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范文一：流体平衡微分方程[5篇]
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流体平衡微分方程(一)
?2-6作用于曲面的液体压力
作用于曲面任一点处的流体静压强沿作用面内法线方向，其大小与该点的深度成正比。
与平面相似，也可以由此画出压强分布图，由于曲面的方向不断变化，压强的方向也随之改变，压强分布不是直线而是曲线。
曲面受压与平面受压的区别在于:
压强的大小和方向都在变化，是非平行力系，就不能象求平面总压力那样直接积分求其代数和。 为此需建立坐标,将各微元曲面的总压力向各坐标投影，把非平行力系变成各坐标方向的平行力系，按各坐标方向积分求和，再根据的总的
1
各坐标分力确定流体对曲面的总压力。
以二向曲面(柱体曲面)为例(pp31图2-29
)在曲面上任取一微元面dA ，在xoz
平面上的投影为曲线ab ，它在液
面下的深度为h ，液体作用在微元
面上的压力为dP ，dP=YhdA，液
体作用在微元面上的压力为dP ，
将其分解为:
作用点:垂直分力P z 通过压力体的重心m ;水平分力P x 通过曲面投影面A x 的压力中心D 。
总压力的作用线位于对称面上，通过两个分力作用线的交点O ，且与曲面的交点D 就是曲面压力P 的压力中心。
4)压力体概念与垂直分力的方向
压力体是一个体积，它是曲同与其在自由面上(或虚设自由面)上投影面之间的柱体体积，是一个纯数概念，与这个体积内是否充满液体无关。
相同的曲面，不同侧面有液体作用，压力体相等，作用在这两曲面上压力的垂直分力大小相等，但方向不同。
直接作用在曲面上的液体包含在压力体内，垂直分力方向向下，压力体称为实压力体(正压力体);反之直接作用在曲面上的液体不包含在压力体内，垂直分力方向向上，此压力体为虚压力体。
2
5)空间曲面总压力
曲二向曲面推导出总压力在水平和铅直方向上的分力计算公式，也可用于任意空间曲面。多了另一个水平力P y ，其计算方法与P x 相同。
曲面总压力的y 方向分力P y 等于液体作用在曲面在该方向(y )投影面A y 上的压力，即投影面积与投影面积形心压强的乘积。
为此，静止液体作用在任意曲面上的压力在水平面内某一方向的分力等于液体作用在曲面在该方向上投影面积上的压力，即投影面积与该投影面形处的静压强乘积。
例:贮水容器有三个半球形盖，如图(pp33图2-31)已知H=2.5mh=1.5mR=0.5m
求作用于三个半球表盖上的水静压力。
?2-7流体平衡微分方程
前面讲述了质量力只有重力作用情况流体平衡方程(静压强分布规律).
这一节就一般情况，即质量力除重加外，还有其它质量力作用时，流体平衡问题.
一、流体平衡微分方程式及其积分
1、流体平衡微分方程式
静止流体中任取一边长为
3
dx dy dz 的微元平行六面
体(pp35图2-34)
其中心点a(x，y ，z) 压强P
为(x ，y ，z )，边长与
相应坐标轴平行
微元六面体在质量力和表面力作用下处于平衡状态。
1)作用在六面体的表面力
静止流体中不存在切向力，表面力只有内法浅方向作用在六面体静压力，以x轴向的静压力为例。垂直于x轴的左、右侧
面中心点的压强可利用泰公式展开表示(略去高阶无穷小量):
2
)作用于六面体的质量力
2、积分形式
上式左边是压强的全微分，左边也必是某一函数的全微分，设此函数为W(x，y ，z) ，dW=Xdx+Ydy+Zdz
该函数对各个坐标的偏导数正好等于该方向的单位质量力，称此函数w(xy z) 为质量力的势函数，具有这样势函数的质量力称为有势的力。重力，牵连惯性力等均有势。
由上述讨论可知，只须在有势的质量力作用下，流体才能平衡。
4
(必要条件)
3
、讨论质量力仅有重力作用的静止流体
二、等压面及其特性
[dxdy dz]等压面上任一微小位移ds 在相应坐标的投影，上述公式表示流体质点沿等压面移动ds ，质量力所做的力为零，质量力和等压面正交，等压面两个重要性质:
1)等压面就是等势面
2)等压面和质量力正交
质量力只有重力，其方向直向下，则等压面一定水平。
流体平衡微分方程(二)
() Wang Jingyan Yang Yanli,,,,678000JOURNAL OF
BAOSHAN TEACHERS COLLEGE2010,29(2)
(3)
1. ; 2007
2. ; 2005
3. Mathematica 2006
5
(10)
1. . . . Jin Li. Xiao Xiantao. Zhang Liwei []-2007,11(2)
2. . . . WANG Yang-fan. MA Ya-feng. WANG Lin-shan []-2007,37(18)
3. []-2003,20(3)
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5. []-2007
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. . Wang Jingyan. Yang Yanli []- 2010(2)
流体平衡微分方程(三)
微分方程的平衡点及稳定性分析
王景艳
杨艳丽
6
(保山学院数学系，云南保山,,,,,,)
【摘要】主要探讨了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的
作用。
【关键词】自治系统;平衡点;稳定性【中图分类号】,,,
【文献标识码】,
,文章编号】,,,,,,,,,(,,,,),,,,,,,,,
引言
在自然科学(如物理、化学、生物、天文)和社
,(,判定平衡点稳定性的方法
?间接法:定义,的方法称为间接法。?直接法:不求方程式(,)的解髫?的方法，称为直接法。方法:将触)在戈扭,作泰勒展开，只取一
次项，有微分方程(,)可近似为
会科学(如工程、经济、军事)中的大量问题都可以用微分方程来描述。尤其当我们描述实际对象的
某些特性随时间(空间)而演变的过程，分析它的
变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动
态模型，通常要用到微分方程模型。而稳定性模型
立,荆(彤?砧，
7
菇,咐?
(,)
称为(,)的近似线性方程，戈。也是(,)的平衡点，(,)式的解为
的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳
定。稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程
稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,(一阶微分方程的平衡点及其稳定性
,(,相关定义,,,,,,固
因为磐怍,蒜。删有下列翘
(,)
定理,:关于方程(,)的平衡点的稳定性，有如
下结论:
定义,:右端不显含自变量,的微分方程称为自治方程(自治系统)。在这里我们仅讨论右端不
显含自变量,的一阶微分方程。形如
髫,亏触)
(,)
?羞厂,,,,，则称‰为方程(,)和(,)的稳定的平
衡点。
8
?他扮,，则称石。为方程(,)和(,)的不稳定的平
衡点。
定义,:代数方程触),,的实根石?。称为微分方
程(,)的平衡点。
例,:讨论娜。,,;模型,鲁,,一乏,的平衡点
，石(,)确
的稳定性。
解:(，)间接法:根据定义,，,,,,,,,;模型的两个平衡点为:,,,，菇础。，模型的解为:算(,),
定义,:批。某领域的任意值出发，使方程(,)
中的解,,)满足,,,,(,),,。，则称算。是稳定的，否则是
，??
