicate that the above parameters should be adjusted properly to improve the stability of ventilated cavity formation,and the experiment results need to be amended under the intense wall interference conditions.
Key wor ds: ventilated cavities; wall interference; supercavitation
引 言1
超空化减阻是空化利用的典型范例，其原理是利用水下航行体在较高速度时头部产生空泡，或采
用人工通气的方法形成包含整个航行体的超空泡，从而显著减小航行体阻力(图 )。1
自然超空泡及通气超空泡的形态示意图图 1
Fig.1 Sketch of natural and ventilated supercavity
[1，3，5]针对通气空泡超空泡流动，国内外已开展了大量的试验研究。由于通气空泡流场中涉及空 /
气、水蒸汽、水等多组分多相介质之间的相间质量动量及能量传输，目前仍难以提出较为完善的数学//
[6- 14] 物理模型，因而通气空泡流场的理论数值研究工作相对较为缺乏。
本文将在对数学物理模型引入某些简化假设的基础上，采用数值分析方法对二维典型平头型航
收稿日期: 2007- 06- 06
作者简介:蔡卫军(1976- )，男，博士后。
行体在不同通气孔位置、通气流量、通气方向条件下通气空泡超空泡的形成进行研究，并对有侧壁干 /
扰作用下的通气空泡形态进行分析。
数学模型2
假定流体介质是由液体、水蒸汽、非凝结性气体、空气所组成的混合物，通过引入适当的空化模
[4，11，12]型，模拟出水介质的蒸发和水蒸汽的凝结过程。忽略汽、液之间的滑移作用，并假设空化流动为等 温过程，且不计入通入空气的可压缩性，则控制方程可写成:
!y"!y"u l m l mj + =Sl !t !x j
y"y"u!! v m v mj =S+ v t x!! j
yyu!"!" n g m n g mj + =0!xt ! j
yyu!"!" a i r m a i r mj + =0!t !x j
uuu!"!"!# !p mi mi j i j + = + +"g m i !t !x!x!x j i j[10] 上述控制方程中的源项为水—水蒸汽之间的相间转换率:
! !! ! ;S= S=- ! "!" m+mm +m l v lv l v
混合物的密度定义为:"=$"+$"+$"+$" m l lv vn g n g a i r a i r
"$ i iy=，i=l, v, ng, air 其中，、分别为相应组分介质的体积分数和质量分数 。$y! "i i i " m
几何模型及求解方法3
计算模型选取典型平头型长方体，其尺寸为 (取 )。计算区域如图 所示:上游来 1D×29DD 68mm2
流方向取 ，侧向计算区域分别取 和 ，以研究侧向壁面的影响。通气孔均匀布设于平头型模型8D4 8.5D
的侧向位置，间隔，通气孔 距平头起始点，通气孔尺寸为 ，相邻通气孔之间的间距为 ， 1 20mm100mm通气孔中心轴线距平头模型起始点 。 10mm
采用 软件所提供的 多相流空化模型来模拟汽—液相之间的质量传输过 Fluent6.2 A. K. Singhal
[2，4]程，并在此基础上对通气空泡流场的稳定形成进行初步研究。计算网格数约为 ，并在近壁区 35 000域对局部网格进行加密处理，以更准确地捕捉其流动特征，湍流粘性模型选取非平衡 双方程模k- % 型。计算区域的入口给定速度边界条件，出口给定背压，壁面为无滑移边界条件。通气角度 定义为通 $ 气孔出流方向与 轴向的夹角。x
几何模型及边界条件图 2
Fig.2 Basic model and boundary conditions
船舶力学第 卷第 期 676 11 5
结果与分析4
- ppp- pF x??va por 相关流动参数的定义:空泡数 ，压力系数 阻力系数 ，其中!= c =,c =p x 2 2 2 1 1 1 VVVA"""?????? ref 2 2 2 为特征面积(本文取模型尺寸 )。AD ref
通气孔位置的影响4.1
图 为在自然空泡数 条件下，分别开启通气孔 、、，通气速度 ，通气角度3 =0.29 122+3V=0.8m/s! jet
时的空泡形态及表面压力系数分布。#=2?
