老王一边搞你一边
范文一：八年级数学辅导
第一讲 如何做几何证明题
【知识精读】
1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题.
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法:
(1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决;
(2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止;
(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的.
3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形.在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的.
【分类解析】
1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系.很多其它问题最后都可化归为此类问题来证.证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到. 【例1】已知:如图1所示,中,. ，,:,,,CACBCADDBAECF90，，，,ABC
DF 求证:DE,
A
E
D
CFB
图1
1
【例2】已知:如图2所示,AB,CD,AD,BC,AE,CF.
求证:?E,?F
E
AD
CB
F
图2
说明:利用三角形全等证明线段求角相等.常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意:
(1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量;
(2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形.
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置.证两直线平行,可用同位角、内错角或
同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明.证两条直线垂直,可转化为证
一个角等于90?,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证. 【例3】如图3所示,设BP、CQ是的内角平分线,AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线. ,ABC
求证:KH?BC
A
QPKH
BNCM
图3
2
说明:当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形.我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形.
【例4】已知:如图4所示,AB,AC,. ?，，AAEBFBDDC,:,,90
求证:FD?ED
A
EF
321CBD
图4
说明:有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅助线.
证明两直线垂直的方法如下:
(1)首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证二.
(2)找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余.
(3)证明二直线的夹角等于90?.
3、证明一线段和的问题
(一)在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段.(截长法) 【例5】已知:如图6所示在中,,?BAC、?BCA的角平分线AD、CE相交于O. ,ABC，,:B60
求证:AC,AE，CD
3
B
EDO
14235A6FC
图6
(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等
于较长线段.(补短法)
【例6】已知:如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上,. ，,:EAF45
求证:EF,BE，DF
AD
31
2F
GECB
图7
4
第二讲:二次根式的运算 【知识梳理】
a,01、 当时，称a为二次根式，显然。 a,02、 二次根式具有如下性质:
2(1)，，; ，，a,aa,0
a，当a,0时，,2(2) a,a,,aa,，当,0时;,
(3); ，，ab,a,ba,0，b,0
aa(4)。 ，，,a,0，b,0bb
3、二次根式的运算法则如下:
1); (，，，，ac,bc,a,bcc,0
nn，，，，a,aa,0(2)。
a,c，b,d4、设，且不是完全平方数，则当且仅当时， ma，b，c，d，m,Q
a，bm,c，dm。
5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，
还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。
6、最简二次根式与同类二次根式
(1)一个根式经过化简后满足:
被开方数的指数与根指数互质;
被开方数的每一个因式的指数都小于根指数;
被开方数不含分母。
适合上述这些条件的根式叫做最简根式。
(2)几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类
根式。
5
【例题精讲】
22x,2x,222【例1】已知，则___________________。 y,,，2x，y,5x,44,5x
【巩固一】若为有理数，且，则的值为___________。 x，y2x,1，1,2x，y,4xy
x，y,【巩固二】已知，则 _______________________。 y,1,x，x,1，2009
【拓展】若适合关系式，求mm3x，5y,2,m，2x，3y,m,x,199，y,199,x,y
的值。
22aaabb,4，4a,2b【例2】当时，化简二次根式。 aba,2
6
【巩固】
221、化简的结果是__________________。 ，，4x,4x，1,2x,3
2a,02、已知，则等于( ) ，，2a,a
3a,3aA. B. C. D. a,a
2222b,a,0,c，，，，，，a，c,a,a，b，b,c3、已知，化简。
【例3】多重二次根式的化简:
4，23，4,23(1); (2)。 10，83，22
【巩固】化简:(1)______________________; 27，102,
25,46，25,(2)________________________;
xxxx，，，，，，，,4156110(3)______________________;
7
【拓展】化简。 1996199519941993，1991，1，1，1，1
【例4】计算:
6，43，3210，14,15,21(1); (2)。
，，，，6，33，210，14，15，21
【巩固】计算:
11，57，4615，35，21，5(1); (2)。
3，25，77，77，66，42
111M,，，？，【拓展】设，
1，22，32007，2008
NN,1,2，3,4，？，2007,2008，则的值是__________________________。 2，，M，1
8
第三讲:二次根式的化简求值
【知识梳理】
有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点，这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形;有时需把待求式化简或变形;有时需把已知条件和待求式同时变形。 【例题精讲】
66【例1】设，，求的值。 x,5，5y,5,5x，y
【巩固】
2,12，1221、设，求的值。 x,，y,x,xy，y
2，12,1
1111，x,，y,2、已知，求的值。 22，，，，x，1y，12，32,3
432x,2,3xxxx,，,565【拓展】已知，求的值。
9
xx1,【例2】已知，那么的值等于______________。 x，,222x，3x，1x，9x，1x
【巩固】
121、若，则的值为( ) 4x，xx,,a
a