不稳定的。
收稿日期:,,,,,,,,,,
作者简介:王景艳(,,,,一)，女(云南大理人。保山学院数学系，讲师(硕士。研究方向为微分方程的数值解法。
,),一,,(),
微分方程的平衡点及稳定性分析
——五一，则根据定义,，当,，?时，总有算(,卜,“互一,,,
‰，则平衡点,?。是稳定的平衡点，平衡点名,,是不稳
9
定的平衡点。
结论:
?着,,,且,,,，则(,)式的平衡点,,(,，,)稳定;?若,,,或？,,，则(,)式的平衡点,,(,，,)不
稳定;
(,)直接法删,,(,一三,，则刁亨厂缸),,(,一鱼)，
戈,戈,
那么对于系统(,)式平衡点,,(,。，‰)的稳定性，
也是用线性近似方法来判断，将舭办如力在点,,
,。，砧处作泰勒展开，只取一次项，得(,)在,,,。，砧
的线性近似方程为:
(,)
贝垆?，柚,,,,，则根据定理,，,,,是不稳定的平衡
点矿,)，，一,,,，算剐。是稳定的平衡点。
分析:从平衡点的稳定性来看，随着时间的推移，人口的增长在髫搿。处趋于稳定，也就是人口达到了自然资源和环境条件所容纳的最大人口数量
微分方程(,)的讨论跟(,)是一样的，并且有下
10
?,,‘,
菇。。符合,,,,,,,;’模型的假设。
,(二阶微分方程的平衡点及其稳定性
,(,相关定义闭啊也
定义,:右端不显含自变量,的微分方程组
列的结论成立””’:在非临界的情况下(即,，口?,)，
(,)式平衡点髓巾站的稳定性与(,)式平衡点,,(,口
，，。)的稳定性相同，而在临界的条件,(,，？,,)，二者可以不一致，比如说，线性近似方程的平衡点为
,吡力
中心时，要用其它的方法来判断(,)式平衡点的稳
(,)
定性。
【删,咨,，,)
是二阶自治方程(系统)。二阶方程可以表示为两个一阶方程组。
，—,,—…,,,(,例,:讨论系统,，,
，宰一卸
【,,
’
。的平衡点
11
定姬代数方酗端帜柢‰，,,,,
组成的点,,(,。，,,)称为自治系统(,)的平衡点或奇点。
定义,:对于自治系统(,)的平衡点,,(,。，,,)，若以所有可能的初始条件出发的解,,，，，?满足,,,,(,),,。，,,,,(,),,,，则称平衡点,,稳定;否则称,,不稳定。
,(,判定平衡点稳定性的方法
为了用直接法讨论系统(,)平衡点的稳定性，
及其稳定性。
解:根据定义,，系统的平衡点为:,。(,，,)，,,
(,，,)，,,(百,，,)。
?间接法:用,,,,,,,,,;,数学软件口】的,,,,,,
求解功能解出系统的两组解为:
,
,:查监煎挚生
,,丑，‘,)
,,,?,,奢遗
要先研究线性常系数微分方程组,,,),凹，,,(,)
,髫,),;菇，匆
的平衡点及其稳定性。,‰，砧是(,)式的唯一的平衡
12
点，它的特征方程是,,,(,,,,),,，记,,,,，则(,)式的特征根为,口,:,，,:一(,田，:,,,？，,，,,一(叶田，,,，则()式的特征根为
,
;
,菇艄:查生丛挚生,‘,
,
,,
,)
，,,(,),,,,也
再用,,,,,,,,,;,数学软件的,,,,,求极限功能
讨论系统解的变化趋势，可以得出，当,叫?时，系
统的解菇。,),？,，?—加，髫:,),?,，,:,)—加，所以由定
义,可得出，,,(,，,)，,,(,，,)为系统的稳定的平衡点，
,
,】,,,:,(,,:,:,，、,,,,？)(，(,)式的一般解的形式为;，,?
，;妒,,队，?,,)或;,,,”，;,,?,,:,,)，所以根据稳定性的定义,可得下列定理。
13
定理,:关于(,)的平衡点的稳定性，有如下
只(?，,)为系统的不稳定的平衡点。
?直接法:根据上面的讨论，研究系统在平衡点处的线性近似方程，有
在点,,(,，,)处，系统的线性近似方程的系数矩
一,,—
保山学院学报,,,,第,期
阵为:,产(言一,,)，,,,，,,,，故,,(。，,)是系统的
稳定的平衡点;
在点只(,，,)处，系统的线性近似方程的系数矩
接法需要求出系统的解析解，对于一些简单方程
可能很容易求出，而对于一些复杂的方程(比如例,)，我们是借助了数学软件求出的方程的通解;而直接法不用求方程的解就可以讨论平衡点的稳定性。我们在数学建模的过程中，有些系统不用求解
阵为:,,((,,,—,,)，,,,，,:,，故只(,，,)是系统的
稳定的平衡点;
在点,,(,，,)处，系统的线性近似方程的系数矩
方程，只需要研究平衡点的稳定状态，所以用直接
法分析平衡点的稳定性是非常有用的。
14
阵为:,,,(。,—,,)，,:,，粤:一,，故,,(丢，,)是系统
的不稳定的平衡点;
参考文献:
【,】冯杰，黄力伟等(数学建模原理与案例【,(北京:科学出版社，,,,,，,(
【,】张锦炎，冯贝叶(常微分方程几何理论与分支问题,明(
,(结论
从上面的分析和例子可以看出，平衡点的稳定性的讨论方法主要有间接法和直接法两种，间
北京:北京大学出版社，,,,,，,(
【,】阳明盛(,,,,,,,,,;,基础及数学软件【嗍(大连:大连理工大学出版社，,,,,，,(
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,？,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,
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15
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((,,((
微分方程的平衡点及稳定性分析
16
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年，卷(期):
王景艳， 杨艳丽， Wang Jingyan， Yang Yanli保山学院,数学系,云南,保山,678000保山学院学报
JOURNAL OF BAOSHAN TEACHERS COLLEGE2010,29(2)
参考文献(3条)
1.阳明盛 Mathematica基础及数学软件 2006
2.张锦炎;冯贝叶 常微分方程几何理论与分支问题 20053.冯杰;黄力伟 数学建模原理与案例 2007
本文链接:.cn/Periodical_bsszxb201002014.aspx
流体平衡微分方程(四)
二 平衡微分方程的积分形式
分别对流体平衡微分方程乘dx , dy , dz 相加，则有
?p ?p ?p dx +dy +dz =ρ(Xdx +Ydy +Zdz ) ?x ?y ?z
取全微分 dp =ρ(X d x +Y d y +Z d ) z
根据数学原理，ρ=const 时，(Xdx +Ydy +Zdz ) 必须为某标量函数的全微分。设标量函数为W ，则有
17
dp =ρdW =ρ(
?W ?W ?W
dx +dy +dz ) ?x ?y ?z
?W ?W ?W
=X , =Y , =Z ?x ?y ?z
由上式可知，W (x , y , z ) 是描述质量力的标量函数，称为力势函数。由势函数决定的力称为有势力。重力作用的空间称为重力场, 为有势场。
积分式(2.2-10)，则有
p =ρW +c (*)
若某点(x 0, y 0, z 0)势函数为W 0时压强为p 0，则c =p 0-ρW 0，则
p =p 0+ρ(W -W 0)
三 流体静力学基本方程
a 、自由液面上的正向坐标系 b 、自由液面上的反向坐标系 c 、自由液面下z 0处的正向坐标系
图 2-5 静止液体在不同坐标系的势能
? *式即是流体静力学的基本方程，在图2-5(a )中，取x =y =z =0，，则有 W 0=0，p 0=p a ;单位质量的液体势能W =-gz (z 与g 反向)
p =p a -ρgz
18
注意到-z =h ，则有
p =p a +ρgh =p a +γh
? 在图2-5(b)中，在x =y =z =0点，W 0=0，p 0=p a ，在坐标,单位质量势能为W =gz ，则有
p =p a +ρ(gz -0) =p a +γh
? 在图2-5(c)中，边界条件为:x =y =z =0，势函数W 0=0，
W =-gz (z 与g 反向);则有
p =p 0+ρW =p 0-γz
另一边界条件为x =y =0, z =z 0, p =p a ，势函数W =-gz 0,
由式(2.2-16)可得
p a =p 0-ρgz 0=p 0-γz 0
则有 p -p a =-γz +γz 0=γ(z 0-z ) =γh ，即p =p a +γh
通过如上分析可知:p =ρW +c 是一般表达式，更一般的表达式:
z +
p
γ
=const z 1+
p 1
γ
=z 2+
p 2
19
γ
=const
证明如下:参看图2-6
图 2-6 流体中两点压差
p 1=p a +γh 1 p 2=p a +γh 2
由上两式则有
p 1-p 2=γ(h 1-h 2) =γ?h =γ(z 2-z 1)
移项则有
p 1+γz 1=p 2+γz 2?? z 1+
由于z 1和z 2的任意性，故有
p 1
γ
=z 2+
p 2
γ
z 1+
p 1
γ
=z 2+
p 2
20
γ
=const ?? z +
p
γ
=const
几何含义:在静止流体中单位重量的流体的压力能p /γ和位置势能z 可以互相转化，总和不变。其中单位重量液体的位置势能z ，也称位置水头;p /γ为单位重量流体的压力能，也称压力水头，简称压头。 ? 静止液体中各点位置水头和测压管高度可以相互转换，但各点测压管水头却永远相等，即敞口测压管最高液面处于同一水平面——测压管水头面。
? 静止液体中各位置水头和静压高度亦可以相互转换，但各点静压水头永远相等，即闭口的玻璃管最高液面处在同一水平面——静压水头面。
p A
完全真空
A p a /ρA?
