范文一：定积分基本公式

定积分基本公式

定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领

域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计

算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.

第二节 微积分基本公式

一、变上限的定积分

xfxx()d,fx()[,]ab[,]abax,设函数在[] 上连续,，于是积分是一个定数，

x这种写法有一个不方便之处，就是既表示积分上限，又表示积分变量.为避免

xftt()d y,at混淆，我们把积分变量改写成 ，于是这个积分就写成了. y=f(x)

xftt()d,[,]abaxx φ(x)当在上变动时，对应于每一个 值,积分就有一个确定的

x xxxa b ftt()dftt()d,,Φ()x aa bxax值，因此是变上限 的一个函数，记作 =( ?? )

Φ()x通常称函数 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.

xftt()dfx()Φ()x,[,]aba定理1 如果函数在区间上连续，则变上限积分=

xd,Φxfttfx,,()()d(),a[,]abbaxxd在上可导，且其导数是 ( ?? ).

xftt()dΦ()x,a推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数=即为其原函数.

xπ2sindtt,Φ()x0x2例1 计算=在=0 ,处的导数.

xd2ttsind2,0sinxxd解 因为=,故

ππ2,Φ()sin,,2,Φ(0)sin00,,242 ;.

例2 求下列函数的导数:

xelntΦ()d(0)xta,,,at(1);

xΦ()xu,ex解 这里是的复合函数，其中中间变量，所以按复合函数求导

xxuddlnd(e)lneΦtx,,,(d)etxx,adddexutx法则，有 .

1sin,Φxx,,()d(0),2,x,(2).

2xddsinΦ,sin,sin2sinxx2,,,,,x()d,,,,,,2x2,2,,x1ddxx,,xx解 . 二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式

fx()Fx()fx()[,]ab定理2 设函数在闭区间上连续，又 是的任一个原函

bfxxFbFa()d()(),,,a数，则有.

xΦ()()dxftt,,fx()a证 由定理1知，变上限积分 也是的一个原函数，于

xfttFxC()d(),，0,Φ()()xFxC,,Ca00是知, 为一常数, 即 .

afttFaC()d(),，0,Caxa,0我们来确定常数 的值，为此，令 ，有，得

CFa,,()0.

xfttFxFa()d()(),,,a因此有 .

bfttFbFa()d()(),,,axb,再令，得所求积分为 .

因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得

bfxxFbFa()d()(),,,,Fxfx()(),a,其中. 上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式

常采用下面的格式:

bbfxxFxFbFa()d()()(),,,a,a.

例1 求定积分:

2dx2321121,xdxxd()，x,,xx(1),1,12x(1);(2);(3).

23215x22112,，,,(2)4xxx,，，d(2)dx()，x2,,1136xxx1解 (1).

2221d1x3133,2d()x,1,11,,22xxx(1)1,,1(),x22xdx(2).

2213,2arcsinx,,,2(arcsinarcsin)0.3398.1322

2xx,[1,1],(3)在上写成分段函数的形式

,,,,xx,10,,fx(),,xx,01,,,,

2201101xx2,,，,1xxxxxxd()dd,,，,,,,,110,1022于是.

cosx2,tedt,1lim2x,0x例2 计算.

0

x,0cos1x,0解 因为 时,,故本题属 型未定式,可以用洛必达法则

cosx2,tedt,1xux,cos来求.这里是 的复合函数,其中,所以

cosx222d,,,txxcoscostxx,,,ede(cos)'sine,1xd ,于是

有

cosx2,t2,edtcosx,2,,,11sinesinxx1,1,cosx,,,,,,elimlimlime2,,,xxx00022exxx22. 思考题

2x2fxtt()sind,,,fx()?,x1.若，

fx()[,]ab2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数在积分区间上连续. fx()[,]ab问当在区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算

定积分,并计算

2,xx,21,,,,,

,10,1,x,,,fx(),,2xx,10,,,,,2fxx()d,,,21,02.xx，,,,2, 其中

范文二：定积分的基本公式

第三讲 定积分的基本公式

【教学内容】

1．变上限积分函数 2．牛顿－莱布尼兹公式 【教学目标】

1．掌握变上限积分函数

2．掌握牛顿－莱布尼兹公式 【教学重点与难点】 牛顿－莱布尼兹公式 【教学过程】

一、引例

一物体作变速直线运动时，其速度v =v (t ) ，则它从时刻t =a 到时刻t =b 所经过的路程S ：

S =

?