111a,a，,aA. B. C. D.不能确定 aaa
xx1,2、已知，求的值。 x，,522x，x，1x,x，1x
22a、ba、b【例3】已知是实数，且，问之间有怎样的关系,请推导。 ，，，，1，a，a1，b，b,1
10
2222，，，，【巩固】已知x，x，2008y，y，2008,2008，求的值。 x,3xy,4y,6x,6y，58
22a、ba，b,2【例4】已知均为正数，且，求的最小值。 U,a，4，b，1
22，，x，4，12,x，9【巩固】求代数式的最小值。
11
第四讲:直角三角形与勾股定理
【知识梳理】
一、直角三角形的判定:
1、有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理逆定理
二、直角三角形的性质
1、直角三角形两锐角互余(
2、直角三角形中30?所对的直角边等于斜边的一半(
3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半;
2224、勾股定理:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a，b,c(5.直角三角形
222两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a，b,c(
由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响(在?ABC中，
222(1)若c,a，b，则?C,90?;
222(2)若c,a，b，则?C,90?;
222(3)若c,a，b，则?C,90?(
勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用(
2225、勾股定理逆定理:如果三角形三边长a，b，c有下面关系:a，b,c那么这个三角形是直角三角形(
2226、勾股数的定义:如果三个正整数a、b、c满足等式a，b,c，那么这三个正整数a、b、c叫做一组勾股数。简单的勾股数有:3，4，5; 5，12，13; 7，24，25; 8，15，17; 9，40，41。
【典例精析】
?例1:在?ABC中，?BAD,90?，AB,3，BC,5，现将它们折叠，使B点与C点重合，求折痕DE的长。
A
D
BCE
12
【巩固】
1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC,6 cm、BC,8 cm，现将?ABC折叠，使点B与点
CA重合，折痕为DE，则BE的长为( )
DA.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
BA E
,2、四边形ABCD中，?DAB,60，?B,?D,90?，BC,1，CD,2;求对角线AC的长,
D
C
AB
?例2:如图所示(已知:在正方形ABCD中，?BAC的平分线交BC于E，作EF?AC于F，作
22FG?AB于G(求证:AB,2FG(
DC
F
E
ABG
【巩固】已知?ABC中，?A,90?，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC上，ME?MF 222 求证:EF,BE，CF
A
E F
BC M
13
2?例3:已知正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE,a，AF,b,且S, EFGH3
求:的值 b,a
AED
H
F
BCG
?例4:已知:P为?ABC内一点，且PA,3，PB,4，PC,5，求?APB的度数
A
P
BC
【巩固】如图，四边形ABCD中，AC?BD，AC与BD交于O点，AB,15，BC,40，CD,50，则AD,________.
B
ACO
D
?例5:一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_______种可能，其中最大的值是______.
【拓展】是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等,若存在，求出它的各边长;若不存在，说明理由。
14
【课外练习】
1、如图，在RtΔABC中，?ACB,90?BC,3,AC,4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为( ) A
3725A( B( C( D(2 266D
B E C
?ABCABAC,ABBC,,5cm6cm，2、如图，等腰中，，AD是底边上的高，若， 则AD, cm( A
B C D 3、已知AB?CD，?ABD，?BCE都是等腰三角形，CD,8，BE,3，则AC的长等于( )
34A.8 B.5 C.3 D. A
E
DCB
4、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形(若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
A(13 B(26 C(47 D(94
5、如图，在矩形ABCD中，在DC上存在一点E，沿直线AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设
2此点为F，若?ABF的面积为30cm，那么折叠的?AED的面积为_______.
D A
第五讲:平行四边形(基础篇) E【知识梳理】
BCF1、平行四边形:
平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质:
15
(1)平行四边形对角相等;
(2)平行四边形对边相等;
(3)平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法: (1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、特殊平行四边形:
一、矩形
(1)有一角是直角的平行四边形是矩形
(2)矩形的四个角都是直角;
(3)矩形的对角线相等。
(4)矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形 (5)矩形判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形 二、菱形
(1)把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(2)定理1:菱形的四条边都相等
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. (4)菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2
(5)菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形 (6)菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 三、正方形
(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (2)性质:?四个角都是直角，四条边相等
?对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
(3)判定:?一组邻边相等的矩形是正方形
?有一个角是直角的菱形是正方形
【例题精讲】
【例1】填空题:
在下列特征中，
(1) 四条边都相等 平行四边形具有的是:
(2) 对角线互相平分 16
(3) 对角线相等 矩形具有的是:
(4) 对角线互相垂直
(5) 四个角都是直角 菱形具有的是:
(6) 每一条对角线平分一组对角
【巩固】
1、下列说法中错误的是( ) ((
A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形 3、下面结论中，正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
BCCA?ABCDECA?DFBA?4、如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，(下AB
列四种说法:
AEDF ?四边形是平行四边形;
,AEDF，,BAC90?如果，那么四边形是矩形;
，BACAEDF?如果平分，那么四边形是菱形; AD
ADBC,ABAC,AEDF?如果且，那么四边形是菱形.