A?
p 1/ρ
p
p 2/ρ
21
z
p e1/ρ
基准面z
p e2/ρ
z
p
2
z
2.3 测压仪表，静力学基本方程的应用
一 等压面
定义:压力相等的点组成的面称为等压面。 说明:? 绝对静止的液体，等压面为水平面;
? 做水平匀速直线运动的容器中的液体的等压面也是水平面;作等加速直线运动时，等压面为斜平面;匀速旋转运动容器中的液体的等压面为抛物面(在下节中另述)。
? 等压面的选择。同一液体的等压面可任取;对不同介质的流体取分界面
图 2,8 同一液体的等压面 图 2,9 不同液体的等压面
22
? 等压面也是等势面，因为p =const ，故dp =0，根据静力平衡微分方程dp =ρdW ，当dp =0时，必有dW =0, W =
const 二 液柱式测压计
图 2,10液柱测压原理
从测压管看M 点压强p M p M =p a +γz 2=γz 2=γ(z 1+z 0)
(p a =0) 从容器看M 点压强p M p M =p 0+γz 1 (p 0为相对压力)
故有 z 0=
p 0
γ
(a)测压 (b)测真空度 (c)测压管
图 2,11 不同测压仪表原理
,型测压计如图2,11所示，测压计内的介质为水银(Hg )。未测量时，水银处在同一水平面上。对于图2,11 (a)，设,点被测压力为p A ，取等压面为M-M ，则
?p M =p A +γ1z a
?
p =p +γh a 2?M
23
故有 p A =p a +γ2h -γ1z a
? ?
,点的相对压力p A 为 p A =γ2h -γ1z a
当被测介质为气体时γ1?
p A =γ2h =γh
图2,11(b)为测量真空度原理。取M-M 为等压面，则有
p a =p A +γ1z a +γ2h
故有 p VA =p a -p A =γ1z a +γ2h
图2,11(c)为压差计原理，取M-M 为等压面，对容器,、,分别列
静压平衡方程，则有
?p M =p A +z a γ1
?
?p M =p B +z b γ1+h γ2
则两容器压差?p ?p =p A -p B =γ1(z b -z a ) +γ2h 若z a =z b ，则 ?p =γ2h =γh
若,、,容器为不同的介质(如水和油液)，只要z a , z b ,
h 可测出，则压差 p 可计算。
三 金属压力表
优点:携带方便、装置简单、安装容易、测读方便、经久耐用等优点，是测量压强的主要仪器。
常用的是一种弹簧测压计。构造:见实物。
24
原理:其内装有一端开口，一端封闭端面为椭圆形的镰刀形黄铜管，开口端与被测定压强的液体连通，测压时，由于压强的作用，黄铜管随着压强的增加而发生伸展，从而带动扇形齿轮使指针偏转，把液体的相对压强值在表盘上显示出来。
流体平衡微分方程(五)
201年6月15日1
1
6章 第流流体动微分程方6- 1 连性方程续 62 -以应力表示运动方的 程63- 黏性体流运微分方动程
2
第章6 流体流动微分方
25
程体运流微分动方程括:连包性续程和运动微分方方程。 连性续方:微程元量守质分析 连续恒方程
与以控制性为研究对象的质体量守相对恒应连，性方续程是 于基场流中质点度的控尺制(微体体元)建立的量守恒微质分 程。
方
动微运方程:分元受力微与量动析 分力应式的形动方运 程流动量体守恒的数学述表。以微元研究对为象
。3
6第 章体流动微分流程
方积
方分程在反映流于动过中程体总质流量，总 量和总动量的能变化;流动 微方分程，在于得获场分布流的详信细，息 以示宏揭观流现动象内的在规律。
4
26
-6 连1续性方程-角直标坐中的
质量守恒理:反映原流动程过循遵质守量恒这一事实。
输 微出元 输入体微元 微体体元内的+ = 的质0量量 流
的量质量流质量变化率
5
6-
连续1方性程-角坐标中的
直 v y
, ( v y )y d y
( z ) v vz , dz z (v x )v x,dx x
vx
z
y
27
d Ay
dz
dx
v
y
v
z
x
6
6
-1 连性续方程-角直坐中标的微
元面向速度法质和量通: vx量, v y vz , ; xv, v y , z
v (v y ) ( xv) v( )z [ vx dx ]d,dz y, [ vy, dy
dxd] z [, v z, d z dx]y dx y
z输出
微元 输入体微体 元微体元的 + =内 的质0量流量的质 流量量 量质变化 输出微率体元输入 微元体 ( v ) x( v y ) (vz ) ～ [ , ,dx]ydzd x z 的质量y量 流
28
的质流量 量微元体的内 = xddyzd质 量化率变 t 7
6-1
连续 方程性-直坐角中的标
输出微体元 输微元体入 ( v x ) ( v y ) ( z ) v～ [,, ] xdddyz x y z 的量流量 的质质流量 微元体内
量 的 dxd=yz 质量变化d 率 t
( x ) v ( v y) ( v z ) , , , 0x y z
t v) (, 0t 其展开
形为式:
v x v y vz ,v v,, v, ,,x y z
0 t x y z x y
z
68- 1续性方程连直-角标中的坐
( v) , 0 t
29
( v ) 质量 量 通 v
的度;散
,ij , 是k矢量分算微子 x y z
方
对程流层湍流、牛顿、非和牛流体均顿用适。
9
-6 连续1方性-程角坐直中标
的vx v y vz , vx , yv ,
v , z , 0 , x y z t x y z
( v x) ( yv) ( v z) ,, 0, x y z t
引用
体随
导数的念概可表，示为一种另形为:
30
D v 式 xvy v z, (, , 0 )D t x y
z v 速 度量
矢 D/ t
D是密
度v
D
, ( v )0 Dt
散的;度 随体的导，数体随导:数
01
D , v , vy x, vz D tt x y z
6-
1可压不流体缩的连性续方程
v x vy v z,, 0 x yz
31
理意物义速:度散度的表单示体积的位体流在 单位时内的间体增积，量常称为体通变形率。积 于不对可压流缩体不管，体其形积如何变状，化 其体积大小不的改会变即，体形率为变.