b

a

v (t ) dt

另一方面，如果物体运动时的路程函数S =S (t ) ，则它从时刻t =a 到时刻t =b 所经过的路程

S 等于函数S =S (t ) 在[a , b ]上的增量

S (b ) -S (a )

同一物理量（路程）的两种不同数学表达式应该是相等的， ∴ S =

/

b

?

a

v (t ) dt =S (b ) -S (a )

∵ S (t ) =v (t ) ∴ S =

?

b

a

v (t ) dt =

?

b

a

S /(t ) dt =S (b ) -S (a )

二、变上限积分函数

1．定义：如果函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，那么对于区间[a , b ]上的任一点x 来说，f (x ) 在区间[a , x ]上仍连续，所以函数f (x ) 在[a , x ]上的定积分

?

x

a

f (x ) dx

存在。也就是说，对于每一个确定的x 值，这个积分将有一个确定的值与之对应，因此它是积分上限x 的函数，此函数定义在区间[a , b ]上，把它叫做变上限积分函数，记为Φ(x ) 。即

Φ(x ) =?f (x ) dx =?f (t ) dt (a ≤x ≤b )

a

a

x x

2．定理1 如果函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上连续，则变上限积分函数

Φ(x ) =?f (t ) dt (a ≤x ≤b )

a

x

是函数y =f (x ) 的原函数，即

x d x

Φ(x ) =f (t ) dt =f (x ) 或 d Φ(x ) =d ?f (t ) dt =f (x ) dx

a dx ?a

/

证 设给x 以增量?x ，则函数Φ(x ) 的相应增量为

?Φ(x ) =Φ(x +?x ) -Φ(x ) =?

由定积分中值定理有 ?Φ(x ) =

x +?x

a

f (t ) dt -?f (t ) dt =?

a

x x +?x

x

f (t ) dt

?

x +?x

x

f (t ) dt =f (ζ) ?x ( ζ在x 和x +?x 之间)

?Φ(x )

=f (ζ) ?x

因为f (x ) 在[a , b ]上连续，而?x →0时，ζ→x ，因此

Φ/(x ) =lim

例1 已知Φ(x ) =解 Φ(x ) =

/

?x →0

?Φ(x )

=?x

lim

?x →0

f (ζ) =lim f (ζ) =f (x )

ζ→x

?

x

1

sin t

，求Φ/(x ) . t

s i n x

x

x 2

1/

?2ln t (x >0) ，求Φ(x ) . 1x /2/

?(x ) =解 Φ(x ) =

ln x ln x 2

例2 已知Φ(x ) =例3 已知Φ(x ) =解 ∵Φ(x ) =-

?

x

1

x

sin t 2dt ，求Φ/(x ) .

?

1

sin t 2dt ∴Φ/(x ) =-sin x 2

x 2x

例4 已知Φ(x ) =解 ∵Φ(x ) =

/

?

e -t dt ，求Φ/(x ) .

x 2

-t 2

x

-t 2

x 2

2

2

?

x

e dt +?e dt =-?e dt +?e -t dt

-t 2

∴Φ(x ) =-e

-x 2

+e

-x 4

?2x =-e

-x 2

+2xe

-x 4

三、 牛顿－莱布尼兹公式

定理2 (牛顿－莱布尼兹公式) 如果F (x ) 是连续函数f (x ) 在[a , b ]上的一个原函数，则

?

证 由定理１知Φ(x ) =

b

a

f (x ) dx =F (b ) -F (a )

?

x

a

f (t ) dt 是函数f (x ) 的一个原函数，又F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，

∴ 在上式中令x =a ，∵

??

x

a

f (t ) dt =F (x ) +C

?

a

a

f (t ) dt =0，得C =-F (a ) ，代入上式得

x a

f (t ) dt =F (x ) -F (a )

在上式中令x =b ，并把积分变量t 换为x ，便得到

?

b

a

f (x ) dx =F (b ) -F (a )

这个公式叫做牛顿－莱布尼兹（Newton －Leibnitz ）公式或积分基本公式，它是计算定积分的基本公式。

b 为了方便起见，以后把F (b ) -F (a ) 记成为[F (x )]b 或F (x ) |a ，于是牛顿－莱布尼兹公式可写成 a

?