相同通气条件下，从孔 所通入的空气已基本能够覆盖整个航行体，而采用 孔进行通气时，空 1 2 气组分向下游传播距离较短。如同时开启通气孔 、，则空气组分在下游方向上的覆盖距离增长。23
上述三种通气条件下，局部压力降低所产生的水蒸汽组分仅位于距离平头起始点较近的局部区
域内，该区域内的压力系数值基本一致。
由阻力系数结果分析可知，对孔 进行通气所得到的减阻效果相对较优，同时开启通气孔 后 1 2+3 的减阻效果也优于通气孔 。2
() 空气组分的体积分数a
Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数b
Vapor volume fraction contours
() 壁面压力系数分布 c
Pressure coefficient over the wall
() 通气孔 () 通气孔 () 通气孔 ?1?2?2+3
(C=0.010 925)(C=0.018 209)(C=0.017 511) xxx
图 3空泡形态及表面压力系数分布(，，)!=0.29V=0.8m/sα=2? jet
Fig.3 Cavity profile and pressure coefficient distribution over the wall 自然空泡数的影响 4.2
假设通气条件不变，仅通过改变出口边界环境压力 来研究自然空泡数的影响。p ?
图 中仅开启通气孔 ，通气速度 ，通气角度 。随着自然空泡数的减小，空泡界面 4 1V=0.8m/s#=2?jet
趋于光滑。空气组分可影响整个下游计算区域，但水蒸汽组分仍限于距平头起始点较近的区域。图 中 4的壁面压力系数表明，减小来流自然空泡数后，压力恢复区附近的压力系数分布从脉动趋于稳定，其 [1]压力阶越幅值逐渐减小，这对应于文献中所提及的从第一种泄气方式向第二种泄气方式过渡。 图 中仅开启通气孔 ，通气速度 ，通气角度 降至 。当自然空泡数从5 2V=0.8m/s#=90?=0.29 = !!jet
时，所形成的空泡界面有明显波动，通常称之为 不稳定现象，这主要源于所通入0.15 Kelvin- Helmholz
气流与空泡表面相垂直所致。
在上述通气条件下，由于空气、水蒸汽组分在下游壁面上的覆盖程度增强，壁面阻力系数随着自
然空泡数的降低呈逐渐减小趋势，可见减小自然空泡数有助于超空泡的形成。
() 空气组分的体积分数a
Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数b
Vapor volume fraction contours
() 壁面压力系数分布c
Pressure coefficient over the wall
() () () ?!=0.29 ?!=0.22 ?!=0.15()) () (C=0.010 925C=0.010 216C=0.007 021 xxx图 通气速度 ，通气角度 )(通气孔4 V=0.8m/sα=2?1 jet
Fig.4 Ventilated velocity V=0.8m/s，flow angle α=2?(hole No.1) jet
() 空气组分的体积分数a
Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数b
Vapor volume fraction contours
() 壁面压力系数分布c
Pressure coefficient over the wall
() () () ?!=0.29 ?!=0.22 ?!=0.15()) () (C=0.016 792C=0.011 575C=0.007 825 xxx
图 通气速度 ，通气角度 )(通气孔5 V=0.8m/sα=90?2 jet
Fig.5 Ventilated velocity V=0.8m/s，flow angle α=90?(hole No.2) jet
船舶力学第 卷第 期 678 11 5
通气流量的影响 4.3
保持自然空泡数以及通气角度不变，通过改变通气速度来改变通气流量。
对于通气孔 ，当自然空泡数 ，通气角度 )，壁面阻力系数随着通气流量的 时(见图1=0.22"=2?6!
增加呈先增大后减小的趋势，这主要源于平头型的肩部区域所出现的回射流所致。随着通气流量的增 大，所通入气流首先克服回射流的作用，继续增大通气流量后，阻力系数则开始减小。
当通气角度 时，由于所通气空气的流动方向与平头型肩部的水流方向一致，因而阻力系数 "=90?
随着通气流量的增大而逐渐减小。图 中的压力系数分布表明，该通气角度条件下的侧向壁面干扰作 7
用相应增强。
上述两种通气条件下，在通气孔下游区域已形成能够覆盖住整个航行体的超空泡(空气、水蒸汽 的混合物)，此时继续增大通气量，减阻效果不再明显。且增大通气量后，侧向壁面的干扰作用相应增 强，故本文计算结果中并未出现大通气量时的空泡界面振荡现象。
图 分别为通气孔 在通气角度 ;通气孔 在通气角度 ，通气速度为，通 8~11 2 "=2?0.8~5m/s2 "=30?