011
6.2
应力以示的表动运程
方_
动方运程:于基流中场的点质度尺的制控 体微元体即建立所的动量守方程，恒又为运称微动 分方程以应。表力示运动的程方就是直接根动据 守恒量定律得到的流体应含力的微分方。
程作用于微体 输出微元元体输 微入体元微元体 的 内=～ + 诸 力矢量和 之动的量量 流的量动量 动量流变化率
21
32
6
2..1 作于用元体微的力
上z 按作用域区不的同作，于用元微上的体:力体积 zx z x ,z d和表面力两类。 力
z xx x x , x dxx体 力积由:外力于场重力(、离心力场、场磁电 xy x)的场作在微元体整用个积体所上生产力，又的f z z dy y xf y z称为量质或力体力。 f彻xz dx yz y
d zy,
yz
zz d, zzzdz
z y
x
y
Axz
33
zy
位质量 单体力积
zz
x13
6
2.1. 作于用微体元上力的若微元
体单位质量的中体积在x,力,y方向的z量 分分为别
f:,fx,yz.则f
微元体x方向:的量质力 = fx ddxdz
y元体y微方的质向力量= yf d dydz
微x体z元方的向量力质f=z d xddy
z14
6
34
2.. 作1于微元体上的力用
表力:作面用于 流表面体的力 。本主要章指微 元表面体上的 。
力xx , y x ,x z =作用于x方与垂向直微的面
元 y , yyx y,z =作用与于方y垂向直微的面
元 z z, z , xz y =用于作z与向垂方的微直面元1
5
62..1作 用微元于体的上
力力下应的标意义:第个下标表一示应力用作面 直与垂坐标该，第二下标表个应示力作的方向。用
x x ,yx , xz =作 于用与方x垂直向微元的面
61
6.2.1
作用于 微体元上力的应力
负正约定:的 应若力所在平的外法线面 与标轴正坐一向，
35
致指 则坐标向轴正的应向为力正， 反之负为。 应力所若在面的平法外线 坐与标轴向正反，相指则 向坐标负轴方向的应为力 正，之反为。负
1
7
6
2.. 1作用于微体元上力
的应状力态切应力互等定理及: A点处个微元三上的面个应力，9代了流表场某 一中点的A力状应态也就，说，是性黏流场中意一任 点应力的有9个分，量包3括正个
应力量和6个切 分应分力量 切力应等定互: 理 xy yx
xz xz y z yz
场流任一点中9的应力分量个，只有中个6分量是立的独
1。
86.
36
21 作.用微元体于的力
微元上表面力体总力的量分
zy,
yz zd z
zz,
z zzd z
z ,
xx
x xx d xddyz ～ xxdyzd, 方x: 向 xx ,
x yx , y , xd y dx zd～ y dxdxz ,y
x z , , zd xddy z～xdxdy z xz
xy
yxdz
d x y
z z x d z z x , xxxdx
37
z
y
d
y
xz
yy fy
f
z
x
f
xA
x
z
yz
单位质量 体
力
38
积z z
x
x xyx zx , , ddxyz d y z x
y
yx y y zy , , d xyddz方 :向 x y z
z
xz zy z z ,, 向方: xdydzd x
y z
19
.6.22 动流量及量量变动化率动
通量与量动流量:量
39
动量通量
质=通量量 体速流
表度单示位时、间单位面积入输出的动输;量
动量流=量量通量 动通流积
面20
-2.26 量流量及动动量化变
微元体表面x方向率动的量入流量输:
为 vx v xdy dz, vyv xdxd , z v vzx dxdy
微元
体面x方表动向的量出输流为量
:( v yx v) ( vx x ) v v( zvx [) v vx x,
xd ]dydz ,[ v yv x ,dy]d xzd, [vzvx , z ]dxddy x y
z21
40
6-.2 动量2量流动及变化量率
( v yv x )( vx v )x ( z vvx )[ vv xx ,dx]d dy
z, v[v xy, d yd]dx z,[ v vz x, d z]dxyd x yz
xvvx d yz d, vy v xxdd , z v vzx dxd y
( v x ) 2 ( vyv x) ( vz v x) x方动量向 - 方向动量 =[x+ , d]xyddz x y z 的输 出流 量的输入流量 微元体面表微元体 面表
(
v v x y) ( v 2y ) ( v vz ) y方y向量 -动y方向动 量= [ +, ]d xdyz dx y z的出流量 的输输入量流
微元
表体 面微体元面表
(
vxv z ) v y (zv ) ( vz 2) z 方动量 -向 方向z动 =量 +[, ] d dxyd xz y 的z输出量流的输入流
量2
2微元
表面体微元 表面
体
6-2
41
.2 动量流及量量动化变
微率体内的动元量变化率:
元内微x向 方( v x ) = xdddzy t动量 的变化
率
微内 y元向 ( 方 v y =) dxddy z 动t的量变化
率微元
z方向内 (v z) = xddyd tz 量动的化率
2变
3-6.2 以应2力示的运表方动
X方程运向方动的程步形初为:
式 ( xv2 ) ( v v xy ( ) vz v x) v x
[ + , ], f x ,( xx ,x y ,z )x y xz t x y z
vx vx v x xv x x yx z x [ ,
vx + yv, v z ] f x , (,, ) t x y z x y z
y vvy v y xy y y yz vy [ , v x +v
y ,vz ] f y , ,(, ) t x y xz y
42
z x z yz zz v vzx vz v z[ ,vx + yv
vz,] fz , ( , ) t, x y z x y z
流
质体 量单位(体积)
流体
点质 加的速度
体积
力+表面力 (单体积)位
ma i i Fi x,y , z24
6-
2. 以应力2示表的动运程方运动方
程的理物义意为
vx : v x vx v x xx y x x z[ , v x + y ,
vv ] z fx , ( , ,) t x y z x zy
方
43
左程的边度密单位是积体质量的，号项括x是 方向度速量的随体分数，导示表任时刻意t通 考过察A点的流体质的x方向的点加速度量分 ;方右程边是作则用流于体单位积体质量力的 和面表的力x分。
量2
5
斯
克斯(S托okest)本假基:为设寻一般条件下求体应流力与 变速率形间的关之, Stok系es设:假?应力与形变率速线性成 系关;?这种系各关向性;同静?流止场应力切为且零各应 正均力等于压力静
。牛流顿体构本程方—广剪切义定
律 x x ～ ,p 2
vx 2 x v yv vz ～ , , x 3 x y z
附加正应力 : n 2 vn 2～ ( v) n3 v
y2 xv v y zv 仅与线 自应方向身线其 方它线 向 yy ～p , 2 ～ , , y 3 x y z 变率有 应关变贡献 率变率贡应 v 2 献 v v v z z ～p ,2 ～ z x , y z, 应力: 仅切与剪切应速率变相 关
z3 x y z 理想体流或止流体:静 面表向无取
44
关 v xv y i j0 (i j ); n 0, n ～ p xy yx , y x x , xy , y z z动流
运体 : 0, ～ pii v yvz 3 y z zy
, 一维 流动 v: xv ( x )yv，y v z 0 z y
必 不可压缩 然0 , ～ p ; v