例5 计算解

1

b

a

f (x ) dx =[F (x )]b a 或

?

b

a

f (x ) dx =F (x ) |b a

这定理说明：连续函数的定积分等于被积函数的任一原函数（通常取C =0）在积分区间上的增量。

1

?-11+x 2dx .

1

1πππ1

dx =a r c t a x n |=a r c t a 1n -a r c t a -n 1() =-(-) = -1?-11+x 2

442

例6 计算解

?

3

-1

|2-x |dx .

2

3

2

3

-1

2

-1

2

?

3

-1

|2-x |dx =?|2-x |dx +?|2-x |dx =?(2-x ) dx +?(x -2) dx

x 22x 2

=(2x -) |-1+(-2x ) |32=5

22

例7 计算

?

π

+cos 2x dx .

π

解

?

π

+cos 2x dx =?

2cos x dx =2?|cos x |dx =2[?2cos x dx +π(-cos x ) dx ]

2

π

π

π

2

π

=2(sinx |02-sin x |ππ) =22

2

例8 计算解

-2

1

?-3x dx .

-2

1-2dx =ln |x ||-3=ln 2-ln 3 ?-3x

例9 计算

1

?

x 2

1

xe x dx .

2

11x 221x 211

解 ?xe dx =?e dx =e |0=(e -1)

02022

范文三：定积分基本计算公式

?4. 定积分的计算一 定积分计算的基本公式 设函数 f x 在区间a b上连续，并

且设 x 为 a b上的一点，考察定积分 x x a f x dx a f t dt 如果上限 x 在区间a

b 上任意变动，则对 于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所 以它在a b

上定义了一个函数， 记 x a f t dt . x 积分上限函数定理, 如果 f x 在a b

上连续，则积分上限的函 x数 x a f t dt 在a b上具有导数，且它的导 d x数是

x dx a f t dt f x a x b x x y证 x x f t dt a x x x x x x f t dt f t dt x

a a o a x x x b x x x x x a f t dt x f t dt a f t dt x x y f t dt x 由积分中值定理得

x o a x x x b x f x 在x与x x之间. f lim lim f x x 0 x x 0 x 0 x x f x .补充

如果 f t 连续， a x 、 b x 可导，则 b x F x a x f t dt 的导数 F x 为

f b x b x f a x a x d b x F x f t dt dx a x 证: F x 0 a x 0 b x f t dt f t dt 0 b x a x 0 f t dt F x f b x b x f a x a x cosex 1 t 2 dt例1 求 lim 2 . x 0 x 0分析:

这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 2解 dx cos x e dt dx 1 e dt cos 2 x e cos 2 x cos x sin x e 1 cos x e t 2 cos 2 x dt sin x e 1 lim 2 lim . x 0 x x 0 2x 2e例2

设 f x 在 内连续，且 f x 0 . x 0 tf t dt 在0 内为单调增证明函数 F x x

0 f t dt加函数. d x d x证 dx 0 tf t dt xf x dx 0 f t dt f x x x xf x 0 f t

dt f x 0 tf t dt F x 0 x f t dt 2 f x 0 x t f t dt xF x x 2 0 f t dt 0

f t dt 0 x f x 0 x 0 0 x t f t dt 0 x x t f t 0 F x 0 x 0.故 F x 在0

内为单调增加函数.例3 设 f x 在01上连续，且 f x 1.证明 x 2 x 0 f t dt 1在

01上只有一个解.证 令 F x 2 x f t dt 1 x 0 f x 1 F x 2 f x 0 F x 在01

上为单调增加函数. F 0 1 0 1 1 F 1 1 0 f t dt 0 1 f t dt 0 所以 F x 0 即原方程在

01上只有一个解.基本公式 如果 F x 是连续函数 f x 在区间 a b 上的一个

原函数，则 b a f x dx F b F a . 证 已知 F x 是 f x 的一个原函数， x

又 x f t dt 也是 f x 的一个原函数 a F x x C x a b 令 xa F a a C a a a f t dt 0 F a C F x a f t dt C x a x f t dt F x F a a f x dx F b F a .