其中，正确的有 .(只填写序号)
,
,
,
, , ,
【例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点. 求证:四边形BFDE是平行四边形.
A E D
C 17 F B
【巩固】已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF,CE，DF,BE，DF?BE( 四边形ABCD是平行四边形吗,请说明理由(
DC
FE
AB
【例3】如图，梯形ABCD中，AB?CD，AC平分?BAD，CE?AD交AB于点E(
求证:四边形AECD是菱形(
DC
BAE
【例4】如图，在等边?ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边?ADE( (1)求?CAE的度数;
(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形(
A
EF
BCD
【巩固】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE?AC，CE?BD( (1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由;
(2)若AB,6，BC,8，求四边形OCED的面积(
DA
OE 18
BC
【例5】如图所示，在?ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边?ABD、等边?ACE、等边?BCF.
(1)求证:四边形DAEF是平行四边形; F E D A
B C
(2)探究下列问题:(只填满足的条件，不需证明)
?当?ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形;
?当?ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形;
?当?ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.
第六讲:平行四边形(提高篇)
【知识梳理】
由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、
19
正方形。
另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。 【例题精讲】
2222【例1】四边形四条边的长分别为，且满足，则这m、n、p、qm，n，p，q,2mn，2pq个四边形是( )
A.平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形 C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形
【例2】如图?，四边形ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE?AG于点E，BF?AG于点F.
(1) 求证:DE,BF , EF(
(2) 当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由( (3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变(请你在图?中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明)(
ABCDBCDCAEEF,【巩固】如图1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，EF
BE,2.
ECCF(1)求?的值;
CPP于点AEEP与EF(2)延长交正方形外角平分线(如图13,2)，试判断的大小关系，并说明理由;
ABDMEP(3)在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形,若存在，请给予M
20
证明;若不存在，请说明理由(
A D A D
P F F
B E B C C E
图1 图2
【例3】如图，在矩形ABCD中，已知AD,12，AB,5，P是AD边上任意一点，PE?BD于E，PF?AC于F，求PE，PF的值。
【例4】如图，在?ABC中，?BAC,90?，AD?BC，BE、AF分别是?ABC、?DAC的平分线，BE和AD交于G，求证:GF?AC。
【例5】如图所示，Rt?ABC中，?BAC,90?，AD?BC于D，BG平分?ABC，EF?BC且交AC于F。求证:AE,CF。
A
G
21 FE
CBD
【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，?B，?D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H。求证:AH,CG。
第七讲 一次函数(一)
【知识梳理】
一、一次函数和正比例函数的概念:
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y,kx，b(k，b为常数，k?0)的形式，则称y是x的
22
一次函数(x为自变量)，特别地，当b,0时，称y是x的正比例函数.
二、一次函数的图象:
由于一次函数y,kx，b(k，b为常数，k?0)的图象是一条直线，所以一次函数y,kx，b的图象也称为直线y,kx，b(由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点、直线与y轴的交点(0，b)，直线与x轴的交
b点(,，0).但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y,kx的图象时，只要描出点(0，0)，k
(1，k)即可.