气速度为 ;通气孔 在通气角度 ;通气孔 ，通气角度 ，通气速度为，通 0.8~2m/s3 "=20?2~5m/s2+3"=2?
气速度 条件下的空泡形态分布。此时所形成的空泡为局部通气空泡，增大通气量后，空泡在 0.8~5m/s
壁面上的覆盖程度增加，壁面阻力系数相应减小。该减阻效果与通气孔位置及通气角度相关，例如对 于通气孔 ，当通气角度 增至 ，壁面阻力系数从 降至时，通气速度从2"=2?0.8m/s 5m/s0.018 087
;当通气角度 仅增至 ，壁面阻力系数则从 降至时，通气速度从0.017 908"=30?0.8m/s 2m/s0.017 635
。0.016 545
() 空气组分的体积分数a
Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数b
Vapor volume fraction contours
() 壁面压力系数分布c
Pressure coefficient over the wall
() () () ?V=0.8m/s ?V=5m/s ?V=10m/s jetjetjet
() () () C=0.010 216C=0.010 847C=0.010 650xxx
图 通气孔 ，，6 1α=2?=0.22 !
，Fig.6 Ventilated hole No.1 (=2?=0.22) α!
() 空气组分的体积分数a
Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数b
Vapor volume fraction contours
() 壁面压力系数分布c
Pressure coefficient over the wall
() () () ?V=0.8m/s ?V=5m/s ?V=10m/s jetjetjet
()) () (C=0.011 652C=0.011 572C=0.011 539 xxx
图 通气孔 ，，7 1α=90?=0.22"
，"Fig.7 Ventilated hole No.1 (α=90?=0.22)
() 空气组分的体积分数 () 空气组分的体积分数aa
Air volume fraction contours Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数 () 水蒸汽组分的体积分数bb
Vapor volume fraction contours Vapor volume fraction contours () () () () ????V=0.8m/s V=5m/s V=0.8m/s V=2m/s jetjetjetjet()) () () (C=0.018 087C=0.017 908C=0.017 635C=0.016 545 xxxx
图 8 通气孔 2，α=2?，"=0.29 图 9 通气孔 2，α=30?，"=0.29
Fig.8 Ventilated hole No.2 Fig.8 Ventilated hole No.2
() 空气组分的体积分数 () 空气组分的体积分数aa
Air volume fraction contours Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数 () 水蒸汽组分的体积分数bb
Vapor volume fraction contours Vapor volume fraction contours () () () () ?V=2m/s ?V=5m/s ?V=0.8m/s ?V=5m/s jetjetjetjet()) () () (C=0.016 968C=0.016 207C=0.017 394C=0.016 014 xxxx
图 通气孔 ， 图 通气孔 ， ，，10 3α=20?"=0.2911 2+3α=2?"=0.29
Fig.10 Ventilated hole No.3 Fig.11 Ventilated hole No.2 and 3
通气角度的影响 4.4
如仅开启通气孔 1，在自然空泡数 =0.29，通气速度 0.8m/s 时，通气空泡尚未将整个壁面完全稳 "
定覆盖。图 中，当通气角度 时，所形成的空泡界面呈非定常脉动状态，增大通气角度后，空泡覆12 !=2?
船舶力学第 卷第 期 680 11 5
盖程度减小，阻力系数值则相应增大。但当自然空泡数 时(图 )，通气空泡有可能将整个壁面 !=0.22 13
覆盖，此时通气角度的改变对空泡形态以及阻力系数的影响相对较小。
对于通气孔 ，在自然空泡数 ，通气速度 时，当通气角度较小时，随着通气角度的增 2=0.290.8m/s !
大，空气覆盖程度呈逐渐减小的趋势。该分布规律与通气孔 完全相反(图 )，这主要源于通气孔 1 142
位于孔 下游 处，由于平头型航行体肩部回射流区域的存在，当通气量较小时，增大通气角度 1 100mm
更有助于空气、水蒸汽组分向下游传输，如采用小角度通气，则需加大通气量以克服回射流的影响。
与通气孔 相似，当自然空泡数 时(图 )，通气空泡已可将整个壁面覆盖，此时通气角度 1 =0.22 13!