xvd x v v z x x z z , x x yyxn n y
dy zx 切应 互力等律定牛，顿剪定律切
本方构程论讨:流 表体正面力:应 σ n ( p ～ ,n ) n
6
- 3性流体运动黏的微方程分不
压缩流可的体NS方-程
:v x vx v x v 1x p , v x, y , vv z f x t x ～y
z x v y t , x vvy x v,y v y ,y v zv yz
fy ～1 p y 2 vx 2 vx 2vx , 2,2 , 2 y z x 2v 2yv y 2 y v , 2, 2, 2 x
y z 2vz 2 vz 2
vz , , 22, 2 y z x
简化为欧拉方程0( 想理体流动方运程 )v D ～f
45
pDt v0简化 静为学力程 f 方p
2 7
z vv v v1 p vx,z , v y z, zvz fz ～ t x y z
z
6
-3 黏流体运性动的微方分
程NS方-程的展开式
: vx v v v 1 p ,vx x , vyx , z v x f ～ x tx y z xv y t ,vx vy x, yv vy y ,v z yv z fy ～ 1p y 2 xv 2 v x 2vx , 2 ,2, 2
y z x 2 v y 2 v y 2v y , 2 , 2 , 2 x y z 2 vz 2 zv vz
2, 2 2,, 2 y z x
zv v vv 1 p, v x , vz y z v,zz fz ～ t x y z
zN-
46
方S程矢量形及方式各项程呼或称意义如:下
v
1,( v ) v f ～ , 2p v t
定常项 非定常流动=0 静止场 流 对流0 源项 项项源
静止场流= 0单质量流 单位位质流量 变蠕流 0时 的体积
力 体体表面的力扩散项(粘性 项力 静)或止理想体流=0 高
速非界边层内0
2
8
-3 6黏流性运体动微分方程
欧拉方程:的
vx v v v 1 p , x x +vv xy , v zx f x～ t yx
z x vy v yv y v y p1 , v xv+y , vz fy ～ t
x y zy
v x v z v vzz 1 p , vx+ v y ,zv z f～ t x
zy z
拉欧程方
47
:f
x fy
1
p x
1 p
y
1p z f
z2
9
30
3
1
32
48
49
范文二：重点讲义流体的平衡微分方程及其积分
流体的平衡微分方程及其积分 一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程
如图所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设中心点的压强
为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析:
F,0根据平衡条件，在方向有，即: x,x
,,1p1p,(pdx，dydz,(p，dx)dydz，,dxdydzX,0 ,,2x2x
1,p X,,0,,x
,1,p
式中:X——单位质量力在x轴的投影 X,,0,,,x流体平衡微分方程(即欧拉平衡微分方程): ,
,1,p
Y,,0,,,y,
,1,p
Z,,0,,,z,物理意义:处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此
相等。
,p,p,p，，压强沿轴向的变化率()等于轴向单位体积上的质量力的分量(ρX，ρY，,x,y,z
ρZ)。
二、平衡微分方程的积分
将欧拉平衡微分方程中各式，分别乘以dx、dy、dz，整理: ,p,p,pdx，dy，dz,,(Xdx，Ydy，Zdz) ,x,y,z
因为p = p(x,y,z)
dp,,(Xdx，Ydy，Zdz)? ρ为常量; Xdx，Ydy，Zdz应为某函数W,F(x，y，z)的全微分:
,W,W,WdW,(Xdx，Ydy，Zdz),dx，dy，dz ,x,y,zdp,,dW 平衡流体中压强p的全微分方程 积分得:p=ρW，c
假定平衡液体自由面上某点(x，y，z)处的压强p及W为已知，则: c,p-ρW0000000
? p=p+ρ(W-W) 欧拉平衡微分方程的积分 00
三、帕斯卡定律
处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意点M处的压强变化值?p，将等值地传递到此0
平衡流体的其它各点上去。
说明:只适用于不可压缩的平衡流体;
盛装液体的容器是密封的、开口的均可。 四、等压面
平衡流体中压强相等的各点所组成的面。
等压面:dp=ρ(Xdx，Ydy，Zdz),0
ρ为常量，则:Xdx，Ydy，Zdz,0
即:质量力在等压面内移动微元长度所作的功为零。 等压面的特征:平衡流体的等压面垂直于质量力的方向 只有重力作用下的等压面应满足的条件:
1.静止;
2.连通;
3.连通的介质为同一均质流体;
4.质量力仅有重力;
5.同一水平面。
提问:如图所示中哪个断面为等压面? 答案: B-B’断面
范文三：§2-6作用于曲面的液体压力和§2-7流体平衡微分方程
§2-6作用于曲面的液体压力
作用于曲面任一点处的流体静压强沿作用面内法线方向，其大小与该点的深度成正比。
与平面相似，也可以由此画出压强分布图，由于曲面的方向不断变化，压强的方向也随之改变，压强分布不是直线而是曲线。
曲面受压与平面受压的区别在于:
压强的大小和方向都在变化，是非平行力系，就不能象求平面总压力那样直接积分求其代数和。 为此需建立坐标,将各微元曲面的总压力向各坐标投影，把非平行力系变成各坐标方向的平行力系，按各坐标方向积分求和，再根据的总的各坐标分力确定流体对曲面的总压力。
以二向曲面（柱体曲面）为例（pp31图2-29
）在曲面上任取一微元面dA ，在xoz
平面上的投影为曲线ab ，它在液
面下的深度为h ，液体作用在微元
面上的压力为dP ，dP=YhdA，液
体作用在微元面上的压力为dP ，
将其分解为：
作用点：垂直分力P z 通过压力体的重心m ；水平分力P x 通过曲面投影面A x 的压力中心D 。
总压力的作用线位于对称面上，通过两个分力作用线的交点O ，且与曲面的交点D 就是曲面压力P 的压力中心。
4）压力体概念与垂直分力的方向
压力体是一个体积，它是曲同与其在自由面上（或虚设自由面）上投影面之间的柱体体积，是一个纯数概念，与这个体积内是否充满液体无关。
相同的曲面，不同侧面有液体作用，压力体相等，作用在这两曲面上压力的垂直分力大小相等，但方向不同。
直接作用在曲面上的液体包含在压力体内，垂直分力方向向下，压力体称为实压力体（正压力体）；反之直接作用在曲面上的液体不包含在压力体内，垂直分力方向向上，此压力体为虚压力体。
5）空间曲面总压力
曲二向曲面推导出总压力在水平和铅直方向上的分力计算公式，也可用于任意空间曲面。多了另一个水平力P y ，其计算方法与P x 相同。
曲面总压力的y 方向分力P y 等于液体作用在曲面在该方向（y ）投影面A y 上的压力，即投影面积与投影面积形心压强的乘积。
为此，静止液体作用在任意曲面上的压力在水平面内某一方向的分力等于液体作用在曲面在该方向上投影面积上的压力，即投影面积与该投影面形处的静压强乘积。
例：贮水容器有三个半球形盖，如图（pp33图2-31）已知H=2.5mh=1.5mR=0.5m
求作用于三个半球表盖上的水静压力。
§2-7流体平衡微分方程
前面讲述了质量力只有重力作用情况流体平衡方程（静压强分布规律）.
这一节就一般情况，即质量力除重加外，还有其它质量力作用时，流体平衡问题.