三、一次函数y,kx，b(k，b为常数，k?0)的性质:
(1)k的正负决定直线的倾斜方向;
?k,0时，y的值随x值的增大而增大;?k，O时，y的值随x值的增大而减小( (2)|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡)，|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小(直线缓);
(3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置;
,0时，直线与y轴交于正半轴上; ?当b
?当b,0时，直线与y轴交于负半轴上;
?当b,0时，直线经过原点，是正比例函数(
(4)由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同;
?如图11,18(1)所示，当k,0，b,0时，直线经过第一、
二、三象限(直线不经过第四象限);
?如图11,18(2)所示，当k,0，b，O时，直线经过第一、
三、四象限(直线不经过第二象限);
?如图11,18(3)所示，当k，O，b,0时，直线经过第一、
二、四象限(直线不经过第三象限);
?如图11,18(4)所示，当k，O，b，O时，直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限)(
(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的(另外，从平移的角度也可以分析，例如:直线y,x，1可以看作是正比例函数y,x向上平移一个单位得到的(
四、正比例函数y,kx(k?0)的性质:
(1)正比例函数y,kx的图象必经过原点;
(2)当k,0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大;
(3)当k,0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小(
五、用函数的观点看方程与不等式:
23
(1)方程2x，20,0与函数y,2x，20观察思考、二者之间有什么联系,
从数上看:方程2x，20,0的解，是函数y,2x，20的值为0时，对应
自变量的值
从形上看:函数y,2x，20与x轴交点的横坐标即为方程2x，20,0的
解关系、由于任何一元一次方程都可转化为kx，b,0(k、b为常数，k
?0)的形式(所以解一元一次方程可以转化为、当一次函数值为0时，
求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线y,kx，b确定它
与x轴交点的横坐标值(
ykxb,，,(2)解关于x、y的方程组，从“数”的角度看，?相当于考虑当自变量为何值时两个函,ymxn,，,
数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线y,kx，b与y,mx，n的交点坐标。两条直线的交点坐标，?就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。
(3)解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于(或小于)0时，求自变量相应的取值范围( 解关于x的不等式kx，b>mx，n可以转化为:
当自变量x取何值时，直线y,(k,m)x，b,n上的点在x轴的上方，或(2)求当x取何值时，直线y,kx，b上的点在直线y,mx，n上相应的点的上方((不等号为“<”时是同样的道理)>
【例题精讲】
ykxbkb=+<,0?例1:已知一次函数，则这样的一次函数的图象必经过第 象限.="">
【巩固】
y,mx,n1、一次函数的图象如图，则下面结论正确的是( )
m,0,n,0m,0,n,0A、 B、
m,0,n,0m,0,n,0C、 D、
m,,1y,kx，b2、若直线经过点A(m，,1)，B(1，m)(其中)，则这条直线不经过第 象限。
abbcca+++===pabc0ypxp=+【拓展】已知?，并且，那么一定经过( ) cab
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限
24
?例2:若直线y,kx，6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少,
,1【巩固】过点P(，3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作几条,
k【拓展】设直线(是正整数)与两坐标轴所围成的图形的面积为、、、?、kx，(k，1)y,1SSS312
则 ; SS，S，,,,，S,2000122000
?例3:如图所示，直线y,x，2与x轴交于点A，直线y,,2x，6与x轴交于点B，且两条直线的交点为P，试求出?PAB的面积,
y
y=,2x+6y=x+2
P
AB xO
【巩固】
1yxb=+1、如图，在直角坐标系中，长方形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线恰好将长方3
b=形OABC分成面积相等的两部分，那么 y
B(15,6)C
25
OAx
2、如图所示，已知直线y,x，3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把?AOB的面积分为2:1的两部分，求直线l的解析式(
【拓展】若直线和直线(k是正整数)及x轴围成的三角形面积为，ykxk,，,1ykxk,，，(1)Sk
值为___________. 则SSSS，，，，？1232008
?例4:一次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列ykxb,，ykx,12
x,,1结论:?k,0，b,0;?k,0;?关于x的不等式kxbkx，,的解集是;?关于x、y的1212
ykxb,，x,,1,,1二元一次方程组的解为;其中正确的结论有____________. ,, yy,,2ykx,,2,ykx, 2
,1 x O
,2
ykxb,， 1 【巩固】
1、已知关于x的不等式kx,2>0(k?0)的解集是x>,3，则直线y,,kx，2与x轴的交点是_______( 2、如右图，直线l:y,kx，b与直线l:y,kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于1122
yl1xkxkxb,，的不等式的解集为 l212
3 26
Ox-1
(第12题图)
595yx,，?例5:一个一次函数的图像与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过xy44
点(,1，,25)，则线段AB上(包括端点A、B)，横坐标、纵坐标都是整数的点有几个,
【巩固】如图一次函数的图象经过点和，则的值yx,，5Pab(,)Qcd(,)acdbcd()(),,,为 。
y
Ox
?例6:如图，直线的解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、xlllly,,3x，31121
交于点C。 l2
(1)求直线的解析式。 l2
(2)求?ADC的面积;
(3)在直线l上存在异于点C的另一点P，使得?ADP与?ADC的 2
面积相等，请直接写出点P的坐标。
【课后练习】
1、点A为直线y,,2x，2上的一点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为________。
y,kx，by,,bx，k2、直线经过一、二、四象限，那么直线经过 象限。
y
kb，k,0ykxb,，3、一次函数(是常数，)的图象如图所示，
2 kxb，,0则不等式的解集是( )
ykxb,， 27
x 0 ,2
A( B( x,,2x,0
C( D( x,,2x,0
4、如图一直线L经过不同三点A(a，b)，B(b，a)，C，那么直线L经过( ) (,)abba,,
A(第二、四象限 B(第一、三象限 C(第二、三、四象限 D(第一、三、四象限 5、设直线(为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(,1，2，Snnnxny++=(1)2n
SSSS3，?，2000).则，，，?，的值为 ( ) 1232000
1999200020011A. B. C. D. 200020012002
36、如图直线与轴、轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内xyx,,，1y3
1(,)a作等腰直角?ABC，?BAC,90?，如果在第二象限内有一点P，且?ABP的面积与?ABC的2