的改变对阻力系数的影响相对较小。但由压力系数分布表明，此时的侧壁干扰作用有所增强，空泡形 态呈脉动振荡状态。
由此可见，通气角度的影响与通气孔的位置、自然空泡数等参数密切相关，需综合考虑。
() 空气组分的体积分数a
Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数b
Vapor volume fraction contours
() () () ?"=2? ?"=10? ?"=90?
()) () (C=0.010 851C=0.014 168C=0.015 154 xxx
图 通气孔 ，，12 1V=0.8m/s=0.29! jet
(，)Fig.12 Ventilated hole No.1 V=0.8m/s=0.29! jet
() 空气组分的体积分数a
Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数b
Vapor volume fraction contours
() 壁面压力系数分布c
Pressure coefficient over the wall
() () () ?=2? ?=20? ?=90?"""
()) () (C=0.010 216C=0.010 254C=0.011 652 xxx
图 通气孔 ，，13 1V=0.8m/s!=0.22 jet
(，)Fig.13 Ventilated hole No.1 V=0.8m/s!=0.22 jet
() 空气组分的体积分数a
Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数b
Vapor volume fraction contours
() () () ?!=2? ?!=30? ?!=90?
() () () C=0.018 087C=0.017 635C=0.016 679xxx
图 通气孔 ，，14 2V=0.8m/s=0.29 "jet
(，)Fig.14 Ventilated hole No.2 V=0.8m/s=0.29 "jet
() 空气组分的体积分数a
Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数b
Vapor volume fraction contours
() 壁面压力系数分布c
Pressure coefficient over the wall
() () () ?!=2? ?!=30? ?!=90?
()) () (C=0.010 216C=0.009 384C=0.011 575 xxx
图 通气孔 ，，15 2V=0.8m/s"=0.22 jet
()Fig.15 Ventilated hole No.2 V =0.8m/s，=0.22"jet
侧向壁面的影响 4.5
当侧向壁面距离较近时，相同通气速度及通气角度条件下，空气、水蒸汽组分下游壁面的覆盖程 度相对增强，空泡尺度增大。因而要形成相似的超空泡形态，有侧壁影响时的通气量要小于实际航行 状态。本文在侧向壁面距离为 时所得到阻力系数值大于侧向壁面距离为 工况，由图 中的压 4D 8D 16 力系数分布可看出，此时整个计算区域呈堵塞状态，从而导致阻力增大。由此可见，当侧壁干扰作用强 烈时，由于空泡堵塞效应，必须对相应状态下的水洞实验数据(如通气规律、阻力系数值等参数)进行 合理修正。
船舶力学第 卷第 期 682 11 5
() 空气组分的体积分数a
Air volume fraction contours
() 水蒸汽组分的体积分数b
Vapor volume fraction contours
() 壁面压力系数分布c
Pressure coefficient over the wall
() 侧向壁面距离 () 侧向壁面距离 ?4D ?8.5D
()) (C=0.018 365C=0.010 851 xx
图 通气孔 ，，，16 1V=0.8m/s=0.29"=2?! jet
(，，) Fig.16 Ventilated hole No.1 V =0.8m/s!=0.29"=2?jet
结论5
本文主要对典型平头型航行体在不同通气孔位置、通气流量、通气方向条件下通气空泡超空泡的 /
形成进行研究，并对有侧壁干扰作用下的通气空泡形态进行分析，结果表明:
()减小自然空泡数，有助于形成能够覆盖整个航行体的超空泡;1
()采用多孔通气的方案有助于形成稳定的超空泡，且可减少通气量;但如何合理、高效地配置 2
通气量及通气角度仍需进行进一步深入研究;
()当侧壁干扰作用强烈时，所形成的超空泡尺寸有所增大，但由于空泡堵塞效应，壁面阻力系 3
数值也相应增加，因而必须对该状态下的常规水洞实验数据进行合理修正。
参 考 文 献:
[1] Savchenko Yu N. Control of supercavitation flow and stability of supercavitation motion of bodies[C]// RTO- EN- 010 AVT
“”Lecture Series on Supercavitating Flows. Brussels, Belgium, 2001.
[2] FLUENT 6.2 Documentation[M]. Fluent Inc., 2006.
[3] Silberman E, Song C S. Instability of ventilated cavities[J]. Journal of Ship Research, 1961(2): 13- 33. [4] Singhal A K, Li H Y, Athavale M M, Jiang Y. Mathematical basis and validation of the full cavitation model[C]// ASME-
FEDSM′01. New Orleans, Louisiana, 2001.