一、流体平衡微分方程式及其积分
1、流体平衡微分方程式
静止流体中任取一边长为
dx dy dz 的微元平行六面
体（pp35图2-34）
其中心点a(x，y ，z) 压强P
为（x ，y ，z ），边长与
相应坐标轴平行
微元六面体在质量力和表面力作用下处于平衡状态。
1）作用在六面体的表面力
静止流体中不存在切向力，表面力只有内法浅方向作用在六面体静压力，以x轴向的静压力为例。垂直于x轴的左、右侧
面中心点的压强可利用泰公式展开表示（略去高阶无穷小量）：
2
）作用于六面体的质量力
2、积分形式
上式左边是压强的全微分，左边也必是某一函数的全微分，设此函数为W(x，y ，z) ，dW=Xdx+Ydy+Zdz
该函数对各个坐标的偏导数正好等于该方向的单位质量力，称此函数w(x·y ·z) 为质量力的势函数，具有这样势函数的质量力称为有势的力。重力，牵连惯性力等均有势。
由上述讨论可知，只须在有势的质量力作用下，流体才能平衡。
（必要条件）
3
、讨论质量力仅有重力作用的静止流体
二、等压面及其特性
[dxdy dz]等压面上任一微小位移ds 在相应坐标的投影，上述公式表示流体质点沿等压面移动ds ，质量力所做的力为零，质量力和等压面正交，等压面两个重要性质：
1）等压面就是等势面
2）等压面和质量力正交
质量力只有重力，其方向直向下，则等压面一定水平。
范文四：平衡方程
力学电子教案（ 3、4 ）
【课题名称】
平衡方程及其应用
【教材版本】
李世维主编．中等职业教育国家规划教材—机械基础（机械类）．第2版．北京：高等教育出版社，2006 【教学目标与要求】
一、知识目标
1、了解力在坐标轴上的投影；
2、理解平面力系的平衡方程及其应用。 二、能力目标
通过平面力系平衡方程的应用，培养分析问题和解决问题的能力。 三、素质目标
1、了解力在坐标轴上的投影；
2、了解平面力系的平衡方程及其特例。应用平衡方程解决工程实际问题，培养工程意识。
四、教学要求
1、初步了解力在坐标轴上的投影；
2、应用力的平移原理建立平衡方程并能解决工程实际问题。 【教学重点】
1、力在坐标轴上的投影； 2、平衡方程的应用。 【难点分析】
应用力的平移原理建立平衡方程 【教学方法】
教学方法：讲练法、演示法、讨论法、归纳法。 【教学资源】
1．机械基础网络课程．北京：高等教育出版社，2006
2．吴联兴主编．机械基础练习册．北京：高等教育出版社，2006 【教学安排】
教学步骤：讲授与演示交叉进行、讲授中穿插讨论、讲授中穿插练习与设问，最后进行归纳。 【教学过程】
★ 复习旧课（5分钟） 1、力的平移原理
2、力偶性质
☉力偶无矩心 ☉力偶无合力
☉等效力偶可以互换 ★ 导入新课
平衡方程是在解决工程实际问题中，通过对力的分析，建立起来的力的数学解析表达式，是工程实际中对受力情况的一种定量分析方法。
★ 新课教学（80分钟）
§2-2 平衡方程及其应用
一、 平面受力时的解析表示法
力在坐标轴上的投影
力F 在x 、y 轴上的投影：
力F 在x 、y 轴分力大小：
投影正负规定如下：若此力沿坐标轴的分力的指向与坐标轴一致，则力在该坐标轴上的投影为正值；反之，则投影为负值．
注意：
力的分力是矢量，而力在坐标轴上的投影是代数量。
讨论：
合力是否一定比分力大？
二、平面受力时的平衡方程及应用
1、平面一般力系的简化
F
一般力系平移后得到一个汇交力系和力偶系。 2、平面一般力系的平衡
平面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶矩同时为零。
F 3
平衡方程：
∑F x =0∑F y =0∑M o =0
例题分析：教材例2-5、例2-6 三、平面受力的特殊情况
1、平面平行力作用的平衡平衡方程
∑F y =0
∑M O =0
例题分析： 塔式起重机的机身总重G =220kN , 重心在塔中点，最大起重量, 尺寸如图所示。
求（1）当平衡重时，轨道的反力；
（2）满载时保持机身平衡的最小平衡重； （3）空载时保持机身平衡的最大平衡重。
解：
（1）由平衡力系平衡方程求反力
∑M B (P ) =0
Q (6+2) -N A ?4+G ?2-P (12-2) =0
N A =45kN
∑ P y = 0
N A +N B -G -P -Q =0
N B =255kN
（2）满载时， N A =0
∑M B (P ) =0
Q m in (6+2) +G ?2-P (12-2) =0 Q m in =7. 5kN
（3）空载时， N B =0 ∑M A (P ) =0
Q m ax (6-2) -G ?2=0
Q m ax =110kN
7. 5kN <>
2、平面力偶系的合成与平衡
作用在物体同一平面内的力偶，称为平面力偶系。平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
若力偶系平衡，则合力偶矩必为零。 平衡方程
M =m =0
例题分析：钻孔时钻头给工件施加一个压力和一个力偶，其力偶矩，若夹紧工件的两个螺栓间的距离，求每个螺栓所受的横向力。 解：
∑
∑m =0
N A l +m 1=0
N A =
-m A
=250N l
N B =N A =250N
课内练习：练习册（先练习后总结）
★ 小结（5分钟）
? 平面任意力系的简化 ? 平面任意力系的平衡
? 平面任意力系平衡方程的应用 ? 力偶系的平衡及平衡方程的应用 ★ 作业 练习册
范文五：流体静力学方程
第一章
流体流动
1. 研究流体流动问题的重要性 流体是气体与液体的总称。 流体流动是最普遍的化工单元操作之一; 研究流体流动问题也是研究其它化工单元操作 的重要基础。
2.连续介质假定 假定流体是由无数内部紧密相连、彼此间没有 间隙的流体质点(或微团)所组成的连续介质。 质点:由大量分子构成的微团，其尺寸远小于设备 尺寸、远大于分子自由程。 工程意义:利用连续函数的数学工具，从宏观研究 流体。
3.流体的特征
具有流动性; 无固定形状，随容器形状而变化; 受外力作用时内部产生相对运动。 不可压缩流体:流体的体积不随压力变化而变化， 如液体; 可压缩性流体:流体的体积随压力发生变化， 如气体。
Next………
第 一 章 流 体 流 动
1
一、流体的密度 二、流体的压强 三、流体静力学方程 四、流体静力学方程的应用
第 二 节 流体静止的基本方程
一、流体的密度
1. 密度定义
流体的密度就是单位体积的流体所具有的质量，用ρ表示 SI单位kg/m3。即:
m ρ = V
2. 影响ρ的主要因素
任意流体的密度都是随流体的压强和温度的改变而
ρ 改变的，即:
= f (t , p )
对于液体，压强的变化对密度的影响很小，可以忽略， 称为不可压缩性流体。此时，密度随温度而改变， 在使用液体的密度时，要注意温度条件。 对于气体，密度随T、P改变很大，称为可压缩性流体，此 时，
ρ = f (t )
ρ = f (t , p )
气体的密度必须标明其状态。 当压强不太高，温度不太低时，气体可以按理想气体处理。 理想气体在标况下的密度为:
M ρ0 = 22.4
2
例如标况下的空气，
M 29 3 ρ0 = = = 1.29kg / m 22.4 22.4
操作条件下(T, P)下的密度
p T0 ρ = ρ0 p0 T
其中:(P, T)为操作条件;(T0,P0)为标况 或由理想气
体方程求得操作条件(T, P)下的密度
PV
m = nRT? ρ = = nM = PVM = PM V V RT RTV
3.混合物的密度
1)液体混合物的密度ρm 取1kg液体，令液体混合物中
各组分的质量分率分别为:
xwA、xwB、 、xwn , …
当m总 = 1 kg时， xwi = mi
假设混合后总体积不变，
其中xwi
mi = m总
V总 =
xwA
ρ1
+
xwB
ρ2
3
+
+
xwn
ρn
=
m总
ρm
若混合前后,气体的质量不变，
m总 = ρ1x1 + ρ2x2 +....... ρnxn = ρmV总 +
当V总=1m3时,
ρ m = ρ1 x1 + ρ 2 x2 + ...... + ρ n xn
——气体混合物密度计算式
当混合物气体可视为理想气体时,
PM m ρm = RT
——理想气体混合物密度计算式
式中:Mm为混合物气体的平均分子量
M m = M 1 y1 + M 2 y2 + ...... + M n yn
?
1
ρm
=
x wA
4
ρ1
+
x wB
ρ2
+
+
x wn
ρn
——液体混合物密度计算式 2)气体混合物的密度 取1m3
的气体为基准,令各组分的体积分率为xvA,xvB,…,xVn, 其
中:
Vi
xVi = V总
i =1, 2, …., n
当V总=1m3时，
xVi = Vi 由ρ = m 知，
V
混合物中各组分的质量为: ρ1 xVA , ρ 2 xVB ,......, ρ n xVn
4.与密度相关的几个物理量
1)比容:单位质量的流体所具有的体积，用υ表示，单 位
为m3/kg。 在数值上:
ν=
5
1
ρ
2)比重(相对密度):某物质的密度与4?下的水的密度的 比值，用 d 表示。
d=
ρ ρ 4 ? C水
,
ρ 4?C水 = 1000 kg / m 3
Next………
二、流体的静压强
1、压强的定义
流体的单位表面积上所受的压力，称为流体的静压 强，简称压强。 数学表达式为:
SI制单位:N/m2，即Pa。 其它常用单位有:
P p= A
atm(标准大气压)、工程大气压kgf/cm2、bar;流体柱高度 (mmH2O，mmHg等)。
换算关系为:
1atm = 1.033kgf / cm 2 = 760mmHg = 10.33mH 2O =
1.0133bar = 1.0133 × 105 Pa
1工程大气压 = 1kgf / cm2 = 735.6mmHg = 10mH2O =
0.9807bar = 9.807 ×104 Pa
6
2、压强的表示方法
1)绝对压强(绝压): 流体体系的真实压强称为绝对压强。 2)表压强(表压): 压力上读取的压强值称为表压。
表压强=绝对压强 ,大气压强
3)真空度: 真空表的读数
真空度=大气压强-绝对压强=-表压
绝对压强、真空度、表压强的关系为 表 A 压 强 大气压强线 真空度 B 绝对压强 绝 对 压 强 绝对零压线 当用表压或真空度来表示压强时，应分别注明。 如:4×103Pa(真空度)、200KPa(表压)。
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三
流体静力学平衡方程
p0 p1 G p2 z2 z1
一、静力学基本方程
ρ 设流体不可压缩， = Const.