面积相等，求a的值。
Cy
B
P
AxO
第八讲 一次函数(二) 【知识梳理】
一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系，构建一次函数模型，再利用一次函数的性质求出问题的解。
【例题精讲】
?例1:我市一种商品的需求量y(万件)、供应量y(万件)与价格x(元,件)分别近似满足下12
0列函数关系式:y,,x，60，y,2x,36;需求量为时，即停止供应。当y, y时，该商品的121 2
28
价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量(
(1)求该商品的稳定价格与稳定需求量;
(2)价格在什么范围，该商品的需求量低于供应量,
(3)当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量，
现若要使稳定需求量增加4万件，政府应对每件商品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求
量,
y yx,,2362
yx,,，601
x O
【巩固】图11,30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y(千米)随时间x(分)变化的图象(全程)，根据图象回答下列问题(
(1)当比赛开始多少分时，两人第一次相遇,
(2)这次比赛全程是多少千米,
(3)当比赛开始多少分时，两人第二次相遇, 甲
乙
x?例2:在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为(张)，总费用为(元)(现有两种购买方y
案:
方案一:若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元; (总费用,广告赞助费，门票费) y(元) 方案二:购买门票方式如图所示(
解答下列问题:
14000 x(1)方案一中，与的函数关系式为 ; y10000
0160??xx方案二中，当时，与的函数关系式为 ; y
x(张) O 100 150 x,100x当时，与的函数关系式为 ; y
29
(2)如果购买本场足球赛超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省,请说明理由; (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张(
【巩固】我国是世界上严重缺水的国家之一(为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费。即一月用水10吨以内(包括10吨)的用户，每吨收水费元;a
bba,一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元()a
收费。设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示: xxyy
(1)求的值;某户居民上月用水8吨，应收水费多少元, a
bx,10(2)求的值，并写出当时，与之间的函数关系式; xy
(3)已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨,
?例3:抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨。从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表(表中“元/吨?千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币)
路程(千米)运费(元/吨?千米)
甲库乙库甲库乙库
A库20151212
B库2520108
xx(1)若甲库运往A库粮食吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费(元)与(吨)的函数y
关系式;
(2)当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少,
30
AB，【巩固】我市某乡两村盛产柑桔，村有柑桔200吨，村有柑桔300吨(现将这些柑桔运AB
CD，CD，D到C两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨;从村运往两处A
CD，的费用分别为每吨20元和25元，从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元(设从BA
AB，C村运往仓库的柑桔重量为吨，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元( yyxAB(1)请填写下表，并求出与之间的函数关系式; yy，xAB
收
C 总计 D 地 运
地
吨 200吨 x A
300吨 B
总计 240吨 260吨 500吨
AB，(2)试讨论两村中，哪个村的运费较少;
(3)考虑到村的经济承受能力，村的柑桔运费不得超过4830元(在这种情况下，请问怎样调BB
运，才能使两村运费之和最小,求出这个最小值(
?例4:我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车(已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城(如图所示，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s(单位在:km)与运行时间t(单位:h)的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s(单位:km)与运行时间t(单位:h)的函数图象(请根据图中信息，解答下列问题: (1)点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_________h，点B的纵坐标300的意义是_______________________;
(2)请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s与时间t的函数图象; (3)若普通快车的速度为100 km/h，
?求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围;
?求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇; (((
?直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间( ((
s/km B A 300 31
200
100
t/h
O 0.5 1 2 3 C
【巩固】某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟。图中表示快递车距离A地的路程y(单位:千米)与所用时间x(单位:时)的函数图象(已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时(
(1)请在图中画出货车距离A地的路程y(千米)与所用时间x(时)的函数图象; (2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案);
(3)求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时,
【课后练习】
1、某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票(经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数(人)y
?xx与售票时间(分)的函数关系如图所示;每个售票窗口票数(人)与售票时间(分)的函y
?x数关系如图所示(某天售票厅排队等候购票的人数(人)与售票时间(分)的函数关系如图y
?a所示，已知售票的前分钟开放了两个售票窗口(
a(1)求的值;
(2)求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数;
32
(3)该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口(若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口,
y/人 y/人 y/人
300
4 240 3
1 O a 78 x/分 O 1 x/分 O x/分
(图?) (图?) (图?)