b令x b 牛顿—莱布尼茨公式 F xa b a f x dx F b F a b 基本公式表明 一个连续函

数在区间a b上的定积分等于它的任意一个原函数在区间a b上的增量. 求定积分

问题转化为求原函数的问题. 牛顿,莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之 间的

关系( b 注意 当 a b 时， f x dx F b F a 仍成立. a例4 求 2 cos x sin x 1dx . 2 0 原式 2sin x cos x x 2 3 .解 0 2 2 x 0 x 1 2例5 设 f x 求 0 f x dx . 5 1 x 2 2 1 2 y解 0 f x dx 0 f x dx 1 f x dx在12上规定当 x 1时， f x 5 原式 2

xdx 5dx 6. 1 2 0 1 o 1 2 x例6 求 2 2 max x x 2 dx . y解 由图形可知 y x2 y x f x max x x 2 x 2 x 0 2 2 o 1 2 x x 0 x 1 x2 1 x 2 原式 x dx xdx x 2dx 0 2 1 2 11 2 0 1 . 2 1 1例7 求 2 dx . x 1解 当 x 0 时， 的一个原函数是 ln x x 1 1 2 x dx ln x 1 ln 1 ln 2 ln 2. 2例 8 计算曲线 y sin x 在0 上与 x 轴所围 成的平面图形的面积. y

解 面积 A sin xdx 0 o cos x 0 2. x二 定积分的换元公式 定理 假设 (1) f x 在

a b上连续; (2)函数 x t 在 上是单值的且有连续 导数; (3)当 t 在区间

上变化时，x t 的值在 a b上变化，且 a 、 b ， b 则有 a f x dx f t t dt .证 设 F x 是 f x 的一个原函数， a f x dx F b F a b 令 t F t

dF dx t f x t f t t dx dt t 是 f t t 的一个原函数. f t t dt a 、 b F F F b F a b f xdx Fb Fa a f t t dt .注意 当 时，换元

公式仍成立 应用换元公式时应注意:(1)用 x t 把变量 x 换成新变量 t 时，积

分限也 相应的改变.(2)求出 f t t 的一个原函数 t 后，不 必象计算不定积

分那样再要把 t 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别

代入 t 然后相减就行了.例9 计算 cos x sin xdx . 5 2 0解 令 t cos x dt sin xdx x

t 0 x 0 t 1 2 0 cos 5 x sin xdx 2 6 1 0 5t 1 1 t dt . 60 6例10 计算 1 0 x a 2 x 2 dx . a 0 a解

令 x a sin t dx a cos tdt x a t x 0 t 0 2 a cos t 原式 2 dt 0 a sin t a 1 sin t 2 2 cos t 1 cos t sin t dt 1 2 dt 2 0 sin t cos t sin t cos t 2 0 1 1 ln sin t cos t 0 2 . 2 2 2 4

范文四：定积分的概念定积分的性质中值定理微积分基本公式定积分的（可编辑）

第一节 定积分概念 定积分概念 第二节 定积分的性质 定积分的性质 第五节 定积分的分部积分法 定积分的分部积分法 二、 定积分在几何学上的应用 y x o i 取x为积分变量，则 ii 面积元素 iii 所求面积 方法2 比较方法1和方法2知:适当选择积分变量可以简化计算过程。 i 两切线交点为 ii 面积元素 iii 所求面积 解 y x o 练习 求由抛物线 及其在点 0,-3 和 3,0 处的切线所围图形面积。 则 点 0,-3 和 3,0 处的切线方程分别为 y 4x-3 y -2 x-3 3/2,3 二、极坐标情形 ii 面积元素 iii 所求面积 设由曲线 与射线 ， 围成一图形,求该图形的面积。 i 取极角 为积分变量，则 x o 面积元素 所求面积 例, 求由阿基米得螺线 上相应 于 的一段弧与极轴所围图形面。 解 x o 设曲线弧由参数方程 给出， 求由这曲线弧所围图形的面积。 i 取 t 为积分变量，则 iii 所求面积 ii 面积元素 三、 参数方程情形 椭圆参数方程为 面积元素 所求面积 例, 求由椭圆 所围图形面。 解 x y o -a a -b b 证明 证明 证明 利用上述结果，即得 例3 解 练习 答案 定理 例1 解 解 例2 解 例3 证明 证 练习 答案 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、? ? 函 数 第六节 广义积分与?函数 一、无穷限的广义积分 定 积 分 定义: 此时也称广义积分