重力场中对液柱进行受力分析: (1)上端面所受总压力 方向向下 (2)下端面所受总压力
P1 = p1 A
P2 = p 2 A
方向向上 方向向下
(3)液柱的重力
7
G = ρgA( z1 ? z 2 )
液柱处于静止时，上述三项力的合力为零:
p 2 A ? p1 A ? ρgA( z1 ? z 2 ) = 0
p 2 = p1 + ρg ( z1 ? z 2 )
p1
压力形式 能量形式
ρ
+ z1 g =
p2
ρ
+ z2 g
——静力学基本方程
讨论: (1)适用于重力场中、静止、连续的同种不可压缩 性流体; (2)物理意义: zg ——单位质量流体所具有的位能，J/kg;
p
ρ
——单位质量流体所具有的静压能，J/kg。
在同一静止流体中，处在不同位置流体的位 能和静压能各不相同，但二者可以转换，其总和 保持不变 。
(3)在静止的、连续的同种流体内，处于同一水平 面上各点的压力处处相等。压力相等的面称为等压 面。 (4)
8
压力具有传递性:液面上方压力变化时，液体 内部各点的压力也将发生相应的变化。
例:图中开口的容器内盛有油和水，油层高度h1=0.7m, 密度 ρ1 = 800kg / m 3 ，水层高度h2=0.6m，密度为
ρ 2 = 1000 kg / m 3
1)判断下列两关系是否成立
PA,PA’，PB,P’B。
2)计算玻璃管内水的高度h。
解:(1)判断题给两关系是否成立 ?A，A’在静止的连通着的同一种液体的同一水平面上? PA = PA 因B，B’虽在同一水平面上，但不是连通着的同一种液 体，即截面B-B’不是等压面，故 PB = PB 不成立。
?
?
(2)计算水在玻璃管内的高度h
? PA = PA?
PA和PA’又分别可用流体静力学
方程表示 设大气压为Pa
PA = Pa + ρ 油 gh1 + ρ 水 gh2
PA = ρ 水 gh + Pa
?
? PA = PA
9
?
? Pa + ρ 油 gh1 + ρ 水 gh2 = Pa + ρ 水 gh
800 × 0.7 + 1000 × 0.6 = 1000h
h = 1.16m
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四、静力学基本方程的应用 1. 压力及压力差的测量 (1)U形压差计 设指示液的密度为 ρ 0 ， 被测流体的密度为 ρ 。 A与A′面 为等压面，即 p A = p A? 而
m R A A’ p1 p2
p A = p1 + ρg (m + R)
p A? = p 2 + ρgm + ρ 0 gR
所以 整理得
p1 + ρg (m + R) = p2 + ρgm + ρ 0 gR
p1 ? p 2 = ( ρ 0 ? ρ ) gR
若被测流体是气体，ρ
p1 ? p 2 ? Rgρ 0
讨论: (A)U形压差计可测系统内两点的压力差，当将U形 管一端与被测点连接、另一端与大气相通时，也可测 得流体的表压或真空度;
p1 p1
pa
pa
10
表压
真空度
(B)指示液的选取: 指示液与被测流体不互溶，不发生化学反应; 其密度要大于被测流体密度。 应根据被测流体的种类及压差的大小选择指示液。
思考:若U形压差计安装在倾斜管路中，此时读数 R反映了什么,
p2 p1 z1 R A A’ z2
p1 ? p 2 = ( ρ 0 ? ρ ) gR + ρ ( z 2 ? z1 ) g
当管子平放时:P ? P2 = ( ρ A ? ρ B )gR 1
——两点间压差计算公式 ρ 当被测的流体为气体时，ρ A >> ρ B ， B 可忽略,则
P1 ? P2 ? ρ A gR
当 P1-P2 值较小时，R值也较小，若希望读数R清 晰，可采取三种措施:两种指示液的密度差尽可能 减小、采用倾斜U型管压差计、 采用微差压差计。
(2)倾斜U型管压差计 假设垂直方向上的高 度为 Rm，读数为 R1，与 水平倾斜角度α
? R1 sin α = Rm
Rm R1 = sin α
(3) 微差压差计 U型管的两侧管的顶端增设两个 小扩大室,其内径与U型管的内径之 比,10，装入两种密度接近且
11
互不 相溶的指示液A和C，且指示液C与 被测流体B亦不互溶。
根据流体静力学方程可以导出:
P1 ? P2 = ( ρ A ? ρ C )gR
——微差压差计两点间压差计算公式 例:用3种压差计测量气体的微小压差
ΔP = 100Pa
试问: 1)用普通压差计，以苯为指示液，其读数R为多少,
2)用倾斜U型管压差计，θ=30?，指示液为苯，其读 数R’为多少, 3)若用微差压差计，其中加入苯和水两种指示液，扩大 室截面积远远大于U型管截面积，此时读数R〃为多少,
R〃为R的多少倍,
已知:苯的密度 ρ c = 879 kg / m
3
水的密度 ρ A = 998kg / m 3
计算时可忽略气体密度的影响。 解
:1)普通管U型管压差计
100 ΔP R= = = 0.0116m ρC g 879 × 9.807
2)倾斜U型管压差计
100 ΔP = R = ? 879 × 9.807 × 0.5 ρ C g sin 30
12
?