2、如图，工地上有A、B两个土墩，洼地E和河滨F，两个土墩的土方数分别是781方，1584方，洼地E填上1025方，河滨F可填上1390方，要求挖掉两个土墩，把这些土先填平洼地E，余下的图填入河滨F(填入F实际只有1340方)，如何安排运土方案，才能使劳力最省,(提示:把土方,米作为运土花费劳力的单位)
A
50米
E150米
30米
B 120米
F
33
范文二：八年级数学辅导
八年级数学辅导
一、选择题
１、下列说法正确的是 （ ）
Ａ、两个正无理数之和一定还是正无理数 Ｂ、两个无理数之间没有有理数 Ｃ、无理数分为正无理数、负无理数和零 Ｄ、无理数可以用数轴上的点表示
2．如果：2a m ?b m +n =8a 9b 15，则 （ ）
A 、m =3, n =2 B 、m =3, n =3 C 、m =6, n =2 D 、m =2, n =5 ３、如果a 是2008的算术平方根，则()32008的平方根是 （ ） 100
a a a a Ａ、 Ｂ、 Ｃ、- Ｄ、± 100101010
4
（ ）
Ａ、±8 Ｂ、±4 Ｃ、±2
Ｄ、44x y ) 的结果是 （ ） 3
58A. x 6y 2 B. -4x 6y C. -4x 6y 2 D. x y 35．计算：(3x y ) ?(-2
6．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是 （ ）
x 2-2x +1=x (x -2) +1
222C. x -4y =(x +4y )(x -4y ) D. x -x -6=(x +2)(x -3)
7．若(x +m )(x -8) 中不含x 的一次项，则m 的值为 （ ） A. (x +1)(x -1) =x -1 B.
A 、8 8、－8 C 、0 D 、8或－8
8．下列多项式，能用公式法分解因式的有 （ ）
① x 2+y 2 ② -x 2+y 2 ③ -x 2-y 2 ④ x 2+xy +y 2
⑤ x 2+2xy -y 2 ⑥ -x 2+4xy -4y 2
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题
9、若a , b 都是无理数，且a +b =2，则a , b 的值可以是______________.（填上一组满足条件的值即可）
10、当x = _______
__________.
11、若一个正数的平方根是2a +1和-a +2，则a = _______，这个正数是___________.
12
的整数有___________.
13、若a 是b 的平方根，且a 与b 的差等于0，则a = ______.
14
2a 的取值范围是___________.
15、若5x +19的立方根为４，则2x +7的平方根是______.
16
、若3x -1=2，则x =___________.
17、已知a
是小于32-a =a -2，那么a 的所有可能值是___________.
18．若5x =18, 5y =3， 则5x -2y
19．若a +2a =1，则2a +4a +120．代数式4x +3mx +9是完全平方式，m ＝___________。 222
三、解答题
21、已知a , b , c
a -b +c -a
22．因式分解
（1）3a -9ab （2）9m -4n
（3）2a -12a b +18ab （4）a +2ab +b -m
22．（10分）已知(x -y ) 2=4，(x +y ) 2=64；求下列代数式的值：
（1）x 2+y 2； （2）xy
322222222
范文三：八年级数学辅导
北师版八年级-不等式与不等式组练习题 一、选择题
1. 如果a、b表示两个负数，且a,b，则( )(
11aa(A) (B),1 (C) (D)ab,1 ,,1babb
2. a、b是有理数，下列各式中成立的是( )(
2222(A)若a,b，则a,b (B)若a,b，则a,b
(C)若a?b，则,a,?|b| (D)若,a,?|b|，则a?b 3. ,a,，a的值一定是( )(
(A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4. 若由x,y可得到ax,ay，应满足的条件是( )(
(A)a?0 (B)a?0 (C)a,0 (D)a,0 5. 若不等式(a，1)x,a，1的解集是x,1，则a必满足( )(
(A)a,0 (B)a,,1 (C)a,,1 (D)a,1
1,x,2,,6. 若不等式组有解，则k的取值范围是( )( ,x,k,
(A)k,2 (B)k?2 (C)k,1 (D)1?k,2
x，9,5x，1,,7. 不等式组的解集是x,2，则m的取值范围是( )( ,x,m，1,
(A)m?2 (B)m?2 (C)m?1 (D)m?1
3,2x,1,8. 若x是非负数，则的解集是x?0_ _____( 529. 已知(x,2)，,2x,3y,a,,0，y是正数，则a的取值范围是_ a,4_____( 10. 若m,5，试用m表示出不等式(5,m)x,1,m的解集______(
x，y,2k,,11. k满足______时，方程组中的x大于1，y小于1( ,x,y,4,
二、解下列不等式
12. 2(2x,3),5(x,1)( 10,3(x，6)?1(
y，1y,1y,1xx,2,,,13. 1，,5,,32632
3y,82(10,y)y,,，1.14. 3[x,2(x,7)]?4x( 37
3x,32x，1,2，4x,3x,7,,xx,,,x,,,,,1,,,,236x,3,5x,4, 23,,,1,,,[x,2(x，3)],1.2(x,3),3(x,2),,6.3x,7,2x,3.,,,2,
三、变式练习
215. 若m、n为有理数，解关于x的不等式(,m,1)x,n(
，,，?2xy13m,,16. 已知方程组的解满足x，y,0，求m的取值范围( ,x，2y,1,m?,
17. 适当选择a的取值范围，使1.7,x,a的整数解:
(1) x只有一个整数解;
(2) x一个整数解也没有(
2218. 已知A,2x，3x，2，B,2x,4x,5，试比较A与B的大小(
3x,4,a,,19. 已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x,2，求a的值( ,x,2,0,
x,a,0,,20. 关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围( ,3,2x,,1,
四、解答题
21. 某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的产
量就超过了原来20天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车?