Callenaere M, Franc J P, Michel J M. The cavitation instability induced by the development of a re- entrant jet[J]. Journal [5]
of Fluid Mechanism, 2001, 444: 223- 256.
何友声, 刘 桦等. 二维空泡流的脉动特性研究[J]. 力学学报,1997, 29(1): 1- 7. [6]
颜开褚学森许 晟冯 光超空泡流体动力学研究进展船舶力学 [7] , , , . [J]. , 2006, 10(4): 148- 155.蔡悦斌鲁传敬等瞬态空化泡演变过程的数值模拟应用力学学报 [8] , . [J]. , 1997, 14(2): 1- 6.
邓 飞张宇文袁绪龙水下超空泡航行体流体动力设计原理研究西北工业大学学报[9] , , . [J]. , 2004, 22(6): 806- 810. 杨洪澜张嘉钟黄文虎等楔体外部超空泡形状预测哈尔滨理工大学学报[10] , , . [J]. , 2006, 11(4): 106- 110. [11] 王 鹏, 王树宗. 应用在鱼雷上的超空泡技术分析[J]. 舰船科学技术, 2005, 27(2): 77- 80.
王国玉方 韬韩占忠非定常粘性空化流动模型及其数值计算工程热物理学报[12] , , . [J]. , 2004, 25(5): 783- 785. 于开平蒋增辉超空泡形状计算及相关试验研究飞航导弹[13] , . [J]. , 2005, 12: 15- 22.
[14] 高永琪, 顾建农. 超空泡鱼雷有关流体动力分析[J]. 海洋工程大学学报, 2005, 17(3): 57- 60.
范文五：同方向简谐运动的合成研究
，，胡 光白永前秦 静
223003)( ，淮阴工学院 数理学院江苏 淮安 ,
，: 摘 要基于数学的三角函数方法和物理的旋转矢量方法从理论上对同方向简谐运动的合成进行研究采用
。 计算机的仿真模拟和物理实验演示等方法对同方向简谐运动的合成进行验证
: ; ; 关键词简谐运动合成同方向
: 0423 : A : 1671 ) 380X (2011) 12 ) 0030 ) 04中图分类号文献标志码文章编号
Study on the Synthesis of Several Simple Harmonic Motions in the Same Direction
HU Guang，BAI Yong )q ian，QIN Jing
( Huaiyin Institute of Technology，Huaian 223003，China) Abstract: In theory thes ynthesis of several simple harmonic motions in the samed irection is studied based ontr igonometrical function in Mathematics and rotation vector in Physics. Computers imulation and demonstration of physical experiment are also used to provtehe theoetca esuts. rilrl
Key words: simple harmonic motion; synthesis; samed irection
，振动是物质运动的一种基本形式任何复杂的振动都方向的简谐运动合成对于研究振动的应用具有非常重要的。，，意义 可以分解为几个或者多个简谐运动的合成反之几个或
。者多个简谐运动又可以合成比较复杂的振动 1 数学方法研究简谐运动的合成，、、在物理学领域机械振动波动电磁波及光的运动 n ，设质点同时参与 个同方向简谐运动的合成振动方 。都与简谐运动尤其是同方向简谐运动相关联同方向简谐 程为: 用于 ，运动的合成应用十分广泛在灾害治理与预防方面= Acos( t + ) ，i = 1，2，…，nxωψ i i i i; : 在工程领域楼、、环境噪声治理地质地震海啸灾难预测 则质点的合振动为 、、，宇桥梁铁路等大型建筑工程的防震设计光电信号n ( 、、) ; 如雷达音频视频载波的调制和传输等生命科学领 = Acoss( t + ) = Acos( )t + x = xωψωψ i i i ?i 。域如脑电图的合成等因此研究简谐运动的合成尤其是同 i = 1 :其中