收敛，否则称其为发散。 类似可定义: 例1 判别下列各

积分的收敛性，若收敛计算其值 解 解 例2 讨论广义积分

的敛散性. 解 二、无界函数的广义积分 定义: 此时也称广义积分

收敛，否则称其为发散。 类似可定义: 例1 计算广义积分 解 例2 讨论广义积分 的敛散性. 解 练习 答案 1.判别广义积分的 收敛性，如果收敛，计算广义积分值: 2.k为何值时广义积分 收敛 性,k为何值时广义积分发散, 答案 ? ? 函数在理论上和应用上都有重要意义。 定 积 分 三、? ? 函 数 定义: 性质: 性质: 证: 定积分的元素法 定积分在几何学上的应用 定积分在物理学上的应用 第七节 定积分应用 二、元素法实施步骤 1 选取积分变

量x，确定它的变化区间[a,b]; 2 相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]，写出部分量 的近似值 所求量的元素dU f x dx 3 以dU为被积表达式，在[a,b]上作定积分，得: 1 所求量,与一个变量x的变化区间[a,b]有关; 2 ,对区间[a,b]具有可加性; 3 部分量 的近似值可表示为 。 一、定积分的元素法

平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 , x y 一、直角坐标情形 , x y 定积分几何应用之一 平 面 图 形 的 面 积 问题: 求由曲线 y f x , y g x f x g x 与直线x a, x b a b 所围图形的面积。 a b y f x y g x x x+ dx i 取x为积分变量，则 ii 相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx] 的小窄条面积近似值，即面积元素 iii 所求面积 i 求交点 ii 相应于[0,1]上任一小区间[x,x+dx]的小窄条面积的近似值，即面积元素 iii 所求面积 解 y x o 例

, 求由抛物线 所围 图形之面积。 x x+dx i 求交点 ii 相应于[-2,4]上任一小区间[y,y+dy]的小窄条面积的近似值，即面积元素 iii 所求面积 解 y x o 例, 求由抛物线 与直线 所围图形面积。 y y+dy 方法1 定积分的概念 定积分的性质 中值定理 微积分基本公式 定积分的换元积分 定积分的分部积分 广义积分与?函数 定积分的应用 第五章 定积分 定 积 分 引例:曲边梯形的面积 设 y f x 在区间[a,b]上非负、连续。求由 曲线y f x 与直线x a,x b a b 所围图形的面积。 i 分割: ii 作积: iii 求和: x y o y f x b a 1.定积分定义 设函数f x 在[a,b]上有界， iv 取极限: i 分割: ii 作积: iii 求和: iv 取极限: 这里f x 叫做被积函数，f x dx叫做被积表达式，x叫做积 分变量，a,b叫做积分下限和上限，[a,b]叫做积分区间。 注意: i ii 2. 可积的充分条件 定理1:若f x 在[a,b]上连续，则f x 在[a,b]上可积。 定理2:若f x 在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 f x 在[a,b]上可积。 3. 定积分的几何意义 x y o y f x b a + - + 4.例子 解: 解: 规定: 性质1: 性质2: 性质3: 性质4: 性质5: 推论: 性质6 : (估值定理) 性质7: (定积分中值定理) 例1 根据定积分的性质 ，说明下列积分哪一个值较大: 解: 例2:估计下列积分值 解: 例3: 解: (利用积分中值定理) 1.估计下列积分值 练习: 2.根据定积分的性质 ，说明下列积分哪一个值较大: 答案: 一、积分上限函数及其导数概念 二、牛顿-莱不尼茨公式(微积分基本公式) 第

三节 微积分基本公式 定 积 分 定理1: 证明: 一、积分上限函数及其导数概念 定理2: (原函数存在定理) 定 积 分 定理3: 证明: 二、牛顿-莱不尼茨公式(微积分基本公式) 例1 计算下列定积分 例2 解: 例3 解: o x y 依题意，所求面积为 y sinx 例4 证 例5 解: 练习 答案 定积分的换元法 第四节 定积分的换元法 定 积 分 定理: 注意:应用公式(*)时，换元必换限。 一、定积分的换元法 证明: 设F x 是f x 的一个原函数，则 又令 由复合函数求导法，得 例1 计算下列定积分 解 解

例2 证明

范文五：定积分公式

二、基本积分表（188页1—15，205页16—24） （1）?kdx =kx +C （k 是常数）

x μ+1

（2）?x dx =+C , (u ≠-1)

μ+1

μ

1

（3）?dx =ln |x |+C

x dx

=arl tan x +C （4）?1+x 2

（5

）=arcsin x +C

（6）?cos xdx =sin x +C （7）?sin xdx =-cos x +C

1

=tan x +C cos 2x 1

（9）?2dx =-cot x +C

sin x

（8）?