22. 某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是:答对一题给6分，答错一题倒扣
2分，不答题不得分也不扣分(某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，
成绩才能在60分以上?
23. 某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，
但要保证利润不低于10,，那么商店最多降价多少元出售商品?
24. 某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成;但他加工2小时后，因事
停工40分钟(那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加
工多少个零件?
3325. 一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m的土方(在前两天共完成了120m后，接
到要求要提前2天完成掘土任务(问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方?
26. 某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾厂处理(如果甲厂每小时可处理垃
圾55吨，需花费550元;乙厂每小时处理45吨，需花费495元(如果规定该城市每天
用于处理垃圾的费用的和不能超过7150元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾?
范文四：八年级数学辅导
O
例1、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格
的边长为1 cm，则这个圆锥的底面半径为( )。
B A 21A(cm B(cm C(cm D(cm 22222例1图
例2:(2009年柳州)如图，正方形网格中，?ABC为格点三角形(顶点都是格点)，将?ABC绕点A按逆时针方向旋转90?得到( ?ABC11
(1)在正方形网格中，作出;(不要求写作法) ?ABC11C (2)设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积((结果保留) πA B 例3、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置;
(2)若A点的坐标为(0，4)，D点的坐标为(7，0)，试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上;
实战演练
1、如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 (结果保留)( π
2、如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作:
(1) 请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为________;
(2) 连接AD、CD，求?D的半径(结果保留根号)及扇形ADC的圆心角度数;
(3) 若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径 (结果
保留根号).
第2题 例((河南省中考题)如图，一块含有的直角三角板，在水平130?ABC
桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，若的长为，那么顶CA′B′CBC15cm
点从开始到结束所经过的路径长为()A
A.12cm B.10cm C. 15cm D.20cmx
例将边长为的正方形的四边沿直线向右滚动不滑动，当正2.8cmABCD()
方形滚动两周时正方形的顶点所经过的路线的长是,A cm..
例((济南市中考题)如图，矩形中，，，将矩形在直线上按顺时针方3ABCDAB=8AD=6ABCD向不滑动的每秒转动，转动秒后停止，则顶点经过的路线长为。90?3A
例(芜湖市中考题一个小朋友在粗糙不滑动的字型平面轨道上滚动一个半径为的圆盘，4()“Z”10cm如图所示，与是水平的，与水平面的夹角为，其中，，，请你ABCDBC60?AB=60cmCD=40cmBC=40cm作出该小朋友将圆盘从点滚动到点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。AD
一、弧长有关的计算
26cm 例1(2008年烟台市)如图1，水平地面上有一面积为30,cm的扇形AOB，半径OA=，且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为( )
20cm24cmA( B(
10,cm30,cmC( D(
三、圆锥面积的计算
2(郴州市)已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，它的侧
面积是 ______(
3(如图2，小明从半径为5的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后cm
利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠)，那么这个圆60% 锥的高为( ) R,5
26A.3cm B.4cm C.cm D.cm 2140% 4((襄樊市)如图3，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120?，
(1) (2) AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为( ) 图 2
40022100cm,,cmA( B( 3
80022800cm,,cmC( D( 3
2、?O的直径是10cm，弦AB,8cm，则圆心O到弦AB的距离是 ;
若P为弦AB上的一个动点，连结OP，则使线段OP长为整数的点P的不
同位置共有 个。
,,3、AB和CD是?O的两条弦，AB ,2CD ，则AB 2CD(填“,”、“,”、“,”)
4、如图，AB是?O的直径，弦CD?AB于H，BD?OC，则?B的度数是
E D C C
A A B O B O H O C
D D A B (第7题图) (第6题图) (第4题图)
5、?O的半径是5cm，弦AB?CD，AB,8cm，CD,6cm，则以A、B、C、D为顶点的梯形的面积是
,6、如图，AB是?O的直径，弦CD?AB，E为BC 上一点，若?CEA,28?，则?ABD的度数是 7、如图，?ABC内接于?O，AB,BC，?BAC,30?，AD为?O的直径，AD,23 ，则BD,
,8、已知:如图，M是AB 的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设?O的半径为4cm，MN,43cm. (1)求圆心O到弦MN的距离;
(2)求?ACM的度数.