nn 22 A = A( t)= + , ,A cos( ) , Asin( t + ) ,t + ωψ ωψ i i i ? i i? = 1i = 1i 槡 n ，—为了方便起见仅考虑一种特殊情形两个同振幅同相位Asinψ, , ?i i ，不同频率的合成方程为 i = 1( t) ; acr tan , , = = ω ωψ n, , x= Acos( t + ) ，xAcos( t + )ωψωψ 1 1 2 2 , Acos,ψ ?i i : 则合运动后的方程为 i = 1 ，、，合成的振动方程中振幅频率是随时间变化的初。相位是常数 + ωω 1 2 X = A( t)c os ，t + ψ ， ， 2 ( 1 )，= = … =同频率简谐运动合成即 ωω :讨论1 2
+ ωω = ，: x = Acos( )，t + 1 2 ωω ω 时合成后的运动方程化简为ωψ n A( t) = 2Acos 。其中 t + ψ ， ， 2 :其中 nn: 如果两个简谐运动的频率满足频率都比较大而相差 1 2 22A = , , ( Acos) + ( Aψi i i ?? = 1i = 1 i ，+ , ,，比较小即满足 ωω 时则可将合振动) 1 2ωω 1 2 sin)nψ i ) ωω Asinψ1 2, , ?ii ，看作是振幅按照缓慢变化而圆频率等于2Acos i = 1 2= acr tan , , ψ n, , , Acos,ψ + ωω?ii 1 2 i = 1 ，的简谐运动这是一种振幅有周期性变化的简谐运 2 ，合成结果仍然是一个同频率的简谐振动只是振幅与1,,。( 2) ，相位发生了变化不同频率简谐运动合成比较复杂 。。动而且合振动在振幅为零的时刻前后位相会有 的突变
* 2011 ) 10 ) 08: 收稿日期: ( 1966 )) ，，，，，: 。作者简介胡光 男江苏泗阳县人副教授硕士专业方向应用物理
,5,，”象 如图 1。
4 图 旋转矢量的合成
A= ( A，，) ，A= ( A，，) ，…，Aωψωψ 1 1 1 1 2 2 2 2 n
= ( A，，) ， ωψn n n
A: ( x，y) ，( x，y) ，…，( x，y) ; 对应的坐标分别为i 1 1 2 2 n n n
由矢 量 合 成 可 得， 合 成 矢 量 A = A， 所 以 。A = ?i i = 1, ,A( t) cos ( t) t + ωψ
MATLAB ，用 软件对同方向简谐运动合成进行模拟可
以直观地观察到不同情况下同方向简谐运动合成的规律,3, 。5 并且可以观察到合成振动产生的声音与波形图 是用
MATLAB 2 软件对 个同方向简谐运动合成进行模拟的程序
。流程图
，ω如果两个简谐运动的频率大小差别比较大即满足 2
, , ，ω时合振动同时体现出高频运动和低频运动两个性 1
( ) 、，质 振幅频率可以看作是在高频的简谐运动中包含有
( ) ，低频的简谐运动即将低频信号 低频简谐运动载入在
( ) ，，2 高频信号 高频简谐运动中形成载波信号如图 所
。示
2 物理学的旋转矢量方法研究简谐运动的合成
oxy 3，，A在平面坐标系 中作矢量 如图 初始位置时其i
x i，o ，i，与 轴的夹角为 φ矢量绕 点做匀速旋转角速度为 ω
x :矢量在 轴上的投影点的运动方程为 【5】 = Acos( t + ) ，i = 1，2，…，n 。xωψ为简谐运动 i i i i n
由矢量合成可得，合成矢量，为一个新的矢量 A= ?i i = 1
A ，x 其在 轴上的投影点的运动方程即为合成后的简谐运 ，动 nn 5 2 图个同方向简谐运动合成的程序流程图, X = x。= Acos(ω t + ψ) = A( t)c os ( t) t + ωψ ?i ?i i i 以下是用计算机仿真模拟几种两个同方向不同频率简 i = 1i = 1, 。谐运动的合成情况3. 1 两个同方向同频率简谐运动的合成 :由旋转矢量法可得下图 两个振动为
π π x= 3cos ，x= 7cos ，t + t +ππ1 2 ， ，， ， 32
6，则分振动和合振动的波形图如图 可以看出两个同频
，率简谐运动合成后仍是简谐运动且合振动频率与分振动
，，。频率相同由于频率较小无法听见产生的声音