（10）?sec x tan xdx =sec x +C （11）?csc x cot xdx =-csc x +C （12）?e x dx =e x +C

a x

+C ，(a >0, 且a ≠1) （13）?a dx =ln a

x

（14）?shxdx =chx +C （15）?chxdx =shx +C （16）?

11x

dx =arc tan +C 22

a +x a a

（17）?（18

）（19

）（20

）11x -a

dx =ln ||+C x 2-a 22a x +a

=arc sin

x

+C a

=ln(x +C

=ln |x ++C

（21）?tan xdx =-ln |cos x |+C （22）?cot xdx =ln |sin x |+C （23）?sec xdx =ln |sec x +tan x |+C （24）?csc xdx =ln |csc x -cot x |+C

注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。

3、复习三角函数公式：

sin 2x +cos 2x =1, tan 2x +1=sec 2x ,sin 2x =2sin x cos x , cos 2x =

sin 2x =

1-cos 2x

。 2

1+cos 2x

， 2

注：由?f [?(x )]?'(x ) dx =?f [?(x )]d ?(x ) ，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

小结：

1常用凑微分公式

积分类型

1. f (ax +b ) dx =2. f (x ) x

换元公式

(a ≠0)

u =ax +b u =x μu =ln x u =e x u =a x u =sin x u =cos x u =tan x u =cot x u =arctan x

?

a

?f (ax +b ) d (ax +b )

1

?

μμ-1

dx =

μ

?f (x

x

μ

) d (x ) (μ≠0)

μ

第一换元积分法

??

4.. ?f (e ) ?e dx =?f (e ) de

1

5. ?f (a ) ?a dx =f (a ) da

ln a ?

6. ?f (sinx ) ?cos xdx =?f (sinx ) d sin x 7. ?f (cosx ) ?sin xdx =-?f (cosx ) d cos x 8. ?f (tanx ) sec xdx =?f (tanx ) d tan x 9. ?f (cotx ) csc xdx =-?f (cotx ) d cot x

1

10. ?f (arctanx ) dx =?f (arctanx ) d (arctanx )

1+x

f (lnx ) d (lnx )

x

x

x

x

x

x

x

22

2

1

3. f (lnx ) ?dx =

x

11. f (arcsinx )

?

1-x 2

dx =-f (arcsinx ) d (arcsinx ) u =arcsin x

?

第二节 定积分计算公式和性质

一、变上限函数

设函数在区间

在区间上的定积分为

上连续，并且设x 为上的任一点，于是，

这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

如果上限x 在区

间上任意变动，则对于每

一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在

，我们把

上限函数 记为图

5-10

从几何上看，也很显然。因为X 是

上一个动点，从而以线段

上定义了一个以x

为自变量的函数称为函数

在区间

上变

为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10）

定积分计算公式

利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：如果物体以速度所经过的路程s 为图 5-11

作直线运动，那么在时间区间

上

另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数经过的路程应该是（见图5-11）

即

由导数的物理意义可知：出定积分的增量

，应先求出被积函数即可。

的一般方法：

是

的一个原函数，

即

即

是

一个原函数，因此，为了求，再求

在区间

上

，那么物体从t=a到t=b所

的原函数

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分设函

数

在闭区

间，则

上连续

，

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。

为了使用方便，将公式写成

牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算

因为是的一个原函数所以

例 2

求曲线

和直线x=0、x=

及

y=0所围成图形面积A(5-12)

解 这个图形的面积为

图

5-12

二、定积分的性质

设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以

下几个简单性质：

性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，

即(A为常数)

性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即

这个性质对有限个函数代数和也成立。

性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即

以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。

性质4 如果将区间

分成两个子区间

及

那么有

这个于区间分成有限个的情形也成立。

下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。 当a<>

y=f形面积

:

图 5-13a 图 5-13b

与和x=a x=b及x 轴围成的曲边梯

因

为

即性质4成立。 当a<>

外，由图5-13b 可知，

所

以

显然，性质4也成立。 总之，不论c 点在

内还是

外，性质4总是成立的。

例3 求

例 4 求

解

=

例 5 求解

所以

例 6

求解

于是，

例8 火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以加速度

a=-5m/

刹车。问从开始刹车到停车，火车走了多少距离？

解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当 时火车速度

刹车后火车减速行驶。其速度为

当火车停住时，速度

，故从

解得

于是在这段时间内，火车走过的距离为

=

即在刹车后，火车需走过40m 才能停住。

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