O NA
C
MB9、AB和CD是?O的两条弦，AB被CD垂直平分，则AB与CD的大小关系是AB CD(填“,”“,”“?”“?”“,”)
10、如图，在Rt?ABC中，?C,90?，AB,10，若以C为圆心，BC为
C 半径的圆恰好过AB的中点D，则AC的长等于
11、如图，MN是?O的直径，MN,2，点A在?O上，?AMN,30?，
,A 点B为AN 中点，P直径MN上的一个动点，则PA，PB的最小值是 B D
(第10题图) 13、如图，AB是?O的弦，半径OD?AB于C,点E在?O上，?AODA ,60?，则?DEB的度数是 ;若AB,8，则?O的半径是 B 14、如图，已知?O的直径MN,10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、
OP和?O上，且?POM,45?，则AB, N M O P
P C E D A O (第11题图) M N C B O A B A B O C
D
(第14题图) (第13题图) (第15题图)
15、如图，?O的直径AB,2，弦AC,3 ，则?BAC, ;在?O中画出弦AD，使AD,2 ，并指出?DAC的度数是
23、如果圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积是 cm.
ABC，ACB,90:，B,30:BC,64、如图，三角板中，，，(
'C三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转AABBA
/ A 过的路径长为 ( B
C
B C O
/A B A (第5题图) (第6题图) (第4题图)
15,5、如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，则圆锥的高AO为 .
Rt?ABCACBCAB,4 7、如图，已知在中，?ACB,90?，，分别以，
C 为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 (SSSS 1212SS2 1
19、 若一个圆锥的底面积是侧面积的 ，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是___ 3A B
(第7题图) _度(
10、矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时(如图所示)，则顶点A所经过的路线长是ABCD1111
_________(
OOCAB//OP9,11、如图，?P内含于?，?的弦切?P于点，且(若阴影部分的面积为，则AB
D C
OPABP O B A A C
(第12题图) (第10题图) (第11题图)
弦的长为 (要求准确值). AB
12、如图，半圆的直径AB,10，P为AB上一点，点C、D是半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于 .
13、已知圆锥的底面半径为5，侧面展开图扇形圆心角为120?，则该圆锥的母线长 . 14、如图，已知圆锥的母线OA,8，底面半径r,2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥侧面爬行一周后又
O 回到A，求小虫爬行的最短路线的长.
A
(第14题图)
范文五：八年级数学辅导资料
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代数部分:
(一)运用公式法:
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有:
a2-b2=(a b)(a-b)
a2 2ab b2=(a b)2
a2-2ab b2=(a-b)2
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式
1(平方差公式
(1)式子: a2-b2=(a b)(a-b)
(2)语言:两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解
1(因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2(因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式
(1)把乘法公式(a b)2=a2 2ab b2 和 (a-b)2=a2-2ab b2反过来，
就可以得到: a2 2ab b2 =(a b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。 把a2 2ab b2和a2-2ab b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点
?项数:三项
?有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
?有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组分解法
我们看多项式am an bm bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式( 如果我们把它分成两组(am an)和(bm bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式(
原式=(am an) (bm bn)
,a(m n) b(m n)
做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义(但不难看出这两项还有公因式(m n)，因此还能继续分解，所以原式=(am an) (bm bn)
,a(m n) b(m n)
,(m n)?(a b)(
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法(从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式(
(六)提公因式法
1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式(当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式(
2. 运用公式x2 (p q)x pq=(x q)(x p)进行因式分解要注意:
1(必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于
一次项的系数(
2(将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤:
? 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;
?尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数(
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3(将原多项式分解成(x q)(x p)的形式(
(七)分式的乘除法
1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分(
2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式(
3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式(如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分(
4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y,-(y-x)，(x-y)2,(y-x)2， (x-y)3,-(y-x)3(
5(分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理(当然，简单的分式之分子分母可直接乘方(
6(注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减(
(八)分数的加减法
1(通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形(约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来(
2(通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变(
3(一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备(
4(通分的依据:分式的基本性质(
5(通分的关键:确定几个分式的公分母(
通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母(
6.类比分数的通分得到分式的通分:
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分(
7(同分母分式的加减法的法则是:同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
8(异分母的分式加减法法则:异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减(
9(同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号(
10(对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分(
11(异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化(
12(作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式(
(九)含有字母系数的一元一次方程
1(含有字母系数的一元一次方程
引例:一数的a倍(a?0)等于b，求这个数。用x表示这个数，根据题意，可得方程 ax=b(a?0)
在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。
含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意:用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零
几何部分:
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 欢迎您来到雪地社区#初中数学#吧~
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
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14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a b =c 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a b =c ，那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四
边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