3. 2“” 拍现象的模拟 合成 ，两个分振动的频率相差较小时合振动是一种准简谐
，，、“”运动即 拍现象而且合振动产生的声音时而高 时而，，7 x= cos30t，x=低与波形对应呈现周期性图 为 π 1 2 3 图 旋转矢量表示简谐运动cos29t 的合振动的图形。 π :其中 3. 3载波信号的模拟合成
9 图 五个同频率的合成模拟
，通过对简谐运动合成的模拟能够直观地观察相关合成现
; ，，象同时也可以针对实际波形通过模拟方法进行再现
，通过对比模拟图像与真实图形求解出复杂波形中所包含
，，的简单波形实现对复杂波形的分解求解从而进行相应
。的防治与应用研究
4 物理实验演示简谐运动的合成
，根据多个同方向不同频率简谐运动合成的原理课题
,4, 。组设计实验方案以演示多个同方向简谐运动的合成现象
、( ) 实验的装置由一台双踪示波器两台 或者多台信号发
，10 ，11 生器和一台扬声器构成图 为实验原理图图 为实
。验装置图
，，两个分振动的频率相差很大时合振动也是一种简谐运动
π 8=x= 3cos ，x， 即 载 波 信 号图为t +π1 2， ， 3
π 7cos 。30t +的合振动的波形图π， ， 2
10 图 实验原理图 ，实验内容就是改变信号发生器的频率和幅度用示波
、、器观察两个不同频率不同振幅不同相位的两个正弦波
( ) ，( ) 简谐运动的合成同时通过扬声器 音响聆听合成
。的音频信号
4. 1 两个同频率简谐运动合成
f= f= f= 328Hz ，取 从示波器显示的波形可以知12 3 ，12。道合振动为简谐运动如图 8 图 载波信号的合成模拟 “” 4. 2拍现象演示3. 4 多个同方向同频率简谐运动合成 五个频率，。“”两个频率较大频率差较小的两振动合成 拍: ，f相同的简谐振动振动方程分别为 取1 = 3032Hz ，———= 3274H，f合成波形具有明显的周期性拍 2 π π ，13。现象如图 x= 0. 5cos 01. 0cos = ，x ，2t 2t ππ1 2， ， ， ，??1 2 33 4. 3载波信号演示 +π +π 。f = 241H，f =一个低频振动和一个高频振动合成取 = 2. 0cos x，，2t π 412， ， ， ?4 33 4620Hz ，，，合成波形类似于正弦波但是振动频率快周期 x= 1. 5cos 2t +π π3 ， ?，14。 短如图 3 ，3 4. 4 通常的两个不同频率简谐运动合成 MATLAB 9 。+利用 可绘出的它们合成的波形如图 所示 = 3176H，f= 4610Hz ，，f合振动不再是简谐运动 取 ，。合振动仍是简谐运动且合振动频率与分振动频率相同 1 2
，15 。x= 2. 5cos 但具有某种周期性如图 所示2t π5 ， ?5
+
，，振幅特性这种现象称为载波信号载波信号在实际应用
，，过程中非常广泛如果这两个频率本身都比较大而值相
，。MATLAB 差又较小时合振动出现拍现象用 模拟同方向
，简谐运动的合成过程不仅可以方便快捷地看到各种振动
，; 、合成图形而且可以听到振动的声波用信号发生器示 波器和扬声器等常见设备仪器即可设计完成同方向不同频
。率的简谐振动的合成实验
11 图实验装置图
，由以上几种情况可知一般情况下不同频率的简谐运
，。动合成后不再是简谐运动与计算机模拟结果相符
:参考文献
,1, ，. J,.,李京颖彭晓伟 同频简谐振动合成的一般规律
( ) ，2007，24( 3) :4 0 ) 42阜阳师范学院学报自然科学版
,2, . J. ,,蓝海江 多个简谐振动的合成广西科学院学报
2009，25( 1): 22 ) 25
,3, ，，. MATLAB 张学科陆朝华潘晓明 基于 研究多个不同 ,J,. ，2009，24( 2) :频率简谐振动的合成柳州师专学报 128 ) 131 理论分析和实验证明多个同方向同频率简谐运动可以合成 ，,4, . ,J,. 为一个同频率的简谐运动多个同方向不同频率的简谐运 用示波器观察简谐振动的合成大学物理赵海英
，动合成一般情况下是比较复杂合成的是一个频率振幅都 2001，14( 4) :1 9 ) 20，实验; ，但是在研究两个同方向 ，在变化的运动没有周期性质 ,5, ，，. ( ) ,M,.马文蔚周雨青解希顺 物理学教程第二版 ，不同频率的简谐运动合成的时候发现如果这两个频率相 ; ，2009北京高等教育出版社