= 0.0232m
3)微差压差计
100 ΔP = R = (ρ A ? ρC )g (998 ? 879)× 9.807
“
= 0.0857 m
故:
R” 0.0857 = R 0.0116
= 7.39
(4) 倒U形压差计 指示剂密度小于被测流体密度， 如空气作为指示剂
p1 ? p 2 = Rg ( ρ ? ρ 0 ) ? Rgρ
(5) 复式压差计 适用于压差较大的情况。
(4、5)仅作了解
例
如附图所示，水在水平管道内流动。为测量流体 指示液为水银，读数
在某截面处的压力，直接在该处连接一U形压差计，
R,250mm，m,900mm。
已知当地大气压为101.3kPa， 水 的 密 度 1000kg/m3， 水 银 的 密度13600kg/m3。试计算该截 面处的压力。
(思考计算方法)
13
例
如附图所示，蒸汽锅炉上装一复式压力计，指示
液为水银，两U形压差计间充满水。相对于某一基准 面，各指示液界面高度分别为 Z0=2.1m, Z4=2.0m, Z7=2.5m。 试计算锅炉内水面上方的 蒸汽压力。 Z2=0.9m, Z6=0.7m,
(思考计算方法)
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2、液位的测定
液位计的原理——遵循静止液体内部压强变化的规律, 是静力学基本方程的一种应用。 液柱压差计测量液位的方法: ? 由压差计指示液的读数 R 可以计
算出容器内液面的高度。 ? 当 R,0 时，容器内的液面高度将 达到允许的最大高度，容器内液面 愈低，压差计读数R越大。
远距离控制液位的方法: 压缩氮气自管口 经调节阀通入，调 节气体的流量使气 流速度极小，只要 在鼓泡观察室内看 出有气泡缓慢逸出 即可。 压差计读数R的大小，反映出贮罐内液面的高度 。
例:利用远距离测量控制装置测定一分相槽内油和水的两 相界面位置，已知两吹气管出口的间距为H,1m，压差计中 指示液为水银。煤油、水、水银的密度分别为800kg/m3、 1000kg/m3、13600kg/m3。求当压差计指示R,67mm时，
14
界 面距离上吹气管出口端距离h。 解:忽略吹气管出口端到U 型管两侧的气体流动阻 力造成的压强差，则:
pa = p1 ,
pb = p2
Pa = ρ 油 g (H 1 + h ) + ρ 水 g (H ? h ) (表)
Pb = ρ 油 gH 1
(表)
? p1 ? p 2 = ρ Hg gR
? ρ油 gh + ρ 水 g (H ? h ) = ρ Hg gR
ρ 水 H ? ρ Hg R ?h = ρ 水 ? ρ油
1000 ×1.0 ? 13600 × 0.067 = 1000 ? 820
= 0.493m
3、液封高度的计算
液封的作用: ? 若设http://http://www.wenku1.com/news/1FEC44093A0E98F2.ht
ml
备内要求气体的压力不超过某种限度时，液封的作用就 是: 当气体压力超过这个限度时，气体冲破液封流出，又称为 安全性液封。 防止外界空气进入设备内 ? 若设备内为负压操作，其作用是: ? 液封需有一定的液位，其高度的确定就是根据流体静力学 基本方程式。
例:如图所示，某厂为了控制乙
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炔发生炉内的压强不超过 10.7×103Pa(表压)，需在炉外装有安全液封，其作用是 当炉内压强超过规定，气体就从液封管口排出，试求此炉 的安全液封管应插入槽内水面下的深度h。 解:过液封管口作基准水平面 o-o’，在其上取1，2两点。
P = 炉内压强 = Pa + 10.7 × 10 3 1
P2 = Pa + ρgh
3
? P1 = P2
? Pa + 10.7 × 10 = Pa + ρgh
H=10.9 m
例2:真空蒸发器操作中产生的水蒸气，往往送入本题附图 所示的混合冷凝器中与冷水直接接触而冷凝。为了维持操作 的真空度，冷凝器的上方与真空泵相通，不时将器内的不凝 气体(空气)抽走。同时为了防止外界空气由气压管漏入， 致使设备内真空度降低，因此，气压管必须插入液封槽中， 水即在管内上升一定高度h，这种措施称为液封。若真空表 读数为 80×104Pa，试求气压管内水上升的高度h。 解:设气压管内水面上方的绝对压强为P，作用于液封 槽内水面的压强为大气压强Pa，根据流体静力学基本方程 式知:
Pa = P + ρgh
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Pa ? P ?h = ρg
真空度 = ρg
80 × 103 = 1000 × 9.81
= 8.15m
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小结
第一章
流体流动
1. 研究流体流动问题的重要性 流体是气体与液体的总称。 2 .连续介质假定 假定流体是由无数内部紧密相连、彼此间
没有间隙的流体质点(或微团)所组成的连续介质。
什么是质点,
3.
流体(可压、不可压缩)的特征
具有流动性; 无固定形状，随容器形状而变化; 受外力作用时内部产生相对运动。
一、流体的密度 密度定义及其影响的主要因素 理想气体方程 混合物的密度,,气体、液体混合物
二、流体的静压强
压强的定义 流体的单位表面积上所受的压力，称
为流体的静压强，简称压强。
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换算关系为:
1atm = 1.033kgf / cm 2 = 760mmHg = 10.33mH 2O =
1.0133bar = 1.0133 × 105 Pa
1工程大气压 = 1kgf / cm2 = 735.6mmHg = 10mH2O =
0.9807bar = 9.807 ×104 Pa
压强的表示方法
1)绝对压强(绝压): 流体体系的真实压强称为绝对压强。
2)表压强(表压): 压力上读取的压强值称为表压。
表压强=绝对压强 , 大气压强
真空度:
真空表的读数
真空度=大气压强-绝对压强=-表压
绝对压强、真空度、表压强的关系为 表 A 压 强 大气压强线 真空度 B 绝对压强 绝 对 压 强 绝对零压线 当用表压或真空度来表示压强时，应分别注明。 如:4×103Pa(真空度)、200KPa(表压)。
流体静力学平衡方程 设流体不可压缩，ρ = Const.
p0 p1 G p2 z2 z1
——静力学基本方程
p 2 = p1 + ρg ( z1 ? z 2 )
p1 + z1 g = p2 + z2 g
压力形式
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ρ
ρ
能量形式
讨论: (1)适用于重力场中静止、连续的同种不可压缩性 流体; (2)物理意义: zg ——单位质量流体所具
有的位能，J/kg;
p
ρ
——单位质量流体所具有的静压能，J/kg。
在同一静止流体中，处在不同位置流体的位 能和静压能各不相同，但二者可以转换，其总和 保持不变。
(3)在静止的、连续的同种流体内，处于同一水平 面上各点的压力处处相等。压力相等的面称为等压 面。 (4)压力具有传递性:液面上方压力变化时，液体 内部各点的压力也将发生相应的变化。
静力学基本方程的应用 1. 压力及压力差的测量 (1)U形压差计
p1 p2
m
R A A’
讨论: (A)U形压差计可测系统内两点的压力差，当将U形 管一端与被测点连接、另一端与大气相通时，也可测 得
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流体的表压或真空度;
p1 p1
pa
pa
表压
真空度
(B)指示液的选取: 指示液与被测流体不互溶，不发生化学反应; 其密度要大于被测流体密度。 应根据被测流体的种类及压差的大小选择指示液。
(2)倾斜U型管压差计 假设垂直方向上的高 度为 Rm，读数为 R1，与 水平倾斜角度α
? R1 sin α = Rm
Rm R1 = sin α
(3) 微差压差计 U型管的两侧管的顶端增设两个 小扩大室,其内径与U型管的内径之 比,10，装入两种密度接近且互不 相溶的指示液A和C，且指示液C与 被测流体B亦不互溶。
液位测量 (1)近距离液位测量装置 压差计读数R反映出容器 内的液面高度。
ρ0 ? ρ h= R ρ
液面越高， h 越小，压差计读数R越小;当液面 达到最高时，h为零，R亦为零。
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(2)远距离液位测量装置 管道中充满氮 气，其密度较小， 近似认为
p A ? pB
而
p A = p a + ρgh
p B = p a + ρ 0 gR
A
B
所以
ρ0 h= R ρ
3. 液封高度的计算 液封作用: 确保设备安全:当设备 内压力超过规定值时，气 体从液封管排出; 防止气柜内气体泄漏。 液封高度:
p (表 ) h= ρg
作业1: 某设备进、出口的表压分别为-12kPa 和157kPa，当 地大气压力为101.3kPa。试求此设备的进、出口的 绝对压力及进、出口压力差各为多少(Pa)。
作业2:
如下图所示，容器内贮有密度为1250kg/m3的液体，液面高度 为3.2m。容器侧壁上有两根测压管线，距容器底的高度分别为 2m及1m，容器上部空间的压力(表压)为29.4kPa。试求: (1)压 差计读数(指示液密度为1400kg/m3); (2) A 、B
21
两个弹簧压 力表的读数。
2011年2月23日
作业3
如图所示，蒸汽锅炉上装一复式压力计，指
示液为水银，两U形压差计间充满水。相对于某一基 准面，各指示液界面高度分别为 Z0=2.1m, Z4=2.0m,
Z7=2.5m。 试计算锅炉内水面上方的 蒸汽压力。
2011年2月23日
Z2=0.9m, Z6=0.7m,
作业4
如图所示的测压差装置，其U形压差计的指示
液为水银，其他管中皆为水。若指示液读数为 R=150mm，试求A、B两点的压力差。
2
011年2月23日
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